Chuyên đề Nguyên hàm Tích phân (đầy đủ) Đặng Việt Hùng
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (5.49 MB, 103 trang )
Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN – Thầy Hùng
Tài liệu tham khảo:
01. MỞ ĐẦU VỀ NGUYÊN HÀM
Thầy Đặng Việt Hùng
I. NHẮC LẠI KHÁI NIỆM VỀ VI PHÂN CỦA HÀM SỐ
Vi phân của hàm số y = f(x) được kí hiệu là dy và cho bởi công thức dy = df ( x ) = y ' dx = f '( x )dx
Ví dụ:
d(x2 – 2x + 2) = (x2 – 2x + 2)′dx = (2x – 2)dx
d(sinx + 2cosx) = (sinx + 2cosx)′dx = (cosx – 2sinx)dx
Chú ý: Từ công thức vi phân trên ta dễ dàng thu được một số kết quả sau
1
d ( 2 x ) = 2dx ⇒ dx = d ( 2 x )
2
1
d ( 3x ) = 3dx ⇒ dx = d ( 3x )
3
2
x
1
1
1
xdx = d = d x 2 = d x 2 ± a = − d a − x 2
2 2
2
2
( )
(
)
(
)
x3 1
1
1
x 2 dx = d = d x3 = d x3 ± a = − d a − x3
3 3
3
3
dx
1 d ( ax + b ) 1
dx
=
= d ( ln ax + b )
→ = d ( ln x )
ax + b a ax + b
a
x
1
1
1
sin ( ax + b ) dx = sin ( ax + b ) d ( ax + b ) = − d ( cos ( ax + b ) ) sin 2 xdx = − d ( cos2 x ) ...
→
a
a
2
1
1
1
cos ( ax + b ) dx = cos ( ax + b ) d ( ax + b ) = d ( sin ( ax + b ) ) cos 2 xdx = d ( sin 2 x ) ...
→
a
a
2
1 ax +b
1
1
eax +b dx = e
d ( ax + b ) = d e ax +b e2 x dx = d e 2 x ...
→
a
a
2
dx
1 d ( ax + b )
1
dx
1
=
= d tan ( ax + b )
→
= d ( tan 2 x ) ...
2
2
2
cos ( ax + b ) a cos ( ax + b ) a
cos 2 x 2
( )
(
)
(
dx
sin
2
( ax + b )
=
(
)
)
( )
1 d ( ax + b )
1
dx
1
= − d cot ( ax + b )
→ 2
= − d ( cot 2 x ) ...
2
a sin ( ax + b )
a
2
sin 2 x
II. KHÁI NIỆM VỀ NGUYÊN HÀM
Cho hàm số f(x) liên tục trên một khoảng (a; b). Hàm F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) nếu F’(x) = f(x) và
được viết là ∫ f ( x)dx . Từ đó ta có : ∫ f ( x)dx = F ( x)
Nhận xét:
Với C là một hằng số nào đó thì ta ln có (F(x) + C)’ = F’(x) nên tổng quát hóa ta viết
∫ f ( x)dx = F ( x) + C , khi đó
F(x) + C được gọi là một họ nguyên hàm của hàm số f(x). Với một giá trị cụ thể của C thì ta được một nguyên hàm
của hàm số đã cho.
Ví dụ:
Hàm số f(x) = 2x có ngun hàm là F(x) = x2 + C, vì (x2 + C)’ = 2x
Hàm số f(x) = sinx có nguyên hàm là F(x) = –cosx + C, vì (–cosx + C)’ = sinx
III. CÁC TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA NGUYÊN HÀM
Cho các hàm số f(x) và g(x) liên tục và tồn tại các nguyên hàm tương ứng F(x) và G(x), khi đó ta có các tính chất sau:
a) Tính chất 1:
Chứng minh:
( ∫ f ( x)dx )′ = f ( x)
Download ebook, tài li u, đ thi, bài gi ng t i : o
Học trực tuyến tại: www.moon.vn
1
Trang 1
Mobile: 0985.074.831
Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN – Thầy Hùng
Do F(x) là ngun hàm của hàm số f(x) nên hiển nhiên ta có
( ∫ f ( x)dx )′ = ( F ( x) )′ = f ( x) ⇒ đpcm.
( ∫ [ f ( x) + g ( x)] dx ) = ∫ f ( x)dx + ∫ g ( x)dx
b) Tính chất 2:
Chứng minh:
Theo tính chất 1 ta có,
( ∫ f ( x)dx + ∫ g ( x)dx )′ = ( ∫ f ( x)dx )′ + ( ∫ g ( x)dx )′ = f ( x) + g ( x)
Theo định nghĩa nguyên hàm thì vế phải chính là ngun hàm của f(x) + g(x).
( ∫ [ f ( x) + g ( x)] dx ) = ∫ f ( x)dx + ∫ g ( x)dx
c) Tính chất 3: ( ∫ k . f ( x)dx ) = k ∫ f ( x)dx, ∀k ≠ 0
Từ đó ta có
Chứng minh:
(
)
′
Tương tự như tính chất 2, ta xét k ∫ f ( x)dx = k . f ( x) ∫ k . f ( x)dx = k ∫ f ( x)dx ⇒ đpcm.
→
∫ f ( x)dx = ∫ f (t )dt = ∫ f (u )du..
d) Tính chất 4:
Tính chất trên được gọi là tính bất biến của nguyên hàm, tức là nguyên hàm của một hàm số chỉ phụ thuộc vào hàm,
mà khơng phụ thuộc vào biến.
IV. CÁC CƠNG THỨC NGUN HÀM
Cơng thức 1: ∫ dx = x + C
Chứng minh:
Thật vậy, do ( x + C )′ = 1 ⇒ ∫ dx = x + C
Chú ý:
Mở rộng với hàm số hợp u = u ( x) , ta được ∫ du = u + C
Công thức 2: ∫ x n dx =
x n +1
+C
n +1
Chứng minh:
x n +1
′
x n +1
Thật vậy, do
+ C = x n ⇒ ∫ x n dx =
+C
n +1
n +1
Chú ý:
+ Mở rộng với hàm số hợp u = u ( x) , ta được ∫ u n du =
u n +1
+C
n +1
1
dx
dx
du
+ Với n = − ⇒ ∫
= 2∫
= 2 x + C ← ∫
→
=2 u +C
2
x
2 x
u
dx
1
du
1
+ Với n = −2 ⇒ ∫ 2 = − + C ← ∫ 2 = − + C
→
x
x
u
u
Ví dụ:
x3
a) ∫ x 2 dx = + C
3
x5
b) ∫ ( x 4 + 2 x ) dx = ∫ x 4 dx + ∫ 2 xdx = + x 2 + C
5
1
c)
∫
3
1
2
−
x − x2
x3
x2 x 3 x2
x2
dx = ∫ dx − ∫ xdx = ∫ x 3 dx − =
− + C = 33 x − + C
1
x
x
2
2
2
3
( 2 x + 1) + C
1
4
u n du
→
d) I = ∫ ( 2 x + 1) dx = ∫ ( 2 x + 1) d ( 2 x + 1) I =
2
5
5
4
Học trực tuyến tại: www.moon.vn
2
Trang 2
Mobile: 0985.074.831
Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN – Thầy Hùng
e) I = ∫ (1 − 3x )
f) I = ∫
(1 − 3x ) + C
1
2010
u n du
dx = − ∫ (1 − 3 x ) d (1 − 3 x ) I = −
→
3
2011
du
1 d ( 2 x + 1) u 2
1 1
1
= ∫
I = − .
→
+C =−
+C
2
2 ( 2 x + 1)
2 2x + 1
2 ( 2 x + 1)
2011
2010
dx
( 2 x + 1)
2
g) I = ∫ 4 x + 5dx =
Công thức 3: ∫
3
3
1
1 2
3
4 x + 5d ( 4 x + 5 ) ⇒ I = . ( 4 x + 5 ) 2 + C = ( 4 x + 5 ) 2 + C
4∫
4 3
8
dx
= ln x + C
x
Chứng minh:
1
dx
Thật vậy, do ( ln x + C )′ = ⇒ ∫ = ln x + C
x
x
Chú ý:
+ Mở rộng với hàm số hợp u = u ( x) , ta được
du
∫u
= ln u + C
1
dx
= ln 2 x + k + C
1 d ( ax + b ) 1
dx
∫ 2x + k 2
+ ∫
=
= ln ax + b + C
→
ax + b a ∫ ax + b
a
dx = − 1 ln k − 2 x + C
∫ k − 2 x
2
Ví dụ:
1 1
1
dx x 4
a) ∫ x3 +
+ dx = ∫ x3 dx + ∫
dx + ∫ =
+ 2 x + ln x + C
x
4
x x
x
du
dx
1 d ( 3x + 2 ) u
1
= ∫
I = ln 3x + 2 + C
→
3x + 2 3
3x + 2
3
2x2 + x + 3
3
dx
3 d ( 2 x + 1)
3
c) ∫
dx = ∫ 2 x +
= x2 + ∫
= x 2 + ln 2 x + 1 + C
dx = ∫ 2 xdx + 3∫
2x + 1
2x + 1
2x + 1
2
2x + 1
2
b) I = ∫
Công thức 4: ∫ sinxdx = − cos x + C
Chứng minh:
Thật vậy, do ( − cos x + C )′ = sin x ⇒ ∫ sinxdx = − cos x + C
Chú ý:
+ Mở rộng với hàm số hợp u = u ( x) , ta được ∫ sinudu = − cos u + C
+ ∫ sin ( ax + b ) dx =
1
1
1
→
∫ sin ( ax + b ) d ( ax + b ) = − a cos ( ax + b ) + C ∫ sin 2 xdx = − 2 cos2 x + C
a
Ví dụ:
3
1
dx
1 d ( 2 x − 1)
a) ∫ x x + s inx +
= ∫ x 2 dx − cos x + ∫
=
dx = ∫ x xdx + ∫ sinxdx + ∫
2x −1
2x −1
2 2x −1
5
2x 2
1
=
− cos x + ln 2 x − 1 + C
5
2
3
dx
1
3 d ( 4 x − 3)
1
3
= ∫ sin 2 xd ( 2 x ) + ∫
= − cos2 x + ln 4 x − 3 + C
b) ∫ sin 2 x +
dx = ∫ sin 2 xdx +3∫
4x − 3
4x − 3 2
4
4x − 3
2
4
x
c) ∫ sin + sinx + sin 3 x dx
2
1
1
x 1
x
Ta có d = dx ⇒ dx = 2d ; d ( 2 x ) = 2dx ⇒ dx = d ( 2 x ) ; d ( 3x ) = 3dx ⇒ dx = d ( 3x )
2
3
2 2
2
T ừ đó :
1
x
x
x x 1
∫ sin 2 + sinx + sin 3x dx = ∫ sin 2 dx + ∫ sin 2 xdx + ∫ sin 3xdx = 2∫ sin 2 d 2 + 2 ∫ sin 2 xd ( 2 x ) + 3 ∫ sin 3xd ( 3x )
Học trực tuyến tại: www.moon.vn
3
Trang 3
Mobile: 0985.074.831
Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN – Thầy Hùng
x 1
1
= −2cos − cos2 x − cos3x + C
2 2
3
Công thức 5: ∫ cos xdx = sin x + C
Chứng minh:
Thật vậy, do ( sinx + C )′ = cos x ⇒ ∫ cosxdx = sinx + C
Chú ý:
+ Mở rộng với hàm số hợp u = u ( x) , ta được ∫ cosudu = sin u + C
+ ∫ cos ( ax + b ) dx =
1
1
1
→
∫ cos ( ax + b ) d ( ax + b ) = a sin ( ax + b ) + C ∫ cos2 xdx = 2 sin 2 x + C
a
Ví dụ:
4x − 1
5
a) ∫ cos x − sin x +
dx = ∫ cos xdx − ∫ sin xdx + ∫ 4 −
dx = sinx + cos x + 4 x − 5ln x + 1 + C
x +1
x +1
1
x2
b) ∫ ( cos 2 x + sin x − x ) dx = ∫ cos2 xdx + ∫ sinxdx − ∫ xdx = sin 2 x − cos x − + C
2
2
1 − cos2 x
1
1
1
1
1 1
c) ∫ sin 2 xdx = ∫
dx = ∫ − cos2 x dx = x − ∫ cos2 xd ( 2 x ) = x − sin 2 x + C
2
2
4
2
4
2 2
Công thức 6: ∫
dx
= tan x + C
cos 2 x
Chứng minh:
Thật vậy, do ( tan x + C )′ =
1
dx
⇒∫
= tan x + C
2
cos x
cos 2 x
Chú ý:
+ Mở rộng với hàm số hợp u = u ( x) , ta được
+
dx
1
d ( ax + b )
du
∫ cos u = tan u + C
2
1
dx
1
= tan 2 x + C
2
2x 2
→
∫ cos ( ax + b ) = a ∫ cos ( ax + b ) = a tan ( ax + b ) + C ∫ cos
2
2
Ví dụ:
dx
1
1
a) ∫
+ cos x − sin 2 x dx = ∫
+ ∫ cos xdx − ∫ sin 2 xdx = tan x + sin x + cos 2 x + C
2
2
cos x
2
cos x
1
2
dx
dx
1 d ( 2 x − 1)
2 d (5 − 4x)
b) I = ∫
+
+ 2∫
= ∫
− ∫
dx = ∫
2
2
2
cos ( 2 x − 1)
5 − 4 x 2 cos ( 2 x − 1) 4
5 − 4x
cos ( 2 x − 1) 5 − 4 x
du
1
1
tan ( 2 x − 1) − ln 5 − 4 x + C
2
2
du
dx
1 d (3 − 2x )
1
cos 2 u
c) I = ∫
=− ∫
I = − tan ( 3 − 2 x ) + C
→
2
2
cos ( 3 − 2 x )
2 cos ( 3 − 2 x )
2
=
→
cos2 u
Công thức 7: ∫
dx
= − cot x + C
sin 2 x
Chứng minh:
Thật vậy, do ( − cot x + C )′ =
1
dx
⇒ ∫ 2 = − cot x + C
sin 2 x
sin x
Chú ý:
+ Mở rộng với hàm số hợp u = u ( x) , ta được
+
dx
1
d ( ax + b )
du
∫ sin u = − cot u + C
2
1
dx
1
= − cot 2 x + C
2
2x
2
→
∫ sin ( ax + b ) = a ∫ sin ( ax + b ) = − a cot ( ax + b ) + C ∫ sin
2
2
Ví dụ:
Học trực tuyến tại: www.moon.vn
4
Trang 4
Mobile: 0985.074.831
Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN – Thầy Hùng
1
dx
1
x6
a) ∫ cos 2 x − 2 + 2 x5 dx = ∫ cos 2 xdx − ∫ 2 + ∫ 2 x 5 dx = sin 2 x + cot x + + C
sin x
sin x
2
3
du
dx
1 d (1 − 3 x )
1
1
sin 2 u
b) I = ∫ 2
=− ∫ 2
I = − − cot (1 − 3 x ) + C = cot (1 − 3x ) + C
→
sin (1 − 3x )
3 sin (1 − 3 x )
3
3
x
d
du
dx
2
x
sin 2 u
c) I = ∫
= 2 ∫ I = −2 cot + C
→
x
x
2
sin 2
sin 2
2
2
Công thức 8: ∫ e x dx = e x + C
Chứng minh:
Thật vậy, do ( e x + C )′ = e x ⇒ ∫ e x dx = e x + C
Chú ý:
+ Mở rộng với hàm số hợp u = u ( x) , ta được ∫ eu du = eu + C
1 2 x+k
2 x+ k
+C
∫ e dx = 2 e
1 ax + b
1 ax + b
ax + b
+ C
→
+ ∫ e dx = ∫ e d ( ax + b ) = e
a
a
e k − 2 x dx = − 1 e k − 2 x + C
∫
2
Ví dụ:
1
4
dx
4
1
1 d ( 3x )
−2 x +1
a) ∫ e −2 x +1 − 2 +
dx − ∫ 2 + ∫
dx = − ∫ e −2 x +1d ( −2 x + 1) − ∫ 2 + 4.2 x
dx = ∫ e
sin 3x
sin 3 x
2
3 sin 3 x
x
x
1
1
= − e −2 x +1 + cot 3x + 8 x + C
2
3
b)
∫ ( 4e
3 x+2
+ cos (1 − 3x ) ) dx = 4 ∫ e3 x + 2 dx + ∫ cos (1 − 3 x ) dx =
4 3x+2
1
∫ e d ( 3x + 2) − 3 ∫ cos (1 − 3x ) d (1 − 3x )
3
4
1
= e3 x + 2 − sin (1 − 3 x ) + C
3
3
Công thức 9: ∫ a x dx =
ax
+C
ln a
Chứng minh:
ax
′ a x ln a
ax
Thật vậy, do
+C =
= a x ⇒ ∫ a x dx =
+C
ln a
ln a
ln a
Chú ý:
+ Mở rộng với hàm số hợp u = u ( x) , ta được ∫ a u du = a u + C
+ ∫ a kx + m dx =
1 kx + m
1 kx + m
∫ a d ( kx + m ) = k a + C
k
Ví dụ:
1 3x
1
23 x
32 x
a u du
2 d ( 3x ) + ∫ 32 x d ( 2 x ) I =
→
+
+C
3∫
2
3ln 2 2ln 3
1
3
21− 2 x 3 4 x + 3
− e 4 x + 3 ) dx = ∫ 21− 2 x dx − ∫ 3e 4 x + 3 dx = − ∫ 21− 2 x d (1 − 2 x ) − ∫ e 4 x + 3 d ( 4 x + 3) = −
+ e
+C
2
4
2ln 2 4
a) I = ∫ ( 23 x + 32 x ) dx = ∫ 23 x dx + ∫ 32 x dx =
b)
∫ (2
1− 2 x
BÀI TẬP LUYỆN TẬP:
1) I1 =
∫(x
5
)
+ 2 x dx
1
2) I 2 = 7 − 3 3 x 5 dx
x
Học trực tuyến tại: www.moon.vn
∫
5
Trang 5
3) I 3 =
∫(
5
)
x 2 − 4 x3 + 2 x3 dx
Mobile: 0985.074.831
Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN – Thầy Hùng
1
2 x
4) I 4 =
− 4 x 3 + 2 dx
5
x
x
∫
7) I 7 = ∫
(
)
x −1
3
1
13) I13 = ∫ x −
dx
x
(
6) I 6 = ∫
2
dx
x
3 x 4 + 2 x3 − x 2 + 1
10) I10 = ∫
dx
x2
16) I16 = ∫
1
5) I 5 = ∫ x +
dx
x
x − 24 x
)( x − x ) dx
8) I 8 = ∫ ( 2 x − 1) dx
3
11) I11 = ∫
2
9) I 9 = ∫
x2 − x x − x
dx
x
2 x4 + 3
dx
x2
(x
∫
+ 4)
2
dx
x2
1
1
12) I12 = ∫
− 3 dx
x
x
2
1
14) I14 = ∫ x + 3 dx
x
1
17) I17 =
dx
(2 x − 3)5
2
(
2 x − 3 3x
15) I15 =
∫
18) I18 =
∫ ( x − 3)
x
x +1
4
)
2
dx
dx
x
x π
19) I19 = sin + dx
20) I 20 = sin 2 x + sin dx
3
2 7
π
x +1
2 x
22) I 22 = sin 3x + − sin
dx 23) I 23 = ∫ cos dx
4
2
2
dx
dx
26) I 26 = ∫
27) I 27 = ∫
2
2
cos 4 x
cos ( 2 x − 1)
x
21) I 21 = ∫ sin + x dx
2
x
24) I 24 = ∫ sin 2 dx
2
29) I 29 = ∫ tan 4 x dx
30) I 30 = ∫ cot 2 x dx
31) I 31 = ∫
1
35) I 35 = ∫ sin 2 x −
dx
2 − 5x
x
38) I 38 = ∫
dx
6 − 5x
3x 3 + 2 x 2 + x + 1
41) I 41 = ∫
dx
x+2
44) I 44 = e−2x +3dx
1
33) I 33 = ∫ x 2 + 2 + cot 2 x dx
x
x+2
36) I 36 = ∫
dx
x−3
x 2 + x + 11
39) I 39 = ∫
dx
x+3
4 x3 + 4 x 2 − 1
42) I 42 = ∫
dx
2x + 1
45) I 45 = ∫ cos(1 − x) + e3 x −1 dx
1
34) I 34 = ∫ x 2 +
dx
3x + 2
2x −1
37) I 37 = ∫
dx
4x + 3
2x2 − x + 5
40) I 40 = ∫
dx
x −1
4 x2 + 6x + 1
43) I 43 = ∫
dx
2x + 1
2
46) I 46 = ∫ x.e − x +1dx
2
47) I 47 = ∫ e− x + 2
dx
sin (3 x + 1)
e− x
48) I 48 = ∫ e x 2 +
dx
cos 2 x
49) I 49 = ∫ ( 21− 2 x − e 4 x + 3 ) dx
∫
∫
∫
32) I 32 = ∫
dx
1 − cos 6 x
∫
50) I 50 =
∫
1
dx
2x
51) I 51 =
∫
2x
dx
7x
28) I 28 = ∫ ( tan 2 x + 2 x ) dx
dx
sin ( 2 x + 3)
2
∫
52) I 52 = 32 x +1 dx
Download ebook, tài li u, đ thi, bài gi ng t i : o
Học trực tuyến tại: www.moon.vn
6
Trang 6
Mobile: 0985.074.831
Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN – Thầy Hùng
Tài liệu bài giảng:
01. MỞ ĐẦU VỀ NGUYÊN HÀM
Thầy Đặng Việt Hùng
1. Khái niệm nguyên hàm
• Cho hàm số f xác định trên K. Hàm số F được gọi là nguyên hàm của f trên K nếu F '( x) = f ( x) , ∀x ∈ K
• Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K thì họ nguyên hàm của f(x) là
∫ f ( x)dx = F ( x) + C , C ∈ R.
• Mọi hàm số f(x) liên tục trên K đều có ngun hàm trên K.
2. Tính chất
•
∫ f '( x)dx =
f ( x) + C
•
∫ [ f ( x) ± g ( x)]dx = ∫ f ( x)dx ± ∫ g ( x)dx
• ∫ kf ( x)dx = k ∫ f ( x)dx (k ≠ 0)
3. Bảng nguyên hàm của một số hàm số thường gặp
• ∫ 0dx = C
• ∫ a x dx =
• ∫ dx = x + C
• ∫ xα dx =
•
x
α +1
α +1
ax
+ C (0 < a ≠ 1)
ln a
• ∫ cos xdx = sin x + C
+ C,
(α ≠ −1)
• ∫ sin xdx = − cos x + C
1
∫ x dx = ln x + C
•
•
• ∫ e x dx = e x + C
∫
∫
1
cos2 x
1
sin2 x
dx = tan x + C
dx = − cot x + C
1
• ∫ cos(ax + b)dx = sin(ax + b) + C (a ≠ 0)
a
• ∫ eax + b dx =
1
• ∫ sin(ax + b)dx = − cos(ax + b) + C (a ≠ 0)
a
•
1
1 ax + b
e
+ C , (a ≠ 0)
a
1
∫ ax + bdx = a ln ax + b + C
Ví dụ 1. Chứng minh F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) biết rằng
F ( x) = (4 x − 5)e x
a)
x
f ( x) = (4 x − 1)e
F ( x) = tan 4 x + 3 x − 5
b)
5
3
f ( x) = 4 tan x + 4 tan x + 3
x2 + 4
F ( x) = ln 2
x +3
c)
−2 x
f ( x) =
( x 2 + 4)( x 2 + 3)
F ( x) = ln
d)
f ( x) = 2
Học trực tuyến tại: www.moon.vn
1
Trang 7
x2 − x 2 + 1
x2 + x 2 + 1
2( x 2 − 1)
x4 + 1
Mobile: 0985.074.831
Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN – Thầy Hùng
Ví dụ 2. Tìm các ngun hàm sau
1
1) ∫ x 2 – 3 x + dx = ..........................................................................
x
2 x4 + 3
2) ∫
dx = ..................................................................................
x2
3)
∫
x −1
dx = ...................................................................................
x2
4) ∫
( x 2 − 1)2
dx = ..............................................................................
x2
5) ∫
(
)
x + 3 x + 4 x dx = ......................................................................................
2
1
6) ∫
− 3 dx = ...............................................................................
x
x
7) ∫ 2sin 2
x
dx = .............................................................
2
8) ∫ tan 2 xdx = ............................................................................
9) ∫ cos 2 xdx = ................................................................
10) ∫
1
dx = .........................................................................................
sin x.cos 2 x
11) ∫
cos 2 x
dx = ....................................................................................................................................
sin 2 x.cos 2 x
2
12) ∫ 2sin 3 x cos 2 xdx = ............................................................................................
13) ∫ e x ( e x – 1) dx = .............................................................................
e− x
14) ∫ e x 2 +
dx =.......................................................................................
cos 2 x
2x
15) ∫ e3 x +1 +
dx = ......................................................................................................................
x −1
Ví dụ 3. Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) thoả điều kiện cho trước:
a) f ( x ) = x 3 − 4 x + 5;
c) f ( x ) =
e) f ( x ) =
3 − 5x 2
;
x
x3 − 1
x
2
;
g) f ( x ) = sin 2 x.cos x;
F (1) = 3
b) f ( x ) = 3 − 5 cos x;
F ( e) = 1
d) f ( x ) =
F (−2) = 0
f) f ( x ) = x x +
π
F ' = 0
3
h) f ( x ) =
Học trực tuyến tại: www.moon.vn
2
Trang 8
x2 + 1
;
x
F (π) = 2
F (1) =
1
;
x
3x 4 − 2 x 3 + 5
x2
3
2
F (1) = −2
; F (1) = 2
Mobile: 0985.074.831
Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN – Thầy Hùng
i) f ( x ) =
x3 + 3x 3 + 3x − 7
2
( x + 1)
;
x
π π
k) f ( x) = sin 2 ; F =
2 4
2
F (0) = 8
Ví dụ 4. Cho hàm số g(x). Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) thoả điều kiện cho trước:
a) g( x ) = x cos x + x 2 ; f ( x ) = x sin x;
π
F =3
2
b) g( x ) = x sin x + x 2 ; f ( x ) = x cos x;
F (π) = 0
c) g( x ) = x ln x + x 2 ; f ( x ) = ln x;
F (2) = −2
Ví dụ 5. Tìm điều kiện của tham số để hàm số F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x):
F ( x ) = mx 3 + (3m + 2) x 2 − 4 x + 3
a)
. Tìm m.
2
f ( x ) = 3 x + 10 x − 4
F ( x ) = ln x 2 − mx + 5
b)
. Tìm m.
2x + 3
f (x) = 2
x + 3x + 5
F ( x ) = (ax 2 + bx + c) x 2 − 4 x
c)
. Tìm a, b, c.
f ( x ) = ( x − 2) x 2 − 4 x
F ( x ) = (ax 2 + bx + c)e x
d)
. Tìm a, b, c.
x
f ( x ) = ( x − 3)e
F ( x ) = (ax 2 + bx + c)e−2 x
e)
. Tìm a, b, c.
2
−2 x
f ( x ) = −(2 x − 8x + 7)e
F ( x ) = (ax 2 + bx + c)e − x
f)
. Tìm a, b, c.
2
−x
f ( x ) = ( x − 3 x + 2)e
b
c
g) F ( x ) = (a + 1)sin x + 2 sin 2 x + 3 sin 3 x . Tìm a, b, c.
f ( x ) = cos x
F ( x ) = (ax 2 + bx + c) 2 x − 3
h)
. Tìm a, b, c.
20 x 2 − 30 x + 7
f (x) =
2x − 3
Học trực tuyến tại: www.moon.vn
3
Trang 9
Mobile: 0985.074.831
Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN – Thầy Hùng
Tài liệu tham khảo:
02. PP VI PHÂN TÌM NGUYÊN HÀM
Thầy Đặng Việt Hùng
CÁC BIỂU THỨC VI PHÂN QUAN TRỌNG
1
1
1
1. xdx = d ( x 2 ) = d ( x 2 ± a ) = − d ( a − x 2 )
2
2
2
6.
dx
= −d ( cot x ) = −d ( cot x ± a ) = d ( a − cot x )
sin 2 x
1
1
1
2. x 2 dx = d ( x 3 ) = d ( x 3 ± a ) = − d ( a − x3 )
3
3
3
7.
dx
=d
2 x
3. sin x dx = −d (cos x) = −d (cos x ± a ) = d (a − cos x)
8. e x dx = d ( e x ) = d ( e x ± a ) = −d ( a − e x )
4. cos x dx = d (sin x) = d (sin x ± a ) = −d (a − sin x)
9.
5.
dx
= d ( tan x ) = d ( tan x ± a ) = −d ( a − tan x )
cos 2 x
( x) = d(
10. dx =
( )
(
)
1
1
d ( ax + b ) = − d ( b − ax )
a
a
∫
( )
(
dx
= d ( ln x ) = d ( ln x ± a ) = −d ( a − ln x )
x
Ví dụ 1. Tìm ngun hàm của các hàm số sau:
x
a) I1 =
dx
b) I 2 = x(1 + x 2 )10 dx
1 + x2
Hướng dẫn giải:
2
x 1
1
2
2
xdx = d = d x = d x ± a
2
2 2
a) Sử dụng các công thức vi phân
du
u = d ( ln u )
∫
)
x ± a = −d a − x
(
c) I 3 = ∫
x 2 dx
x3 + 1
)
)
2
2
du
x
1 d x
1 d x +1
1
∫ u = ∫ d (ln u ) =ln u +C
dx =
=
←→ I1 = ln x 2 + 1 + C.
Ta có I1 =
2
2
2
2 1+ x
2
2
1+ x
1+ x
2
x 1
1
2
2
xdx = d = d x = d x ± a
2
2 2
b) Sử dụng các công thức vi phân
n +1
u
n
u du = d
n +1
∫
∫
∫
(
( )
∫ (
Ta có I 2 = x 1 + x 2
)
10
1
dx =
2
∫ (1 + x ) d ( x
2
10
2
)
+1
(
(1 + x )
=
2
)
11
22
2
x3 1
3
x dx = d = d x ± a
3 3
c) Sử dụng các công thức vi phân
du
2 u = d u
(
)
+ C.
)
( )
3
3
1 d ( x + 1) 2 d ( x + 1) 2 x3 + 1
Ta có I 3 = ∫
= ∫
= ∫
=
+ C.
3 2 x3 + 1
3
x3 + 1 3
x3 + 1
Ví dụ 2. Tìm ngun hàm của các hàm số sau:
dx
a) I 4 = ∫ x 1 − x 2 dx
b) I 5 = ∫
2x −1
x 2 dx
Học trực tuyến tại: www.moon.vn
1
Trang 10
c) I 6 = ∫ 5 − 2 x dx
Mobile: 0985.074.831
Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN – Thầy Hùng
Hướng dẫn giải:
2
x 1
1
2
2
xdx = d = d x = − d a − x
2
2 2
a) Sử dụng các công thức vi phân
u n +1
n
u du = d
n +1
( )
(
)
(1 − x )
2 3
1
1
1
1
Ta có I 4 = ∫ x 1 − x dx = ∫ (1 − x 2 ) 2 d ( x 2 ) = − ∫ (1 − x 2 ) 2 d (1 − x 2 ) = −
2
2
1
1
dx = a d ( ax + b ) = − a d ( b − ax )
b) Sử dụng các công thức vi phân
du = d u
2 u
2
+ C.
3
( )
du
d ( 2 x − 1) 2 u = d ( u )
dx
1 d ( 2 x − 1)
= ∫
=∫
← I 5 = 2 x − 1 + C .
→
2x −1 2
2x − 1
2 2x −1
1
1
dx = a d ( ax + b ) = − a d ( b − ax )
c) Sử dụng các công thức vi phân
n +1
u n du = d u
n +1
Ta có I 5 = ∫
3
1
(5 − 2x)
1
1
1 2 (5 − 2x )2
⇒ I 6 = ∫ 5 − 2 x dx = ∫ 5 − 2 x d ( 2 x ) = − ∫ ( 5 − 2 x ) 2 d ( 5 − 2 x ) = − .
+C = −
+ C.
2
2
2
3
3
Ví dụ 3. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
2 x3
ln 3 x
dx
a) I 7 =
dx
b) I 8 = ∫
c) I 9 = ∫
dx
5 4
(3 − 2 x)5
x
x −5
3
∫
Hướng dẫn giải:
4
3
x 1
1
4
4
x dx = d = d x ± a = − d a − x
4
4 4
a) Sử dụng các công thức vi phân
u − n +1
du
=d
un
−n + 1
x4
4
d
1
3
5 5 x4 − 5
5 x4 − 5 5
2x
4 = 1 x4 − 5 − 5 d x4 − 5 = 1 .
⇒ I7 =
dx = 2
+C =
5 4
5 4
2
4
8
x −5
x −5 2
(
∫
∫(
∫
)
(
)
(
(
)
)
(
)
)
4
+ C.
( 3 − 2 x ) + C.
dx
1
5
= − ∫ (3 − 2x ) d (3 − 2x) = −
5
(3 − 2 x)
2
12
6
b) Ta có I 8 = ∫
dx
ln 3 x
ln 4 x
= d ( ln x ) ta được I 9 = ∫
dx = ∫ ln 3 x d ( ln x ) =
+ C.
x
x
4
Ví dụ 4. Tìm ngun hàm của các hàm số sau:
3 dx
cos x
a) I10 = ∫
b) I11 =
dx
c) I12 = cos x sin x dx
2010
x
( 4 − 2x)
c) Sử dụng công thức vi phân
∫
∫
Hướng dẫn giải:
a) Ta có I10 = ∫
( 4 − 2x )
3
3 (4 − 2x)
−2010
= − ∫ ( 4 − 2x )
d (4 − 2x) = −
2
2 −2009
−2009
3 dx
2010
cos u du = d ( sin u )
b) Sử dụng các công thức vi phân dx
=d x
2 x
+C =
3
4018 ( 4 − 2 x )
2009
+ C.
( )
Học trực tuyến tại: www.moon.vn
2
Trang 11
Mobile: 0985.074.831
Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN – Thầy Hùng
( )
cos x
cos x
dx = 2
dx = 2 cos x d x = 2sin x + C.
x
2 x
cos u du = d ( sin u )
c) Sử dụng các công thức vi phân
sin x dx = −d ( cos x )
Ta có I11 =
∫
∫
∫
3
Ta có I12 =
∫
1
2
cos x sin x dx = − ( cos x ) d ( cos x ) = −
∫
2 ( cos x ) 2
3
=−
2 cos3 x
+ C.
3
Ví dụ 5. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
sin x
dx
cos5 x
Hướng dẫn giải:
sin u du = −d ( cos u )
a) Sử dụng các công thức vi phân
cos x dx = d ( sin x )
a) I13 =
∫
3
Ta có I 3 =
b) I14 = ∫
sin x cos x dx
∫
3
sin x cos x dx =
∫
1
4
3
u 3 du = d u 3
4
1
3
c) I15 = ∫ sin 4 x cos x dx
4
→
( sinx ) d ( sin x ) ← I13 =
3 ( sinx ) 3
4
+C =
3 3 sin 4 x
+C
4
( cos x ) + C = 1 + C.
sin x
d (cos x)
dx = − ∫
=−
5
5
cos x
cos x
−4
4 cos 4 x
cos x dx = d ( sin x )
c) Sử dụng các công thức vi phân n
u n +1
u du = d
n +1
−4
b) Ta có I14 = ∫
u5
u 4 du = d
5
Khi đó ta được I15 = ∫ sin x cos x dx = ∫ sin x d ( sin x ) ← I15 =
→
4
4
sin 5 x
+ C.
5
Ví dụ 6. Tìm ngun hàm của các hàm số sau:
a) I16 = ∫ tanx dx
b) I17 =
∫
sin 4 x cos 4 x dx
c) I18 = ∫
sin x dx
1 + 3cos x
Hướng dẫn giải:
sin x dx = −d (cos x)
a) Sử dụng các công thức du
∫ u = ln u + C
d ( cos x )
sin xdx
Ta có I16 = ∫ tan x dx = ∫
= −∫
= − ln cos x + C.
cos x
cos x
1
1
b) Ta có I17 = sin 4 x cos 4 x dx =
sin 4 x cos 4 x d ( 4 x ) =
sin 4 x d ( sin 4 x )
4
4
∫
∫
∫
3
2
1 2 ( sin 4 x )
sin 3 4 x
= .
+C =
+ C.
4
3
6
d ( cos x )
sin x dx
1 d ( 3cos x + 1)
1
c) Ta có I18 = ∫
= −∫
=− ∫
= − ln 1 + 3cos x + C.
1 + 3cos x
1 + 3cos x
3
1 + 3cos x
3
Ví dụ 7. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
2cos x dx
cos x dx
a) I19 = ∫
b) I 20 = ∫
c) I 21 = ∫ tan x.ln ( cos x ) dx
2
4sin x − 3
( 2 − 5sin x )
Hướng dẫn giải:
cos xdx = d (sin x)
a) Sử dụng công thức vi phân du
1
u2 = d − u
2 d ( sin x )
2cos x dx
2 d ( 2 − 5sin x )
2
⇒ I19 = ∫
=∫
=− ∫
=
+ C.
2
2
2
5 ( 2 − 5sin x )
5 ( 2 − 5sin x )
( 2 − 5sin x )
( 2 − 5sin x )
Học trực tuyến tại: www.moon.vn
3
Trang 12
Mobile: 0985.074.831
Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN – Thầy Hùng
cos xdx = d (sin x)
b) Sử dụng công thức vi phân du
2 u = d u
( )
Ta được I 20 = ∫
d ( sin x )
cos x dx
1 d ( 4sin x ) 1 d ( 4sin x − 3) 1
=∫
= ∫
= ∫
=
4sin x − 3 + C.
4sin x − 3
4sin x − 3 4
4sin x − 3 2 2 4sin x − 3 2
d ( cos x )
sin xdx
=−
= − ln cos x + C
tan xdx =
cos x
cos x
c) Sử dụng các công thức nguyên hàm cơ bản
2
u du = u + C
2
d ( cos x )
sin x
Ta có I 21 = ∫ tan x.ln ( cos x ) dx = ∫ ln ( cos x )
dx = − ∫ ln ( cos x )
= − ∫ ln ( cos x ) d ( ln cos x ) =
cos x
cos x
ln 2 (cos x)
ln 2 (cos x)
=−
+ C I 21 = −
→
+ C.
2
2
Ví dụ 8. Tìm ngun hàm của các hàm số sau:
tan x
tan 3 x
tan 2 x + 1
a) I 22 =
dx
b) I 23 =
dx
c) I 24 =
dx
2
4
cos 2 2 x
cos x
cos x
Hướng dẫn giải:
dx
cos 2 x = d ( tan x )
a) Sử dụng các công thức
2
u du = u + C
∫
2
tan x
dx
tan 2 x
tan 2 x
Ta có I 22 =
dx = tan x.
= tan x d ( tan x ) =
+ C I 22 =
→
+ C.
2
2
cos 2 x
cos 2 x
dx
cos 2 x = d ( tan x )
b) Sử dụng các công thức
1 = 1 + tan 2 x
cos 2 x
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
(
)
∫(
)
tan 3 x
1
dx
dx = tan 3 x. 2 .
= tan 3 x. 1 + tan 2 x d (tan x) = tan 5 x + tan 3 x d (tan x)
4
2
cos x
cos x cos x
6
4
tan x tan x
tan 6 x tan 4 x
=
+
+ C I 23 =
→
+
+ C.
6
4
6
4
1 d (ax) 1
dx
cos 2 ax = a cos 2 ax = a d ( tan(ax) )
c) Sử dụng các công thức
2
u du = u + C
∫
2
tan 2 x + 1
tan 2 x dx
dx
1 tan 2 x d (2 x) 1 d (2 x)
Ta có I 24 =
dx =
+
=
+
2
2
2
2 cos 2 2 x
cos 2 x
cos 2 x
cos 2 x 2
cos 2 2 x
1
1
tan 2 2 x tan 2 x
tan 2 2 x tan 2 x
=
tan 2 x d (tan 2 x) +
d (tan 2 x) =
+
+ C I 24 =
→
+
+ C.
2
2
4
2
4
2
Ví dụ 9. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
cot x
tan x
cot x
a) I 25 = ∫ 2 dx
b) I 26 = ∫
dx
c) I 27 = ∫
dx
3
π
sin x
cos x
cos x +
2
Hướng dẫn giải:
dx
sin 2 x = − d ( cot x )
a) Sử dụng các công thức
2
u du = u + C
∫
2
Ta có I 23 =
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
Học trực tuyến tại: www.moon.vn
4
Trang 13
Mobile: 0985.074.831
Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN – Thầy Hùng
cot x
dx
cot 2 x
cot 2 x
dx = cot x. 2 = − cot x d ( cot x ) = −
+ C I 25 = −
→
+ C.
2
2
sin 2 x
sin x
sin x dx = −d ( cos x )
b) Sử dụng các công thức du u − n +1
+C
∫ n =
−n + 1
u
Ta có I 25 =
∫
∫
∫
d ( cos x )
( cos x ) + C = 1 + C I = 1 + C.
tan x
sin xdx
dx = ∫
= −∫
=−
→ 26
3
4
4
cos x
cos x
cos x
−3
3cos3 x
3cos3 x
cos x dx = d ( sin x )
π
c) Sử dụng các công thức cos x + = − sin x
2
du
1
∫ 2 = − + C
u
u
cot x
cos x
cos x dx
d (sin x)
1
1
Ta có I 27 = ∫
dx = ∫
dx = − ∫
= −∫
=
+ C I 27 =
→
+ C.
2
2
π
sin x. ( − sin x )
sin x
sin x
sin x
sin x
cos x +
2
Ví dụ 10. Tìm ngun hàm của các hàm số sau:
−3
Ta có I 26 = ∫
a) I 28 =
∫
e tan x + 2 dx
cos 2 x
e 2 ln x + 3
e) I 32 = ∫
dx
x
Hướng dẫn giải:
x
3e
x
c) I 30 = ∫ x.e1− x dx
b) I 29 = ∫
dx
d) I 31 = ∫ ecos x sin x dx
2
( )
dx
=d x
a) Sử dụng các công thức 2 x
eu du = eu + C
∫
Ta có I 28 =
∫
3e
x
x
∫
dx = 3.2 e
x
dx
= 6 e xd
2 x
∫
( x ) = 6e
x
+ C I 28 = 6e
→
x
+ C.
dx
cos 2 x = d ( tan x ) = d ( tan x ± k )
b) Sử dụng các công thức
eu du = eu + C
∫
tan x + 2
e
dx
dx
Ta có I 29 = ∫
= ∫ e tan x + 2
= e tan x + 2 d ( tan x + 2 ) = e tan x + 2 + C I 29 = e tan x + 2 + C.
→
2
cos x
cos 2 x ∫
1
1
2
2
x dx = 2 d ( x ) = − 2 d (1 − x )
c) Sử dụng các công thức
eu du = eu + C
∫
2
2
2
2
2
1
1
1
Ta có I 30 = ∫ x.e1− x dx = ∫ e1− x x dx = − ∫ e1− x d (1 − x 2 ) = − e1− x + C I 30 = − e1− x + C .
→
2
2
2
sin x dx = −d ( cos x )
d) Sử dụng các công thức u
u
∫ e du = e + C
Ta có I 31 = ∫ ecos x sin x dx = − ∫ ecos x d ( cos x ) = −ecos x + C I 31 = −ecos x + C .
→
dx
= d ( ln x ) = d ( ln x ± k )
e) Sử dụng các công thức x
eu du = eu + C
∫
2 ln x + 3
e
dx
1
1
dx = ∫ e 2 ln x + 3
= ∫ e 2 ln x + 3 d ( ln x ) = ∫ e 2 ln x + 3 d ( 2ln x + 3) = e 2 ln x + 3 + C.
Ta có I 32 = ∫
x
x
2
2
Học trực tuyến tại: www.moon.vn
5
Trang 14
Mobile: 0985.074.831
Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN – Thầy Hùng
Vậy I 32 = ∫
e2 ln x + 3
1
dx = e 2 ln x + 3 + C.
x
2
BÀI TẬP LUYỆN TẬP:
x
1) I1 =
dx
1 + x2
∫
4) I 4 =
∫
cos x sin xdx
x
dx
x +5
ln 3 x
I10 = ∫
dx
x
sin x
I13 = ∫
dx
cos5 x
e tan x
I16 = ∫
dx
cos 2 x
dx
I19 = ∫
(3 − 2 x)5
7) I 7 = ∫
10)
13)
16)
2
∫
∫
2) I 2 = x(1 + x 2 )10 dx
3) I 3 =
sin x
dx
3
x
dx
4) I 8 = ∫
2x −1
6) I 6 =
5) I 5 =
∫ cos
cos x
dx
x
∫
3
sin x cos xdx
3) I 9 = ∫ 5 − 2 xdx
11) I11 = ∫ x.e x +1dx
12) I12 = ∫ sin 4 x cos xdx
14) I14 = ∫ cot x dx
15) I15 = ∫
2
17) I17 = ∫
e
x
18) I18 = ∫ x x 2 + 1 dx
dx
x
tan x
dx
cos 2 x
x 2 dx
20) I 20 = ∫ x 2 x3 + 5 dx
21) I 21 = ∫
22) I 22 = ∫ x 1 − x 2 dx
23) I 23 = ∫ cos x 1 + 4sin x dx
24) I 24 = ∫ x x 2 + 1 dx
25) I 25 = ∫ ecos x sin x dx
26) I 26 = ∫ x.e x
19)
∫
28) I 28 = x.e1− x dx
2
Học trực tuyến tại: www.moon.vn
29) I 29 =
∫ (e
2
+2
sinx
sin x dx
1 + 3cos x
e2 ln x +1
30) I 30 = ∫
dx
x
27) I 27 = ∫
dx
)
+ cos x cos x dx
6
Trang 15
x3 + 1
Mobile: 0985.074.831
Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN – Thầy Hùng
Tài liệu tham khảo:
02. PP VI PHÂN TÌM NGUYÊN HÀM
Thầy Đặng Việt Hùng
CÁC BIỂU THỨC VI PHÂN QUAN TRỌNG
1
1
1
1. xdx = d ( x 2 ) = d ( x 2 ± a ) = − d ( a − x 2 )
2
2
2
6.
dx
= −d ( cot x ) = −d ( cot x ± a ) = d ( a − cot x )
sin 2 x
1
1
1
2. x 2 dx = d ( x 3 ) = d ( x 3 ± a ) = − d ( a − x3 )
3
3
3
7.
dx
=d
2 x
3. sin x dx = −d (cos x) = −d (cos x ± a ) = d (a − cos x)
8. e x dx = d ( e x ) = d ( e x ± a ) = −d ( a − e x )
4. cos x dx = d (sin x) = d (sin x ± a ) = −d (a − sin x)
9.
5.
dx
= d ( tan x ) = d ( tan x ± a ) = −d ( a − tan x )
cos 2 x
( x) = d(
10. dx =
( )
(
)
1
1
d ( ax + b ) = − d ( b − ax )
a
a
∫
( )
(
dx
= d ( ln x ) = d ( ln x ± a ) = −d ( a − ln x )
x
Ví dụ 1. Tìm ngun hàm của các hàm số sau:
x
a) I1 =
dx
b) I 2 = x(1 + x 2 )10 dx
1 + x2
Hướng dẫn giải:
2
x 1
1
2
2
xdx = d = d x = d x ± a
2
2 2
a) Sử dụng các công thức vi phân
du
u = d ( ln u )
∫
)
x ± a = −d a − x
(
c) I 3 = ∫
x 2 dx
x3 + 1
)
)
2
2
du
x
1 d x
1 d x +1
1
∫ u = ∫ d (ln u ) =ln u +C
dx =
=
←→ I1 = ln x 2 + 1 + C.
Ta có I1 =
2
2
2
2 1+ x
2
2
1+ x
1+ x
2
x 1
1
2
2
xdx = d = d x = d x ± a
2
2 2
b) Sử dụng các công thức vi phân
n +1
u
n
u du = d
n +1
∫
∫
∫
(
( )
∫ (
Ta có I 2 = x 1 + x 2
)
10
1
dx =
2
∫ (1 + x ) d ( x
2
10
2
)
+1
(
(1 + x )
=
2
)
11
22
2
x3 1
3
x dx = d = d x ± a
3 3
c) Sử dụng các công thức vi phân
du
2 u = d u
(
)
+ C.
)
( )
3
3
1 d ( x + 1) 2 d ( x + 1) 2 x3 + 1
Ta có I 3 = ∫
= ∫
= ∫
=
+ C.
3 2 x3 + 1
3
x3 + 1 3
x3 + 1
Ví dụ 2. Tìm ngun hàm của các hàm số sau:
dx
a) I 4 = ∫ x 1 − x 2 dx
b) I 5 = ∫
2x −1
x 2 dx
Học trực tuyến tại: www.moon.vn
1
Trang 16
c) I 6 = ∫ 5 − 2 x dx
Mobile: 0985.074.831
Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN – Thầy Hùng
Hướng dẫn giải:
2
x 1
1
2
2
xdx = d = d x = − d a − x
2
2 2
a) Sử dụng các công thức vi phân
u n +1
n
u du = d
n +1
( )
(
)
(1 − x )
2 3
1
1
1
1
Ta có I 4 = ∫ x 1 − x dx = ∫ (1 − x 2 ) 2 d ( x 2 ) = − ∫ (1 − x 2 ) 2 d (1 − x 2 ) = −
2
2
1
1
dx = a d ( ax + b ) = − a d ( b − ax )
b) Sử dụng các công thức vi phân
du = d u
2 u
2
+ C.
3
( )
du
d ( 2 x − 1) 2 u = d ( u )
dx
1 d ( 2 x − 1)
= ∫
=∫
← I 5 = 2 x − 1 + C .
→
2x −1 2
2x − 1
2 2x −1
1
1
dx = a d ( ax + b ) = − a d ( b − ax )
c) Sử dụng các công thức vi phân
n +1
u n du = d u
n +1
Ta có I 5 = ∫
3
1
(5 − 2x)
1
1
1 2 (5 − 2x )2
⇒ I 6 = ∫ 5 − 2 x dx = ∫ 5 − 2 x d ( 2 x ) = − ∫ ( 5 − 2 x ) 2 d ( 5 − 2 x ) = − .
+C = −
+ C.
2
2
2
3
3
Ví dụ 3. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
2 x3
ln 3 x
dx
a) I 7 =
dx
b) I 8 = ∫
c) I 9 = ∫
dx
5 4
(3 − 2 x)5
x
x −5
3
∫
Hướng dẫn giải:
4
3
x 1
1
4
4
x dx = d = d x ± a = − d a − x
4
4 4
a) Sử dụng các công thức vi phân
u − n +1
du
=d
un
−n + 1
x4
4
d
1
3
5 5 x4 − 5
5 x4 − 5 5
2x
4 = 1 x4 − 5 − 5 d x4 − 5 = 1 .
⇒ I7 =
dx = 2
+C =
5 4
5 4
2
4
8
x −5
x −5 2
(
∫
∫(
∫
)
(
)
(
(
)
)
(
)
)
4
+ C.
( 3 − 2 x ) + C.
dx
1
5
= − ∫ (3 − 2x ) d (3 − 2x) = −
5
(3 − 2 x)
2
12
6
b) Ta có I 8 = ∫
dx
ln 3 x
ln 4 x
= d ( ln x ) ta được I 9 = ∫
dx = ∫ ln 3 x d ( ln x ) =
+ C.
x
x
4
Ví dụ 4. Tìm ngun hàm của các hàm số sau:
3 dx
cos x
a) I10 = ∫
b) I11 =
dx
c) I12 = cos x sin x dx
2010
x
( 4 − 2x)
c) Sử dụng công thức vi phân
∫
∫
Hướng dẫn giải:
a) Ta có I10 = ∫
( 4 − 2x )
3
3 (4 − 2x)
−2010
= − ∫ ( 4 − 2x )
d (4 − 2x) = −
2
2 −2009
−2009
3 dx
2010
cos u du = d ( sin u )
b) Sử dụng các công thức vi phân dx
=d x
2 x
+C =
3
4018 ( 4 − 2 x )
2009
+ C.
( )
Học trực tuyến tại: www.moon.vn
2
Trang 17
Mobile: 0985.074.831
Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN – Thầy Hùng
( )
cos x
cos x
dx = 2
dx = 2 cos x d x = 2sin x + C.
x
2 x
cos u du = d ( sin u )
c) Sử dụng các công thức vi phân
sin x dx = −d ( cos x )
Ta có I11 =
∫
∫
∫
3
Ta có I12 =
∫
1
2
cos x sin x dx = − ( cos x ) d ( cos x ) = −
∫
2 ( cos x ) 2
3
=−
2 cos3 x
+ C.
3
Ví dụ 5. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
sin x
dx
cos5 x
Hướng dẫn giải:
sin u du = −d ( cos u )
a) Sử dụng các công thức vi phân
cos x dx = d ( sin x )
a) I13 =
∫
3
Ta có I 3 =
b) I14 = ∫
sin x cos x dx
∫
3
sin x cos x dx =
∫
1
4
3
u 3 du = d u 3
4
1
3
c) I15 = ∫ sin 4 x cos x dx
4
→
( sinx ) d ( sin x ) ← I13 =
3 ( sinx ) 3
4
+C =
3 3 sin 4 x
+C
4
( cos x ) + C = 1 + C.
sin x
d (cos x)
dx = − ∫
=−
5
5
cos x
cos x
−4
4 cos 4 x
cos x dx = d ( sin x )
c) Sử dụng các công thức vi phân n
u n +1
u du = d
n +1
−4
b) Ta có I14 = ∫
u5
u 4 du = d
5
Khi đó ta được I15 = ∫ sin x cos x dx = ∫ sin x d ( sin x ) ← I15 =
→
4
4
sin 5 x
+ C.
5
Ví dụ 6. Tìm ngun hàm của các hàm số sau:
a) I16 = ∫ tanx dx
b) I17 =
∫
sin 4 x cos 4 x dx
c) I18 = ∫
sin x dx
1 + 3cos x
Hướng dẫn giải:
sin x dx = −d (cos x)
a) Sử dụng các công thức du
∫ u = ln u + C
d ( cos x )
sin xdx
Ta có I16 = ∫ tan x dx = ∫
= −∫
= − ln cos x + C.
cos x
cos x
1
1
b) Ta có I17 = sin 4 x cos 4 x dx =
sin 4 x cos 4 x d ( 4 x ) =
sin 4 x d ( sin 4 x )
4
4
∫
∫
∫
3
2
1 2 ( sin 4 x )
sin 3 4 x
= .
+C =
+ C.
4
3
6
d ( cos x )
sin x dx
1 d ( 3cos x + 1)
1
c) Ta có I18 = ∫
= −∫
=− ∫
= − ln 1 + 3cos x + C.
1 + 3cos x
1 + 3cos x
3
1 + 3cos x
3
Ví dụ 7. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
2cos x dx
cos x dx
a) I19 = ∫
b) I 20 = ∫
c) I 21 = ∫ tan x.ln ( cos x ) dx
2
4sin x − 3
( 2 − 5sin x )
Hướng dẫn giải:
cos xdx = d (sin x)
a) Sử dụng công thức vi phân du
1
u2 = d − u
2 d ( sin x )
2cos x dx
2 d ( 2 − 5sin x )
2
⇒ I19 = ∫
=∫
=− ∫
=
+ C.
2
2
2
5 ( 2 − 5sin x )
5 ( 2 − 5sin x )
( 2 − 5sin x )
( 2 − 5sin x )
Học trực tuyến tại: www.moon.vn
3
Trang 18
Mobile: 0985.074.831
Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN – Thầy Hùng
cos xdx = d (sin x)
b) Sử dụng công thức vi phân du
2 u = d u
( )
Ta được I 20 = ∫
d ( sin x )
cos x dx
1 d ( 4sin x ) 1 d ( 4sin x − 3) 1
=∫
= ∫
= ∫
=
4sin x − 3 + C.
4sin x − 3
4sin x − 3 4
4sin x − 3 2 2 4sin x − 3 2
d ( cos x )
sin xdx
=−
= − ln cos x + C
tan xdx =
cos x
cos x
c) Sử dụng các công thức nguyên hàm cơ bản
2
u du = u + C
2
d ( cos x )
sin x
Ta có I 21 = ∫ tan x.ln ( cos x ) dx = ∫ ln ( cos x )
dx = − ∫ ln ( cos x )
= − ∫ ln ( cos x ) d ( ln cos x ) =
cos x
cos x
ln 2 (cos x)
ln 2 (cos x)
=−
+ C I 21 = −
→
+ C.
2
2
Ví dụ 8. Tìm ngun hàm của các hàm số sau:
tan x
tan 3 x
tan 2 x + 1
a) I 22 =
dx
b) I 23 =
dx
c) I 24 =
dx
2
4
cos 2 2 x
cos x
cos x
Hướng dẫn giải:
dx
cos 2 x = d ( tan x )
a) Sử dụng các công thức
2
u du = u + C
∫
2
tan x
dx
tan 2 x
tan 2 x
Ta có I 22 =
dx = tan x.
= tan x d ( tan x ) =
+ C I 22 =
→
+ C.
2
2
cos 2 x
cos 2 x
dx
cos 2 x = d ( tan x )
b) Sử dụng các công thức
1 = 1 + tan 2 x
cos 2 x
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
(
)
∫(
)
tan 3 x
1
dx
dx = tan 3 x. 2 .
= tan 3 x. 1 + tan 2 x d (tan x) = tan 5 x + tan 3 x d (tan x)
4
2
cos x
cos x cos x
6
4
tan x tan x
tan 6 x tan 4 x
=
+
+ C I 23 =
→
+
+ C.
6
4
6
4
1 d (ax) 1
dx
cos 2 ax = a cos 2 ax = a d ( tan(ax) )
c) Sử dụng các công thức
2
u du = u + C
∫
2
tan 2 x + 1
tan 2 x dx
dx
1 tan 2 x d (2 x) 1 d (2 x)
Ta có I 24 =
dx =
+
=
+
2
2
2
2 cos 2 2 x
cos 2 x
cos 2 x
cos 2 x 2
cos 2 2 x
1
1
tan 2 2 x tan 2 x
tan 2 2 x tan 2 x
=
tan 2 x d (tan 2 x) +
d (tan 2 x) =
+
+ C I 24 =
→
+
+ C.
2
2
4
2
4
2
Ví dụ 9. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
cot x
tan x
cot x
a) I 25 = ∫ 2 dx
b) I 26 = ∫
dx
c) I 27 = ∫
dx
3
π
sin x
cos x
cos x +
2
Hướng dẫn giải:
dx
sin 2 x = − d ( cot x )
a) Sử dụng các công thức
2
u du = u + C
∫
2
Ta có I 23 =
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
Học trực tuyến tại: www.moon.vn
4
Trang 19
Mobile: 0985.074.831
Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN – Thầy Hùng
cot x
dx
cot 2 x
cot 2 x
dx = cot x. 2 = − cot x d ( cot x ) = −
+ C I 25 = −
→
+ C.
2
2
sin 2 x
sin x
sin x dx = −d ( cos x )
b) Sử dụng các công thức du u − n +1
+C
∫ n =
−n + 1
u
Ta có I 25 =
∫
∫
∫
d ( cos x )
( cos x ) + C = 1 + C I = 1 + C.
tan x
sin xdx
dx = ∫
= −∫
=−
→ 26
3
4
4
cos x
cos x
cos x
−3
3cos3 x
3cos3 x
cos x dx = d ( sin x )
π
c) Sử dụng các công thức cos x + = − sin x
2
du
1
∫ 2 = − + C
u
u
cot x
cos x
cos x dx
d (sin x)
1
1
Ta có I 27 = ∫
dx = ∫
dx = − ∫
= −∫
=
+ C I 27 =
→
+ C.
2
2
π
sin x. ( − sin x )
sin x
sin x
sin x
sin x
cos x +
2
Ví dụ 10. Tìm ngun hàm của các hàm số sau:
−3
Ta có I 26 = ∫
a) I 28 =
∫
e tan x + 2 dx
cos 2 x
e 2 ln x + 3
e) I 32 = ∫
dx
x
Hướng dẫn giải:
x
3e
x
c) I 30 = ∫ x.e1− x dx
b) I 29 = ∫
dx
d) I 31 = ∫ ecos x sin x dx
2
( )
dx
=d x
a) Sử dụng các công thức 2 x
eu du = eu + C
∫
Ta có I 28 =
∫
3e
x
x
∫
dx = 3.2 e
x
dx
= 6 e xd
2 x
∫
( x ) = 6e
x
+ C I 28 = 6e
→
x
+ C.
dx
cos 2 x = d ( tan x ) = d ( tan x ± k )
b) Sử dụng các công thức
eu du = eu + C
∫
tan x + 2
e
dx
dx
Ta có I 29 = ∫
= ∫ e tan x + 2
= e tan x + 2 d ( tan x + 2 ) = e tan x + 2 + C I 29 = e tan x + 2 + C.
→
2
cos x
cos 2 x ∫
1
1
2
2
x dx = 2 d ( x ) = − 2 d (1 − x )
c) Sử dụng các công thức
eu du = eu + C
∫
2
2
2
2
2
1
1
1
Ta có I 30 = ∫ x.e1− x dx = ∫ e1− x x dx = − ∫ e1− x d (1 − x 2 ) = − e1− x + C I 30 = − e1− x + C .
→
2
2
2
sin x dx = −d ( cos x )
d) Sử dụng các công thức u
u
∫ e du = e + C
Ta có I 31 = ∫ ecos x sin x dx = − ∫ ecos x d ( cos x ) = −ecos x + C I 31 = −ecos x + C .
→
dx
= d ( ln x ) = d ( ln x ± k )
e) Sử dụng các công thức x
eu du = eu + C
∫
2 ln x + 3
e
dx
1
1
dx = ∫ e 2 ln x + 3
= ∫ e 2 ln x + 3 d ( ln x ) = ∫ e 2 ln x + 3 d ( 2ln x + 3) = e 2 ln x + 3 + C.
Ta có I 32 = ∫
x
x
2
2
Học trực tuyến tại: www.moon.vn
5
Trang 20
Mobile: 0985.074.831
Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN – Thầy Hùng
Vậy I 32 = ∫
e2 ln x + 3
1
dx = e 2 ln x + 3 + C.
x
2
BÀI TẬP LUYỆN TẬP:
x
1) I1 =
dx
1 + x2
∫
4) I 4 =
∫
cos x sin xdx
x
dx
x +5
ln 3 x
I10 = ∫
dx
x
sin x
I13 = ∫
dx
cos5 x
e tan x
I16 = ∫
dx
cos 2 x
dx
I19 = ∫
(3 − 2 x)5
7) I 7 = ∫
10)
13)
16)
2
∫
∫
cos x
dx
x
2) I 2 = x(1 + x 2 )10 dx
3) I 3 =
sin x
dx
3
x
dx
4) I 8 = ∫
2x −1
6) I 6 =
11) I11 = ∫ x.e x +1dx
12) I12 = ∫ sin 4 x cos xdx
14) I14 = ∫ cot x dx
15) I15 = ∫
5) I 5 =
∫ cos
e
x
sin x cos xdx
tan x
dx
cos 2 x
18) I18 = ∫ x x 2 + 1 dx
dx
x
3
3) I 9 = ∫ 5 − 2 xdx
2
17) I17 = ∫
∫
x 2 dx
20) I 20 = ∫ x 2 x3 + 5 dx
21) I 21 = ∫
22) I 22 = ∫ x 1 − x 2 dx
23) I 23 = ∫ cos x 1 + 4sin x dx
24) I 24 = ∫ x x 2 + 1 dx
25) I 25 = ∫ ecos x sin x dx
26) I 26 = ∫ x.e x
19)
∫
28) I 28 = x.e1− x dx
2
29) I 29 =
∫ (e
2
+2
sinx
x3 + 1
sin x dx
1 + 3cos x
e2 ln x +1
30) I 30 = ∫
dx
x
27) I 27 = ∫
dx
)
+ cos x cos x dx
Download ebook, tài li u, đ thi, bài gi ng t i : o
Học trực tuyến tại: www.moon.vn
6
Trang 21
Mobile: 0985.074.831
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN – Thầy Hùng
Chun đề Nguyên hàm – Tích phân
Tài liệu bài giảng:
02. PP VI PHÂN TÌM NGUN HÀM
Thầy Đặng Việt Hùng
1. Vi phân nhóm hàm đa thức, hàm căn
• I1 = ∫ x3 (4 − 5 x 4 )dx = ....................................................................................................................................
• I 2 = ∫ 2 x 2 3 1 + 3 x3 )dx = .................................................................................................................................
xdx
• I3 = ∫
• I4 = ∫
4
3 − 2 x2
= ...........................................................................................................................................
x5
dx = ..........................................................................................................................................
1 − 5 x6
3x3
• I5 = ∫
• I6 = ∫
2 + 3x 4
dx = ......................................................................................................................................
xdx
( 2 − 3x )
2 2
= .........................................................................................................................................
• I 7 = ∫ x cos(3 − 4 x 2 )dx = ................................................................................................................................
• I 8 = ∫ x 3 sin(1 + 5 x 4 )dx = ...............................................................................................................................
• I 9 = ∫ xe −4 x
2
+5
dx = ..........................................................................................................................................
4
x
• I10 = ∫
e dx
= ................................................................................................................................................
x2
• I11 = ∫
e3 x dx
= ..............................................................................................................................................
2 x
• I12 = ∫
dx
= ...........................................................................................................................................
x+3 x
2. Vi phân nhóm hàm lượng giác
• I1 = ∫ sin x.cos3 xdx = ...................................................................................................................................
• I 2 = ∫ cos x.sin 5 xdx = ...................................................................................................................................
• I 3 = ∫ sin x. 3cos x + 2dx = .........................................................................................................................
• I 4 = ∫ cos x. 4 5 − 2 sin xdx = ..........................................................................................................................
• I5 = ∫
sin xdx
= ......................................................................................................................................
2 + 5cos x
Học trực tuyến tại: www.moon.vn
1
Trang 22
Mobile: 0985.074.831
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN – Thầy Hùng
Chun đề Ngun hàm – Tích phân
sin xdx
= ......................................................................................................................................
1 − 3cos x
• I6 = ∫
cos xdx
• I7 = ∫
(1 − 2 sin x )
= .....................................................................................................................................
2
• I8 = ∫
sin 2 xdx
= ......................................................................................................................................
7 − 2 cos 2 x
• I9 = ∫
sin 3 xdx
= .....................................................................................................................................
1 + 2 cos 3 x
• I10 = ∫
tan xdx
= ...........................................................................................................................................
3cos 2 x
• I11 = ∫
tan xdx
= ............................................................................................................................................
cos 4 x
• I12 = ∫ sin x.e3cos x − 2 dx = .................................................................................................................................
• I13 = ∫ cos 2 x.e 2 −5sin 2 x dx = .............................................................................................................................
• I14 = ∫
e2cot x −1
dx = ........................................................................................................................................
sin 2 x
• I15 = ∫
dx
= ...........................................................................................................................
sin x 4 cot x − 3
2
3. Vi phân nhóm hàm mũ, loga
• I1 = ∫
• I2 = ∫
• I3 = ∫
ex
dx = .........................................................................................................................................
2e x − 1
e3 x
1 − 5e3 x
dx = .....................................................................................................................................
e −2 x
(1 − 3e−2 x )
2
dx = ..................................................................................................................................
ln 3 x
• I4 = ∫
dx = ...........................................................................................................................................
x
• I5 = ∫
• I6 = ∫
• I7 = ∫
dx
= .....................................................................................................................................
x 1 − 5 ln x
dx
x ( 2 + 3ln x )
2
ln xdx
x 1 − 4 ln 2 x
= ..................................................................................................................................
= ...................................................................................................................................
Học trực tuyến tại: www.moon.vn
2
Trang 23
Mobile: 0985.074.831
Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN – Thầy Hùng
Tài liệu bài giảng:
03. PP ĐỔI BIẾN SỐ TÌM NGUYÊN HÀM – P1
Thầy Đặng Việt Hùng
Dạng 1. Đổi biến số cho các hàm vô tỉ
Phương pháp giải:
Nếu hàm f(x) có chứa
n
g ( x) thì đặt t = n g ( x) ⇔ t n = g ( x) n.t n −1 = g '( x)dx
→
Khi đó, I = ∫ f ( x)dx = ∫ h(t )dt , việc tính nguyên hàm ∫ h(t )dt đơn giản hơn so với việc tính ∫ f ( x)dx.
MỘT SỐ VÍ DỤ MẪU:
Ví dụ 1. Tìm ngun hàm của các hàm số sau:
xdx
a) I1 =
b) I 2 = x3 x 2 + 2 dx
4x + 1
Hướng dẫn giải:
∫
∫
2tdt = 4dx
2
a) Đặt t = 4 x + 1 ⇔ t = 4 x + 1
→
→
t 2 − 1 I1 =
x =
4
3
3
1t
1 (4 x + 1)
= −t+C =
− 4 x + 1 + C.
8 3
8
3
∫
∫
c) I 3 =
x 2 dx
1− x
t 2 − 1 tdt
.
xdx
4
2 = 1 (t 2 − 1)dt
=
t
8
4x + 1
∫
∫
b) Đặt t = x 2 + 2 ⇔ t 2 = x 2 + 2 x 2 = t 2 − 2 ⇔ 2 xdx = 2tdt x3 dx = x 2 .xdx = (t 2 − 2).tdt
→
→
(
)
(
5
)
3
x2 + 2
2 x2 + 2
t5
t3
Khi đó I 2 =
x + 2 .x dx = t. t − 2 tdt = t − 2t dt = − 2. + C =
−
+C
5
3
5
3
2
dx = −2tdt
1 − t 2 .tdt
x 2 dx
2
2
c) Đặt t = 1 − x ⇔ t = 1 − x ⇔ x = 1 − t 2
→
→
= −2
2 I 3 =
2
t
1− x
x = 1 − t
(1 − x)5 2 (1 − x)3
2
t 5 2t 3
= −2 1 − t 2 dt = −2 t 4 − 2t 2 + 1 dt = −2 −
+ t + C = −2
−
+ 1− x + C
3
5
3
5
∫
2
3
∫ (
2
)
∫(
4
2
)
(
∫(
)
Khi đó I 2 =
∫
∫(
3
)
∫
(
)
)
∫ (
)
x + 2 .x dx = t. t − 2 tdt =
2
∫
2
∫ (t
4
− 2t
2
)
(x
t5
t3
dt = − 2. + C =
5
3
2
)
5
−
5
Ví dụ 2. Tìm ngun hàm của các hàm số sau:
ln x dx
ln 2 x dx
a) I 4 =
b) I 5 =
x 1 + ln x
x 3 2 − ln x
∫
∫
+2
c) I 6 =
∫
2
(x
2
+2
3
)
3
+ C.
ln x 3 + 2ln x dx
x
Hướng dẫn giải:
(
)
ln x = t − 1
t 2 − 1 .2tdt
ln x dx
→
I 4 =
→
=
a) Đặt t = 1 + ln x ⇔ t = 1 + ln x dx
t
1 + ln x x
= 2tdt
x
(1 + ln x)3
t3
2 (1 + ln x)3
= 2 ∫ ( t 2 − 1) dt = 2 − t + C = 2
− 1 + ln x + C I 4 =
→
− 2 1 + ln x + C .
3
3
3
2
∫
2
ln x = 2 − t 3
→
I 5 =
→
b) Đặt t = 2 − ln x ⇔ t = 2 − ln x dx
2
= 3t dt
x
3
3
Học trực tuyến tại: www.moon.vn
1
Trang 24
∫
∫
(2 − t 3 ) 2 .3t 2 dt
dx
=
3
t
2 − ln x x
ln 2 x
.
∫
Mobile: 0985.074.831
Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MƠN TỐN – Thầy Hùng
3 (2 − ln x)8 4 3 (2 − ln x)5
t 8 4t 5
= 3∫ ( t 7 − 4t 4 + 4t ) dt = 3 −
+ 2t 2 + C = 3
−
+ 2 3 (2 − ln x)2 + C
5
8
5
8
t2 − 3
ln x =
2
→
c) Đặt t = 3 + 2ln x ⇔ t 2 = 3 + 2ln x
2dx
= 2tdt
x
Từ đó ta có I 6 =
∫
t2 − 3
ln x 3 + 2ln x dx
dx
1
= ln x 3 + 2ln x .
=
.t.tdt =
x
x
2
2
∫
1 t5
t5 t3
= − t3 + C = − + C =
2 5
10 2
∫
( 3 + 2 ln x )5
10
( 3 + 2ln x )3
−
2
Ví dụ 3. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
dx
e 2 x dx
a) I 7 =
b) I8 =
ex −1
ex + 1
∫
∫
(
)
∫ (t
∫x
c) I 9 =
)
− 3t 2 dt
( 3 + 2ln x )5
+ C I 6 =
→
3
4
10
( 3 + 2ln x )3
−
2
dx
d) I10 =
x +4
2
+ C.
∫x
dx
x4 + 1
Hướng dẫn giải:
e x = t 2 − 1
e x = t 2 − 1
x
2
x
→
←
→
a) Đặt t = e − 1 ⇔ t = e − 1 x
2tdt
e dx = 2tdt
dx = 2
t −1
dx
2tdt
2dt
2dt
(t + 1) − (t − 1)
dt
dt
Khi đó I 7 =
=
= 2
=
=
dt =
−
2
x
(t − 1)(t + 1)
(t − 1)(t + 1)
t −1
t +1
t.(t − 1)
t −1
e −1
∫
∫
∫
= ln t − 1 − ln t + 1 + C = ln
∫
t −1
+ C = ln
t +1
ex −1 −1
ex − 1 + 1
∫
=
∫
(t
2
)
− 1 .2tdt
t3
=2
∫
ex −1 − 1
+ C I 7 = ln
→
e x = t 2 − 1
b) Đặt t = e + 1 ⇔ t = e + 1 x
→
I8 =
→
e dx = 2tdt
2
x
∫
x
ex −1 + 1
e 2 x dx
∫
(e
x
)
+1
3
=
∫
∫
+ C.
e x .e x dx
(e
x
)
+1
3
=
∫
(t
2
)
− 1 .2tdt
t
3
t2 −1
dt
1
1
dt = 2 dt − 2 = 2 t + + C = 2 e x + 1 +
+ C.
t2
t
t
ex + 1
∫
∫
x2 = t 2 − 4
x2 = t 2 − 4
→
← dx xdx
→
c) Đặt t = x 2 + 4 ⇔ t 2 = x 2 + 4
tdt
2 xdx = 2tdt
= 2 = 2
x
t −4
x
dx
1
dx
1 tdt
dt
1 (t + 2) − (t − 2)
1 dt
dt
Khi đó, I 9 =
=
= . 2
= 2
=
dt =
−
t t −4
4 t −2
t +2
t − 4 4 (t + 2)(t − 2)
x x2 + 4
x2 + 4 x
∫
=
∫
∫
1
−
( ln t − 2 − ln t + 2 ) + C = 1 ln tt + 2 + C = 1 ln
4
4
2
4
∫
∫
x2 + 4 − 2
x2 + 4 + 2
∫
+ C I 9 =
→
1
ln
4
x2 + 4 − 2
x2 + 4 + 2
∫
+ C.
x4 = t 2 − 1
x4 = t 2 − 1
d) Đặt t = x 4 + 1 ⇔ t 2 = x 4 + 1 3
→
← dx x3 dx
→
tdt
4 x dx = 2tdt
= 4 =
x
2(t 2 − 1)
x
dx
1
dx
1 tdt
1 dt
1 (t + 1) − (t − 1)
Khi đó, I10 =
=
. = . 2
=
=
dt
2
t 2(t − 1) 2 t − 1 4 (t + 1)(t − 1)
x x4 + 1
x4 + 1 x
∫
∫
∫
∫
1 dt
dt 1
1 t −1
1
=
−
+ C = ln
= ( ln t − 1 − ln t + 1 ) + C = ln
4 t −1
t +1 4
4 t +1
4
∫
∫
∫
x4 + 1 − 1
x4 + 1 + 1
+ C.
Ví dụ 4. Tìm ngun hàm của các hàm số sau:
Học trực tuyến tại: www.moon.vn
2
Trang 25
Mobile: 0985.074.831
