chuyen de pt-bpt mu va logarit ( day du dang)

Chuyªn ®Ị PT-BPT mò vµ Loiarit ¤n tËp líp 12
Chuyªn ®Ị:  PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG
CÓ CHỨA MŨ VÀ LOGARÍT.
I. KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ HÀM SỐ MŨ
1. Các đònh nghóa:
•
n
n thua so
a a.a...a=
123

(n Z ,n 1,a R)
+
∈ ≥ ∈
•
1
a a=

a∀
•
0
a 1=

a 0∀ ≠
•
n
n
1
a
a
−

=

{ }
(n Z ,n 1,a R/ 0 )
+
∈ ≥ ∈

•
m
n
m
n
a a=
(
a 0;m,n N> ∈
)
•
m
n
m
n
m
n
1 1
a
a
a
−
= =
2. Các tính chất :

•
m n m n
a .a a
+
=
•
m
m n
n
a
a
a
−
=
•
m n n m m.n
(a ) (a ) a= =
•
n n n
(a.b) a .b=
•
n
n
n
a a
( )
b
b
=
3. Hàm số mũ: Dạng :

x
y a=
( a > 0 , a
≠
1 )
• Tập xác đònh :
D R=
• Tập giá trò :
T R
+
=
(
x
a 0 x R> ∀ ∈ )
• Tính đơn điệu:
* a > 1 :
x
y a= đồng biến trên
R
* 0 < a < 1 :
x
y a= nghòch biến trên
R

• Đồ thò hàm số mũ :
Minh họa:
GV: Ph¹m Xu©n Trung
GV: Ph¹m Xu©n Trung

1





a>1
y=a
x
y
x
1
0<a<1
y=a
x
y
x
1
Chuyªn ®Ị PT-BPT mò vµ Loiarit ¤n tËp líp 12
II. KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ HÀM SỐ LÔGARÍT
1. Đònh nghóa: Với a > 0 , a
≠
1 và N > 0

dn
M
a
log N M a N= ⇔ =

Điều kiện có nghóa :
N
a
log
có nghóa khi





>
≠
>
0
1
0
N
a
a

2. Các tính chất :
•
a
log 1 0=

a
log a 1=
•
M
a

log a M=

log N
a
a N=
•
a 1 2 a 1 a 2
log (N .N ) log N log N= +

1
a a 1 a 2
2
N
log ( ) log N log N
N
= −
•
a a
log N .log N
α
= α
Đặc biệt :
2
a a
log N 2.log N=
3. Công thức đổi cơ số :
•
a a b
log N log b.log N=
•

a
b
a
log N
log N
log b
=
* Hệ quả:
•
a
b
1
log b
log a
=
và
k a
a
1
log N log N
k
=
4. Hàm số logarít: Dạng
a
y log x=
( a > 0 , a
≠
1 )
• Tập xác đònh :
+

=D R
• Tập giá trò
=T R
• Tính đơn điệu:
* a > 1 :
a
y log x=
đồng biến trên
+
R
* 0 < a < 1 :
a
y log x=
nghòch biến trên
+
R
• Đồ thò của hàm số lôgarít:

GV: Ph¹m Xu©n Trung
GV: Ph¹m Xu©n Trung

2






0<a<1
y=log

a
x
1
x
y
O
a>1
y=log
a
x
1
y
x
O
Chuyªn ®Ị PT-BPT mò vµ Loiarit ¤n tËp líp 12
5. CÁC ĐỊNH LÝ CƠ BẢN:
1. Đònh lý 1: Với 0 < a
≠
1 thì : a
M
= a
N

⇔
M = N
2. Đònh lý 2: Với 0 < a <1 thì : a
M
< a
N

⇔
M > N (nghòch biến)
3. Đònh lý 3: Với a > 1 thì : a
M
< a
N

⇔
M < N (đồng biến )
4. Đònh lý 4: Với 0 < a
≠
1 và M > 0;N > 0 thì : log
a
M = log
a
N
⇔
M = N
5. Đònh lý 5: Với 0 < a <1 thì : log
a
M < log
a
N
⇔
M >N (nghòch biến)
6. Đònh lý 6: Với a > 1 thì : log
a
M < log
a
N

⇔
M < N (đồng biến)
III. CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ THƯỜNG SỬ DỤNG:
1. Phương pháp 1: Biến đổi phương trình về dạng cơ bản : a
M(x)
= a
N(x)
(đồng cơ số)
Ví dụ : Giải các phương trình sau :

x 10 x 5
x 10 x 15
16 0,125.8
+ +
− −
=

Bài tập rèn luyện:
a,
3
17
7
5
128.25,032
−
+
−
+
=
x

x
x
x
(x=10) b,
( ) ( )
2 2
2 4
log (2 3 5) log (3 5)
2 3 7 4 3
x x x− + +
− = +
c,
2 1
2
1
2 3 1
x
x
x x
−
+
− + =
d,
2 1
1
2
3
0,12
5
x

x
x
−
+
−
 
=
 ÷
 ÷
 
e,
( ) ( )
2 1
2
1
2 3 2 3
x
x
x
−
−
+
− = +
2. Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ chuyển về phương trình đại số
c¸c d¹ng to¸n c¬ b¶n sau:
( )
( )
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )

2 ( ) ( )
3 ( ) 2 ( ) ( )
( ) ( )
2f(x) ( ) 2 ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
1 . .
or . . . 0
2 . .
3 . . .
4 . a+b . a-b
5 . a+b . a-b .
f x f x
f x f x f x
f x f x
f x f x
f x f x
f x f x
f x
a a c
a a a c
a a c
a b c
c
c
α β
α β γ
α β
α β γ

α β
α β γ
−
+ =
+ + + =
+ =
+ =
+ =
+ =
Ví dụ : Giải các phương trình sau :
1)
2x 8 x 5
3 4.3 27 0
+ +
− + =
2)
x x x
6.9 13.6 6.4 0− + = 3)
x x
( 2 3 ) ( 2 3 ) 4− + + =
4)
322
2
2
2
=−
−+−
xxxx
5)
027.21812.48.3

=−−+
xxxx
6)
07.714.92.2
22
=+−
xxx
7,
(
)
(
)
2
5 21 5 21 10.2
x
x x
− + − =
Bài tập rèn luyện:
1)
4)32()32(
=−++
xx
(
1
±
x
)
2)
xxx
27.2188

=+
(x=0)
3)
13
250125
+
=+
xxx
(x=0)
4)
12
21025
+
=+
xxx
(x=0)
5)
x x
( 3 8 ) ( 3 8 ) 6+ + − =
(
)2
±=
x
GV: Ph¹m Xu©n Trung
GV: Ph¹m Xu©n Trung

3







víi b=a.c ta chia 2 vÕ cho c
2f(x)
råi ®Ỉt Èn phơ
víi (a+b)(a-b)=1 ta ®Ỉt Èn phơ t= (a+b)
f(x)

víi
a b a b
. 1
c c
+ −
=
ta ®Ỉt Èn phơ t= (
a b
c
+
)
f(x)

Chuyªn ®Ị PT-BPT mò vµ Loiarit ¤n tËp líp 12
6)
xxx
8.21227
=+
(x=0)
3. Phương pháp 3: Biến đổi phương trình về dạng tích số A.B = 0 ...
Ví dụ : Giải phương trình sau :

1) 8.3
x
+ 3.2
x
= 24 + 6
x
2)
0422.42
2
22
=+−−
−+
xxxxx


Bài tập rèn luyệnï:
a,
20515.33.12
1
=−+
+
xxx
(
3
5
log
3
=
x
)

b,
2 2 2
2 1 2
4 .2 3.2 2 8 12
x x x
x x x x
+
+ + = + + +
4. Phương pháp 4: Nhẩm nghiệm và sử dụng tính đơn điệu để chứng minh
nghiệm duy nhất (thường là sử dụng công cụ đạo hàm)
* Ta thường sử dụng các tính chất sau:
• Tính chất 1 : Nếu hàm số f tăng ( hoặc giảm ) trong khỏang (a;b) thì phương trình f(x) = C
có không quá một nghiệm trong khỏang (a;b). ( do đó nếu tồn tại x
0

∈
(a;b) sao cho
f(x
0
) = C thì đó là nghiệm duy nhất của phương trình f(x) = C)
• Tính chất 2 : Nếu hàm f tăng trong khỏang (a;b) và hàm g là hàm một hàm giảm trong
khỏang (a;b) thì phương trình f(x) = g(x) có nhiều nhất một nghiệm trong khỏang (a;b) . ( do
đó nếu tồn tại x
0

∈
(a;b) sao cho f(x
0
) = g(x
0

) thì đó là nghiệm duy nhất của phương trình
f(x) = g(x))
c¸c d¹ng to¸n c¬ b¶n sau:
( )
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
f(x) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
1
2 . . .
3 . a+b . a-b
4 . a+b . a-b .
5 a ( )
6
f x g x
f x f x
f x f x
f x f x
f x
x x
f g
a b
a b c
c

c
b f x
a b g f
α β γ
α β
α β γ
=
+ =
+ =
+ =
+ =
− = −

Ví dụ : Giải các phương trình sau :
1) 3
x
+ 4
x
= 5
x
2) 2
x
= 1+
x
2
3
3)
x
1
( ) 2x 1

3
= +
4; 3.25
x-2
+9(3x-10).5
x-2
+3-x=0 5;
2 2 2
log log 3 log 9
2
.3
x
x x x− =
Bài tập rèn luyện:
1)
163.32.2
−=+
xxx
(x=2) 2)
x
x
−=
32
(x=1)
3;
2 2
log 3 log 5
x x x+ =
4;
2

1 2
2 2 ( 1)
x x x
x
− −
− = −
5; 2
x
+ 3
x
= x + 4 6;
2 2
sin cos
8 8 10 cos 2
x x
y+ = +
IV. CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT THƯỜNG SỬ DỤNG:
1. Phương pháp 1: Biến đổi phương trình về dạng cơ bản :
a a
log M log N=
(đồng cơ số)
Ví dụ : Giải các phương trình sau :
1)
+ =
x
log (x 6) 3
2)
x x 1
2 1
2

log (4 4) x log (2 3)
+
+ = − −
3)
)3(log)4(log)1(log
2
1
2
2
1
2
2
xxx
−=++−
(
141;11
+−=−=
xx
)
GV: Ph¹m Xu©n Trung
GV: Ph¹m Xu©n Trung

4






víi

a b a b
. 1
c c
≠
+ −

víi (a+b).(a-b) ≠1
víi b ≠ a.c
Chuyªn ®Ị PT-BPT mò vµ Loiarit ¤n tËp líp 12
4;
2 2
2 2 2
log (x 3x 2) log (x 7x 12) 3 log 3+ + + + + = +
2. Phương pháp 2: Ph¬ng ph¸p l«garÝt ho¸
Tỉng qu¸t:
( )
( )
f(x) ( ) f(x) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
a a a
( )
a a a
1 log log ( ) ( ).log
2 b log b log log b
f x f x
f x g x f x g x
f x
a b a b
a b a b f x g x b
b

a a
a
= ⇔ = ⇔ =
 
= ⇔ = ⇔ =
 ÷
 
VÝ dơ : gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau.
a, 2
x
.3
x+1
=12 b;
2
x x-x
x = 10
c;
3
1+log x
2
x = 3 .x
d;
2x 2 x
7 5
5 7=
e;
3
x
x
x+2

.8 = 6
3. Phương pháp 3: Đặt ẩn phụ chuyển về phương trình đại số.
Ví dụ : Giải các phương trình sau :
1)
3
3
2 2
4
log x log x
3
+ =
2)
051loglog
2
3
2
3
=−++
xx
3;
x 2x 2
log 2.log 2.log 4x 0=
4;
( )
2
3 3
x 3 log (x 2) 4(x 2)log (x 2) 16+ + + + + =
5;
2 2
3x 7 2x 3

log (9 12x 4x ) log (6x 23x 21) 4
+ +
+ + + + + =
6;
2
25 5
log (5 ) 1 log 7
7 0
x
x
−
− =
3. Phương pháp 3: Biến đổi phương trình về dạng tích số A.B = 0
Ví dụ : Giải phương trình sau :

2 7 2 7
log x 2.log x 2 log x.log x+ = +
Bài tập rèn luyệnï:

)112(log.loglog.2
33
2
9
−+=
xxx
(x=1;x=4)

2 3 2 3
log x log x log x.log x+ =
4. Phương pháp 4: Nhẩm nghiệm và sử dụng tính đơn điệu để chứng minh nghiệm duy nhất.

(thường là sử dụng công cụ đạo hàm)
* Ta thường sử dụng các tính chất sau:
• Tính chất 1 : Nếu hàm số f tăng ( hoặc giảm ) trong kho¶ng (a;b) thì phương trình f(x) = C có
không quá một nghiệm trong kho¶ng (a;b). ( do đó nếu tồn tại x
0

∈
(a;b) sao cho
f(x
0
) = C thì đó là nghiệm duy nhất của phương trình f(x) = C)
• Tính chất 2 : Nếu hàm f tăng trong kho¶ng (a;b) và hàm g là hàm một hàm giảm trong
khỏang (a;b) thì phương trình f(x) = g(x) có nhiều nhất một nghiệm trong kho¶ng (a;b) .
do đó nếu tồn tại x
0

∈
(a;b) sao cho f(x
0
) = g(x
0
) thì đó là nghiệm duy nhất của phương trình f(x)
= g(x))
Ví dụ : Giải các phương trình sau :
a;
2
2 2
log (x x 6) x log (x 2) 4− − + = + +
b;
2 3

log (x 1) log (x 2)+ = +
c;
2
2
log (x x 5) 2 x+ − = −
V. CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ THƯỜNG SỬ DỤNG:
1. Phương pháp 1: Biến đổi phương trình về dạng cơ bản : a
M
< a
N
(
, ,≤ > ≥
)
Ví dụ : Giải các bất phương trình sau :
1)
2
x x 1
x 2x
1
3 ( )
3
− −
−
≥
2)
2
x 1
x 2x
1
2

2
−
−
≥
3;
( )
2 3
2
1 1
x
x x
−
+ − ≤
Bài tập rèn luyện: a;
11
3322
−+
+≤+
xxxx
(
2
≥
x
)b;
2 3
2
1
2 1
x
x

x
−
−
 
≤
 ÷
+
 

GV: Ph¹m Xu©n Trung
GV: Ph¹m Xu©n Trung

5



