đề chọn học sinh giỏi toán 11 có đáp án

Tr ờng thpt trại cau
Kì thi học sinh giỏi cấp trờng
Năm học 2009 - 2010
Môn thi : toán học lớp 11
Thời gian làm bài : 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Bài 1: Giải phơng trình sau :
a,
3
2
1
3 1 1
3
x
x x x x
x
+
+ = + +
+
b, 9sinx + 6 cosx-3sin2x + cos2x = 8
Bài 2
Cho dãy số
( )
n
u
xác định bởi
1
1
1
5 8, 1
n n
u

u u n
+
=


= +

Chứng minh dãy số
( )
n
v
với
2n n
v u
+
=
là một cấp số nhân.
Tìm số hạng tổng quát của cấp số nhân đó
Bài 3
Cho hình lập phơng ABCD.ABCD cạnh bằng a.Trên các cạnh DC,BB ta
lần lợt lấy các điểm M và N sao cho DM = BN = x với
0 x a

Chứng minh hai đờng thẳng AC và MN vuông góc với nhau.
Bài 4
Cho n là một số nguyên dơng . Chứng minh :
1 2 1
11 12
n n
+

+
chia hết cho 133
Bài 5 Tìm giới hạn sau :
( )
2
3
1 1 1
lim( )
3
3
x
x
x



Bài 6
Chứng minh với mọi số nguyên dơng n ta luôn có
1 1 1
1
1 2 3 1n n n
+ + + >
+ + +
Hết
Tr ờng thpt trại cau
Đáp án và thang điểm
đề thi học sinh giỏi cấp trờng
Năm học 2009 2010
Môn thi : toán học lớp 11
Câu Đáp án Thang

điểm
Câu 1
a, Điều kiện
1x
Bình phơng hai vế ta đợc
3
3
1
1
3
x
x x
x
+
=
+
2
2 2 0x x
=
1 3
1 3
x
x

=


= +

0,5 điểm
0,5 điểm
b, 9sinx + 6 cosx-3sin2x +cos2x = 8

(sinx - 1)(7 - 6cosx - 2sinx) = 0

2
2
x k


= +
0,5 điểm
0,5 điểm
Câu 2
Từ
2n n
v u
+
=

1 1
2 5
n n n
v u v
+ +
= + =
Vậy
n
v

là một cấp số nhân với
1
3v =
và
5q =
Số hạng tổng quát
1
3.5
n
n
v

=
0,5 điểm
0,5 điểm
Câu 3
Đặt
'AA a

=
uuuv
,
AB b

=
uuuv
,
AD c

=

uuuv
ta có
'AC a b c
= + +
uuuuvvvv
,
(1 )
x x
MN a b c
a a
= +
uuuuvvvv
Ta có
'. 0AC MN
=
uuuu uuuuv v
nên
'AC MN
0,5 điểm
0,5 điểm
0,5 điểm
0,5 điểm
Câu 4
Đặt
1 2 1
11 12
n n
n
A
+

= +
(*) Chứng minh bằng phơng
pháp quy nạp
Với n = 1 ta có
2 1
1
11 12 133 133A
= + =
M
vậy (*)
đúng
Giả xử (*) đúng với n = k
Tức là
1 2 1
11 12 133
k k
k
A
+
= +
M

Ta có
2 2 1
1
11 12 (11 133.12) 133
k k
k k
A A
+ +

+
= + = +
M
0,5 điểm
0,5 điểm
0,5 điểm
0,5 điểm
Bài 5
( )
( )
2
2
3 3 3
1 1 1 3 1 1 1
lim( ) lim . lim( )
3 3 ( 3) 3 3
3
x x x
x
x x x x x
x


= = =


0,5 điểm
0,5 điểm
Bµi 6
n =1 ta cã

1 1 1 3
1
2 3 4 1 2
+ + = >
1n k
= ≥
ta cã
1 1 1
1
1 2 3 1k k k
+ + + >
+ + +
XÐt n = k +1 ta cã
1 1 1 1 1 1

2 3 3 1 3 2 3 3 3 4k k k k k k
+ + + + + +
+ + + + + +
1 1 1 1 2

1 2 3 3 1 3( 1)(3 2)(3 4)
1 1
1
1 3 1
k k k k k k k
k k
+ + + + +
+ + + + + + +
> + + >
+ +

0,5 ®iÓm
0,5 ®iÓm
0,5 ®iÓm
0,5 ®iÓm
…………………HÕt……………………