nghiên cứu phương pháp sàng trường số ứng dụng trong phân tích mã

1


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
BỘ QUỐC PHÒNG
VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ QUÂN SỰ





ĐINH QUỐC TIẾN



NGHIÊN CỨU PHƯƠNG PHÁP SÀNG TRƯỜNG SỐ
ỨNG DỤNG TRONG PHÂN TÍCH MÃ


Chuyên ngành:
Cơ sở toán học cho tin học
Mã số:
62 46 01 10



TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

HÀ NỘI – 2014
2


















Công trình được hoàn thành tại:
VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ QUÂN SỰ
BỘ QUỐC PHÒNG

Người hướng dẫn khoa học:
1. TS. Lều Đức Tân
2. TS. Phạm Việt Trung

Phản biện 1: PGS.TS Hoàng Văn Tảo
Ban Cơ yếu Chính Phủ.
Phản biện 2: PGS.TS Nguyễn Duy Bảo
Học viện Kỹ thuật Quân sự.
Phản biện 3: TS Thái Danh Hậu
Viện Khoa học và Công nghệ quân sự.

Luận án sẽ được bảo vệ trước Hội đồng chấm luận án cấp
Viện họp tại Viện Khoa học và Công nghệ quân sự vào hồi
… ngày … tháng … năm 2014.





Có thể tìm hiểu luận án tại thư viện:
- Thư viện Viện Khoa học và Công nghệ quân sự
- Thư viện Quốc gia Việt nam





1


MỞ ĐẦU

1. Tình hình nghiên cứu trong và ngoài nước

Mật mã khóa công khai là một phần quan trọng trong các mạng
truyền thông hiện đại. Hệ mật khóa công khai RSA có độ an toàn dựa
vào tính khó giải của bài toán phân tích số trong trường hợp số modulo N
chỉ có hai ước nguyên tố lớn xấp xỉ nhau. Với các hợp số N lớn hơn 120
chữ số thập phân thì sàng trường số là lựa chọn tối ưu, vì nó là phương
pháp phân tích số nguyên lớn nhanh nhất hiện nay.
Tại Việt Nam, hệ mật khóa công khai RSA được ứng dụng khá
rộng rãi cả trong lĩnh vực kinh tế xã hội và an ninh quốc phòng. Trong
Ban Cơ yếu Chính phủ cũng đã có nhiều đề tài nghiên cứu về vấn đề
này, tuy nhiên vẫn chưa có những nghiên cứu sâu nhằm cải tiến phương
pháp sàng trường số ứng dụng phân tích đánh giá hệ mật RSA.
2. Tính cấp thiết
Hiện nay ngành Cơ yếu Việt Nam đang rất cần những nghiên
cứu về vấn cải tiến phương pháp sàng trường số nhằm:
 Phân tích đánh giá các hệ mật dựa vào bài toán phân tích số và
tính logarit rời rạc.
 Góp phần vào việc nghiên cứu xây dựng tiêu chuẩn cho hệ mật
khóa công khai RSA.
Xuất phát từ thực tế đó, NCS chọn đề tài “Nghiên cứu phương
pháp sàng trường số ứng dụng trong phân tích mã”.
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
 Đối tượng nghiên cứu của Luận án:
- Hệ mật khóa công khai RSA và độ an toàn của nó.
- Phương pháp sàng trường số phân tích số nguyên lớn.
2


- Chọn đa thức sàng cho phương pháp sàng trường số.
- Cải tiến các thuật toán sàng cho phương pháp sàng trường
số.

 Phạm vi nghiên cứu của Luận án:
- Nghiên cứu cơ sở lý thuyết và xây dựng các thuật toán chọn
đa thức sàng cho phương pháp sàng trường số.
- Nghiên cứu và cải tiến các thuật toán sàng áp dụng cho
phương pháp sàng trường số.
4. Mục tiêu nghiên cứu
 Nghiên cứu cở lý thuyết và xây dựng các thuật toán chọn cặp đa
thức sàng cho phương pháp sàng trường số.
 Nghiên cứu cải tiến và đánh giá hiệu quả của các thuật toán sàng
áp dụng cho phương pháp sàng trường số.
5. Phương pháp nghiên cứu
 Dựa trên cơ sở lý thuyết của phương pháp sàng trường số.
 Dựa trên cơ sở lý thuyết của các thuật toán chọn đa thức sàng và
các thuật toán sàng.
 Dựa trên phương pháp tích hợp, công nghệ lập trình song song.
6. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn
 Ý nghĩa khoa học: Góp phần vào việc phân tích đánh giá và xây
dựng tiêu chuẩn cho hệ mật khóa công khai RSA.
 Ý nghĩa thực tiễn: Đáp ứng nhu cầu đảm bảo an toàn mật mã
trong các lĩnh vực kinh tế xã hội và an ninh quốc phòng.
7. Bố cục của luận án
Luận án gồm 03 chương cùng với các phần mở đầu, kết luận,
danh mục các công trình, bài báo khoa học đã được công bố của tác giả
và 02 phần phụ lục.
3


CHƯƠNG 1
TỔNG QUAN VỀ HỆ MẬT RSA VÀ BÀI TOÁN PHÂN TÍCH SỐ

1.1. Hệ mật mã khóa công khai RSA
1.1.1. Thiết lập tham số khóa RSA
Hệ mật khoá công khai RSA sử dụng cặp khoá công khai (N, e),
bí mật (N, d), chúng được sinh trước theo thuật toán sinh khoá RSA.
1.1.2. Hệ mật khóa công khai RSA
Khoá công khai (N, e) được sử dụng làm khoá mã (Thuật toán
1), và khoá bí mật (N, d) được sử dụng làm khoá giải mã (Thuật toán 2).
1.1.3. Hệ chữ ký số RSA
Khoá bí mật (N, d) được sử dụng làm khoá sinh chữ ký (Thuật
toán 3), và khoá công khai (N, e) được sử dụng làm khoá kiểm tra chữ ký
(Thuật toán 4).
1.1.4. An toàn của hệ mật RSA và phân tích số thách đố RSA
Hệ mật khóa công khai RSA có thể bị “phá vỡ” hoàn toàn nếu có
thể phân tích được số modulo N. Độ phức tạp tính toán của NFS là
1/3
[1/3,(64/9) ]
N
L
. Các tính chất của của tiểu hàm mũ này được nghiên
cứu trong [2].
1.2. Phương pháp sàng trường số
1.2.1. Xây dng các hiệu bnh phương
Phương pháp sàng trường số NFS cần phải tìm một tập U các
cặp (a, b) sao cho:
2
( , )
()
a b U
ab





,
2
( , )
()
a b U
a bm y



,
với
 


và
y
. Sau đó, áp dụng kết quả đối với vành các số
nguyên đại số:
4


2 2 2
( , ) ( , )
( ) ( ) ( ) ( )
a b U a b U
x a b a b
       




     





2
( , )
( ) (mod )
a b U
a bm y N

  


Khi đó, ta nhận được ước của N bằng cách tìm gcd(N, x±y).

1.2.2. Tính trơn và các cơ s phân tích
Để tìm tập U ở trên, cần phải xây dựng các cơ sở phân tích, sau
đó xét tính trơn trong các cơ sở phân tích đó. Cơ sở phân tích hữu t
RFB bao gồm các số nguyên tố nhỏ hơn một ngưỡng B nào đó. Cơ sở
phân tích đại số AFB gồm hữu hạn các iđêan nguyên tố bậc nhất của
 

. Cơ sở đặc trưng bậc hai QCB gồm các iđêan nguyên tố bậc nhất
tương ứng với các cặp (s, q) thỏa mãn
'( ) 0 (mod )f s q


.
1.2.3. Tm số chính phương đại số
Phương pháp NFS dựa vào việc tìm các số chính phương trong
và
 

, nên sẽ cần phải tìm tập U các cặp quan hệ (a, b) trơn trong
các cơ sở phân tích hữu t RFB, cơ sở phân tích đại số AFB, và cơ sở đặc
trưng bậc hai QCB.
1.2.4. Chọn đa thức sàng
1.2.4.1. Bài toán chọn đa thức sàng
Bài toán. (Chọn đa thức sàng của Montgomery). Tìm các đa thức sàng
bậc d>2 sao cho hệ số của chúng bằng O(N
1/2d
).
1.2.4.2. Phương pháp chọn đa thức sàng tuyến tính
Phương pháp base-m
Cho


1/( 1) 1/
dd
N m N
và

  

0
(0 )

d
i
ii
i
N a m a m
là biểu
diễn theo cơ số m của N. Thì khi đó
   


     
1
10
,
dd
dd
f x a x a x a g x x m

là hai đa thức sàng có nghiệm chung m (mod N).
5


Phương pháp của Murphy
Để đánh giá tính chất nghiệm của đa thức f, Murphy định nghĩa
hàm
 
 






log
1
1
p
pB
p
fq
p
với B là cận trơn cho trước và q
p
là số
nghiệm của
   
 0 mod
f x p
. Nếu
 
f

càng nhỏ thì đa thức
 
fx

càng tốt cho phương pháp NFS.
Phương pháp của Kleinjung
Kleinjung đề xuất một cải tiến cho phương pháp của Murphy đối
với đa thức không monic g: chọn một số nguyên dương a
d

có nhiều ước
nguyên tố nhỏ và thỏa mãn
 
 mod
d
d
a x N p
với p nguyên tố.
1.2.4.2. Phương pháp chọn đa thức sàng phi tuyến
Phương pháp của Montgomery
Montgomery đã giải quyết bài toán chọn đa thức sàng với trường
hợp d = 2, tìm được các cặp đa thức sàng có hệ số cỡ O(N
1/4
).
Phương pháp của Prest và Zimmermann
Prest và Zimmermann chọn các đa thức lệch bậc d tùy ý, nếu
chọn độ lệch


2
2
( 2)
()
d d d
s O N
thì các đa thức có hệ số trung bình cỡ


2
2

22
( 2)
()
dd
d d d
ON
. Koo và cộng sự đã tổng quát hóa các phương pháp xây
dựng cấp số nhân mod N độ dài d+1 để chọn đa thức bậc bất kỳ có các
hệ số cỡ

2
( 1)/
()
dd
ON
.
1.2.5. Sàng tm quan hệ
Chọn các cặp số nguyên (a, b) có các tính chất sau:
 gcd(a, b)=1.
 Chuẩn hữu t
 

a bm
= a+bm là trơn trên RFB.
 Chuẩn đại số
 


ab
= (-b)

deg(
f
)
f(-a/b) là trơn trên AFB.
6


1.3. Kết luận chương 1
Để làm nền tảng cơ sở cho các nội dung nghiên cứu tiếp theo,
chương này của luận án đã trình bày tổng quan về các kết quả nghiên
cứu đã được công bố có liên quan đến nội dung cần giải quyết của luận
án. Cụ thể:
 Giới thiệu về hệ mật khóa công khai RSA và độ an toàn của nó
dựa vào việc giải bài toán phân tích số nguyên lớn; để thấy được
sự cần thiết phải có những nghiên cứu về phương pháp phân tích
số nguyên lớn nhanh nhất hiện nay, đó là phương pháp sàng
trường số.
 Tìm hiểu cơ sở lý thuyết của phương pháp sàng trường số, từ đó
làm nền tảng để phát triển về lý thuyết, đánh giá và cài đặt thực
hành phương pháp này.
 Trên cơ sở tìm hiểu về bài toán chọn đa thức sàng của
Montgomery và các phương pháp chọn đa thức sàng áp dụng
cho phương pháp sàng trường số. Để từ đó làm tiền đề nghiên
cứu phát triển thuật toán chọn cặp đa thức sàng bậc hai; xây
dựng phương pháp và thuật toán chọn cặp đa thức sàng phi tuyến
bậc ba; và đưa ra các thuật toán chọn cặp đa thức sàng bậc tổng
quát cho phương pháp sàng trường số được trình bày trong
Chương 2.
 Trình bày chi tiết phương pháp sàng tìm quan hệ cho phương
pháp sàng trường số. Từ đó có những cải tiến cài đặt thực hành

cho phương pháp sàng trường số để phân tích thành công hợp số
RSA; và đánh giá hiệu quả về mặt lý thuyết và thực hành của các
thuật toán sàng áp dụng cho phương pháp sàng trường số được
giải quyết trong Chương 3.
7


CHƯƠNG 2
CHỌN CẶP ĐA THỨC SÀNG CHO PHƯƠNG PHÁP
SÀNG TRƯỜNG SỐ

2.1. Chọn cặp đa thức sàng bậc hai
2.1.1. Thuật toán sinh các cặp đa thức sàng bậc hai
Sử dụng thuật toán của Montgomery (Thuật toán 5) để sinh các
cặp đa thức sàng bậc hai với các hệ số cỡ O(N
1/4
).
2.1.2. Chọn cặp đa thức sàng bậc hai và tâm sàng
Giả sử cặp đa thức sàng bậc hai f
1
(x) và f
2
(x) có 2 nghiệm tương
ứng là x
11
, x
12
, x
21
, x

22
. Ta ký hiệu giá trị ρ(f
1
, f
2
) = min{|x
1i
-x
2j
|} là
khoảng cách nhỏ nhất giữa các cặp nghiệm của 2 đa thức. Ta ký hiệu:
12
12
0 min{| |}
|
2
ij
ij
xx
xx
x




là tâm sàng của cặp đa thức sàng bậc hai f
1
(x) và f
2
(x).

Thực nghiệm 2.1. So sánh số quan hệ trung bình khi tâm miền sàng trục
x tại điểm 0 và tại điểm x
0
của các cặp đa thức sàng loại 1 (cặp đa thức
sàng đồng thời có 2 nghiệm) và loại 2 (cặp đa thức sàng còn lại). Đối với
các cặp đa thức loại 1 còn so sánh số quan hệ trung bình của các cặp đa
thức sàng có giá trị ρ(f
1
, f
2
) nhỏ (đa thức loại 1a) và lớn (đa thức loại 1b).
Bảng 2.1: Kết quả thực nghiệm 1.

Đa thức
loại 2
Đa thức
loại 1a
Đa thức
loại 1b
Số quan hệ trung bình với tâm
min sàng trục x tại đim 0
153
255
234
Số quan hệ trung bình với tâm
min sàng trục x tại đim x
0

-
836

657
Khng đnh 2.1. Cặp đa thức sàng bậc hai đồng thời có hai nghiệm f
1
, f
2

được gọi là tốt hơn cho NFS nếu có giá trị ρ(f
1
, f
2
) nhỏ hơn. Khi đó, việc
8


chọn tâm điểm sàng trục x tại x
0
là trung điểm của 2 nghiệm có ρ(f
1
, f
2
)
nhỏ nhất sẽ tốt hơn là tâm sàng tại điểm 0.
Theo quan điểm của Murphy thì cặp đa thức sàng f
1
, f
2
được gọi
là tốt hơn cho NFS nếu có giá trị

(f

1
, f
2
) =

(f
1
) +

(f
2
) nhỏ hơn.
Thực nghiệm 2.2. So sánh số quan hệ khi tâm miền sàng trục x tại điểm
0 và tại điểm x
0
của các cặp đa thức có ρ
max
, ρ
min
,

max
,

min
.
Bảng 2.2: Kết quả thực nghiệm 2.

ρ
max

ρ
min


max


min

Số quan hệ TB với tâm
min sàng trục x tại đim 0
0
408
84
823
Số quan hệ TB với tâm
min sàng trục x tại đim x
0

230
910
245
1263
Nhận xt 2.2. Cặp đa thức sàng có ρ
min
không tốt bằng cặp đa thức sàng
có

min

mặc dù cặp đa thức này có giá trị ρ lớn hơn.
Thuật toán 6: Thuật toán chọn cặp đa thức sàng bậc hai theo

min
và
tâm sàng.
Input: hợp số N.
Output: cặp đa thức sàng bậc hai f
i
(x) và tâm sàng.
Bước 1: Sinh tập các cặp đa thức sàng bậc hai theo phương pháp
Montgomery.
Bước 2: Chọn ra tập T các cặp đa thức sàng bậc hai đồng thời có 2
nghiệm.
Bước 3: Tìm

min
và tâm sàng x
0
của cặp đa thức sàng trong tập T.
Với mi cặp đa thức sàng ta ký hiệu:

(f
1
, f
2
) =
 
 
''

1 2 1 1 2 2
min ( ) (
i j i j
x x f x f x  

Theo định nghĩa về đạo hàm thì sự biến thiên tại điểm sàng x
s

của 2 đa thức sàng ta nhận được:
9



(f
1
, f
2
)
 
 
12
min ( ) (
ss
f x f x

Thực nghiệm 2.3. So sánh số quan hệ trung bình của các cặp đa thức
sàng bậc hai có 2 nghiệm tại tâm sàng x
0
theo


.
Bảng 2.3: Kết quả thực nghiệm 3.
Giá tr


lớn nhất

max
Giá tr


na cao

H
Giá tr


na thấp

L
Giá tr


nh nhất

min
67
426
889
1183

Khng đnh 2.2. Cặp đa thức sàng bậc hai đồng thời có hai nghiệm f
1
, f
2
được gọi là tốt hơn cho NFS nếu có giá trị

(f
1
, f
2
) nhỏ hơn.
Thuật toán 7: Thuật toán chọn cặp đa thức sàng bậc hai theo

min
và
tâm sàng.
Input: hợp số N.
Output: cặp đa thức sàng bậc hai f
i
(x).
Bước 1: Sinh tập các cặp đa thức sàng bậc hai theo phương pháp
Montgomery.
Bước 2: Chọn ra tập T các cặp đa thức sàng bậc hai đồng thời có 2
nghiệm.
Bước 3: Tìm

min
và tâm điểm sàng tối ưu x
0
tương ứng trong tập T.

2.1.3. Một số nhận xét
Kết quả của các thực nghiệm trên đã đưa ra được 2 thuật toán
lựa chọn cặp đa thức sàng bậc hai và tâm sàng của chúng cho NFS.
Trong đó, khi phân tích số nguyên lớn thì Thuật toán 7 sẽ nhanh hơn
đáng kể so với Thuật toán 6 mà vẫn đảm bảo chọn ra được cặp đa thức
sàng tốt gần tương đương. Kết quả này thực sự quan trọng khi thực hiện
việc chọn cặp đa thức sàng để phân tích các số nguyên lớn.
10


2.2. Chọn cặp đa thức sàng bậc ba
2.2.1. Xây dng cơ s lý thuyết chọn cặp đa thức sàng bậc ba
2.2.1.1 Một số khái niệm
Khái niệm về không gian Euclid trên
ℝ
m
.
Định nghĩa về tích có hướng của 3 véc tơ trong
ℝ
4
.
Đnh nghĩa 2.1. (tích có hướng của 3 véc tơ) Cho 3 véc tơ

=
 
0 1 2 3
, , ,a a a a
,

=

 
0 1 2 3
, , ,b b b b
và

=
 
0 1 2 3
, , ,c c c c
. Ta gọi tích có
hướng của chúng là véc tơ, ký hiệu là
  

, được xác định bởi công
thức sau
  

=
1 2 3 0 2 3 0 1 3 0 1 2
1 2 3 0 2 3 0 1 3 0 1 2
1 2 3 0 2 3 0 1 3 0 1 2
a a a a a a a a a a a a
b b b , b b b , b b b , b b b
c c c c c c c c c c c c







.
Từ định nghĩa trên ta xây dựng các tính chất cơ bản sau.
2.2.1.2 Các tính chất cơ bản
Tính chất 2.1. Nếu

=





thì



,



và



.
Tính chất 2.2. Tích có hướng của 3 véc tơ là tuyến tính với mỗi véc tơ
của tích, chẳng hạn với
,kh
thì
(k


+h

’)

= k(

) + h(

’

).
Tính chất 2.3.
1) Đổi thứ tự hai véc tơ cạnh nhau thì tích có hướng của 3 véc tơ
đổi dấu, chẳng hạn

=

(

).
2) Nếu tích có hướng của 3 véc tơ trong đó có hai véc tơ giống
nhau thì nhận được véc tơ không.
Từ các tính chất trên ta thu được bổ đề quan trọng dưới đây.
11


Bổ đề 2.1. Giả sử
1 2 3
1 2 3
1 2 3

' ' '
' ' '
' ' '
u u u
v v v
w w w
   
   
   
  


  


  

, với
,,
i i i
u v w 
, i = 1, 2,
3 ta có:
 
det( A) ' ' '
     
    

trong đó A =
1 2 3

1 2 3
1 2 3
u u u
v v v
w w w





.
Định lý 2.1 dưới đây đưa ra một điều kiện cần và đủ để tích có
hướng của 3 véc tơ

=

trên không gian
ℤ
4
.
Định lý 2.1. Cho 4 véc tơ khác véc tơ không

,

,

và


ℤ

4
, ta có:

=

khi và chỉ khi span(

,

,

) = {

}

.
Định lý 2.2 dưới đây đưa ra công thức cho phép xác định chuẩn
của véc tơ tích có hướng của 3 véc tơ trên không gian
ℤ
4
.
Định lý 2.2. Ký hiệu A, B, C là các góc giữa

và

, giữa

và

, giữa



và

thì
  

=
222
12cos AcosBcosC cos A cos B cos C
  
   
.
Tuy nhiên, việc xác định chuẩn theo công thức trong Định lý 2.2
là rất phức tạp. Hệ quả 2.1 dưới đây cho phép ta xác định cận dưới của
chuẩn tích có hướng của 3 véc tơ trên
ℤ
4
áp dụng cho một số trường hợp
góc A, B, C đặc biệt.
Hệ quả 2.1. Nếu các góc A, B, C


2
33
,





và số các góc tù là chẵn thì
  




1
2
  
.
2.2.2. Thuật toán chọn cặp đa thức sàng bậc ba
Thuật toán 8: Thuật toán chọn cặp đa thức sàng bậc ba.
Input: hợp số N.
12


Output: cặp đa thức sàng bậc ba f
i
(x) có các hệ số cỡ
2/9
()ON
.
Bước 1: Tìm


4
có tọa độ là cấp số nhân theo modulo N.
Bước 2: Tìm cơ sở ban đầu {

’,


’,

’} của lưới L = {

}

.
Bước 3: Rút gọn cơ sở ban đầu để được cơ sở “nhỏ nhất” {

,

,

}.
Bước 4: Tìm các đa thức có hệ số nhỏ tương ứng với véc tơ tổ hợp
tuyến tính của

,

,

.
2.2.2.1. Tìm




4
có tọa độ là cấp số nhân theo modulo N.

Chọn số nguyên tố p = O(N
1/3
) sao cho p = 3r +1 và
r
N
 1
(mod p), a =
3
bN
p

và b = O(N
1/3
). Ta tìm được

= (a,b
2
,bp,p
2
), thỏa
mãn ||

|| = O(N
2/3
).
2.2.2.2. Tìm cơ sở ban đầu cho L = {

}

.

Theo định lý 2.1 ta tìm cơ sở của L là tìm 3 véc tơ

,

,

thỏa
mãn





=

như sau:

= (-b
2
, a, 0, 0).

= (t, -s, 1, 0), với s ≡
p
b
(mod a) và t =
2
b s bp
a

.


= (v, -u, 0, 1), với u ≡ s
2
(mod a) và v =
22
b u p
a

.
2.2.2.3. Thuật toán rút gọn cơ sở lưới.
Thuật toán 9: Thuật toán rút gọn cơ s lưới.
Input: {

’,

’,

’} là 3 véc tơ độc lập tuyến tính trong ℤ
4
.
Output: {

,

,

} thoả mãn các điều kiện sau:
  

=

' ' '
  


||

||×||

||×||

|| < 2
  

.
1.[Initiliatian]
{

,

,

} = {

’,

’,

’}; Continue = 1;
2.[Loop]
13

While (Continue = 1) {
Continue = 0;
InOrder{

,

,

}; //sắp xếp giảm dần
q 
,
,






;
if (q>0) {



q

; Continue = 1;}
else {
q 

,
,






;
if (q>0) {



q

; Continue = 1;}
q 
,
,






;
if (q>0) {




q

; Continue = 1; }
}
Return {

,

,

}.

Nhận xt 2.3. Vòng lặp 2 sẽ dừng chỉ khi tất cả các giá trị q tính được
trong đó đều bằng 0 và cũng giống như thuật toán của Montgomegy ta có
tất cả các góc giữa các cặp véc tơ đầu ra đều nằm trong đoạn
2
33
,




.
Hệ quả 2.1 của định lý 2.2 cho phép đánh giá trong trường hợp số góc tù
chẵn là:
  


2


= O(N
2/3
).
Khi các véc tơ tại đầu ra có chuẩn xấp xỉ nhau ta có chuẩn của
các véc tơ này cỡ O(N
2/9
), tức là:
2/9
()ON
  
  
.
2.2.2.4. Chọn cặp đa thức sàng
Giả sử cơ sở rút gọn của {

}

là

= (a
0
, a
1
, a
2
, a
3
),

= (b

0
, b
1
,
b
2
, b
3
) và

=(c
0
, c
1
, c
2
, c
3
). Ký hiệu
14


23
0 1 2 3
A( x) a a x a x a x   
.
23
0 1 2 3
B( x) b b x b x b x   
.

23
0 1 2 3
C( x) c c x c x c x   
.
Lấy một ngưỡng K nào đó ta tìm tất cả các đa thức bất khả quy
trên ℤ trong tập
{uA(x) + vB(x) + wC(x): -Ku, v, wK}
Cuối cùng so sánh để chọn ra cặp đa thức sàng có các hệ số nhỏ.
Do các đa thức A(x), B(x), và C(x) có các hệ số cỡ O(N
2/9
), nên các hệ số
của đa thức f(x) cũng có độ lớn cỡ O(N
2/9
).

2.2.3. Một số nhận xét
Dựa vào cơ sở lý thuyết mới xây dựng cho phép ta chọn được
cặp đa thức sàng bậc ba các hệ số cỡ O(N
2/9
) cho phương pháp sàng
trường số.
Trong khi đó, phương pháp của Prest và Zimmermann tạo ra cặp
đa thức sàng bậc 3 với các hệ số trung bình cỡ O(N
5/24
), do xét đến điều
kiện về độ lệch của các đa thức sàng.
Thuật toán 8 có thể sinh ra được rất nhiều cặp đa thức sàng phi
tuyến bậc 3 cho NFS, tùy thuộc vào cách chọn K. Nhưng không phải tất
cả các cặp đa thức sàng đó đều tốt cho phương pháp NFS nên có thể cần
phải xét thêm hàm

 
f

của Murphy.

2.3. Chọn cặp đa thức sàng bậc tổng quát
2.3.1. Chọn cặp đa thức sàng da vào cấp số nhân
2.3.1.1 Một số khái niệm cơ bản
 Rút gọn lưới và chuẩn của véc tơ.
 Kết quả đã biết về tích chập.
15


2.3.1.2 Chọn cặp đa thức dựa vào cấp số nhân
Mệnh đ 2.1. Cho trước số nguyên N và cấp số nhân
01
, , ,
d
c c c
có d+1
số hạng công bội m và thỏa mãn
0
(mod )
i
i
c c m N
, thì có thể sinh ra d
đa thức bậc tối đa d có nghiệm chung m modulo N có hệ số cỡ
1/d
c

với
max| |
i
cc
.
2.3.2. Xây dng thuật toán chọn cặp đa thức sàng bậc tổng quát
2.3.2.1 Chọn cấp số nhân
Hệ quả 2.2. Cho trước số nguyên N và cấp số nhân
1, , ,
d
m m N

modulo N có công bội
1/d
mN
, thỏa mãn rằng
( 1)/
()
d d d
m N O N


,
thì có thể sinh ra cặp đa thức bậc d có nghiệm chung m modulo N với
các hệ số cỡ
2
( 1)/
()
dd
ON


và tích chập cỡ
2( 1)/
()
dd
ON

.
Xây dựng ma trận có dạng như sau:
1 2 1
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
dd
L
c c c c















Ta chứng minh được rằng sau khi thực hiện thuật toán LLL đối
với ma trận L sẽ tìm ra tối thiểu 2 véc tơ ngắn có hệ số cỡ
2
( 1)/
()
dd
ON

.
2.3.2.2 Thuật toán chọn cặp đa thức sàng bậc tổng quát
Từ Hệ quả 2.2, cho ta thuật toán sinh đa thức sàng phi tuyến bậc
d như sau.
Thuật toán 10: Thuật toán sinh cặp đa thức sàng phi tuyến bậc d.
Input: Số nguyên cần phân tích N, bậc d.
Output: Cặp đa thức sàng f
1
và f
2
bậc d có nghiệm chung m modulo N.
16


(1). Tính
1/d
mN




.
(2). Tạo cấp số nhân
1, , ,
d
m m N
.
(3). Sử dụng thuật toán LLL đối với ma trận L để tìm các véc tơ ngắn
1
( , , )
d
bb
.
(4). Biểu diễn
,0 ,
( , , )
t
i i i d
aab
và tính
,0 ,
1
mod
d
j
i i j
j
a a m N




, với
i = 1, 2.
(5). Trả về cặp đa thức
,
0
d
j
i i j
j
f a x



và nghiệm chung m mod N.
Về mặt thực hành, việc thực hiện bước kiểm tra các hệ số đầu và
hệ số cuối có ước nguyên tố nhỏ trước khi áp dụng
()
i
F

và phép xoay
đa thức của Murphy sẽ loại bỏ được rất nhiều đa sàng có tính chất tồi.
Thuật toán 11: Thuật toán chọn cặp đa thức phi tuyến bậc d tốt.
Input: Số nguyên cần phân tích N, bậc của cặp đa thức phi tuyến d,
ngưỡng của phép xoay đa thức J.
Output: Cặp đa thức sàng (f
1
, f
2
) có tính chất tốt.

(1). Sử dụng Thuật toán 10 sinh cặp đa thức phi tuyến (f
1
, f
2
) bậc d có
nghiệm chung m modulo N.
(2). Kiểm tra các hệ số đầu và cuối là bội của 60.
(3). Tính
()
i
f

và ghi vào tệp “Alphas.txt”.
(4). Thực hiện phép xoay đa thức với
1 2 3
, , (0, ]j j j J
:
(4).1
1 2 3
, , 1 1 2 2 3
( ) ( ) ( ) ( )
j j j
f x j f x j f x j x m   
.
(4).2 Tính
1 2 3
,,
()
j j j
f


, ghi vào tệp “Alphas.txt”.
(5). Return “Cặp đa thức f
i
có nghiệm chung m modulo N có giá trị
()
i
f

nhỏ nhất trong tệp Alphas.txt”.
2.3.3. Một số nhận xét
Áp dụng Hệ quả 2.2 thì:
17


 Có thể sinh ra cặp đa thức sàng bậc 2 có nghiệm chung m modulo N
với các hệ số cỡ
1/ 4
()ON
và tích chập cỡ
()ON
. Kết quả này trùng
với phương pháp của Montgomery.
 Có thể sinh ra cặp đa thức sàng bậc 3 có nghiệm chung m modulo N
với các hệ số cỡ
2/9
()ON
và tích chập cỡ
4/3
()ON

. Kết quả này
trùng với phương pháp luận án đã xây dựng.
 Có thể sinh ra cặp đa thức bậc d = 4 có nghiệm chung m modulo N
với các hệ số cỡ
3/16
()ON
và tích chập cỡ
3/ 2
()ON
. Kết quả này
tốt hơn phương pháp của Prest và Zimmermann sinh ra các đa thức
có hệ số cỡ
5/14
()ON
và tích chập cỡ
10/ 7
()ON
.
2.4. Kết luận chương 2
Các kết quả của chương này bao gồm:
(1). Đưa ra các Thuật toán 6 và Thuật toán 7 để chọn cặp đa thức sàng
bậc hai và tâm sàng của chúng cho phương pháp sàng trường số.
Thuật toán 7 thực hiện nhanh hơn Thuật toán 6; việc sàng tìm quan
hệ tại tâm sàng sẽ giúp cho phương pháp NFS thực hiện nhanh hơn.
(2). Xây dựng phương pháp và cơ sở lý thuyết (bao gồm: Định lý 2.1,
Định lý 2.2, và Hệ quả 2.1) cho thuật toán chọn cặp đa thức sàng phi
tuyến bậc ba cho phương pháp sàng trường số. Kết quả thu được
Thuật toán 8, dùng để tìm các cặp đa thức sàng phi tuyến bậc 3 có
các hệ số cỡ O(N
2/9

); góp phần giải trường hợp riêng của bài toán
chọn đa thức sàng Montgomery.
(3). Tổng quát hóa thuật toán chọn cặp đa thức sàng dựa vào cấp số nhân
đặc biệt, từ đó xây dựng được Thuật toán 10 và Thuật toán 11 để
chọn cặp đa thức sàng phi tuyến bậc tổng quát.
Các kết quả nêu trên đã được tác giả công bố trên các bài báo số [1],
[4], và [6] (Danh mục các công trình khoa học đã công bố).
18


CHƯƠNG 3
CẢI TIẾN VÀ ĐÁNH GIÁ HIỆU QUẢ THUẬT TOÁN SÀNG
CHO PHƯƠNG PHÁP SÀNG TRƯỜNG SỐ

3.1. Thuật toán NFS tổng quát
Thuật toán 12: Thuật toán NFS tổng quát.
Input: Hợp số N.
Output: Ước không tầm thường p của N.
Bước 1: Chọn đa thức sàng.
Bước 2: Xây dựng các cơ sở phân tích.
Bước 3: Sàng tìm quan hệ.
Bước 4: Giải hệ phương trình đại số tuyến tính.
Bước 5: Khai căn bậc hai và tìm ước.
3.2. Cải tiến cài đặt thuật toán sàng tuyến tính
3.2.1. Thuật toán sàng tuyến tính
Thuật toán sàng tuyến tính (Thuật toán 13) gồm 2 bước chính:
 Các phần tử (a, b) có chuẩn hữu t chia hết cho (p, m mod p)
trong RFB thì a có dạng a = -bm+kp với k

.

 Các phần tử (a, b) có chuẩn đại số chia hết cho (p, r) trong
AFB thì a có dạng a = -br+kp với k

.
3.2.2. Song song hóa thuật toán sàng tuyến tính
Giả sử thực hiện thuật toán trên M tiến trình, tiến trình t thực
hiện sàng với các giá trị b trong khoảng WS*(t-1) đến WS*t. Sau khi tất
cả các tiến trình kết thúc việc sàng trong khoảng WS đã xác định thì lặp
lại công việc sàng của các tiến trình như trên với giá trị b mới bắt đầu từ
WS*M. Công việc này được thực hiện lặp lại đối với các tiến trình đến
19


khi nhận đủ các quan hệ cần tìm. Khi đó bước sàng tìm quan hệ sẽ kết
thúc.
Thuật toán 14: Thuật toán sàng tuyến tính phiên bản song song cho
tiến trnh thứ t.
Input: - Các cơ sở phân tích RFB, AFB;
- Đa thức f(x), nghiệm m của f(x) mod N;
- Khoảng sàng C;
- WS, t, b
0
: trong đó b
0
là giá trị đầu tiên của b cho tiến trình
thứ t với số lượng giá trị cần sàng WS.
Output: - Tập quan hệ rels = {(a
0
, b
0

), (a
1
, b
1
),…, (a
l
, b
l
)}.
1. b= b
0
+WS*(t-1)
2. rels=[]
3. while ((b

b
0
+WS*t) and (#rels < #RFB + #AFB + #QCB + 1))
(a) b=b+1
(b) a[i]=i+bm với i

[-C;C]
(c) với mi (p, r)

RFB
Chia a[j] cho p tối đa số mũ có thể với j=-bm+kp
với k

thỏa mãn –C


j

C.
(d) e[i]=(-b)
deg(
f
)
f(-i/b) với i

[-C;C]
(e) với mi (p, r)

AFB
Chia e[j] cho p tối đa số mũ có thể với j=-br+kp
với k

thỏa mãn –C

j

C.
(f) for i

[-C;C]
if a[i]=e[i]=1 và gcd(i, b)=1 thêm (i, b) vào rels
4. return rels.
20


3.2.3. Kết quả phân tích số 135 chữ số

Hệ thống tính toán hiệu tại Học viện Kỹ thuật mật mã là hệ
thống tính toán với bộ nhớ phân tán. Tích hợp thuật toán 14 ở trên vào
chương trình msieve phiên bản 1.21 để phân tích số nguyên hợp số N có
135 chữ số thập phân. Kết quả là:
 Thời gian lựa chọn đa thức là 29 giờ.
 Tổng số tiến trình t = 112, và khoảng sàng WS = 2000000. Tổng
thời gian sàng là 6,66 ngày. Thời gian chạy tổng cộng của tất cả
các tiến trình: 64489521 giây = 746 ngày.
3.3. Đánh giá hiệu quả của thuật toán sàng lưới
3.3.1. Thuật toán sàng lưới
3.3.1.1. Hoạt động của sàng lưới
Phần tử mảng A[c, d] biểu diễn số nguyên:
12
a bm c u d u    
, với
1 1 1
u a b m
và
2 2 2
u a b m
.
Do đó các phần tử để được sàng với p khi:
 
12
0 mod c u d u p   
.
3.3.1.2. Cài đặt thuật toán sàng lưới cho NFS
Với mi
 
,q s Q

thực hiện:
 Xác định lưới của (a, b) tương ứng với
 
mod a bs q
.
 Xây dựng các trục tọa độ (c, d) cỡ C cho lưới này.
 Với mi
 
,p r P
chuyển
 
mod a br p
về mặt phẳng (c, d).
 Với mi miền sàng của mặt phẳng (c, d) kiểm tra tính trơn của
cặp (c, d).
3.3.2. Kết quả quan trọng về lý thuyết lưới
Bổ đ 3.1.
m

là một lưới khi và chỉ khi là một tập rời rạc,
nhóm con cộng tính của
m
.
Luận án phát biểu mệnh đề tổng quát với lưới n chiều như sau.
21


Mệnh đ 3.1. Giả sử
 
12

( , , , ) \ 0
n
n
   

và
q
.
,q

là tập
hợp xác định như sau:
 
,
| , 0 (mod )
n
q
x x q


  

(trong đó
.,.
là một tích vô hướng chuẩn tắc). Khi đó,
,q
L

là lưới
trong

n
và thỏa mãn:
,
12
det
gcd( , , , , )
q
n
q
q

  


3.3.3. Hiệu quả của thuật toán sàng lưới
3.3.3.1. Khẳng định của Pollard
Các quan hệ
 
,ab
sẽ tạo thành một lưới con
,q

trong
2
với
 
2
1, m



và q là số nguyên tố. Sử dụng Mệnh đề 3.1 với lưới 2
chiều để chứng minh Khẳng định 3.1 của Pollard.
Khng đnh 3.1 (của Pollard). Trong NFS, tổng số các số nguyên cần
phải sàng theo thuật toán sàng lưới nhỏ hơn rất nhiều so với thuật toán
sàng tuyến tính. Thực tế, nó có thể giảm theo hệ số:
 
 
1
log 1/
1
log
qM
k
W
qB



.
3.3.3.2. Phân tích một số kết quả thực nghiệm
Bảng 3.1. Hiệu suất của thuật toán sàng tuyến tính.
Khoảng
sàng
Số lượng
quan hệ
Số lượng số
kim tra
H

2000x2000

113.290
4.000.000
2,832.10
-2
3000x3000
220.345
9.000.000
2,448.10
-2

4000x4000
353.298
16.000.000
2,208.10
-2

5000x5000
508.540
25.000.000
2,034.10
-2

Kết quả thực hiện thuật toán sàng lưới thay đổi theo k
i
, với k
1
=
0,447, k
2
= 0,269, k

3
= 0,160.
22


Bảng 3.2. Thuật toán sàng lưới thay đổi theo k
i
, i = 1, 2, 3.
Khoảng
sàng
Số lượng quan hệ
Số lượng số kim tra
k
1

k
2

k
3

k
1

k
2

k
3

2000x2000
47.338
71.285
112.403
607.285
1.010.887
1.774.362
3000x3000
96.426
144.494
196.896
1.365.960
2.273.003
3.318.761
4000x4000
159.065
237.819
323.660
2.428.342
4.043.587
5.902.669
5000x5000
233.919
349.359
475.143
3.794.283
6.320.513
9.225.408
Bảng 3.3. Hiệu suất của thuật toán sàng lưới.
Khoảng sàng

H
k
1

k
2

k
3

2000x2000
7,795.10
-2
7,051.10
-2

6,330.10
-2

3000x3000
7,059.10
-2

6,356.10
-2

5,932.10
-2

4000x4000

6,550.10
-2

5,881.10
-2

5,483.10
-2

5000x5000
6,165.10
-2

5,527.10
-2

5,150.10
-2


0
1
2
3
4
5
6
7
8
9

2000x2000 3000x3000 4000x4000 5000x5000
k=0,447
k=0,269
k=0,160
line

Hình 3.1: So sánh hiệu suất của 2 thuật toán sàng.

23


Nhận xt 3.1.
 Tính được hệ số giảm giữa lượng số nguyên đem sàng của thuật toán
sàng lưới so với thuật toán sàng tuyến tính theo k
i
là hoàn toàn đúng
theo công thức của Pollard.
 T lệ số lượng quan hệ tìm được trên số lượng số cần kiểm tra giảm
đi rất nhiều (thuật toán sàng lưới nhanh hơn khoảng 3 lần thuật toán
sàng tuyến tính).
 Khi tăng khoảng sàng thì hiệu suất của cả 2 thuật toán đều bị giảm.
 Trong thuật toán sàng lưới, hệ số k
i
giảm làm cho hiệu suất giảm.
Khi k
i
≈ 0 thì thuật toán sàng lưới gần như trở thành thuật toán sàng
tuyến tính.
3.4. Kết luận chương 3
Các kết quả của chương này bao gồm:

(1). Đã cải tiến song song thuật toán sàng tuyến tính (Thuật toán 14) trên
một hệ thống tính toán cụ thể để phân tích hợp số RSA cỡ 135 chữ
số thập phân. Kết quả phân tích là một minh chứng cho việc cải tiến
thành công về mặt thực hành phương pháp sàng trường số và có thể
triển khai cài đặt trên các hệ thống tính toán lớn để đánh giá, phân
tích độ an toàn của hệ mật khóa công khai RSA.
(2). Đã đánh giá hiệu quả của thuật toán sàng lưới của Pollard: Sử dụng
lý thuyết lưới để phát biểu và chứng minh Mệnh đề 3.1 đối với
trường hợp số chiều tổng quát n chiều, áp dụng kết quả này để chứng
minh phát biểu của Pollard với trường hợp 2 chiều. Thực hành cài
đặt so sánh hiệu suất giữa hai phương pháp sàng, đã thu được các kết
quả chính xác phù hợp với lý thuyết.
Các kết quả nêu trên đã được tác giả công bố trên các bài báo số [3]
và [5] (Danh mục các công trình khoa học đã công bố).