HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH TOÁN 9

ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU: “HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI BÀI TOÁN
BẰNG CÁCH LẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH TOÁN 9”
I. Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Khi giảng dạy cho các em học sinh ở bậc THCS môn Toán, tôi nhận thấy
các em học sinh lớp 9 gặp rất nhiều khó khăn khi giải các dạng toán bằng cách hệ
phương trình. Mặc dù các em đã biết cách giải dạng toán đố ở Tiểu học, các bài
toán số học ở lớp 6, 7, các dạng phương trình ở lớp 8, giải hệ phương trình ở lớp 9.
Nhưng khi gặp bài toán giải bằng cách lập hệ phương trình thì các em lại thấy khó
mặc dù các em đã nắm được quy tắc chung (các bước giải). Có nhiều em nắm được
rất rõ các bước giải nhưng lại không biết vận dụng vào giải bài tập vì các em
không biết xuất phát từ đâu để tìm lời giải hoặc không biết tìm sự liên quan giữa
các đại lượng để hệ phương trình. Mà dạng toán này là một dạng toán cơ bản,
thường xuất hiện trong các bài kiểm tra học kỳ, các kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10
THPT, nhưng đại đa số học sinh bị mất điểm ở bài này do không nắm chắc cách
giải, cũng có những học sinh biết cách làm nhưng không đạt điểm tối đa vì thiếu
nhiều ý.
Trong phân phối chương trình môn Toán THCS ở lớp 9 số lượng tiết học về
giải bài toán bằng cách hệ phương trình còn ít nên bản thân giáo viên và học sinh
cũng chưa có sự tìm hiểu một cách thấu đáo, sách vở tài liệu tham khảo ở các
trường về dạng bài tập này cũng còn thiếu.
Trường tôi đang giảng dạy là một trường liên cấp vùng cao TH&THCS Đại
Dực nên đa số các em đều là đồng bào dân tộc thiểu số nên trình độ tiếp thu còn rất
hạn chế đặc biệt là về các môn khoa học tự nhiên, nhiều em đọc viết rất chậm khi
lên lớp 6 do đó quá trình tiếp thu môn Toán của các em tương đối còn yếu, còn
chậm.
Trong quá trình giảng dạy ở trường THCS và qua sự trao đổi, học hỏi kinh
nghiệm của các đồng nghiệp trong trường và được sự động viên, giúp đỡ của các
đồng nghiệp tôi đã mạnh dạn viết sáng kiến kinh nghiệm“Giải bài toán bằng cách
lập hệ phương trình trong chương trình môn Toán lớp 9” của mình để cùng trao
đổi kinh nghiệm với các đồng nghiệp trong quá trình dạy học môn Toán.

2. Mục đích nghiên cứu
Lập phương trình, hệ phương trình đối với một bài toán cho trước là một
biện pháp cơ bản để áp dụng vào khoa học kỹ thuật và là phương tiện nhận thức tự
nhiên.
Góp phần quan trọng trong việc giảng dạy toán học nói chung và giải bài
toán bằng cách lập hệ phương trình nói riêng. Đặt biệt, là rèn luyện tư duy, lập luận
tạo tiền đề cơ sở để tiếp tục theo học tiếp THPT, cũng như học nghề sau này của
học sinh.
1
Giúp học sinh biết phân loại và vận dụng các phương pháp giải một cách
nhanh chóng và hiệu quả. Phát huy được tính tích cực, chủ động sáng tạo của học
sinh trong quá trình học tập.
Để giảng dạy học sinh lớp 9 thực hiện dễ dàng hơn trong việc “Giải bài
toán bằng cách lập hệ phương trình trong chương trình môn Toán lớp 9”, ứng
dụng của Toán học trong cuộc sống, kích thích sự yêu thích, tìm hiểu môn Toán
cũng như các môn khoa học khác.
3. Thời gian, địa điểm
Sáng kiến kinh nghiệm được nghiên cứu và áp dụng giảng dạy cho học sinh
lớp 9 trong học kì II trường TH&THCS Đại Dực trên cơ sở các bài toán về “Giải
bài toán bằng cách lập hệ phương trình” của Chương III - Đại số Toán 9 tập 2
và các bài toán về hệ phương trình trong các sách tham khảo.
4. Đóng góp mới về mặt thực tiễn
Kinh nghiệm “Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình trong chương
trình môn Toán lớp 9” đã được vận dụng trong quá trình giảng dạy môn Toán lớp
9A ở trường TH&THCS Đại Dực và bước đầu đã giúp cho học sinh hứng thú hơn
trong việc học Toán.
Việc vận dụng sáng kiến áp dụng vào giảng dạy môn Toán, đặc biệt là đối
với học sinh lớp 9 sẽ giúp cho học sinh dễ dàng hơn trong việc giải các bài toán
bằng cách lập hệ phương trình qua đó kích thích lòng say mê tìm hiểu môn Toán,
yêu thích môn Toán cũng như các môn khoa học khác.

II. Nội dung
1. Chương trình 1: Tổng quan
1.1. Cơ sở lý luận
Toán học có vai trò rất quan trọng đối với đời sống và đối với các ngành
khoa học. Ngay từ thế kỉ 13, nhà tư tưởng Anh R. Bêcơn (R. Bacon) đã nói rằng:
“Ai không hiểu biết toán học thì không thể hiểu biết bất cứ một khoa học nào khác
và cũng không thể phát hiện ra sự dốt nát của bản thân mình.”. Đến giữa thế kỉ 20,
nhà vật lí học nổi tiếng (P.Dirac) khẳng định rằng khi xây dựng lí thuyết vật lí
“không được tin vào mọi quan niệm vật lí”, mà phải “tin vào sơ đồ toán học, ngay
cả khi sơ đồ này thoạt đầu có thể không liên hệ gì với vật lí cả.”. Sự phát triển của
các khoa học đã chứng minh lời tiên đoán của C.Mac (K. Marx): “Một khoa học
chỉ thực sự phát triển nếu nó sử dụng được phương pháp của toán học.”.
Mục tiêu cơ bản của Giáo dục nói chung, của Nhà trường nói riêng là đào
tạo và xây dựng thế hệ học sinh trở thành những con người mới phát triển toàn
diện, có đầy đủ phẩm chất đạo đức, năng lực, trí tuệ để đáp ứng với yêu cầu thực tế
hiện nay. Để thực hiện được mục tiêu đó, trước hết chúng ta phải biết áp dụng
phương pháp dạy học hiện đại để bồi dưỡng cho học sinh năng lực tư duy sáng
tạo, năng lực giải quyết vấn đề, rèn luyện thành nề nếp tư duy sáng tạo của người
học, từng bước áp dụng các phương pháp tiên tiến, phương tiện hiện đại vào quá
trình dạy học, dành thời gian tự học, tự nghiên cứu cho học sinh.
Đồng thời bản thân mỗi giáo viên cũng phải tự giác, tích cực tìm ra những
phương pháp dạy học mới, khắc phục lối truyền thụ một chiều, phát huy tính tích
2
cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của học sinh trong các môn học, đặc biệt là môn
học có tính đặc thù cao là môn Toán.
Trong thời đại hiện nay, nền giáo dục của nước ta đã tiếp cận được với khoa
học hiện đại. Các môn học đều đòi hỏi tư duy sáng tạo và hiện đại của học sinh.
Đặc biệt là môn Toán, nó đòi hỏi tư duy rất tích cực của học sinh, đòi hỏi học sinh
tiếp thu kiến thức một cách chính xác, khoa học và hiện đại. Vì thế để giúp các em
học tập môn toán có kết quả tốt giáo viên không chỉ có kiến thức vững vàng, một

tâm hồn đầy nhiệt huyết, mà điều cần thiết là phải biết vận dụng các phương pháp
giảng dạy một cách linh hoạt, sáng tạo truyền thụ kiến thức cho học sinh một cách
dễ hiểu nhất.
1.2. Cơ sở thực tiễn
Chương trình môn Toán ở bậc THCS rất rộng và đa dạng, các em được lĩnh
hội nhiều kiến thức. Trong đó có một nội dung kiến thức theo các em trong suốt
quá trình học tập là phương trình. Ngay từ những ngày mới cắp sách đến trường,
học sinh đã được giải phương trình. Đó là những phương trình rất đơn giản dưới
dạng điền số thích hợp vào ô trống và dần dần cao hơn là tìm số chưa biết trong
một đẳng thức và cao hơn nữa các em phải làm một số bài toán phức tạp. Đến lớp
9 các đề toán trong chương trình đại số về phương trình là bài toán có lời. Các em
căn cứ vào lời bài toán đã cho phải tự mình thành lập hệ phương trình và giải hệ
phương trình. Kết quả tìm được không chỉ phụ thuộc vào kỹ năng giải hệ phương
trình mà còn phụ thuộc rất nhiều vào việc thành lập hệ phương trình. Đó là dạng
toán “Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình”. Dạng toán này tương đối
khó và mới mẻ, nó mang tính trừu tượng rất cao, đòi hỏi học sinh phải có các kiến
thức về số học, đại số, hình học, vật lí và phải biết tìm mối liên hệ giữa các yếu tố
của bài toán đã cho với thực tiễn đời sống. Nhưng thực tế cho thấy phần đông học
sinh không đáp ứng được những khả năng trên nên không giải được các dạng của
bài toán lập phương trình.
Việc giải các bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình đối với
học sinh THCS là một việc làm mới mẻ. Đề bài cho không phải là những hệ
phương trình có sẵn mà là một đoạn văn mô tả mối quan hệ giữa các đại lượng,
học sinh phải chuyển đổi được mối quan hệ giữa các đại lượng được mô tả bằng
lời văn sang mối quan hệ toán học. Hơn nữa, nội dung của các bài toán này, hầu
hết đều gắn bó với các hoạt động thực tế của con người, xã hội hoặc tự nhiên,…
Do đó trong quá trình giải học sinh thường quên, không quan tâm đến yếu tố thực
tiễn dẫn đến đáp số vô lý. Một đặc thù riêng của loại toán này là hầu hết các bài
toán đều được gắn liền với nội dung thực tế. Chính vì vậy mà việc chọn ẩn số
thường là những số liệu có liên quan đến thực tế. Do đó khi giải toán học sinh

thường mắc sai lầm và thoát ly thực tế.
Từ những lý do đó mà học sinh rất ngại làm loại toán này. Mặc khác, cũng
có thể trong quá trình giảng dạy do năng lực, trình độ của giáo viên mới chỉ dạy
cho học sinh ở mức độ truyền thụ tinh thần của sách giáo khoa mà chưa biết phân
loại toán, chưa khái quát được cách giải cho mỗi dạng. Kỹ năng phân tích tổng hợp
của học sinh còn yếu, cách chọn ẩn số, mối liên hệ giữa các dữ liệu trong bài toán,
dẫn đến việc học sinh rất lúng túng và gặp rất nhiều khó khăn trong vấn đề giải loại
toán này. Đối với việc giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình các em mới
3
được học nên chưa quen với dạng toán tự mình làm ra hệ phương trình. Xuất phát
từ thực tế đó nên kết quả học tập của các em chưa cao. Nhiều em nắm được lý
thuyết rất chắc chắn nhưng khi áp dụng giải bài tập thì lại không làm được. Do vậy
việc hướng dẫn giúp các em có kỹ năng lập hệ phương trình để giải toán, ngoài
việc nắm lý thuyết, thì các em phải biết vận dụng thực hành, từ đó phát triển khả
năng tư duy, đồng thời tạo hứng thú cho học sinh khi học nhằm nâng cao chất
lượng học tập.
Xuất phát từ thực tế là các em học sinh ngại khó khi giải các bài toán, tôi
thấy cần phải tạo ra cho các em có niềm yêu thích say mê học tập, luôn tự đặt ra
những câu hỏi và tự mình tìm ra câu trả lời. Khi gặp các bài toán khó, phải có nghị
lực, tập trung tư tưởng, tin vào khả năng của mình trong quá trình học tập. Để giúp
học sinh bớt khó khăn và cảm thấy dễ dàng hơn trong việc “Giải bài toán bằng
cách lập hệ phương trình” ở lớp 9 tôi thấy cần phải hướng dẫn học sinh cách lập
hệ phương trình rồi giải hệ phương trình một cách kỹ càng, yêu cầu học sinh có kỹ
năng thực hành giải toán phần này cẩn thận.
Việc hướng dẫn học sinh tìm ra phương pháp giải toán phù hợp với từng
dạng bài là một vấn đề quan trọng, chúng ta phải tích cực quan tâm thường xuyên,
không chỉ giúp các em nắm được lý thuyết mà còn phải tạo ra cho các em có một
phương pháp học tập cho bản thân, rèn cho các em có khả năng thực hành. Nếu
làm được điều đó chắc chắn kết quả học tập của các em sẽ đạt được như mong
muốn.

2. Chương II: Nội dung nghiên cứu
2.1. Thực trạng
Sau khi khảo sát thực tế 22 học sinh lớp 9A kết quả thu được như sau:
Giỏi Khá Trung Bình Yếu
0 2/22 = 9.1% 15/22= 68,2% 5/22 = 22,7%
Số bài dưới trung bình chiếm 37.5% như vậy đối với lớp 9 quá cao. Nghiên
cứu các bài kiểm tra dưới trung bình và qua tìm hiểu học sinh cho thấy tỉ lệ bài
dưới trung bình cao là do các nguyên nhân sau:
• Một số học sinh quên đi nhiều kiến thức củ.
• Một số học sinh chưa vận dụng được kiến thức vào bài tập và chưa có
kỹ năng giải bài tập.
• Phần lớn học sinh chưa có thói quen tự học, tự suy nghĩ để tìm ra cách
giải bài toán.
• Một số học sinh thực sự bị hỏng kiến thức là do lười học hoặc do đi
học không đều dẫn đến chán học môn toán.
Trước những nguyên nhân trên tôi nghĩ rằng nếu xây dựng cho học sinh một
cách học, một phương pháp giải bài tập tốt hơn thì với sự cố gắng của giáo viên và
4
học sinh chắc chắn rằng chất lượng của học sinh sẽ cao hơn. Với suy nghĩ trên tôi
quyết tâm đi vào áp dụng sáng kiến kinh nghiệm trong năm học 2014 – 2015
2.2. Các giải pháp
2.2.1. Phân tích, tìm hiểu dạng toán “Giải bài toán bằng cách lập hệ phương
trình”
Từ những khó khăn cơ bản của học sinh cũng như những yếu tố khách quan
khác, tôi đã cố gắng tìm ra những giải pháp khắc phục nhằm đạt được hiệu quả cao
trong công tác. Nắm bắt được tình hình học sinh ngại khó khi giải bài toán bằng
cách lập phương trình nên tôi đã đưa ra các dạng bài tập khác nhau để phân loại
cho phù hợp với khả năng nhận thức của từng đối tượng. Các bài tập ở dạng từ
thấp đến cao để các em nhận thức chậm có thể làm tốt những bài toán ở mức độ
trung bình, đồng thời kích thích sự tìm tòi và sáng tạo của những học sinh khá,

giỏi.
Bên cạnh đó tôi thường xuyên hướng dẫn, sửa chữa chỗ sai cho học sinh,
lắng nghe ý kiến của các em. Cho học sinh ngoài làm việc cá nhân còn phải tham
gia trao đổi nhóm khi cần thiết. Tôi yêu cầu học sinh phải tự giác, tích cực, chủ
động, có trách nhiệm với bản thân và tập thể.
Mặc dù khả năng nhận thức và suy luận của học sinh trong mỗi lớp chưa
đồng bộ nhưng khi giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình tất cả đều phải dựa
vào một quy tắc chung: Đó là các bước giải bài toán bằng cách lập hệ phương
trình. Cụ thể như sau :
Bước 1: Lập hệ phương trình gồm các công việc sau
- Chọn ẩn số ( ghi rõ đơn vị ) và đặt điều kiện cho ẩn;
- Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết;
- Lập phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.
Bước 2: Giải hệ phương trình
- Tùy từng hệ phương trình mà chọn cách giải cho ngắn gọn và phù hợp.
Bước 3: Trả lời (Kiểm tra xem trong các nghiệm của hệ phương trình,
nghiệm nào thỏa mãn điều kiện của ẩn, nghiệm nào không rồi kết luận).
Lưu ý: Trước khi thực hiện bước 1, học sinh cần phải đọc kỹ đề bài, nhận
dạng bài toán là dạng toán nào, sau đó tóm tắt đề bài rồi giải. Bước 1 có tính
chất quyết định nhất. Thường đầu bài hỏi số liệu gì thì ta đặt cái đó là ẩn số.
Xác định đơn vị và điều kiện của ẩn phải phù hợp với thực tế cuộc sống.
2.2.2. Phân tích, tìm hiểu những yêu cầu khi giải bài toán bằng cách lập hệ
phương trình
Tuy đã có quy tắc trên nhưng người giáo viên trong quá trình hướng dẫn cần
đảm bảo cho học sinh thực hiện theo các yêu cầu sau :
Yêu cầu 1 : Lời giải không phạm sai lầm và không có sai sót mặc dù nhỏ.
Để học sinh không mắc phải sai lầm này người giáo viên phải hướng dẫn
học sinh tìm hiểu đề toán. Do đó trước khi giải giáo viên phải yêu cầu học sinh đọc
5
thật kỹ đề bài, đọc lại đề bài nhiều lần, từng câu, từng chữ trong đề bài để nắm

được đề bài đã cho những gì, yêu cầu tìm những gì. Từ đó giúp học sinh hiểu kỹ đề
toán và trong quá trình giải không có sai sót nhỏ hoặc không phạm sai lầm. Việc
hiểu kỹ nội dung đề bài là tiền đề quan trọng trong việc giải bài tập toán. Nó giúp
học sinh rất nhiều trong việc chọn ẩn, đặt điều kiện của ẩn, suy luận, lập luận logic,
kỹ năng tính toán, …
Giáo viên phải rèn cho học sinh thói quen đặt điều kiện cho ẩn và đối chiều
với điều kiện của ẩn cho thích hợp để tránh việc sai sót khi kết luận bài toán.
Ví dụ 1 : Bài tập 37 SBT Toán 9 tập 2 - trang 09
Cho một số có hai chữ số. Nếu đổi chỗ hai chữ số của nó thì được một số
lớn hơn số đã cho là 63. Tổng của số đã cho và số mới tạo thành bằng 99. Tìm số
đã cho
Phân tích :
Học sinh cần phải nắm được cấu tạo số trong hệ thập phân:
+ số có hai chữ số
ab
thì được biểu diễn là
10a b
+
Ta thấy hai đại lượng chưa biết là chữ số hàng chục và chữ số hàng đơn vị
của số cần tìm. Theo giả thiết, khi viết hai chữ số ấy theo thứ tự ngược lại, ta vẫn
được một số có hai chữ số. Điều đó chứng tỏ rằng hai chữ số ấy đều phải khác 0.
Giải :
Gọi chữ số hàng chục của số cần tìm là x (ĐK :
0 9x< ≤
)
chữ số hàng đơn vị của số cần tìm là y (ĐK :
0 9y< ≤
)
Theo đề bài ta có :
Số ban đầu cần tìm là :

10xy x y= +
Khi viết hai chữ số theo thứ tự ngược lại, ta được số mới là :
yx 10y x= +
Theo các điều kiện của đề bài ta có hệ phương trình :
( ) ( )
( ) ( )
10 10 63
7
9
10 10 99
y x x y
x y
x y
x y y x
+ − + =

− + =


⇔
 
+ =
+ + + =



Giải hệ ta được :
1
8
x

y
=


=

Vậy số ban đầu cần tìm là : 18
Sau khi tìm ra
1
8
x
y
=


=

, giáo viên lưu ý học sinh đối chiếu với điều kiện ban
đầu của đề bài xem đã thỏa mãn các điều kiện chưa.
Yêu cầu 2 : Lời giải phải có căn cứ chính xác.
Khi giải bài toán bằng cách lập phương trình, giáo viên cần lưu ý học sinh
lập luận phải có căn cứ và phải chính xác, khoa học. Vì mỗi câu lập luận trong bài
giải đều liên quan đến ẩn số và các dữ kiện đã cho trong đề toán. Do đó giáo viên
cần phải giúp học sinh hiểu được đâu là ẩn số, đâu là các dữ kiện đã cho trong bài
toán, để từ đó dựa vào những yếu tố và các mối liên quan giữa các đại lượng đã
cho và ẩn số để lập luận và lập nên phương trình. Vì thế, trước khi hướng dẫn học
sinh giải bài toán bằng cách lập phương trình, giáo viên nên hướng dẫn học sinh
luyện tập các phương pháp biểu diễn sự tương quan giữa các đại lượng bởi một
biểu thức chứa ẩn, trong đó ẩn số đại diện cho một đại lượng nào đó chưa biết. Học
6

sinh có thể sử dụng cách lập bảng (có thể viết ngoài giấy nháp) để biểu diễn các
đại lượng chưa biết bởi những biểu thức của ẩn cùng với các quan hệ của chúng.
Ví dụ 2 : Bài toán SGK toán 9 tập 2 - trang 22
Hai đội công nhân cùng làm một đoạn đường trong 24 ngày thì xong. Mỗi
ngày, phần việc đội A làm được nhiều gấp rưỡi đội B. Hỏi nếu làm một mình thì
mỗi đội làm xong đoạn đường đó trong bao lâu ?
Phân tích :
Từ giả thiết hai đội cùng làm trong 24 ngày thì xong cả đoạn đường (và được
xem là xong 1 công việc), ta suy ra trong một ngày cả hai đội làm chung
1
24
công
việc. Tương tự, số phần công việc mà mỗi đội làm trong một ngày và số ngày cần
thiết để đội đó hoàn thành công việc là hai đại lượng tỉ lệ nghịch.
Khi đó nếu gọi :
+ x là số ngày để đội A làm một một mình hoàn thành toàn bộ công việc
+ y là số ngày để đội B làm một một mình hoàn thành toàn bộ công việc
Ta có bảng sau :
Công việc Năng suất Thời gian
Đội A 1
1
x
x ngày (x > 0)
Đội B 1
1
y
y ngày (y > 0)
Cả hai
đội
1

1 1 1
24x y
+ =
24 ngày
Hệ PT
1 1 1
24
1 3 1
.
2
x y
x y

+ =




=


Trong ví dụ trên, nếu chọn ẩn số theo cách khác :
Nếu gọi :
+ x là số phần công việc làm trong một ngày của đội A
+ y là số phần công việc làm trong một ngày của đội B
Ta có bảng sau :
Công việc Năng suất Thời gian
Đội A 1 x
1
x

ngày (x > 0)
Đội B 1 y
1
y
ngày (y > 0)
Cả hai đội 1
1
24
x y+ =
24 ngày
7
Hệ PT
1
24
3
.
2
x y
x y

+ =




=


Qua đó ta thấy rằng khi chọn ẩn là “thời gian” thì hệ phương trình phức
tạp hơn so với khi chọn ẩn là “năng suất làm việc”. Do đó khi giải cần chú ý đến

việc chọn ẩn.
Yêu cầu 3 : Lời giải phải đầy đủ và mang tính toàn diện.
Giáo viên khi giảng dạy cho học sinh giải loại toán này cần phải chú ý đến
tính toàn diện của bài giải. Nghĩa là lời giải của bài toán phải đầy đủ, chính xác,
không thừa cũng không thiếu. Phải làm sao sử dụng hết tất cả các dữ kiện của đề
bài, không bỏ sót một dữ kiện, một chi tiết nào dù là nhỏ, khi đã sử dụng hết tất cả
các dữ kiện của bài toán, lập được phương trình, giải tìm được kết quả thì cuối
cùng các em phải chú ý đối chiếu kết quả với điều kiện của ẩn hoặc có thể thử lại
kết quả để trả lời, kết luận bài toán cho chính xác. Có như vậy mới thể hiện được
tính đầy đủ và toàn diện nhất.
Ví dụ 3: Bài tập 30 SGK Toán 9 tập 2- trang 22
Một ô tô đi từ A và dự định đến B lúc 12 giờ trưa. Nếu xe chạy với vận tốc
35km/h thì sẽ đến B chậm 2 giờ so với dự định. Nếu xe chạy với vận tốc 50 km/h
thì sẽ đến B sớm hơn 1 giờ so với dự định. Tính độ dài quãng đường AB và thời
điểm xuất phát của ôtô tại A.
Hướng dẫn giải :
Gọi độ dài của quãng đường AB là x (km)
thời gian dự định đi từ A đến B là y (giờ)
Ta có bảng sau :
Quãng đường (km) Vận tốc (km/h) Thời gian (giờ)
Dự định x (x > 0) - y (y > 0)
Đi chậm x 35 km/h
35
x
giờ
Đi nhanh x 50 km/h
50
x
giờ
Hệ PT

2
35
1
50
x
y
x
y

+ =




− =


Giải hệ ta được :
350
8
x
y
=


=

Lưu ý học sinh : Thời điểm xuất phát của ôtô là : 12 – 8 = 4 giờ sáng
Yêu cầu 4: Lời giải bài toán càng đơn giản càng tốt
Bài giải phải đảm bảo được 3 yêu cầu trên không sai sót, có lập luận, mang

tính toàn diện và phù hợp kiến thức, trình độ của học sinh, đại đa số học sinh hiểu
và làm được
Ví dụ 4: Bài toán cổ SGK toán 8 tập 2 - trang 24
“Vừa gà vừa chó
8
Bó lại cho tròn
Ba mươi sáu con
Một trăm chân chẵn.
Hỏi có bao nhiêu gà, bao nhiêu chó?”
Hướng dẫn :
Gọi số con gà cần tìm là x (
,0 36x Z x
+
∈ < <
)
và số con chó cần tìm là y (
,0 36y Z y
+
∈ < <
)
Theo đề ra ta có hệ phương trình :
36
2 4 100
x y
x y
+ =


+ =


Nếu ta giải quyết bài toán theo hướng trên thì lời giải ngắn gọn, hệ phương
trình dễ giải hơn
Nhưng nếu ta chọn ẩn số như sau :
Gọi số chân gà là x (
,0 100x Z x
+
∈ < <
) và số chân chó là y (
,0 100y Z y
+
∈ < <
)
Theo đề ra ta có hệ phương trình :
100
36
2 4
x y
x y
+ =



+ =


Nếu ta giải quyết bài toán theo hướng trên thì việc giải hệ phức tạp hơn, dễ có sai
lầm hơn.
Yêu cầu 5 : Lời giải phải trình bày khoa học.
Khi giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình chúng ta cần
lập luận dựa vào các dữ kiện của đề bài. Tuy nhiên khi lập luận trình bày lời giải

cần phải có thứ tự, vấn đề nào cần lập luận trước, vấn đề nào cần lập luận sau.
Giữa các bước lập luận biểu diễn sự tương quan giữa các đại lượng phải logic, chặt
chẽ với nhau, bước sau là sự kế thừa của bước trước, bước trước nêu ra nhằm chủ ý
cho bước sau tiếp nối. Không nên diễn giải lung tung, không có trình tự, dài dòng
giữa các bước.
Trên đây là 5 yêu cầu quan trọng khi thực hiện giải bài toán bằng cách lập
phương trình và hệ phương trình mà giáo viên cần lưu ý cho học sinh. Ngoài việc
nhắc nhở học sinh nắm vững các bước giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình,
phương trình, nắm vững các yêu cầu đặt ra trong việc giải toán, học sinh là đối
tượng để giải tốt các bài tập, nhưng việc quan trọng nhất trong thành công dạy học
vẫn là do người giáo viên. Để học sinh học được tốt, hiểu được bài, vận dụng được
lý thuyết để giải bài tập thì trước hết giáo viên phải soạn bài thật tốt, chuẩn bị một
hệ thống các câu hỏi phù hợp, một số bài tập trắc nghiệm, tự luận đơn giản phù
hợp với từng đối tượng học sinh. Phân tích thật rõ ràng và tỉ mỉ các ví dụ trong
sách giáo khoa ở các tiết dạy trên lớp hoặc phân tích thật kĩ các bài tập mẫu cho
học sinh qua các giờ học tự chọn để làm nền tảng cho học sinh giải các bài tập
khác. Mặt khác giáo viên có thể chia học sinh thành các nhóm nhỏ, mỗi nhóm có
một nhóm trưởng tổ chức thảo luận các bài tập mẫu để các em học sinh yếu kém có
thể hiểu được bài một cách sâu hơn, giúp các em có thể giải được một số bài tập
tương tự, làm cho các em không chán nản, không ngại khó khi giải bài tập giải bài
toán bằng cách lập phương trình. Từ đó giúp các em có hứng thú giải những bài
tập dạng khó hơn. Do vậy giáo viên cần phải cho học sinh những bài tập tương tự
để các em tự làm và cũng cần phải phân loại rõ ràng cho học sinh từng dạng toán
9
giải bài toán bằng cách lập phương trình để từ đó học sinh có thể chọn ẩn và đặt
điều kiện thích hợp cho ẩn.
2.2.3. Phân loại và hướng dẫn giải các dạng toán cụ thể về giải bài toán bằng
cách lập hệ phương trình
2.2.3.1. Dạng toán chuyển động
Bài 1. Một ô tô dự định đi từ A đến B trong 1 thời gian nhất định . Nếu xe chạy

với vận tốc 35 km/h thì đến muộn 2 giờ . Nếu xe chạy với vận tốc 50 km/h thì
đến sớm 1 giờ. Tính quãng đường AB và thời gian dự định đi lúc đầu?
Hướng dẫn giải:
Nếu gọi quãng đường AB là x (km) ; thời gian dự định đi là y(giờ).
Thời gian xe đi với vận tốc 35 km/h ?
Thời gian xe đi với vận tốc 50 km/h ?
So sánh hai thời gian trên với thời gian dự định đi, từ đó lập ra các phương
trình?
Lời giải:
Gọi quãng đường AB là x (km) , x>0; thời gian dự định đi là y(giờ),y>2.
Nếu xe chạy với vận tốc 35 km/h thì hết thời gian
35
x
giờ và đến muộn 2 giờ nên
ta có phương trình :
35
x
– y = 2.
Nếu xe chạy với vận tốc 50Km/h thì hết thời gian x/50 giờ và đến sớm 1 giờ nên
ta có phương trình :
50
x
– y = -1.
Ta có hệ phương trình









−=−
=−
1y
50
x
2y
35
x
Giải hệ được x=350,y=8 (thoả mãn).
Vậy quãng đường AB dài 350 km, thời gian dự định đi lúc đầu là 8 giờ.
Bài 2: Một ô tô đi trên quãng đường AC dài 195km gồm hai đoạn đường, đoạn
đường nhựa AB và đoạn đường đá BC. Biết thời gian ôtô đi trên đường nhựa là 2
giờ 15 phút, thời gian đi trên đường đá là 1 giờ 30 phút và vận tốc ô tô đi trên
đường nhựa lớn hơn đi trên đường đá là 20km.
Tính vận tốc ôtô đi trên mỗi đoạn đường?
Hướng dẫn giải:
Nếu gọi vận tốc ôtô đi trên đường nhựa là x
vận tốc ôtô đi trên đường đá là y
Hãy biểu diễn độ dài đoạn đường nhựa, đường đá theo ẩn đã chọn.
Tìm mối liên hệ giữa đoạn đường đá, đường nhựa và cả đoạn đường để lập
phương trình
10
Ta có hệ phương trình

20
1 1
2 1 195
4 2

x y
x y
− =



+ =



60
40
x
y
=

⇔

=

Bài 3. Hai ô tô khởi hành cùng một lúc từ A đến B cách nhau 300 km. Oâtô thứ
nhất mỗi giờ chạy nhanh hơn ô tô thứ hai 10 km nên đến B sớm hơn ôtô thứ hai 1
giờ. Tìm vận tốc mỗi xe.
Hướng dẫn giải:
Gọi vận ôtô I là x, vận tốc của ôtô II là y
Mối liên hệ giữa hai vận tốc này?
Thời gian ô tô thứ nhất đi hết quãng đường?
Thời gian ô tô thứ hai đi hết quãng đường?
Tìm mối liên hệ giữa hai thời gian này?
Ta có hệ phương trình:

10
300 300
1
x y
x y
− =



+ =


Giải hệ phương trình? Kết luận?
Bài 4: Hai ôtô khởi hành cùng lúc từ A và từ B, ngược chiều về phía nhau. Tính
quãng đường AB và vận tốc của mỗi xe biết rằng sau 2 giờ hai xe gặp nhau tại địa
điểm cách điểm chính giữa của quãng đường AB là 10km, và nếu xe đi chậm tăng
vận tốc gấp đôi thì hai xe gặp nhau sau
2
1
5
h
Hướng dẫn giải:
Gọi vận tốc của xe đi nhanh là x
vận tốc của xe đi chậm là y
Trong 2 h xe đi nhanh đi nhiều hơn xe đi chậm là 10+10 = 20km
Nên ta có pt : x-y=10
Quãng đường AB là : 2(x+y)
Quãng đường AB cũng chính là :
2

1 ( 2 )
5
x y
+

Ta có hệ phương trình:

( ) ( )
10
2
1 2 2
5
x y
x y x y
− =



+ = +


Giải hệ phương trình và kết luận?
Bài 5 : Một ô tô đi trên quãng đường từ A đến B gồm đoạn đường lên dốc, đoạn
đường nằm ngang và đoạn đường xuống dốc tổng cộng thời gian đi hết 5 giờ. Lúc
từ B về A ôtô đi hết 4 giơ 39 phút. Biết quãng đường nằm ngang dài 56 km, vận
tốc ôtô trên đường nằm ngang là 24km/h, vận tốc lên dốc( lúc đi cũng như lúc về)
là 16km/h, vận tốc xuống dốc( lúc đi cũng như lúc về) là 30km/h. Tính quãng
đường lên dốc và xuống dốc lúc đi?
Hướng dẫn cách giải:
Nếu gọi chiều dài quãng đường lúc lên dốc và xuống lúc đi là x và y km

Thời gian đi trên đường nằm ngang?
11
Thời gian lên dốc, thời gian xuống dốc lúc đi?
Thời gian lên dốc, thời gian xuống dốc lúc về?
Tổng thời gian lúc đi, lúc về? Lập phương trình ?
Ta có hệ phương trình:
56
5
16 24 30
56 39
4
16 24 30 60
x y
y x

+ + =




+ + =


Bài tập vận dụng:
1) Một người đi xe đạp từ A đến B gồm đoạn đường lên dốc AC và đoạn
xuống dốc CB. Thời gian đi trên AB là 4h20, thời gian về trên BA là 4 h. Biết vận
tốc lúc lên dốc( lúc đi và về như nhau) là 10km/h, vận tốc lúc xuống dốc(lúc đi và
về như nhau) là 15km/h. Tính quãng đường AC, CB
2) : Một ôtô đi trên qđ AB với vậ tốc 50km/h rồi đi tiếp qđ BC với vận tốc
45km/h. Biết qđ tổng cộng dài 165km và thời gian ôtô đi trên AB ít hơn đi trên BC

là 30 phút. Tính thời gian ôtô đi trên AB, BC
3) : Một người đi xe máy dự định đi từ A đến B trong một thời gian dự định.
Người đó tính rằng nếu đi với vận tốc 45km/h thì sẽ đến B chậm mất nửa giờ,
nhưng nếu đi với vận tốc 60km/h thì sẽ đến B sớm hơn 45 phút. Tính quãng đường
và htời gian dự định đi ?
4) :Một canô xuôi một khúc sông dài 40km, rồi ngược khúc sông ấy hết 4,5giờ.
Biết thời gian canô xuôi 5km bằng thời gian canô ngược 4km. Tính vận tốc dòng
nước?
Tóm lại: Với dạng toán chuyển động thì giáo viên cần làm cho học sinh hiểu được
mối quan hệ giữa các đại lượng :quãng đường, vận tốc, thời gian và các đại lượng
này liên hệ với nhau bởi công thức : S = v.t
Trong quá trình chọn ẩn nếu ẩn là quãng đường, vận tốc, hay thời gian thì điều
kiện của ẩn là luôn dương.
Nếu thời gian của chuyển động đến chậm hơn dự định thì thì lập phương trình:
Thời gian dự định + thời gian đến chậm = Thời gian thực tế . Nếu chuyển động
trên một quãng đường thì thời gian và vận tốc tỉ lệ nghịch với nhau.
2.2.3.2. Dạng toán năng xuất lao động (sớm – muộn, trước – sau):
Công thức :
Tổng khối lượng công việc = năng suất . thời gian
Bài 1: Một ô tô dự định đi từ A đến B trong một thời gian nhất định. Nếu xe chạy
mỗi giờ nhanh hơn 10km thì đến nơi sớm hơn dự định là 3giờ. Còn nếu xe chạy
chậm mỗi giờ 10km thì đến nơi chậm mất 5 giờ. tính vận tốc, thời gian dự định và
quãng đường?
Hướng dẫn giải: Nếu gọi thời gian dự định là x, vận tốc dự định là y, quãng
đường là x.y
Khi chạy nhanh tính vận tốc của xe và thời gian xe đi theo ẩn ?
Tìm mối liên hệ để lập phương rtình ? (y+10). (x-3) =xy
Khi chạy chậm tính vận tốc của xe và thời gian xe đi theo ẩn ?
Tìm mối liên hệ để lập phương rtình ? (y-10).(x+5)=xy
12

Lập hệ phương trình rồi giải phương trình ?
( ) ( )
( ) ( )
3 10
5 10
x y xy
x y xy
− + =


+ − =


Lời giải :
Gọi thời gian dự định đi là x (h), vận tốc dự định đi là y (km/h)
Quãng đường AB là : x.y (km)
Khi xe chạy nhanh hơn dự định là 10 km/h thì vận tốc là : y+10 (km/h)
thời gian đi là : x -3 ( h)
Ta có phương trình : (y+10). (x-3) =xy
Khi xe chạy chậm hơn dự định là 10 km/h thì vận tốc là : y-10 (km/h)
thời gian đi là : x +5 ( h)
Ta có phương trình (y-10).(x+5)=xy
Ta có hệ phương trình :
( ) ( )
( ) ( )
3 10
5 10
x y xy
x y xy
− + =



+ − =


Giải phương trình ta được x= 15 ; y =40
Bài tập tương tự :1) Một công nhân phải làm một số dụng cụ trong một thời gian
dự định. Nừu mỗi ngày làm tăng 3 dụng cụ thì hoàn thành sớm 2 ngày, nếu mỗi
ngày làm giảm 3 dụng cụ thì xong muộn 3 ngày. Tính số dụng cụ được giao ?
2) Để sửa một con mương, cần huy động một số ngươưì làm trong một số
ngày. Nừu bổ sung thêm 3 người thì thì thời gian hoàn thành rút ngắn được 2
ngày. Nếu rút bớt 3 người thì thời gian hoàn thành phải kéo dài thêm 3 ngày. Tính
số người được huy động và số ngày dự định hoàn thành cv
3) Trong một trang sách, nếu tăng thêm 3 dòng, mỗi dòng bớt đi 2 chữ thì số
chữ trong mỗi trang không đổi ; nếu bớt đi 3 dòng, mỗi dòng tăng thêm 3 chữ thì
số chữ trong mỗi trang cũng không đổi. Tính số chữ trong mỗi trang
Bài 2: Hai xí nghiệp theo kế hoạch phải làm tổng cộng 360 dụng cụ. Xí nghiệp I đã
vượt mức kế hoạch là 12%, xí nghiệp II đã vượt mức kế hoạch là 10% do đó cả
hai xí nghiệp đã làm tổng cộng 400 dụng cụ.
Tính số dụng cụ mỗi xí nghiệp phải làm theo kế hoạch?
Hướng dẫn: Nếu gọi số dụng cụ phải làm là x và y
Biểu diễn số sản phẩm vượt mức của hai xi nghiệp theo ẩn?
Tổng sản phẩm vượt mức? Lập phương trình, hệ phương trình?
360
12 10
400 360
100 100
x y
x y
+ =




+ = −


Bài 3: Ba xe ôtô chở 118 tấn hàng tổng cộng hết 50 chuyến. Số chuyến xe thứ nhất
chở gấp rưỡi số chuyến xe thứ hai. Mỗi chuyến xe thứ nhất chở 2 tấn, xe thứ hai
chở 2,5 tấn, xe thứ ba chở 3 tấn. Hỏi mỗi ôtô chở mấy chuyến?
HD: Gọi số chuyến xe thứ hai, thứ ba chở theo thứ tự là x, y
Thì số chuyến xe thứ nhất chở là 1,5.x
Hệ pt:
1,5 50
1,5. .2 .2,5 .3 118
x x y
x x y
+ + =


+ + =

Bài 4: Hai công nhân phải làm một số dụng cụ bằng nhau trong một thời gian như
nhau. Người thứ nhất mỗi giờ làm tăng 2 dụng cụ nên hoàn thành cv trước thời hạn
13
2 giờ. Người thứ hai mỗi giờ làm tăng 4 dụng cụ nên hoàn thành cv sớm hơn thời
hạn 3 ngày và còn làm thêm 6 chiếc nữa. Tính số dụng cụ mỗi đội được giao?
HD:Gọi số dụng cụ mỗi đội phải làm trong một giờ là x
Thì gian phải làm hết số dụng cụ được giao là y.
Số dụng cụ được giao là: xy
Hệ pt:

( ) ( )
( ) ( )
2 2
4 3 6
x y xy
x y xy
+ − =


+ − = +


Bài 5: Có hai phân xưởng, phân xưởng I làm trong 20 ngày, phân xưởng II làm
trong 15 ngày, được tất cả 1600 dụng cụ. Biết số dụng cụ phân xưởng I làm trong 4
ngày bằng số dụng cụ phân xưởng II làm trong 5 ngày. Tính số dụng cụ mỗi phân
xưởng đã làm.
HD: Gọi số dụng cụ phân xưởng I, II đã làm trong một ngày là x, y
Hpt:
20 15 1600
4 5
x y
x y
+ =


=

x=50, y=40 Vậy số dụng cụ phân xưởng I đã làm là:
20.50=1000 Vậy số dụng cụ phân xưởng II đã làm là: 15.40=600
2.2.3.3. Dạng toán về công việc ( “làm chung – làm riêng”, vòi nước chảy)

Với dạng toán này giáo viên cần làm cho học sinh hiểu: Coi toàn bộ công việc là
một đơn vị và biểu thị bằng 1, nếu thực hiện xong một công việc hết x ngày (giờ,
phút ) thì trong một ngày(giờ, phút ) làm được 1/x công việc và tỉ số 1/x chính là
năng xuất lao động trong một ngày (giờ, phút ).
Bài 1: Hai người thợ cùng làm chung một công việc trong 7 giờ 12 phút thì xong.
Nếu người thứ nhất làm trong 5 giờ và người thứ hai làm trong 6 giờ thì cả hai
người chỉ làm được
4
3
công việc. Hỏi một người làm công việc đó trong mấy giờ
thì xong?
Hướng dẫn giải:
Nếu gọi thời gian người I làm một mình xong cv đó là x
thời gian người II làm một mình xong cv đó là y
Thì trong 1 giờ người 1, người 2 và cả hai ngừi làm được bao nhiêu phần công
việc? hãy biểu diễn theo ẩn?
Tìm mối liên hệ để lập phương trình?
Trong 5 giờ người 1 làm được mấy phần công việc? Trong 6 giờ người 2 làm
được mấy phần công việc? Lập phương trình?
Lời giải:
Gọi thời gian người I làm một mình xong công việc đó là x giờ
thời gian người II làm một mình xong công việc đó là y giờ
Trong 1 h người I làm được 1/x cv
Người II làm được 1/y cv
Cả 2 người làm được 5/36 cv
Ta có hpt :
1 1 5
36
5 6 3
4

x y
x y

+ =




+ =


14
Giải hệ phương trình ta được x=12 ; y= 18
Bài 2 . Hai đội công nhân cùng làm chung một công việc thì hoàn thành sau 12 giờ.
Hai đội cùng làm sau 4 giờ thì đội I được điều đi làm việc khác, đội II làm nốt
công việc trong 10 giờ . Hỏi đội II làm một mình thì hoàn thành công việc sau bao
lâu?
Giải:
Gọi thời gian đội I làm xong công việc một mình là x (giờ). x>12.
thời gian đội II làm xong công việc một mình là y (giờ). x>12
Mỗi giờ tổ I làm được 1/x công việc, đội II làm được 1/y cv
Theo bài ra ta có hệ phương trình :
1 1 1
12
4 4 10
1
x y
x y y

+ =





+ + =


.
+) Cách 2:
Gọi thời gian để một mình người thứ hai làm xong công việc là: x giờ(x >0)
Trong 1 giờ người thứ hai làm được:
x
1
(phần công việc)
Trong 10 giờ người thứ hai làm được:
x
10
(phần công việc)
Trong 1 giờ cả hai người làm được:
12
1
(phần công việc)
Trong 4 giờ cả hai người làm được:
12
4
(phần công việc)
Theo đề bai hai người làm chung trong 4 giờ sau đó người thứ hai làm nốt trong
10 giờ thì xong công việc nên ta có phương trình:
1
10

12
4
=+
x
Giải phương trình ta được x = 15
Vậy một mình người thứ hai làm xong toàn bộ công việc hết 15 giờ.
Bài 3: Nếu vòi A chảy 2 giờ và vòi B chảy trong 3 giờ thì được
5
4
hồ. Nếu vòi A
chảy trong 3 giờ và vòi B chảy trong 1 giờ 30 phút thì được
2
1
hồ. Hỏi nếu chảy
một mình mỗi vòi chảy trong bao lâu mới đầy hồ.
Hướng dẫn: Gọi thời gian vòi A chày một mình đầy bể là x
Thời gian vòi B chảy một mình đầy bể là y
Trong 1 h vòi A chảy được 1/x bể
Vòi B chảy được 1/y bể
Ta có hpt :
2 3 4
5
3 1,5 1
2
x y
x y

+ =





+ =


Bài 4: Hai vòi nước cùng chảy vào một bể thì sau 6 giờ đầy bể. Nếu mỗi vòi chảy
một mình cho đầy bể thì vòi II cần nhiều thời gian hơn vòi I là 5 giờ. Tính thời
gian mỗi vòi chảy một mình đầy bể?
15
Hướng dẫn Gọi thời gian vòi I chày một mình đầy bể là x
Thời gian vòi II chảy một mình đầy bể là y
Trong 1 h vòi I chảy được 1/x bể
Vòi II chảy được 1/y bể
Ta có hpt :
5
1 1 1
6
x y
x y
= +



+ =


Bài tập áp dụng:
1) Hai máy cày làm việc trên một cánh đồng. Nếu hai đội cùng làm cày thì 10
ngày xong cv. Nhưng thực tế hai máy cày cùng làm việc 7 ngày đầu, sau đó máy
thứ nhất đi cày nơi khác, máy thứ hai cày tiếp 9 ngày nứa thì mới xong cv đó. Hỏi

mỗi máy làm một mình thì xong cv đó trong bao lâu?
2) Hai vòi nước cùng chảy vào một bể không có nước thì sau 4 giờ 48 phút đầy
bể. Nếu vòi I chảy trong 4 giờ, vòi II chảy trong 3 giờ thì cả hai vòi chảy được 3/4
bể. tính thời gian để mỗi vòi chảy một mình đầy bể?
3) Hai vòi nước cùng chảy vào một bể không có nước thì sau 1 giờ 20 phút đầy
bể. Nếu vòi I chảy trong 10 phut, vòi II chảy trong 12 phut thì cả hai vòi chảy
được 2/15 bể. tính thời gian để mỗi vòi chảy một mình đầy bể?
4). Hai người thợ làm chung một công việc thì sau 7h12’ thì xong. Nếu người
thứ nhất làm trong 5h và người thứ 2 làm trong 6h thì cả 2 người chỉ làm được 3/4
công việc. Hỏi một người làm công việc đó thì sau bao lâu thì xong.
5) Hai người làm chung một công việc thì 20 ngày sẽ hoàn thành. Nhưng sau
khi làm chung 12 ngày thì nguời thứ 2 đi làm việc khác còn người thứ nhát tiếp tục
làm công việc đó. Sau khi đi được 12 ngày thì người thứ nhất nghỉ, người thứ 2
quay về một mình làm tiếp công việc còn lại trong 6 ngày thì xong. Hỏi làm riêng
thì mỗi người làm trong bao nhiêu ngày để hoàn thành công việc đó?
2.2.3.4. Dạng toán về tỉ lệ chia phần ( “Thêm-bớt”; “Tăng-giảm”)
Bài 1 : Hai cửa hàng có 600(l) nước mắm. Nếu chuyển 80(l) từ cửa hàng thứ nhất
sang cửa hàng thứ hai thì số nước mắm ở cửa hàng thứ hai sẽ gấp đôi số nước mắm
ở cửa hàng thứ nhất. Hỏi lúc đầu mỗi cửa hàng có bao nhiêu lít nước mắm?
Hướng dẫn: Gọi số nước mắm ở mỗi cửa hàng lúc đầu là x, y lít
Tổng số nước mắm ở cả hai cửa hàng là bao nhiêu?Ta có ngay phương trình nào?
(x+y=600)
Sau khi chuyển thì số nước măm ở mỗi cửa hàng là bao nhiêu lít? Tìm mối liên hệ
giữa các đại lượng đó để lập phương trình?
Ta có hệ phương trình nào?
600
2( 80) 80
x y
x y
+ =



− = +

Lời giải:
Gọi số nước mắm ở mỗi cửa hàng lúc đầu là x, y lít
Hai cửa hàng có 600 lít nên ta có phương trình: x+ y = 600
Sau khi chuyển thì: cửa hàng thứ nhất còn: x – 80 lít.
cửa hàng thứ hai có:y + 80 lít.
16
Khi đó nước mắm ở cửa hàng hai gấp đôi ở cửa hàng thứ nhất nên ta có phương
trình:2(x- 80) =y + 80
Ta có hệ phương trình
600
2( 80) 80
x y
x y
+ =


− = +

Giải hệ phương trình ta được x = 280; y = 320
Bài 2 : Thùng dầu thứ nhất chứa nhiều gấp đôi thùng thứ hai. Nếu chuyển từ thùng
thứ nhất sang thùng thứ hai 25 lít thì lượng dầu hai thùng bằng nhau. Tình lượng
dầu trong mỗi thùng lúc dầu?
HD::Gọi số dầu trong thùng thứ nhất và thứ hai là x và y ta có hệ phương trình
sau:
2
25 25

x y
x y
=


− = +

Bài 3: Khối 8 và khối 9 của trường có 300 hs tham gia đồng diễn thể dục. Nếu
chuyển 20 hs từ khối 8 sng khối 9 thì 2/3 số hs khối 8 sẽ bằng 4/9 số hs khối 9.
Tính số hs của mỗi khối tham gia đồng diễn thể dục?
HD:Gọi số hs khối 8, khối 9 là x và y .Khi chuyển thì số hs của khối 8 và khối 9
lần lượt là: x-20 và y+20
Hpt:
300
2 4
( 20) ( 20)
3 9
x y
x y
+ =



− = +


2.2.3.5. Dạng toán liên quan đến tỉ lệ phần trăm.
Bài 1: Trong tháng đầu, hai tổ công nhân làm được 800 chi tiết máy. Sang tháng
thứ hai , tổ I vượt mức 15%, tổ II vượt mức 20% , nên cuối tháng hai tổ làm được
945 chi tiết máy. Hỏi trong tháng đầu mỗi tổ làm được bao nhiêu chi tiết máy?

Giải :Gọi số chi tiết máy mà tổ I làm được trong tháng đầu là x ( chi tiết)
số chi tiết máy mà tổ II làm được trong tháng đầu là y ( chi tiết)
ĐK: x,y nguyên,dương,nhỏ hơn 800.
Tháng đầu , hai tổ làm được 800 chi tiết nên ta có phương trình x+y=800.
tổ I vượt mức 15%x chi tiết, tổ II vượt mức 20%y chi tiết
nên ta có phương trình 15%x+20%y=145.
Kết hợp 2 phương trình ta có hệ phương trình



=+
=+
145y%20x%15
800yx
Giải ra được x= 300, y= 500 (thoả mãn)
Vậy tháng đầu tổ I làm được 300 chi tiết máy, tổ II làm được 500 chi tiết máy.
Bài 2: Trong tháng giêng hai tổ sản xuất được 720 chi tiết máy. Trong tháng hai, tổ
I vượt mức 15%, tổ II vượt mức 12% nên sản xuất được 819 chi tiết máy. Tính
xem trong tháng giêng mỗi tổ sản xuất được bao nhiêu chi tiết máy?.
HD: Gọi số sản phẩm tổ I, tổ II sản xuất được trong tháng giêng là x, y
Hpt:
720
15 12
819
100 100
x y
x x y y
+ =




+ + + =


Bài tương tự: Hai xí nghiệp theo kế hoạch phải làm tổng cộng 360 dụng cụ. Xí
nghiệp I đã vượt mức 12%, xí nghiệp II đã vượt mức kế hoạch 10%, do đó cả hai
17
xớ nghip ó lm tng cng 400 dng c. Tớnh s dng c mi xớ nghip phi lm
theo k hoch.
Bi 3: Nm ngoỏi tng s dõn ca hai tnh A v B l 4 triu ngi. Dõn s tnh A
nm nay tng 1,2%, cũn tnh B tng 1,1%. Tng s dõn ca c hai tnh nm nay l
4 045 000 ngi. Tớnh s dõn ca mi tnh nm ngoỏi v nm nay?
HD : Gọi số dân tỉnh A và B năm ngoái là x, y
Hệ phơng trình:
4000000
1, 2% 1,1% 4045000
x y
x x y y
+ =


+ + + =

Bài 4: Hai trờng A và B của một thị trấn có 210 hs lớp 9 thi đỗ lớp 10 đạt tỷ lệ
84%.Tính riêng thì trờng A đỗ 80%, trờng B đỗ 90%.Tính xem mỗi trờng có bao
nhiêu hs lớp 9 dự thi. HD:Gọi số hs dự thi của trờng A, trờng B lần lợt là x, y
Tổng số hs dự thi của cả 2 trờng là: 210:84%=250
Hệ phơng trình:
250
80 90

210
100 100
x y
x y
+ =



+ =


2.2.3.6. Dng toỏn cú ni dung hỡnh hc.
Bi 1: Mt tam giỏc cú chiu cao bng mt na cnh ỏy. Nu chiu cao tng thờm
3(dm) v cnh ỏy gim i 2(dm) thỡ din tớch ca nú tng thờm 13 (dm
2
). Tớnh
chiu cao v cnh ỏy
*) Hng dn gii:
Cn cho hc sinh hiu rng bt kỡ tam giỏc no cng cú cụng thc tớnh din tớch
l:
a
ahS
2
1
=
[Din tớch =
2
1
(cnh ỏy . chiu cao)]
Hng dn hc sinh chn n v lp bng, in cỏc s liu vo bng:

( ) ( )
1
2
1 1
13 2 3
2 2
y x
xy x y

=




+ = +


Bi 2: Mt khu vn hỡnh ch nht cú chu vi l 280 m. Ngi ta lm li i xung
quanh vn (thuc t trong vn) rng 2 m. Tớnh kớch thc ca vn, bit rng
t cũn li trong vn trng trt l 4256 m
2
.
HD:Gi cỏc kớch thc ca vn l x, y
Biu din chu vi ca hỡnh ch nht theo n? Lp phng trỡnh?
Khi lm li i thỡ cỏc kớch thc ca vn cũn li nh th no?Din tớch ca nú?
Lp phng trỡnh ?
H phng trỡnh:
( )
( ) ( )

2 280
4 4 4256
x y
x y
+ =


=


Cnh ỏy Chiu cao Din tớch
Lỳc u x y
1
.
2
xy
Lỳc sau x-2 y+3
1
( 2)( 3)
2
x y
+
18
Bài 3: Cho một hình chữ nhật. Nếu tăng chiều dài lên 10 m, tăng chiều rộng lên 5
m thì diện tích tăng 500 m
2
. Nếu giảm chiều dài 15 m và giảm chiều rộng 9 m thì
diện tích giảm 600 m
2
. Tính chiều dài, chiều rộng ban đầu.

HD: Gọi các kích thước của vườn là x, y
Diện tích là xy
Hệ phương trình:
( ) ( )
( ) ( )
10 5 500
15 9 600
x y xy
x y xy
+ + = +


− − = −


Bài 4: Cho một tam giác vuông. Nếu tăng các cạnh góc vuông lên 2 cm và 3 cm
thì diện tích tam giác tăng 50 cm
2
. Nếu giảm cả hai cạnh đi 2 cm thì diện tích sẽ
giảm đi 32 cm
2
. Tính hai cạnh góc vuông.
HD: Gọi hai cạnh góc vuông lần lượt là x, y
Diện tích là
1
.
2
xy
Hệ phương trình:
( ) ( )

( ) ( )
1
2 3 50
2
1
2 2 32
2
x y xy
x y xy

+ + = +




− − = −


2.2.3.7. Dạng toán về tìm số và chữ số.
Bài 1: Tìm một số tự nhiên có 2 chữ số biết tổng các chữ số của nó là 13 và nếu
cộng 34 vào tích 2 chữ số thì được chính số đó?
Giải :
Gọi số tự nhiên là
)9b0,9a1,Nb,a(ba10ab
≤≤≤≤∈+=
Theo bài ra ta có hệ phương trình



+=+

=+
ba1034ab
13ba
Giải hệ ta có a=7,b=6 ( thoả mãn)
Vậy số cần tìm là 76.
Bài 2: Một phân số có tử số bé hơn mẫu số là 11. Nếu tăng tử lên 3 đơn vị và giảm
mẫu số đi 4 đơn vị thì được phân số bằng 3/ 4. Tìm phân số ban đầu
*) Hướng dẫn
Gọi tử là x , mẫu là y
Tìm phân số mới khi tăng tử lên 3 đơn vị và mẫu giảm đi 4 đơn vị
Ta lập bảng
Lúc đầu Sau khi tăng, giảm
Tử x x + 3
Mẫu y y- 4
Hệ phương trình:
11
3 3
4 4
x y
x
y
+ =


+

=

−


Bài 3: Một số tự nhiên có hai chữ số. Tổng các chữ số của nó bằng 16. Nếu đổi
chỗ hai chữ số cho nhau thì được một số lớn hơn số đã cho là 18.
Tìm số đã cho
Hướng dẫn: Cách 1: Gọi chữ số hàng chục của số phải tìm là : x ( 0 < x
x,9
≤
N
∈
)
chữ số hàng đơn vị của số phải tìm là y
19
Hệ phương trình:
16
10 18 10
x y
x y y x
+ =


+ + = +

*) Cách giải 2:
Gọi chữ số hàng chục của số phải tìm là : x ( 0 < x
x,9
≤
N∈
)
chữ số hàng đơn vị là : 16- x
Số phải tìm có dạng: x(16- x)
Sau khi đổi chỗ hai chữ số hàng chục và chữ số hàng đơn vị cho nhau ta được số

mới là: (16- x)x
Theo đề bài số mới lớn hơn số đã cho là 18 đơn vị, nên ta có phương trình:
x( 16- x) + 18 = (16- x)x

⇔
10x + (16-x) + 18 = 10(16- x) + x

⇔
10x + 16 - x + 18 = 160- 10x + x

⇔
18x = 126

⇔
x = 7 ( thoả mãn điều kiện)
Vậy chữ số hàng chục là 7, chữ số hàng đơn vị là 16- 7 = 9
Vậy số phải tìm là 79
Giáo viên có thể hướng dẫn học sinh chọn ẩn là chữ số hàng đơn vị
*) Khai thác: Có thể thay đổi dữ kiện của bài toán thành biết tổng các chữ số của
nó bằng tỉ số giữa chữ số hàng chục và chữ số hàng chục và chữ số hàng đơn vị,
khi đó ta cũng có cách giải tương tự.
Ví dụ: Tìm một số có hai chữ số biết chữ số hàng chục lớn gấp ba lần chữ số hàng
đơn vị, khi đổi chỗ hai chữ số cho nhau thì thì được số mới nhỏ hơn số đã cho là
36
Giải: Gọi chữ số hàng đơn vị x (
)90
≤<
x
chữ số hàng chục là 3x
Số phải tìm có dạng (3x)x = 30x + x

Sau khi đổi chỗ hai chữ số được số mới là: x(3x) = 10x + 3x
Ta có phương trình: 10x + 3x + 36 = 30x + x
x = 2 ( thoả mãn )
Vậy số phải tìm là : 62
Bài 4: Một số tự nhiên có hai chữ số. Chữ số hàng đơn vị gấp hai lần chữ số hàng
chục. Nếu thêm chữ số 1 xen vào giữa hai chữ số ấy thì được một số mới lớn
hơn số ban đầu là 370. Tìm số ban đầu.
HD: C1:Gọi chữ số hàng chục và hàng đơn vị lần lượt là x và y
Hệ phương trình:
2
100 10 10 370
y x
x y x y
=


+ + = + +

C2 Gọi chữ số hàng chục là: x ( x € Z, 0 < x < 5)
Chữ số hàng đơn vị là: 2x
Số đã cho là: x(2x) = 10x + 2x = 12x
Nếu thêm chữ số 1 xen vào giữa hai chữ số ấy thì số mới là:
x1(2x) = 100x + 10 + 2x
= 102x + 10
Ta có phương trình: 102x + 10 – 12x = 370
90x = 360
20
x = 4 ( thoả mãn)
Trả lời: Số ban đầu là: 48
Bài tập áp dụng:

1): Tìm một số tự nhiên có hai chữ số, tổng các chữ số bằng 11, nếu đổi chỗ
hai chữ số hàng chục và hàng đơn vị cho nhau thì số đó tăng thêm 27 đơn vị.
HD: Gọi chữ số hàng chục và hàng đơn vị lã và y.
Hệ phương trình:
11
(10 ) (10 ) 27
x y
y x x y
+ =


+ − + =

2): Tìm một số có hai chữ số, biết rằng số đó gấp 7 lần chữ số hàng đơn vị của
nó và nếu số cần tìm chia cho tổng các chữ số của nó thì được thương là 4 và số dư
là 3.
HD: Gọi chữ số hàng chục và hàng đơn vị là x và y.
( )
10 7
(10 ) .4 3
x y y
x y x y
+ =



+ = + +


3): Nếu tử số của một phân số được tăng gấp đôi và mẫu số thêm 8 thì giá trị của

phân số bằng
4
1
. Nếu tử số thêm 7 và mẫu số tăng gấp 3 thì giá trị phân số bằng
24
5
.
Tìm phân số đó.
HD: Gọi tử và mẫu là x và y.
Hệ phương trình:
2 1
8 4
7 5
3 24
x
y
x
y

=

+


+

=


4) Nếu thêm 4 vào tử và mẫu của một phân số thì giá trị của phân số giảm 1. Nếu

bớt 1 vào cả tử và mẫu, phân số tăng
2
3
. Tìm phân số đó.
HD: Gọi tử và mẫu là x và y.
Hệ phương trình:
1 3
1 2
4
1
4
x x
y y
x x
y y
−

= +

−


+

= −

+

5) Tìm một số có hai chữ số biết chữ số hàng chục hơn chữ số hàng đơn vị là 5
và nếu đổi chỗ hai chữ số cho nhau thì được số mới hơn số cũ 45 đơn vị

HD Gọi chữ số hàng chục và hàng đơn vị lần lượt là x và y
Hpt:
5
10 10 45
x y
y x x y
= +


+ = + +

Đáp số : 27.
Trên đây là 7 dạng toán về “giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình” thường
gặp trong trương trình Đại số 9. Mỗi dạng toán tôi mới chọn một số bài toán mang
tính điển hình để giới thiệu về cách phân loại và phương pháp giải mỗi dạng toán
đó để học sinh có thể nhận dạng được các bài toán mới thuộc dạng toán nào từ đó
mà có cách giải hợp lý và nhanh, chính xác
Với những giải pháp đã nêu trên tôi đã vận dụng vào trong quá trình hướng
dẫn cho học sinh giải các bài toán dạng này thì nhận thấy các em đã nắm được quy
21
tắc giải bài toán bằng cách lập phương trình, phân loại được các dạng toán, làm
sáng tỏ mối quan hệ giữa các đại lượng dẫn đến lập được phương trình (hệ phương
trình) dễ dàng, từ đó việc giải phương trình (hệ phương trình) tìm ra đáp số của bài
toán chính xác không gặp phải những khó khăn và sai lầm khi gặp dạng bài toán
này, kích thích học sinh lòng say mê tìm hiểu cách giải để học sinh phát huy được
khả năng tư duy linh hoạt, nhạy bén khi tìm lời giải bài toán.
2.3. Kết quả
@ Sau khi áp dụng đề tài bản thân tôi nhận thấy :
- Không khí học tập của lớp sôi nổi hơn nhiều, học sinh ham học.
- Phát hiện cách giải nhanh chóng theo hướng dẫn của thầy.

- Một số em học sinh từ trung bình trở lên có thể phát hiện được cách làm
tuy trình bày chưa được hoàn mỹ lắm.
- Thấy rõ mối liên hệ giữa thực tế và toán học.
@ Kết quả kiểm tra cuối năm lớp 9 Trường TH&THCS Đại Dực
Giỏi Khá Trung bình Yếu
0 8/21 = 38,1% 11/21 = 52,4% 2/21 = 9,5%
@ Tóm lại sau khi áp dụng sáng kiến tôi nhận thấy học sinh có chuyển biến
theo chiều hướng tích cực rõ rệt. Cụ thể, theo bảng kết quả trên, đa số học sinh đã
có kỹ năng giải tốt bài tập và có thể tự làm chính xác mỗi dạng bài tập. Kết quả
học tập của bộ môn toán của học sinh có sự thay đổi theo chiều hướng tiến bộ.
2.4. Rút ra bài học kinh nghiệm
2.4.1. Bài học chung
Qua những năm giảng dạy và bồi dưỡng học sinh ở trường tôi thấy rằng để giúp
học sinh hiểu sâu sắc từng vấn đề thì ngoài việc giáo viên cần nghiên cứu kĩ các
bài tập và cơ sở lý thuyết để giải các bài tập đó thì giáo viên cần phải hướng dẫn
học sinh học một cách dần dần từ những bài dễ đến các bài khó, có thể chỉ thay đổi
một vài ý nhỏ của bài toán để học sinh luyện tập sau đó mới nâng dần độ khó của
các bài tập.
2.4.2. Bài học riêng
Sáng kiến kinh nghiệm này chỉ đạt được kết quả tốt khi học sinh đáp ứng được các
yêu cầu sau:
- Nắm chắc quy tắc giải bài toán bằng cách lập phương trình
- Có kĩ năng giải phương trình thành thạo
- Có vốn kiến thức nhất định về những môn học khác để hiểu đúng những
câu chữ trong đề bài từ đó hiểu đúng đề bài.
2.4.3. Bài học thành công
22
Tôi đã đem sáng kiến kinh nghiệm này để giảng dạy ở trường vẫn dạy theo
cách thông thường là theo kiểu cuốn chiếu các bài toán trong sách giáo khoa. Kết
quả thu được ở một số bài kiểm tra khá tốt.

Với những giải pháp đã nêu trên tôi đã vận dụng vào trong quá trình hướng
dẫn cho học sinh giải các bài toán dạng này thì nhận thấy các em đã nắm được quy
tắc giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình, phân loại được các dạng toán, làm
sáng tỏ mối quan hệ giữa các đại lượng dẫn đến lập được hệ phương trình dễ dàng,
từ đó việc giải hệ phương trình tìm ra đáp số của bài toán chính xác không gặp
phải những khó khăn và sai lầm khi gặp dạng bài toán này, kích thích học sinh
lòng say mê tìm hiểu cách giải để học sinh phát huy được khả năng tư duy linh
hoạt, nhạy bén khi tìm lời giải bài toán.
2.4.4. Bài học chưa thành công
- Mỗi dạng toán mới chỉ đưa được một số bài toán điển hình làm mẫu.
- Còn một số bài không mẫu mực chưa đưa được vào dạng toán nào.
- Chưa trình bày được nhiều cách giải khác nhau của một bài toán.
- Phần khai thác bài toán mới chỉ làm đại diện ở một số bài toán .
III. Kết luận, kiến nghị
1. Kết luận
Từ thực tế nghiên cứu giảng dạy, tôi nhận thấy việc giảng dạy giải bài toán bằng
cách lập hệ phương trình có ý nghĩa thực tế rất cao. Nó rèn luyện cho học sinh tư duy
logic, khả năng sáng tạo, khả năng diễn đạt chính xác nhiều quan hệ toán học, … Do đó
khi giải dạng toán này ở lớp 9 giáo viên cần lưu ý học sinh đọc kỹ đề bài, nắm được các
mối quan hệ đã biết và chưa biết giữa các đại lượng để lập hệ phương trình.
Các bài toán, ví dụ được nêu lên đều chủ yếu là toán bậc nhất, nghĩa là các bài
toán dẫn đến phương trình có thể quy về bậc nhất. Việc giải bài toán bằng cách lập hệ
phương trình cũng tuân theo các bước như ở lớp 8. Vì thế giáo viên cần phân tích kỹ
các bước giải, cũng như lưu ý rõ cho học sinh các yêu cầu trong khi giải và từng dạng
toán cơ bản để học sinh có được kiến thức vững chắc phục vụ cho việc giải toán.
Bên cạnh đó, giáo viên cũng tạo hứng thú cho học sinh trong các giờ học, hướng
dẫn học sinh cách học bài, làm bài và cách nghiên cứu trước bài mới ở nhà. Tăng
cường phụ đạo học sinh yếu kém, tìm ra những chỗ học sinh đã bị hổng để phụ đạo.
Điều đó đòi hỏi người giáo viên phải có lòng yêu nghề, yêu thương học sinh và phải có
một lượng kiến thức vững chắc, có phương pháp truyền thụ phù hợp với từng đối tượng

học sinh.
Được sự giúp đỡ và ủng hộ nhiệt tình của các đồng nghiệp trong trường tôi
đã cố gắng tìm tòi, học hỏi và chọn ra một hệ thống bài tập tương đối phù hợp để
minh hoạ cho sáng kiến kinh nghiệm này.
Trong quá trình viết sáng kiến này do điều kiện hạn hẹp về thời gian và kinh
nghiệm, năng lực của bản thân còn hạn chế nên các bài tập đưa ra mới chỉ mang
tính chất giới thiệu nhằm trao đổi với các đồng chí để cùng các đồng chí rút kinh
nghiệm qua các giờ dạy thực nghiệm. Vì vậy kinh nghiệm này chưa thể đạp ứng
đầy đủ nhu cầu của người đọc. Tôi mong rằng sẽ được tiếp thu những ý kiến đóng
góp quý báu của các đồng chí để sáng kiến này được hoàn chỉnh hơn.
23
2. Kiến nghị
2.1. Đối với cấp trường
- Ban giám hiệu nhà trường cần quan tâm hơn nữa trong việc đầu tư cơ sở
vật chất, trang thiết bị dạy học, sách tham khảo, tài liệu nâng cao.
- Chỉ đạo các tổ chức nhà trường tổ chức nhiều hoạt động nhằm thu hút học
sinh tới trường
- Phối hợp tốt với địa phương, với phụ huynh học sinh trong việc quan tâm
đôn đốc, tạo điều kiện cho các em học sinh đi học đều, đầy đủ.
2.2. Đối với cấp phòng
- Đề xuất với cấp trên có nhiều hơn nữa các chế độ, chính sách để động viên,
khuyến khích đối với học sinh vùng cao nhằm thu hút các em tới trường.
IV. Tài liệu tham khảo – phụ lục
1. Tài liệu tham khảo
SST
Tên tài liệu Tác giả
1 SGK Đại số 9
Phan Đức Chính (Tổng chủ biên )
Tôn Thân (chủ biên)
và nhóm tác giả

2 SGV Đại số 9
Phan Đức Chính (Tổng chủ biên )
Tôn Thân (chủ biên)
Phạm Gia Đức
Trương Công Thành
Nguyễn Duy Thuận
Nguyễn Huy Đoan
3 Bài tập Toán 9
Tôn Thân( chủ biên)
Phạm Gia Đức
Trương Công Thành
Nguyễn Duy Thuận
4
Nâng cao và phát triển toán 9
(Tập I & II)
Vũ Hữu Bình
5
Toán nâng cao và các chuyên
đề Đại số 9
Vũ Dương Thụy (chủ biên)
Nguyễn Ngọc Đạm
6
Toán cơ bản và nâng cao Đại
số 9
Vũ Hữu Bình
7
“23 chuyên đề giải 1001 bài
toán sơ cấp
Của nhóm tác giả: Nguyễn Văn Vĩnh
– Chủ biên, Nguyễn Đức Đồng và

một số đồng nghiệp (NKTH).
8
Chuyên đề bồi dưỡng Đại số
THCS 9
Nguyễn Mạnh Uyên Minh

24
2. Phụ lục
Nội dung Trang
I. Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
2. Mục đích nghiên cứu
3. Thời gian địa điểm
4. Đóng góp mới về mặt thực tiễn
II. Nội dung
1. Chương trình 1: Tổng quan
1.1. Cơ sở lý luận
1.2. Cơ sở thực tiễn
2. Chương II: Nội dung nghiên cứu
2.1. Thực trạng
2.2. Các giải pháp
2.2.1. Phân tích, tìm hiểu dạng toán “Giải bài toán bằng cách lập hệ
phương trình”
2.2.2. Phân tích, tìm hiểu những yêu cầu khi giải bài toán bằng
cách lập hệ phương trình
2.2.3. Phân loại và hướng dẫn giải các dạng toán cụ thể về giải bài
toán bằng cách lập hệ phương trình
2.2.3.1. Dạng toán chuyển động
2.2.3.2. Dạng toán năng xuất lao động (sớm – muộn, trước – sau):
2.2.3.3. Dạng toán về công việc ( “làm chung – làm riêng”, vòi

nước chảy)
2.2.3.4. Dạng toán về tỉ lệ chia phần ( “Thêm-bớt”; “Tăng-giảm”)
2.2.3.5. Dạng toán liên quan đến tỉ lệ phần trăm.
2.2.3.6. Dạng toán có nội dung hình học.
2.2.3.7. Dạng toán về tìm số và chữ số.
2.3. Kết quả
2.4. Rút ra bài học kinh nghiệm
2.4.1. Bài học chung
2.4.2. Bài học riêng
2.4.3. Bài học thành công
2.4.4. Bài học chưa thành công
III. Kết luận, kiến nghị
1. Kết luận
2. Kiến nghị
2.1. Đối với cấp trường
1
1
1
2
2
2
2
2
3
4
4
5
5
5

10
10
12
14
16
17
18
19
22
22
22
22
22
23
23
23
24
24
25