giải tích chuyên đề tích phân bất định

Nội dung

1 – Tích phân bất định.
2 – Tích phân xác định.
3 – Tích phân suy rộng.
4 – Ứng dụng của tích phân.
I. Tích phân bất định
Hai nguyên hàm sai khác nhau một hằng số.
( ) ( )f x dx F x C

Định nghĩa
Hàm số y = F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm
hàm trong [a,b], nếu y = F(x) liên tục, có đạo
()y f x
tại mọi điểm thuộc đoạn [a,b] và .
'
( ) ( )F x f x
Tập hợp tất cả các nguyên hàm của y = f(x) được gọi là
tích phân bất định của hàm y = f(x), ký hiệu
I. Tích phân bất định
 
'
1. ( ) ( )f x dx f x

Tính chất
 
2. ( ) ( )d f x dx f x dx

3. Nếu f(x) là hàm khả vi, thì
'
( ) ( )f x dx f x C


4. Nếu f(x) là hàm khả vi, thì
( ) ( )df x f x C

5. ( ) ( ) f x dx f x dx



 
6. ( ) ( ) ( ) ( ) f x g x dx f x dx g x dx  
  
1. sinh coshxdx x c

Tích phân của một số hàm cơ bản
2
2. tanh
cosh
dx
xc
x


cosh sinhxdx x c

2
coth
sinh
dx
xc
x

  

22
1
3. arctan
dx x
c
aa
xa



22
4. arcsin arccos
dx x x
cc
aa
ax






22
22
5. ln
dx
x x a C
xa

 


0a 
Phương pháp đổi biến
'
()
( ( )) ( ) ( )
tx
f x x dx f t dt





Nếu tồn tại hàm hợp và hàm liên tục
( ( ))fx

()tx


trên đoạn [a,b] và khả vi trong khoảng (a,b), thì
Nếu tồn tại hàm hợp của hàm , thì
()tx


1
()xt




1
'
()
( ) ( ( )) ( )
xt
f t dt f x x dx






1
'
()
( ) ( ( )) ( )
tx
f x dx f t t dt






Ví dụ
Tính
sin
dx
I

x


sin
dx
I
x


2
sin
sin
xdx
x


1
2 1 1






dt dt
tt
Ví dụ
Tính
2
ln(arccos )

1 arccos
x dx
I
xx



2
cos
1 cos
dx
x



2
1
dt
t



ln tan
2




x
C

1 1 cos
ln
2 1 cos






x
C
x
ln(arccos )tx
2
1 arccos
dx
dt
xx



2
ln(arccos )
1 arccos
x dx
I
xx




2
2
t
tdt C  

 
2
1
ln arccos
2
xC
Phương pháp tích phân từng phần.
Giả sử hai hàm liên tục trên đoạn [a,b]
( ), ( )u u x v v x
và khả vi trong khoảng (a,b).
Nếu tồn tại , thì tồn tại . Ngoài ra:
'
v u dx

'
u v dx

''
u vdx u v v u dx    

u dv u v v du    


Phương pháp tích phân từng phần.
 

( )ln
n
P x ax dx

đặt
 
ln
dx
u ax du
x
  
( ) ( )
nn
dv P x dx v P x dx  

()
ax
n
P x e dx

( ) cos
n
P x ax dx

( ) sin
n
P x ax dx

đặt
()

n
u P x
dv  phaàn coøn laïi.
( ) arcsin
n
P x ax dx

( ) arccos
n
P x ax dx

( ) arctan
n
P x ax dx

 
()arccot
n
P x ax dx

Ví dụ
Tính
2
arccosI xdx

arccosux
2
1
dx
du

x



Đặt
2
2
2arccos
arccos
1
xdx
u x du
x

  

dv dx v x  
2
2
2 arccos
arccos
1
xx
I x x dx
x

  


2

1
arccosx x I
2
1
1 arccosI x x dx   

2
1
xdx
dv
x


2
2
1
1
xdx
v x C
x
     


2
2
1 arccosx x x C    
Tích phân của hàm hữu tỷ
()
()
n

m
Px
dx
Qx

các đa thức bậc n và
m với hệ số thực.
,
nm
PQ
1. Chia tử cho mẫu, đưa về tích phân phân thức đúng.
2. (Đại số). Mẫu là đa thức với hệ số thực, phân tích ra
thừa số bậc nhất và bậc hai.
 
 
   
1
1
22
1 1 1
( )
v
k
tt
s
s
m k v v
Q x x a x a x p x q x p x q       
Tích phân của hàm hữu tỷ.
3. Phân tích:

 
 
1
1
2
1 1 1
( ) ( )
()
nn
t
s
m
P x P x
Qx
x a x p x q

  
 
   
1
1
12
2
1
11
s
s
A
AA
xa

x a x a
   


 
   
11
1
1 1 2 2
2
2
22
11
1 1 1 1
tt
t
B x C
B x C B x C
x p x q
x p x q x p x q


   

   
4. Qui đồng, đồng nhất hai vế, giải tìm các hệ số.
5. Đưa tích phân cần tính về các tích phân cơ bản sau.
Tích phân của hàm hữu tỷ.
  
1

1
,1
()
1.
1

nn
dx
Cn
xa
n x a

  



 
2 2 2
2
2
2
2
.
Mx n dx
M x p Mp dx
dx N
x px q x px q x px q




  

     

  
 
22
3.
n
n
dx
I
xa



 
22
1
n
u
xa


 
1
22
2
n
nxdx

du
xa




dv dx v x  
   
2
1
2 2 2 2
2
n
nn
x x dx
In
x a x a




Tích phân của hàm hữu tỷ.
 
 
 
2 2 2
1
2 2 2 2
2
n

nn
x a a dx
x
In
x a x a





     
2
1
2 2 2 2 2 2
22
n
n n n
x dx dx
I n na
x a x a x a

  
  

 
2
1
22
22
n n n

n
x
I nI na I
xa

  

Hệ thức truy hồi:
 
 
1
2
22
1
21
2
nn
n
x
I n I
na
xa



  



1

22
1
arctan
dx x
IC
aa
xa
  


Ví dụ
Tính
3
( 2)
dx
I
x



3
( 2)
( 2)
dx
I
x





3
( 2) ( 2)x d x

  

 
31
2
11
2
2
2( 2)
x C C
x


     

22
( 1) 2
dx
I
x



 
22
1
( 1) 2

dx
x




Ví dụ
Tính
2
25
dx
I
xx



11
arctan
22
x
C


Ví dụ
Tính
( 4)
( 2)( 1)
x dx
I
xx





4
( 2)( 1) 2 1
x A B
x x x x


   
2
21
dx dx
I
xx



Qui đồng, đồng nhất hai vế, tìm được A = 2, B = -1.
2ln( 2) ln( 1)x x C    
2
( 2)
ln
1
x
C
x




Chú ý. Cách tìm hệ số A, B trong (*) nhanh:
(*)
Để tìm A, nhân hai vế (*) cho (x – 2) rồi thay x = 2 vào.
Để tìm B, nhân hai vế (*) cho (x +1) rồi thay x = -1 vào.
Ví dụ
Tính
32
22
2 5 1
( 3)( 1)
x x x
I dx
x x x
  

  

32
2 2 2 2
2 5 1
( 3)( 1) 3 1
x x x Ax B Cx D
x x x x x x
    

     
Qui đồng, đồng nhất, tìm có: A = 0, B = 1, C = 2, D = 0.
22
2

31
dx xdx
I
x x x

  

2
1 2 2 1
arctan ln( 1) arctan
3 3 3 3
xx
x x C

     
 
22
2 1 1
31
x
dx
dx
x x x


  

Ví dụ
Tính
2

2 2 2
48
( 1) ( 1)
xx
I dx
xx




 
 
2 2 2 2 2 2
2
()
1
( 1) ( 1) 1
1
1
P x A B Cx D Ex F
x
x x x
x
x

   

  



Tìm được: A = 2, B = -1, C = -2, D = -1, E = -2, F = 4.
     
2 2 2
2 2 2
( 2 4) 2 4
1 1 1
x dx xdx dx
x x x
  

  
  
 
2
2
2
4
1
dx
I
x



Dùng hệ thức truy hồi, tính qua
1
.I
(*)
Thay x = -1, cân bằng phần thực, ảo: E = -2, F = 4.
Để tìm các hệ số A, B, C, … nhanh, có thể sử dụng khai

triển Heaviside: tham khảo bài giảng Hàm phức toán tử,
giảng viên Đặng Văn Vinh.
Từ , ta có:
(*)
2 2 2 2 2
4 8 ( 1)( 1) ( 1)x x A x x B x      
2 2 2
( )( 1) ( 1) ( )( 1)Cx D x x Ex F x      
Thay x = 1, tìm được B = -1.
Đạo hàm 2 vế, chỉ quan tâm số hạng khác 0 khi x = i
Thay x = i, tìm được C= -2, D = -1.
Tích phân của hàm hữu tỷ: Phương pháp Ostrogradskii
12
12
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
P x P x P x
dx dx
Q x Q x Q x


đa thức chỉ có nghiệm đơn là nghiệm của Q(x),
2
()Qx
1
2
()
()
()
Qx

Qx
Qx

là hai đa thức với các hệ
12
( ), ( )P x P x
số cần tìm, có bậc tương ứng nhỏ
12
( ), ( ).Q x Q x
hơn bậc của
Để tìm các hệ số của , đạo hàm hai vế (*),
12
( ), ( )P x P x
(*)
Qui đồng, đồng nhất hai vế, tìm các hệ số.
Ví dụ
Tính
2
2 2 2
48
( 1) ( 1)
xx
I dx
xx




Sử dụng phương pháp Ostrogradskii
2

12
2 2 2
12
48
( 1) ( 1)
x x P P
I dx dx
QQ
xx

  


2
2
( 1)( 1)Q x x  
2
2
P ax bx c   
bậc nhỏ hơn bậc Q
2

2
12
( 1)( 1) /Q x x Q Q   
2
1
P Ax Bx C   
(*)
Đạo hàm hai vế (*)

'
2
12
2 2 2
12
48
( 1) ( 1)
x x P P
QQ
xx






Đồng nhất hai vế, tìm A, B, C, a, b, c.
Tích phân của hàm vô tỷ
12
12
, , ,
pp
qq
ax b ax b
R x dx
cx d cx d


   


   


   



Cách giải: đổi biến
,
n
ax b
t
cx d



n là Bội số chung nhỏ nhất của
12
, , qq
Ví dụ
Tính
4
2 1 2 1
dx
I
xx

  

Đổi biến:

4
21xt
3
24dx t dt
3
2
2t dt
I
tt



2
2
1
t dt
t



1
21
1
t dt
t

  





2
2 ln | 1|t t t C    
Ví dụ
Tính
2
6
3
3
1 ( 1) 1
( 1)(1 1)
x x x
I dx
xx
    

  

Đổi biến:
6
1xt
5
6dx t dt
6 4 5
62
()
6
(1 )
t t t t dt
I

tt




3
2
66
1
dt
t dt
t



3
2
6
3
6arctan
2
x x C  
Tích phân của hàm vô tỷ: Tích phân Euler
2
,R x ax bx c dx




Cách giải: Đổi biến Euler

2
0:a ax bx c ax t     
2
0, 4 0a b ac  
2
0:c ax bx c xt c     
2
1
()ax bx c x x t    
Trong đó x
1
là một nghiệm thực của
2
0ax bx c  
Ví dụ
Tính
2
2
11
1
xx
I dx
x x x
  



Tích phân Euler:
Đổi biến:
2 2 2

1 2 1x x t x tx    
 
2
2
2
1
2
1
tt
dx dt
t



2
21
1
t
x
t



2
2
1
t
I dt
t





2
ln 1 tC  
2
11x x tx   
2
2
2
1
1
1
tt
xx
t

  

2
11xx
t
x
  
  
2
2
11
ln 1
xx

C
x

  
  



Tích phân của hàm vô tỷ: Tích phân Trêbưsev
 
p
mn
x ax b dx

a, b: số thực, m, n, p: hữu tỷ, tất cả các số khác 0.
Trường hợp 1: là số nguyên.
p
Đặt , với N là BSC nhỏ nhất của mẫu của m và n
N
xt
Đặt , với s là mẫu của p.
ns
ax b t
Trường hợp 2: là số nguyên.
1m
n

Đặt , với s là mẫu của p.
ns
a bx t



Trường hợp 3: là số nguyên.
1m
p
n

