Luyen thi DH chuyen de 4.PT luong giac

ễn thi H v C Thy Giỏo V Hong Sn
B i 4 : Phơng trình và hệ PT lợng giác
Một số kiến thức cần nhớ
1. Các công thức biến đổi lợng giác
a) Công thức cộng:
cos(a - b) = cosacosb + sinasinb
cos(a + b) = cosacosb - sinasinb
sin(a + b) = sinaccosb + cosasinb
sin(a - b) = sinacosb - cosasinb
( )
1
tga tgb
tg a b
tgatgb

=
m
b) Công thức nhân đôi, nhân ba
cos2a = cos
2
a - sin
2
a = 2cos
2
a - 1 = 1- 2sin
2
a;
sin2a = 2sinacosa;
2
2
2 ,

2 4 2
1
tga
tg a a k a k
tg a



= + +
ữ


3 3
sin 3 3sin 4sin ; cos 3 4cos 3cos ;a a a a a a
= =
c) Công thức hạ bậc
2 2
1 cos 2 1 cos 2
cos ; sin ;
2 2
a a
a a
+
= =
d) Công thức chia đôi
Đặt
( )
2
2
x

t tg x k

= +
. Ta có:
2
2
2 2 2
2 1 2
sin ; cos ;
1 1 1
t t t
x x tgx
t t t

= = =
+ +
;
e) Công thức biến đổi
* Đổi tích thành tổng:
[ ]
[ ]
[ ]
1
cos cos cos( ) cos( )
2
1
sin sin cos( ) cos( )
2
1
sin cos sin( ) sin( )

2
a b a b a b
a b a b a b
a b a b a b
= + +
= +
= + +
* Đổi tổng thành tích:
cos cos 2 cos cos ;
2 2
cos cos 2sin sin ;
2 2
sin sin 2sin cos ;
2 2
sin sin 2 cos sin ;
2 2
a b a b
a b
a b a b
a b
a b a b
a b
a b a b
a b
+
+ =
+
=
+
+ =

+
=
f) Một số công thức hay dùng:
sin cos 2 sin 2 cos
4 4
sin cos 2 sin 2 cos
4 4
x x x x
x x x x



+ = + =
ữ ữ


= = +
ữ ữ

1 1
; ;
4 1 4 1
tgx tgx
tg x tg x
tgx tgx

+

+ = =
ữ ữ

+

2. Một số phơng trình lợng giác thờng gặp
a) phơng trình lợng giác cơ bản:
+ sinx = a
1
ễn thi H v C Thy Giỏo V Hong Sn
1
2
1 (sin )
2
PTVN
PT có ngh
a
x k
a a
x k



>
= +

=

= +

+ cosx = a
1
1 2 (cos )

PTVN
PT có ngh
a
a x k a

>
= + =
+ tgx = a ĐK:
2
x k


+
, x =
k

+
(tg = a).
+ cotgx = a, ĐK:
x k


, x =
k

+
(cotg = a).
b) Phơng trình bậc nhất, bậc hai đối với một hàm số lợng giác.
* Phơng trình bậc nhất:
[ ]

( ) ( ) 2
sin ( ) sin ( ) ;
( ) ( ) 2
cos ( ) cos ( ) ( ) ( ) 2 ;
( ) ( ) ( ) ( ) ;
( ) ( ) ( ) ( ) ;
sin ( ) sin ( ) sin ( ) sin ( ) ;
cos ( ) cos ( ) cos (
tg tg
cotg cotg
f x g x k
f x g x
f x g x k
f x g x f x g x k
f x g x f x g x k
f x g x f x g x k
f x g x f x g x
f x g x f x





= +

+ =

= +

+ = = +

+ = = +
+ = = +
+ = =
+ =
[ ]
) cos ( ) ;
sin ( ) cos ( ) sin ( ) ;
2
g x
f x g x g x


=

+ =


* Phơng trình bậc 2:
2
sin sin 0a x b x c+ + = đặt t = sinx (
1t
).
2
cos cos 0a x b x c+ + = đặt t = cosx (
1t
).
2
2
0;
0;

atg x btgx c
acotg x bcotgx c
+ + =
+ + =
Ví dụ: 2.ẹHNHaứng.
5
cos2 4cos 0
2
x x
+ =
c) Phơng bậc nhất đối với sinx và cosx.
asinx + bcosx = c.
Cách giải:
+ Cách 1: chia cả hai vế cho
2 2
a b+
; đặt:
2 2 2 2
cos , sin
a b
a b a b

= =
+ +
ta đợc PT:
2 2
sin( )
c
x
a b

+ =
+
;
*) Chú ý: Phơng trình có nghiệm
2 2 2
c a b +
.
+ Cách 2: Đặt
b
tg
a

=
ta đợc phơng trình:
sin( ) cos
c
x
a

+ =
.
Ví dụ: ẹHHueỏ 99.
3 sin 2 cos 2 2x x
+ =
d) Phơng trình đẳng cấp đối với sinx và cosx
2 2
sin sin cos cosa x b x x c x d+ + =
Cách giải:
* Cách 1: Thử với cos

2
x = 0 sinx = 1 nếu nghiệm đúng pt thì đặt cosx làm thừa số chung.
Với cos
2
x 0 chia cả hai vế cho cos
2
x ta đợc:
atg
2
x + btgx + c = d(1 + tg
2
x).
2
ễn thi H v C Thy Giỏo V Hong Sn
* Cách 2: Hạ bậc đa về phơng trình bậc nhất đối với sin2x và cos2x.
Ví dụ:ẹHVLang 96D.
2 2
2cos 5sin cos 6sin 1x x x x
+ + =
e) Phơng trình đối xứng đối với sinx và cosx
*) Đối xứng: a(sinx + cosx) + bsinxcosx = c
Đặt sinx + cosx = t, điều kiện
2t
2
2
1
2 2 0
2
t
at b c bt at b c

+ = + =
ữ

* Giả đối xứng: a(sinx - cosx) + bsinxcosx = c
Đặt sinx - cosx = t, điều kiện
2t
2
2
1
2 2 0
2
t
at b c bt at b c


+ = + =
ữ

.
Ví dụ .HVCTQG.00:
( )
2sin 2 2 sin cos 1 0x x x
+ + =
3. Một số phơng pháp thờng dùng khi giải các phơng trình lợng giác:
+ áp dụng các hằng đẳng thức;
+ áp dụng các công thức biến đổi;
+ Đổi biến số, đặt ẩn phụ;
+ Biến đổi về tích bằng 0;

+ Đánh giá: dùng BĐT, tập giá trị của hàm số y = sinx; y = cosx, dùng đạo hàm;
+ Biến đổi về tổng bình phơng bằng 0.
4. Các ví dụ:
Giải các phơng trình sau:
Bài 1:
x
x
tgxgx
2sin
4cos.2
cot
+=
.
ĐS:
3
x k


= +
.
Bài 2:
)1(sin
2
1
3
2
cos
3
cos
22

+=






++






+
xxx

ĐS:
5
; 2 ; 2
6 6
x k x k x x k


= = + = = +
.
Bài 3:
2
sin
2sin

2sin
sin
2
2
2
2
=+
x
x
x
x
.
ĐS:
2
2 ; 2
3 3
x k x x k


= + = = +
.
Bài 4:
8
1
3
.
6
3cos.cos3sin.sin
33
=

+







+

xtgxtg
xxxx
HD:- Đặt ĐK rút gọn MS=1
AD công thức nhân 3 ĐS:
6
x k


= +
.
Bài 5:
0cos.6)sin.2(3
=++
xxtgxtgx

HD: Biến đổi theo sin và cos.ĐS:
3
x k


= +
.
Bài 6:
3. 6sin 2sin( ) (1)
2
2sin 6sin( ) (2)
2
y
tg x y x
y
tg x y x

+ =




= +


HD: nhân (1) với (2) rút gọn
y
y
tg
22

sin4
2
=
.
3
Ơn thi ĐH và CĐ Thầy Giáo Vũ Hồng Sơn
®Ỉt
2
y
t tg
 
=
 ÷
 
⇒
t

= 0, t = ±
3
.
Bµi 7:
xxxxxx cos13sin.
2
1
sin.4cos2sin.3cos
++=−
HD : B§ tÝch thµnh tỉng rót gän.
Bµi 8:
2
1

5cos4cos3cos2coscos
−=++++
xxxxx
HD: nh©n 2 vÕ víi 2.sin(x/2) chó ý xÐt trêng hỵp b»ng 0.
NhËn xÐt: Trong bµi to¸n chøa tỉng
nxxxT
nxxxT
sin..2sinsin
cos..2coscos
+++=
+++=

thùc hiƯn rót gän b»ng c¸ch trªn.
Bµi 9:
)cos.sin2(cos3sin.2sin.
22
xxxxxtgx
+=−
HD: B§ vỊ d¹ng:
2 2
(sin cos )(sin 3cos ) 0x x x x+ − =
5. Mét sè ph¬ng tr×nh cã tham sè:
Bµi 1. T×m m ®Ĩ pt: sin2x + m = sinx + 2mcosx
cã ®óng 1 nghiƯm
3
[0; ]
4
x
π
∈

.
HD: PT ⇔ (sinx - m)(2cosx - 1) = 0.
Bµi 2. T×m m ®Ĩ ph¬ng tr×nh:
(2sinx - 1)(2cos2x + 2sinx + m) = 3- 4cos
2
x
cã ®óng 2 nghiƯm x ∈ [0; π].
HD: PT ⇔ (2sinx - 1)(2cos2x + m - 1) = 0.
Bµi 3. T×m m ®Ĩ pt: mcos
2
2x - 4sinxcosx + m - 2 = 0
cã nghiƯm x ∈ [0 ; π/3].
Bµi 4: Cho ph¬ng tr×nh
02sin24cos)cos.(sin2
44
=++++
mxxxx
T×m m ®Ĩ ph¬ng tr×nh cã Ýt nhÊt mét nghiƯn thc ®o¹n
0;
2
π
 
 
 
.HD: [-10/3;-2]
Bµi 5: Cho ph¬ng tr×nh
3cos2sin
1cossin2
+−
++

=
xx
xx
a
1) Gi¶i ph¬ng tr×nh khi a=1/3.
2) T×m a ®Ĩ ph¬ng tr×nh cã nghiƯm.
HD: §a vỊ d¹ng (2-a)sinx+(2a+1)cosx=3a+1
§S [-1/2,2]
Bµi 6: T×m nghiƯm trong kho¶ng (0, π)






−+=−
4
3
cos212cos.3
2
sin4
22
π
xx
x

PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC -§Ị thi ®¹i häc
I.Phương trình đưa về pt một hàm số lượng giác.
1.ĐHĐNẵng 97.
cos 2 3cos 2 0x x+ + =

2. ĐHQGHN 97D.
2 cos2 5sinx x+ = −
3. ĐH CSND 99.
2
1 5sin 2cos 0x x− + =
4. ĐHYHP97.
2
cos2 sin 2cos 1 0x x x
+ − + =
5.ĐHHuế 2001.
4 4
1
sin cos sin 2
2
x x x
+ = −
6.ĐHCĐoàn 2001.
4 4
sin cos 1 2 sin
4 4
x x
x+ = −
7.ĐHBK 96.
4 4
sin cos cos 2x x x
+ =
8.HVBCVTHCM 2001.
6 6
sin cos sin 2x x x
+ =

4
Ơn thi ĐH và CĐ Thầy Giáo Vũ Hồng Sơn
9. ĐHQGHN 98.
6 6 2
13
cos sin cos 2
8
x x x
− =
10. ĐHHuế 99.
6 6
7
sin cos
16
x x
+ =
11.CĐSPNHà 97.
2
3
2 3
cos
tg x
x
+ = −
12.ĐHNHàng 2000.
1 3 2sin 2tgx x
+ =
II.Phương trình bậc nhất đối với
sin x

và
cos x

13.ĐHHuế 99.
3 sin 2 cos 2 2x x
+ =
14.ĐHKTế 97.
cos 7 3 sin 7 2x x− = −
15.ĐHMT 96.
cos 7 .cos5 3 sin 2 1 sin 7 sin 5x x x x x
− = −
16.ĐHBPhòng 97.
sin 2 sin 1
4
x x
π
 
+ − =
 
 
III.Pt đẳng cấp bậc hai đối với
sin x
và
cos x
.
17.ĐHCNghiệp HCM 00.
2 2
cos 3 sin 2 1 sinx x x
− = +
18.ĐHTSản NT 00.

2 2
cos sin cos 2 sin 1 0x x x x
− − − =
19.ĐHCThơ 97D.
2
cos 3 sin cos 1 0x x x
+ − =
20.ĐHGT 01.
( )
2
2 2 sin cos cos 3 2 cosx x x x
+ = +
21.ĐHDLĐĐô 97A.
( )
cot 2 sin 2 cos 2tgx gx x x
+ = +
IV.Phương trình đối xứng với
sin x
và
cos x
22.ĐHHuế.
sin cos 2sin 2 cos 2x x x x+ + =
23.ĐHDLHVương 97.
sin cos 2 sin 2 0x x x
+ + =
24.HVCTQG.00:
( )
2sin 2 2 sin cos 1 0x x x
− + + =
25.CĐLĐXH 97:

cos sin 1 sin 2 0x x x
+ + + =
26.ĐHKTCN 96:
( )
sin 2 12 sin cos 12 0x x x
− − + =
27.ĐHDLĐĐô 96B:
( )
sin 2 4 cos sin 4x x x
+ − =
28.ĐHNNgữ 00.
sin 2 2 sin 1
4
x x
π
 
+ − =
 
 
29.ĐHMỏ 99.
1 2 2 sintgx x
+ =
30.ĐHQGHNội 97A.
cos sin cos sin 1x x x x
+ + =
31.
sin cos sin 2 1x x x+ + =
32.ĐH 89.
cos sin 2sin 2 1x x x
− + =

33.ĐHNNgữ HN 97.
cot sin cosgx tgx x x
− = +
34. ĐHY Hnội 2001:
3 3
cos sin cos 2x x x
+ =
35.ĐHQG HCM 2000:
3 3
cos sin 1x x
− =−
36.ĐHCSND 2000 :
3 3
cos sin 2sin 2 sin cosx x x x x
+ = + +
6. C¸c bµi tËp lun tËp:
1)
2
1
3sin.2sin.sin3cos.2cos.cos
=−
xxxxxx
.
2)
2cos.3sincos.3sin
=+++
xxxx
.
3)
x

x
x
x
cos
1
3cos.2
sin
1
3sin.2
+=−
.
5