Bài giảng cơ học lý thuyết

NGUYỄN THÚC AN - NGUYỄN ĐÌNH CHIỀU - KHỔNG DOÃN ĐIỀN












GIÁO TRÌNH
CƠ HỌC LÝ THUYẾT

NHÀ XUẤT BẢN XÂY DỰNG
THÔNG TIN TÁC GIẢ
A. Tác giả của giáo trình: Lý thuyết dao động
1. GS.TS Nguyễn Thúc An
- Năm sinh: 25/02/1939
- Nguyên quán: Xã Tảo Dương văn, huyện Ứng hòa, Hà nội
- Trú quán: Phòng 101 nhà 9 tập thể trường Đại học Thủy
lợi
- Điện Thoại: 04.38533673
- Cơ quan công tác: Đại học Thủy lợi





2. PGS.TS Nguyễn Đình Chiều

- Năm sinh: 19/9/1946
- Nguyên quán: Xã Yên Nam huyện Duy Tiên tỉnh Hà nam
- Trú quán: 515 Nguyễn Tam Trinh quận Hai Bà trưng, Hà
nội
- Điện Thoại: 04.36241860
- Cơ quan công tác: Đại học Thủy lợi

3. PGS.TS Khổng Doãn Điền
- Năm sinh: 08/10/1946
- Nguyên quán: Phường Bạch hạc thành phố Việt trì, tỉnh
Phú thọ
- Trú quán: Tập thể trường Đại học Thủy lợi, Đống Đa,
Hà nội
- Điện Thoại: 38528515
- Cơ quan công tác: Đại học Thủy lợi



B. Phạm vi và đối tượng sử dụng:
1. Ngành học: Kỹ thuật công trình, Công nghệ kỹ thuật xây dựng, Thủy điện và
năng lượng tái tạo, Kỹ thuật tài nguyên nước, Kỹ thuật cơ khí, Thủy văn, Kỹ
thuật bờ biển.
2. Trường học: Đại học Thủy lợi
3. Từ khóa: Cơ học, Cơ lý thuyết.
4. Yêu cầu kiến thức: Toán cao cấp
5. Số lần xuất bản: 01
6. Nhà xuất bản: NXB Xây dựng

3

LỜI NÓI ĐẦU
Trong hơn 40 năm qua, giáo trình Cơ học lý thuyết dùng để giảng dạy và học tập
ở Trường Đại học Thuỷ lợi được biên soạn nhiều lần. Chất lượng bản in ở từng thời kỳ
có khác nhau, nhưng nội dung vẫn đảm bảo cho giảng dạy và học tập, đáp ứng yêu cầu
của đào tạo và chương trình khung của Hội đồng Ngành Cơ học của Bộ Đại học và
Trung học chuyên nghiệp trước đây, nay là Bộ Giáo dục và Đào tạo.

Lần in năm 1977, chương trình có tới hơn 20 chương, nhiều năm liền sinh viên ở
Trường Đại học Thuỷ lợi được học theo chương trình đầy đủ đó. Qua nhiều lần cải
cách, chương trình bị rút bớt và gần đây theo chương trình khung của Hội đồng Ngành
Xây dựng, không còn dạy các nội dung: Chuyển động của vật rắn có một điểm cố
định, chuyển động của vật rắn tự do, Hợp chuyển động của vật rắn, động lực học vật
rắn, lý thuyết va chạm, … và rút gọn cách trình bày phần Tĩnh học.
Để thuận tiện cho sinh viên có nguyện vọng học đầy đủ và nâng cao, đồng thời
đáp ứng yêu cầu của tình hình mới, chúng tôi biên soạn lại giáo trình Cơ học lý thuyết,
trong đó có các chương hiện không có trong chương trình khung (như Chương V phần
thứ 2 và Phần phụ lục), vì theo chúng tôi, có như vậy chương trình mới đầy đủ. Cách
sắp xếp các phần cũng không đáp ứng được cho tất cả các ngành, chúng tôi chia theo
chương trình học của ngành học đầy đủ nhất.
Phân công trách nhiệm viết các phần như sau:
- PGS. TS Khổng Doãn Điền viết các Chương: I, II, III phần thứ nhất; Phần mở
đầu, Chương I, II, III, IV phần thứ hai và cùng GS Nguyễn Thúc An viết
Chương II phần Một vài Nguyên lý Cơ học.
- PGS. TS Nguyễn Đình Chiều viết Chương V phần thứ hai; Chương I, II phần
thứ ba và Chương I, III phần phụ lục.
- GS. TS Nguyễn Thúc An viết Chương I và cùng PGS Khổng Doãn Điền viết
Chương II phần Một vài Nguyên lý Cơ học; Chương II phần phụ lục.
Tập thể tác giả chân thành cảm ơn GS. TSKH Nguyễn Đông Anh và GS. TS
Nguyễn Văn Phó về những ý kiến đóng góp quý báu trong quá trình biên soạn giáo
trình này.
Chúng tôi rất mong nhận được góp ý của các đồng nghiệp và người học. Cảm ơn
Th.S Nguyễn Ngọc Huyên vì sự đóng góp công sức vào hình thức thể hiện giáo trình
này.
Xin chân thành cảm ơn.
Hà Nội, tháng 4 năm 2007
Các tác giả

4

MỞ ĐẦU


Cơ học lý thuyết là một trong những môn học cơ sở của Khoa học kỹ thuật hiện
đại, nó là Khoa học nghiên cứu các quy luật tổng quát về sự chuyển động và sự cân
bằng chuyển động của các vật thể.
Trong Cơ học lý thuyết, ta hiểu chuyển động là sự thay đổi vị trí của các vật thể
trong không gian theo thời gian, còn vật thể được biểu diễn dưới dạng mô hình là chất
điểm và cơ hệ.
Cơ học lý thuyết được xây dựng theo phương pháp tiên đề, tức là dựa vào một số
khái niệm cơ bản và hệ tiên đề của Niutơn, bằng suy diễn toán học lôgíc mà suy ra các
kết quả. Người ta gọi đó là Cơ học cổ điển hay Cơ học Niutơn, nó nghiên cứu chuyển
động với vận tốc nhỏ so với vận tốc ánh sáng của những vật thể vĩ mô, tức là vật thể
có kích thước lớn hơn kích thước của một nguyên tử rất nhiều.
Trên cơ sở những bài toán được nghiên cứu, Cơ học lý thuyết được chia ra làm ba
phần: Tĩnh học, Động học và Động lực học.
Phần tĩnh học, nghiên cứu trạng thái cân bằng của vật rắn dưới tác dụng của các
lực đặt lên vật đó.
Phần động học khảo sát chuyển động của chất điểm hay vật rắn về phương diện
hình học mà không xét đến nguyên nhân gây ra chuyển động.
Phần động lực học nghiên cứu quy luật chuyển động của chất điểm và cơ hệ dưới
tác dụng của lực.
Cơ học lý thuyết có vai trò và ý nghĩa rất lớn. Nó không chỉ là cơ sở khoa học của
nhiều lĩnh vực Khoa học kỹ thuật hiện đại, mà những quy luật và phương pháp nghiên
cứu của cơ học lý thuyết cho phép ta tìm hiểu và giải thích các hiện tượng tự nhiên của
thế giới xung quanh ta. Đối với các Trường Đại học kỹ thuật nói chung và Trường Đại
học Thuỷ lợi nói riêng, Cơ học lý thuyết là môn học rất quan trọng nó là cơ sở cho
nhiều môn học khác, như Sức bền vật liệu, Nguyên lý máy, Thuỷ lực, Bê tông cốt

thép, Thuỷ năng, Thi công,
Để học tốt môn học, cần phải nắm được cơ sở của giải tích toán học, hình học giải
tích, Đại số cao cấp, phương pháp vi phân. Ngoài ra, những kiến thức về hình học và
đại số sơ cấp, về lượng giác thì phải nắm thật vững.
Lịch sử phát triển của Cơ học lý thuyết gắn liền với với sự phát triển của sản xuất,
đó là cả một quá trình rất lâu dài.
Từ xa xưa, để xây dựng những công trình vĩ đại như Kim tự tháp Ai cập, người ta
đã dùng những kinh nghiệm tích lũy về cơ học để chuyên chở hay đưa vật nặng lên

5

cao bằng những công cụ đơn giản như: Xe trượt, con lăn đòn bẩy, mặt phẳng nghiêng,
Sự chuyển tiếp từ những hiểu biết đơn thuần do kinh nghiệm dẫn đến việc thiết lập
những quy luật chung về cơ học đòi hỏi một thời gian dài tích luỹ dần những tài liệu
thực tế phong phú do kết quả quan sát, do kinh nghiệm hoạt động sản xuất của con
người.
Nhà thuỷ tổ Cơ học lý thuyết (phần tĩnh học) là Ácximét (287-212 TCN), đã giải
quyết được nhiều vấn đề cơ học như: Xét điều kiện cân bằng của đòn, xây dựng lý
thuyết về trọng tâm, sức đẩy của nước lên vật đặt trong nước và nhiều phát minh trong
kỹ thuật Quân sự.
Dưới thời trung cổ, cơ học cũng như những môn học khác đều bị đình trệ do sự
kìm hãm và sự thống trị hà khắc của chế độ phong kiến thần học.
Nhà hoạ sĩ và nhà Vật lý học người Ý tên là Lê-ô-na Đờvanhxi (1452-1513) là một
trong những người đầu tiên dùng toán học trong cơ học. Ông đã nghiên cứu hiện tượng
ma sát trong Máy, sự trượt của vật trên mặt phẳng nghiêng và đưa ra khái niệm
mômen của lực.
Côpécních (1473-1543) đã lập ra lý thuyết “mặt trời là trung tâm”, lật đổ lý thuyết
“trái đất là trung tâm” đóng góp cho lịch sử phát triển cho lịch sử cơ học.
Kêple (1571-1630) tìm ra ba định luật nổi tiếng về sự chuyển động của các vì sao.
Galilê (1564-1642) đã đưa ra khái niệm về vận tốc, gia tốc và giải quyết chính xác

vấn đề chuyển động của viên đạn, đã đặt nền móng cho phần động lực học.
Nhà Toán học và Cơ học nổi tiếng người Anh là Ixac Niutơn (1643-1727) đã có
công lớn trong việc xây dựng hoàn chỉnh cơ sở của Cơ học cổ điển; trong đó, ông đã
lập ra những định luật cơ bản và xuất phát từ những định luật này ông đã trình bày
phần động lực học một cách có hệ thống. Ngoài ra ông còn tìm ra định luật vạn vật hấp
dẫn và là người đầu tiên lập ra môn Cơ học các vì sao.
Sau đó nhà toán học Ơle (1707-1783) đã dùng giải tích để nghiên cứu cơ học một
cách triệt để hơn, phương pháp nghiên cứu cơ học bằng giải tích được phát triển hơn
nhờ các công trình nghiên cứu của Lagrăng (1736-1813).
Nhà khoa học người Pháp Đalămbe (1717-1813) dựa trên nguyên lý di chuyển ảo
của Bécnulli, đã đưa ra nguyên lý nổi tiếng mang tên ông.
Ngoài ra, các nhà khoa học Pháp như Laplas, Poátxông và các nhà khoa học Đức
như Gaoxơ, Écxơ đã đóng góp nhiều công trình giá trị cho sự phát triển của cơ học
giải tích.
Vào giữa thế kỷ 19 do sự phát triển nhanh chóng của khoa học và kỹ thuật, để đáp
ứng yêu cầu thực dụng, môn Cơ học kết cấu ra đời.

6

Vào thế kỷ 20, do công nghiệp và ngành hàng không phát triển nên các môn Đàn
hồi, thuỷ khí động lực đã có những bước phát triển mạnh. Nhà khoa học người Nga
Jucốpski (1847-1921) là người đầu tiên có những giả thiết táo bạo về ngành du hành
vũ trụ và được coi là thuỷ tổ của ngành hàng không Nga.
Do những thành tựu sáng lạn của ngành Vật lý vào nửa thế kỷ 19, đầu thế kỷ 20.
Môn Cơ học tương đối của nhà khoa học thiên tài người Đức là Anhxtanh ra đời, đã
làm đảo lộn những quy luật của Cơ học cổ điển, phủ định khái niệm không gian và
thời gian tuyệt đối, khối lượng không đổi, và mở ra cho Cơ học một bước tiến nhảy
vọt. Nhưng vẫn phải nhấn mạnh rằng: Cơ học cổ điển vẫn không mất ý nghĩa vật lý
của nó. Các tính toán trong kỹ thuật, trong thiên văn học vẫn căn cứ vào các định luật
của cơ học cổ điển. Tính toán cho biết rằng: Khi vật chất chuyển động với vận tốc gần

bằng vận tốc ánh sáng (300.000 Km/s) thì những kết quả đạt được trong cơ học cổ
điển sẽ khác so với những kết quả đạt được trong cơ học tương đối.























7

PHẦN THỨ NHẤT: TĨNH HỌC
Tĩnh học là phần đầu của giáo trình Cơ học lý thuyết. Nội dung chủ yếu của phần
này là khảo sát trạng thái cân bằng của vật rắn dưới tác dụng của hệ lực đặt lên nó.

Để nghiên cứu vấn đề này ta sẽ giải quyết hai bài toán sau:
1. Thu gọn hệ lực đặt lên vật rắn.
2. Tìm điều kiện cân bằng của hệ lực đặt lên vật rắn.

CHƯƠNG I: CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN - HỆ TIÊN ĐỀ TĨNH HỌC -
LIÊN KẾT VÀ PHẢN LỰC LIÊN KẾT
1.1. Các khái niệm cơ bản
Trong tĩnh học có ba khái niệm cơ bản là: Lực, vật rắn tuyết đối và trạng thái cân
bằng của vật rắn.
1.1.1. Lực
Khái quát hóa những kinh nghiệm và thực nghiệm về sự tác dụng giữa các vật thể,
người ta xây dựng được khái niệm lực.
Lực là đại lượng đặc trưng cho sự tác dụng tương hỗ giữa các vật thể.
Tác dụng của lực được đặc trưng bởi ba yếu tố:
• Điểm đặt lực: Là phần tử vật chất thuộc vật chịu tác dụng, tại đó tác dụng cơ học
mà ta nói đến được truyền sang vật ấy.
• Phương, chiều tác dụng của lực.
•
Cường độ tác dụng của lực (còn gọi là môđun
của lực).

Đơn vị lực thường dùng là niutơn, và được ký hiệu
là N.

Từ ba yếu tố đặc trưng cho lực ta thấy lực là một đại
lượng véctơ, được ký hiệu
F
uur
, hoặc
P

uur
, hoặc
R
uur
.
Véct
ơ
l
ự
c nh
ư
trên là m
ộ
t véct
ơ
bu
ộ
c
.
Đường thẳng chứa véctơ lực gọi là
giá c
ủ
a l
ự
c
hay đườ
ng tác d
ụ
ng c
ủ

a l
ự
c.

F
ur
B

A

Hình 1-1

8

1.1.2. Vật rắn tuyệt đối
V
ậ
t r
ắ
n tuy
ệ
t
đố
i là v
ậ
t th
ể
mà kho
ả
ng cách gi

ữ
a hai
đ
i
ể
m b
ấ
t k
ỳ
thu
ộ
c v
ậ
t không
thay
đổ
i
đố
i v
ớ
i m
ọ
i tác d
ụ
ng c
ơ
h
ọ
c
.

Thường trong thực tế, dưới tác dụng cơ học, vật rắn sẽ biến dạng, nhưng ta vẫn gọi
là vật rắn tuyệt đối vì hai lý do sau:
− Biến dạng xảy ra ở vật rắn là bé, không ảnh hưởng đến kết quả tính toán trong
kỹ thuật, sai số cho phép.
− Quan niệm như vậy bài toán sẽ đơn giản hơn. Từ đây về sau, ta gọi vật rắn tuyệt
đối là vật rắn, nếu như không nói gì thêm.
1.1.3. Trạng thái cân bằng của vật rắn
V
ậ
t r
ắ
n
ở
tr
ạ
ng thái cân b
ằ
ng là v
ậ
t r
ắ
n
đứ
ng yên hay chuy
ể
n
độ
ng t
ị
nh ti

ế
n th
ẳ
ng
và
đề
u so v
ớ
i m
ộ
t h
ệ
quy chi
ế
u nào
đ
ó
.
Trong tĩnh học, vật rắn ở trạng thái cân bằng là vật rắn đứng yên so với hệ quy
chiếu gắn liền với trái đất.
Chuyển động tịnh tiến thẳng và đều của vật rắn là chuyển động mà mọi điểm thuộc
vật đều chuyển động thẳng với vận tốc không đổi.
1.1.4. Một số định nghĩa khác
a.
Hệ lực.
H
ệ
l
ự
c là t

ậ
p h
ợ
p các l
ự
c cùng tác d
ụ
ng lên m
ộ
t v
ậ
t r
ắ
n.

Giả sử vật rắn chịu tác dụng bởi các lực:
1
F
uur
,
2
F
uur
, ,
n
F
uur
, ta ký hiệu hệ lực tác dụng lên
vật rắn là:
(

)
1 2
, , ,
n
F F F
uur uur uur
.
b.
Hệ lực tương đương.
Hai h
ệ
l
ự
c
đượ
c g
ọ
i là t
ươ
ng
đươ
ng v
ớ
i nhau n
ế
u chúng có
cùng tác d
ụ
ng c
ơ

h
ọ
c nh
ư
nhau
đố
i v
ớ
i m
ộ
t v
ậ
t r
ắ
n.
Hai h
ệ
l
ự
c
(
)
1 2
, , ,
n
F F F
uur uur uur
và
(
)

1 2
, , ,
m
P P P
ur uur uur
t
ươ
ng
đươ
ng v
ớ
i nhau
đượ
c ký hi
ệ
u nh
ư

sau:
(
)
1 2
, , ,
n
F F F
uur uur uur

(
)
1 2

, , ,
m
P P P
ur uur uur
.
c.
Hợp lực của hệ lực.
H
ợ
p l
ự
c c
ủ
a h
ệ
l
ự
c là m
ộ
t l
ự
c duy nh
ấ
t t
ươ
ng
đươ
ng v
ớ
i

h
ệ
l
ự
c
ấ
y. G
ọ
i
R
ur
là h
ợ
p l
ự
c c
ủ
a h
ệ
l
ự
c
(
)
1 2
, , ,
n
F F F
uur uur uur
thì ta có th

ể
vi
ế
t:
R
ur

(
)
1 2
, , ,
n
F F F
uur uur uur


9

d.
Hệ lực cân bằng.
H
ệ
l
ự
c cân b
ằ
ng là h
ệ
l
ự

c tác d
ụ
ng lên v
ậ
t r
ắ
n mà không làm
thay
đổ
i tr
ạ
ng thái chuy
ể
n
độ
ng mà v
ậ
t có
đượ
c khi ch
ư
a tác d
ụ
ng h
ệ
l
ự
c
ấ
y. Gi

ả
s
ử
h
ệ

l
ự
c
(
)
1 2
, , ,
n
F F F
uur uur uur
tác d
ụ
ng lên v
ậ
t r
ắ
n
đứ
ng yên, v
ậ
t r
ắ
n v
ẫ

n
ở
tr
ạ
ng thái
đứ
ng yên,
thì ta ta nói r
ằ
ng h
ệ
l
ự
c
(
)
1 2
, , ,
n
F F F
uur uur uur
cân b
ằ
ng và ký hi
ệ
u là:
(
)
1 2
, , ,

n
F F F
uur uur uur
0.
H
ệ
l
ự
c cân b
ằ
ng còn
đượ
c g
ọ
i là h
ệ
l
ự
c t
ươ
ng
đươ
ng v
ớ
i không.
e.
Hệ quy chiếu.
Trong C
ơ
h

ọ
c lý thuy
ế
t
để
kh
ả
o sát chuy
ể
n
độ
ng c
ủ
a v
ậ
t th
ể
, ta ph
ả
i
so sánh v
ị
trí c
ủ
a nó v
ớ
i v
ị
trí c
ủ

a v
ậ
t th
ể
khác mà ta coi nó
đứ
ng yên. V
ậ
t dùng
để
so
sánh
đ
ó g
ọ
i là v
ậ
t quy chi
ế
u, và h
ệ
to
ạ

độ
g
ắ
n v
ớ
i v

ậ
t quy chi
ế
u g
ọ
i là h
ệ
quy chi
ế
u.
Th
ườ
ng trong th
ự
c t
ế
, ng
ườ
i ta ch
ọ
n h
ệ
t
ọ
a
độ

đề
các vuông góc g
ắ

n li
ề
n v
ớ
i trái
đấ
t
làm h
ệ
quy chi
ế
u.
1.2. Hệ tiên đề tĩnh học
Tiên
đề
là m
ệ
nh
đề
c
ơ
b
ả
n phát bi
ể
u công nh
ậ
n tính ch
ấ
t c

ủ
a khái ni
ệ
m c
ơ
b
ả
n, là
đ
i
ề
u hi
ể
n nhiên nh
ấ
t có th
ự
c ti
ễ
n ki
ể
m nghi
ệ
m mà rút ra
đượ
c.
D
ướ
i
đ

ây ta s
ẽ
l
ầ
n l
ượ
t trình bày 5 tiên
đề
, còn l
ạ
i tiên
đề
6 s
ẽ

đượ
c nêu ra
ở
cu
ố
i
ch
ươ
ng này.
Đ
ó là h
ệ
tiên
đề
t

ĩ
nh h
ọ
c, làm c
ơ
s
ở
xây d
ự
ng lý lu
ậ
n cho c
ả
ph
ầ
n t
ĩ
nh
h
ọ
c.
Tiên đề 1.
(Tiên
đề
v
ề
hai l
ự
c cân b
ằ

ng)
Đ
i
ề
u ki
ệ
n c
ầ
n và
đủ

để
cho h
ệ
hai l
ự
c cùng tác d
ụ
ng lên m
ộ
t v
ậ
t r
ắ
n cân b
ằ
ng là
chúng có cùng giá, cùng c
ườ
ng

độ
và ng
ượ
c chi
ề
u nhau
.
Ta có th
ể
vi
ế
t
(
)
1 2
,
F F
uur uur
0.





Tiên
đề
1 nêu lên m
ộ
t h
ệ

l
ự
c cân b
ằ
ng chu
ẩ
n,
đơ
n gi
ả
n nh
ấ
t.
Tiên đề 2
(Tiên
đề
thêm b
ớ
t h
ệ
l
ự
c cân b
ằ
ng)


1
F
ur

2
F
uur
Hình 1-2


1
F
ur
2
F
uur

10

Tác d
ụ
ng c
ủ
a h
ệ
l
ự
c lên v
ậ
t r
ắ
n không thay
đổ
i,

n
ế
u ta thêm vào hay b
ớ
t
đ
i m
ộ
t h
ệ
l
ự
c cân b
ằ
ng.

N
ế
u
(
)
1 2
, , ,
m
P P P
ur uur uur
0 thì:
(
)
1 2

, , ,
n
F F F
uur uur uur

(
)
1 2 1 2
, , , ; , , ,
n m
F F F P P P
uur uur uur ur uur uur

T
ừ
tiên
đề
2, ta có các h
ệ
qu
ả
sau:
Hệ quả 1
(
Đị
nh lý tr
ượ
t l
ự
c)

Tác d
ụ
ng c
ủ
a m
ộ
t l
ự
c
đặ
t lên v
ậ
t r
ắ
n không thay
đổ
i, n
ế
u ta tr
ượ
t l
ự
c d
ọ
c theo giá
c
ủ
a nó.
Ch
ứ

ng minh:
Gi
ả
s
ử
l
ự
c
F
uur
tác d
ụ
ng lên v
ậ
t r
ắ
n t
ạ
i
đ
i
ể
m A. G
ọ
i B là m
ộ
t
đ
i
ể

m
n
ằ
m trên giá c
ủ
a l
ự
c
F
uur
thu
ộ
c v
ậ
t r
ắ
n, ta thêm vào t
ạ
i B m
ộ
t h
ệ
hai l
ự
c cân b
ằ
ng (
1
F
uur

,
2
F
uur
) 0. Sao cho cùng ph
ươ
ng v
ớ
i l
ự
c
F
uur
và tr
ị
s
ố
F
1
= F
2
= F. (hình 1-3).
Theo tiên
đề
2 ta có
F
uur

(
)

1 2
, ,
F F F
uur uur uur
m
ặ
t khác theo tiên
đề
1 thì
(
)
2
,
F F
uur uur

0
do
đ
ó, theo tiên
đề
2, ta b
ớ
t
đ
i h
ệ
l
ự
c này thì không làm thay

đổ
i tr
ạ
ng thái chuy
ể
n
độ
ng c
ủ
a v
ậ
t:
F
uur

(
)
1 2
, ,
F F F
uur uur uur

1
F
uur

đặ
t t
ạ
i B.

T
ừ

đ
ó ta suy ra
đượ
c r
ằ
ng véct
ơ
bi
ể
u di
ễ
n l
ự
c tác d
ụ
ng lên v
ậ
t r
ắ
n là m
ộ
t véct
ơ

tr
ượ
t.

Hệ quả 2
N
ế
u m
ộ
t h
ệ
l
ự
c
đặ
t lên v
ậ
t r
ắ
n mà cân b
ằ
ng thì m
ộ
t l
ự
c b
ấ
t k
ỳ
l
ấ
y theo chi
ề
u ng

ượ
c
l
ạ
i s
ẽ
là h
ợ
p l
ự
c c
ủ
a h
ệ
l
ự
c còn l
ạ
i.
N
ế
u
(
)
1 2
, , ,
n
F F F
uur uur uur
0 thì

1
F
−
uur

(
)
2 3
, , ,
n
F F F
uur uur uur

Ch
ứ
ng minh:
Gi
ả
s
ử
h
ệ
l
ự
c
(
)
1 2
, , ,
n

F F F
uur uur uur
0
Tác d
ụ
ng lên v
ậ
t r
ắ
n l
ự
c
1
F
−
uur
. Theo tiên
đề
2 ta tác d
ụ
ng thêm m
ộ
t h
ệ
l
ự
c cân b
ằ
ng
đ

ã cho thì:

1
F
−
uur

(
)
1 1 2
, , , ,
n
F F F F
−
uur uur uur uur

Vì h
ệ
hai l
ự
c
(
)
1 1
,
F F
−
uur uur
là h
ệ

l
ự
c cân b
ằ
ng nên theo tiên
đề
2, ta b
ớ
t
đ
i thì tác d
ụ
ng
lên h
ệ
không thay
đổ
i:

1
F
−
uur

(
)
1 1 2
, , , ,
n
F F F F

−
uur uur uur uur

(
)
2 3
, , ,
n
F F F
uur uur uur
(
đ
pcm
)

A

B

1
F
ur
Hình 1-3

2
F
uur

F
ur

11

Tiên đề 3
(Tiên
đề
hình bình hành l
ự
c).
H
ệ
hai l
ự
c cùng
đặ
t trên v
ậ
t r
ắ
n t
ạ
i m
ộ
t
đ
i
ể
m có h
ợ

p l
ự
c
đặ
t t
ạ
i
đ
i
ể
m chung
ấ
y.
Véct
ơ
bi
ể
u di
ễ
n h
ợ
p l
ự
c là véct
ơ

đườ
ng chéo c
ủ
a hình bình hành mà hai c

ạ
nh là hai
véct
ơ
bi
ể
u di
ễ
n hai l
ự
c
đ
ã cho
(hình 1-4).




Theo
đị
nh ngh
ĩ
a h
ợ
p l
ự
c c
ủ
a h
ệ

l
ự
c ta có:
R
ur

(
)
1 2
,
F F
uur uur

Theo tiên
đề
ta có:
1 2
R F F
= +
ur uur uur

T
ừ
tiên
đề
3 ta có h
ệ
qu
ả
sau:

Hệ quả 1

Có th
ể
phân tích m
ộ
t l
ự
c
đ
ã cho thành hai l
ự
c theo quy t
ắ
c hình bình hành l
ự
c.

Ch
ứ
ng minh:
Gi
ả
s
ử
l
ự
c
F
uur

tác d
ụ
ng lên v
ậ
t r
ắ
n, ta thêm vào
đ
ó h
ệ
hai l
ự
c cân
b
ằ
ng
(
)
1 2
,
F F
uur uur
0. Theo tiên
đề
2 ta có:
F
uur

(
)

1 2
, ,
F F F
uur uur uur
(a)
Theo tiên
đề
3 ta có:
(
)
1
,
F F
uur uur

3
F
uur
(b)
T
ừ
(a) và (b) ta có:
F
uur

(
)
2 3
,
F F

uur uur

Hệ quả 2

D
ướ
i tác d
ụ
ng c
ủ
a m
ộ
t l
ự
c khác không thì v
ậ
t r
ắ
n không
ở
tr
ạ
ng thái cân b
ằ
ng.
Ch
ứ
ng minh:
Gi
ả

s
ử
v
ậ
t r
ắ
n ch
ị
u tác d
ụ
ng b
ở
i l
ự
c
F
uur
khác không. Theo h
ệ
qu
ả
1
ta có th
ể
phân tích l
ự
c
F
uur
ra hai l

ự
c thành ph
ầ
n theo hai ph
ươ
ng khác nhau:
F
uur

(
)
1 2
,
F F
uur uur

Vì
(
)
1 2
,
F F
uur uur
không tho
ả
mãn tiên
đề
1, nên v
ậ
t r

ắ
n không
ở
tr
ạ
ng thái cân b
ằ
ng.
Hệ quả 3
(
Đị
nh lý ba l
ự
c ph
ẳ
ng cân b
ằ
ng)
N
ế
u ba l
ự
c cùng n
ằ
m trong m
ộ
t m
ặ
t ph
ẳ

ng, không song song mà cân b
ằ
ng thì giá
c
ủ
a chúng c
ắ
t nhau t
ạ
i m
ộ
t
đ
i
ể
m.

Hình 1-4


A

1
F
ur

2
F
uur

R
ur

Hình 1-5

A

1
F
ur

2
F
uur

3
F
uur

F
ur


12

Ch
ứ
ng minh:
Gi
ả

s
ử
v
ậ
t r
ắ
n
ở
tr
ạ
ng thái cân b
ằ
ng d
ướ
i tác d
ụ
ng c
ủ
a h
ệ
ba l
ự
c cùng
n
ằ
m trong m
ộ
t m
ặ
t ph

ẳ
ng không song song
(
)
1 2 3
, ,
F F F
uur uur uur
. G
ọ
i A là giao
đ
i
ể
m hai giá
c
ủ
a hai l
ự
c
1
F
uur
,
2
F
uur
. Ta d
ờ
i hai l

ự
c
1
F
uur
,
2
F
uur
d
ọ
c theo giá c
ủ
a chúng v
ề
A. Theo tiên
đề
3
ta có:

(
)
1 2
,
F F
uur uur

F
uur

đặ
t t
ạ
i A.
Do
đ
ó:
(
)
1 2 3
, ,
F F F
uur uur uur

(
)
3
,
F F
uur uur
0
Theo tiên
đề
1,
F
uur
và
3
F
uur

ph
ả
i cùng
giá, mà
F
uur

đặ
t t
ạ
i A do
đ
ó giá c
ủ
a l
ự
c
3
F
uur

c
ũ
ng ph
ả
i
đ
i qua A, suy ra r
ằ
ng: Giá c

ủ
a
ba l
ự
c c
ắ
t nhau t
ạ
i m
ộ
t
đ
i
ể
m.

Chú ý:
-

M
ệ
nh
đề

đả
o c
ủ
a h
ệ
qu

ả
này s
ẽ
không
đ
úng.
-

H
ệ
qu
ả
này
đượ
c s
ử
d
ụ
ng nhi
ề
u trong khi gi
ả
i quy
ế
t bài t
ậ
p.
Hệ quả 4
(H
ợ

p l
ự
c c
ủ
a h
ệ
l
ự
c
đồ
ng quy)
H
ệ
l
ự
c
đồ
ng quy có h
ợ
p l
ự
c
đặ
t t
ạ
i
đ
i
ể
m

đồ
ng quy c
ủ
a nó. Véct
ơ
bi
ể
u di
ễ
n h
ợ
p l
ự
c
b
ằ
ng t
ổ
ng hình h
ọ
c các véct
ơ
bi
ể
u di
ễ
n các l
ự
c
đ

ã cho c
ủ
a h
ệ
.
Ch
ứ
ng minh: Gi
ả
s
ử
cho h
ệ
l
ự
c
đồ
ng quy
(
)
1 2
, , ,
n
F F F
uur uur uur
tác d
ụ
ng lên v
ậ
t r

ắ
n. G
ọ
i
O là
đ
i
ể
m
đồ
ng quy. Ta ph
ả
i ch
ứ
ng minh r
ằ
ng h
ệ
l
ự
c
đ
ó có h
ợ
p l
ự
c
R
ur

đặ
t t
ạ
i O v
ớ
i:

1 2
1

n
n k
k
R F F F F
=
= + + + =
∑
ur uur uur uur uur
(1-1)
Th
ậ
t v
ậ
y, vì
1
F
uur
và
2
F

uur
có h
ợ
p l
ự
c
1
R
ur

đặ
t t
ạ
i O theo tiên
đề
3:
(
)
1 2
,
F F
uur uur

1
R
ur

đặ
t t
ạ

i O,
và
1
1 2
R F F
= +
ur uur uur
.
T
ươ
ng t
ự

(
)
1
3
,
R F
ur uur

2
R
ur

đặ
t t
ạ
i O và
2 1

3 1 2 3
R R F F F F
= + = + +
ur ur uur uur uur uur


A

F
ur
1
F
ur
2
F
uur
3
F
uur
Hình 1-6

Hình 1-7


O

1
F
ur

2
F
uur

3
F
uur

n
F
uur

1
R
ur

2
R
ur

n 2
R
−
ur

n
R
ur

13

Ti
ế
p t
ụ
c h
ợ
p l
ầ
n l
ượ
t v
ớ
i
4
F
uur
,
5
F
uur
m
ộ
t cách t
ươ
ng t
ự
nh
ư

trên, cu
ố
i cùng ta s
ẽ
có:

(
)
1 2
, , ,
n
F F F
uur uur uur

(
)
2
,
n
n
R F
−
ur uur

R
ur

Trong
đ
ó

2
n
R
−
ur

đặ
t t
ạ
i O và
2
1 2
1

n
n
R F F F
−
−
= + + +
ur uur uur uur

Do
đ
ó
R
ur
là h
ợ
p l

ự
c c
ủ
a hai l
ự
c
2
n
R
−
ur
và
n
F
uur
cùng
đặ
t t
ạ
i O, nó chính là h
ợ
p l
ự
c c
ủ
a
h
ệ
l
ự

c
đồ
ng quy
đ
ã cho, c
ũ
ng
đặ
t t
ạ
i O và:

2
1 2
1
1

n
n
n n k
n
R R F F F F F F
−
−
= + = + + + + =
∑
ur ur uur uur uur uur uur uur

đ
ó là

đ
i
ề
u c
ầ
n ph
ả
i ch
ứ
ng minh.
Kết luận: Hệ lực đồng quy tác dụng lên vật rắn bao giờ cũng có thể thu gọn
về một lực duy nhất đặt tại điểm đồng quy của hệ.
Xác
đị
nh véct
ơ
bi
ể
u di
ễ
n h
ợ
p l
ự
c
R
ur
:
-

Ph
ươ
ng pháp hình h
ọ
c.
Gi
ả
s
ử
cho h
ệ
l
ự
c
đồ
ng quy
(
)
1 2
, , ,
n
F F F
uur uur uur
tác
d
ụ
ng lên v
ậ
t r
ắ

n trong
đ
ó nh
ữ
ng véct
ơ
bi
ể
u di
ễ
n các
l
ự
c c
ủ
a h
ệ
l
ự
c là các véct
ơ

đ
ã bi
ế
t.
Theo
đị
nh lý trên ta có:
1 2

n
k
R F F F F
= + + + + +
ur uur uur uur uur

Để
xác
đị
nh véct
ơ

R
ur
, ta có th
ể
s
ử
d
ụ
ng phép c
ộ
ng
véct
ơ
c
ủ
a hình h
ọ

c gi
ả
i tích. Tr
ướ
c h
ế
t, ta ch
ọ
n m
ộ
t
đ
i
ể
m c
ố

đị
nh O
1
nào
đ
ó, r
ồ
i l
ầ
n l
ượ
t d
ự

ng các véct
ơ

1 1
O A F
=
uuur uur
,
2
AB F
=
uuur uur
,
3
BC F
=
uuur uur
,
,
n
MN F
=
uuuur uur
. Khi
đ
ó, véct
ơ

1 1
O N F

=
uuuur uur
là véct
ơ
bi
ể
u di
ễ
n h
ợ
p l
ự
c
R
ur
c
ầ
n tìm (hình 1-
8).
Đ
a giác O
1
ABC MN
đượ
c g
ọ
i là
đ
a giác l
ự

c c
ủ
a h
ệ
l
ự
c
đ
ã cho.
V
ậ
y
để
xác
đị
nh véct
ơ

R
ur
, tr
ướ
c h
ế
t ta dùng
đ
a giác l
ự
c c
ủ

a h
ệ
l
ự
c. Véct
ơ
khép kín
đ
a giác l
ự
c c
ủ
a h
ệ
l
ự
c chính là véc t
ơ
bi
ể
u di
ễ
n h
ợ
p l
ự
c
R
ur
c

ầ
n tìm. Nói chung,
đ
a giác
l
ự
c là m
ộ
t
đ
a giác g
ề
nh trong không gian.
-

Ph
ươ
ng pháp gi
ả
i tích.
Hình 1-8


O
1

A

B

C

D

M

N

.

.

.

.

.

.

.

.


1
F
ur

2

F
uur

3
F
uur

4
F
uur

n 1
F
−
ur

n
F
uur

R
ur


14

Để
xác
đị
nh véc t

ơ
h
ợ
p l
ự
c
R
ur
b
ằ
ng ph
ươ
ng pháp gi
ả
i tích, tr
ướ
c h
ế
t ta ch
ọ
n h
ệ
tr
ụ
c
đề
các vuông góc O
1
xyz. Sau
đ

ó, chi
ế
u (1-1) l
ầ
n l
ượ
t lên các tr
ụ
c to
ạ

độ
, ta
đượ
c:
1 2
1
1 2
1
1 2
1



n
x n k
k
n
y n k
k

n
z n k
k
R X X X X
R Y Y Y Y
R Z Z Z Z
=
=
=

= + + + =



= + + + =



= + + + =


∑
∑
∑
(1-2)
Trong
đ
ó, X
k
, Y

k
, Z
k
(k = 1, 2, , n) là chi
ế
u c
ủ
a l
ự
c
k
F
uur
lên các tr
ụ
c Ox, Oy, Oz. T
ừ

(1-2) ta xác
đị
nh
đượ
c ph
ươ
ng, chi
ề
u và tr
ị
s
ố

c
ủ
a
R
ur
:
Tr
ị
s
ố
:
2 2 2
( ) ( ) ( )
k k k
R X Y Z= Σ + Σ + Σ (1-3)
Ph
ươ
ng chi
ề
u:
( ) ( ) ( )
cos , ; cos , ; cos ,
y
x
z
R
R
R
R i R j R k
R R R

= = =
ur ur ur
r
r r
(1-4)
Trong
đ
ó
, ,
i j k
r
r r
là các véct
ơ

đơ
n v
ị
trên các tr
ụ
c t
ọ
a
độ
.
Ở
trên ta nêu lên
đượ
c hai bài toán thu g
ọ

n h
ệ
l
ự
c
đồ
ng quy v
ề
m
ộ
t l
ự
c duy nh
ấ
t là
h
ợ
p l
ự
c
R
ur
và các ph
ươ
ng pháp
để
xác
đị
nh véct
ơ

R
ur
bi
ể
u di
ễ
n h
ợ
p l
ự
c
đ
ó. Sau
đ
ây ta
s
ẽ
xét
đặ
c
đ
i
ể
m c
ủ
a h
ệ
l
ự

c
đ
ã cho khi véct
ơ
h
ợ
p l
ự
c
R
ur
c
ủ
a h
ệ
tri
ệ
t tiêu.
Đ
i
ề
u ki
ệ
n cân b
ằ
ng c
ủ
a h
ệ
l

ự
c
đồ
ng quy:
-
Đ
i
ề
u ki
ệ
n cân b
ằ
ng t
ổ
ng quát.
Đ
i
ề
u ki
ệ
n c
ầ
n và
đủ

để
h
ệ
l
ự

c
đồ
ng quy cân b
ằ
ng là véct
ơ
h
ợ
p l
ự
c c
ủ
a h
ệ
l
ự
c tri
ệ
t
tiêu.
H
ệ
l
ự
c
đồ
ng quy
(
)
1 2

, , ,
n
F F F
uur uur uur
0
0
k
R F
⇔ = =
∑
ur uur
(1-5)
Ch
ứ
ng minh:
Để
ch
ứ
ng minh
đ
i
ề
u này, ta hãy
đư
a ra h
ệ
l
ự
c
đ

ã cho v
ề
c
ặ
p hai l
ự
c
r
ồ
i s
ử
d
ụ
ng
đ
i
ề
u ki
ệ
n cân b
ằ
ng.
Tiên đề 4
(Tiên
đề
v
ề
l
ự
c tác d

ụ
ng và ph
ả
n l
ự
c tác d
ụ
ng)
L
ự
c tác d
ụ
ng và ph
ả
n l
ự
c tác d
ụ
ng gi
ữ
a hai v
ậ
t là hai l
ự
c có cùng giá, cùng c
ườ
ng
độ
và ng
ượ

c chi
ề
u nhau.


15






G
ọ
i
1
F
uur
,
2
F
uur
là l
ự
c do hai v
ậ
t tác d
ụ
ng lên nhau.
Theo tiên

đề
4 ta có:
1 2
F F
= −
uur uur
và hai l
ự
c
1
F
uur
,
2
F
uur
cùng giá.
Chú ý r
ằ
ng l
ự
c tác d
ụ
ng và l
ự
c ph
ả
n tác d
ụ
ng

đặ
t vào hai v
ậ
t khác nhau, cho nên h
ệ

hai l
ự
c này không t
ạ
o thành h
ệ
l
ự
c cân b
ằ
ng.
Tiên đề 5
(Tiên
đề
hoá r
ắ
n)
Khi v
ậ
t bi
ế
n d
ạ
ng

đ
ã cân b
ằ
ng thì hóa r
ắ
n l
ạ
i nó v
ẫ
n cân b
ằ
ng.
Chú ý:
-

Tiên
đề
này cho phép ta coi v
ậ
t bi
ế
n d
ạ
ng là v
ậ
t r
ắ
n cân b
ằ
ng, suy ra

đ
i
ề
u ki
ệ
n
cân b
ằ
ng c
ủ
a v
ậ
t r
ắ
n là
đ
i
ề
u ki
ệ
n c
ầ
n (nh
ư
ng không
đủ
) c
ủ
a v
ậ

t bi
ế
n d
ạ
ng cân
b
ằ
ng.
-

Tiên
đề
này là c
ơ
s
ở

để
gi
ả
i quy
ế
t m
ộ
t ph
ầ
n nh
ữ
ng bài toán cân b
ằ

ng c
ủ
a v
ậ
t bi
ế
n
d
ạ
ng.
Ví dụ 1.
Tác d
ụ
ng h
ệ
l
ự
c
(
)
1 2
,
F F
uur uur
lên
đầ
u mút c
ủ
a m
ộ

t lò xo (hình 1-10) v
ớ
i
đ
i
ề
u
ki
ệ
n hai l
ự
c này cùng giá và
1 2
F F
= −
uur uur
. Sau khi lò xo
đ
ã bi
ế
n d
ạ
ng nó
ở
v
ị
trí cân b
ằ
ng.
Khi

đ
ó ta có th
ể
coi lò xo nh
ư
m
ộ
t thanh c
ứ
ng cân b
ằ
ng và ta có:
(
)
1 2
,
F F
uur uur
0.



1.3. Liên kết và phản lực liên kết
Trong th
ự
c t
ế
, ta th
ườ
ng g

ặ
p nh
ữ
ng bài toán xét s
ự
cân b
ằ
ng không ph
ả
i c
ủ
a m
ộ
t
v
ậ
t riêng r
ẽ
, mà là nhi
ề
u v
ậ
t có liên quan
đế
n nhau. Vì th
ế
, ta ph
ả
i
đư

a vào khái ni
ệ
m
liên k
ế
t và ph
ả
n l
ự
c liên k
ế
t.
Hình 1
-
9


1
F
ur

2
F
uur


A

B

1
F
ur

2
F
uur

Hình 1-10


1
F
ur

2
F
uur


16

1.3.1. Một số định nghĩa
a.
Vật rắn tự do

V
ậ
t không b
ị

c
ả
n tr
ở
chuy
ể
n
độ
ng, có th
ể
chuy
ể
n
độ
ng theo m
ọ
i ph
ươ
ng g
ọ
i là v
ậ
t r
ắ
n
t
ự
do. Trong th
ự
c t

ế
không t
ồ
n t
ạ
i v
ậ
t r
ắ
n t
ự
do.
b.
Vật rắn không tự do

V
ậ
t b
ị
c
ả
n tr
ở
chuy
ể
n
độ
ng g
ọ
i là v

ậ
t r
ắ
n không t
ự
do, hay là v
ậ
t ch
ị
u liên k
ế
t.
c.
Liên kết
Liên k
ế
t là nh
ữ
ng
đ
i
ề
u ki
ệ
n c
ả
n tr
ở
chuy
ể

n
độ
ng c
ủ
a v
ậ
t.
Trong t
ĩ
nh h
ọ
c, ta ch
ỉ
kh
ả
o sát lo
ạ
i liên k
ế
t
đượ
c th
ự
c hi
ệ
n b
ằ
ng s
ự
ti

ế
p xúc hình
h
ọ
c gi
ữ
a v
ậ
t kh
ả
o sát và v
ậ
t th
ể
khác, mà ta g
ọ
i là liên k
ế
t hình h
ọ
c.
Đồ
ng th
ờ
i ta c
ũ
ng
coi m
ặ
t ti

ế
p xúc gi
ữ
a các v
ậ
t th
ể
là nh
ẵ
n lý t
ưở
ng (b
ỏ
qua ma sát).
d.
Vật khảo sát và vật gây liên kết
Trong m
ỗ
i bài toán c
ụ
th
ể
, bao gi
ờ
ta c
ũ
ng xét s
ự
cân b
ằ

ng c
ủ
a m
ộ
t v
ậ
t th
ể
nh
ấ
t
đị
nh, v
ậ
t
đ
ó
đượ
c g
ọ
i là v
ậ
t kh
ả
o sát. Còn các v
ậ
t th
ể
khác có liên k
ế

t v
ớ
i v
ậ
t kh
ả
o sát
thì g
ọ
i là v
ậ
t gây liên k
ế
t.
e.
Lực liên kết và phản lực liên kết
Nh
ữ
ng
đặ
c tr
ư
ng tác d
ụ
ng t
ươ
ng h
ỗ
gi
ữ

a các v
ậ
t có liên k
ế
t v
ớ
i nhau
ở
ch
ỗ
ti
ế
p xúc
hình h
ọ
c
đượ
c g
ọ
i là nh
ữ
ng l
ự
c liên k
ế
t.
L
ự
c do v
ậ

t kh
ả
o sát tác d
ụ
ng lên v
ậ
t gây liên k
ế
t
đượ
c g
ọ
i là áp l
ự
c.
L
ự
c do v
ậ
t gây liên k
ế
t tác d
ụ
ng lên v
ậ
t kh
ả
o sát
đượ
c g

ọ
i là ph
ả
n l
ự
c liên k
ế
t.
1.3.2. Cách tìm phản lực liên kết
Để
tìm ph
ả
n l
ự
c liên k
ế
t trong t
ừ
ng liên k
ế
t c
ụ
th
ể
, ng
ườ
i ta
đư
a vào nh
ữ

ng
đặ
c
tính sau
đ
ây c
ủ
a ph
ả
n l
ự
c liên k
ế
t:
− Ph
ả
n l
ự
c liên k
ế
t bao gi
ờ
c
ũ
ng
đặ
t vào v
ậ
t kh
ả

o sát,
ở
ch
ỗ
ti
ế
p xúc hình h
ọ
c c
ủ
a
nó v
ớ
i v
ậ
t gây lên liên k
ế
t.
− Ph
ả
n l
ự
c liên k
ế
t bao gi
ờ
c
ũ
ng cùng ph
ươ

ng, ng
ượ
c chi
ề
u v
ớ
i ph
ươ
ng, chi
ề
u b
ị

c
ả
n tr
ở
chuy
ể
n
độ
ng b
ở
i chính liên k
ế
t
đ
ó.
− N
ế

u theo m
ộ
t ph
ươ
ng nào
đ
ó, chuy
ể
n
độ
ng c
ủ
a v
ậ
t kh
ả
o sát không b
ị
c
ả
n tr
ở
thì
theo ph
ươ
ng
đ
ó không có thành ph
ầ
n c

ủ
a ph
ả
n l
ự
c liên k
ế
t. Ph
ả
n l
ự
c liên k
ế
t vuông
góc v
ớ
i ph
ươ
ng d
ị
ch chuy
ể
n t
ự
do c
ủ
a v
ậ
t kh
ả

o sát.
Nh
ữ
ng
đ
i
ề
u này luôn luôn
đ
úng v
ớ
i liên k
ế
t nh
ữ
ng v
ậ
t r
ắ
n và b
ỏ
qua ma sát. Tu
ỳ

t
ừ
ng
đ
i
ề

u kiên c
ụ
th
ể
mà ta v
ậ
n d
ụ
ng
để
xác
đị
nh ph
ả
n l
ự
c liên k
ế
t, ch
ủ
y
ế
u là ph
ươ
ng
và chi
ề
u c
ủ
a chúng.

17

1.3.3. Các loại liên kết cơ bản thường gặp
a. Loại I: Liên kết tựa
Bao g
ồ
m các liên k
ế
t t
ự
a
đ
i
ể
m nh
ọ
n, liên k
ế
t t
ự
a
đườ
ng, liên k
ế
t t
ự
a m
ặ
t và liên k

ế
t
t
ự
a con l
ă
n.
1.

Liên k
ế
t t
ự
a
đ
i
ể
m nh
ọ
n (hình 1-11): Ph
ả
n l
ự
c liên k
ế
t h
ướ
ng theo pháp tuy
ế
n

c
ủ
a m
ặ
t ti
ế
p xúc c
ủ
a v
ậ
t kh
ả
o sát v
ớ
i
đ
i
ể
m nh
ọ
n
(
)
C
N
uur
.

2.

Liên k
ế
t t
ự
a
đườ
ng (hình 1-12): Ph
ả
n l
ự
c liên k
ế
t vuông góc v
ớ
i
đườ
ng t
ự
a
ở
ch
ỗ

ti
ế
p xúc v
ớ
i v
ậ
t kh
ả
o sát
(
)
,
B C
N N
uur uur
.
3.

Liên k
ế
t t
ự
a m
ặ
t (hình 1-13): Ph
ả
n l
ự
c liên k

ế
t h
ướ
ng theo ph
ươ
ng pháp tuy
ế
n
chung c
ủ
a m
ặ
t ti
ế
p xúc c
ủ
a v
ậ
t kh
ả
o sát và v
ậ
t gây liên k
ế
t t
ạ
i
đ
i
ể

m ti
ế
p xúc
(
)
N
uur
.
4.

Liên k
ế
t t
ự
a con l
ă
n (hình 1-14).: Ph
ả
n l
ự
c liên k
ế
t vuông góc v
ớ
i ph
ươ
ng d
ị
ch
chuy

ể
n t
ự
do c
ủ
a v
ậ
t kh
ả
o sát
(
)
K
N
uur
.





T

T
B

T
A

N

Hình 1-13

Hình 1-14

Hình 1-15
a)

b)


N

A

Hình 1-11

Hình 1-12

N
A
C
B

N
A

N
B

N

C

B

C

A


18

b. Loại II: Liên kêt dây mền
(hình 1-15a, b)
Ph
ả
n l
ự
c liên k
ế
t h
ướ
ng d
ọ
c dây
, ,
A B
T T T
ur ur ur
.
c. Loại III: Liên kết bản lề

Liên k
ế
t b
ả
n l
ề
bao g
ồ
m các lo
ạ
i
liên k
ế
t b
ả
n l
ề
t
ự
a, liên k
ế
t b
ả
n l
ề
c
ố
i
và liên k
ế

t b
ả
n l
ề
c
ầ
u.
− V
ậ
t kh
ả
o sát có chuy
ể
n
độ
ng
quay xung quanh tr
ụ
c b
ả
n l
ề
. Ph
ả
n l
ự
c
do tr
ụ
c b

ả
n l
ề
tác d
ụ
ng lên v
ậ
t ch
ư
a xác
đị
nh nh
ư
ng ph
ả
n l
ự
c này s
ẽ
n
ằ
m trong
m
ặ
t ph
ẳ
ng vuông góc v
ớ
i tr
ụ

c b
ả
n l
ề
.
Trong tính toán, Ph
ả
n l
ự
c
N
uur

đượ
c phân
tích thành hai thành ph
ầ
n
X
uur
và
Y
ur

đặ
t
t
ạ
i m
ộ

t
đ
i
ể
m trên tr
ụ
c b
ả
n l
ề
. Hình v
ẽ

(hình 1-16) mô t
ả
k
ế
t c
ấ
u và mô hình c
ủ
a b
ả
n l
ề
tr
ụ
.
− Liên k
ế

t b
ả
n l
ề
c
ố
i (hình 1-17): Còn có tên g
ọ
i là liên k
ế
t
ổ
ch
ắ
n, nó khác v
ớ
i liên
k
ế
t b
ả
n l
ề
tr
ụ

ở
ch
ỗ
: d

ọ
c theo tr
ụ
c
ổ
, v
ậ
t b
ị
c
ả
n tr
ở
chuy
ể
n
độ
ng theo m
ộ
t phía, trên hình 1-
17 là phía d
ướ
i, nên ch
ắ
c ch
ắ
n ph
ả
n l
ự

c
N
uur
có thành ph
ầ
n
X
uur
h
ướ
ng lên phía trên. Hai
thành ph
ầ
n còn l
ạ
i c
ủ
a ph
ả
n l
ự
c
N
uur
gi
ố
ng nh
ư

ở

b
ả
n l
ề
n tr
ụ
(
X
uur
, và
Y
ur
).
− B
ả
n l
ề
c
ầ
u (hình 1-18): M
ộ
t
đầ
u c
ủ
a v
ậ
t kh
ả
o sát có d

ạ
ng hình c
ầ
u
đượ
c l
ồ
ng
vào trong
ổ
c
ố

đị
nh có d
ạ
ng hình c
ầ
u tâm O. V
ậ
t kh
ả
o sát có th
ể
chuy
ể
n
độ
ng quay
xung quanh tâm O. Ph

ả
n l
ự
c c
ủ
a
ổ

đỡ
tác d
ụ
ng lên v
ậ
t kh
ả
o sát
đ
i qua tâm O nh
ư
ng
ch
ư
a xác
đị
nh h
ướ
ng. Khi tính toán ta th
ườ
ng phân tích ph
ả

n l
ự
c này ra ba thành ph
ầ
n
X
uur
,
Y
ur
,
Z
ur
vuông góc v
ớ
i nhau.
d. Loại IV: Liên kết thanh không trọng lượng
Gi
ả
thi
ế
t r
ằ
ng thanh không có tr
ọ
ng l
ượ
ng và trên thanh không có l
ự
c nào tác d

ụ
ng,
ngoài các l
ự
c liên k
ế
t
ở
hai
đầ
u c
ủ
a nó. Nh
ữ
ng liên k
ế
t
ở
hai
đầ
u thanh th
ườ
ng
đượ
c
th
ự
c hi
ệ
n nh

ờ
b
ả
n l
ề
c
ầ
u
hay t
ự
a. Theo tiên
đề
1, vì
thanh cân b
ằ
ng nên l
ự
c
liên k
ế
t
ở
hai
đầ
u thanh s
ẽ

cùng giá,
đ
ó là

đườ
ng
th
ẳ
ng
đ
i qua hai
đầ
u c
ủ
a
thanh. Ng
ườ
i ta quy
ướ
c
thanh ch
ị
u kéo n
ế
u các l
ự
c
y
Y
z
X
x
N
X

Y
X
Y
Hình 1-16


S
B

S
A


Hình 1-19

a)

b)

19

tác d
ụ
ng nh
ư
hình (1-19a) và thanh ch
ị
u nén n
ế
u l

ự
c tác d
ụ
ng nh
ư
hình (1-19b).
1.3.4. Tiên đề giải phóng liên kết
Các tiên
đề
1, 2, 3 và 5 ch
ỉ
phát bi
ể
u cho v
ậ
t r
ắ
n t
ự
do, còn tiên
đề
này
đặ
t c
ơ
s
ở

cho vi
ệ

c gi
ả
i quy
ế
t nh
ữ
ng bài toán v
ề
v
ậ
t r
ắ
n không t
ự
do và
đượ
c g
ọ
i là Nguyên lý
gi
ả
i phóng liên k
ế
t:
V
ậ
t r
ắ
n không t
ự

do cân b
ằ
ng có th
ể
coi là v
ậ
t r
ắ
n t
ự
do cân b
ằ
ng n
ế
u thay các
liên k
ế
t b
ằ
ng các ph
ả
n l
ự
c liên k
ế
t t
ươ
ng
ứ
ng.

Ví dụ 2.
M
ộ
t d
ầ
m
đượ
c gi
ữ

ở
tr
ạ
ng thái cân b
ằ
ng nh
ờ
s
ợ
i dây OK bu
ộ
c d
ầ
m vào
t
ườ
ng và l
ự
c trên t
ườ

ng và n
ề
n (hình 1-20a).





V
ậ
t kh
ả
o sát là d
ầ
m AB cân b
ằ
ng. Áp d
ụ
ng tiên
đề
gi
ả
i phóng liên k
ế
t ta có th
ể
coi
d
ầ
m là v

ậ
t t
ự
do cân b
ằ
ng, b
ằ
ng cách b
ỏ

đ
i các liên k
ế
t: Dây OK, n
ề
n và t
ườ
ng,
đồ
ng
th
ờ
i thay b
ằ
ng các ph
ả
n l
ự
c liên k
ế

t t
ươ
ng
ứ
ng:
T
ur
,
K
N
uur
,
D
N
uur
. Trên hình (1-20b) ta có
d
ầ
m AB cân b
ằ
ng,
đ
ó là v
ậ
t t
ự
do cân b
ằ
ng v
ớ

i
đ
i
ề
u ki
ệ
n cân b
ằ
ng là:

(
)
, , ,
K D
P T N N
ur ur uur uur
0
1.4. Mômen của lực
1.4.1. Mômen của lực đối với một tâm
1.4.2.a. Định nghĩa
Mômen c
ủ
a l
ự
c
F
ur

đố
i v

ớ
i m
ộ
t tâm O, ký hi
ệ
u là
(
)
O
m F
ur ur
, là m
ộ
t véc t
ơ
,
đượ
c xác
đị
nh b
ở
i ba y
ế
u t
ố

sau:
− Ph
ươ
ng c

ủ
a
(
)
O
m F
ur ur
là ph
ươ
ng vuông góc v
ớ
i
m
ặ
t ph
ẳ
ng ch
ứ
a tâm O và l
ự
c
F
ur
.
N
D
T
P
N
A

A
C
K
D
B
P
.
.
A
B
C
O
K
D
Hình 1-20
a)

b)

m
O
O
d
B
(F)
A
r
F
Hình 1-21

20

− Chi
ề
u c
ủ
a
(
)
O
m F
ur ur
là chi
ề
u mà ng
ườ
i quan sát nhìn t
ừ
mút c
ủ
a véct
ơ

(
)
O
m F
ur ur

xu
ố
ng m
ặ
t ph
ẳ
ng ch
ứ
a tâm O và l
ự
c
F
ur
th
ấ
y l
ự
c
F
ur
làm v
ậ
t có xu h
ướ
ng quay quanh
tâm O theo chi
ề
u ng
ượ
c kim

đồ
ng h
ồ
(hình 1-21).
− Tr
ị
s
ố
c
ủ
a
(
)
O
m F
ur ur
b
ằ
ng tích tr
ị
s
ố
c
ủ
a l
ự
c
F
ur
và cánh tay

đ
òn d (d là kho
ả
ng cách
t
ừ
tâm O
đế
n giá c
ủ
a l
ự
c
F
ur
).
(
)
(
)
. 2.
O
O AOB
m F m F F d S
= = =
ur uur ur

T
ừ

đ
ó ta có th
ể
bi
ể
u di
ễ
n:
(
)
O
m F r F
= ∧
ur uur uur
r
(1-9)
Trong
đ
ó
r
r
là véct
ơ
bi
ể
u di
ễ
n v
ị
trí

đ
i
ể
m
đặ
t A c
ủ
a l
ự
c
F
uur

đố
i v
ớ
i tâm O.
1.4.2.b. Tính chất
− Mômen c
ủ
a m
ộ
t l
ự
c
đố
i v
ớ
i m
ộ

t tâm không thay
đổ
i, n
ế
u ta tr
ượ
t l
ự
c d
ọ
c theo giá
c
ủ
a nó, vì không làm thay
đổ
i tr
ị
s
ố
c
ủ
a l
ự
c, cánh tay
đ
òn c
ũ
ng nh
ư
h

ướ
ng quay. (hình 1-
22).
− Mômen c
ủ
a l
ự
c
đố
i v
ớ
i m
ộ
t tâm b
ằ
ng không khi
đườ
ng tác d
ụ
ng c
ủ
a l
ự
c
ấ
y
đ
i
qua tâm
đ

ó, vì khi
ấ
y cánh tay
đ
òn d = 0 (hình 1-23).






1.4.2.c. Xác định mômen của lực đối với một tâm bằng giải tích
Ch
ọ
n h
ệ
tr
ụ
c Oxyz sao cho g
ố
c O trùng v
ớ
i tâm l
ấ
y mômen. G
ọ
i (x, y, z) là t
ọ
a
độ

đ
i
ể
m
đặ
t A c
ủ
a l
ự
c
F
uur
, g
ọ
i X, Y, Z là chi
ế
u c
ủ
a l
ự
c
F
uur
lên các tr
ụ
c t
ọ
a
độ

, thì theo (1-9)
ta có:

( )
O
i j k
m F r F x y z
X Y Z
= ∧ =
r
r r
ur uur uur
r

F
A
O
Hình 1-23

F
F
O
A
B
Hình 1-22


21

Khai tri

ể
n
đị
nh th
ứ
c, ta có:
(
)
( ) ( ) ( )
O
m F yZ zY i zX xZ j xY yX k
= − + − + −
ur uur
r
r r

T
ừ

đ
ó rút ra giá tr
ị
chi
ế
u c
ủ
a
(
)
O

m F
ur uur
trên các tr
ụ
c t
ọ
a
độ
:

(
)
(
)
( ) ( )
( ) ( )
O O
x
x
O O
y
y
O O
z
z
ch m F m F yZ zY
ch m F m F zX xZ
ch m F m F xY yX

   

= = −

   


   
= = −

   


   
= = −

   

ur uur ur uur
ur uur ur uur
ur uur ur uur

1.4.2. Mômen của lực đối với một trục
1.4.2.a. Định nghĩa
Có m
ộ
t l
ự
c
F
uur
và m

ộ
t tr
ụ
c z. Qua
đ
i
ể
m O trên tr
ụ
c z
ta d
ự
ng m
ặ
t ph
ẳ
ng
π

⊥
z. G
ọ
i
F
′
uur
là hình chi
ế
u c
ủ

a
F
uur

lên m
ặ
t ph
ẳ
ng
π
.
Mômen c
ủ
a l
ự
c
F
uur

đố
i v
ớ
i tr
ụ
c z, ký hi
ệ
u là
( )
z
m F

uur
, là m
ộ
t
đạ
i l
ượ
ng
đạ
i s
ố
, b
ằ
ng:
( ) .
z
m F F h
′
= ±
uur
,
trong
đ
ó h là kho
ả
ng cách t
ừ
O t
ớ
i giá c

ủ
a
F
uur
. L
ấ
y d
ấ
u
(+) n
ế
u nhìn t
ừ
mút c
ủ
a tr
ụ
c z xu
ố
ng m
ặ
t ph
ẳ
ng
π
th
ấ
y
F
uur

có xu h
ướ
ng làm cho v
ậ
t quay ng
ượ
c chi
ề
u kim
đồ
ng h
ồ
, và l
ấ
y d
ấ
u (
−
) trong tr
ườ
ng h
ợ
p ng
ượ
c l
ạ
i.
1.4.2.b. Tính chất
−
Mômen c

ủ
a l
ự
c
đố
i v
ớ
i tr
ụ
c không
đổ
i, n
ế
u ta tr
ượ
t l
ự
c d
ọ
c theo giá c
ủ
a nó, vì
khi tr
ượ
t l
ự
c
F
ur
d

ọ
c theo giá c
ủ
a nó, thì không làm thay d
ổ
i giá tr
ị
(tr
ị
s
ố
) c
ủ
a
F
′
ur
c
ũ
ng
nh
ư
chi
ề
u c
ủ
a
F
′
ur

và không làm thay
đổ
i giá tr
ị
c
ủ
a kho
ả
ng cách h.
−
Mômen c
ủ
a l
ự
c
F
uur

đố
i v
ớ
i tr
ụ
c z b
ằ
ng 0 khi l
ự
c
F
uur

song song v
ớ
i tr
ụ
c z ho
ặ
c
giá c
ủ
a l
ự
c
F
uur
c
ắ
t tr
ụ
c z. Vì n
ế
u l
ự
c
F
uur
song song v
ớ
i tr
ụ
c z thì

0
F
′
=
ho
ặ
c n
ế
u giá
c
ủ
a l
ự
c
F
uur
c
ắ
t tr
ụ
c z thì h = 0.
− N
ế
u l
ự
c
F
uur
vuông góc v
ớ

i tr
ụ
c z thì
F F
′
=
, do
đ
ó ta có:
(
)
.
z
m F F h
= ±
uur

O
z
F
F
′
π
h
Hình 1-24


22

Ví dụ 3.

Tìm mômen c
ủ
a l
ự
c
F
uur

đố
i v
ớ
i các
tr
ụ
c t
ọ
a
độ
, l
ự
c
đặ
t nh
ư
hình v
ẽ
(hình 1-25).
Bài giải:
Phân tích l
ự

c
F
uur
thành hai l
ự
c thành
ph
ầ
n là
z
F
uur
và
y
F
uur
có tr
ị
s
ố
: F
z
= Fsinα; F
y

= Fcosα.
Theo
đị
nh ngh
ĩ

a ta có:

(
)
( )
( )
. sin .
. sin .
. cos .
x z
y z
z y
m F F a F a
m F F b F b
m F F a F a
α
α
α
= =
= − = −
= =
uur
uur
uur

1.4.2.c. Liên hệ mômen của lực đối với một tâm và mômen của lực đối với một
trục đi qua tâm đó
S
ự
liên h

ệ
này
đượ
c bi
ể
u th
ị
b
ằ
ng
đị
nh lý sau
đ
ây,
đượ
c g
ọ
i là
đị
nh lý liên h
ệ

mômen.
a. Định lý
Chi
ế
u véct
ơ
mômen c
ủ

a m
ộ
t l
ự
c
đố
i v
ớ
i m
ộ
t tâm lên tr
ụ
c
đ
i qua tâm
đ
ó b
ằ
ng mômen
c
ủ
a l
ự
c
đố
i v
ớ
i tr
ụ
c

đ
ó.
Ch
ứ
ng minh: Có l
ự
c
F
uur
bi
ể
u di
ễ
n b
ằ
ng véct
ơ

AB
uuur
và m
ộ
t tâm O b
ấ
t k
ỳ
. Qua tâm
O d
ự
ng tr

ụ
c z. Ph
ả
i ch
ứ
ng minh r
ằ
ng:
(
)
(
)
O
Oz
Oz
m F m F
 
=
 
ur uur uur
.
Véct
ơ

(
)
O
m F
ur uur
vuông góc v

ớ
i m
ặ
t ph
ẳ
ng
AOB và có tr
ị
s
ố
b
ằ
ng:
(
)
2.
O OAB
m F S
=
uur
.
M
ặ
t khác theo hình v
ẽ
(hình 1-26), ta có:

(
)
. 2.

Oz OA B
m F F d S
′ ′
′
= =
uur
(a)
G
ọ
i γ là góc gi
ữ
a
(
)
O
m F
ur uur
và tr
ụ
c z, g
ọ
i α là
góc nh
ị
di
ệ
n gi
ữ
a hai m
ặ

t ph
ẳ
ng OAB và OA′B′
thì ta có quan h
ệ
: γ = α ho
ặ
c γ = π − α. Hay nói
cách khác ta có: cosγ = ±cosα.

z

y
F
ur
O

y

x

α

a

b

z
F
ur

F
′
uur
Hình 1-25

z
F
F
′
B
′
A
′
O
m
O
(F)
B
A
γ
Hình 1-26


23

Chi
ế
u
(
)

O
m F
ur uur
lên tr
ụ
c z ta có:

(
)
2 .cos 2 .cos
O
OAB OA B
Oz
m F S S
γ α
′ ′
 
= = ±
 
ur uur
(b)
Do s
ự
liên h
ệ
di
ệ
n tích gi
ữ
a hai tam giác: OAB và OA′B′ qua phép chi

ế
u ta có:
S
OAB
.cosα = ±S
OA′B′

Vì th
ế
t
ừ
(b) ta có:
(
)
2. .cos 2.
O
OAB OA B
Oz
m F S S
α
′ ′
 
= ± = ±
 
ur uur
(c)
K
ế
t h
ợ

p hai
đằ
ng th
ứ
c (a) và (c) ta có:
(
)
(
)
O
Oz
Oz
m F m F
 
=
 
ur uur uur

(1-10)
b. Công thức tính mômen của lực đối với các trục tọa độ
Theo
đị
nh lý trên, v
ớ
i O là g
ố
c t
ọ
a
độ

thì các tr
ụ
c x, y, z
đề
u
đ
i qua O, nên ta có:
(
)
(
)
( ) ( )
( ) ( )
O
Ox
Ox
O
Oy
Oy
O
Oz
Oz
m F m F
m F m F
m F m F

 
=

 



 
=

 


 
=

 

ur uur uur
ur uur uur
ur uur uur
(a)
Theo công th
ứ
c tính
(
)
O
m F
ur uur
b
ằ
ng gi
ả
i tích ta có:

( )
O
i j k
m F r F x y z
X Y Z
= ∧ =
r
r r
ur uur uur
r

Hay là:
(
)
( ). ( ). ( ).
O
m F yZ zY i zX xZ j xY yX k
= − + − + −
ur uur
r
r r
(b)
So sánh (a) và (b) ta có:

(
)
( )
( )
Ox
Oy

Oz
m F yZ zY
m F zX xZ
m F xY yX

= −


= −



= −

uur
uur
uur
(1-11)
1.5. Ngẫu lực
Tr
ướ
c khi nghiên c
ứ
u ng
ẫ
u l
ự
c, ta hãy kh
ả
o sát h

ệ
l
ự
c song song.
z
F
(X,Y,Z)
r
k
i
j
y
x
A
(x,y,z)
B
O
Hình 1-27


24

1.5.1. Hệ lực song song
a. Định nghĩa
H
ệ
l
ự
c song song là h
ệ

l
ự
c mà giá c
ủ
a các l
ự
c thành ph
ầ
n song song v
ớ
i nhau.
Trong th
ự
c t
ế
, ta th
ườ
ng g
ặ
p nhi
ề
u thí d
ụ
v
ề
h
ệ
l
ự
c song song nh

ư
m
ộ
t chi
ế
c d
ầ
m
có tr
ọ
ng l
ượ
ng là P
đặ
t trên hai g
ố
i t
ự
a A và B. Trên d
ầ
m có
đặ
t hai t
ả
i tr
ọ
ng P
1
và P
2

.
H
ệ
l
ự
c
(
)
1 2
, , , ,
A B
P P P N N
ur ur uur uur uur
là h
ệ
l
ự
c song song
đặ
t lên d
ầ
m (hình 1-28).





D
ướ
i

đ
ây ta gi
ớ
i h
ạ
n ch
ỉ
xét h
ợ
p l
ự
c c
ủ
a hai l
ự
c song song trong hai tr
ườ
ng h
ợ
p.
b. Hợp lực của hai lực song song cùng chiều
Gi
ả
s
ử
v
ậ
t r
ắ
n ch

ị
u tác d
ụ
ng c
ủ
a hai l
ự
c song song sùng chi
ề
u
1
F
uur
và
2
F
uur

đặ
t t
ạ
i A và
B.
Để
tìm h
ợ
p l
ự
c c
ủ

a h
ệ
l
ự
c
(
)
1 2
,
F F
uur uur
ta
đư
a chúng v
ề
h
ệ
l
ự
c
đồ
ng quy b
ằ
ng cách
đặ
t vào
A và B h
ệ
l
ự

c cân b
ằ
ng
(
)
1 2
,
T T
ur uur
0. Nh
ư
v
ậ
y theo tiên
đề
2 ta có:

(
)
1 2
,
F F
uur uur

(
)
1 2 1 2
, , ,
F F T T
uur uur ur uur

Theo tiên
đề
3:
(
)
1 1
,
F T
uur ur

1
R
uur
;
(
)
2 2
,
F T
uur uur

2
R
ur

Do
đ
ó:
(

)
1 2
,
F F
uur uur

(
)
1 2
,
R R
uur uur

Tr
ượ
t hai l
ự
c
1
R
uur
,
2
R
uur
d
ọ
c theo giá c
ủ
a

chúng v
ề

đ
i
ể
m O là giao
đ
i
ể
m c
ủ
a hai giá c
ủ
a
chúng r
ồ
i phân tích chúng ra thành các thành
ph
ầ
n nh
ư
ban
đầ
u ta có:
(
)
1 2
,
T T

′ ′
ur uur
0 và h
ệ
l
ự
c
đồ
ng quy
(
)
1 2
,
F F
′ ′
uur uur
0 v
ớ
i
1 1
T T
′
=
ur ur
,
2 2
T T
′
=
uur uur

,
1 1
F F
′
=
uur uur
,
2 2
F F
′
=
uur uur
nh
ư
ng
đ
i
ể
m
đặ
t c
ủ
a
1
T
′
ur
và
1
T

ur
c
ũ
ng
nh
ư

1
F
uur
,
1
F
uur
, khác nhau.
Hình 1-28

N
A
P
1
P
P
2
N
B
A
B
R
F

2
R
2
T
2
R
′
2
T
′
2
T
′
1
R
′
1
F
2
'
F
′
1
F
1
R
1
T
1
B

A
O
k
h
b
a
C
Hình 1-29


25

Theo tiên
đề
2 và tiên
đề
3 ta có:

(
)
1 2
,
F F
uur uur

(
)
1 2
,
F F

′ ′
uur uur

R
ur

V
ậ
y
R
ur
là h
ợ
p l
ự
c c
ủ
a h
ệ
l
ự
c
(
)
1 2
,
F F
uur uur
.
H

ợ
p l
ự
c
R
ur
có tr
ị
s
ố
là: R = F
1
+ F
2
(1-12)
Ph
ươ
ng và chi
ề
u c
ủ
a l
ự
c
R
ur
cùng ph
ươ
ng và chi
ề

u c
ủ
a các l
ự
c
1
F
uur
,
2
F
uur
.
Để
xác
đị
nh
đ
i
ể
m
đặ
t c
ủ
a h
ợ
p l
ự
c, ta tr
ượ

t l
ự
c
R
ur
d
ọ
c theo giá c
ủ
a nó v
ề

đ
i
ể
m C n
ằ
m trên
đ
o
ạ
n
th
ẳ
ng AB.
Xét hai c
ặ
p tam giác
đồ
ng d

ạ
ng OAH và OAC, OKB và OCB ta có:

1
1
CA AH T
CO HO F
= =
(a)
1
1
CA AH T
CO HO F
= =
(b)
Chia
đẳ
ng th
ứ
c (a) cho
đẳ
ng th
ứ
c (b) ta có:
2
1
CA F
CB F
=
(c)

D
ự
a vào tính ch
ấ
t c
ủ
a t
ỷ
l
ệ
th
ứ
c ta có:

2 1
CA CB AB
F F R
= =
(1-13)
V
ậ
y h
ợ
p l
ự
c c
ủ
a hai l
ự
c song song cùng chi

ề
u là m
ộ
t l
ự
c song song cùng chi
ề
u v
ớ
i
hai l
ự
c
đ
ó, có tr
ị
s
ố
b
ằ
ng t
ổ
ng tr
ị
s
ố
c
ủ
a hai l
ự

c và có
đ
i
ể
m
đặ
t là
đ
i
ể
m chia trong
đ
o
ạ
n
th
ẳ
ng n
ố
i hai
đ
i
ể
m c
ủ
a hai l
ự
c thành nh
ữ
ng

đ
o
ạ
n t
ỷ
l
ệ
ngh
ị
ch v
ớ
i tr
ị
s
ố
c
ủ
a hai l
ự
c.
c. Hợp hai lực song song ngược chiều
Gi
ả
s
ử
v
ậ
t r
ắ
n ch

ị
u tác d
ụ
ng c
ủ
a hai l
ự
c song song
ng
ượ
c chi
ề
u
1
F
uur
,
1
F
uur
v
ớ
i gi
ả
thi
ế
t F
1
> F
2

. Tr
ườ
ng h
ợ
p
F
1
= F
2
ta s
ẽ
nghiên c
ứ
u
ở
ph
ầ
n sau.
Ta phân tích
1
F
uur
ra hai thành ph
ầ
n
R
ur
,
2
F

′
uur
sao
cho
2
F
′
uur

đặ
t t
ạ
i B là
đ
i
ể
m
đặ
t c
ủ
a
2
F
uur
và
2 2
F F
′
=
.

V
ậ
y
(
)
1 2
,
F F
uur uur

(
)
2 2
, ,
R F F
′
ur uur uur
trong
đ
ó h
ệ

(
)
2 2
,
F F
′
uur uur
0.

R
F
1
F
′
2
F
2
B
A
C
Hình 1-30