một số định lý duy nhất trong lý thuyết nevanlina

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
——————————-
DƯƠNG THANH MI
MỘT SỐ ĐỊNH LÝ DUY NHẤT TRONG
LÝ THUYẾT NEVANLINA
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
Hà Nội - 2012
1
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
——————————-
DƯƠNG THANH MI
MỘT SỐ ĐỊNH LÝ DUY NHẤT TRONG
LÝ THUYẾT NEVANLINA
Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 604601
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS Nguyễn Đình Sang,
Trường Đại Học Khoa Học Tự Nhiên - ĐHQGHN.
Hà Nội - 2012
2
LỜI CẢM ƠN
Trước tiên tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn đến các thầy cô đã và đang
công tác tại khoa Toán - Cơ - Tin học trường Đại học Khoa học Tự nhiên
Hà Nội, đặc biệt là T.S Ninh Văn Thu, những người đã giảng dạy và cung
cấp những kiến thức khoa học quý báu trong suốt những năm học vừa qua
để tôi có nền tảng kiến thức để thực hiện luận văn này.
Tiếp theo tôi xin được gửi lời cảm ơn tới thầy giáo hướng dẫn là PGS.
TS. Nguyễn Đình Sang, người đã tận tình chỉ bảo giúp đỡ và tạo điều kiện
về nhiều mặt để tôi có thể hoàn thành luận văn này.

Cuối cùng xin cảm ơn gia đình, bạn bè đã giúp đỡ, cổ vũ động viên và
đóng góp cho tôi nhiều ý kiến quý báu trong cuộc sống, công việc và học
tập nói chung cũng như trong quá trình thực hiện luận văn này.
Xin chúc mọi người sức khỏe, đạt được nhiều thành tích cao trong công
tác, học tập và nghiên cứu khoa học và gặt hái thêm nhiều thành công
trong cuộc sống.
Học viên: Dương Thanh Mi
3
Mục lục
LỜI CẢM ƠN 4
DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU 6
1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 9
1.1 Một số khái niệm trong giải tích phức . . . . . . . . . . . . 9
1.2 Một số định lý về xấp xỉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.3 Định lý Montel về tính chỉnh hình của hàm giới hạn đều . . 16
2 Tính chỉnh hình của hàm giới hạn của dãy hàm chỉnh hình 18
2.1 Tính chỉnh hình của hàm giới hạn của dãy hàm chỉnh hình
một biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.2 Tính chỉnh hình của hàm giới hạn của dãy hàm chỉnh hình
nhiều biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.3 Các ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.4 Định lý Cartan về tính chỉnh hình của giới hạn của dãy các
tự đẳng cấu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
TÀI LIỆU THAM KHẢO 38
4
DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU
• Hol(Ω): vành các hàm chỉnh hình trên miền Ω.
• C
k
(Ω): không gian các hàm khả vi liên tục đến cấp k trên Ω.

• H(ω, Ω) (hoặc Hol(ω, Ω)): tập các ánh xạ chỉnh hình từ ω vào Ω.
• ∆ := {z ∈ C : |z| < 1}: đĩa đơn vị trong mặt phẳng phức.
5
MỞ ĐẦU
Việc nghiên cứu các tính chất của hàm giới hạn của dãy các hàm xác
định trên một tập hợp nào đó trong R
n
đã và đang được nhiều nhà toán
học quan tâm và nghiên cứu mở rộng từ miền trong không gian một chiều
đến không gian nhiều chiều. Trong giải tích phức, các nhà toán học quan
tâm đến tính chỉnh hình của hàm giới hạn (điểm hoặc đều) của dãy các
hàm chỉnh hình. Mục đích của luận văn này là trình bày lại các kết quả
Montel, H. Cartan, W. F. Osgood [7], K. R. Davidson [2], S. Krantz [4],
về chủ đề này.
Bố cục của luận văn bao gồm hai chương:
Chương I: Kiến thức chuẩn bị.
Nội dung của chương này là trình bày một số kiến thức cơ bản của giải
tích phức. Các khái niệm cơ bản như khái niệm hàm chỉnh hình, sự hội tụ
điểm, sự hội tụ đều, Đồng thời, chúng tôi cũng giới thiệu các kết quả cổ
điểm của Montel, Ascoli-Arzela, Runge, Stone-Weierstrass, về tính chỉnh
hình của hàm giới hạn và các tiêu chuẩn cho sự hội tụ đều. Những kiến
thức này sẽ là cơ sở cho việc nghiên cứu ở chương sau.
6
Chương II : Tính chỉnh hình của hàm giới hạn của dãy hàm chỉnh hình.
Trong chương này, chúng tôi giới thiệu các kết quả của W. F. Osgood,
S. Krantz, về tính chỉnh hình của hàm giới hạn. Kết quả chính là chỉ ra
rằng hàm giới hạn điểm của dãy các hàm chỉnh hình là chỉnh hình trong
một tập con mở trù mật của miền xác định. Các ví dụ cụ thể về tính chỉnh
hình của hàm giới hạn cũng được trình bày để minh họa. Ngoài ra, chúng
tôi cũng giới thiệu định lý Cartan về giới hạn đều của dãy các tự đẳng cấu.

Kết Luận :
Luận văn đã làm được những vấn đề sau đây
1. Chứng minh tính chỉnh hình của hàm giới hạn của dãy hàm chỉnh
hình một biến bị chặn điểm bởi một hàm khả tích nào đó và chứng
minh tính chỉnh hình trên tập mở trù mật của hàm giới hạn của một
dãy hàm chỉnh hình nhiều biến hội tụ điểm.
2. Đưa ra một số ví dụ về dãy hàm hội tụ điểm thì giới hạn của nó có
thể không chỉnh hình.
3. Chứng minh định lý mở rộng Cartan cho miền không bị chặn.
Vì điều kiện thời gian và năng lực còn hạn chế nên luận văn không thể
tránh khỏi những thiếu sót. Mong nhận được sự góp ý của Thầy Cô và
bạn bè.
7
Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
1.1 Một số khái niệm trong giải tích phức
Định nghĩa 1.1.1. Cho Ω là một miền trong mặt phẳng phức C, hàm
f(z) = u(x, y) + iv(x, y)
được gọi là C - khả vi tại z
0
∈ C nếu tồn tại giới hạn hữu hạn
lim
h→0
f(z
0
+ h) − f(z
0
)
h
.

Giá trị giới hạn đó được gọi là đạo hàm phức của hàm f(z) tại z
0
.
Hàm f(z) được gọi là C - khả vi trong Ω nếu nó C - khả vi tại mọi
z
0
∈ Ω.
Định nghĩa 1.1.2. Hàm f(z) được gọi là hàm chỉnh hình tại điểm z
0
∈ C
nếu nó là C - khả vi tại một lân cận nào đó của z
0
. Hàm f(z) được gọi là
chỉnh hình trong miền Ω nếu nó chỉnh hình tại mọi điểm z thuộc miền Ω.
Tập hợp mọi hàm chỉnh hình trong miền Ω, ký hiệu là H(Ω).
8
Hàm f(z) chỉnh hình tại điểm vô cùng nếu hàm ϕ(z) = f(
1
z
) chỉnh hình
tại điểm z = 0.
Định nghĩa 1.1.3. Hàm f(z) chỉnh hình trong toàn mặt phẳng phức C
được gọi là hàm nguyên.
Định lý 1.1.1. Hàm f(z) = u(x, y) + iv(x, y) chỉnh hình trên Ω nếu các
hàm u(x, y) và v(x, y) là R
2
- khả vi trên Ω và trên đó các hàm u(x, y),
v(x, y) thỏa mãn điều kiện Cauchy - Riemann, tức là
∂u
∂x

=
∂v
∂y
,
∂u
∂y
= −
∂v
∂x
, ∀(x, y) ∈ Ω.
Định lý 1.1.2. Giả sử f(z) là một hàm chỉnh hình trong miền hữu hạn
Ω ⊂ C. Khi đó trong mỗi lân cận của mỗi điểm z
0
∈ Ω, hàm f(z) được
khai triển thành chuỗi
f(z) = f(z
0
) +
(z − z
0
)
1!
f

(z
0
) +
(z − z
0
)

2
2!
f

(z
0
) + (1.1)
Hơn nữa, chuỗi trên hội tụ đều đến hàm f(z) trong hình tròn |z − z
0
| ≤ ρ
tùy ý nằm trong Ω.
Chuỗi (1.1) được gọi là chuỗi Taylor của hàm f(z) trong lân cận của
điểm z
0
.
Định nghĩa 1.1.4. Giả sử f(z) ∈ H(D). Khi đó
1) Điểm z
0
∈ Ω được gọi là không - điểm (hay 0 - điểm) của hàm f(z)
nếu f(z
0
) = 0.
2) Điểm z
0
∈ Ω được gọi là không - điểm bậc m > 0(hay không - điểm
cấp m > 0) của hàm f(z) nếu f
(n)
(z
0
) = 0, cho mọi n = 1, , m − 1 và

f
(m)
(z
0
) = 0.
9
Định nghĩa 1.1.5. Hàm f(z) được gọi là hàm phân hình trong Ω ⊂ C
nếu f =
g
h
trong đó g, h là các hàm chỉnh hình trong Ω và h = 0 trong Ω.
Nếu D = C thì ta nói f(z) phân hình trên C hay đơn giản f(z) là hàm
phân hình.
Định nghĩa 1.1.6. Điểm z
0
được gọi là cực điểm cấp m > 0 của hàm
f(z) nếu trong lân cận của z
0
hàm f(z) =
1
(z − z
0
)
m
.h(z), trong đó h(z)
là hàm chỉnh hình trong lân cận của z
0
và h(z
0
) = 0.

Nhận xét 1.1.1. Cho Ω là một tập mở trong C
n
và f là một hàm biến
phức xác định trên Ω. Khi đó, f chỉnh hình trên Ω nếu và chỉ nếu với mỗi
điểm a ∈ Ω tồn tại tương ứng một lân cận U và một chuỗi :

α∈N
n
c
α
(z − a)
α
=

α
1
, ,α
n
≤0
c
α
1
, ,α
n
(z
1
− a
1
)
α

1
(z
n
− a
n
)
α
n
hội tụ tới f(z) với z ∈ U. Ký hiệu tập các hàm chỉnh hình trên Ω bởi H(Ω)
Định nghĩa 1.1.7. Cho Ω là một tập mở trong C
n
và f = (f
1
, , f
m
) :
Ω → C
m
là một ánh xạ. Chúng ta nói ánh xạ f là chỉnh hình nếu hàm f
j
là chỉnh hình với mỗi 1 ≤ j ≤ m .
Định nghĩa 1.1.8. Giả metric Royden -Kobayashi K
Ω
trên miền Ω được
định nghĩa bởi
K
Ω
(p,
−→
X ) := inf{

1
r
| ∃f ∈ Hol(∆, Ω) sao chof(0) = p, f

(0) = r
−→
X }
với p ∈ Ω và
−→
X ∈ C
n
.
10
Định nghĩa 1.1.9. Giả khoảng cách Kobayashi d
Ω
được định nghĩa bởi
d
Ω
(p, q) = inf
γ

1
0
K(γ(t), γ

(t))dt,
trong đó infimum được lấy trên tất cả các đường cong trơn γ : [0, 1] → Ω
sao cho γ(0) = p, γ(1) = q.
Định nghĩa 1.1.10. Miền Ω ⊂ C
n

được gọi là miền hyperbolic nếu d
Ω
là một khoảng cách. Miền hyperbolic Ω gọi là hyperbolic đầy nếu Ω là đầy
theo khoảng cách d
Ω
.
Định nghĩa 1.1.11. Cho Ω là một đa tạp phức và Aut(Ω) là nhóm của
tất cả các ánh xạ song chỉnh hình từ Ω vào Ω. Chúng ta nói rằng Ω có tính
chất (IM) nếu tồn tại một metric ρ trên Ω sao cho ρ sinh ra tô pô của
Omega và ρ bất biến dưới Aut(Omega) ( nghĩa là ρ(x, y) = ρ(f(x), f(y))
với mọi x, y ∈ D và với mọi f ∈ Aut(Ω)).
Định nghĩa 1.1.12. Cho Ω là một tập mở liên thông (miền) trong C
n
.
Một ánh xạ f : Ω → Ω được gọi là tự đồng cấu chỉnh hình nếu tồn tại một
ánh xạ chỉnh hình g: Ω → Ω sao cho g ◦ f = id,f ◦ g = id. ( id là ánh xạ
đồng nhất trên Ω)
Nếu D là một miền bị chặn trong C
n
, chúng ta ký hiệu Aut(Ω) là tập
tất cả tự đẳng cấu trên Ω. Aut(Ω) là một nhóm. Một dãy f
n
⊂ Aut(Ω)
hội tụ nếu và chỉ nếu dãy {f
n
} hội tụ đều trên mọi tập con compact của
Ω tới một phần tử f ∈ Aut(Omega)
Định nghĩa 1.1.13. Giả sử M là một đa tạp phức.
11
• Dãy {f

k
}
∞
k=1
⊂ Hol(∆, M) được gọi là phân kỳ compact nếu với mỗi
tập compact K ⊂ ∆ và với mỗi tập compact L ⊂ M, tồn tại số
j
0
= j(K, L) sao cho f
j
(K) ∩ L = ∅ với mọi j ≥ j
0
.
• M được gọi là taut nếu mọi dãy
{f
k
}
∞
k=1
⊂ Hol(∆, M)
chứa một dãy con hội tụ hoặc một dãy con phân kì compact.
Định nghĩa 1.1.14. Ta nói rằng dãy các hàm {f
n
} xác định trên miền
Ω ⊂ R
n
hội tụ đều trên các tập con compact của Ω đến hàm giới hạn f
xác định trên Ω nếu với bất kì tập con compact K  Ω dãy hàm {f
n
|

K
}
hội tụ đều đến hàm f |
K
trên K, tức là
lim
n→∞
sup
K
|f
n
(x) − f(x)| = 0.
Định nghĩa 1.1.15. Ta nói rằng họ hàm F xác định trên miền Ω ⊂ R
n
là đồng liên tục nếu với mỗi x
0
∈ Ω ta có khẳng định sau đây:
Với  > 0, tồn tại δ > 0 chỉ phụ thuộc vào  và x
0
sao cho
|f(x) − f(x
0
)| < 
với mọi x ∈ Ω thỏa mãn |x − x
0
| < δ và với mỗi f ∈ F.
Định nghĩa 1.1.16. Ta nói rằng họ hàm F xác định trên miền Ω ⊂ R
n
là bị chặn điểm nếu với mỗi x
0

∈ Ω tập hợp
{f(x
0
) : f ∈ F}
bị chặn.
12
Định lý Arzela-Ascoli cổ điển cho ta một tiêu chuẩn cần và đủ để một
họ hàm hội tụ đều. Định lý này được phát biểu và chứng minh trong các
giáo trình cơ sở về Giải tích hàm.
Định lý 1.1.3 (Arzela-Ascoli). Giả sử F là họ các hàm liên tục trên miền
Ω ⊂ R
n
. Khi đó, dãy bất kì trong F hội tụ đều trên các tập con compact
của Ω nếu và chỉ nếu họ F là đồng liên tục và bị chặn điểm.
Định nghĩa 1.1.17. Hàm chỉnh hình f xác định trên đĩa đơn vị ∆ được
gọi là hàm Schlicht nếu f là đơn ánh, f(0) = 0 và f

(0) = 1, tức là hàm
f có thể viết dưới dạng tổng của chuỗi
f(z) = z +
∞

j=2
a
j
z
j
, |a
j
| ≤ j ∀j ≥ 2.

Sau đây, chúng tôi giới thiệu các ví dụ về sự hội tụ đều và sự hội tụ
điểm.
Ví dụ 1.1.4. Đặt S = {z ∈ C : |z| < 1/2}. Xét dãy hàm f
n
(z) = z
n
với n = 1, 2, · · · . Khi đó, ta dễ dàng thấy rằng lim
n→∞
f
n
(z) = 0 và
dãy {f
n
} hội tụ đều trên S đến hàm giới hạn f(z) ≡ 0 . Thật vậy,
sup
z∈S
|f
n
(z) − f
n
(0)| = sup
z∈S
|z|
n
= 1/2
n
→ 0 khi n → ∞.
Ví dụ 1.1.5. Đặt S = {z ∈ C : |z| < 1}. Xét dãy hàm f
n
(z) = z

n
với n = 1, 2, · · · . Khi đó, ta dễ dàng thấy rằng lim
n→∞
f
n
(z) = 0 và
dãy {f
n
} chỉ hội tụ điểm trên S đến hàm giới hạn f(z) ≡ 0 . Thật vậy,
sup
z∈S
|f
n
(z) − f
n
(0)| = sup
z∈S
|z|
n
= 1 → 0 khi n → ∞.
13
1.2 Một số định lý về xấp xỉ
Đối với hàm liên tục trên đoạn [a, b] ⊂ R, một câu hỏi được đặt ra rằng
liệu có thể xấp xỉ đều trên [a, b] bởi các đa thức (một biến) hay không?
Định lý sau đây khẳng định rằng mỗi hàm liên tục có thể xấp xỉ đầu bởi
các đa thức.
Định lý 1.2.1 (Stone-Weierstrass). Mỗi hàm liên tục f trên tập compact
K ⊂ R
n
đều tồn tại dãy đa thức {P

n
} hội tụ đều trên K đến hàm f.
Chứng minh. Chứng minh định lý Stone-Weierstrass được trình bày trong
các sách cơ bản về Giải tích hàm.
Đối với trường hợp hàm chỉnh hình trong miền phức ta cũng có định lý
xấp xỉ Runge. Định lý này khẳng định rằng mỗi hàm chỉnh hình có thể
xấp xỉ đầu bới các đa thức giải tích.
Định lý 1.2.2 (Runge). Giả sử K là tập con compact của mặt phẳng phức
C với phần bù C \ K liên thông. Giả sử f là một hàm chỉnh hình trong
một lân cận của K. Khi đó, tồn tại dãy các đa thức (biến phức z) hội tụ
đều đến f trên K.
Chứng minh. Gọi U là lân cận của K sao cho hàm f chỉnh hình trên U.
Khi đó, ta có thể vẽ được một chu tuyến γ trơn từng khúc sao cho định lý
Cauchy đúng đối với f, nghĩa là:
f(z) =
1
2πi

γ
f(w)
w − z
dw
với mỗi z ∈ K.
14
Tích phân trên được xấp xỉ bởi tổng Riemann

n
j=1
f(w
j

)(w
j+1
−
w
j
)/(w
j
− z). Do chu tuyến γ bao quanh K nên tổng trên hội tụ đều
trên K. Như vây, hàm f có thể xấp xỉ đều bởi các hàm hữu tỷ. Để chỉ ra
hàm f xấp xỉ đều bởi các đa thức trên K ta chỉ cần chỉ ra rằng mỗi hàm
g(z) = (w − z)
−1
có thể xấp xỉ đều bởi các đa thức trên K.
Thậy vây, khi |w| đủ lớn hơn |z| với mọi z ∈ K chuỗi hình học

∞
j=1
z
n
/w
n+1
hội tụ đều trên K đến (w − z)
−1
. Lập luận tương tự cũng
đúng cho hàm (w

− z)
−1
với w


gần w. Vì vậy, nếu (w − z)
−1
có thể xấp
xỉ đều bởi các đa thức trên K thì (w

− z)
−1
cũng có xấp xỉ tương tự như
vậy. Do C \ K là liên thông nên ta có thể thực hiện việc xấp xỉ trên với
w bất kì trong C \ K từ giá trị rất lớn của w qua một số hữu hạn bước.
Điều này kết thúc chứng minh định lý.
1.3 Định lý Montel về tính chỉnh hình của hàm giới
hạn đều
Bổ đề 1.3.1. Cho f
n
: Ω → C, n ∈ N , là một dãy hàm bị chặn với mỗi
điểm của Ω. Khi đó với mỗi tập con đếm được A ⊂ Ω tồn tại một dãy con
{g
n
} của dãy {f
n
} hội tụ theo từng điểm trong A.
Bổ đề 1.3.2. Cho F ⊂ Hol(Ω) là họ các hàm chỉnh hình bị chặn địa
phương trong Ω. Khi đó với mọi điểm c ∈ Ω và với mỗi ε > 0 tồn tại môt
đĩa B ⊂ Ω lân cận của c sao cho:
|f(w) − f(z)| ≤ ε với mọi f ∈ F với mọi w, z ∈ B.
15
Định lý 1.3.3 ( Định lý Montel). Mỗi dãy hàm chỉnh hình {f
n
}

∞
n=0
bị
chặn địa phương trong Ω có một dãy con hội tụ đều trên tập con compact
của Ω.
Chứng minh. Chọn một tập đếm được và trù mật A ⊂ Ω. Tập A là tồn
tại ví dụ : A là tập tất cả số phức hữu tỉ trong Ω. Theo mệnh đề (1.3.1)
tồn tại một dãy con {g
n
} của dãy {f
n
} hội tụ theo từng điểm trong A.
Chúng ta sẽ chứng minh dãy {g
n
} hội tụ đều trên tập con compact trong
Ω. Để chứng minh điều này ta chỉ cần chứng minh dãy {g
n
} hội tụ liên
tục trong Ω, tức là :
lim g
n
(z
n
) tồn tại với mọi dãy {z
n
} ∈ Ω mà lim z
n
= z
∗
∈ Ω.

Thật vậy, giả sử {z
n
} là dãy bất kỳ trong Ω mà lim z
n
= z
∗
∈ D. Cho
trước ε > 0 bất kỳ theo bổ đề (1.3.2), tồn tại một đĩa B ⊂ Ω lân cận
của z
∗
sao cho |g
n
(w) − g
n
(z)| ≤ ε/3 với mọi n và mọi w, z ∈ B. Do A
là tập trù mật trong Ω nên tồn tại một điểm a ∈ A ∩ B. Theo giả thiết
lim z
n
= z
∗
nên tồn tại n
1
∈ N sao cho z
n
∈ B với mọi n ≥ n
1
.
Từ đó ta có:
|g
m

(z
m
) − g
n
(z
n
)| ≤ |g
m
(z
m
) − g
m
(a)| + |g
m
(a) − g
n
(a)| + |g
n
(z
n
) − g
n
(a)|.
≤ 2ε/3 + |g
m
(a) − g
n
(a)|. với mọi n, m ≥ n
1
Do {g

n
} hội tụ theo từng điểm trong A, a ∈ A nên tồn tại lim g
n
(a),
vẫn với ε > 0 đã cho tồn tại n
2
sao cho |g
m
(a) − g
n
(a)| ≤ ε/3 với mọi
n, m ≥ n
2
.
Vậy ta có |g
m
(z
m
) − g
n
(z
n
)| ≤ ε với mọi n, m ≥ max{n
1
, n
2
}. Do đó
dãy {g
n
(z

n
)} là dãy Cauchy và do đó tồn tại lim g
n
(z
n
).
16
Chương 2
Tính chỉnh hình của hàm giới hạn
của dãy hàm chỉnh hình
2.1 Tính chỉnh hình của hàm giới hạn của dãy hàm
chỉnh hình một biến
Trước hết, ta biết rằng hàm giới hạn đều của dãy các hàm chỉnh hình
xác định trên một miền phẳng cũng chỉnh hình. Kết quả này đúng trên
tập con mở trù mật của miền. Cụ thể ta có định lý sau đây nói về tính
chỉnh hình của hàm giới hạn điểm của dãy các hàm chỉnh hình xác định
trên miền phẳng.
Định lý 2.1.1. Giả sử {f
j
} là một dãy các hàm chỉnh hình xác định trên
miền Ω trong mặt phẳng phức. Giả sử rằng dãy {f
j
} hội tụ điểm đến hàm
giới hạn f xác định trên Ω. Khi đó, f là chỉnh hình trên một tập con mở
trù mật của Ω. Hơn nữa, sự hội tụ này là đều trên mỗi tập con compact
của tập con mở trù mật này.
17
Chứng minh. Gọi U là một tập con mở khác rỗng của Ω với bao đóng
compact trong Ω. Với mỗi k = 1, 2, · · · , ta định nghĩa
S

k
:= {z ∈
¯
U : |f
j
(z)| ≤ k ∀j ∈ N}.
Do dãy {f
j
} hội tụ tại mỗi điểm z ∈
¯
U nên tập {f
j
(z) : j ∈ N} là bị chặn
với mỗi z cố định. Do vậy, mỗi điểm z ∈
¯
U đều nằm trong một tập S
k
nào
đó. Nói cách khác,
¯
U = ∪
k
S
k
.
Bây giờ, ta thấy hiển nhiên rằng
¯
U là không gian metric đầy theo metric
Euclid. Vì thế, định lý phạm trù Baire nói rằng một tập S
k

nào đó bắt
buộc phải trù mật tại đâu đó trong
¯
U. Điều này có nghĩa rằng
¯
S
k
sẽ chứa
một hình cầu (hoặc đĩa) trong
¯
U. Ta kí hiệu hình cầu này là B. Bây giờ,
áp dụng định lý Montel trên B ta tìm được dãy con {f
j
k
} của dãy {f
j
}
hội tụ đều trên các tập con các tập con compact của B đến hàm giới hạn
g. Hiển nhiên, hàm g phải trùng với f. Vì vậy, g và f phải chỉnh hình trên
B.
Do tập U trong lập luận trên được chọn một cách tùy ý nên kết luận
của định lý được khẳng định.
Đối với dãy các hàm điều hòa xác định trên miền phẳng ta cũng có kết
quả tương tự. Cụ thể, ta có định lý sau đây.
Định lý 2.1.2. Giả sử {f
j
} là một dãy các hàm điều hòa trên miền phẳng
Ω. Giả sử rằng dãy {f
j
} hội tụ điểm đến hàm giới hạn f trên Ω. Khi đó,

f là hàm điều hòa trên tập con mở trù mật của Ω.
18
Chứng minh. Ta chứng minh bằng lập luận giống như trong chứng minh
kết quả cho trường hợp hàm chỉnh hình. Do dãy các hàm điểu hòa trên
miền phẳng bị chặn đều trên trên các các tập con compact đều chứa dãy
con hội tụ đều trên các tập con compact. Điều này dễ dàng suy ra từ công
thức Poisson. Phần còn lại được chứng minh giống như trong chứng minh
định lý trên.
Định lý 2.1.3. Giả sử {f
j
} là một dãy các hàm chỉnh hình xác định
trên miền phẳng Ω. Giả sử rằng tồn tại một hằng số M > 0 sao cho
|f
j
(z)| ≤ M với mọi j và mọi z ∈ Ω. Giả sử rằng dãy {f
j
} hội tụ điểm
đến hàm giới hạn f trên Ω. Khi đó, f là chỉnh hình trên Ω.
Chứng minh. Gọi U là một tập con mở của Ω. Khi đó, lập luận từ chứng
minh định lý 2.1.1 áp dụng trực tiếp trên tập U. Vì vậy, hàm giới hạn f
là chỉnh hình trên U. Vì tập U được chọn tùy ý nên định lý được chứng
minh.
Trong trường hợp dãy hàm chỉnh hình bị chặn điểm bởi giá trị của một
hàm khả tích nào đó ta sẽ chỉ ra rằng hàm giới hạn chỉnh hình trên toàn
bộ miền xác định.
Định lý 2.1.4. Giả sử {f
j
} là một dãy các hàm chỉnh hình xác định trên
miền phẳng Ω. Giả sử tồn tại một hàm khả tích, không âm g xác định trên
Ω sao cho |f

j
(z)| ≤ g(z) với mọi j và mọi z ∈ Ω. Giả sử rằng f
j
hội tụ
điểm đến hàm giới hạn f trên Ω. Khi đó, f là chỉnh hình trên Ω.
Chứng minh. Giả sử K là tập con compact của Ω. Gọi ϕ là một hàm thuộc
19
lớp C
∞
0
(Ω) thỏa mãn f = 1 trên K. Khi đó,
f
j
(z) =
1
π

f
j
(ζ)
¯
∂ϕ(ζ)
z − ζ
dA(ζ)
với mỗi j. Ở đây, dA là độ đo điện tích Lebesgue trên C. Hệ quả là
|f
j
(z)| ≤
1
π


g(ζ)|
¯
∂ϕ(ζ)|
|z − ζ|
dA(ζ).
Do K có khoảng cách dương từ giá của ¯ϕ nên ta kết luận rằng {f
j
} bị
chặn đều trên K. Vì vậy, Định lý 2.1.1 chứng tỏ rằng hàm f chỉnh hình
trên Ω.
Định lý 2.1.5. Giả sử {f
j
} là một dãy các hàm Schlicht xác định trên
đĩa đơn vị D hội tụ điểm. Khi đó, hàm giới hạn là chỉnh hình trên Ω.
Chứng minh. Ta biết rằng hàm Schlicht thỏa mãn ước lượng
|f(z)| ≤ |z|(1 − |z|)
−2
với mọi z thuộc đĩa đơn vị D. Điều này suy ra rằng f
j
bị chặn đều trên
các tập con compact của D. Do đó, dãy {f
j
} là chuẩn tắc. Vì vậy, tồn tại
dãy con {f
j
k
} của dãy {f
j
} hội tụ đều trên các tập con compact của D

đến hàm giới hạn g . Hơn nữa, hàm g chỉnh hình trên D. Mặt khác, hàm
g phải trùng với hàm giới hạn điểm . Điều này kết thúc chứng minh định
lý.
Theo định lý Stone-Weierstrass, mỗi hàm liên tục trên đoạn [a, b] đều
có thể xấp xỉ đều bởi các đa thức. Như vậy, Định lý 2.1.1 không còn đúng
đối với dãy hàm giải tích thực. Tuy nhiên, nếu dãy hàm giải tích thực thỏa
mãn thêm điều kiện về độ tăng của tất cả các đạo hàm thì hàm giới hạn
vẫn còn giải tích thực. Mệnh đề sau chứng tỏ khẳng định này.
20
Mệnh đề 2.1.6. Giả sử {f
j
} là một dãy các hàm giải tích thực trên khoảng
bị chặn (a, b). Với mỗi l = 0, 1, 2, · · · , kí hiệu g
(l)
là đạo hàm bậc l của
hàm g. Giả sử rằng với mỗi l tồn tại các hằng số K và R sao cho
|f
(l)
j
| ≤ K
l!
R
với mọi j và l. Giả sử thêm rằng dãy {f
j
} hội tụ điểm đến một hàm f nào
đó xác định trên (a, b). Khi đó, f là hàm giải tích thực trên (a, b).
Chứng minh. Không mất tổng quát ta có thể giả sử rằng a = −b. Cố
định số nguyên dương N. Sử dụng lập luận dãy đường chéo ta có thể
chọn dãy con {f
j

k
} sao cho dãy {f
(l)
j
k
(0)} hội tụ đên số α
l
khi k → ∞ với
l = 0, 1, 2, · · · , N. Với mỗi k, ta có thể viết
f
j
k
(x) =
N

l=0
f
(l)
j
k
(0)
l!
x
l
+ O(x
N+1
).
Cho k → +∞, ta tìm được hàm
f(x) =
N


l=0
α
l
l!
x
l
+ O(x
N+1
).
Đẳng thức trên đúng với mỗi điểm x ∈ (−a, a). Do N được chọn tùy ý
nên f là C
∞
and giá trị của hàm f
(l)
tại mỗi điểm x là giới hạn của dãy
con của day {f
(l)
j
(x)}. Lập luận này chỉ ra rằng mọi dãy con của dãy {f
j
}
đều trích ra dãy con với tính chất này. Vì vậy, ta có thể kết luận rằng
lim
j→∞
f
(l)
j
(x) = f
(l)

(x)
với mỗi x ∈ (−a, a) và mỗi l = 0, 1, 2, · · · .
Từ giả thiết của mệnh đề ta có
|f
(l)
j
| ≤ K
l!
R
21
với mỗi x thuộc tập con compact của (−a, a). Cho j → +∞ ta nhận được
|f
(l)
| ≤ K
l!
R
.
Điều này chỉ ra rằng hàm f là giải tích thực. Mệnh đề được chứng minh.
2.2 Tính chỉnh hình của hàm giới hạn của dãy hàm
chỉnh hình nhiều biến
Đối với dãy các hàm chỉnh hình nhiều biến xác định trên miền trong
C
n
, ta cũng có kết quả như Định lý 2.1.1.
Định lý 2.2.1. Giả sử {f
j
} là một dãy các hàm chỉnh hình xác định trên
miền Ω ⊂ C
n
. Giả sử rằng dãy {f

j
} hội tụ điểm đến hàm giới hạn f xác
định trên Ω. Khi đó, f là chỉnh hình trên một tập con mở trù mật của Ω.
Hơn nữa, sự hội tụ là đều trên các tập con compact của tập mở này.
Chứng minh. Ta chú ý rằng định lý Montel vẫn đúng cho trường hợp hàm
nhiều biến. Do đó, định lý được chứng minh bằng lập luận tương tự như
lập luận trong chứng minh Định lý 2.1.1.
Định lý 2.2.2. Giả sử {f
j
} là dãy các hàm chỉnh hình trên miền Ω ⊂ C
n
.
Giả sử rằng {f
j
} hội tụ điểm đến hàm giới hạn f trên Ω. Gọi L là một
đường thẳng phức trong C
n
. Khi đó, hàm giới hạn f là chỉnh hình trên một
tập con mở trù mật L ∩ Ω.
Chứng minh. Áp dụng Định lý 2.1.1 trên miền L ∩ Ω.
22
Định lý 2.2.3. Giả sử {f
j
} là dãy các hàm chỉnh hình trên miền
Ω ⊂ C
n
(n ≥ 2). Giả sử rằng tồn tại hàm f trên Ω sao cho với mỗi
hàm giải tích ϕ : D → Ω dãy {f
j
◦ ϕ} hội tụ đều trên

¯
D đến hàm f ◦ ϕ.
Khi đó, f là chỉnh hình trên Ω.
Chứng minh. Cố định z ∈ Ω và c > 0 đủ bé. Cố định chỉ số j và đặt
ϕ(ζ) = (0, · · · , c.ζ, 0, · · · , 0), trong đó ζ xuất hiện ở vị trí thứ j. Khi đó,
giả thiết của ta nói rằng dãy f
j
◦ ϕ(ζ) = f
j
(0, · · · , ζ, · · · , 0) hội tụ đều
theo biến ζ ∈ D to f. Hiển nhiên rằng hàm giới hạn là chỉnh hình. Vì thế,
f là chỉnh hình theo từng biến phân biệt. Theo định lý Hartog về hàm
chỉnh hình tách biến hàm f thực sự là hàm n biến chỉnh hình.
2.3 Các ví dụ
Trong mục này, chúng tôi muốn giới thiệu một số ví dụ về tính chỉnh
hình của hàm giới hạn điểm của dãy các hàm chỉnh hình xác định trên
miền phẳng. Ta biết rằng nếu sự hội tụ là đều thì hàm giới hạn là chỉnh
hình trên miền xác định. Tuy nhiên, nếu sự hội tụ chỉ là hội tụ điểm thì
hàm giới hạn có thể không chỉnh hình. Các ví dụ sau đây chỉ ra điều này.
Ví dụ 2.3.1. Ta sẽ xây dựng hàm nguyên E(z) có giới hạn không tiếp
xúc bằng 0 khi z → ∞, trừ giới hạn theo hướng theo trục thực dương, ở
đó Re[E(x)] → +∞ khí x → +∞. Ta đặt F (z) = exp(−E(z)). Khi đó,
hàm nguyên F có giới hạn không tiếp xúc 1 khi z → ∞ trừ giới hạn lấy
theo hướng R
+
, ở đó giới hạn không tiếp xúc bằng 0. Bây giờ ta xây dựng
23
dãy hàm nguyên F
n
cho bởi F

n
(z) = F (nz) hội tụ điểm trên C đến hàm
giới hạn g, trong đó g nhận giá trị 0 trên (0, +∞) và nhận giá trị 1 trong
C \ [0, +∞) × (−π, +π).
Bây giờ ta tiến hành xây dựng hàm E có tính chất nêu trên. Thật vậy,
với mỗi số dương a >) ta gọi γ
a
là đường cong biên của nửa dải H
a
trong
mặt phẳng R
2
cho bởi H
a
= (a, +∞) và gọi là miền giới hạn bởi H
a
. E
a
là miền ngoài của H
a
. Chú ý rằng nếu a < b thì E
a
⊂ E
b
và H
a
∩ E
b
là
hình chữ nhật mở (a, b) × (−π, +π).

Đặt f(z) = exp(exp(z)). Khi đó, vì |f(x ± iπ)| = 1/ exp(exp(x)) nên
|f| khả tích trên γ
a
với giá trị tích phân là f
1,a
được lấy theo |dz|. Điều
này đảm bảo rằng hàm
I
a
(z) =
1
2πi

γ
a
f(w)
w − z
dw
tồn tại và giải tích trên phần bù của γ
a
. Hiển nhiên, ta có đánh giá
|I
a
(z)| ≤
f
1,a
2πdist(z, γ
a
)
.

Ước lượng trên chỉ ra rằng I
a
có giới hạn không tiếp xúc bằng 0 khi z → ∞
theo mọi hướng trừ hướng dọc theo trục thực dương và I
a
bị chặn trên đoạn
[a + 1, +∞). Thực tế, I(x) → 0 khi x → +∞.
Tiếp theo, giả sử rằng 0 < a < b và z ∈ γ
a
∪ γ
b
. Khi đó, ta có
I
b
(z) − I
a
(z) =
1
2πi

∂(H
a
∩E
b
)
f(w)
w − z
= f(z)χ
a,b
(z),

trong đó χ
a,b
là hàm đặc trưng của hình chữ nhật H
a
∩ E
b
. Điều này chỉ
ra rằng I
b
(z) = I
a
(z) trên E
a
và ∪
a
E
a
= C. Tức là, ta có thể định nghĩa
một hàm nguyên E bằng cách đặt E(z) = I
a
(z) trên E
a
với mỗi a. Đặc
24
biệt, hàm E có giới hạn không tiếp xúc bằng 0 tại ∞ theo mọi hướng trừ
hướng dọc theo trục thực dương R
+
. Nếu x ∈ H
a
∩ R

+
ta có thể chọn bất
kì số b > x. Khi đó, x ∈ E
b
và
E(x) = I
b
(x) = I
a
(x) + f(x) = O(1) + exp(exp(x))
khi x → +∞. Từ đó, Re[E(x)] → +∞ khi x → +∞. Như vậy, hàm E
chính ra hàm cần tìm.
Ví dụ 2.3.2. Gọi
U = {z ∈ C : |Re z| < 1, |Im z| < 1}.
Với j = 1, 2, · · · , ta định nghĩa
S
j
= {z ∈ U :
1
[j + 2]
≤ |Re z| ≤ 1−
1
[j + 2]
,
1
[j + 2]
≤ |Im z| ≤ 1−
1
[j + 2]
}.

Với mỗi j chúng ta áp dụng định lý Runge trên tập S
j
∪ T
j
. Chú ý rằng
phần bù của tập S
j
∪ T
j
là liên thông. Do đó, ta có thể đẩy các cực của
các hàm xấp xỉ vào phần bù của tập U. Sau đó, với mỗi j chúng ta có thể
xây dựng được hàm f
j
trên U sao cho
|f
j
(z) − 0| < 1/j với z ∈ T
j
,
|f
j
(z) − 1| < 1/j với z ∈ S
j
.
Dễ dàng thấy rằng dãy {f
j
} hội tụ đến hàm f cho bởi
f(z) =








0 nếu z ∈ U \ {z ∈ U : Re z = 0 hoặc Im z = 0}
1 nếu z ∈ U ∩ {z ∈ U : Re z = 0 hoặc Im z = 0}.
Vì vậy, hàm giới hạn f là chỉnh hình trên tập con mở trù mật của U và
tập loại trừ ra chính là hai trục tọa độ trong U.
25