phương pháp sai phân giải gần đúng bài toán biên cho phương trình eliptic tuyến tính cấp hai

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
HOÀNG LÊ TIẾN DŨNG
PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN
GIẢI GẦN ĐÚNG BÀI TOÁN BIÊN CHO
PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC TUYẾN TÍNH CẤP HAI
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Hà Nội - Năm 2012
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
HOÀNG LÊ TIẾN DŨNG
PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN
GIẢI GẦN ĐÚNG BÀI TOÁN BIÊN CHO
PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC TUYẾN TÍNH CẤP HAI
Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH
Mã số : 60 46 01
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
PGS.TS. HÀ TIẾN NGOẠN
Hà Nội - Năm 2012
Mục lục
Mở đầu 2
1 Bài toán biên Dirichlet cho phương trình elliptic tuyến tính cấp
hai 4
1.1 Không gian W
1
2
(Ω),
˚
W
1

2
(Ω) và các tính chất cơ bản . . . . . . . . . 4
1.1.1 Đạo hàm suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.2 Không gian W
1
2
(Ω) và
˚
W
1
2
(Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.3 Các tính chất cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2 Nghiệm suy rộng của bài toán biên Dirichlet cho phương trình
elliptic tuyến tính cấp hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.2.1 Nghiệm suy rộng trong W
1
2
(Ω). Bất đẳng thức thứ nhất . . 18
1.2.2 Tính giải được của bài toán Dirichlet trong không gian
W
1
2
(Ω). Ba định lý Fredholm . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2 Phương pháp sai phân giải gần đúng bài toán biên Dirichlet 33
2.1 Hàm lưới. Tỉ số sai phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.2 Nội suy của hàm lưới. Các định lý nhúng . . . . . . . . . . . . . . 38
2.3 Phương trình sai phân đối với bài toán biên Dirichlet . . . . . . . 45
Kết luận 52
Tài liệu tham khảo 53

1
Mở đầu
Bài toán biên Dirichlet thường xuất hiện nhiều trong những bài toán ứng
dụng của lý thuyết cơ học chất lỏng, điện-từ trường v v Đa số các bài toán này
tương đối phức tạp thường không có phương pháp giải đúng. Chúng ta thường
chỉ ra sự tồn tại duy nhất nghiệm theo nghĩa nghiệm suy rộng. Nghiệm này chỉ
có ý nghĩa về mặt lý thuyết mà không áp dụng được vào thực tiễn. Do vậy trong
thực tế để sử dụng nghiệm này chúng ta phải tìm nghiệm xấp xỉ của chúng.
Để đáp ứng một phần nhỏ yêu cầu của việc tìm nghiệm gần đúng của bài toán
biên. Trong luận văn này trình bày "phương pháp sai phân giải gần đúng bài
toán biên cho phương trình elliptic tuyến tính cấp hai". Nội dung luận văn chủ
yếu dựa theo tài liệu tham khảo [8] của O.A. Ladyzhenskaya.
Luận văn với đề tài "Phương pháp sai phân giải gần đúng bài toán biên
cho phương trình elliptic tuyến tính cấp hai" trình bày về phương pháp
sai phân để đưa bài toán biên về một bài toán đại số (hệ đại số tuyến tính). Bài
toán đại số này có phương pháp giải và có thể tìm được nghiệm gần đúng cho
bài toán ban đầu của phương trình elliptic tuyến tính cấp hai.
Luận văn được chia thành hai chương:
Chương 1: Bài toán biên Dirichlet cho phương trình elliptic tuyến tính
cấp hai.
Trong chương này trình bày một số khái niệm, tính chất cơ bản về đạo hàm
suy rộng dựa trên tài liệu tham khảo [3] của Nguyễn Mạnh Hùng, khái niệm
2
không gian W
1
2
(Ω) và
˚
W
1

2
(Ω) dựa trên tài liệu [8] của O.A. Ladyzhenskaya. Đây
là các kiến thức cơ bản để nghiên cứu nghiệm suy rộng của bài toán biên Dirich-
let cho phương trình elliptic tuyến tính cấp hai. Bài toán này sẽ có nghiệm suy
rộng duy nhất trong W
1
2
(Ω).
Chương 2: Phương pháp sai phân giải gần đúng bài toán biên
Dirichlet.
Trong chương này trình bày về hàm lưới, các hàm nội suy của nó và mối
quan hệ giữa chúng dựa trên tài liệu [8] của O.A. Ladyzhenskaya. Phương trình
sai phân đối với bài toán biên Dirichlet dựa theo tài liệu [8] được thực hiện như
sau: Bước thứ nhất chúng ta xây dựng hàm lưới, nội suy hàm lưới. Bước hai
chúng ta chuyển từ bài toán vi phân sang bài toán sai phân. Bước ba chúng ta
đi khảo sát sự ổn định và hội tụ của sơ đồ sai phân.
Bản luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn chỉ bảo tận tình của
PGS.TS. Hà Tiến Ngoạn (Viện Toán học Việt Nam). Thầy đã dành nhiều thời
gian hướng dẫn cũng như giải đáp các thắc mắc của tôi trong suốt quá trình
làm luận văn. Tôi trân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến người thầy của
mình.
Qua đây, tôi xin gửi tới Ban Giám Hiệu, Phòng Sau Đại Học, Khoa Toán-
Cơ-Tin học trường Đại Học Khoa Học Tự Nhiên, Đại Học Quốc Gia Hà Nội lời
cảm ơn sâu sắc nhất đối với công lao dạy dỗ trong suốt quá trình giáo dục đào
tạo của Nhà trường.
Hà Nội, tháng 12 năm 2012
3
Chương 1
Bài toán biên Dirichlet cho phương
trình elliptic tuyến tính cấp hai

1.1 Không gian W
1
2
(Ω),
˚
W
1
2
(Ω) và các tính chất cơ
bản
1.1.1 Đạo hàm suy rộng
Với hai hàm số u(x) và v(x) tùy ý, khả vi vô hạn trong miền Ω ⊂ R
n
và v(x)
triệt tiêu trên một miền biên (nghĩa là, v ∈
˙
C
∞
(Ω)), bằng cách tích phân từng
phần k lần ta có:

Ω

u
∂
k
v
∂x
k
1

1
. . . ∂x
k
n
n
+ (−1)
k+1
v
∂
k
u
∂x
k
1
1
. . . ∂x
k
n
n

dx = 0.
Định nghĩa 1.1.1. [3]Cho Ω là một miền trong không gian R
n
. Một hàm số
ω
k
1
k
n
∈ L

1
(Ω) được gọi là đạo hàm suy rộng cấp k của u(x) ∈ L
1
(Ω) nếu:

Ω

u
∂
k
v
∂x
k
1
1
. . . ∂x
k
n
n
+ (−1)
k+1
vω
k
1
k
n

dx = 0,
với mọi v ∈
˙

C
∞
(Ω), k = (k
1
, . . . , k
n
), |k| = k
1
+ · · · + k
n
.
Kí hiệu hàm ω
k
1
k
n
là ∂
k
u/∂x
k
1
1
. . . ∂x
k
n
n
, hoặc D
k
u. Cách kí hiệu thứ nhất sẽ
không gây ra sự hiểu lầm vì nếu u ∈ C

k
(Ω) thì ω
k
1
k
n
= ∂
k
u/∂x
k
1
1
. . . ∂x
k
n
n
. Rõ
4
ràng là khái niệm này là một phần mở rộng của khái niệm cổ điển về đạo hàm
riêng liên tục của dạng ∂
k
u/∂x
k
1
1
. . . ∂x
k
n
n
.

Nếu hàm u(x) có đạo hàm thông thường liên tục cấp k thì nó có đạo hàm
suy rộng cấp k.
Từ định nghĩa đạo hàm suy rộng ta thấy hàm u(x) có không quá một đạo
hàm suy rộng. Một hàm có đạo hàm suy rộng có thể không có đạo hàm theo
thông thường.
Tính chất 1.1.1. Một hàm có đạo hàm suy rộng cấp k trong miền Ω thì nó
cũng có đạo hàm suy rộng cấp k trong miền Ω

⊂ Ω.
Tính chất 1.1.2. Nếu u
1
và u
2
có đạo hàm suy rộng trong Ω thì c
1
u
1
+ c
2
u
2
có
đạo hàm suy rộng trong Ω và:
∂
k
(c
1
u
1
+ c

2
u
2
)
∂x
k
1
1
. . . ∂x
k
n
n
= c
1
∂
k
u
1
∂x
k
1
1
. . . ∂x
k
n
n
+ c
2
∂
k

u
2
∂x
k
1
1
. . . ∂x
k
n
n
.
Từ định nghĩa của đạo hàm suy rộng ta thấy ∂
k
/∂x
k
1
1
. . . ∂x
k
n
n
độc lập với thứ
tự lấy đạo hàm.
Đạo hàm suy rộng bảo tồn nhiều tính chất của đạo hàm cổ điển. Tuy nhiên
không phải là bảo tồn tất cả, chẳng hạn từ sự tồn tại đạo hàm suy rộng cấp k
không suy ra được sự tồn tại đạo hàm suy rộng cấp nhỏ hơn k.
1.1.2 Không gian W
1
2
(Ω) và

˚
W
1
2
(Ω)
Định nghĩa 1.1.2. [3] Không gian W
1
2
(Ω) là không gian bao gồm tất cả các hàm
u(x) ∈ L
2
(Ω) sao cho tồn tại đạo hàm suy rộng mọi cấp α, |α|  1, thuộc L
2
(Ω)
và được trang bị chuẩn:
||u||
(1)
2,Ω
=


Ω
(u
2
+ u
2
x
)dx

1/2

.
Định nghĩa 1.1.3. [3] Không gian
˚
W
1
2
(Ω) là bao đóng của
˙
C
∞
(Ω) trong chuẩn
của không gian W
1
2
(Ω).
5
Không gian Hilbert
˚
W
1
2
(Ω) đóng vai trò cơ bản trong việc nghiên cứu bài
toán biên thứ nhất với phương trình cấp hai của các dạng khác nhau.
Tích vô hướng trong không gian W
1
2
(Ω) và
˚
W
1

2
(Ω) được xác định bởi:
(u, v)
(1)
2,Ω
=

Ω
(uv + u
x
v
x
)dx. (1.1.1)
Qui ước: u
x
v
x
=

n
k=1
u
x
k
v
x
k
, u
2
x

=

n
i=1
u
2
x
i
.
Giả sử Ω là miền bị chặn trong R
n
. Trong
˚
W
1
2
(Ω) ta có thể đưa vào tích vô
hướng mới:
[u, v] =

Ω
u
x
v
x
dx. (1.1.2)
Ta được chuẩn tương đương với chuẩn ban đầu. Để chỉ ra sự tương đương ta
phải thiết lập bất đẳng thức sau ∀u(x) ∈
˚
W

1
2
(Ω). Ta có:

Ω
u
2
dx  c
2
Ω

Ω
u
2
x
dx, (1.1.3)
(bất đẳng thức Poincare-Friedichs), c
Ω
là một hằng số phụ thuộc trên Ω.
Ta chứng minh (1.1.3) với u(x) ∈
˙
C
∞
(Ω), sau đó có thể thu được (1.1.3) với
∀u(x) ∈
˚
W
1
2
(Ω) bởi "sự đóng đơn theo chuẩn W

1
2
(Ω)". Ta có thể giải thích như
sau. Cho u(x) là một phần tử bất kỳ của
˚
W
1
2
(Ω) và chúng ta xấp xỉ nó theo
chuẩn của W
1
2
(Ω) bởi dãy hàm

u
(m)

(m=1,2, ) của
˙
C
∞
(Ω). Giả sử (1.1.3) đã
được chứng minh

u
(m)

. Nếu ta lấy (1.1.3) cho u
(m)
và lấy giới hạn khi m −→ ∞

theo chuẩn W
1
2
(Ω). Ta được (1.1.3) với u(x).
Ta sẽ thường xuyên sử dụng tính chất đóng như trên trong chứng minh bất
đẳng thức:
u
B
1
 c u
B
2
, (1.1.4)
với mọi u ∈ B
2
, trong đó B
1
, B
2
là hai không gian Banach.
Trước tiên, ta sẽ chứng minh (1.1.4) với tập M nào đó (gồm những phần tử
thường là các hàm trơn) trù mật trong B
2
và đóng theo chuẩn của B
2
.
Bây giờ ta trở lại với chứng minh (1.1.3) với u(x) ∈
˙
C
∞

(Ω). Ta có thể bao Ω
6
trong các hình hộp Π, không mất tính tổng quát giả sử rằng Π = {x : 0 < x
i
< l
i
}.
Rõ ràng chứng minh theo Π được nhiều thuận lợi nhất cho tất cả các cách chọn.
Giả sử l
1
là một trong các cạnh của Π có chiều dài nhỏ nhất.
Ta viết u(x) dưới dạng:
u(x
1
, x

1
) =

x
1
0
∂u(y
1
, x

1
)
∂y
1

dy
1
, (1.1.5)
trong đó x

1
= (x
2
, , x
n
) ∈ Π
1
= {x

1
: 0 < x
i
< l
i
; i = 2, , n} và giả sử u(x) = 0
với x /∈ Ω.
Bình phương hai vế của (1.1.5), lấy tích phân trên Π và áp dụng bất đẳng
thức Cauchy ở vế phải ta được:

Π
u
2
(x)dx =

l

1
0
dx
1

Π
1


x
1
0
∂u(y
1
, x

1
)
∂y
1
dy
1

2
dx

1
≤

l

1
0
dx
1

Π
1

x
1

l
1
0

∂u
∂y
1

2
dy
1

dx

1
=
l
2
1

2

Π

∂u
∂x
1

2
dx.
Do vậy (1.1.3) đúng với c
2
Ω
= l
2
1
/2, suy ra sự tương đương của chuẩn [u, u]
1/2
và u
(1)
2,Ω
tương ứng với (1.1.2) và (1.1.1).
Trong (1.1.3) hằng số c
Ω
cũng có thể rút ra ở dạng c
2
|Ω|
2/n
, với |Ω| bằng số
điểm lưới Ω và c là hằng số tuyệt đối chỉ phụ thuộc n, nghĩa là ∀u ∈

˚
W
1
2
(Ω)
||u||
2,Ω
≤ c|Ω|
1/n
||u
x
||
2,Ω
. (1.1.6)
1.1.3 Các tính chất cơ bản
Định lý 1.1.1. [8] (Định lý F-Rellich): Giả sử rằng Ω là miền bị chặn. Khi đó
một tập bị chặn trong
˚
W
1
2
(Ω) là tiền compact trong L
2
(Ω).
Định lý này thường được phát biểu:
˚
W
1
2
(Ω) được nhúng compact trong L

2
(Ω).
Chứng minh. [8] Ta mở rộng tất cả các phần tử của
˚
W
1
2
(Ω) bằng cách đặt
chúng bằng 0 ở bên ngoài Ω và ta xét chúng trong hình Π = {x : 0 < x
i
< l
i
}, với
Ω ⊂ Π.
7
Ta thu được cho các phần tử mở rộng như vậy của
˚
W
1
2
(Ω) chuẩn || · ||
2,Π
và
|| · ||
(1)
2,Π
trùng với || · ||
2,Ω
và || · ||
(1)

2,Ω
tương ứng.
Ta phân tích Π thành các hình hộp cơ bản ω
i
với cạnh l
k
/N (k = 1, 2, . . . , n)
và các mặt song song với mặt phẳng tọa độ.
Áp dụng bất đẳng thức Poincare với hàm tùy ý u(x) trong W
1
2
(ω
i
):

ω
i
u
2
dx ≤
1
|ω
i
|


ω
i
udx


2
+
n
2

ω
i
n

k=1

l
k
N

2
u
2
x
k
dx. (1.1.7)
Từ đây ta thấy rằng:

Ω
u
2
dx =

Π
u

2
dx ≤
N
n

i=1
1
|ω
i
|


ω
i
udx

2
+
n
2N
2

Ω
n

k=1
l
2
k
u

2
x
k
dx. (1.1.8)
Lấy ||u
(m)
||
(1)
2,Ω
≤ c, tập

u
(m)

là tiền compact yếu trong L
2
(Ω). Không mất
tính tổng quát ta giả sử các phần tử của

u
(m)

là hội tụ yếu trong L
2
(Ω). Với
bất kỳ u
(p)
và u
(q)
từ (1.1.8) ta có:

||u
(p)
− u
(q)
||
2
2,Ω
=
N
n

i=1
1
|ω
i
|


ω
i
(u
(p)
− u
(q)
)dx

2
+
n
2N

2
n

k=1
l
2
k
||u
(p)
x
k
− u
(q)
x
k
||
2
2,Ω
.
(1.1.9)
Số hạng cuối cùng ở vế phải của (1.1.9) có thể làm nhỏ tùy ý với mọi p, q
bằng cách chọn ω
i
nhỏ (tức là cho N đủ lớn), và số hạng đầu tiên tiến về 0 khi
p, q tiến về ∞ với một phân hoạch cố định của Π vì

u
(m)

hội tụ yếu trong

L
2
(Π). Hay ||u
(p)
− u
(q)
||
2
2,Ω
tiến về 0 khi p, q tiến về 0.
Do vậy

u
(m)

hội tụ trong L
2
(Π). Định lý được chứng minh.
Công thức tích phân từng phần trong lý thuyết bài toán biên đúng với các
phần tử của
˚
W
1
2
(Ω), với mọi u(x) ∈
˚
W
1
2
(Ω) và mọi v(x) ∈ W

1
2
(Ω) ta có:

Ω
u
x
i
vdx = −

Ω
uv
x
i
dx, i = 1, 2, , n. (1.1.10)
Công thức tổng quát hơn:

Ω
∂w
∂x
i
dx = 0, (1.1.11)
8
với hàm w tùy ý trong L
1
(Ω) có đạo hàm suy rộng ∂w/∂x
i
trong L
1
(Ω) và w có

thể được xấp xỉ bởi các hàm

w
(m)

(m = 1, 2, ) trong
˙
C
∞
(Ω) theo hướng sau:
w
(m)
→ w trong L
1
(Ω) và ∂w
(m)
/∂x
i
→ ∂w/∂x
i
trong L
1
(Ω). (1.1.11) đúng với
w
(m)
do vậy nếu ta lấy giới hạn khi m → ∞ ta được (1.1.11) với w.
Nếu w ∈ L
1
(Ω) triệt tiêu ở gần ∂Ω và có đạo hàm ∂w/∂x
i

trong L
1
(Ω) thì có
thể xấp xỉ bởi hàm w
(m)
trong
˙
C
∞
(Ω), do đó (1.1.11) đúng với w.
Nếu u và v trong L
2
(Ω) và có đạo hàm suy rộng ∂u/∂x
i
và ∂v/∂x
i
trong L
2
(Ω)
(ở đây i là cố định), và nếu u có thể xấp xỉ bởi hàm u
(m)
trong
˙
C
∞
(Ω) sao cho
u
(m)
và ∂u
(m)

/∂x
i
hội tụ về u và ∂u/∂x
i
theo chuẩn của L
2
(Ω), thì (1.1.10) đúng
với u và v với bất kì giá trị của i. Hàm w
(m)
= u
(m)
v trong L
1
(Ω), triệt tiêu ở gần
∂Ω và có đạo hàm suy rộng ∂w
(m)
/∂x
i
= u
(m)
∂v/∂x
i
+ ∂u
(m)
/∂x
i
v trong L
1
(Ω),
do vậy (1.1.11) đúng với w

(m)
. Ta lấy giới hạn khi m → ∞ trong công thức này
ta được (1.1.11) đúng với w và (1.1.10) cũng đúng với u và v với giá trị bất kì
của i.
Vì mỗi u trong
˚
W
1
2
(Ω) có thể xấp xỉ theo chuẩn của W
1
2
(Ω) bởi các hàm của
˙
C
∞
(Ω) nên suy ra (1.1.10) đúng với u và mọi v trong W
1
2
(Ω), ∀i = 1, 2, , n.
Ta chứng minh bất đẳng thức Poincare (1.1.7), hay bất đẳng thức tương
đương

Π
l
u
2
dx ≤
1
|Π

l
|


Π
l
udx

2
+
n
2

Π
l
n

k=1
l
2
k
u
2
x
k
dx, (1.1.7’)
với Π
l
= {x : 0 < x
i

< l
i
}.
Ta chỉ cần chứng minh rằng hàm u(x) trơn trù mật trong W
1
2
(Π
l
). Lấy u(x) ∈
C
1
(Π
1
) và tọa độ mới trong (1.1.7’) như sau y
i
= x
i
/l
i
(i = 1, 2, , n).
Sau đó nhân với (l
1
, , l
n
)
−1
ta sẽ được bất đẳng thức tương đương

Π
1

u
2
dy ≤


Π
1
udy

2
+
n
2

Π
1
u
2
y
dy, (1.1.7”)
với hàm u(y) = u(l
1
y
1
, , l
n
y
n
) trong khối lập phương Π
1

= {y : 0 < y
i
< 1}
Để chứng minh (1.1.7”) ta lấy hai điểm bất kỳ y = (y
1
, y
2
, y
n
), y

= (y

1
, , y

n
)
9
và dãy điểm y
(1)
= (y

1
, y
2
, , y
n
), y
(2)

= (y

1
, y

2
, , y
n
), , y
(n)
= y

. Theo Định lý
Newton-Laibnit
u(y

) − u(y) =

y
(1)
y
u
τ
1
(τ
1
, y
2
, y
n

)dτ
1
+

y
(2)
y
(1)
u
τ
2
(y

1
, τ
2
, y
3
, y
n
)dτ
2
+
+

y
(n)
y
(n−1)
u

τ
n
(y

1
, y

2
, τ
n
)dτ
n
. (1.1.7”’)
Bình phương hai vế của bất đẳng thức này và áp dụng bất đẳng thức Cauchy
cho vế phải ta được:
u
2
(y

) − 2u(y

)u(y) + u
2
(y) ≤ n


1
0
u
2

τ
1
dτ
1
+ +

1
0
u
2
τ
n
dτ
n

. (1.1.12)
Nếu ta lấy tích phân (1.1.12) trên y ∈ Π
1
và y

∈ Π
1
thì ta có
2

Π
l
u
2
(y)dy − 2



Π
l
u(y)dy

2
≤ n

Π
l
n

k=1
u
2
y
k
dy.
Bất đẳng thức này trùng với (1.1.7”).
Ta trở lại với không gian W
1
2
(Ω) cho các miền Ω khác nhau. Ta bắt đầu với
trường hợp đơn giản nhất, khi Ω là hình hộp Π
l
= {x : 0 < x
i
< l
i

}. Ở đây ta
có phép nhúng compact W
1
2
(Ω) vào L
2
(Ω). Trong chứng minh của định lý 1.1.1.
u
(m)
trong
˚
W
1
2
(Ω) được sử dụng ở phần đầu của chứng minh để cho thấy rằng
ta có thể mở rộng u
(m)
(x) lên Π
l
theo một cách nào đấy mà các hàm này vẫn có
đạo hàm suy rộng cấp một và bị chặn đều theo chuẩn .
(1)
2,Π
l
trong trường hợp
hiện tại các hàm u
(m)
(x) có các tính chất của giả thiết, và ta có thể áp dụng
trực tiếp cho chúng tất cả các lập luận của chứng minh định lý 1.1.1.
Ta thừa nhận miền mở rộng của W

1
2
(Ω) đến một số miền

Ω ⊃ Ω (xem §5,
chương I và công thức (5.3), (5.4) [8]) với m = 2 và Ω = Π
l
. Sau đó tương tự như
phần mở rộng hình Π
l
⊃ Ω. Từ đó và từ phép nhúng của W
1
2
(Π
l
) trong L
2
(Π
l
)
sau đó nhúng compact W
1
2
(Ω) trong L
2
(Ω). Hơn nữa thấy rằng đây là tính chất
vẫn được giữ lại cho miền Ω như vậy Ω được biểu diễn dưới dạng

N
i=1

Ω
i
. Trong
10
đó Ω
i
là miền con của Ω thêm vào một phần mở rộng của W
1
2
(Ω
i
). Do vậy ta
chứng minh được định lý sau:
Định lý 1.1.2. [8] Nếu
Ω có thể biểu diễn dưới dạng

N
i=1
Ω
i
, trong đó Ω
i
là
một miền con của Ω cho phép thác triển của W
1
2
(Ω
i
), thì mọi tập bị chặn trong
W

1
2
(Ω) là tiền compact trong L
2
(Ω).
Ta trở lại với các câu hỏi của vết của các phần tử u(x) trong W
1
2
(Ω) trên
mặt ngoài của thứ nguyên n − 1 đầu tiên ta xét với một hàm trơn u(x) trong
W
1
2
(Ω) và một tập Γ là miền trên siêu phẳng. Để thuận tiện giả sử Γ là miền
của x

1
= (x
2
, , x
n
) nằm trên mặt phẳng x
1
= 0, và giả sử hình trụ Q
δ
=
Q
δ
(Γ) = {x : 0 < x
1

< δ, x

1
∈ Γ} cùng thuộc Ω. Theo công thức Newton-Laibniz
cho u ∈ C(Q
δ
) với đạo hàm liên tục ∂u/∂x
1
trong Q
δ
. Ta có:
u(x
1
, x

1
) − u(0, x

1
) =

x
1
0
∂u(τ, x

1
)
∂τ
dτ. (1.1.13)

Nếu bình phương (1.1.13), lấy tích phân trên Γ và áp dụng Bất đẳng thức Cauchy
thì ta thu được:


u(x
1
, x

1
) − u(0, x

1
)


2
2,Γ
=

Γ


x
1
0
∂u
∂τ
dτ

2

dx

1
≤ x
1

x
1
0

Γ

∂u
∂x
1

2
dx.
(1.1.14)
Ta nhận được kết quả khác của (1.1.13) trước tiên ta chuyển vế u(x
1
, x

1
) sang
vế phải của (1.1.13) bình phương hai vế sau đó tích hợp kết quả trên Q
δ
(Γ) và
chia cho δ vế phải bị chặn như sau:


Γ
u
2
(0, x

1
)dx

1
=
1
δ

Q
δ
(Γ)

−u(x) +

x
1
0
∂u
∂τ
dτ

2
dx

2

δ

Q
δ
(Γ)
u
2
dx +
2
δ

Γ
dx

1

δ
0


x
1
0
∂u
∂τ
dτ

2
dx
1


2
δ

Q
δ
(Γ)
u
2
dx +
2
δ

Γ
dx

1

δ
0
x
1

τ
0

∂u
∂τ

2

dτdx
1
=
2
δ

Q
δ
(Γ)
u(x)
2
dx + δ

Q
δ
(Γ)
u
2
x
1
dx, (1.1.15)
11
theo bất đẳng thức (1.1.14), (1.1.15) ta sẽ thu được kết quả "đẹp" cho hàm u(x)
ở giá trị tùy ý u ∈ L
2
(Q
δ
).
Như vậy ta có thể xây dựng u(x) là chuỗi các hàm trơn


u
(m)
(x)

chúng hội tụ
đến u(x) trong L
2
(Q
δ
) và thấy rằng u
(m)
x
1
cũng hội tụ đến u
x
1
trong L
2
(Q
δ
). Từ
đây và từ (1.1.15) thấy rằng u
(m)
(0, .) hội tụ ở trong L
2
(Γ). Nó được xét tự nhiên
các hàm xác định trên Γ như là giới hạn của u
(m)
(0, .) trong L
2

(Γ) là vết của u(x)
ở trên Γ.
Rõ dàng từ (1.1.14) thấy rằng u(x) có vết trên mọi mặt cắt của Q
δ
bởi mặt
x
1
= x
0
1
, x
0
1
∈ [0, δ]. Nếu ta viết (1.1.14), (1.1.15) với u
(m)
và lấy giới hạn khi
m → ∞ thì ta thấy rằng giới hạn là hàm u(x) (hơn nữa, ∀u ∈ W
1
2
(Ω)).
Từ (1.1.14) vết của u(x
1
, x

1
) trên mặt cắt của Q
δ
bởi các mặt nêu trên là các
phần tử của L
2

(Γ) nó phụ thuộc liên tục trên các tham số x
1
∈ [0, δ]. Do vậy ta
có chứng minh định lý sau:
Định lý 1.1.3. [8] Với mỗi hàm u ∈ L
2
(Q
δ
) với u
x
1
∈ L
2
(Q
δ
) tồn tại một vết cùng
một phần tử của L
2
(Γ), trên mặt cắt của Q
δ
bởi mặt phẳng x
1
= x
0
1
, x
0
1
∈ [0, δ] và
vết tùy thuộc vào sự liên tục trên x

0
1
∈ [0, δ] theo chuẩn của L
2
(Γ). Ta được mối
tương quan (1.1.14), (1.1.15) cho u(x).
Tóm lại, khẳng định này được gọi là phép nhúng của W
1
2
(Ω
δ
) vào L
2
(Γ).
Ta sẽ giải thích để thấy định lý 1.1.3 giống định lý nhúng được xác định dưới
đây: Cho u(x) là một phần tử tùy ý thỏa mãn giả thiết của định lý.
Khi đó định lý 1.1.3 ở đây tồn tại một đại diện của phần tử này (nghĩa là một
hàm tương đương u(x) trên Q
δ
) mà kết luận của định lý đúng.
Theo cách tìm một đại diện cho u(x) là hiển nhiên từ chứng minh ta phải thực
hiện từ vài phần tử của dãy u
(m)
, (m = 1, 2, ) từ C
1
(Q
δ
) hội tụ đến u(x) theo
cách thực hiện ở trên và cố định vết của u(x) trên những mặt cắt của Q
δ

bởi
mặt phẳng x
1
= x
0
1
, giới hạn của dãy

u
(m)
(x
0
1
, x

1
)

trong chuẩn của L
2
(Γ).
Chú ý 1.1.1. Dễ thấy các vết của phần tử u(x) của W
1
2
(Ω), định nghĩa trên Γ
12
cùng một phần tử của L
2
(Γ), không phụ thuộc vào cách chọn thứ tự của các hàm
trơn


u
(m)

được sử dụng xấp xỉ đến u(x).
Ở đây vết thay đổi liên tục giống một phần tử của L
2
(Γ) dưới sự tịnh tiến của
Γ, không chỉ theo một phương chiếu x
1
, mà còn theo những phương chiếu khác,
với điều kiện là dịch tiến mặt cắt không đi ra ngoài Ω.
Chúng ta sẽ chỉ ra rằng W
1
2
(Ω) được nhúng vào L
2
(Γ) không chỉ trong một
đường biên mà còn ở miền trong.
Định lý 1.1.4. [8] Cho miền Ω chứa một hình trụ Q
δ
(Γ) được mô tả giống định
lý 1.1.3, và theo kết luận của định lý 1.1.2 theo Q
δ
(Γ), hoặc với vài miền khác
Ω

⊆ Ω chứa hình trụ này. Thì từ bất kỳ một dãy bị chặn

u

(m)

theo chuẩn của
W
1
2
(Ω) ta có thể chọn một dãy con hội tụ đều trong L
2
(Ω) với điểm x
0
1
∈ [0, δ].
Sự thật ||u
(m)
||
(1)
(2,Ω)
≤ c. Theo định lý 1.1.2 dãy

u
(m)

là tiền compact trong
L
2
(Q
δ
(Γ)).
Không mất tính tổng quát ta giả sử rằng dãy


u
(m)

hội tụ đến u(x) trong
L
2
(Γ) ta xét (1.1.15) với hiệu sai phân u
(p)
− u
(q)
và với δ
1
∈ [0, δ]. Vế phải
của (1.1.15) có thể nhỏ bao nhiêu tùy ý, sao cho p, q đủ lớn. Nếu ta chọn δ
1
trong (1.1.15) đủ nhỏ sao cho δ
1
||u
(p)
(x
1
)
− u
(q)
(x
1
)
||
2
2,Ω

δ
(Γ)
≤

2
, ∀p, q, ta có thể tìm
thấy N

như vậy ∀p, q ≥ N

, đầu tiên ta sẽ được với /2 cùng một cách nói
||u
(p)
− u
(q)
||
2
2,Γ
≤ , ∀p, q ≥ N

.
Ta có ||u
(p)
(x
1
, .)−u
(q)
(x
1
, .)||

2
2,Γ
bị chặn ∀x
1
∈ [0, δ]. Nếu ta có thể nhận ra rằng
thay thế

Γ
u
2
(0, x

1
)dx

trong vế trái của (1.1.15) bởi

Γ
u
2
(x
1
, x

1
)dx

∀x
1
∈ [0, δ].

Nếu Q
δ
= {x : x
1
∈ (0, δ), x

1
∈ Γ} thì ta chỉ rõ W
1
2,0
(Q
δ
) là không gian đóng
của W
1
2
(Q
δ
) với một tập các hàm khả vi vô hạn.
Ta có thể xác định chúng không giao nhau trên bề mặt S
δ
= {x : x
1
∈ (0, δ), x

1
∈ ∂Γ}
của hình trụ Q
δ
(thấy rõ ràng như sau W

1
2,0
(Q
δ
) gồm các phần tử của W
1
2
(Q
δ
)
triệt tiêu trên S
δ
).
Nếu ∀u ∈ W
1
2,0
(Q
δ
) thì ta có kết quả hệ u(x) = 0 với x
1
∈ (0, δ), x

1
/∈ Γ, sau
13
đó ta có được một phần tử của W
1
2,0
(Q
δ

), Q
δ
=

x : x
1
∈ (0, δ), x

1
∈

Γ

với mọi

Γ ⊃ Γ. Ở đây chuẩn trong W
1
2,0
(

Q
δ
) là ||u||
(1)
2,Q
δ
. Từ định lý (1.1.2), (1.1.4) ta có:
Hệ quả 1.1.1. [8] Cho phần tử của dãy

u

(m)

ở trong W
1
2,0
(

Q
δ
), theo chuẩn
||u
(m)
||
(1)
2,Q
δ
bị chặn đều. Khi đó ta có thể chọn một dãy con

u
(m)

hội tụ mạnh
trong L
2
(Q
δ
) và hội tụ mạnh trong L
2
(Γ), với điểm x
1

∈ [0, δ] (không hạn chế
trên miền Γ bị chặn).
Mọi kết quả ta thiết lập cho mặt phẳng Γ có thể chuyển được sang cho Γ là
miền siêu diện trơn, bao gồm một phần biên của Ω. Cho Γ là phép chiếu trên siêu
diện (không có giới hạn tổng quát, ta thấy đây là siêu phẳng x
1
= 0) trong miền
Γ
(1)
do vậy Γ có phương trình x
1
= f(x

1
), x

1
∈ Γ
(1)
, f ∈ C
1
(
Γ
(1)
) và để cho "đường
cong hình trụ" Q
δ
(Γ) =

x : f(x


1
) < x
1
< f(x
1
) + δ, x

1
∈ Γ
(1)

ước lệch sai trong
Ω. Ta gắn vào Q
δ
(Γ) hệ tọa độ mới y
1
= x
1
− f(x

1
), y
k
= x
k
, k = 2, , n. Hàm
u(y) = u(x(y)) sẽ là phần tử của W
1
2

(

Q
δ
). Ở đây

Q
δ
=

y : 0 < y
1
< δ, x

1
∈ Γ
(1)

do vậy nó sẽ thỏa mãn (1.1.14), (1.1.15) trong điều kiện của tọa độ y.
Nếu ta trở lại với bất đẳng thức:

Γ
[u(x + le
1
) − u(x)]
2
ds  cl

Q
l

(Γ)
u
2
x
dx, 0  l  δ, (1.1.16)
và
||u||
2
2,Γ
 c

1
δ
||u||
2
2,Q
δ
(Γ)
+ δ||u
x
||
2
2,Q
δ
(Γ)

. (1.1.17)
Trong đó e
1
= (1, 0, , 0) và c bất biến được định nghĩa bởi đạo hàm thứ nhất

của f (x

1
) trong (1.1.16) và (1.1.17) sự tịnh tiến của Γ và của Argument của u(x)
được thực hiện theo các trục x
1
. Điều này có thể thực hiện dọc theo các phần
mà không phải là tịnh tiến của Γ nếu thay cho x tọa độ y biên khác với biên
Jacobiou |∂y/∂x| và |∂x/∂y| .
Ví dụ ta có thể giả định (1.1.16) rằng e
1
là một vecto chuẩn của Γ với điểm
x và thấy rằng Q
l
(Γ) là một đường cong hình trụ hình thành bởi các phân đoạn
của chuẩn, của độ dài l xuất phát từ một điểm của Γ.
14
Nếu u ∈ W
1
2
(Ω), và trên ∂Ω của nó (hay một phần Γ đã nói) là một phần đa
diện trơn, lúc đó nếu ta giữ trong bất đẳng thức dạng (1.1.16) và (1.1.17) với
u(x) thì ta sẽ nói rằng giá trị biên của nó (hay là vết của nó) trên ∂Ω trên Γ cho
ta một phần tử của L
2
(∂Ω) [L
2
(Γ)] và thấy rằng chúng là có nghĩa ở "trong hình
vuông".
Điều này xảy ra nếu Ω có từng mảnh biên trơn, ∂Ω, nghĩa là nó có thể bao

∂Ω bởi hữu hạn mảnh Γ
i
như vậy bất đẳng thức (1.1.16), (1.1.17) giữ trên các
mảnh (các điều kiện đủ Γ
i
đã được xây dựng ở trên). Đặc biệt ta có bất đẳng
thức sau với miền Ω:

∂Ω
(u(x − ln) − u(x))
2
ds  cl

Ω
l
u
2
x
dx, 0 < l < δ
1
, (1.1.18)
||u||
2
2,∂Ω
 c

1
δ
||u||
2

2,Ω
δ
+ δ||u||
2
2,Ω
δ

. (1.1.19)
Trong đó Ω
δ
là tập hợp các điểm của Ω có khoảng cách tới ∂Ω không vượt
quá δ (một tập như vậy được gọi là giải biên có chiều rộng δ) trong đó δ là một
số đủ nhỏ, ở đây n là pháp tuyến của ∂Ω đã được thiết lập từ Định lý 1.1.3
Định lý 1.1.5. [8] Với mỗi phần tử u(x) ∈ W
1
2
(Ω) vết được định nghĩa trên miền
Γ của đa diện trơn trong Ω cùng với các phần tử của L
2
(Γ) và chúng phụ thuộc
liên tục (cùng các phần tử của L
2
(Γ)) trên một sự thay thế của Γ với các vết ta
có bất đẳng thức của dạng (1.1.16), (1.1.17). Nếu ∂Ω (hoặc một phần tử của Γ)
là một phần tử của L
2
(∂Ω) (hoặc L
2
(Γ)) ta có bất đẳng thức (1.1.18), (1.1.19),
(1.1.16), (1.1.17) với các vết.

Định lý 1.1.4 có thể tổng quát với miếng đường cong đặc biệt ta có:
Định lý 1.1.6. [8] Nếu Ω có một biên trơn ∂Ω thì tập bị chặn trong W
1
2
(Ω)
là tiền compact trong L
2
(∂Ω). Kết luận tính compact này cùng với miền Ω với
biên trơn từng khúc ∂Ω =

n
i=1
Γ
i
nếu với mỗi mảnh Γ
i
ta có thể xây dựng một
hình trụ dạng Q
δ
(Γ
i
) ⊂ Ω cho (1.1.16), (1.1.17) thì phép nhúng của W
1
2
(Ω) trong
L
2
(Q
δ
(Γ

i
)) là compact.
15
Chú ý 1.1.2. Mỗi phần tử u(x) của
˚
W
1
2
(Ω) biên trơn trên Ω không có vai trò
trong cách lấy đạo hàm của bất đẳng thức (1.1.16), (1.1.17), mỗi hàm có thể mở
rộng đến 0 bên ngoài Ω và xem xét như là các phần tử của
˚
W
1
2
(K), trong đó K là
quả cầu chứa Ω, bởi vì tập hợp các phần tử

u
(m)

của
˚
W
1
2
(Ω) đã được mở rộng
đến 0 ở bên ngoài Ω sẽ compact trong L
2
(Γ). Ở đây Γ là một số giao điểm mịn

của siêu diện với quả cầu K. Ta thường nói về các phần tử của
˚
W
1
2
(Ω). Giả thiết
rằng giá trị tại biên là bằng 0. Điều này phải được hiểu theo cách sau: Nếu Γ là
một mảnh biên trơn với Q
δ
(Γ) ⊂ Ω, thì u(x) ∈
˙
C
∞
(Ω). Bất đẳng thức (1.1.18)
trở thành:

Γ
u
2
(x − ln)ds  cl

Q
l
(Γ)
u
2
x
dx, 0  l  δ. (1.1.20)
Nếu ta lấy chuẩn đóng của W
1

2
(Q
l
(Γ)) thì (1.1.20) đúng với mọi u(x) trong
˚
W
1
2
(Ω).
Rõ ràng

Γ
u
2
(x − ln)ds → 0 khi l → 0.
Trở lại với công thức:

Ω
∂u
∂x
i
vdx = −

Ω
u
∂v
∂x
i
vdx +


∂Ω
uvcos(n, x
i
)ds. (1.1.21)
Ở đây n là vecto pháp tuyến của ∂Ω và ds là phần tử vi phân của mặt ∂Ω. Ta
biết đến (1.1.21) cho những mặt trơn ∂Ω và hàm u, v liên tục trên Ω và đạo hàm
u
x
i
, v
x
i
liên tục trên Ω.
Từ đây và từ tính chất vết của phần tử trong W
1
2
(Ω) đã được chứng minh,
(1.1.21) vẫn đúng (∀i = 1, 2, , n) với hàm u(x), v(x) trong W
1
2
(Ω) nếu ∂Ω là mặt
trơn.
Để kiểm tra điều này thì ta xấp xỉ u, v bởi các hàm

u
(m)

,

v

(m)

trong Ω
và viết (1.1.21) cho u
(m)
, v
(m)
lấy giới hạn khi m → ∞. Ta chú ý

W
1
2
(Ω) = W
1
2
(Ω)
với ∂Ω trơn. Công thức (1.1.21) đúng hàm u, v trơn với miền Ω với Ω = Ω
1

Ω
2
.
Trong đó miền Ω
i
có biên trơn, ngay cả khi Ω
1
và Ω
2
có thể cắt nhau. Để chứng
minh điều này ta chú ý (1.1.21) đúng cho phần giao Ω

1

Ω
2
và ta viết

Ω
dưới
dạng

Ω
1
+

Ω
2
−

Ω
1

Ω
2
: Mỗi tích phân là cần thiết để áp dụng (1.1.21) và sau
16
đó xem xét các tích phân thực hiện trong phần biên của Ω
1
và Ω
2
không phụ

thuộc vào ∂Ω thì hủy bỏ. Do vậy (1.1.21) đúng với Ω có thể bao phủ không chỉ
bởi hai mà còn bởi một số hữu hạn miền Ω
i
⊂ Ω với các biên trơn. Đối với các
miền (1.1.21) đúng không chỉ với các hàm u, v trơn mà còn đúng ∀u, v ∈ W
1
2
(Ω),
có thể lặp lại việc kiểm tra bằng cách xấp xỉ u, v theo chuẩn của W
1
2
(Ω
i
) bởi các
hàm trơn. Thay vì xét Ω
i
với các biên trơn ta có thể xét các loại khác của khối
đa diện.
Ta trở lại với (1.1.21) cho miền hình trụ Ω = {x : 0 < x
1
< l
1
, x

1
∈ Γ}. Trong
đó Γ là miền (n − 1) chiều trên mặt phẳng x
1
= 0 và u, v ∈ L
2

(Ω) với đạo hàm
suy rộng u
x
1
, v
x
1
∈ L
2
(Ω) (Ở đây có (1.1.21) với i = 1) công thức (1.1.21) đúng
cho Ω với i = 1 và u, v ∈ C
1
(Ω). Ta có thể xấp xỉ hàm u, v trong L
2
(Ω) cùng các
hàm u
x
1
, v
x
1
bởi các hàm u
(m)
, v
(m)
, u
(m)
x
1
, v

(m)
x
1
hội tụ tương ứng trong L
2
(Ω)
đến u, v, u
x
1
, v
x
1
. Ta phải giữ lại (1.1.21) với i = 1 cho u
(m)
, v
(m)
khi m → ∞
theo sự suy xét ở trên. Quá trình lấy giới hạn có thể hợp lý cho mỗi trường hợp.
Do vậy ta có (1.1.21) cho u, v. Thật vậy:

Ω
∂u
∂x
i
vdx = −

Ω
u
∂v
∂x

i
vdx +

Γ
uvdx

1



x
1
=l
1
x
1
=0
. (1.1.22)
Ta sẽ giới thiệu thêm một công thức hữu ích trong chứng minh sau, đó là:

∂Ω
|u|ds  c

Ω
(|u
x
| − |u|)dx, (1.1.23)
công thức này có giá trị ∀u(x) ∈ W
1
2

(Ω) và với miềm Ω biên trơn từng khúc. Để
chứng minh ta phải bao ∂Ω bởi một số miền hữu hạn Γ
i
và dựng hình trụ cong
Ω
δ
(Γ) giống cách trong (1.1.17) thì với Q
δ
(Γ) ta phải kiểm tra tính hợp lệ của
bất đẳng thức trong (1.1.17) với chuẩn L
1
để thế cho L
2
, chính xác hơn:
||u||
1,Γ
i
 c

1
δ
||u||
1,Q
δ
(Γ
i
)
+ ||u
x
||

1,Q
δ
(Γ
i
)

.
Ở đây ta bắt đầu xây dựng như (1.1.17) bằng cách sử dụng công thức Newton-
Laibniz (xem (1.1.13)) nếu ta lấy tổng tất cả các bất đẳng thức với mọi i ta
17
được (1.1.23). Áp dụng (1.1.23) với u(x) = v
2
(x) ở đây v(x) ∈ W
1
2
(Ω) (dễ dàng
thấy u ∈ W
1
1
(Ω)) và ta có công thức sau:

∂Ω
v
2
ds  c
1

Ω
(|v||v
x

| + v
2
)dx
 c
1

Ω


c
1
v
2
x
+

c
1
4
+ 1

v
2

dx ≡

Ω

v
2

x
+ c

v
2

dx, (1.1.24)
với  > 0 tùy ý.
1.2 Nghiệm suy rộng của bài toán biên Dirichlet
cho phương trình elliptic tuyến tính cấp hai
1.2.1 Nghiệm suy rộng trong W
1
2
(Ω). Bất đẳng thức thứ nhất
Ta nghiên cứu tính giải được của bài toán biên thứ nhất trong không gian
W
1
2
(Ω).
Lu ≡
∂
∂x
i

a
ij
u
x
j
+ a

i
u

+ b
i
u
x
i
+ au = f +
∂f
i
∂x
i
, (1.2.1)
u|
S
= 0. (1.2.2)
Giả sử (1.2.1) là phương trình elliptic và các hệ số là các hàm bị chặn, đo
được, nghĩa là:
νξ
2
 a
ij
ξ
i
ξ
j
 µξ
2
, ν, µ = const > 0, a

ij
= a
ji
(1.2.3)
và




n

i=1
a
2
i
,




n

i=1
b
2
i
 µ
1
,





n

i=1
(a
i
− b
i
)
2
 µ
2
, µ
3
 a(x)  µ
4
. (1.2.4)
Giả sử các hàm f và f
i
trong (1.2.1) khả tổng bình phương trong Ω, nghĩa
là:
||f||
2,Ω
< ∞, ||f ||
2,Ω
≡











n

i=1
f
2
i






2,Ω
< ∞. (1.2.5)
18
Định nghĩa 1.2.1. [8] Hàm u(x) được gọi là một nghiệm suy rộng trong không
gian W
1
2
(Ω) của phương trình (1.2.1) nếu nó thỏa mãn:
L(u, η) ≡


Ω

a
ij
u
x
i
η
x
j
+ a
i
uη
x
i
− b
i
u
x
i
η − auη

=

Ω
(−fη + f
i
η
x
i

)dx, (1.2.6)
với mọi η(x) ∈
˙
C
∞
(Ω).
Ta thấy định nghĩa này là có nghĩa, với mọi tích phân xuất hiện trong (1.2.6)
là hữu hạn.
Đẳng thức (1.2.6) có thể thu được từ đẳng thức:
−

Ω

Lu − f −
∂f
i
∂x
i

ηdx = 0, η ∈
˙
C
∞
(Ω). (1.2.6’)
Bằng cách lấy tích phân từng phần số hạng −(a
ij
u
x
i
+ a

i
u)
x
i
η và (f
i
)
x
i
η. Nếu
hệ số a
ij
, a
j
có đạo hàm suy rộng cấp một bị chặn, nếu f
i
có đạo hàm suy rộng
∂f
i
/∂x
i
trong L
2
(Ω) và nếu u ∈ W
1
2
(Ω)

W
2

2
(Ω

), ∀ Ω

⊂ Ω và thỏa mãn (1.2.1)
hầu hết trong Ω, thì từ (1.2.1) suy ra (1.2.6’) và từ (1.2.6’) suy ra (1.2.6). Với
các điều kiện này u(x) là nghiệm suy rộng của phương trình trong W
1
2
(Ω).
Mệnh đề đảo cũng đúng: Với cùng các điều kiện của a
ij
, a
i
và f
i
, bất kỳ nghiệm
suy rộng (1.2.1) nào trong W
1
2
(Ω) đều thuộc W
2
2
(Ω

), ∀ Ω

⊂ Ω thỏa mãn (1.2.1)
với hầu hết x trong Ω. Từ (1.2.6) suy ra (1.2.6’) ∀η ∈

˙
C
∞
(Ω), và (1.2.1) được
suy ra từ (1.2.6’) với hầu hết x thuộc Ω, vì Lu − f − ∂f
i
/∂x
i
∈ L
2
(Ω

), ∀ Ω

⊂ Ω
và
˙
C
∞
(Ω

) trù mật trong L
2
(Ω

).
Từ cách xác định trực tiếp và cách xác định ngược lại ngược ta thấy: với
a
ij
, a

i
, f
i
khả vi, phương trình (1.2.1) và (1.2.6) cho ta cùng một thông tin về
u(x). Tuy nhiên (1.2.6) có nghĩa ngay cả khi a
ij
, a
i
, f
i
không khả vi và chỉ biết
u(x) ∈ W
1
2
(Ω). Do đó định nghĩa của ta là một phần mở rộng khái niệm nghiệm
của (1.2.1). Ta sẽ thấy rằng sự mở rộng nghiệm như vậy vẫn cho ta các tính
chất cơ bản của bài toán biên này: tính giải được Fredholm.
Như vậy ta sẽ tìm nghiệm suy rộng của bài toán (1.2.1), (1.2.2) trong W
1
2
(Ω)
là một hàm u(x) trong
˚
W
1
2
(Ω) thỏa mãn (1.1.6) với bất kì η ∈
˚
W
1

2
(Ω).
19
Tính chất 1.2.1. Bất đẳng thức cơ bản thứ nhất cho nghiệm suy rộng của bài
toán (1.2.1) trong W
1
2
(Ω).
(ν − 
1
− 
3
)||u
x
||
2

1
4
2
||f||
2
+
1
4
3
||f ||
2
+


µ
4
+
µ
2
2
4
1
+ 
2

||u||
2
,
với mọi 
i
> 0, i = 1, 2, 3.
Chứng minh. Xét phương trình cấp hai dạng L(u, u). Từ (1.2.3), (1.2.4) và Bất
đẳng thức Cauchy ta có với mọi 
1
> 0
L(u, u) =

Ω
[a
ij
u
x
i
u

x
j
+ (a
i
− b
i
)u
x
i
u − au
2
]dx
≥

Ω
[vu
2
x
− µ
4
u
2
]dx − µ
2
||u||.||u
x
||
≥ (ν − 
1
)||u

x
||
2
− (µ
4
+
µ
2
2
4
1
)||u||
2
, ∀
1
> 0, (1.2.7)
trong đó ||u|| là chuẩn trong L
2
(Ω), và (u, v) là tích vô hướng trong L
2
(Ω). Nếu
lấy 
1
= ν/2 trong (1.2.7). Ta có:
L(u, u) ≥
ν
2
||u
x
||

2
− (µ
4
+
µ
2
2
4
1
)||u||
2
. (1.2.8)
Theo bất đẳng thức (1.1.3) trong phần 1.1, ta thấy vế phải của (1.2.7) không
nhỏ hơn biểu thức [(ν − 
1
)c
−2
Ω
− µ
4
− µ
2
2
/(4
1
)]||u||
2
, ∀
1
∈ (0, ν]. Do vậy:

L(u, u) ≥ δ
1
||u||
2
, (1.2.9)
với
δ
1
= max
0<
1
ν

(ν − 
1
)c
−2
Ω
− µ
4
−
µ
2
2
4
1

. (1.2.10)
Nếu δ
1

> 0 sử dụng (1.2.8), (1.2.9) ta có thể chặn ||u
x
||
2
trong các số hạng
của L(u, u) ta đươc:
ν
2
||u
x
||
2
 L(u, u)

1 + δ
−1
1
max

0; µ
4
+
µ
2
2
2ν

tương đương
δ
2

||u
x
||
2
 L(u, u), (1.2.11)
20
với
δ
2
=
ν
2

1 + δ
−1
1
max

0; µ
4
+
µ
2
2
2ν

−1
> 0. (1.2.12)
Cho u(x) là nghiệm suy rộng của bài toán (1.2.1), (1.2.2) trong W
1

2
(Ω) thì
theo (1.2.6) ta có u(x) thỏa mãn
L(u, u) = −(f, u) + (f
i
, u
x
i
)  ||f||.||u|| + ||f ||.||u
x
||
 
2
||u||
2
+
1
4
2
||f||
2
+ 
3
||u
x
||
2
+
1
4

3
||f ||
2
, (1.2.13)
với mọi 
2
, 
3
> 0. Từ đó và bất đẳng thức (2.1.7) ta được bất đẳng thức thứ
nhất: bất đẳng thức năng lượng
(ν − 
1
− 
3
)||u
x
||
2

1
4
2
||f||
2
+
1
4
3
||f ||
2

+

µ
4
+
µ
2
2
4
1
+ 
2

||u||
2
, (1.2.14)
với mọi 
i
> 0, i = 1, 2, 3.
Với 
1
+ 
2
< ν cho ta tính bị chặn của ||u
x
|| theo ||u||, ||f||, ||f ||.
Chú ý 1.2.1. Đăc biệt 
1
= 
3

= ν/4, (1.2.14) có dạng:
||u
x
||
2

1
2ν
2
||f||
2
+
2
ν
2
||f ||
2
+
2
ν

µ
4
+
µ
2
2
ν
+ 
2


||u||
2
, (1.2.15)
với mọi 
2
> 0.
Các bất đẳng thức (1.2.14), (1.2.15) cho phép ta tìm được một giới hạn của
chuẩn ||u
x
|| cho nghiệm u(x) của bài toán (1.2.1), (1.2.2).
Định lý 1.2.1. [8] Bài toán (1.2.1), (1.2.2) không thể có nhiều hơn một nghiệm
suy rộng trong W
1
2
(Ω) nếu (1.2.3)-(1.2.5) được thỏa mãn và nếu δ
1
> 0.
Chứng minh. Nếu δ
1
> 0 ta có bất đẳng thức (1.2.9), (1.2.11) với δ
i
> 0, i = 1, 2.
Áp dụng vào (1.2.13) và (1.1.3) với (1.2.11) ta có:
δ
2
||u
x
||
2

 L(u, u)  (
2
c
2
Ω
+ 
3
)||u
x
||
2
+
1
4
2
||f||
2
+
1
4
3
||f ||
2
, (1.2.16)
21
đặt 
3
= 
2
.c

2
Ω
= δ
2
/4, ta có
||u
x
||
2

2
δ
2
2
[c
2
2
||f||
2
+ ||f ||
2
]. (1.2.17)
Từ đây ta thấy f = f = 0, nghiệm u(x) = 0, và do đó bài toán (1.2.1), (1.2.2)
không thể có nhiều hơn một nghiệm suy rộng trong W
1
2
(Ω) khi δ
1
> 0. Nếu có
u


, u

là hai nghiệm suy rộng thì theo tính chất tuyến tính (1.2.1), (1.2.2) thấy
rằng u = u

− u

cũng là một nhiệm suy rộng của bài toán. Với f = f = 0 ta có
với điều kiện (1.2.17) bị chặn bởi 0 ở vế phải. Từ đó và do u ∈
˚
W
1
2
(Ω) ta có u

và u

trùng nhau.
Điều kiện δ
1
> 0 sẽ được thỏa mãn cho (1.2.1) với hệ số thỏa mãn bất đẳng
thức (1.2.2)-(1.2.5) nếu hằng số c
Ω
là đủ nhỏ (ta có điều này nếu |Ω| là nhỏ),
hoặc nếu giới hạn trên µ
4
của hệ số a(x) là một số âm có giá trị tuyệt đối đủ
lớn. Điều kiện thứ hai hiển nhiên thỏa mãn phương trình:
Lu − λu = f +

∂f
i
∂x
i
với λ đủ lớn. Điều kiện đủ được xác định bởi điều kiện δ
1
> 0, trong đó δ
1
được
xác định bởi (1.2.10).
1.2.2 Tính giải được của bài toán Dirichlet trong không gian
W
1
2
(Ω). Ba định lý Fredholm
Ta sẽ chỉ ra bài toán (1.2.1), (1.2.2) là giải được Fredholm trong không gian
W
1
2
(Ω).
Ta đưa vào
˚
W
1
2
(Ω) tích vô hướng mới:
[u, v] =

Ω
a

ij
u
x
i
v
x
j
dx, (1.3.1)
Theo (1.2.3), và bất đẳng thức (1.1.3) chuẩn ||u||
1
=

[u, u] tương đương với
chuẩn ||u
x
|| và chuẩn gốc ||u||
(1)
2,Ω
của không gian
˚
W
1
2
(Ω). Ta viết (1.2.6) dưới dạng
[u, η] + l(u, η) = −(f, η) + (f
i
, η
x
i
). (1.3.2)

22
Trong đó
l(u, η) ≡

Ω
(a
i
uη
x
i
− b
i
u
x
i
η − auη)dx, (1.3.3)
theo giả thiết (1.2.4)
|l(u, η)|  µ
1
||u||.||η
x
|| + µ
1
||u
x
||.||η|| + max(|µ
3
|, |µ
4
|)||u||.||η||

 c||u||
1
.||η||
1
, (1.3.4)
nghĩa là, nếu cố định u ∈
˚
W
1
2
(Ω), l(u, η) là một hàm tuyến tính trên η trong
không gian
˚
W
1
2
(Ω). Ta có thể biểu diễn l(u, η) duy nhất dưới dạng của một tích
vô hướng
l(u, η) = [Au, η], (1.3.5)
với mọi η ∈
˚
W
1
2
(Ω), trong đó A là một toán tử tuyến tính bị chặn trong
˚
W
1
2
(Ω)

với chuẩn không vượt quá c trong (1.3.4). Tổng −(f, η) + (f
i
, η
x
i
) cũng xác định
một hàm tuyến tính trong
˚
W
1
2
(Ω) theo η, và theo định lý Riesz tồn tại duy nhất
phần tử F ∈
˚
W
1
2
(Ω) sao cho:
−(f, η) + (f
i
, η
x
i
) = [F, η], (1.3.6)
với mọi η ∈
˚
W
1
2
(Ω). Theo (1.3.5) và (1.3.6) đẳng thức (1.3.2) tương đương với

[u, η] + [Au, η] = [F, η]. (1.3.7)
Vì (1.3.7) đúng ∀η ∈
˚
W
1
2
(Ω) ta có (1.3.7) tương đương với phương trình toán tử
sau trong không gian
˚
W
1
2
(Ω).
u + Au = F. (1.3.8)
Ta sẽ chỉ ra A là một toán tử hoàn toàn liên tục trong
˚
W
1
2
(Ω).
Tính chất 1.2.2. A là một toán tử hoàn toàn liên tục trong
˚
W
1
2
(Ω)
23