phương pháp sai phân giải gần đúng bài toán biên giá trị ban đầu cho phương trình parabolic tuyến tính cấp hai

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
ĐỖ THỊ THU HÀ
PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN
GIẢI GẦN ĐÚNG BÀI TOÁN BIÊN
GIÁ TRỊ-BAN ĐẦU CHO PHƯƠNG TRÌNH
PARABOLIC TUYẾN TÍNH CẤP HAI
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Hà Nội - Năm 2012
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
ĐỖ THỊ THU HÀ
PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN
GIẢI GẦN ĐÚNG BÀI TOÁN BIÊN
GIÁ TRỊ-BAN ĐẦU CHO PHƯƠNG TRÌNH
PARABOLIC TUYẾN TÍNH CẤP HAI
Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH
Mã số : 60 46 01
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
PGS.TS. HÀ TIẾN NGOẠN
Hà Nội - Năm 2012
Mục lục
Mở đầu 3
1 Bài toán biên-giá trị ban đầu thứ nhất đối với phương trình
parabolic tuyến tính cấp hai tổng quát 5
1.1 Không gian W
1,0
2
(Q
T

) và
˚
W
1,0
2
(Q
T
) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.1 Không gian L
2
(Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.2 Đạo hàm suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.1.3 Không gian W
1,0
2
(Q
T
) và
˚
W
1,0
2
(Q
T
) . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2 Nghiệm suy rộng của bài toán biên-giá trị ban đầu thứ nhất đối
với phương trình parabolic tuyến tính cấp hai tổng quát . . . . . . 14
1.2.1 Phương trình parabolic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.2.2 Nghiệm suy rộng của bài toán biên-giá trị ban đầu thứ
nhất đối với phương trình parabolic tuyến tính cấp hai

tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2 Một số sơ đồ sai phân giải gần đúng bài toán biên-giá trị ban
đầu 26
2.1 Hàm lưới. Tỉ số sai phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.2 Nội suy của hàm lưới. Các định lý nhúng . . . . . . . . . . . . . . 31
2.3 Một số sơ đồ sai phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.3.1 Sơ đồ sai phân ẩn thứ nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.3.2 Sơ đồ sai phân ẩn thứ hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
1
2.3.3 Sơ đồ hiện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
Kết luận 54
Tài liệu tham khảo 55
2
Mở đầu
Trong thực tế, nhiều hiện tượng khoa học và kỹ thuật dẫn đến các bài
toán biên của phương trình vật lý-toán. Một số ít trường hợp có thể tìm được
ngay nghiệm của bài toán. Còn đại đa số trường hợp thì việc tìm nghiệm của
bài toán là hết sức khó khăn. Khi đó, việc tìm nghiệm phải dựa vào các phương
pháp giải gần đúng.
Với đề tài "Phương pháp sai phân giải gần đúng bài toán biên-giá trị
ban đầu cho phương trình parabolic tuyến tính cấp hai", luận văn trình
bày phương pháp sai phân để đưa bài toán biên-giá trị ban đầu cho phương
trình parabolic tuyến tính cấp hai về một bài toán đại số gồm nhiều phương
trình đại số tuyến tính. Bài toán đại số này có phương pháp giải và có thể tìm
được nghiệm gần đúng cho bài toán ban đầu.
Luận văn chủ yếu trình bày các kết quả đã được đưa ra ở các chương III, VI
của [9]. Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn được chia
thành hai chương:
Chương 1: Bài toán biên-giá trị ban đầu thứ nhất đối với phương
trình parabolic tuyến tính cấp hai tổng quát

Trong chương này, luận văn trình bày một số khái niệm và tính chất cơ bản
về một số không gian: L
2
(Ω), W
1,0
2
(Q
T
),
˚
W
1,0
2
(Q
T
) và đạo hàm suy rộng. Đây là
3
các kiến thức cơ bản để nghiên cứu nghiệm suy rộng của bài toán biên-giá trị
ban đầu thứ nhất đối với phương trình parabolic tuyến tính cấp hai tổng quát.
Bài toán này sẽ có nghiệm suy rộng duy nhất trong W
1,0
2
(Q
T
). Ngoài các kết quả
của [9], luận văn đã sử dụng thêm các kết quả của [4] và [6].
Chương 2: Một số sơ đồ sai phân giải gần đúng bài toán biên-giá
trị ban đầu
Để tiếp cận với các sơ đồ sai phân, luận văn sẽ trình bày về hàm lưới, các
hàm nội suy của hàm lưới và mối quan hệ giữa giữa hàm lưới và các nội suy của

chúng. Xét hai sự thay thế cho đạo hàm ∂u/∂t là: u
t
và u
t
. Sự thay thế thứ nhất
cho ta hai sơ đồ ẩn: sơ đồ sai phân ẩn thứ nhất và thứ hai, sự thay thế thứ hai
cho ta sơ đồ hiện. Luận văn sẽ nghiên cứu sự ổn định và tính duy nhất nghiệm
của các sơ đồ sai phân. Cả ba sơ đồ sai phân nhận được sẽ có duy nhất nghiệm
và ổn định, nhưng sự hội ở sơ đồ ẩn thứ hai xảy ra với chuẩn yếu hơn so với sơ
đồ ẩn thứ nhất. Các kết quả này dựa vào [9].
Bản luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn chỉ bảo tận tình của
PGS.TS. Hà Tiến Ngoạn (Viện Toán học Việt Nam). Thầy đã dành nhiều
thời gian hướng dẫn cũng như giải đáp các thắc mắc của tôi trong suốt quá trình
làm luận văn. Tôi muốn bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến người Thầy của mình.
Qua đây, tôi xin gửi tới Ban Giám Hiệu, Phòng Sau Đại Học, Khoa Toán -
Cơ - Tin học trường Đại Học Khoa Học Tự Nhiên, Đại Học Quốc Gia Hà Nội
lời cảm ơn sâu sắc nhất đối với công lao dạy dỗ trong suốt quá trình giáo dục
đào tạo của Nhà trường.
Hà Nội, tháng 12 năm 2012
4
Chương 1
Bài toán biên-giá trị ban đầu thứ
nhất đối với phương trình parabolic
tuyến tính cấp hai tổng quát
1.1 Không gian W
1,0
2
(Q
T
) và

˚
W
1,0
2
(Q
T
)
1.1.1 Không gian L
2
(Ω)
Định nghĩa 1.1.1. [9] Một tập E các phần tử trừu tượng được gọi là một không
gian tuyến tính định chuẩn thực (hoặc phức) nếu:
1. E là một không gian tuyến tính với phép nhân với các số thực (hoặc phức);
2. Với mọi phần tử u ∈ E có một số thực (được gọi là chuẩn của phần tử và
kí hiệu là u) thỏa mãn các tiên đề sau:
(a) u ≥ 0, u = 0 chỉ với phần tử không;
(b) u + v ≤ u + v, bất đẳng thức tam giác;
(c) λu ≤ |λ| ·u.
Ta đưa vào không gian như vậy một metric tự nhiên: khoảng cách ρ(u, v) giữa
hai phần tử u và v được xác định bởi ρ(u, v) = u −v.
5
Định nghĩa 1.1.2. [9] Dãy {u
n
} các phần tử của E gọi là hội tụ tới u ∈ E (hay,
hội tụ mạnh trong E) nếu u
n
− u → 0 khi n → ∞, và kí hiệu là u
n
→ u.
Định nghĩa 1.1.3. [9] Tập E


⊂ E được gọi là trù mật khắp nơi trong E nếu
bất kì phần tử nào của E cũng là giới hạn theo chuẩn E của các phần tử của E

.
Nếu E chứa một tập hợp đếm được trù mật khắp nơi thì E được gọi là tách
được.
Định nghĩa 1.1.4. [9] Dãy {u
n
}
∞
n=1
gọi là hội tụ (hay dãy Cauchy, dãy cơ bản)
nếu u
p
− u
q
 → 0 khi p, q → ∞.
Định nghĩa 1.1.5. [9] Nếu mọi dãy Cauchy {u
n
}
∞
n=1
có giới hạn là phần tử u ∈ E
thì E gọi là không gian đủ (trong trường hợp này u
n
− u → 0 khi n → ∞).
Một không gian tuyến tính định chuẩn đầy đủ được gọi là không gian Banach,
ta kí hiệu là B. Mọi không gian ta xét từ đây trở đi là đầy đủ và trù mật.
Về cơ bản chúng ta sẽ nghiên cứu một trường hợp cụ thể của các không gian

Banach: không gian Hilbert, ta kí hiệu là H.
Định nghĩa 1.1.6. [6] Không gian tuyến tính X xác định trên trường số thực
được gọi là không gian tiền Hilbert nếu với mọi u, v ∈ X xác định một số gọi là
tích vô hướng của u và v) thỏa mãn các tiên đề sau:
1. (u, v) = (v, u);
2. (u
1
+ u
2
, v) = (u
1
, v) + (u
2
, v);
3. (λu, v) = λ(u, v);
4. (u, u) ≥ 0, (u, u) = 0 chỉ với phần tử không u = 0.
Định nghĩa 1.1.7. [6] Không gian tiền Hilbert đủ gọi là không gian Hilbert.
Chuẩn của phần tử u, kí hiệu u được xác định bởi: u =

(u, u).
Ta thấy trong định nghĩa của một không gian Hilbert, đã bao gồm các yêu cầu
6
đầy đủ và trù mật. Xuyên suốt luận văn, chúng ta sẽ sử dụng không gian B và
H thực.
Với hai phần tử u, v bất kì trong H, ta có bất đẳng thức Cauchy, Bunhiacopski,
Schwarz (ta sẽ gọi đơn giản là bất đẳng thức Cauchy):
|(u, v)| ≤ u ·v.
Ngoài ra, để xét sự hội tụ theo chuẩn (sự hội tụ mạnh) trong không gian H,
chúng ta cũng phải xem xét hội tụ yếu.
Định nghĩa 1.1.8. [9] Dãy {u

n
} gọi là hội tụ yếu đến phần tử u trong H nếu
(u
n
− u, v) → 0 khi n → ∞, với ∀v ∈ H.
Kí hiệu: u
n
 u.
Ta thấy rằng, nếu các chuẩn của u
n
bị chặn đều thì để chứng minh sự hội tụ
yếu của {u
n
} đến u, ta chỉ cần chứng minh (u
n
− u, v) → 0 khi n → ∞ trên tập
V nào đó trù mật khắp nơi trong H. Một dãy {u
n
} không thể hội tụ yếu đến
hai phần tử của H. Nếu {u
n
} hội tụ đến u theo chuẩn trong H thì nó sẽ hội tụ
yếu đến u. Điều ngược lại không đúng. Tuy vậy, nếu {u
n
} hội tụ yếu đến u và
u
n
 → u thì {u
n
} hội tụ mạnh đến u.

Định lý 1.1.1. [9] Nếu {u
n
} hội tụ yếu đến u trong H, thì
u
n
 ≤ lim
n→∞
u
n
 ≤ lim
n→∞
u
n
,
với vế phải của bất đẳng thức là hữu hạn.
Một không gian Hilbert và bất kỳ không gian con đóng nào của nó, là đủ đối
với sự hội tụ yếu
Định nghĩa 1.1.9. [9] Tập M trong không gian Banach B được gọi là tiền
compact (hay tiền compact trong B) nếu mọi dãy vô hạn các phần tử của M có
chứa một dãy con hội tụ. Nếu giới hạn của tất cả các dãy con thuộc về M, thì
M được gọi là compact.
7
Định lý 1.1.2. [9] Tập M của H là tiền compact yếu khi và chỉ khi nó bị chặn.
Định nghĩa 1.1.10. [9] Tập tất cả các hàm thực, đo được u(x) xác định trên
miền Ω của không gian Euclidean R
n
với một tích phân hữu hạn:
u
L
p

(Ω)
=


Ω
|u(x)|
p
dx

1/p
,
trong đó p ≥ 1 là một số cố định bất kì, hình thành một không gian Banach tách
được và có chuẩn được xác định như trên. Không gian này thường được gọi là
L
p
(Ω).
Một phần tử của L
p
(Ω) không chỉ là một hàm số với các tính chất đã nêu,
mà là một lớp các hàm số tương đương với nó trên Ω (nghĩa là, những hàm số
trùng với nó hầu hết ở khắp mọi nơi trên Ω). Tuy nhiên, để ngắn gọn, chúng ta
sẽ nói về các phần tử của L
p
(Ω) như các hàm xác định nghĩa trên Ω.
Ta có thể lấy ví dụ các tập trù mật khắp nơi trong L
p
(Ω):
• mọi hàm khả vi vô hạn, mọi đa thức, hoặc các đa thức với hệ số hữu tỉ;
• tập
˙

C
∞
(Ω) các hàm khả vi vô hạn với giá compact thuộc vào Ω.
Không gian L
2
(Ω) là một không gian Hilbert thực với tích vô hướng:
(u, v) =

Ω
u(x)v(x)dx.
Chúng ta đề cập đến một số các bất đẳng thức sẽ sử dụng thường xuyên.
• Bất đẳng thức Cauchy:





n

i,j=1
a
ij
ξ
i
η
j






≤




n

i,j=1
a
ij
ξ
i
ξ
j




n

i,j=1
a
ij
η
i
η
j
,
với bất kì dạng bậc hai không âm a

ij
ξ
i
ξ
j
với a
ij
= a
ji
và các số thực tùy ý:
ξ
1
, . . . , ξ
n
, η
1
, . . . , η
n
.
8
• bất đẳng thức Cauchy với ε:
|ab| ≤
ε
2
|a|
2
+
1
2ε
|b|

2
,
với mọi ε > 0 và a, b bất kì.
Từ các bất đẳng thức hàm chúng ta có các bất đẳng thức cụ thể trong L
2
(Ω)
•


Ω
(u + v)
2
dx

1/2
≤


Ω
u
2
dx

1/2
+


Ω
v
2

dx

1/2
.
Trường hợp tổng quát của bất đẳng thức này là bất đẳng thức tam giác
cho các phần tử của L
p
(Ω):
u + v
p,Ω
≤ u
L
p
(Ω)
+ v
L
p
(Ω)
(p ≥ 1).
• Và:





Ω
uvdx





1/2
≤


Ω
u
2
dx

1/2


Ω
v
2
dx

1/2
.
Với không gian L
2
(Ω) bao gồm các hàm vectơ u = (u
1
, . . . , u
N
) với u
i
∈ L
2

(Ω),
bất đẳng thức Cauchy có dạng:






Ω
N

i=1
u
i
v
i
dx





≤


Ω
N

i=1
u

2
i
dx

1/2


Ω
N

i=1
v
2
i
dx

1/2
.
Vế trái của nó là modul của tích vô hướng của u và v, vế phải là tích các chuẩn
của u và v.
Một toán tử A xác định trên một tập D(A) của H, gán mỗi phần tử u ∈ D(A)
với một phần tử v ∈ H nhất định, thường viết v = Au hay v = A(u).
Định nghĩa 1.1.11. [9] Nếu đẳng thức: A(λu
1
+ µu
2
) = λA(u
1
) + µA(u
2

) thỏa
mãn trên D(A) thì ta nói A là tuyến tính (với giả thiết D(A) là một tập tuyến
tính).
9
Định nghĩa 1.1.12. [9] Toán tử A từ D(A) vào Y ⊆ H gọi là liên tục nếu
u
n
→ u
0
luôn kéo theo Ax
n
→ Ax
0
.
Định nghĩa 1.1.13. [9] Nếu tồn tại một hằng số c sao cho, với mọi u ∈ D(A):
Au ≤ c u,
thì A là một toán tử bị chặn trong D(A).
Định nghĩa 1.1.14. [6] Toán tử A được gọi là tự liên hợp nếu: với mọi u, v ∈ H,
(Au, v) = (u, Av).
Định nghĩa 1.1.15. [9] Toán tử A được gọi là hoàn toàn liên tục nếu nó biến
tập bị chặn bất kỳ thành một tập tiền compact.
1.1.2 Đạo hàm suy rộng
Với hai hàm số u(x) và v(x) tùy ý, khả vi vô hạn trong miền Ω trong R
n
và
v(x) triệt tiêu trên một miền biên (nghĩa là, v ∈
˙
C
∞
(Ω)), bằng cách tích phân

từng phần k lần ta có:

Ω

u
∂
k
v
∂x
k
1
1
. . . ∂x
k
n
n
+ (−1)
k+1
v
∂
k
u
∂x
k
1
1
. . . ∂x
k
n
n


dx = 0.
Định nghĩa 1.1.16. [4, 9] Cho Ω là một miền trong không gian R
n
. Một hàm
số ω
k
1
k
n
∈ L
1
(Ω) được gọi là đạo hàm suy rộng cấp k của u(x) ∈ L
1
(Ω) nếu:

Ω

u
∂
k
v
∂x
k
1
1
. . . ∂x
k
n
n

+ (−1)
k+1
vω
k
1
k
n

dx = 0,
với mọi v ∈
˙
C
∞
(Ω), k = (k
1
, . . . , k
n
), |k| = k
1
+ ···+ k
n
.
Kí hiệu hàm ω
k
1
k
n
là ∂
k
u/∂x

k
1
1
. . . ∂x
k
n
n
, hoặc D
k
u. Cách kí hiệu thứ nhất sẽ
không gây ra sự hiểu lầm vì nếu u ∈ C
k
(Ω) thì ω
k
1
k
n
= ∂
k
u/∂x
k
1
1
. . . ∂x
k
n
n
. Rõ
ràng là khái niệm này là một phần mở rộng của khái niệm cổ điển về đạo hàm
riêng liên tục của dạng ∂

k
u/∂x
k
1
1
. . . ∂x
k
n
n
.
10
Nếu hàm u(x) có đạo hàm thông thường liên tục cấp k thì nó có đạo hàm
suy rộng cấp k.
Từ định nghĩa đạo hàm suy rộng ta thấy hàm u(x) có không quá một đạo
hàm suy rộng. Một hàm có đạo hàm suy rộng có thể không có đạo hàm theo
thông thường.
Tính chất 1.1.1. [4] Một hàm có đạo hàm suy rộng cấp k trong miền Ω thì nó
cũng có đạo hàm suy rộng cấp k trong miền Ω

⊂ Ω.
Tính chất 1.1.2. [4] Nếu u
1
và u
2
có đạo hàm suy rộng trong Ω thì c
1
u
1
+ c
2

u
2
có đạo hàm suy rộng trong Ω và:
∂
k
(c
1
u
1
+ c
2
u
2
)
∂x
k
1
1
. . . ∂x
k
n
n
= c
1
∂
k
u
1
∂x
k

1
1
. . . ∂x
k
n
n
+ c
2
∂
k
u
2
∂x
k
1
1
. . . ∂x
k
n
n
.
Tính chất 1.1.3. [4] Nếu v là một đạo hàm suy rộng cấp l của u và ω là một
đạo hàm suy rộng cấp k của v thì ω là một đạo hàm suy rộng cấp l + k của u.
Từ định nghĩa của đạo hàm suy rộng ta thấy ∂
k
/∂x
k
1
1
. . . ∂x

k
n
n
độc lập với thứ
tự lấy đạo hàm.
Đạo hàm suy rộng bảo tồn nhiều tính chất của đạo hàm cổ điển. Tuy nhiên
không phải là bảo tồn tất cả, chẳng hạn từ sự tồn tại đạo hàm suy rộng cấp k
không suy ra được sự tồn tại đạo hàm suy rộng cấp nhỏ hơn k.
Định lý 1.1.3. [4] Giả sử Ω là một miền trong không gian R
n
, Ω

là một miền
con của Ω sao cho khoảng cách giữa Ω

và ∂Ω bằng d > 0. Khi đó, với 0 < h < d
và x ∈ Ω

, ta có:
(D
k
u)
h
(x) = D
k
u
h
(x).
Chứng minh. Giả sử θ(x) ∈
˚

C
∞
(R
n
) là một hàm không âm sao cho:
θ(x) = θ(−x), θ(x) = 0 nếu |x| > 1 và

R
n
θ(x) = 1. Ví dụ:
θ(x) =

c exp

−1
1−|x|
2

, |x| < 1,
0, |x| ≤ 1,
11
với hằng số c thích hợp.
Do 0 < h < d và x ∈ Ω

, hàm θ(x − y)/h ∈
˚
C
∞
(Ω) đối với x ∈ Ω


, nên sử dụng
định nghĩa đạo hàm suy rộng ta được:
D
k
u
h
(x) = D
k
x
h
−n

R
n
θ

x −y
h

u(y)dy,
= h
−n

Ω
(−1)
|k|
D
k
y
θ


x −y
h

u(y)dy,
= h
−n

Ω
θ

x −y
h

D
k
y
u(y)dy = (D
k
u)
h
(x).
Chúng ta kết thúc phần này bằng cách trích dẫn một tiêu chuẩn có ích và
đơn giản cho sự tồn tại các đạo hàm suy rộng của một hàm u(x).
Định lý 1.1.4. [8] Cho f(x) là một hàm khả tổng trên Ω. Nếu u(x) có thể xấp
xỉ bằng một dãy hàm u
s
(x), (s = 1, 2, . . .) khả vi liên tục cấp k,
lim
s→∞


Ω
(u
s
− u)vdx = 0, ∀v(x) ∈
˙
C
∞
(Ω).
Nếu u
s

L
p
(Ω)
và


∂
k
u
s
/∂x
k
1
1
. . . ∂x
k
n
n



L
p
(Ω)
≤ c thì hàm u có đạo hàm suy rộng
∂
k
u/∂x
k
1
1
. . . ∂x
k
n
n
và u
L
p
(Ω)
và


∂
k
u/∂x
k
1
1
. . . ∂x

k
n
n


L
p
(Ω)
≤ c, p ≥ 1.
Kết quả này vẫn đúng với hàm u
s
(x) ∈ L
p
(Ω) và có đạo hàm suy rộng cùng
dạng, hơn nữa các đạo hàm liên tục.
Chứng minh định lý có thể tìm thấy ở [8].
1.1.3 Không gian W
1,0
2
(Q
T
) và
˚
W
1,0
2
(Q
T
)
Giả sử Ω là một miền trong R

n
và T là một hằng số dương. Kí hiệu:
Q
T
= Ω ×(0, T) = {(x, t) : x ∈ Ω, t ∈ (0, T)} và gọi là trụ với chiều cao T, đáy
Ω, mặt xung qunah S
T
= ∂Ω × (0, T).
Định nghĩa 1.1.17. [9] W
1,0
2
(Q
T
) là không gian bao gồm tất cả các hàm u(x, t) ∈
L
2
(Q
T
) sao cho tồn tại tất cả các đạo hàm suy rộng ∂u/∂x
i
, i = 1, 2, . . . , n trong
L
2
(Q
T
).
12
Với tích vô hướng được xác định như sau:
(u, v)
(1,0)

2,Q
T
=

Q
T
(uv + u
x
v
x
)dxdt.
W
1,0
2
(Q
T
) là một không gian Banach. Hơn nữa, nó là không gian Hilbert với
tích vô hướng xác định như trên và ta kí hiệu chuẩn trong W
1,0
2
(Q
T
) là ·
W
1,0
2
(Q
T
)
.

Định nghĩa 1.1.18. [4] Ta kí hiệu
˚
W
1,0
2
(Q
T
) là không gian con đóng của W
1,0
2
(Q
T
)
với chuẩn ·
W
1,0
2
(Q
T
)
bao gồm tất cả các hàm trơn u(x, t) ∈ W
1,0
2
(Q
T
) triệt tiêu
gần biên S
T
= ∂Ω × (0, T ).
Nghĩa là, u(x, t) ∈

˚
W
1,0
2
(Q
T
) khi và chỉ khi tồn tại một dãy {u
k
(x, t)}
∞
k=1
⊂
C
∞
(Q
T
), u
k
(x, t) = 0 khi (x, t) ∈ Q
δ
T
= {(x, t) ∈ Q
T
: dist {(x, t), S
T
} < δ}, δ là số
dương đủ bé, và u
k
→ u trong W
1,0

2
(Q
T
) khi k → ∞.
Không gian
˚
W
1,0
2
(Q
T
) là một không gian con riêng của W
1,0
2
(Q
T
), hiển nhiên
công thức tích phân từng phần,

Q
T
u
x
i
vdxdt = −

Q
T
uv
x

i
dxdt,
cũng đúng cho hàm trơn v bất kì và với bất kì hàm trơn u nào triệt tiêu gần
S
T
. Với điều kiện đóng theo chuẩn của W
1,0
2
(Q
T
) thì công thức này vẫn đúng với
v ∈ W
1,0
2
(Q
T
) và u ∈
˚
W
1,0
2
(Q
T
). Nếu cả u và v triệt tiêu không triệt tiêu trên S
T
thì công thức trên không đúng với trường hợp tổng quát nên nó không đúng với
W
1,0
2
(Q

T
). Do đó u(x, t) ∈
˚
W
1,0
2
(Q
T
) triệt tiêu trên S
T
là định nghĩa tốt.
Không gian
˚
W
1,0
2
(Q
T
) cũng là một không gian Hilbert
Kết thúc phần này, ta sẽ chứng minh một bổ đề nổi tiếng có thể được sử
dụng để tiên nghiệm giới hạn cho các nghiệm của các phương trình không ổn
định.
Bổ đề 1.1.1. [9] Cho y(t) không âm và liên tục tuyệt đối trên [0,T], và hầu hết
t ∈ [0, T ] thỏa mãn bất đẳng thức:
dy(t)
dt
≤ c
1
(t)y(t) + c
2

(t),
13
với c
i
(t) là các hàm khả tổng, không âm trên [0,T]. Khi đó:
y(t) ≤ exp


t
0
c
1
(τ)dτ

.

y(0) +

t
0
c
2
(ξ) exp

−

ξ
0
c
1

(τ)dτ

dξ

≤ exp


t
0
c
1
(τ)dτ

.

y(0) +

t
0
c
2
(τ)dτ

.
Chứng minh. Ta nhân
dy(t)
dt
≤ c
1
(t)y(t)+c

2
(t) với exp

−

t
0
c
1
(τ)dτ

, viết kết quả
dưới dạng:
d
dt

y exp

−

t
0
c
1
(τ)dτ

≤ c
2
(t) exp


−

t
0
c
1
(τ)dτ

.
Lấy tích phân từ 0 đến t, từ bất đẳng thức thu được ta suy ra bất đẳng thức
cần chứng minh.
Nếu c
1
(t) = c
1
= const > 0 và c(·) là một hàm không giảm theo t thì từ hai
bất đẳng thức trên, ta có các bất đẳng thức sau:
y

(t) ≤ e
c
1
t
[c
1
y(0) + c
2
(t)],
y(t) ≤ e
c

1
t
y(0) + c
−1
1
c
2
(t)[e
c
1
t
− 1].
1.2 Nghiệm suy rộng của bài toán biên-giá trị ban
đầu thứ nhất đối với phương trình parabolic
tuyến tính cấp hai tổng quát
1.2.1 Phương trình parabolic
Xét phương trình:
Mu ≡
n+1

i,j=1
a
ij
u
x
i
x
j
+
n+1


i=1
a
i
u
x
i
+ au = f, (1.1.1)
trong R
n+1
, ở đó a
ij
= a
ij
(x), a
i
= a
i
(x), a = a(x) là các hàm đo được.
14
Định nghĩa 1.2.1. [4] Phương trình (1.1.1) được gọi là parabolic tại điểm x
0
nếu
trong hệ tọa độ mới y
i
= α
ij
(x
j
−x

0
j
) (i = 1, ··· , n+1), với a
ij
(x
0
)α
ki
α
lj
= λ
k
(x
0
)δ
l
k
,
nó có dạng:
n+1

k=1
λ
k
(x
0
)u
y
k
y

k
+
n+1

k=1
b
k
(x
0
)u
y
k
+ b(x
0
)u = f(x
0
), (1.1.2)
tại điểm x
0
trong đó có một số λ
k
(x
0
) (chọn λ
n+1
(x
0
)) bằng 0, các số λ
k
(x

0
) còn
lại có cùng dấu, và b
n+1
(x
0
) = 0.
Chia (1.1.2) cho b
n+1
(x
0
), ta được một phương trình có dạng:
u
y
n+1
+
n

k=1
µ
k
(x
0
)u
y
k
y
k
+
n


i=1
˜
b
k
(x
0
)u
y
k
+
˜
bu =
˜
f. (1.1.3)
Định nghĩa 1.2.2. [4] Nếu µ
k
(x
0
) < 0 (k = 1, ··· , n) thì (1.1.3) được gọi là dạng
chuẩn.
Nếu µ
k
(x
0
) > 0 thì bằng cách thay đổi hướng trục y
n+1
và nhân (1.1.3) với
-1, ta lại được một phương trình ở dạng chuẩn.
Định nghĩa 1.2.3. [9] Phương trình (1.1.1) gọi là parabolic trên một miền nào

đó nếu nó là parabolic tại mọi điểm của miền này.
Nếu các hệ số của M là các hàm số trơn và nếu (1.1.1) là parabolic trên một
miền, thì trong một lân cận (nói chung, một lân cận nhỏ) của một điểm bất kì
của miền ta có thể rút gọn bằng sự thay đổi các biến không suy biến để có dạng:
u
y
n+1
−
n

i,j=1
b
ij
(x)u
y
i
y
j
+
n

i=1
b
i
(x)u
y
i
+ bu =
˜
f, (1.1.4)

với dạng

n
i,j=1
b
ij
ξ
i
ξ
j
xác định dương.
Biến y
n+1
có vai trò đặc biệt. Trong các bài toán vật lý, biến này có vai trò
là biến thời gian, ta sẽ kí hiệu là t, các biến y
1
, ··· , y
n
còn lại mô tả vị trí của
một điểm trong không gian và gọi tắt là biến không gian.
15
Để thuận tiện, ta sẽ nghiên cứu các phương trình parabolic có dạng:
M ≡u
t
−
n

i,j=1
∂
∂x

i
(a
ij
(x, t)u
x
j
+ a
i
(x, t)u)
+
n

i=1
b
i
(x, t)u
x
i
+ a(x, t)u = f(x, t) +
∂f
i
(x, t)
∂x
i
. (1.1.5)
Bằng việc tính đạo hàm các hàm a
ij
, a
i
và f

i
, (1.1.5) có thể được biến đổi về
một phương trình của dạng (1.1.4), và ngược lại, bằng việc tính đạo hàm b
ij
,
(1.1.4) có thể được viết dưới dạng (1.1.5).
Ta có các bài toán cơ bản cho phương trình (1.1.5) :
(1) Bài toán Cauchy: Tìm một hàm u(x, t) thỏa mãn (1.1.5) với x ∈ R
n
và
t > 0, và thỏa mãn điều kiện ban đầu khi t = 0
u |
t=0
= ϕ(x). (1.1.7)
(2) Bài toán biên-giá trị ban đầu thứ nhất: Giả sử (1.1.5) được cho với giả
thiết (x, t) ∈ Q
T
= Ω ×[0, T], Ω là miền nào đó trong R
n
. Tìm hàm số u(x, t) thỏa
mãn (1.1.5) trên Q
T
với điều kiện ban đầu:
u |
t=0
= ϕ(x), x ∈ Ω, (1.1.8)
và, ∀t ∈ [0, T], u thỏa mãn điều kiện biên:
u |
x∈∂Ω
= ψ(s, t). (1.1.9)

Trong R
n+1
miền Q
T
là một hình trụ, S
T
= S × [0, T ] là mặt xung quanh và
tập {(x, t) : x ∈ Ω, t = 0} là mặt đáy.
(3) Bài toán biên-giá trị ban đầu thứ hai và thứ ba: Tìm hàm u(x, t) thỏa
mãn (1.1.5) trong Q
T
, với điều kiện ban đầu (1.1.7) và điều kiện (1.1.9) được
thay bằng điều kiện biên thứ hai:
∂u
∂N



S
T
≡ a
ij
u
x
j
cos(n, x
i
)|
S
T

= χ(s, t),
16
hoặc điều kiện biên thứ ba:
∂u
∂N
+ σu



S
T
= χ(s, t),
Ta sẽ xem xét chi tiết các bài toán biên giá trị ban đầu trong một miền bị
chặn Ω. Bài toán thứ hai và thứ ba có thể được xét một cách tương tự. Để thuận
tiện ta giả thiết Ω bị chặn. Dễ dàng để bỏ giả thiết này, các kết quả cho các
miền bị chặn và không bị chặn tương tự nhau. Ta cũng sẽ sử dụng quy ước nếu
trong biểu thức có hai chỉ số giống nhau ta hiểu đó là tổng: ví dụ khi viết a
i
x
i
ta hiểu đó là

i
= 1
n
a
i
x
i
.

1.2.2 Nghiệm suy rộng của bài toán biên-giá trị ban đầu thứ
nhất đối với phương trình parabolic tuyến tính cấp hai
tổng quát
Trong mục này ta sẽ nghiên cứu bài toán:
Mu ≡u
t
−
∂
∂x
i

a
ij
(x, t)u
x
j
+ a
i
(x, t)u

+ b
i
(x, t)u
x
i
+ a(x, t)u = f +
∂f
i
∂x
i

, (1.2.1)
u |
t=0
= ϕ(x), u |
S
T
= 0, (1.2.2)
trên miền bị chặn Ω với các điều kiện a
ij
= a
ji
,




n

i=1
a
2
i
,




n

i=1

b
2
i
, |a| ≤ µ, (1.2.3)
ϕ ∈ L
2
(Ω), f ∈ L
2,1
(Q
T
), f
i
∈ L
2
(Q
T
), (1.2.4)
và với điều kiện đều của parabolic
νξ
2
≤ a
ij
(x, t)ξ
i
ξ
j
≤ µξ
2
, ν, µ là các hằng số dương . (1.2.5)
Trước tiên ta sẽ chứng minh rằng bài toán này có một nghiệm suy rộng trong

W
1,0
2
(Q
T
), sau đó ta chỉ ra rằng mỗi nghiệm như vậy thực sự là thuộc
˚
V
1,0
2
(Q
T
) và
17
thỏa mãn phương trình cân bằng năng lượng. Cuối cùng, ta sẽ chỉ ra được định
lý duy nhất cho bài toán (1.2.1)-(1.2.2) trong lớp các nghiệm suy rộng trong
W
1,0
2
(Q
T
).
Định nghĩa 1.2.4. [4] Ta kí hiệu V
2
(Q
T
) là không gian bao gồm các hàm u ∈
W
1,0
2

(Q
T
) với chuẩn năng lượng:
|u|
Q
T
= ess sup
0≤t≤T
u(·, t)
L
2
(Ω)
+ u
x

L
2
(Q
T
)
.
Định nghĩa 1.2.5. [9] Không gian con
˚
V
2
(Q
T
) của V
2
(Q

T
) gồm các phần tử của
˚
W
1,0
2
(Q
T
) có chuẩn |·|
Q
T
hữu hạn.
Định nghĩa 1.2.6. [4] Không gian V
1,0
2
(Q
T
) là một không gian con khác của
V
2
(Q
T
), chứa tất cả các phần tử u ∈ V
2
(Q
T
) liên tục mạnh theo t trong chuẩn
của L
2
(Ω).

Nghĩa là u(·, t + ∆t) −u(·, t)
L
2
(Ω)
→ 0 khi ∆t → 0, đều trên đoạn [0, T].
˚
V
1,0
2
(Q
T
) là giao của V
1,0
2
(Q
T
) và
˚
W
1,0
2
(Q
T
).
Định nghĩa 1.2.7. [9] Ta gọi phương trình có dạng:
1
2
u(·, t)
2
L

2
(Ω)
+

Q
t
(a
ij
u
x
j
u
x
i
+ a
i
uu
x
i
+ b
i
u
x
i
u + au
2
)dxdt
=
1
2

u(·, 0)
2
L
2
(Ω)
+

Q
t
(fu −f
i
u
x
i
)dxdt (1.2.6)
là phương trình cân bằng năng lượng cho bài toán (1.2.1)-(1.2.2)
Phương trình này có thể thu được bằng cách tích phân từng phần đẳng thức:

Q
t
Mu ·udxdt =

Q
t

f +
∂f
i
∂x
i


udxdt (1.2.7)
và sử dụng điều kiện biên u |
S
T
= 0.
Kí hiệu L
2,1
(Q
T
) là không gian được trang bị chuẩn:
u
L
2,1
(Q
T
)
=

T
0
(

Ω
|u(x, t)|
2
dx)
1/2
dt.
18

Định lý 1.2.1. [4] Giả sử các điều kiện (1.2.3)-(1.2.5) được thỏa mãn, và giả
sử hàm u ∈
˚
V
1,0
2
(Q
T
) thỏa mãn phương trình cân bằng năng lượng (1.2.6). Khi
đó, ta có bất đẳng thức năng lượng sau:
|u|
Q
t
≤ c(t)

u(·, 0)
L
2
(Ω)
+ 2 f
L
2,1
(Q
t
)
+ 2 f 
L
2
(Q
t

)

.
Chứng minh. Từ các điều kiện (1.2.3)-(1.2.5) và phương trình cân bằng năng
lượng (1.2.6) ta có:
1
2
u(·, t)
2
L
2
(Ω)
+ ν u
x

2
L
2
(Q
t
)
≤
1
2
u(·, 0)
2
L
2
(Ω)
+ 2µ u

L
2
(Q
t
)
u
x

L
2
(Q
t
)
+ µ u
2
L
2
(Q
t
)
+ f
L
2,1
(Q
t
)
max
0≤τ≤t
u(·, τ )
L

2
(Ω)
+ f 
L
2
(Q
t
)
u
x

L
2
(Q
t
)
≤
1
2
u(·, 0)
2
L
2
(Ω)
+
ν
2
u
x


2
L
2
(Q
t
)
+
2µ
2
ν
u
2
L
2
(Q
t
)
+ µ u
2
L
2
(Q
t
)
+ f
L
2,1
(Q
t
)

max
0≤τ≤t
u(·, τ )
L
2
(Ω)
+ f 
L
2
(Q
t
)
u
x

L
2
(Q
t
)
. (1.2.8)
Kí hiệu: y(t) = max
0≤τ≤t
u(., t)
L
2
(Ω)
.
Nhóm các số hạng giống nhau, sau đó nhân cả hai vế với 2 và thay u
2

L
2
(Q
t
)
bằng ty
2
(t), và u(., 0)
2
L
2
(Ω)
bởi y(t) u(·, 0)
L
2
(Ω)
.
Ta được bất đẳng thức:
u(·, t)
2
L
2
(Ω)
+ ν u
x

2
L
2
(Q

t
)
≤ y(t) u(·, 0)
L
2
(Ω)
+ cty
2
(t)
+ 2y(t) f
L
2,1
(Q
t
)
+ 2 f 
L
2
(Q
t
)
u
x

L
2
(Q
t
)
≡ j(t), (1.2.9)

trong đó c = 2(2µ
2
/ν + µ). Từ đây ta có hai bất đẳng thức:
y
2
(t) ≤ j(t) (1.2.10)
và
u
x

2
L
2
(Q
t
)
≤ ν
−1
j(t). (1.2.11)
Lấy căn bậc hai cả hai vế của (1.2.10) và (1.2.11), cộng các kết quả các bất đẳng
19
thức lại sau đó làm trội vế phải theo cách sau:
|u|
Q
t
≡ y(t) + u
x

L
2

(Q
t
)
≤ (1 + ν
−1/2
)j
1/2
(t)
≤ (1 + ν
−1/2
)
√
ct|u|
Q
t
+ (1 + ν
−1/2
)|u|
1/2
Q
t
×

u(·, 0)
L
2
(Ω)
+ 2 f
L
2,1

(Q
t
)
+ 2 f 
L
2
(Q
t
)

1/2
,
với
t < t
1
≡ c
−1
(1 + ν
−1/2
)
−2
, c = 2

2µ
2
ν
+ µ

, (1.2.12)
ta nhận được bất đẳng thức sau cho |u|

Q
t
:
|u|
Q
t
≤

1 −(1 + ν
−1/2
)
√
ct

−2
(1 + ν
−1/2
)
2
×

u(·, 0)
L
2
(Ω)
+ 2 f
L
2,1
(Q
t

)
+ 2 f 
L
2
(Q
t
)

. (1.2.13)
Chia nhỏ đoạn [0, t] thành những đoạn con ∆
1
= [0, t
1
/2], ∆
2
= [t
1
/2, t
2
], . . . , ∆
N
,
có độ dài không vượt quá t
1
/2. Với mỗi đoạn này, ta có bất đẳng thức dạng
(1.2.13). Nếu đưa u(·, t)
L
2
(Ω)
≤ |u|

Q
t
vào tính toán, ta nhận được bất đẳng
thức năng lượng
|u|
Q
t
≤ c(t)

u(·, 0)
L
2
(Ω)
+ 2 f
L
2,1
(Q
t
)
+ 2 f 
L
2
(Q
t
)

≡ c(t)F(t), (1.2.14)
đúng với bất kì t ∈ [0, T ]. Hàm số c(t) được xác định theo t và các hằng số ν, µ
trong (1.2.3) và (1.2.5).
Định nghĩa 1.2.8. [9] Một nghiệm suy rộng u(x, t) của bài toán (1.2.1)-(1.2.2)

trong W
1,0
2
(Q
T
) (hoặc trong
˚
W
1,0
2
(Q
T
)) là một phần tử của
˚
W
1,0
2
(Q
T
) thỏa mãn
đẳng thức:
M(u, η) ≡

Q
T
(−uη
t
+ a
ij
u

x
j
η
x
i
+ a
i
uη
x
i
+ b
i
u
x
i
η + auη)dxdt
=

Ω
ϕη(x, 0)dx +

Q
T
(fη − f
i
η
x
i
)dxdt, (1.2.15)
với ∀η ∈ W

1
2,0
(Q
T
) triệt tiêu với t = T
20
Rõ ràng tập các nghiệm như vậy là tuyến tính.
Kí hiệu
˚
W
m,l
2,0
(Q
T
) là không gian bao gồm tất cả các phần tử của
˚
W
m,l
2
(Q
T
)
triệt tiêu với t = T (u(x, T ) = 0).
Giả sử {ϕ
k
(x)} ⊂
˚
W
m
2

(Ω) là một hệ trực chuẩn trong L
2
(Ω) sao cho bao đóng
của bao tuyến tính của hệ này trong
˚
W
m
2
(Ω) trùng với
˚
W
m
2
(Ω). Kí hiệu:
M
N
=

N

k=1
d
k
(t)ϕ
k
(x) : d
k
∈ W
1
2

(0, T ), d
k
(T ) = 0

.
Ta có bổ đề sau:
Bổ đề 1.2.1. [4] Giả sử Ω là một miền (không nhất thiết bị chặn) trong R
n
. Khi
đó tập hợp M =

∞
N=1
M
N
trù mật trong không gian
˚
W
m,1
2,0
(Q
T
).
Chứng minh. Ta xây dựng dãy {ψ
k
(x)} trực chuẩn trong
˚
W
m
2

(Ω) từ dãy ϕ
k
(x)
bằng phương pháp trực giao hóa Gram-Smith. Kí hiệu:
M
∗
N
=

N

k=1
d
k
(t)ψ
k
(x) : d
k
∈ W
1
2
(0, T ), d
k
(T ) = 0

,
M
∗
=
∞


N=1
M
∗
N
.
Ta sẽ chứng minh M
∗
trù mật trong
˚
W
m,1
2,0
(Q
T
).
Thật vậy, lấy hàm u(x, t) ∈
˚
W
m,1
2,0
(Q
T
) bất kì. Ta biểu diễn u(x, t) dưới dạng:
u(x, t) =
p

k=1
c
k

(t)ψ
k
(x), c
k
(t) =

Ω
uψ
k
dx,
u
2
W
m
2
(Ω)
=
∞

k=1
|c
k
(t)|
2
, ||u −
p

k=1
c
k

ψ
k
||
W
m
2
(Ω)
→ 0
khi p → ∞.
Kí hiệu S
p
(x, t) =

∞
k=1
c
k
(t)ψ
k
(x). Giả sử c
∗
k
(t) ∈
˙
C
∞
(0, T ), sao cho
c
k
(t) −c

∗
k
(t)
2
L
2
(0,T )
≤
ε
2
2
k
,
với ε đủ nhỏ.
Đặt S
∗
p
=

p
k=1
c
∗
k
(t)ψ
k
(x), G
p
(t) =



u −S
∗
p


W
m
2
(Ω)
.
21
Khi đó: G
p
≤ u −S
p

W
m
2
(Ω)
+


S
p
− S
∗
p



W
m
2
(Ω)
và S
∗
p
∈ M
∗
p
. Ta có:
u −S
p

2
W
m
2
(Ω)
≤ 2(u
2
W
m
2
(Ω)
+ S
p

2

W
m
2
(Ω)) ≤ 4 u
2
W
m
2
(Ω).
Vì u ∈
˚
W
m,1
2,0
(Q
T
), nên
lim
p→∞

T
0
u −S
p

W
m
2
(Ω)
dt =


0
lim
p→∞
u −S
p

W
m
2
(Ω)
dt = 0.
Do đó, lim
p→∞
u −S
p

W
m,0
2
(Ω)
= 0.
Mà


S
p
− S
∗
p



2
W
m
2
(Ω)
=

p
k=1
|c
k
− c
∗
k
|
2
.
Ta được


S
p
− S
∗
p


W

m,0
2
(Ω)
≤ ε, tức là S
∗
p
→ u trong W
m,0
2
(Q
T
) khi p → ∞.
Tương tự, ta có ∂S
∗
p
/∂t → ∂u/∂t trong L
2
(Q
T
) khi p → ∞.
Như vậy, M
∗
trù mật trong
˚
W
m,1
2,0
(Q
T
). Từ đó suy ra M trù mật trong không

gian
˚
W
m,1
2,0
(Q
T
).
Định lý 1.2.2. [9] Nếu các điều kiện (1.2.3)-(1.2.5) được thỏa mãn, thì bài toán
(1.2.1)-(1.2.2) có ít nhất một nghiệm suy rộng trong
˚
W
1,0
2
(Q
T
).
Chứng minh. Để chứng minh khả năng giải được của (1.2.1)-(1.2.2) trong
˚
W
1,0
2
(Q
T
)
ta lấy một hệ cơ bản {ϕ
k
(x)} trong
˚
W

1,0
2
(Ω) và để thuận tiện ta giả sử chúng là
trực chuẩn trong L
2
(Ω).
Ta sẽ tìm nghiệm xấp xỉ u
N
(x, t) có dạng u
N
(x, t) =

N
k=1
c
N
k
(t)ϕ
k
(x) từ hệ
lập nên bởi các mối liên hệ:
(u
N
t
, ϕ
l
) + (a
ij
u
N

x
j
+ a
i
u
N
, ϕ
lx
i
) + (b
i
u
N
x
i
+ au
N
, ϕ
l
)
= (f, ϕ
i
) −(f
i
, ϕ
ix
i
), l = 1, ··· , N, (1.2.16)
và các điều kiện ban đầu:
c

N
l
(0) = (ϕ, ϕ
l
). (1.2.17)
(1.2.16) là một hệ gồm N phương trình vi phân thường tuyến tính với các ẩn
c
l
(t) ≡ c
N
l
(t), (t = 1, . . . , N), số hạng chính của nó có dạng dc
l
(t)/dt, các hệ số
của c
k
(t) là các hàm số bị chặn theo t và số hạng tự do là các hàm số khả tổng
22
trên (0, T ). Do vây, từ kết quả của hệ phương trình vi phân thường tuyến tính
ta thấy (1.2.16) và (1.2.17) xác định duy nhất hàm c
N
l
(t) liên tục tuyệt đối trên
[0, T ]. Ta có u
N
bị chặn mà không phụ thuộc vào N.
Thật vậy, nhân mỗi phương trình của (1.2.16) với c
N
l
(t) thích hợp, cộng

chúng lại từ 1 đến N, sau đó lấy tích phân theo t từ 0 tới t ≤ T ; kết quả ta
được (1.2.6) với u = u
N
. Như đã thấy trước đó, từ (1.2.6) suy ra (1.2.14) với
F(t) = 2 f 
2,1,Q
t
+ 2 f 
2,Q
t
+


u
N
(·, 0)


2,Ω
. Mà


u
N
(·, 0)


2,Ω
≤ ϕ
2,Ω

, do vậy ta
có bất đẳng thức:
|u
N
|
Q
T
≤ c
1
, (1.2.18)
với c
1
là một hằng số không phụ thuộc vào N.
Từ (1.2.18), có thể chọn một dãy con

u
N
k

(k = 1, 2, . . .) từ dãy

u
N

(N = 1, 2, . . .) hội tụ yếu trong L
2
(Q
T
) tới một phần tử u ∈
˚

W
1,0
2
(Q
T
). Phần tử
u(x, t) này là nghiệm suy rộng của bài toán (1.2.1)-(1.2.2).
Thật vậy, nhân (1.2.16) với một hàm liên tục tuyệt đối tùy ý d
l
(t) với dd
l
/dt ∈
L
2
(0, T ), d
l
(T ) = 0, lấy tổng các phương trình thu được từ 1 đến N, sau đó lấy
tích phân kết quả từ 0 đến T . Tích phân từng phần số hạng đầu tiên theo t, ta
nhận được đẳng thức:
M(u
N
, Φ) =

Ω
u
N
Φ |
t=0
dx +


Q
T
(fΦ −f
i
Φ
i
)dxdt, (1.2.19)
có dạng (1.2.15) trong đó Φ =

N
t=1
d
l
(t)ϕ
l
(x).
Kí hiệu M
N
là tập các hàm Φ với d
l
(t) có tính chất như đã nói ở trên. Theo
bổ đề trên

∞
p=1
M
p
trù mật trong không gian
˚
W

1,0
2,0
(Q
T
).
Với Φ ∈ M
p
cố định trong (1.2.19), ta có thể lấy giới hạn của dãy con

u
N
k

đã
chọn như trên, từ N
k
≥ p. Kết quả ta nhận được (1.2.15) cho u, với η = Φ ∈ M
p
.
Vì

∞
p=1
M
p
trù mật trong không gian
˚
W
1,0
2,0

(Q
T
), nên (1.2.15) đúng với mọi
η ∈
˚
W
1,0
2,0
(Q
T
), nghĩa là, u(x, t) thực sự là một nghiệm suy rộng trong
˚
W
1,0
2
(Q
T
)
của (1.2.1)-(1.2.2).
23