phương pháp thứ hai của lyapunov và ứng dụng trong việc nghiên cứu tính ổn định của phương trình vi phân hàm và phương trình vi phân hàm có xung

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
CAO THỊ ĐÔNG
PHƯƠNG PHÁP THỨ HAI CỦA LYAPUNOV VÀ ỨNG DỤNG
TRONG VIỆC NGHIÊN CỨU TÍNH ỔN ĐỊNH
CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM
VÀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM CÓ XUNG
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Hà Nội - Năm 2012
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
CAO THỊ ĐÔNG
PHƯƠNG PHÁP THỨ HAI CỦA LYAPUNOV VÀ ỨNG DỤNG
TRONG VIỆC NGHIÊN CỨU TÍNH ỔN ĐỊNH
CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM
VÀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM CÓ XUNG
Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH
Mã số : 60 46 01
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
PGS.TS. ĐẶNG ĐÌNH CHÂU
Hà Nội - Năm 2012
Mục lục
Lời nói đầu 3
Lời cảm ơn 5
1 Một số định lý cơ bản của phương pháp thứ hai của Lyapunov
trong R
n
6
1.1 Hệ rút gọn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2 Các khái niệm về ổn định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.3 Các hàm xác định dấu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4 Định lý thứ nhất của Lyapunov về sự ổn định . . . . . . . . . . . . 10
1.5 Định lý thứ hai của Lyapunov về sự ổn định tiệm cận . . . . . . . 12
1.6 Định lý thứ ba của Lyapunov về sự không ổn định . . . . . . . . . 15
1.7 Sự ổn định mũ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2 Về phương pháp hàm Lyapunov đối với phương trình vi phân
hàm 20
2.1 Sự tồn tại duy nhất nghiệm của bài toán với giá trị ban đầu . . . 20
2.1.1 Định nghĩa và ký hiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.1.2 Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm . . . . . . . . . . . . . 21
2.2 Các định lý cơ bản về phương pháp hàm Lyapunov đối với phương
trình vi phân hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.2.1 Các khái niệm về ổn định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1
2.2.2 Các định lý về sự ổn định nghiệm của phương trình vi
phân hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.3 Định lý Razumikhin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3 Phương pháp hàm Lyapunov đối với phương trình vi phân hàm
có xung 38
3.1 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm của phương vi phân hàm có xung 38
3.2 Các định lý ổn định kiểu Lyapunov-Razumikhin của hệ phương
trình vi phân hàm có xung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.3 Phương trình vi phân có chậm-Logistic với nhiễu xung . . . . . . 46
3.3.1 Tính ổn định nghiệm của phương trình vi phân tuyến tính
có chậm với nhiễu xung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.3.2 Sự dao động nghiệm của phương trình vi phân tuyến tính 50
3.3.3 Phương trình Logistic có chậm với nhiễu xung . . . . . . . 51
Kết luận 55
2
Lời nói đầu

Một trong những người đã có công đầu trong việc nghiên cứu một cách hệ
thống và hoàn thiện các bài toán nghiên cứu tính ổn định nghiệm của phương
trình vi phân là nhà toán học người Nga A.Lyapunov. Vào năm 1982, ông đã
công bố các kết quả nghiên cứu tính ổn định nghiệm trong luận văn tiến sĩ khoa
học nổi tiếng của mình. Trong bản luận văn này ông đã đưa ra các phương pháp
khác nhau để giải quyết bài toán về tính ổn định nghiệm của các phương trình
vi phân. Một trong các phương pháp đó là phương pháp hàm Lyapunov, nhờ
phương pháp này chúng ta có thể xác định tính ổn định nghiệm của phương
trình vi phân thông qua tính chất tương ứng của một phiếm hàm được kí hiệu
là V (t, x) mà không cần thiết phải biết rõ nghiệm tường minh của phương trình
vi phân đang xét. Từ đó đến nay đã có rất nhiều công trình nghiên cứu khoa
học tiếp theo về phương pháp này. Ngoài việc mở rộng và hoàn thiện phương
pháp hàm Lyapunov người ta đã phát triển nó cho những mô hình nghiên cứu
mới để có thể ứng dụng trong các bài toán thực tế đa dạng và phức tạp hơn.
Nội dung chính của luận văn là trình bày một cách hệ thống các kết quả cơ
bản về phương pháp hàm Lyapunov cho các dạng phương trình vi phân thường
trong R
n
, phương trình vi phân hàm, phương trình vi phân hàm bị nhiễu có
xung.
Ngoài việc trình bày các định lý về tính ổn định, tính ổn định tiệm cận của
Lyapunov cho các dạng phương trình vi phân mới trên, chúng tôi đã giành một
sự quan tâm đặc biệt đối với phương pháp hàm Lyapunov kiểu Razumikhin.
Phương pháp này tạo nên một ưu thế cho chúng ta trong việc nghiên cứu tính
3
ổn định của phương trình vi phân hàm và sau đó là phương trình vi phân hàm
bị nhiễu có xung.
Phần cuối cùng của luận văn đã trình bày một minh họa cho mô hình dân
số dạng đơn giản (phương trình Logistis). Trong mô hình này chúng tôi đã chỉ
ra khả năng ứng dụng của lý thuyết định tính của phương trình vi phân cho

phương trình vi phân tuyến tính có chậm với nhiễu có xung.
Toàn bộ nội dung luận văn gồm ba chương:
Chương 1: Một số định lý cơ bản của phương pháp thứ hai của Lyapunov trong
R
n
.
Chương 2: Về phương pháp hàm Lyapunov đối với phương trình vi phân hàm.
Chương 3: Phương pháp hàm Lyapunov đối với phương trình vi phân hàm có
xung.
4
Lời cảm ơn
Em xin chân thành cảm ơn ban chủ nhiệm Khoa toán , các đồng nghiệp đã
tạo điều kiện cho em hoàn thành tốt bản luận văn này. Em xin bày tỏ lời cảm
ơn sâu sắc tới thầy hướng dẫn PGS. TS Đặng Đình Châu cùng gia đình, bạn bè
đã hướng dẫn tận tình cũng như động viên em trong quá trình làm luận văn.
5
Chương 1
Một số định lý cơ bản của phương
pháp thứ hai của Lyapunov trong
R
n
1.1 Hệ rút gọn
Giả sử cho hệ vi phân phi tuyến thực:
dy
dx
= Y (t, y). (1.1)
Trong đó Y ∈ C
(0,1)
ty
(Ω) và Ω = {a < t < ∞, y ∈ G} (a là số hay −∞, G là tập mở

trong không gian Euclide thực n chiều R
n
y
), khi đó mỗi điểm (t
0
, y
0
) ∈ Ω thỏa
mãn định lý địa phương về sự tồn tại và duy nhất nghiệm y = y(t, t
0
, y
0
) đối với
hệ (1.1) với điều kiện ban đầu y(t
0
, y
0
) = y
0
. Trong chương này ta giới hạn chỉ
xét nghiệm thực.
Giả sử η = η(t) (t ≤ +∞, t > a) là nghiệm của hệ (1.1) (chuyển động không
bị nhiễu) mà ta phải nghiên cứu tính ổn định của nó, hơn nữa giả sử H là lân
cận của nghiệm đó sao cho U
H
(η(t)) ⊆ G với t ∈ [t
0
, ∞), trong đó
U
H

(η(t)) = {(t, y) : t
0
≤ t < +∞ : ||y − η(t)|| < H ≤ ∞}.
Ta đặt:
x = y − η(t), (1.2)
6
Vì
˙η ≡ Y (t, η(t))
nên ta nhận được phương trình vi phân đối với x
dx
dt
= X(t, x), (1.3)
trong đó
X(t, x) = [Y (t, x + η(t)) − Y (t, η(t))] ∈ C
(0,1)
tx
(Z), Z = {a < t < ∞, ||x|| < H},
hơn nữa rõ ràng X(t, 0) ≡ 0. Do đó, hệ (1.3) có nghiệm tầm thường x = 0 ứng
với nghiệm đã cho η = η(t) trong không gian R
n
y
. Hệ (1.3) được gọi là hệ rút gọn
(theo Lyapunov thì nó là một hệ phương trình của chuyển động bị nhiễu). Như
vậy, việc nghiên cứu sự ổn định của nghiệm η = η(t) trong không gian R
n
được
đưa về nghiên cứu sự ổn định của nghiệm tầm thường (vị trí cân bằng) x = 0
trong R
n
.

1.2 Các khái niệm về ổn định
Xét hệ rút gọn (1.3) với điều kiện ban đầu x(t
0
) = x
0
, t
0
∈ R
+
, thỏa mãn các
điều kiện về tính tồn tại và duy nhất nghiệm. Kí hiệu nghiệm x(t) = x(t, t
0
, x
0
)
là nghiệm của (1.3).
Ta có các khái niệm về tính ổn của nghiệm tầm thường như sau:
Định nghĩa 1.2.1. Nghiệm tầm thường x(t) ≡ 0 của hệ (1.3) được gọi là ổn
định theo Lyapunov khi t → ∞ nếu
∀ε > 0, ∃δ = δ(t
0
, ε) > 0 : ||x
0
|| < δ ⇒ ||x(t, t
0
, x
0
)|| < ε; ∀t ≥ t
0
.

Định nghĩa 1.2.2. Nghiệm tầm thường x(t) ≡ 0 của phương trình vi phân (1.3)
được gọi là ổn định đều theo Lyapunov nếu số δ trong định nghĩa (1.2.1) có thể
chọn không phụ thuộc vào t
0
.
7
Định nghĩa 1.2.3. Nghiệm tầm thường x(t) ≡ 0 của phương trình vi phân (1.3)
được gọi là ổn định tiệm cận khi t → ∞ nếu
(i) Nghiệm tầm thường x(t) ≡ 0 là ổn định.
(ii) Tồn tại  = (t
0
) > 0 sao cho với mọi x
0
và ||x
0
|| <  thì
lim
t→∞
||x(t, t
0
, x
0
)|| = 0.
Định nghĩa 1.2.4. Nghiệm tầm thường x(t) ≡ 0 của phương trình vi phân (1.3)
được gọi là ổn định tiệm cận đều nếu:
(i) Nghiệm x(t) ≡ 0 là ổn định đều.
(ii) Tồn tại  > 0 (không phụ thuộc vào t
0
) sao cho với mọi x
0

thỏa mãn
||x
0
|| <  thì
lim
t→∞
||x(t, t
0
, x
0
)|| = 0.
1.3 Các hàm xác định dấu
Xét hàm số
V = V (t, x) ∈ C
tx
(Z
0
),
trong đó
Z
0
= {a < t < ∞, ||x|| < h}.
Chúng ta đưa ra một số định nghĩa cơ bản về hàm không đổi dấu và hàm có
dấu xác định như sau:
Định nghĩa 1.3.1. Hàm vô hướng thực liên tục V (t, x) được gọi là không đổi
dấu (có dấu dương hay có dấu âm) trong Z
0
nếu V (t, x) ≥ 0 (hay V (t, x) ≤ 0)),
với mọi (t, x) ∈ Z
0

.
Định nghĩa 1.3.2. Hàm V = V (t, x) được gọi là xác định dương trong Z
0
nếu
tồn tại hàm W(x) ∈ C(||x|| < h) sao cho:
V (t, x) ≥ W(x) > 0 với mọi ||x|| = 0
8
V (t, 0) = W (0) = 0.
Định nghĩa 1.3.3. Hàm V = V (t, x) được gọi là xác định âm trong Z
0
nếu tồn
tại hàm W (x) ∈ C(||x|| < h) sao cho:
V (t, x) ≤ −W(x) < 0 với mọi ||x|| = 0
V (t, 0) = W (0) = 0.
Ví dụ 1.3.1. Trong không gian thực R
2
= Oxy, hàm số
V = x
2
+ y
2
− 2αcost, (1.4)
Nếu |α| < 1, hàm V xác định dương vì
V (t, x, y) ≥ x
2
+ y
2
− 2|α|.|x|.|y| ≥ (1 − |α|)(x
2
+ y

2
) = W (x, y)
với x
2
+ y
2
> 0, V = 0 với x = y = 0.
Nếu |α| = 1 hàm V chỉ là hàm không đổi dấu dương.
Định nghĩa 1.3.4. Hàm V = V (t, x) được gọi là có giới hạn vô cùng bé bậc cao
khi x → 0 trong Z
0
nếu với t
0
> a nào đó, ta có V (t, x) hội tụ đều theo t đến 0
trên [t
0
, ∞), khi ||x|| → 0, tức là với bất kỳ ε > 0 tồn tại số δ = δ(ε) > 0 sao cho
|V (t, x)| < ε (1.5)
khi ||x|| < δ và t ∈ [t
0
, ∞).
Nhờ bất đẳng thức (1.5) ta kết luận rằng hàm V (t, x) có giới hạn vô cùng bé
bậc cao khi x → 0 sẽ bị chặn trong hình trụ nào đó
t
0
≤ t < ∞, ||x|| < h.
Ta chú ý rằng nếu V (x) là hàm liên tục không phụ thuộc vào thời gian t và
V (0) = 0, thì rõ ràng V (x) có giới hạn vô cùng bé bậc cao khi x → 0.
9
Ví dụ 1.3.2. Hàm trong ví dụ 1.3.1.với |α| < 1 có giới hạn vô cùng bé bậc cao

khi
r =

x
2
+ y
2
→ 0.
Hàm
V = sin
2
[t(x
2
1
+ x
2
2
+ + x
2
n
)]
không có giới hạn vô cùng bé bậc cao khi ||x|| =

x
2
1
+ x
2
2
+ + x

2
n
→ 0 mặc dù
hàm đó bị chặn và V → 0 khi ||x|| → 0.
1.4 Định lý thứ nhất của Lyapunov về sự ổn định
Giả sử X(t, x) ∈ C
(0,1)
tx
(Z), Z = {a < t < ∞, ||x|| < H} và hệ vi phân
dx
dy
= X(t, x) (1.6)
là hệ rút gọn, tức là X(t, 0) = 0. Rõ ràng hệ (1.6) có nghiệm tầm thường x = 0.
Ta đặt
V = V (t, x) ∈ C
(1,1)
tx
(Z
0
), Z
0
= {a < t < ∞ : ||x|| ≤ h < H} ⊂ Z
và X = X(t, x) = column[X
1
(t, x), X
n
(t, x)]. Hàm
˙
V (t, x) =
∂V

∂t
+
n

j=1
∂V
∂x
j
X
j
(t, x) =
∂V
∂t
+ (gradV, X) (1.7)
được gọi là đạo hàm (toàn phần) theo t của hàm V (t, x) theo hệ (1.6).
Nếu x = x(t) là nghiệm của hệ (1.6) thì
˙
V (t, x) là đạo hàm toàn phần theo
thời gian của hàm hợp V (t, x(t)), tức là
˙
V (t, x) =
d
dt
V (t, x(t)).
Đúng hơn, giả sử (t, x) ∈ Z
0
và x(τ, t, x) là nghiệm của hệ (1.6) xác định bởi điều
kiện ban đầu x(t, t, x) = x. Khi đó
˙
V (t, x) =


d
dt
V (τ, x(τ, t, x))

τ=t
. (1.8)
10
Chú ý. Khái niệm đạo hàm
˙
V (t, x) theo hệ (1.6) có thể mở rộng được. Cụ thể,
khi đó ta đặt
.
V
(t, x) = lim
h→0
+
1
h
{V (t + h, x + hX(t, x)) − V (t, x)}.
Nếu V (t, x) ∈ C
(1,1)
tx
(Z
0
) thì hiển nhiên có công thức (1.7).
Định lý 1.4.1. (Định lý thứ nhất của Lyapunov) Nếu đối với hệ rút gọn (1.6),
tồn tại hàm Lyapunov V (t, x) ∈ C
(1,1)
(t,x)

(Z
0
), với Z
0
⊂ Z, là hàm xác định dương
và có đạo hàm theo thời gian
˙
V (t, x) theo hệ đó có dấu không đổi âm. Khi đó
nghiệm tầm thường x = 0, (a < t < ∞) của hệ đã cho ổn định theo Lyapunov khi
t → ∞.
Chứng minh. Theo giả thiết của định lý, tồn tại hàm W (x) liên tục, xác định
dương sao cho
V (t, x) ≥ W(x) > 0 với ||x|| = 0
V (t, 0) = W (0) = 0.
Trong không gian R
n
x
, xét mặt cầu S
ε
= {x ∈ R
n
x
: ||x|| = ε} nằm hoàn toàn trong
Z
0
, trong đó 0 < ε ≤ h < H. Vì S
ε
là tập compact và hàm W (x) liên tục, xác
định dương, do đó theo định lý Weierstrass, tồn tại x
∗

∈ S
ε
mà cận dưới của
W (x) là x
∗
, Tức là
inf
x∈S
ε
W (x) = W (x
∗
) = α > 0. (1.9)
Giả sử t
0
∈ (a, ∞) tùy ý. Hàm V (t
0
, x) liên tục theo x, và do V (t
0
, 0) = 0 nên tồn
tại lân cận ||x|| < δ < ε sao cho
0 ≤ V (t
0
, x) < α với ||x|| < δ. (1.10)
Xét nghiệm khác 0 tùy ý x = x(t) với điều kiện ban đầu ||x(t
0
)|| < δ. Ta sẽ chứng
minh quỹ đạo của nghiệm đó nằm hoàn toàn bên trong mặt cầu S
ε
, tức là
||x(t)|| < ε, ∀t ≥ t

0
. (1.11)
11
Thật vậy, khi t = t
0
thì ||x(t
0
)|| < δ < ε.
Giả sử (1.11) không thỏa mãn với mọi t ∈ [t
0
, ∞) và t
1
> t
0
là điểm đầu tiên
nghiệm x(t) chạm biên S
ε
, tức là ||x(t)|| < ε với t
0
≤ t < t
1
và ||x(t
1
)|| = ε.
Ký hiệu v(t) := V (t, x(t)), vì ˙v(t) =
˙
V (t, x(t)) ≤ 0 nên v(t) là hàm không tăng dọc
theo nghiệm x(t). Do đó
α > V (t
0

, x(t
0
)) ≥ V (t
1
, x(t
1
)) ≥ W (x(t
1
)) ≥ α.
Điều này vô lý. Như vậy nghiệm x(t) với t ∈ [t
0
, ∞) hữu hạn bất kỳ còn nằm
trong mặt cầu S
ε
vì ε < H, nghiệm đó xác định với t
0
≤ t < ∞ (thác triển vô
hạn bên phải), hơn nữa
||x(t)|| < ε khi t
0
≤ t < ∞
nếu ||x(t
0
)|| < δ. Vậy nghiệm tầm thường của hệ là ổn định theo Lyapunov khi
t → ∞.
1.5 Định lý thứ hai của Lyapunov về sự ổn định
tiệm cận
Định lý 1.5.1. Giả sử đối với hệ rút gọn (1.6), tồn tại hàm xác định dương
V (t, x) ∈ C
(1,1)

tx
(Z
0
) có giới hạn vô cùng bé bậc cao khi x → 0 và có đạo hàm theo
thời gian
˙
V (t, x) theo hệ là xác định âm. Khi đó, nghiệm tầm thường x = 0 của
hệ ổn định tiệm cận theo Lyapunov khi t → +∞.
Chứng minh. Từ giả thiết của định lý (1.5.1) suy ra nó thỏa mãn các điều kiện
định lý (1.4.1) , nên nghiệm tầm thường x = 0 của hệ (1.6) là ổn định. Bây giờ
ta sẽ chứng minh nghiệm tầm thường x = 0 là ổn định tiệm cận.
Để chứng minh điều này ta sẽ chứng minh rằng với nghiệm khác 0 tùy ý x = x(t))
thỏa mãn điều kiện ban đầu ||x(t
0
)|| ≤ h < H với h đủ nhỏ ta luôn có
lim
t→+∞
x(t) = 0 (1.12)
12
Ta xét hàm số:
v(t) = V (t, x(t)).
Vì theo giả thiết:
˙v(t) =
dV
dt
< 0,
nên hàm số v(t) đơn điệu giảm và bị chặn dưới, nó có giới hạn hữu hạn:
lim
t→+∞
v(t) = inf

t
v(t) = α ≥ 0. (1.13)
Ta chứng tỏ rằng α = 0.
Thật vậy, giả sử α > 0, khi đó ta có:
||x(t)|| ≥ β > 0 khi t
0
≤ t < ∞, (1.14)
trong đó β là số dương. Giả sử ngược lại (1.14) không đúng thì ta tìm được dãy
t
1
, t
2
, , t
k
, → +∞ sao cho:
lim
k→∞
x(t
k
) = 0.
Khi đó, nhờ sự tồn tại giới hạn vô cùng bé bậc cao của hàm V (t, x) khi x → 0,
ta có:
lim
k→+∞
v(t
k
) = lim
k→+∞
V (t
k

, x(t
k
)) = 0.
Điều này mâu thuẫn với giả thiết α > 0 do đó (1.14) đúng, vì nếu α là giới hạn
của hàm số v(t) khi t → ∞ thì với dãy bất kỳ t
k
→ +∞, ta phải có v(t
k
) → α.
Tóm lại, trong trường hợp α > 0, ta có bất đẳng thức (1.14) và ngoài ra có
thể giả thiết rằng ||x(t)|| ≤ h < H (nhờ tính ổn định của nghiệm tầm thường
x = 0).
Giả sử W
1
(x) là hàm xác định dương, liên tục thỏa mãn bất đẳng thức
Φ(t) =
˙
V (t, x) ≤ −W
1
(x). (1.15)
Hàm đó tồn tại vì theo giả thiết của định lý,
˙
V (t, x) là hàm xác định âm.
Ta kí hiệu
γ = inf
β≤||x||≤h
W
1
(x) > 0. (1.16)
13

Khi đó lấy tích phân bất đẳng thức (1.15) với cận từ t
0
đến t và nhớ rằng
β ≤ ||x|| ≤ h với t
0
≤ x ≤ t, ta có:
v(t) = v(t
0
) +
t

t
0
V (τ, x(τ ))dx ≤ v(t
0
) −
t

t
0
W
∗
(τ)dτ,
trong đó W
∗
(τ) = W
1
(x(τ)) .
Vì −W
1

(x) ≤ −γ với β ≤ ||x|| ≤ h .
nên
v(t) ≤ v(t
0
) −
t

t
0
γdτ = v(t
0
) − γ(t − t
0
). (1.17)
Từ bất đẳng thức (1.17) ta thấy rằng với t đủ lớn
v(t) = V (t, x(t)) < 0,
điều đó trái với tính xác đinh dương của hàm V (t, x). Tóm lại
α = lim
t→+∞
V (t, x(t)) = 0. (1.18)
Bây giờ ta chứng minh rằng x(t) → 0 khi t → ∞ .
Thật vậy, giả sử ε > 0 bé tùy ý và
l = inf W(x) > 0 với ε ≤ ||x|| ≤ h. (1.19)
Từ công thức (1.18) ta suy ra rằng tồn tại thời điểm T > t
0
sao cho:
V (T, x(T)) < l.
Do đó, nhờ tính đơn điệu giảm của hàm V (t, x(t)), ta có
V (t, x(t)) < l với t ≥ T, (1.20)
và do đó

||x|| <  với t > T. (1.21)
Thậy vậy, nếu với thời điểm t
1
> T nào đó, thỏa mãn bất đẳng thức ngược lại
||x(t
1
)|| ≥ ε,
14
thì nhờ vào công thức (1.19) và (1.18), ta có:
l > V (t
1
, x(t
1
)) ≥ W (x(t
1
)) ≥ l,
điều này là vô lý.
Tóm lại, từ công thức (1.21), ta có
lim
t→+∞
x(t) = 0,
đó là điều phải chứng minh.
1.6 Định lý thứ ba của Lyapunov về sự không ổn
định
Định lý 1.6.1. Giả sử đối với hệ rút gọn (1.6), tồn tại hàm V (t, x) ∈ C
(1,1)
tx
(Z
0
)

có giới hạn vô cùng bé bậc cao khi x → 0 và có đạo hàm
˙
V (t, x) theo t theo hệ
phương trình là xác định dấu. Nếu với t
0
> a nào đó trong lân cận ||x|| < ∆ (
∆ ≤ h < H) tìm được điểm (t
0
, x
0
) mà tại đó dấu của hàm V cùng dấu với đạo
hàm
˙
V , tức là
V (t
0
, x
0
)
˙
V (t
0
, x
0
) > 0 (1.22)
thì nghiệm tầm thường x = 0 của hệ (1.6) không ổn định theo Lyapunov khi
t → ∞.
Chứng minh. Để xác định ta giả sử
˙
V (t, x) là hàm xác định dương, tức là

˙
V (t, x) ≥ W
1
(x) > 0 (1.23)
với t
0
≤ t < ∞ với 0 < ||x|| < h, trong đó W
1
(x) là hàm liên tục, không đổi dấu
dương. Vì theo giả thiết của định lý, hàm V (t, x) có giới hạn vô cùng bé bậc cao
khi x → 0, nên V (t, x) bị chặn trong hình trụ đủ hẹp, tức là
|V (t, x)| ≤ M (1.24)
15
với t
0
≤ t < ∞, ||x|| < ∆
0
< h, trong đó M và ∆
0
là các hằng số dương nào đó.
Giả sử δ > 0 (δ < ∆
0
) nhỏ tùy ý. Nhờ giả thiết của định lý, tồn tạo điểm (t
0
, x
0
),
trong đó 0 < ||x|| < δ, sao cho:
V (t
0

, x
0
) = α > 0
Ta đặt
v(t) = V (t, x(t))
trong đó x(t) ≡ 0 là nghiệm xác định bởi điều kiện đầu x(t
0
) = x
0
, hơn nữa
0 < ||x(t
0
)|| < δ. (1.25)
Nhờ bất đẳng thức (1.23), hàm v(t) đơn điệu tăng cùng với t, do đó khi t ≥ t
0
ta có
V (t, x(t)) ≥ V (t
0
, x(t
0
)) = α > 0 (1.26)
Ta chứng minh rằng với giá trị t = t
1
(t
1
> t
0
) nào đó sẽ thỏa mãn bất đẳng thức
||x(t
1

)|| > ∆
0
(1.27)
Thật vậy, giả sử ||x|| ≤ ∆
0
với t ≥ t
0
, khi đó nghiệm x(t) thác triển vô hạn bên
phải. Vì hàm V (t, x) có giới hạn vô cùng bé bậc cao khi x → 0, nên từ bất đẳng
thức (1.26), nhờ lý luậnđã trình bày trong định lý thứ hai Lyapunov, ta suy ra
rằng
0 < β ≤ ||x(t)|| ≤ ∆
0
với t
0
≤ t < ∞,
trong đó β là số dương nào đó. Giả sử
γ = inf
β≤||x||≤∆
0
W
1
(x) > 0,
Khi đó, nhờ bất đẳng thức ||x(t)|| ≤ ∆
0
, ta có
˙
V (t, x(t)) ≥ γ với t
0
≤ t < ∞.

16
Do đó với t
0
≤ t < ∞, ta có
V (t, x(t)) = V (t
0
, x(t
0
)) +
t

t
0
˙
V (τ, x(τ ))dτ ≥ V (t
0
, x
0
) + γ(t − t
0
), (1.28)
điều này trái với tính bị chặn của hàm V (t, x) trong miền t
0
≤ t < ∞, ||x|| < ∆
0
.
Vì δ > 0 tùy ý và ∆ > 0 cố định, nên theo bất đẳng thức (1.25) và (1.27) ta kết
luận rằng nghiệm tầm thường x = 0 không ổn định theo Lyapunov khi t → ∞.
Định lý được chứng minh.
1.7 Sự ổn định mũ

Định nghĩa 1.7.1. Nghiệm tầm thường x = 0 của hệ (1.6) được gọi là ổn định
mũ khi t → +∞ nếu đối với mỗi nghiệm x(t) ≡ x(t, t
0
, x
0
) của hệ đó ở trong miền
nào đó t
0
≤ t < ∞, ||x|| ≤ h < H thỏa mãn bất đẳng thức
||x(t)|| ≤ N||x(t
0
)||e
−α(t−t
0
)
(t ≥ t
0
) (1.29)
trong đó N và α là hai hằng số dương không phụ thuộc vào sự lựa chọn nghiệm
x(t).
Ta dễ dàng thấy rằng từ sự ổn định mũ của nghiệm x = 0 suy ra sự ổn định
tiệm cận của nó. Thật vậy, nếu:
||x(t
0
)|| <
ε
N
= ε,
trong đó ε > 0 tùy ý từ bất đẳng thức (1.29), ta có
||x(t)|| < ε với t ≥ t

0
,
tức là nghiệm x = 0 ổn định theo Liapunov, ngoài ra ta có
lim
t→+∞
x(t) = 0
nếu ||x(t
0
)|| ≤ h.
17
Định nghĩa 1.7.2. Tương tự ta định nghĩa sự ổn định mũ đối với nghiệm không
tầm thường. Cụ thể là nghiệm ξ(t) là ổn định mũ nếu với t ≥ t
0
, các nghiệm x(t)
gần nó thỏa mãn
||x(t) − ξ(t)|| ≤ N||x(t
0
) − ξ(t
0
)||e
−α(t−t
0
)
, (t ≥ t
0
)
trong đó N và α là hai hằng số dương nào đó.
Bổ đề 1.7.1. Nếu nghiệm tầm thường của hệ tuyến tính thuần nhất
dx
dt

= Ax (1.30)
với ma trận hằng số A, ổn định tiệm cận khi t → ∞, thì hệ đó ổn định mũ, tức
là mỗi nghiệm của nó ổn định mũ khi t → ∞.
Chứng minh. Như đã biết, nghiệm tầm thường ξ = 0 của hệ (1.30) ổn định tiệm
cận khi và chỉ khi mọi nghiệm đặc trưng λ
p
(A) của ma trận A có phần thực âm:
Reλ
p
(A) < 0 (p = 1, 2, , n).
Ta đặt:
min
p
Reλ
p
(A) < −α < 0.
Khi đó, với t ≥ 0, ta được
||e
tA
|| ≤ Ne
−αt
, (1.31)
trong đó N là hằng số dương nào đó. Từ phương trình (1.30), đối với nghiệm
bất kì x(t), ta có
x(t) = e
(t−t
0
)A
x(t
0

),
trong đó t là thời điểm ban đầu tùy ý. Do đó nhờ (1.31), với t ≥ t
0
, ta có
||x(t) − ξ(t)|| ≤ N||x(t
0
) − ξ(t
0
)||e
−α(t−t
0
)
,
đó là điều phải chứng minh.
18
Chú ý. Đối với hệ tuyến tính có hệ số biến thiên, từ tính ổn định tiệm cận
của nó, nói chung không suy ra tính ổn định mũ.
Ví dụ 1.7.1. Xét phương trình vô hướng
dx
dt
= −
x
t
(1 ≤ t < ∞).
nghiệm tổng quát của nó có dạng
x(t) =
c
t
Như vậy, nghiệm x = 0 của phương trình này ổn định tiệm cận khi t → ∞, nhưng
không ổn định mũ

19
Chương 2
Về phương pháp hàm Lyapunov đối
với phương trình vi phân hàm
2.1 Sự tồn tại duy nhất nghiệm của bài toán với
giá trị ban đầu
2.1.1 Định nghĩa và ký hiệu
Cho R
n
là không gian Euclid, x ∈ R
n
, |x| =

x
2
1
+ x
2
2
+ + x
2
n
gọi là chuẩn
của x. Với h > 0, ta ký hiệu C = C([−h, 0], R
n
) là không gian Banach các hàm
liên tục trên [−h, 0] và nhận giá trị trong R
n
. Với ϕ ∈ C thì chuẩn của ϕ được
định nghĩa là:

||ϕ|| = sup
−h≤θ≤0
|ϕ(θ)|.
Với t
0
∈ R, A > 0 và x ∈ C ([t
0
− h, t
0
+ A] , R
n
) ta xác định hàm x
t
∈ C như sau
x
t
(θ) = x(t + θ), −h ≤ θ ≤ 0.
Giả sử Ω ⊂ R × C và f : Ω → R
n
là một hàm cho trước. Xét phương trình vi
phân dạng
˙x(t) = f (t, x
t
) (2.1)
ta gọi phương trình (2.1) là phương trình vi phân hàm trên Ω.
Định nghĩa nghiệm của phương trình vi phân hàm
Định nghĩa 2.1.1. Hàm x được gọi là nghiệm của phương trình vi phân (2.1)
20
trên [t
0

− h, t
0
+ A] nếu x ∈ C([t
0
− h, t
0
+ A], R
n
), (t, x
t
) ∈ Ω và x(t) thỏa mãn
phương trình (2.1) với t ∈ [t
0
, t
0
+ A].
Định nghĩa 2.1.2. Cho t
0
∈ R,ϕ ∈ C, ta kí hiệu x(t) = x(t
0
, ϕ)(t) gọi là nghiệm
của phương trình vi phân (2.1) với giá trị ban đầu ϕ tại t = t
0
, nếu tồn tại số
A > 0 sao cho x là một nghiệm của (2.1) trên [t
0
− h, t
0
+ A] và x
t

0
(t
0
, ϕ) = ϕ.
Phương trình (2.1) gọi là phương trình tuyến tính nếu f(t, ϕ) = L(t, x
t
)ϕ + h(t)
với L(t, x
t
) là hàm tuyến tính, trong trường hợp này (2.1) là phương trình tuyến
tính thuần nhất nếu h ≡ 0 và không thuần nhất nếu h = 0.
2.1.2 Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm
Sau đây tôi sẽ nêu một số điều kiện để nghiệm của phương trình (2.1) tồn
tại và duy nhất. Các bổ đề và định lý trong phần này được trích dẫn từ [6]
Bổ đề 2.1.1. Giả sử f là hàm liên tục và nghiệm x(t) của phương trình (2.1)
đi qua (t
0
, ϕ), ϕ ∈ C thì phương trình sẽ tương đương với phương trình tích phân

x(t) = ϕ(0) +

t
t
0
f(s, x
s
)ds, t ≥ t
0
,
x

t
0
= ϕ.
Định lý 2.1.1. (Tồn tại nghiệm) Giả sử Ω là tập mở trong R × C, f là hàm
liên tục trên Ω. Nếu (t
0
, ϕ) ∈ Ω, thì tồn tại nghiệm của phương trình (2.1) đi qua
(t
0
, ϕ).
Chúng ta gọi f(t, φ) là Lipschitz với φ trong tập compact K của R × C nếu
tồn tại số dương k > 0 sao cho, với mỗi (t, φ
i
) ∈ K, i = 1, 2
|f(t, φ
1
) − f (t, φ
2
)| ≤ k||φ
1
− φ
2
||
Định lý 2.1.2. (Duy nhất nghiệm) Giả sử Ω là tập mở trong R × C, f : Ω → R
n
liên tục và f(t, φ) là Lipschitz với φ trên mỗi tập compact trong Ω. Nếu (t
0
, ϕ) ∈ Ω
thì có duy nhất nghiệm của phương trình (2.1) đi qua (t
0

, ϕ).
Ta có thể đi tìm nghiệm của phương trình vi phân hàm (2.1) bằng hai phương
pháp là phương pháp từng bước và phương pháp Laplace.
21
Ví dụ 2.1.1. (Phương pháp từng bước) Xét phương trình vi phân có chậm sau:

˙x(t) = 6x(t − 1),
ϕ(t) = t, 0 ≤ t ≤ 1
Ta sẽ tìm nghiệm x(t) = x
t
(t
0
, ϕ), (t
0
= 1) của phương trình vi phân trên [0, 3].
Nghiệm của phương trình vi phân trên có dạng

x(t) = ϕ(1) +

t
1
6x(s − 1)ds, t ≥ 1
x(t) = ϕ(t), 0 ≤ t ≤ 1.
Trên đoạn [1, 2] ta có

x(t) = ϕ(1) +

t
1
6sds, 1 ≤ t ≤ 2

x(t) = ϕ(t), 0 ≤ t ≤ 1.
hay

x(t) = 1 + 3(t − 1)
2
, 1 ≤ t ≤ 2
x(t) = ϕ(t), 0 ≤ t ≤ 1.
Trên đoạn [2, 3] ta có

x(t) = ϕ(2) +

t
1
6x(s − 1)ds, 2 ≤ t ≤ 3
x(t) = 1 + 3(t − 1)
2
, 1 ≤ t ≤ 2.
Suy ra

x(t) = 6(t − 2)[(t − 2)
2
+ 1] + 4, 2 ≤ t ≤ 3
x(t) = 1 + 3(t − 1)
2
, 1 ≤ t ≤ 2.
Vậy nghiệm của phường trình trên [0, 3] là








x(t) = t, 0 ≤ t ≤ 1
x(t) = 1 + 3(t − 1)
2
, 1 ≤ t ≤ 2
x(t) = 6(t − 2)[(t − 2)
2
+ 1] + 4, 2 ≤ t ≤ 3.
Cứ như vậy ta có thể mở rộng nghiệm trên một đoạn hữu hạn tùy ý.
Ví dụ 2.1.2. (Bằng phương pháp xấp xỉ Laplace). Xét phương trình vi phân có
chậm

˙x(t) = x(t − 1)
ϕ(t) = t, −1 ≤ t ≤ 0.
22
Ta có x(t) → X(p), ˙x(t) → pX(p), x(0) = ϕ(0) = 0.
Nếu
f(t) → F(p) và t
0
> 0 thì f(t − t
0
) → e
−t
0
p
F (p)
x(t − 1) → e
−p



0
−1
e
−pt
ϕ(t)dt + X(p)

=
1 − e
−p
p
2
−
1
p
+ e
−p
X(p).
Phương trình vi phân có chậm dạng đang xét được đưa về dạng:
pX(p) =
1 − e
−p
p
2
−
1
p
+ e
−p

X(p).
Do đó
X(p) = −
1
p(p − e
−p
)
+
1 − e
−p
p
2
(p − e
−p
)
.
hay
X(p) = −
1
p
2
(1 +
e
−p
p
+
e
−2p
p
2

+ +
e
−kp
p
k
+ )+
+
1 − e
−p
p
3
(1 +
e
−p
p
+
e
−2p
p
2
+ +
e
−kp
p
k
+ )
= −
1
p
2

+
1
p
3
−
∞

k=1
e
−kp
p
k+2
(2.2)
Cuối cùng ta có
x(t) = (
t
2
2
− t)η(t) −
∞

k=1
(t − k)
k+1
(k + 1)!
η(t − k)
trong đó η là hàm đơn vị thỏa mãn:
η(t) =

1 khi t > 0

0 khi t < 0.
2.2 Các định lý cơ bản về phương pháp hàm Lya-
punov đối với phương trình vi phân hàm
2.2.1 Các khái niệm về ổn định
Để nghiên cứu tính ổn định của phương trình vi phân hàm thông thường
chúng ta thường áp dụng phương pháp hàm Lyapunov. Sau đây, tôi xin trình
23