Sử dụng phương pháp hàm Lyapunov dạng Razumikhin để nghiên cứu tính ổn định nghiệm của các phương trình vi phân và hệ phương trình có xung

Mục lục
1. Ph-ơng pháp hàm Lyapunov cho ph-ơng trình vi phân hàm 1
1.1.
Kiến thức chuẩn bị
.........................
1
1.1.1. Các khái niệm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.1.2. Ba định lý của Lyapunov về sự ổn định. . . . . . . . . . .
4
1.1.3. Tiêu chuẩn so sánh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
1.2. Ph-ơng pháp hàm Lyapunov cho ph-ơng trình vi phân hàm . . .
8
1.2.1. Các định lý về sự ổn định nghiệm của ph-ơng trình vi
phânhàm ...........................
12
2. Ph-ơng pháp hàm Lyapunov cho ph-ơng trình sai phân và ph-ơng
trình động lực trên thang thời gian 17
2.1. Ph-ơng trình sai phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
2.1.1. Sai phân hữu hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
2.1.2. Ph-ơng trình sai phân tuyến tính . . . . . . . . . . . . . .
18
2.1.3. Hệ ph-ơng trình sai phân tuyến tính thuần nhất . . . . .
20
2.1.4. Hệ ph-ơng trình sai phân tuyến tính không thuần nhất
và công thức biến thiên hằng số Lagrăng . . . . . . . . .
21
2.1.5. Các khái niệm về ổn định . . . . . . . . . . . . . . . . .

23
2.1.6. Ph-ơng pháp hàm Lyapunov cho hệ sai phân autonomous
24
2.1.7. Ph-ơng pháp hàm Lyapunov cho hệ sai phân không au-
tonomous ...........................
26
i
2.1.8. Sự ổn định của mô hình rời rạc trong hệ động lực quần thể
29
2.1.9. Tiêu chuẩn so sánh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
2.2. Ph-ơng trình động lực trên thang thời gian . . . . . . . . . . . . .
34
2.2.1. Các khái niệm cơ bản về thang thời gian . . . . . . . . .
34
2.2.2. Đạo hàm và tích phân trên thang thời gian . . . . . . . .
35
2.2.3. Các kết quả về tính ổn định . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
ii
Lời mở đầu
Việc nghiên cứu tính ổn định nghiệm của ph-ơng trình vi phân và ph-ơng
trình sai phân đ-ợc nhiều ng-ời quan tâm vì nó có nhiều ứng dụng trong các
ngành khoa học kỹ thuật, đặc biệt là trong các mô hình chuyển động cơ học và
các mô hình sinh thái. Tuy nhiên để mở rộng phạm vi ứng dụng của nó nhiều
h-ớng nghiên cứu mới của lý thuyết ổn định đã xuất hiện và nhận đ-ợc nhiều
kết quả thú vị về cả lý thuyết và ứng dụng.
Trong luận văn này chúng tôi cố gắng trình bày lại một số kết quả của
ph-ơng pháp hàm Lyapunov cho các h-ớng nghiên cứu cơ bản mà gần đây đ-ợc
nhiều ng-ời quan tâm là tính ổn định nghiệm của ph-ơng trình vi phân hàm

(xem [3], [9], [14], [16]) và tính ổn định nghiệm của ph-ơng trình sai phân
(xem [3], [7]).
Trong phần cuối của luận văn chúng tôi sẽ trình bày một số kết quả về sự ổn
định nghiệm của ph-ơng trình động lực trên thang thời gian. Trong đó ngoài
việc chứng minh chi tiết các điều kiện đủ về tính ổn định mũ của hệ ph-ơng
trình động lực tuyến tính có nhiễu trên thang thời gian, chúng tôi đã cố gắng
dành công sức vào việc xây dựng các ví dụ cụ thể. Trên cơ sở các ví dụ này
chúng tôi thấy rằng các kết quả nhận đ-ợc có thể áp dụng cho các mô hình
quần thể sinh học mà hiện nay đang đ-ợc nhiều ng-ời quan tâm.
Nội dung của luận văn gồm có hai ch-ơng: trong ch-ơng 1, ngoài một
số kiến thức chuẩn bị về khái niệm và trình bày tóm tắt các kết quả cổ điển của
ph-ơng pháp hàm Lyapunov cho hệ ph-ơng trình vi phân trong
R
n
, chúng tôi
đã trình bày lại các định lý cơ bản của ph-ơng pháp hàm Lyapunov cho ph-ơng
trình vi phân hàm.
Ch-ơng 2 dành cho việc trình bày ph-ơng pháp hàm Lyapunov cho ph-ơng trình
sai phân và ph-ơng trình động lực trên thang thời gian. Trong đó có sự đóng
góp của tác giả vào quá trình chứng minh các kết quả mới và xây dựng ví dụ.
Tác giả luận văn xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thầy giáo h-ớng dẫn
PGS.TS Đặng Đình Châu đã tận tình h-ớng dẫn tác giả trong suốt quá trình làm
luận văn. Tác giả xin cảm ơn các thầy cô giáo trong tổ bộ môn Giải tích trong
iii
khoa Toán - Cơ - Tin đã nhiệt tình giảng dạy và tổ chức các buổi xemina đầy
bổ ích, xin cảm ơn gia đình, đồng nghiệp và bạn bè đã quan tâm, tạo điều kiện
thuận lợi và động viên, giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình làm luận văn.
Hà Nội, ngày 22 tháng 12 năm 2009
Tác giả
Nguyễn Ngọc Huy

iv
Bảng ký hiệu
N := Tập hợp các số nguyên không âm
R := Tập hợp các số thực
R
+
:= Tập hợp các số thực d-ơng
R
n
:= Không gian véc tơ thực n chiều
CIP := Tập các hàm liên tục, tăng và nhận giá trị d-ơng
M
n
(R):= Tập hợp các ma trận cấp n ì n
T := Thang thời gian
(t):= Toán tử nhảy tiến
(t):= Toán tử nhảy lùi
à(t):= Hàm hạt
f

(t):= Đạo hàm của f tại t
v
Ch-ơng 1.
Ph-ơng pháp hàm Lyapunov cho
ph-ơng trình vi phân hàm
1.1. Kiến thức chuẩn bị
1.1.1. Các khái niệm cơ bản
Giả sử cho hệ vi phân phi tuyến thực:
dy
dx

= Y (t, y) (1.1.1)
Trong đó
Y C
(0,1)
ty
()
và
=[a, )ìG
(G là tập mở trong không gian Euclide
thực
n
chiều
R
n
). Giả sử

là miền tồn tại duy nhất nghiệm, tức là tại mỗi
điểm
(t
0
,y
0
)
tồn tại và duy nhất nghiệm
y = y(t, t
0
,y
0
)
của hệ (1.1.1) thoả

mãn điều kiện ban đầu
y(t, t
0
,y
0
)=y
0
. Trong ch-ơng này ta giới hạn chỉ xét
các nghiệm thực.
Giả sử
= (t)
(
t
0
: t
0
>a
) là nghiệm của hệ (1.1.1) (chuyển động không
bị nhiễu) mà ta phải nghiên cứu tính ổn định của nó. Ký hiệu
U
H
((t)) = {t
0
t<; ||y (t)|| <H}.
Ta đặt:
x = y (t), (1.1.2)
1
tức
x
là độ lệch của nghiệm

y
với nghiệm
(t)
.
Vì:
.

Y (t, (t))
nên ta nhận đ-ợc ph-ơng trình vi phân đối với
x
:
dx
dt
= X(t, x), (1.1.3)
trong đó:
X(t, x)=[Y (t, x + (t) Y (t, (t))] C
(0,1)
tx
(Z),Z= {a<t<, x <H},
hơn nữa rõ ràng:
X(t, 0) 0
. Do đó, hệ (1.1.3) có nghiệm tầm th-ờng
x =0
ứng với nghiệm đã cho
= (t)
trong không gian
R
n
y
. Hệ (1.1.3) gọi là hệ rút

gọn. Nh- vậy, việc nghiên cứu sự ổn định của nghiệm
= (t)
trong không
gian
R
n
đ-ợc đ-a về nghiên cứu sự ổn định của nghiệm tầm th-ờng
x =0
trong
không gian
R
n
.
Định nghĩa 1.1.1. Nghiệm tầm th-ờng x =0của hệ (1.1.3) đ-ợc gọi là ổn định
(ôđ) theo Lyapunov khi t +, nếu với >0 , = (, t
0
) sao cho từ bất đẳng
thức x(t
0
) <suy ra x(t) <với mọi t t
0
.
Định nghĩa 1.1.2. Nghiệm tầm th-ờng x =0của hệ (1.1.3) đ-ợc gọi là ổn định
tiệm cận (ôđtc) theo Lyapunov khi t +, nếu nó ổn định theo Lyapunov và
h>0 sao cho mọi nghiệm x(t) của hệ (1.1.3) thoả mãn điều kiện x(t
0
) <hthì
lim
t
x(t) =0.

Định nghĩa 1.1.3. Nghiệm tầm th-ờng x =0của hệ (1.1.3) đ-ợc gọi là ổn định
đều (ổn định tiệm cận đều) theo Lyapunov khi t + nếu trong các định nghĩa
t-ơng ứng, số chọn đ-ợc không phụ thuộc vào t
0
.
Định nghĩa 1.1.4. Nghiệm tầm th-ờng x =0của hệ (1.1.3) đ-ợc gọi là ổn định
mũ khi t + nếu đối với mỗi nghiệm x(t) x(t, t
0
,x
0
) của hệ đó ở trong miền
nào đó t
0
t<, ||x|| h<Hthoả mãn bất đẳng thức:
||x(t)|| N||x(t
0
)||e
(tt
0
)
(t t
0
) .
trong đó N và là hai hằng số d-ơng không phụ thuộc vào sự lựa chọn nghiệm x(t).
Ta dễ dàng thấy rằng, từ sự ổn định mũ của nghiệm x =0suy ra sự ổn định tiệm
cận của nó. Thật vậy, đặt:
||x(t
0
)|| <

N
= ,
2
trong đó >0 tuỳ ý, ta có:
||x(t)|| < với t t
0
,
tức là nghiệm x =0ổn định theo Lyapunov, ngoài ra rõ ràng ta có:
lim
t+
x(t)=0,
nếu ||x(t
0
)|| h. T-ơng tự, ta định nghĩa sự ổn định mũ đối với nghiệm không tầm
th-ờng. Cụ thể là nghiệm (t) là ổn định mũ nếu với t t
0
, các nghiệm x(t) gần
nó thoả mãn bất đẳng thức:
||x(t) (t)|| N||x(t
0
) (t
0
)||e
(tt
0
)
, (t t
0
).
trong đó N và là hai hằng số d-ơng nào đó.

Xét hàm số:
V = V (t, x) C
tx
(Z
0
),
trong đó
Z
0
= {a<t<, ||x|| <h}.
Tiếp theo ta đ-a ra một số định nghĩa cơ bản về hàm không đổi dấu và hàm có
dấu xác định.
Định nghĩa 1.1.5. Hàm vô h-ớng thực liên tục V (t, x), đ-ợc gọi là không đổi dấu
(có dấu d-ơng hay có dấu âm) trong Z
0
, nếu:
V (t, x) 0 (hay V (t, x) 0),
với (t, x) Z
0
.
Định nghĩa 1.1.6. Hàm V (t, x) đ-ợc gọi là xác định d-ơng trong Z
0
nếu tồn tại
một hàm vô h-ớng W (x) C(||x|| <h) sao cho:
V (t, x) W (x) > 0, với ||x|| =0, (1.1.4)
V (t, 0) = W (0) = 0.
T-ơng tự, hàm V (t, x) đ-ợc gọi là hàm xác định âm trong Z
0
nếu tìm đ-ợc
W (x) C(||x||) <h) sao cho:

V (t, x) W (x) < 0, nếu ||x|| =0
3
và:
V (t, x)=W (0) = 0.
Hàm xác định d-ơng hay xác định âm gọi là có dấu xác định về phía W (x), đôi khi
có thể lấy:
W (x) = inf
t
|V (t, x)|
Đặc biệt, V = V (x) là hàm có dấu xác định nếu (1)

V (x) > 0, với ||x|| =0và
V (0) = 0, trong đó đối với hàm xác định d-ơng thì =0, còn đối với hàm xác định
âm thì =1.
Định nghĩa 1.1.7. Ta nói rằng hàm V (t, x) có giới hạn vô cùng bé bậc cao khi
x 0, nếu với t
0
>anào đó, ta có:
V (t, x) 0
theo t trên [t
0
, ) khi t 0, tức là đối với bất kỳ >0, tồn tại = () > 0 sao
cho:
|V (t, x)| < (1.1.5)
khi ||x|| <và t [t
0
, ).
Nhờ bất đẳng thức (1.1.5), ta kết luận rằng hàm V (t, x) có giới hạn vô cùng
bé bậc cao khi x 0 sẽ bị chặn trong hình trụ nào đó:
t

0
t<, ||x|| <h.
Ta chú ý rằng nếu V (x) là hàm liên tục không phụ thuộc vào thời gian t, và sao cho
V (0) = 0, thì rõ ràng V (x) có giới hạn vô cùng bé bậc cao khi x 0.
1.1.2. Ba định lý của Lyapunov về sự ổn định.
Giả sử
X(t, x) C
(0,1)
tx
(Z),Z = {a<t<, x <H}
và hệ vi phân:
dx
dt
= X(t, x) (1.1.6)
là hệ rút gọn, tức là
X(t, 0) 0
. Rõ ràng hệ (1.1.6) có nghiệm tầm th-ờng
=0
.
Ta đặt:
V V (t, x) C
(1,1)
tx
(Z
0
),Z
0
= {a<t<; ||x|| h<H}Z
4
và

X X(t, x)=column[X
1
(t, x), ...X
n
(t, x)]
. Hàm:
.
V
(t, x)=
V
t
+
n

j=1
V
x
j
X
j
(t, x)
V
t
+(gradV, X)
đ-ợc gọi là đạo hàm (toàn phần) theo
t
của hàm
V (t, x)
theo hệ (1.1.6).
Nếu

x = x(t)
là nghiệm của hệ (1.1.6) thì
.
V
(t, x)
là đạo hàm toàn phần
theo thời gian của hàm hợp
V (t, x(t))
, tức là:
.
V
(t, x)=
d
dt
V (t, x(t)).
Đúng hơn, giả sử
(t, x) Z
0
và
x(,t,x)
là nghiệm của hệ (1.1.6) xác định bởi
điều kiện ban đầu:
x(,t,x)=x
. Khi đó:
.
V
(t, x)=

d
dt

V (,x(,t,x))

=t
. (1.1.7)
Nếu
.
V
(t, x) > 0
với
V (t, x)=C
thì các đ-ờng cong tích phân
x = x(t)
tại điểm
(t, x)
của mặt cong
V (t, x)=C
sẽ đi từ phía âm của mặt đặc tr-ng bởi pháp
tuyến
gradV
, sang phía d-ơng của nó xác định bởi pháp tuyến
+gradV
. Khi
.
V
(t, x) < 0
ta có hình ảnh ng-ợc lại. Loại mặt
V (t, x)=C
ấy ta đ-ợc gọi là
mặt không tiếp xúc đối với tr-ờng các đ-ờng cong tích phân của hệ (1.1.6).
Chú ý.

Khái niệm đạo hàm
.
V
(t, x)
theo hệ (1.1.6) có thể mở rộng đ-ợc. Cụ
thể, khi đó ta đặt:
.
V
(t, x)=
lim
h0
+
1
h
{V (t + h, x + hX(t, x)) V (t, x)}.
Định lý 1.1.1. (Định lý thứ nhất của Lyapunov về sự ổn định)
Nếu đối với hệ rút gọn (1.1.6), tồn tại hàm vô h-ớng xác định d-ơng:
V (t, x) C
(1,1)
tx
(Z
0
), (Z
0
Z),
và hàm này có đạo hàm theo thời gian,
.
V
(t, x) theo hệ đó có dấu âm không đổi, thì
nghiệm tầm th-ờng x(t)=0, (a<t<) của hệ đã cho ổn định theo Lyapunov khi

t +.
Ví dụ 1.1.1. Xét tính ổn định của nghiệm tầm th-ờng của hệ



dx
dt
= (x 2y)(1 x
2
3y
2
)
dy
dt
= (x + y)(1 x
2
3y
2
)
5
Chọn hàm V (x, y)=x
2
+2y
2
. Rõ ràng hàm đó là xác định d-ơng.
Đạo hàm của hàm này theo t trong nghĩa của hệ là
dV
dt
= 2(1 x
2

3y
2
)(x
2
+2y
2
) 0 với x, y đủ bé.
Vậy nghiệm tầm th-ờng x =0,y =0của hệ đã cho là ổn định.
Định lý 1.1.2. (Định lý thứ hai của Lyapunov về sự ổn định tiệm cận)
Giả sử đối với hệ rút gọn (1.1.6), tồn tại hàm xác định d-ơng V (t, x) C
(1,1)
tx
(Z
0
)
có giới hạn vô cùng bé bậc cao khi x 0 và có đạo hàm theo thời gian

V (t, x) theo
hệ là xác định âm. Khi đó, nghiệm tầm th-ờng x(t)=0của hệ ổn định tiệm cận
theo Lyapunov khi t +.
Ví dụ 1.1.2. Xét tính ổn định của nghiệm tầm th-ờng đối với hệ



dx
dt
= 5y 2x
3
dy
dt

=5x 2y
3
Chọn hàm V (x, y)=x
2
+2y
2
thoả mãn các điều kiện của định lý thứ hai của
Liapunov.
Thật vậy V (x, y) 0 và V (t, 0, 0) = 0;
dV
dt
= (4x
4
+6y
4
) 0 và
dV
dt
=0khi x =0,y =0.
Vậy nghiệm tầm th-ờng x =0,y =0của hệ đã cho là ổn định tiệm cận.
Định lý 1.1.3. (Định lý thứ ba của Lyapunov về sự không ổn định)
Giả sử đối hệ rút gọn (1.1.6), tồn tại hàm V (t, x) C
(1,1)
tx
(Z
0
) có giới hạn vô cùng
bé khi x 0 và có đạo hàm

V (t, x) theo hệ ph-ơng trình là xác định dấu. Nếu với

t
0
>anào đó trong lân cận ||x|| < ( h<H) tìm đ-ợc điểm (t
0
,x
0
) mà tại
đó dấu của hàm V cùng dấu của đạo hàm

V , tức là:
V (t
0
,x
0
)

V (t
0
,x
0
) > 0 (1.1.8)
thì nghiệm tầm th-ờng x(t)=0của hệ (1.1.6) không ổn định theo nghĩa Lyapunov
khi t +.
Ví dụ 1.1.3. Xét tính ổn định của nghiệm tầm th-ờng đối với hệ



dx
dt
= x

2
+ y
dy
dt
= y
2
+ x
Chọn hàm V (x, y)=
1
3
x
3
+ xy +
1
3
y
3
Xét trên miền E = {(t, x, y):t>0,x > 0,y > 0}. Vì trong E hàm V là xác định
6
d-ơng,
dV
dt
=(x
2
+ y)
2
+(y
2
+ x)
2

> 0.
Vậy nghiệm tầm th-ờng x =0,y =0của hệ đã cho là không ổn định theo định
lý thứ 3.
Chú ý
1. Trong định lý thứ ba, hàm
V (t, x)
không hẳn phải có dấu xác định.
2. Hàm
V (t, x)
thoả mãn các điều kiện của định thứ nhất đến thứ ba của
Lyapunov ta sẽ gọi, t-ơng ứng, là hàm Lyapunov loại
1
, loại
2
và loại
3
.
1.1.3. Tiêu chuẩn so sánh
Xét ph-ơng trình vi phân
x(t)=f(t, x),x(t
0
)=x
0
(1.1.9)
trong đó
f C[R
+
ì S(),R
n
]

và
f(t, 0)=0
,
S()={x R
n
: x <}
.
Với hàm
V C[R
+
ì R
n
,R
+
]
, ta xác định đạo hàm của V nh- sau
D
+
V (t, x) = lim sup
h0+
1
h
[V (t + h, x + hf(t, x)) V (t, x)]
với
(t, x) R
+
ì R
n
. Ta có định lý so sánh sau đây
Định lý 1.1.4. (Định lý 3.9.1,xem [3]) Giả sử các điều kiện sau đây đ-ợc thoả mãn

(i) g C[R
+
ì R, R],g(t, 0)=0và g(t, u) là không giảm theo u với mỗi t R
+
.
(ii) V C[R
+
ì S(),R
+
], V(t,x) là Lipsit địa ph-ơng theo x và hàm V
0
(t, x)=

N
i=1
V
i
(t, x) là xác định d-ơng.
(iii) f C[R
+
ì S(),R
n
],f(t, 0)=0và D
+
V (t, x) g(t, V (t, x)), (t, x) R
+
ì
S().
Khi đó tính ổn định của nghiệm tầm th-ờng của ph-ơng trình
u(t)=g(t, u),u(t

0
)=u
0
0 (1.1.10)
kéo theo tính ổn định t-ơng ứng của nghiệm tầm th-ờng của ph-ơng trình (1.1.9)
Ví dụ 1.1.4. Xét hệ hai ph-ơng trình



x = ysint + e
t
x (x
3
+ xy
2
)sin
2
t
y = xsint + e
t
y (x
2
y + y
3
)sin
2
t
(1.1.11)
7
Chọn hàm Lyapunov V (t, x)=

1
2
(x
2
+2Bxy + y
2
), khi đó
D
+
V (t, x) dọc theo nghiệm của hệ trên bằng tổng của hai hàm w
1
(t, x),w
2
(t, x)
trong đó
w
1
(t, x)=x
2
[e
t
+ Bsint]+xy[2Be
t
+(A +1)sint]+y
2
[Ae
t
+ Bsint],
w
2

(t, x)=sin
2
t(x
2
+ y
2
)(x
2
+2Bxy + y
2
)
Ta tìm A, B sao cho w
1
(t, x)=(t)V (t, x), gồm hai tr-ờng hợp sau
(i) A
1
=1,B
1
=1,
1
(t)=2(e
t
+ sint) thì V
1
(t, x)=
1
2
(x + y)
2
(ii) A

2
=1,B
2
= 1,
2
(t)=2(e
t
sint) thì V
2
(t, x)=
1
2
(x y)
2
Khi đó các giả thiết của định lý đ-ợc thoả mãn, vì
(a) Các hàm V
1
(t, x) 0,V
2
(t, x) 0 và V
0
(t, x)=

2
i=1
V
i
(t, x)=x
2
+ y

2
là xác
định d-ơng.
(b) Bất đẳng thức D
+
V (t, x) g(t, V (t, x)) thoả mãn với các hàm
g
1
(t, u
1
)=2(e
t
+ sint)u
1
,
g
2
(t, u
2
)=2(e
t
sint)u
2
.
Các hàm g(t, u) là không giảm theo u và nghiệm tầm th-ờng của ph-ơng trình
u = g(t, u) là ổn dịnh. Do đó kéo theo nghiệm tầm th-ờng của hệ (1.1.11) là ổn
định theo định lý trên.
1.2. Ph-ơng pháp hàm Lyapunov cho ph-ơng trình
vi phân hàm
Trong phần này, tôi xin đ-ợc trình bày một số kiến thức cơ bản của

ph-ơng trình vi phân hàm:
Giả sử
x R
n
, ta ký hiệu
|x|
là chuẩn của phần tử x trong
R
n
. Ký hiệu
C([, ],R
n
)
là không gian Banach các hàm liên tục, xác định trên
[, ]
và
nhận giá trị trong
R
n
.Với
C([, ],R
n
)
thì chuẩn của

đ-ợc định nghĩa là
= sup

|()|,
Đặc biệt khi

[, ]=[h, 0]
, với h là hằng số d-ơng, ta ký hiệu
C = C([h, 0],R
n
)
8
và
C
H
= {| C, H, H > 0}.
Cho
R, A R
+
, ta xét hàm
x C([ h, + A],R
n
)
. Với mỗi
t [, + A]
ta xác định các hàm
x
t
C([h, 0],R
n
)
có tính chất
x
t
()=x(t + ); h 0.
(

x
t
hiểu là phần hạn chế của hàm x(.) trên đoạn [t-h, t]).
Giả sử
=R
+
ì C
H
,f : R
n
, ký hiệu
x
là đạo hàm phải của x tại t, chúng
ta xét ph-ơng trình vi phân
x = f(t, x
t
). (1.2.12)
Ta gọi ph-ơng trình (1.2.12) là ph-ơng trình vi phân có chậm hoặc ph-ơng trình
vi phân hàm trên

.
Ta luôn giả thiết hàm
f : R
n
là liên tục trên

Định nghĩa 1.2.8. Hàm x = x
t
(t
0

,) đ-ợc gọi là nghiệm của ph-ơng trình (1.2.12)
với điều kiện ban đầu C
H
tại t = t
0
,t
0
0 nếu tồn tại số A>0 sao cho
x C([t
0
h, t
0
+ A),R
n
) và có các tính chất
(1) x
t
0
(t
0
,)=, C
H
;
(2) x(.)=x
t
(t
0
,) thoả mãn (1.2.12) với mỗi t [t
0
,t

0
+ A).
Giả sử ph-ơng trình (1.2.12) thoả mãn tất cả các điều kiện về sự tồn
tại, duy nhất nghiệm (xem [14]) và
f(t, 0) = 0, t R
+
. Khi đó, ph-ơng trình
(1.2.12) có nghiệm tầm th-ờng
x 0
.
Ta có thể đi tìm nghiệm của ph-ơng trình vi hàm (1.2.12) bằng hai ph-ơng pháp
là ph-ơng pháp từng b-ớc và ph-ơng pháp Laplace.
Ví dụ 1.2.5. (giải bằng ph-ơng pháp Laplace) Xét ph-ơng trình vi phân có chậm:



x(t)=x(t 1)
(t)=t, 1 t 0.
Ta có: x(t) X(p); x(t) pX(p),x(0) = (0) = 0.
Néu f(t) F (p) và t
0
> 0 thì f(t t
0
) e
t
0
p
F (p),
x(t 1) e
p

[

0
1
e
pt
(t)dt + X(p)] =
1 e
p
p
2

1
p
+ e
p
X(p).
9
Ph-ơng trình vi phân có chậm đang xét đ-ợc đ-a về dạng:
pX(p)=
1 e
p
p
2

1
p
+ e
p
X(p).

Do đó:
X(p)=
1
p(p e
p
)
+
1 e
p
p
2
(p e
p
)
.
Suy ra,
X(p)=
1
p
2
+
1
p
3



k=1
e
kp

p
k+2
.
Cuối cùng ta có:
x(t)=(
t
2
2
t)(t)


k=1
(t k)
k+1
(k + 1)!
(t k),
trong đó là hàm đơn vị thoả mãn
(t)=



1 khi x>0,
0 khi x<0.
Ví dụ 1.2.6. (ph-ơng pháp từng b-ớc) Xét ph-ơng trình vi phân có chậm sau:



x(t)=6x(t 1),
(t)=t, 0 t 1.
Ta sẽ tìm nghiệm x(t

0
,), (t
0
=1), của ph-ng trình vi phân trên đoạn [0,3].
Nghiệm của ph-ơng trình vi phân trên có dạng:



x(t)=(1) +

t
1
6x(s 1)ds; t 1,
x(t)=(t); 0 t 1;
Trên đoạn [1, 2] ta có:



x(t)=(1) +

t
1
6sds;2 t 1,
x(t)=(t); 0 t 1;
hay



x(t)=1+3(t 1)
2

;2 t 1,
x(t)=(t)0 t 1;
10
Trên đoạn [2, 3] ta có:



x(t)=(2) +

t
2
6x(s 1)ds;3 t 2,
x(t)=1+3(t 1)
2
;2 t 1,
Suy ra,



x(t)=6(t 2)[(t 2)
2
+1]+4;3 t 2,
x(t)=1+3(t 1)
2
;2 t 1,
Nh- vây, nghiệm của ph-ơng trình trên [0,3] là

x(t)=t;1 t 0,
x(t)=1+3(t 1)
2
;2 t 1,
x(t)=6(t 2)[(t 2)
2
+1]+4;3 t 2,
Cứ nh- vậy ta có thể mở rộng nghiệm trên một đoạn hữu hạn tuỳ ý.
Ta định nghĩa sự ổn định của nghiệm tầm th-ờng của (1.2.12).
Định nghĩa 1.2.9. Nghiệm tầm th-ờng x =0của ph-ơng trình vi phân (1.2.12)
đ-ợc gọi là ổn định theo Lyapunov khi t + nếu:
>0,t
0
R
+
, = (t
0
,) > 0, sao cho : < x
t
(t
0
,) <,t t
0
.
Định nghĩa 1.2.10. Nghiệm tầm th-ờng x =0của ph-ơng trình (1.2.12) đ-ợc gọi

là ổn định đều khi t + nếu số trong định nghĩa 1.2.9 không phụ thuộc vào t
0
.
Định nghĩa 1.2.11. Nghiệm tầm th-ờng x =0của ph-ơng trình vi phân (1.2.12)
đ-ợc gọi là ổn định tiệm cận theo Lyapunov khi t + nếu:
1. Nghiệm tầm th-ờng x =0là ổn định,
2. =(t
0
) > 0, C : < lim
t+
x
t
(t
0
,) =0.
Định nghĩa 1.2.12. Nghiệm tầm th-ờng x =0của ph-ơng trình vi phân (1.2.12)
đ-ợc gọi là ổn định tiệm cận đều theo Lyapunov khi t + nếu:
1. Nghiệm tầm th-ờng x =0là ổn định đều,
2. > 0( không phụ thuộc vào t
0
) sao cho
C, < lim
t+
x
t
(t
0
,) =0.
11
1.2.1. Các định lý về sự ổn định nghiệm của ph-ơng trình vi

phân hàm
Trong phần này, ta sẽ giới thiệu một số điều kiện đủ về sự ổn định và
không ổn định của nghiệm tầm th-ờng
x =0
của ph-ơng trình (1.2.12). Đây là
kết quả mở rộng của ph-ơng pháp thứ hai của Lyapunov đối với ph-ơng trình
vi phân th-ờng.
Định nghĩa 1.2.13. (Phiếm hàm Lyapunov) Ta gọi phiếm hàm liên tục V : RìC
R
+
, thoả mãn điều kiện Lipchitz theo biến thứ hai, là phiếm hàm Lyapunov.
Nếu
V : R ì C R
+
là liên tục và
x
t
(t
0
,)
là nghiệm của ph-ơng trình
(1.2.12) đi qua điểm
(t
0
,)
, chúng ta định nghĩa

V (t, ) = lim
h0
+

sup
1
h
[V (t + h, x
t+h
(t
0
,)) V (t, )].
Hàm

V (t, )
đ-ợc gọi là đạo hàm phải trên của hàm
V (t, )
dọc theo quỹ đạo
của nghiệm ph-ơng trình (1.2.12). Để có thể thấy rõ vai trò của ph-ơng trình
(1.2.12) trong đạo hàm đó ng-ời ta th-ờng kí hiệu
V
(1.2.12)
(t, )
. Dựa vào phiếm
hàm trên ta có một số định lí về sự ổn định sau: Trong phần này chúng ta sẽ
sử dụng phiếm hàm Lyapunov
V = V (t, )
xác định trên miền
=R
+
ì C
để
nghiên cứu tính ổn định đều và ổn định tiệm cận đều của ph-ơng trình vi phân
hàm (1.2.12), ta luôn giả thiết

f(t, )
là hoàn toàn liên tục trên

và
f(t, 0)=0
.
Định lý 1.2.5. (Định lý ổn định) Giả sử tồn tại phiếm hàm liên tục (Lyapunov)
thoả mãn điều kiện:
1. V (t, 0) = 0;
2. a() V (t, ),a CIP;
3. V

(1.2.12)
0.
trong đó CIP tập các hàm liên tục, tăng và nhận giá trị d-ơng, khi đó nghiệm tầm
th-ờng x =0của hệ (1.2.12) là ổn định.
12
Chứng minh. Giả sử có hàm V (t, 0) thoả mãn các điều kiện trên, ta sẽ chứng minh
nghiệm tầm th-ờng x =0của ph-ơng trình vi phân (1.2.12) là ổn định. Giả sử
>0, (<H), đủ bé, ta xác định mặt cầu
S

= {| C
H
, = },
từ điều kiện (2) ta suy ra
0 <a() V (t, ),t I, S

.
Vì V (t, 0)=0, V (t, ) là hàm liên tục nên với t

0
cố định và a() > 0 tồn tại
(t
0
,) > 0 sao cho:
<(t
0
,) > 0 V (t
0
,) <a().
Lấy x = x(t
0
,) là nghiệm của (1.2.12) sao cho với <, ta sẽ chứng minh:
x
t
(t
0
,) <,t t
0
.
Thật vậy, giả sử ng-ợc lại tồn tại t
1
>t
0
sao cho nghiệm x = x(t
0
,) với <
thỏa mãn:
x
t

1
(t
0
,) =
(theo định nghĩa ta có thể hiểu là tồn tại s<t
1
sao cho x
t
1
(t
0
,) = /2). Từ
điều kiện (3) ta suy ra V (t)=V (t, x
t
1
(t
0
,)) giảm theo t nên ta có:
V (t
1
,x
t
1
(t
0
,)) V (t, x
t
(t
0
,)),

suy ra
a() V (t
1
,x
t
1
(t
0
,) V (t
0
,) <a()
Mâu thuẫn trên chứng tỏ giả thiết phản chứng là sai. Vậy
<x
t
(t
0
,) <,t t
0
tức là nghiệm tầm th-ờng x 0 là ổn định.
Định lý 1.2.6. (Định lý ổn định đều) Giả sử tồn tại một phiếm hàm liên tục
V : R
+
ì C R
+
thỏa mãn các điều kiện sau:
1. a() V (t, ) b(),a,b CIP;
13
2. V

(1.2.12)

0,
khi đó nghiệm tầm th-ờng x =0của hệ (1.2.12) là ổn định đều.
Chứng minh. Lấy >0 tùy ý <H, xét
S

= {| C
H
, = , 0 <<H},
Từ điều kiện (2) ta suy ra
a() V (t, ) a() V (t, ), S

.
Do
V (t, ) b() và b CIP,
suy ra với a() > 0 ta chọn đ-ợc số () < 0 sao cho
< b() <a() b() <a().
Lấy một nghiệm tùy ý của (1.2.12) với <(). Khi đó với t
0
cố định bất kì và
từ giả thiết

V
(1.2.12)
0 ta có:
a(x
t
(t
0
,)) V (t, x
t

(t
0
,)) V (t
0
,) b() b() <a().
Tức là:
x
t
(t
0
,) <; t>t
0
, <().
Vậy nghiệm x 0 là ổn định đều.
Định lý 1.2.7. ( Định lí ổn định tiệm cận đều) Giả sử tồn tại phiếm hàm liên tục
V : R
+
ì C R
+
thỏa mãn các điều kiện sau:
1. a() V (t, ) b(),a,b CIP,
2. V

(1.2.12)
(t, ) c(), c CIP.
khi đó nghiệm tầm th-ờng x 0 của hệ (1.2.12) là ổn định tiệm cận đều.
Chứng minh. Từ định lí trên ta có thể suy ra nghiệm x 0 là ổn định đều. Bây
giờ ta sẽ chứng minh x 0 của ph-ơng trình (1.2.12) là ổn định tiệm cận đều.
14
Do nghiệm x 0 là ổn định đều nên tồn tại

0
(H) > 0 sao cho với t
0
R
+
và

0
, ta có:
x
t
(t
0
,) <H; t>t
0
.
Mặt khác >0, () > 0 sao cho t
0
R
+
, ta có:
<() x
t
(t
0
,) <,t t
0
.
Giả sử ng-ợc lại tồn tại một nghiệm x = x(t
0

,), (t
0
R
+
, <
0
) nh-ng
không thực hiện đẳng thức
lim
t+
x
t
(t
0
,) =0,
khi đó tồn tại dãy t
k
có tính chất:
t
k
t
0
,t
k
(k )
đồng thời
() x(t
0
,)(t
k

) <H.
Do đó:
V (t
k
,x(t
0
,)(t
k
) a().
Từ điều kiện ta suy ra:

V
(1.2.12)
(t, ) c().
Do đó tồn tại >0 sao cho:

V
(1.2.12)
(t, ) .
Với () < ta có:

t
t
0

V
(1.2.12)
(,)d

t

t
0
d,
V (t, x
t
(t
0
,)) V (t
0
,) (t t
0
).
Kí hiệu
T :=
b(
0
) a()

.
Vì V (t
0
,) b(
0
) nên với t t
0
+ T và <
0
thì ta có:
V (t
0

,) (t t
0
) b(
0
) T
b(
0
) b(
0
)+a()
a().
15
Chứng tỏ: V (t, x
t
(t
0
,) <a(). Mâu thuẫn với
V (t
k
,x(t
0
,)(t
k
) a().
Điều đó chứng tỏ giả thiết phản chứng sai. Do đó với mọi t t
0
+ T,(T = T ())
và <
0
ta có:

x(t
0
,) <.
Tức là ngiệm tầm th-ờng x 0 của ph-ơng trình vi phân (1.2.12) là ổn định tiệm
cận đều.
Ví dụ 1.2.7. Xét hệ ph-ơng trình vi phân



x(t)=y(t) x(t).y
2
(t r
1
(t))
y(t)=x(t) y(t).x
2
(t r
2
(t))
trong đó t R và r
j
(t) 0(j =1, 2) Để nghiên cứu tính ổn định của hệ này chúng
ta xét hàm :
V (x, y)=x
2
+ y
2
.
Khi đó ta có:
V (x, y)=

2
,
đồng thời:

V (x, y)=2.x(t).[y(t) x(t).y
2
(t r
1
(t))] + 2y[x(t) y(t).x
2
(t r
2
(t))]
= y
2
(t).x
2
(t r
2
(t)) x
2
(t).y
2
(t r
1
(t))
0.
Vậy ta có nghiệm tầm th-ờng của hệ là ổn định đều.
Nhận xét: T-ơng tự nh- ph-ơng trình vi phân th-ờng, ng-ời ta đã chứng
minh các kết quả về tiêu chuẩn so sánh đối với ph-ơng trình vi phân hàm (xem

[3]).
16
Ch-ơng 2.
Ph-ơng pháp hàm Lyapunov cho
ph-ơng trình sai phân và ph-ơng
trình động lực trên thang thời gian
2.1. Ph-ơng trình sai phân
2.1.1. Sai phân hữu hạn
Định nghĩa 2.1.14. Ta gọi sai phân hữu hạn cấp một của hàm số u(n)=u
n
với
n Z là hiệu u
n
= u
n+1
u
n
Định nghĩa 2.1.15. Ta gọi sai phân hữu hạn cấp 2 của hàm u(n)=u
n
là sai phân
của sai phân cấp 1 của u
n
, và nói chung sai phân cấp k của hàm u
n
là sai phân của
sai phân cấp k 1 của hàm số đó.
Nh- vậy, sai phân cấp 2 của hàm
u
n
là

2
u
n
= (u
n
)=u
n+1
u
n
= u
n+2
u
n+1
(u
n+1
u
n
)=u
n+2
2u
n+1
+ u
n
;
Sai phân cấp 3 của hàm
u
n
là

3
u
n
= (
2
u
n
)=
2
u
n+1

2
u
n
= u
n+3
3u
n+2
+3u
n+1
u
n
;
Nói chung, sai phân cấp k của hàm
u
n
là

k

u
n
= (
k1
u
n
)=
k1
u
n+1

k1
u
n
=
k

i=0
(1)
i
C
i
k
u
n+ki
,
17
trong đó
C
i

k
=
k!
i!(ki)!
.
Các tính chất của sai phân:
i) Tính chất 1:
Sai phân các cấp đều đ-ợc biểu diễn qua các giá trị của hàm số

k
u
n
=
k

i=0
(1)
i
C
i
k
u
n+ki
,
trong đó
C
i
k
=
k!

i!(ki)!
.
ii) Tính chất 2:
Sai phân mọi cấp đều là toán tử tuyến tính

k
(u
n
+ v
n
)=
k
u
n
+
k
v
n
Với
,
là các số thực tuỳ ý.
iii) Tính chất 3:
Sai phân cấp k của đa thức bậc m bằng:
a) Hằng số nếu
k = m
,
b) 0 nếu
k>m
,
c) Đa thức bậc

(m k)
nếu
k<m
.
iv) Tính chất 4:
u
n
v
n
= u
n
v
n
+ v
n+1
u
n
,
N

n=a

k
u
n
=
k1
u
N+1

k1
u
a
,
Đặc biẹt khi
k =1
, ta có
N

n=a
u
n
= u
N+1
u
a
.
2.1.2. Ph-ơng trình sai phân tuyến tính
Định nghĩa 2.1.16. Ph-ơng trình sai phân tuyến tính là một hệ thức tuyến tính
giữa sai phân các cấp
F (u
n
, u
n
, ...,
k
u
n
)=0
Trong đó u

n
coi là sai phân cấp 0 của hàm u
n
, cấp của ph-ơng trình sai phân chính
là cấp lớn nhất của các sai phân (ở đây là bằng k).
18
Định nghĩa 2.1.17. Ph-ơng trình sai phân tuyến tính của hàm u
n
là một biểu thức
tuyến tính giữa các giá trị của hàm u
n
tại các điểm khác nhau
a
0
u
n+k
+ a
1
u
n+k1
+ ... + a
k
u
n
= f
n
.
Trong đó a
0
.a

1
, ..., a
k
với a
0
=0,a
k
=0là các hằng số hoặc các hàm số của n, đ-ợc
gọi là các hệ số của ph-ơng trình sai phân; f
n
là một hàm số của n, đ-ợc gọi là vế
phải; u
n
là giá trị cần tìm, đ-ợc gọi là ẩn.
Nghiệm của ph-ơng trình sai phân tuyến tính:
Xét ph-ơng trình sai phân tuyến tính cấp k
a
0
u
n+k
+ a
1
u
n+k1
+ ... + a
k
u
n
= f
n

. (1)
Ph-ơng trình sai phân thuần nhất t-ơng ứng
a
0
u
n+k
+ a
1
u
n+k1
+ ... + a
k
u
n
=0. (2)
Ph-ơng trình đặc tr-ng
a
0

k
+ a
1

k1
+ ... + a
k
=0. (3)
Nghiệm tổng quát
u
n

của ph-ơng trình sai phân tuyến tính (1):
u
n
= u

+u
,
với
u

là một nghiệm riêng của ph-ơng trình trên và
u
là nghiệm tổng quát của
ph-ơng trình thuần nhất t-ơng ứng (2).
Nghiệm tổng quát của (2) có dạng
u = c
1
u
n
1
+ c
2
u
n
2
+ ... + c
k
u
n
k

trong đó
u
n
1
,u
n
2
, ..., u
n
k
là k nghiệm độc lập tuyến tính của (2) và
c
1
,c
2
, ..., c
k
là
các hằng số tuỳ ý.
Nếu (3) có k nghiệm phân biệt

1
,
2
, ...,
k
thì hệ
{
n
1

,
n
2
, ...,
n
k
}
là hệ k nghiệm
độc lập tuyến tính của (2) và nghiệm tổng quát của (2) là
u = c
1

n
1
+ c
2

n
2
+ ... + c
k

n
k
.
Nếu (3) có nghiệm th-c

j
bội s thì ngoài nghiệm

n
j
ta bổ sung thêm các vectơ
n
n
j
,n
2

n
j
, ..., n
s1

n
j
cũng là các nghiệm độc lập tuyến tính của (2) và nghiệm
tổng quát của (2) là
u =
k

i=j=1
c
i

n
i
+
s1

i=0
c
i
j
n
i

n
j
.
19
Nếu (3) có nghiệm phức

j
= r(cos + isin)
bội s thì ta lấy thêm các nghiệm:
r
n
n
i
cosn, r
n
n
i
sinn
,
i =0, ..., s 1
u =
k

i=j=1
c
i

n
i
+
s1

i=0
r
n
(a
i
n
i
cosn + b
i
n
i
sinn).
trong đó
a
i
,b
i
là các hằng số tuỳ ý.
2.1.3. Hệ ph-ơng trình sai phân tuyến tính thuần nhất
Xét hệ ph-ơng trình sai phân

u
1
(k +1)=a
11
(k)u
1
(k)+a
12
(k)u
2
(k)+... + a
1n
(k)u
n
(k),
u

2
(k +1)=a
21
(k)u
1
(k)+a
22
(k)u
2
(k)+... + a
2n
(k)u
n
(k),
.......................
u
n
(k +1)=a
n1
(k)u
1
(k)+a
n2
(k)u
2
(k)+... + a
nn
(k)u
n
(k).

Đặt
u(k)=







u
1
(k)
u
2
(k)
.
.
.
u
n
(k)







; A(k)=

a
11
(k) a
12
(k) ... a
1n
(k)
a
21
(k) a
22
(k) ... a
2n
(k)
... ... ...
a
n1
(k) a
n2
(k) ... a
nn
(k)

,
Khi đó hệ trên t-ơng đ-ơng với ph-ơng trình
u(k +1)=A(k).u(k) k k
0
(2.1.1)
ở đây:
u(k)=(u
1
(k),u
2
(k), ...u
n
(k))
T
R
n
và ta luôn giả thiết
A(k)=(a
ij
(k))
nìn
là
ma trận không suy biến.
Bài toán Cauchy: Xét bài toán:

u(k +1)=A(k).u(k) k k
0
,
u(k
0
)=u
0
.
(2.1.2)
Bằng ph-ơng pháp truy hồi, chúng ta dễ dàng thấy rằng bài toán Cauchy luôn
có nghiệm và nghiệm của bài toán Cauchy đ-ợc cho bởi:
u(k)=A(k 1).A(k 2)...A(k
0
+1).A(k
0
).u
0
,k k
0
(2.1.3)
Họ ma trận tiến hoá sinh bởi ma trận không suy biến:
20