phương trình sai phân, một số ứng dụng và định tính

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
———- * ———
NGUYỄN THỊ MỸ HẰNG
PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN
MỘT SỐ ỨNG DỤNG VÀ ĐỊNH TÍNH
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Hà Nội - Năm 2011
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
o0o
NGUYỄN THỊ MỸ HẰNG
PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN
MỘT SỐ ỨNG DỤNG VÀ ĐỊNH TÍNH
Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH
Mã số : 60 46 01
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
PGS.TS. NGUYỄN SINH BẢY
Hà Nội - Năm 2011
Mục lục
Mở đầu 1
1 Phương trình sai phân và một vài ứng dụng 3
1.1 Sai phân và phương trình sai phân . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.1 Thang thời gian Z và sai phân . . . . . . . . . . . . 3
1.1.2 Khái niệm phương trình sai phân . . . . . . . . . . 5
1.2 Phương trình sai phân trong R
1
và một vài ứng dụng . . . . 7
1.2.1 Phương trình sai phân tuyến tính cấp k hệ số hằng . 7
1.2.2 Một vài ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.3 Phương trình sai phân tuyến tính trong R
p
. . . . . . . . . 13
1.3.1 Nghiệm tổng quát của hệ thuần nhất. . . . . . . . . 14
1.3.2 Nghiệm tổng quát của hệ không thuần nhất. . . . . 16
1.3.3 Ứng dụng kết quả trong R
1
cho phương trình trong
R
p
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.3.4 Nghiệm của hệ thuần nhất dừng qua các vector riêng 22
2 Nghiên cứu các định tính của phương trình sai phân 26
2.1 Khái niệm ổn định nghiệm phương trình sai phân . . . . . . 26
2.2 Phương pháp nghiên cứu các định tính . . . . . . . . . . . 28
2.2.1 Phương pháp thứ nhất Lyapunov . . . . . . . . . . 28
2.2.2 Phương pháp hàm Lyapunov . . . . . . . . . . . . . 38
2.2.3 Phương pháp bất đẳng thức . . . . . . . . . . . . . 43
i
MỤC LỤC
Kết luận 49
Tài liệu tham khảo 50
ii
Bảng ký hiệu
ρ(A) - tập giải của toán tử tuyến tính A.
σ(A) - tập phổ của toán tử tuyến tính A.
Φ(n, m) - ma trận cơ bản của hệ thuần nhất.
K - lớp hàm Hahn
iii
Mở đầu

Các quá trình với thời gian liên tục (t ∈ R) trong Toán học và trong các
lĩnh vực khác đã được nghiên cứu nhiều. Gần đây, các thang thời gian tổng
quát rất được chú ý trong nghiên cứu lý thuyết cũng như khai thác ứng
dụng. Thang thời gian rời rạc cách đều, thường được quy về tập số nguyên
là loại thang thời gian rời rạc đơn giản nhưng tiện lợi, được sử dụng nhiều
trong việc thu thập, xử lý các số liệu. Luận văn nghiên cứu các đối tượng
thay đổi trên thang thời gian này, chúng được gọi là các hệ động lực dạng
sai phân. Việc giải tường các phương trình vi phân (các lớp thông dụng)
nói chung đơn giản hơn nhiều so với các phương trình sai phân có dạng
tương tự. Việc nghiên cứu tính chất nghiệm của phương trình sai phân
cũng khó hơn, ít công cụ hơn so với các phương trình vi phân cùng dạng.
Một số công thức là hoàn toàn xác đinh, có biểu thức để tính toán nhưng
rất khó thực hiện trên thực tế. Ví dụ, nghiệm của phương trình
x(n + 1) = f(n, x(n), x(n −1), , x(n − k + 1))
với điều kiện ban đầu (n
0
, x
0
), trong đó x
0
= (x
0
0
, x
0
−1
, x
0
−2
, , x

0
−k+1
)(x
0
i
∈
R
p
) được thiết lập một cách dễ dàng bằng phương pháp truy hồi (xem
[2]). Tuy nhiên công thức nghiệm như vậy nói chung là rất khó tính toán
trong thực hành. Khi số bước là lớn thì biểu thức truy hồi là rất cồng
kềnh. Luận văn muốn tìm một số trường hợp riêng hoặc một số ví dụ cụ
thể mà trong đó các công thức tổng quát có thể viết được chi tiết đến các
thành phần của vector hoặc các phần tử của ma trận, Luận văn cũng
1
Mở đầu
giành một phần để tìm hiểu dáng điệu tiệm cận các nghiệm của một vài
loại phương trình sai phân. Cấu trúc của luận văn như sau:
Chương 1 trình bày kiến thức tổng quan, cơ bản nhất về phương trình sai
phân và một vài ứng dụng.
Chương 2 trình bày một số định tính, chủ yếu là tính ổn định của các
phương trình sai phân, phương pháp nghiên cứu tính ổn định.
Do em mới bắt đầu làm quen với công việc nghiên cứu nên bản luận văn
không tránh khỏi nhiều thiếu sót. Kính mong các thầy và các đồng nghiệp
chỉ bảo và lượng thứ.
Luận văn được thực hiện dưới sự hướng dẫn của PGS. TS. Nguyễn Sinh
Bảy. Nhân dịp này em xin cảm ơn thầy đã giúp đỡ em trong việc nắm
bắt các kiến thức chuyên ngành và trong việc định hình, hoàn thiện bản
luận văn. Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến lãnh đạo và các thầy
cô trong Khoa Toán-Cơ-Tin học, phòng Sau Đại Học, trường ĐHKHTN,

ĐHQGHN về kiến thức quý giá mà em đã nhận được trong thời gian học
tập tại trường. Xin chân thành cảm ơn các thầy cô, các bạn trong Xem-
ina của tổ Giải tích, ĐHKHTN. Cảm ơn các bạn trong tập thể lớp Cao
học giải tích. Cám ơn gia đình, người thân về những lời động viên, khích lệ.
Hà Nội tháng 12 năm 2011
Nguyễn Thị Mỹ Hằng
2
Chương 1
Phương trình sai phân
và một vài ứng dụng
1.1 Sai phân và phương trình sai phân
1.1.1 Thang thời gian Z và sai phân
Ta đã làm việc nhiều với các quá trình với thời gian liên tục (t ∈ R).
Nhưng trong thực tế số liệu thu thập được và cần xử lý lại thường là từ
các điểm thời gian rời rạc (xem [3, 4, 5, 7, 8, 9, 10]). Quá trình thời gian
rời rạc đơn giản nhất là quá trình bao gồm các thời điểm cách đều nhau
một khoảng h > 0, bắt đầu tại thời điểm t
0
:
I = {t
0
+ nh : n = 0, ±1, ±2, }.
Khi đó ta nói I là một lưới thời gian rời rạc cách đều với bước lưới h > 0,
bắt đầu từ thời điểm t
0
∈ R. Trường hợp đặc biệt: Nếu lấy t
0
= 0 và coi
h = 1 là một đơn vị thời gian thì tập I trở thành tập các số nguyên Z
I = {0 + n : n = 0, ±1, ±2, } := Z.

3
Chương 1. Phương trình sai phân và một vài ứng dụng
Nếu chỉ lấy n = 0, 1, 2, thì ta có I = {0, 1, 2, 3, } = Z
+
-tập các số
nguyên không âm.
Ta đưa thêm một số ký hiệu sẽ dùng về sau:
R
+
= [0, +∞).
N(n
0
) = {n
0
, n
0
+ 1, n
0
+ 2, , } (n
0
∈ Z).
N(n, m) = {m, m + 1, m + 2, , n −1, n} (m < n).
Giả sử f là một ánh xạ từ Z vào R
p
(hoặc từ Z
+
vào R
p
)
f :Z → R

p
Z n −→ f(n) ∈ R
p
Khi đó ta nói f(·) là một hàm có đối số nguyên.
Định nghĩa 1.1.1. Giả sử f (·) là một hàm số xác định trên tập Z, nhận
giá trị trong R
p
. Khi đó, sai phân cấp một của hàm f(·) tại n ∈ Z là hiệu
sau đây:
∆f(n) = f (n + 1) −f(n). (1.1)
Sai phân cấp hai là:
∆
2
f(n) = ∆(∆f (n)) = f (n + 2) − 2f(n + 1) + f(n). (1.2)
Sai phân cấp k là:
∆
k
f(n) = ∆(∆
k−1
f(n)) =
k

i=0
C
i
k
(−1)
i
f(n + i). (1.3)
Sai phân các cấp có các tính chất (xem [3]):

1. ∆c = 0 (c là hằng số).
2. ∆
k
x
m
=



0 khi k > m
đa thức bậc m − k khi k ≤ m.
3. ∆
k
[αx(n) + βy(n)] = α∆
k
x(n) + β∆
k
y(n) (α, β ∈ R).
4.
N

n=M
∆
k
x(n) = ∆
k−1
x(N + 1) − ∆
k−1
x(M).
4

Chương 1. Phương trình sai phân và một vài ứng dụng
1.1.2 Khái niệm phương trình sai phân
Định nghĩa 1.1.2. Giả sử x(n) là một hàm đối số nguyên n ∈ Z chưa
biết, cần tìm từ đẳng thức:
F (n, ∆
k
x(n), ∆
k−1
x(n), , ∆x(n), x(n)) = 0 (1.4)
trong đó không được khuyết ∆
k
x(n). Khi đó, đẳng thức (1.4) được gọi là
một phương trình sai phân cấp k.
Từ định nghĩa 1.1.1, ta thấy mọi phương trình sai phân cấp k có thể
đưa về dạng tương đương sau đây
F
1
(n, x(n + k), x(n + k − 1), , x(n + 1), x(n)) = 0. (1.5)
Trường hợp riêng sau đây của (1.5) gọi là một phương trình sai phân
cấp k dạng chính tắc
x(n + k) = f (n, x(n + k − 1), x(n + k − 2), , x(n + 1), x(n)). (1.6)
Trường hợp đặc biệt sau đây của (1.6) được gọi là phương trình sai
phân tuyến tính cấp k
x(n + k) + a
k−1
(k)x(n + k −1) + ···+ a
1
(k)x(k + 1) + a
0
(k)x(k) = f(k).

(1.7)
Nếu f(k) ≡ 0 thì ta có phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất
x(n+k)+a
k−1
(k)x(n+k−1)+···+a
1
(k)x(k+1)+a
0
(k)x(k) = 0. (1.8)
Nếu các hệ số a
i
(k) đều không phụ thuộc vào k thì ta có phương trình
sai phân hệ số hằng.
Tính chất của phương trình sai phân tuyến tính
1/ Nếu x
1
(n) và x
2
(n) là nghiệm của (1.8) thì với mọi hằng số α, β có
x(n) = αx
1
(n) + βx
2
(n) cũng là nghiệm của (1.8).
5
Chương 1. Phương trình sai phân và một vài ứng dụng
2/ Nếu x
1
(n), x
2

(n), , x
k
(n) là các nghiệm độc lập tuyến tính của (1.8)
thì nghiệm tổng quát của (1.8) là:
x(n) = c
1
x
1
(n) + c
2
x
2
(n) + ···+ c
k
x
k
(n)
với c
1
, c
2
, , c
k
là các hằng số tùy ý.
3/ Nếu x(n) là nghiệm tổng quát của (1.8) và ˆx(n) là một nghiệm riêng
của (1.7) thì x(n) = x(n) + ˆx(n) là nghiệm tổng quát của (1.7).
4/ Nguyên lý chồng chất nghiệm được phát biểu tương tự với phương trình
vi phân (xem [3]).
Điều kiện ban đầu của phương trình sai phân cấp k tại k = k
0

thường
được cho như sau





















x(k
0
− k + 1) = x
0
−k+1
x(k
0

− k + 2) = x
0
−k+2

x(k
0
− 1) = x
0
−1
x(k
0
) = x
0
0
.
Trong đó (x
0
−k+1
, x
0
−k+2
, , x
0
−1
, x
0
0
) là một bộ gồm k vector cho trước trong
R
p

.
Phương trình sai phân phi tuyến dạng chính tắc
Phương trình sai phân chính tắc cấp k (1.5) (trong không gian X nào đó)
cũng thường được viết theo cách sau
x(n + 1) = f(n, x(n), x(n −1), , x(n − k + 1)).
Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm của phương trình này không đòi hỏi
tính liên tục, tính Lipschtz của hàm f. Đây là một điểm khác biệt (đơn
giản hơn) so với trường hợp phương trình vi phân. Với điều kiện ban đầu
x(n
0
) = x
0
1
; x(n
0
− 1) = x
0
2
; ; x(n
0
− k + 1) = x
0
k
, việc tìm công thức
6
Chương 1. Phương trình sai phân và một vài ứng dụng
nghiệm của phương trình chính tắc thỏa mãn điều kiện ban đầu này là
không khó. Quả vậy, bằng cách truy hồi liên tiếp từ n
0
, ta có:

x(n
0
+ 1) = f(n
0
, x(n
0
), x(n
0
− 1), , x(n
0
− k + 1))
= f(n
0
, x
0
1
, x
0
2
, , x
0
k
).
x(n
0
+ 2) = f(n
0
+ 1, x(n
0
+ 1), x(n

0
), , x(n
0
− k + 2))
= f(n
0
+ 1, f(n
0
, x
0
1
, x
0
2
, , x
0
k
), x
0
2
, , x
0
k−1
).
x(n
0
+ 3) = f(n
0
+ 2, x(n
0

+ 2), x(n
0
+ 1), , x(n
0
− k + 3))
=
Đây là một biểu thức truy hồi mặc dù là tường minh nhưng trong
trường hợp tổng quát nó không thật cụ thể, trừ các trường hợp đặc biệt
(xem [2, 10]). Ta muốn cụ thể hóa chúng, bắt đầu từ các trường hợp đơn
giản ở các mục sau:
1.2 Phương trình sai phân trong R
1
và một
vài ứng dụng
1.2.1 Phương trình sai phân tuyến tính cấp k hệ số
hằng
Xét phương trình sai phân (xem [3, 7])
x(n + k) + a
k−1
x(n + k − 1) + ··· + a
1
x(n + 1) + a
0
x(n) = f (n) (1.9)
và phương trình thuần nhất tương ứng
x(n + k) + a
k−1
x(n + k − 1) + ··· + a
1
x(n + 1) + a

0
x(n) = 0. (1.10)
7
Chương 1. Phương trình sai phân và một vài ứng dụng
Phương trình đặc trưng
P (λ) = λ
k
+ a
k−1
λ
k−1
+ ···+ a
1
λ + a
0
= 0. (1.11)
Định lý 1.2.1. Nếu phương trình đặc trưng (1.11) có k nghiệm thực phân
biệt là λ
1
, λ
2
, , λ
k
thì nghiệm tổng quát của (1.10) là
x(n) = c
1
λ
n
1
+ c

2
λ
n
2
+ ···+ c
k
λ
n
k
, (c
1
, c
2
, , c
k
là các hằng số).
Nếu có λ
j
= α
j
+ iβ
j
(nghiệm phức đơn) thì số hạng c
j
λ
n
j
được thay
bởi
(α

j
)
n
[c
0
j
cos nβ
j
+ c
1
j
sin nβ
j
] (1.12)
Nếu λ
j
là nghiệm thực bội s thì ở công thức nghiệm tổng quát, số hạng
c
j
λ
n
j
được thay bởi P
s−1
(n)λ
n
j
, trong đó
P
s−1

(n) = (c
0
j
+c
1
j
n+c
2
j
n
2
+···+c
s−1
j
n
s−1
) (đa thức tổng quát bậc s − 1).
Nếu λ
j
là nghiệm phức bội s thì ở (1.12) thay c
0
j
bởi P
s−1
(n) và c
1
j
bởi
Q
s−1

(n), trong đó P
s−1
(n), Q
s−1
(n) là các đa thức tổng quát bậc s −1 của
n.
Định lý 1.2.2. Giả sử f(n) = P
m
(n)α
n
. Khi đó nếu α là nghiệm bội s
của phương trình đặc trưng thì có thể tìm một nghiệm riêng của phương
trình (1.9) ở dạng
ˆx(n) = n
s−1
Q
m
(n)α
n
.
Giả sử f(n) = [P
m
(n) cos nβ + Q
l
(n) sin nβ]α
n
, trong đó λ = α + iβ
là nghiệm phức bội s của phương trình đặc trưng (1.11) thì có thể tìm được
một nghiệm riêng của phương trình (1.9) ở dạng
ˆx(n) = α

n
[R
h
(n) cos nβ + S
h
(n) sin nβ]n
s−1
trong đó h = max{m, l} và R
h
(n), S
h
(n) là các đa thức bậc h, hệ số chưa
xác định của n.
8
Chương 1. Phương trình sai phân và một vài ứng dụng
1.2.2 Một vài ứng dụng
Ta tìm hiểu cách vận dụng kiến thức về phương trình sai phân đã xét trên
đây cho một số bài toán trong Số học, Đại số, Giải tích.
1.2.2.1. Tính tổng của một dãy số
Ví dụ 1.2.3. Tính tổng S
1
= 1
3
+ 2
3
+ 3
3
+ ···+ n
3
.

Lời giải. Đặt ∆x(k) = k
3
hay
x(k + 1) −x(k) = k
3
. (*)
Đây là một phương trình sai phân tuyến tính cấp một hệ số hằng.
Phương trình thuần nhất tương ứng là
x(k + 1) −x(k) = 0. (**)
Phương trình đặc trưng là: λ −1 = 0 ⇔ λ = 1. Vậy nghiệm tổng quát
của phương trình thuần nhất (∗∗) là:
x(n) = c · 1
n
= c.
Do f(k) = k
3
= 1
n
· P
3
(n) và α = 1 là nghiệm của phương trình đặc
trưng nên ta có thể tìm nghiệm riêng của phương trình (∗) ở dạng:
ˆx(n) = n(An
3
+ Bn
2
+ Cn + D).
Tính ˆx(n + 1) và thay ˆx(n), ˆx(n + 1) vào phương trình (∗), so sánh các
hệ số của n, ta có hệ phương trình
















4A = 1
6A + 2B = 0
4A + 3B + 2C = 0
A + B + C + D = 0
⇔


















A =
1
4
B = −
1
2
C =
1
4
D = 0.
9
Chương 1. Phương trình sai phân và một vài ứng dụng
Vậy nghiệm tổng quát của phương trình không thuần nhất (∗) là
x(n) = x(n) + ˆx(n) = c +
1
4
· n
4
−
1
2
· n
3
+

1
4
n
2
.
Mặt khác theo tính chất của sai phân, ta có
S
1
=
n

k=1
k
3
=
n

k=1
∆x(k) = x(n + 1) −x(1)
=
1
4
· (n + 1)
4
−
1
2
· (n + 1)
3
+

1
4
· (n + 1)
2
−
1
4
+
1
2
−
1
4
=
n
2
(n + 1)
2
4
1.2.2.2. Tính định thức
Ví dụ 1.2.4. Tính định thức cấp n:
D(n) =













3 2 0 0 . . . 0
1 3 2 0 . . . 0
0 1 3 2 . . . 0
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
0 0 0 0 . . . 3












Lời giải. Phân tích định thức trên theo dòng một, ta được
D(n) = 3D(n−1)−2D(n−2) ⇔ D(n)−3D(n−1)+2D(n−2) = 0. (*)
Đây là một phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất cấp hai hệ số
hằng, với điều kiện ban đầu:










D(1) = 3
D(2) =






3 2
1 3






= 9 − 2 = 7
Phương trình đặc trưng
λ
2
− 3λ + 2 = 0 ⇒

λ = 1
λ = 2.
10
Chương 1. Phương trình sai phân và một vài ứng dụng

Nghiệm tổng quát của (∗) với điều kiện ban đầu:









D(n) = C
1
+ C
2
2
n
D(1) = 3
D(2) = 7
⇒



C
1
= −1
C
2
= 2.
Vậy D(n) = 2
n+1

− 1.
1.2.2.3. Tìm quy luật của một dãy vec tơ
Ví dụ 1.2.5. Tìm quy luật của dãy vector (x(n), y(n))
T
, trong đó:
x(n) : 1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729,
y(n) : 7, 19, 37, 65, 91, 127, 169, 217,
Lời giải. Từ dãy số liệu của x(n), ta thấy
∆x(0) = 7 ∆
2
x(0) = 12 ∆
3
x(0) = 6 ∆
4
x(0) = 0
∆x(1) = 19 ∆
2
x(1) = 18 ∆
3
x(1) = 6
∆x(2) = 37 ∆
2
x(2) = 24
∆x(3) = 61

Tương tự: ∆
4
x(1) = ∆
4
x(2) = = 0. Một cách tổng quát

∆
4
x(n) = x(n + 4) −4x(n + 3) + 6x(n + 2) −4x(n + 1) + x(n) = 0.
Mặt khác, từ bảng số liệu của x(n), y(n) ta thấy y(n) = ∆x(n) hay
x(n + 1) = y(n) + x(n).
11
Chương 1. Phương trình sai phân và một vài ứng dụng
Như vậy, ta có hệ phương trình sai phân tuyến tính với điều kiện ban
đầu









x(n + 4) − 4x(n + 3) + 6x(n + 2) − 4x(n + 1) + x(n) = 0 (∗)
x(n + 1) = y(n) + x(n) (∗∗)
x(0) = 1, x(2) = 8, x(3) = 27, x(4) = 64; y(1) = 7. (∗ ∗∗)
Phương trình đặc trưng của (∗) là:
λ
4
− 4λ
3
+ 6λ
2
− 4λ + 1 = 0 ⇔ λ = 1 (bội 4).
Vậy nghiệm tổng quát của (∗) có dạng:

x(n) = (an
3
+ bn
2
+ cn + d) · 1
n
Thay điều kiện ban đầu:





















x(n) = an
3

+ bn
2
+ cn + d
x(0) = 1
x(1) = 8
x(2) = 27
x(3) = 64
⇔

















a =
1
2
b = 5
c =

3
2
d = 1.
Vậy x(n) =
1
2
n
3
+ 5n
2
+
3
2
n + 1. Tiếp theo từ (**) và (***), ta có
y(n) = x(n + 1) −x(n) = =
3
2
n
2
+
23
2
n + 7.
Dãy vector cần tìm là:
(x(n); y(n)) =

1
2
n
3

+ 5n
2
+
3
2
n + 1;
3
2
n
2
+
23
2
n + 7

.
1.2.2 Các ứng dụng khác. Kết quả về việc giải các phương trình sai
phân trong R
1
cũng thường được sử dụng để tính các tích phân có chứa
tham số n ∈ Z
+
, để xét tính chất của các dãy số liệu trên thang thời gian
Z hoặc để giải một số phương trình đơn giản trong không gian có số chiều
lớn hơn 1.
12
Chương 1. Phương trình sai phân và một vài ứng dụng
1.3 Phương trình sai phân tuyến tính trong
R
p

Ở mục trên ta đã có cách giải phương trình sai phân tuyến tính cấp k
hệ số hằng nếu biết được tập nghiệm của phương trình đặc trưng. Trường
hợp hệ số biến thiên (hay còn gọi là hệ nonautonomous) cách giải nói trên
với k đủ lớn là không hiệu quả. Để tìm hướng giải quyết khác, đầu tiên
ta nhận xét rằng bằng cách tăng số chiều của không gian ta luôn đưa mọi
phương trình sai phân tuyến tính cấp k về cấp một. Trường hợp đơn giản
nhất: Đưa phương trình sai phân cấp k trong R
1
về một phương trình sai
phân cấp một trong R
k
.
Xét phương trình sai phân tuyến tính dạng chính tắc:
x(n + k) =
a
k−1
x(n+k−1)+a
k−2
x(n+k−2)+···+a
1
x(n+1)+a
0
x(n)+f(n). (1.13)
Đặt






















y
1
(n) = x(n)
y
2
(n) = x(n + 1) = y
1
(n + 1)

y
k−1
(n) = x(n + k − 2) = y
k−2
(n + 1)
y

k
(n) = x(n + k − 1) = y
k−1
(n + 1).
Khi đó, ta có một hệ các phương trình sai phân cấp một:




























y
1
(n + 1) = y
2
(n)
y
2
(n + 1) = y
3
(n)
y
3
(n + 1) = y
4
(n)

y
k−1
(n + 1) = y
k
(n)
y
k
(n + 1) = a
0
y
1
(n) + a

1
y
2
(n) + ···+ a
k−2
y
k−1
(n) + a
k−1
y
k
(n) + f(n).
13
Chương 1. Phương trình sai phân và một vài ứng dụng
Đặt A =








0 1 0 0 . . . 0
0 0 1 0 . . . 0
0 0 0 1 . . . 0
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
a
0
a

1
a
2
a
3
. . . a
k








, Y (n) =






y
1
(n)
y
2
(n)
.
.

.
y
k
(n)






và F (n) =








0
0
.
.
.
0
f(n)









. Khi đó, phương trình (1.13) trở thành
Y (n + 1) = AY (n) + F (n). (1.14)
Ngược lại, ta cũng có thể đưa một phương trình sai phân tuyến tính
cấp một trong R
p
về một phương trình sai phân tuyến tính cấp k trong
R
1
. Một cách tổng quát, mỗi phương trình sai phân tuyến tính cấp l trong
R
d
đều có thể đưa về một phương trình sai phân tuyến tính cấp một trong
R
l+d
. Vì vậy, không giảm tính tổng quát khi ta xét các phương trình sai
phân tuyến tính cấp một:
x(n + 1) = A(n)x(n) + f (n). (1.15)
Phương trình thuần nhất của nó là:
x(n + 1) = A(n)x(n). (1.16)
1.3.1 Nghiệm tổng quát của hệ thuần nhất.
Đầu tiên, ta nghiên cứu nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất
(1.16). Giả sử A(n) xác định trên Z. Cho một cặp (n
0
, x
0
) ∈ Z ×R

p
tùy ý.
Nghiệm của (1.16) với điều kiện ban đầu (n
0
, x
0
) được xác định như sau
14
Chương 1. Phương trình sai phân và một vài ứng dụng
(xem [6,7,9]):






















x(n
0
) = x
0
x(n
0
+ 1) = A(n
0
)x(n
0
) = A(n
0
)x
0
x(n
0
+ 2) = A(n
0
+ 1)A(n
0
)x
0

x(n) = A(n − 1)A(n −2) ···A(n
0
)x
0
.
Đặt Φ(n, n

0
) = A(n − 1)A(n −2) ···A(n
0
+ 1)A(n
0
) =
n−1

i=n
0
A(i)
và C = x(n
0
) - vector hằng tùy ý. Khi đó, ta có
x(n) = Φ(n, n
0
)C. (1.17)
Ma trận
Φ(n, m) = A(n − 1)A(n −2) ···A(m + 1)A(m) (m ≤ n) (1.18)
gọi là ma trận nghiệm cơ bản của phương trình (1.16) và (1.15).
Trong trường hợp ma trận A không suy biến với mọi n ∈ Z, ta có
Φ(n, m) = Φ(n, 0)Φ
−1
(m, 0)
= A(n − 1) ···A(1)A(0)[A(m − 1)A(m − 2) ···A(1)A(0)]
−1
= A(n − 1)A(n − 2) ···A(m + 1)A(m)
(1.19)
Trong trường hợp mọi A(n) không suy biến, ma trận sau đây gọi là ma
trận Green:

Φ(n, m) = Φ(n, 0)Φ
−1
(m, 0).
Ma trận này xác định với mọi m, n ∈ Z, kể cả m > n. Ma trận Green có
các tính chất [6,7]:
1/ Φ(n, n) = I với mọi n ∈ Z.
15
Chương 1. Phương trình sai phân và một vài ứng dụng
2/ Φ(m, l)Φ(l, n) = Φ(m, n).
3/ Nghiệm tổng quát của (1.16) là x(n) = Φ(n, m)x(m).
1.3.2 Nghiệm tổng quát của hệ không thuần nhất.
Từ nghiệm tổng quát của (1.16) ở dạng (1.17):
x(n) = Φ(n, n
0
)C
bằng phương pháp biến thiên hằng số ta có thể tìm được công thức nghiệm
tổng quát của phương trình sai phân tuyến tính không thuần nhất (1.15).
Giả sử A(n) không suy biến với mọi n ∈ Z. Ta làm như sau: Ở (1.17) coi
C là một hàm của n, tức là C = C(n). Khi đó
x(n) = Φ(n, n
0
)C(n) ⇒ x(n + 1) = Φ(n + 1, n
0
)C(n + 1).
Thay x(n), x(n + 1) vào (1.15), ta được
Φ(n + 1, n
0
)C(n + 1) = A(n)Φ(n, n
0
)C(n) + f(n)

⇔ Φ(n + 1, n
0
)C(n + 1) = Φ(n + 1, n
0
)C(n) + f(n)
⇔ C(n + 1) −C(n) = Φ
−1
(n + 1, n
0
)f(n).
(1.20)
Từ (1.20), ta có:















C(n
0
+ 1) −C(n

0
) = Φ
−1
(n
0
+ 1, n
0
)f(n
0
)
C(n
0
+ 2) −C(n
0
+ 1) = Φ
−1
(n
0
+ 2, n
0
)f(n
0
+ 1)

C(n) − C(n − 1) = Φ
−1
(n
0
+ n −1, n
0

)f(n
0
+ n −2).
Lấy C = C(n
0
), khi đó ta có
C(n) = C +
n−1

i=1
Φ
−1
(n
0
+ i, n
0
)f(n
0
+ i −1). (1.21)
16
Chương 1. Phương trình sai phân và một vài ứng dụng
Thay (1.21) vào (1.17), ta có nghiệm tổng quát của (1.15) là
x(n) = Φ(n, n
0
)[C +
n−1

i=1
Φ
−1

(n
0
+ i, n
0
)f(n
0
+ i −1)]
⇔ x(n) = Φ(n, n
0
)C +
n−1

i=1
Φ(n, n
0
+ i)f(n
0
+ i −1)
(1.22)
Hai trường hợp riêng:
1) Nếu lấy n
0
= 0 thì
x(n) = Φ(n, 0)C +
n−1

i=1
Φ(n, i)f(i − 1).
2) Nếu A là ma trận hằng và n
0

= 0 thì
x(n) = A
n
C +
n−1

i=1
A
n−i
f(i − 1).
Dưới đây chúng tôi đưa ra một số ví dụ (tự tìm) để cụ thể hóa (đến
từng phần tử của ma trận) các công thức tổng quát rất khó chi tiết hóa
ở trên. Việc làm tương tự không phải luôn thực hiện được cho hệ tổng quát.
Ví dụ 1.3.1. Tìm nghiệm tổng quát của:













x
1
(n + 1) =

1
2
x
1
(n) +
√
3
2
x
3
(n) (x
i
∈ R
1
)
x
2
(n + 1) = 4
n
x
2
(n)
x
3
(n + 1) = −
√
3
2
x
1

(n) +
1
2
x
3
(n).
(1.23)
Lời giải. A(n) =






1
2
0
√
3
2
0 4
n
0
−
√
3
2
0
1
2







. Ta có det(A(n)) = 4
n
khác 0 với
mọi n ∈ Z. Vậy A(n) không suy biến với mọi n. Lấy n
0
= 0, C = x(0) ∈
17
Chương 1. Phương trình sai phân và một vài ứng dụng
R
3
, theo (1.17) ta có
x(n) = Φ(n, 0)C =
n−1

i=0
A(i)C. (1.24)
Công thức (1.24) còn chưa thật cụ thể, ta muốn tính toán cụ thể tới
từng phần tử. Ta thấy
A(n) =






cos
π
3
0 sin
π
3
0 4
n
0
−sin
π
3
0 cos
π
3





Bằng phương pháp quy nạp, ta có thể chứng tỏ:
Φ(n, 0) =





cos n
π
3

0 sin
nπ
3
0 2
n
2
−n
0
−sin
nπ
3
0 cos
nπ
3





Vậy với C = x
0
T
= (x
0
1
, x
0
2
, x
0

3
)
T
ta có









x
1
(n) = x
0
1
cos
nπ
3
+ x
0
3
sin
nπ
3
x
2
(n) = 2

n
2
−n
x
0
2
x
3
(n) = −x
0
1
sin
nπ
3
+ x
0
3
cos
nπ
3
.
1.3.3 Ứng dụng kết quả trong R
1
cho phương trình
trong R
p
Công thức nghiệm tổng quát của hệ x(n + 1) = Ax(n), x ∈ R
p
là x(n) =
A

n
C và của hệ x(n + 1) = Ax(n) + f(n) là
x(n) = A
n
C +
n−1

i=1
A
n−i
f(i − 1).
Đây đều là các công thức tường minh nhưng chưa thật cụ thể. Việc
tính lũy thừa A
n
không phải bao giờ cũng thuận tiện. Vì vậy ta cần nhiều
18
Chương 1. Phương trình sai phân và một vài ứng dụng
kỹ thuật khác nhau để làm việc này. Khi số chiều của R
p
là nhỏ, ta có thể
đưa về phương trình trong R
1
chẳng hạn như ở ví dụ sau:
Ví dụ 1.3.2. Giải hệ:



x(n + 1) = x(n) + 2y(n) + n (1∗)
y(n + 1) = −x(n) + 4y(n) + 2n + 1. (2∗)
Lời giải. Đặt X(n) =


x(n)
y(n)

, A =

1 2
−1 4

và F (n) =

n
2n + 1.

.
Khi đó, hệ trên có dạng
X(n + 1) = AX(n) + F (n). (3*)
Tránh việc tính A
n
trong công thức tính nghiệm tổng quát của hệ, ta
giải cách khác như sau: Từ (1∗) và (2∗) ta có y(n) =
1
2
[x(n + 1) − x(n) −n]
và
x(n + 2) = x(n + 1) + 2y(n + 1) + n + 1
= x(n + 1) + 2[−x(n) + 4y(n) + 2n + 1] + n + 1
= 5x(n + 1) − 6x(n) + n + 3.
Vậy ta đưa được hệ (1∗), (2∗) về hệ:




x(n + 2) − 5x(n + 1) + 6x(n) = n + 3 (4∗)
y(n) =
1
2
[x(n + 2) − x(n + 1) − n −1]. (5∗)
Giải (4∗) ta có: x(n) = C
1
2
n
+ C
2
3
n
+
1
2
n +
9
4
. Thay vào (5∗) ta có
y(n) = 3C
1
2
n
+ 6C
2
3
n

+
5
2
Vậy nghiệm của hệ (1∗), (2∗) là





x(n) = C
1
2
n
+ C
2
3
n
+
1
2
n +
9
4
y(n) = 3C
1
2
n
+ 6C
2
3

n
+
5
2
.
19
Chương 1. Phương trình sai phân và một vài ứng dụng
Ví dụ 1.3.3. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình không dừng:
u(k + 1) = A(k)u(k)
trong đó A(k) =






1
(k + 1)
2
k + 2
0

k + 1
k + 2

3







.
Lời giải. Do A(0) khác 0 nên ta có thể lấy điều kiện ban đầu tại k = 0
là (0, u
0
). Ma trận cơ bản:
Φ(k, 0) =






1
k
k + 1
0
1
(k + 1)
3






(*)
Ta có thể kiểm tra (∗) bằng phương pháp quy nạp. Nhắc lại rằng
Φ(k, 0) = A(k − 1)A(k − 2) ···A(1)A(0).

+ Với k = 2, ta có:
A(0) =





1
1
2
0
1
2
3





, A(1) =






1
2
2
3

0
2
3
3
3






, Φ(2, 0) =





1
2
3
0
1
3
3





Ta cần chỉ ra rằng Φ(2, 0) = A(1)A(0). Quả vậy, ta có

A(1)A(0) =






1
2
2
3
0
2
3
3
3











1
1
2

0
1
2
3





=






1
1
2
+
2
2
3
·
1
2
3
0
2
3

3
3
·
1
2
3






=





1
2
3
0
1
3
3






= Φ(2, 0) (Đúng).
20