sử dụng các phương pháp lyapunov để nghiên cứu tính ổn định của các phương trình vi phân và một số mô hình ứng dụng

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
NGUYỄN THỊ MƠ
SỬ DỤNG CÁC PHƯƠNG PHÁP LYAPUNOV ĐỂ NGHIÊN CỨU
TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA CÁC PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
VÀ MỘT SỐ MÔ HÌNH ỨNG DỤNG
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Hà Nội - Năm 2012
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
NGUYỄN THỊ MƠ
SỬ DỤNG CÁC PHƯƠNG PHÁP LYAPUNOV ĐỂ NGHIÊN CỨU
TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA CÁC PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
VÀ MỘT SỐ MÔ HÌNH ỨNG DỤNG
Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH
Mã số : 60 46 01
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
PGS.TS. ĐẶNG ĐÌNH C HÂU
Hà Nội - Năm 2012
Mục lục
Lời nói đầu 3
Lời cảm ơn 4
1 Một số tính chất nghiệm của phương trình vi phân tuyến tính
trong không gian Banach 5
1.1 Một số kiến thức cơ bản về lý thuyết các toán tử giới nội trong
không gian Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.1 Những mệnh đề tổng quát về hình học các không gian
Banach và ánh xạ tuyến tính của chúng . . . . . . . . . . . 5
1.1.2 Hàm các toán tử tuyến tính giới nội . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.3 Toán tử e-mũ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.1.4 Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1.5 Định lý Lyapunov tổng quát về các toán tử có phổ nằm ở
nửa mặt phẳng trái . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2 Phương trình vi phân tuyến tính trong không gian Banach với
toán tử hằng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2.1 Nghiệm của phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất
và khô ng thuần nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2.2 Dáng điệu nghiệm của phương trình thuần nhất trên khoảng
vô hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2.3 Tính giới nội của các nghiệm của phương trình thuần nhất 18
1
1.2.4 Điều kiện tồn tại nghiệm giới nội của phương trình không
thuần nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2 Về phương pháp Lyapunov đối với các phương trình vi phân và
một số ứng dụng 30
2.1 Các khái niệm cơ bản về sự ổn định của nghiệm củ a các phương
trình vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.2 Sự ổn định củ a hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất
với hệ số biến thiên( không ôtônôm) . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.2.1 Tính ổ n định của hệ tuyến tính thuần nhất với hệ số biến
thiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.2.2 Tính ổn định của phương trình vi phân có nhiễu phi tuyến 33
2.3 Các hàm xác định dấu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.4 Các định lí cơ bản của Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.5 Một số mô hình ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.5.1 Sự ổn định của quá trình chuyển động quay của một vật
thể rắn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.5.2 Sự ổn định của phi cơ đang chuyển động . . . . . . . . . . 46
2.5.3 Mô hình quần thể . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3 Về cân bằng tiệm cận và tương đương tiệm cận của phương

trình vi phân trong không gian Hilbert 49
3.1 Sự cân bằng tiệm cận của p hương trình vi phân tuyến tính trong
không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.2 Về sự tương đương tiệm cận của các phương trình vi phâ n trong
không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
Tài liệu tham khảo 58
2
Lời nói đầu
Việc nghiên cứu tính ổn đ ịnh củ a phương trình vi phân (PTVP) có ý nghĩa
quan trọng trong lý thuyết định tính các phương trình vi phân, đồng thời có
nhiều ứng dụng trong các mô hình thực tế. Vì vậy trong những năm gần đây đã
có rất nhiều công trình của các nhà khoa học trong và ngoài nư ớc đi sâu nghiên
cứu về lĩnh vực này. Mục đích chính của bản luận văn này là trình bày lại một
số kết quả cơ bản của tính chất của nghiệm PTVP tuyến tính trong không gian
Banach và một số ứng dụng của phương pháp Lyapunov đối với các mô hình cụ
thể trong khoa học kỹ thuật.
Bố cục của luận văn này gồm ba chương.
Chương 1: Trong chương một chúng tôi trình bày một số tính chất nghiệm của
phương trình vi phân tuyến tính trong không g ian Banach.
Chương 2: Trong chương hai chúng tôi trình bày một số kết quả cơ bản của
phương pháp Lyapunov trong việc ng hiên cứu tính ổ n định ng hiệm của các
phương trình vi phân . Sau đó trình bày một số ví d ụ minh họa trong các mô
hình thực tế .
Chương 3: Trình bày các kết quả về tính cân bằng tiệm cận và tương đương
tiệm cận của phương trình vi phân của các PTVP trong không gian Hilbert. Nội
dung của chương này dựa vào các kết quả nghiên cứu củ a : GS. TS Nguyễn Thế
Hoàn.
3
Chương 1
Một số tính chất nghiệm của

phương trình vi phân tuyến tính
trong không gian Banach
Nội dung chính trong chương này bao gồm các kiến thức chuẩn bị về toán tử
tuyến tính trong không gian Banach và một số tính chất nghiệm của các phươn g
trình vi phân tuyến tính với toán tử hằng. Các kết quả chính của chương này
được trích dẫn từ tài liệu [1].
1.1 Một số kiến thức cơ bản về lý thuyết các toán
tử giới nội trong kh ông gian Banach
1.1.1 Những mệnh đề tổng quát về hình học các không gian
Banach và ánh xạ tuyến tính của chúng
1. Không gian định chuẩn và không gian Banach
Tập hợp L đươc gọi là không gian định chuẩn thực (phức) nếu
1. L là không gian tuyến tính (vector) trên trường số thực (phức).
2. mỗi phần tử (vector) x ∈ L xác định một số k hông âm x - chuẩn của
phần tử x- có các tính chất sau:
5
(a) αx = |α| x mọi x ∈ L và với mọi số thực (phức) α.
(b) x + y ≤ x + y với mọi x, y ∈ L (bất đẳn g thức tam giác).
(c) x = 0 khi và chỉ khi x = 0.
Hàm số ρ (x, y) = x − y xác định trong không gian định chuẩn một metric, bở i
vậy L là một không gian metric.
Dãy {x
n
} ⊂ L được gọi là dãy cơ sở nếu lim
n,m→∞
x
n
− x
m
 = 0. Không gian

định chuẩn được gọi là không gian Banach nếu trong đó mọi dãy cơ sở đều có
giới hạn, đó là phần tử x ∈ L sao cho lim
n→∞
x
n
− x = 0 (nói cách khác không
gian Banach L(=B) là không gian đủ trong metric ρ (x, y) = x − y).
2.Toán tử tuyến tính
Giả sử B
1
và B
2
là các không gian Banach.
Ánh xạ A : B
1
→ B
2
được gọi là toán tử tuyến tính nếu:
A (αx + βy) = αAx+βAy
với mọi số α, β và mọi x, y ∈ B
1
.
Toán tử tuyến tính liên tục nếu nó liên tục tại x = 0.
Tính liên tục tương đương với tính giới nội của toán tử A, tức là tính hữu
hạn của đại lượng
A
def
=
sup


Ax
2
x
1
|x ∈ B
1
, x = 0

= sup {Ax
2
|x ∈ B
1
, x
1
= 1}
Tập các toán tử tuyến tính giới nội A : B
1
→ B
2
kí hiệu là [B
1
; B
2
]. Tập này
là không gian Ba nach với chuẩn được định nghĩa như trên và với phép cộng và
phép nhân toán tử với một số
(A + B) x = Ax + Bx; (αA)x = α (Ax)
Toán tử B : B
2
→ B

1
được gọi là toán tử ngược của toán tử A : B
1
→ B
2
và kí
hiệu B = A
−1
, nếu AB = I
2
; BA = I
1
, trong đó I
k
là toán tử đồng nhất trong
B
k
: I
k
x = x với mọi x ∈ B
k
(k = 1, 2) .
6
Định lý 1.1.1. Giả sử một toán tử A ∈ [B
1
, B
2
] là ánh xạ một-một tương ứng
từ không gian Banach B
1

tới không gian Banach B
2
. Khi đó toán tử nghịch đảo
của nó A
−1
là toán tử tuyến tính bị chặn và A
−1
∈ [B
1
, B
2
].
Tập các toán tử giới nội trong không gian B vào chính nó được kí hiệu ngắn
gọn là [B].
3. Tổng trực tiếp các không gian con và các phép chiếu
Một tập con tuyến tính đóng của không gian Banach B đượ c gọi là khôn g gian
con của nó. Ta nói rằng không gian Ba nach B được phân rã thành tổng trực
tiếp các không gian con B
1
và B
2
:
B = B
1
·
+ B
2
(1.1)
nếu mỗi phần tử x ∈ B được biểu diễn duy nhất dưới dạng
x = x

1
+ x
2
, (1.2)
trong đó x
1
∈ B
1
, x
2
∈ B
2
. Mỗi không gian con B
1
và B
2
là phần bù trực tiếp của
không gian con kia.
Phép khai triển (1.2) sinh ra hai toán tử P
k
: B → B
k
(k = 1, 2) được xác định
bởi các đẳng thức P
k
x = x
k
(k = 1, 2); trong đó x
1
và x

2
là các thành phần của x
trong khai triển (1.1). Các toán tử P
1
và P
2
có tính chất
P
2
k
= P
k
; P
1
+ P
2
= I; P
1
P
2
= P
2
P
1
= 0. (1.3)
Toán tử P ∈ [B] được gọi là phép chiếu nếu P
2
= P.
1.1.2 Hàm các toán tử tuyến tính giới nội
1. Phổ và giải thức

Giả sử B là một không gian Banach phức. Điểm λ của mặt phẳng phức được
gọi là điểm chính qui của toán tử A ∈ B nếu trong [B] tồn tại một toán tử (giải
thức của toán tử A), R
λ
= (A − λI)
−1
.
7
Tập hợp ρ (A) tất cả các điểm chính qui của toán tử A là mở. P hần bù σ (A) của
nó được gọi là phổ của toán tử . Phổ σ (A) luôn khác rỗng, đóng và nằm trong
hình tròn |λ| ≤ A. Chính xác hơn, phổ σ (A) nằm trong hình tròn có bán kính
r
A
bằng
r
A
= lim
n→∞
n

A
n

(Sự tồn tại giới hạn dễ dàng suy ra từ hệ thức


A
m+n



≤ A
m
 . A
n
)
Thật vậy, với mọi λ với |λ| > r
A
chuỗi
∞

k=0
λ
−(k+1)
A
k
hội tụ tuyệt đối trong metric
[B] , vì chuỗi tươ ng ứng từ các chuẩn được làm trội bởi cấp số nhân với công b ộ i
r
A
+ε
|λ|
với mọi ε > 0, bắt đầu từ chỗ nào đó. Khi nhân chuỗi đó với λI − A ta có
I.
Vậy, khi |λ| > r
A
luôn tồn tại giải thức, và hơn thế nữa
R
λ
= −
∞


k=0
λ
−(k+1)
A
k
. (1.4)
Có thể chỉ ra rằng trên đường tròn |λ| = r
A
luôn có một điểm của phổ σ (A).
Vì vậy giới hạn lim
n→∞
n

A
n
 được gọi là bán kính phổ của toán tử A.
1.1.3 Toán tử e-mũ
1. Định nghĩa e-mũ toán tử
Trong lý thuyết phương trình vi phân toán tử hàm e
At
đóng vai trò đặc biệt
quan trọng, nó có thể được đưa ra nhờ bất kì một trong hai hệ thức.
Đầu tiên ma trận e
A
xác định bởi
e
A
= lim
n→∞


I +
A
1!
+
A
2
2!
+ +
A
n
n!

=
∞

n=0
A
n
n!
,
e
At
= −
1
2πi

Γ
A
e

λt
(A − λI)
−1
dλ, (1.5)
e
At
=
∞

k=0
A
k
t
k
k!
. (1.6)
8
Lấy vi phân hệ thức (1.5) theo t dưới dấu tích phân ta được công thức
de
At
dt
= Ae
At
. (1.7)
Thật vậy,
de
At
dt
= −
1

2πi

Γ
A
λe
λt
(A − λI)
−1
dλ
=

−
1
2πi

Γ
A
λ(A − λI)
−1
dλ

×

−
1
2πi

Γ
A
e

λt
(A − λI)
−1
dλ

= Ae
At
].
1.1.4 Ví dụ
Ví dụ 1.1.1. Tìm e
tA
, biết: (a)A =

0 1
−1 0

; (b)B =

1 1
−1 −1

.
Lời giải:
a,Ta tính đư ợc
A =

0 1
−1 0

, A

2
=

−1 0
0 −1

, A
3
=

0 −1
1 0

, A
4
=

1 0
0 1

= I
Tương tự A
5
= A, A
6
= A
2
, Từ đó ta được:
e
tA

=

1 0
0 1

+t

0 1
−1 0

+
t
2
2!

−1 0
0 −1

+
t
3
3!

0 −1
1 0

+
t
4
4!


1 0
0 1

+
=




∞

n=0
(−1)
n
t
2n
(2n)!
∞

n=0
(−1)
n
t
2n+1
(2n+1)!
−
∞

n=0

(−1)
n
t
2n+1
(2n+1)!
∞

n=0
(−1)
n
t
2n
(2n)!




=

cos t sin t
− sin t cos t

Ở đây ta đã sử dụng công thức khai triển Taylor cos t =
∞

n=0
(−1)
n
t
2n

(2n)!
và
sin t =
∞

n=0
(−1)
n
t
2n+1
(2n+1)!
.
b,
A =

1 1
−1 −1

, A
2
=

0 0
0 0

, A
3
=

0 0

0 0

,
9
Vậy ta có
e
tA
=

1 0
0 1

+ t

1 1
−1 −1

+
t
2
2!

0 0
0 0

+
t
3
3!


0 0
0 0

+
=

1 + t t
−t 1 − t

2. Một số định lí
Định lý 1.1.2. Với toán tử A ∈ [B] bất kì thì hàm


e
At


có số mũ Lyapunov
chặt κ đồng thời thỏa mãn
κ = lim
t→∞
ln


e
At


t
= max {Reλ |λ ∈ σ (A)} (1.8)

Bổ đề 1.1.1. Nếu


e
At


≤ c với mọi t ∈ (−∞, +∞) thì phổ σ (A) phân bố trên
trục ảo.
1.1.5 Định lý Lyapun ov tổng quát về các toán tử có phổ n ằm
ở nửa mặt phẳng trái
Trong phần này các phép tính sẽ xét trong không gian Hilbert. Tích vô hướng
của các phần tử x, y ∈ B kí h iệu là (x, y). Điều kiện cần và đủ để toán tử tuyến
tính A : B → B giới nội (A ∈ [B]) là tồn tại một toán tử tuyến tính A
∗
: B → B
sao cho với mọi x, y ∈ B :(Ax, y) = (x, A
∗
y)
Cùng với A ∈ [B] thì cả A
∗
∈ [B], ngoài ra (A
∗
)
∗
= A. Toán tử A
∗
được gọi là
toán tử liên hợp đối với toán tử A. Ta có những tính chất đơn giản sau của toán
tử liên hợp:

1. (A + B)
∗
= A
∗
+ B
∗
, A, B ∈ [B],
2. (αA)
∗
=
αA
∗
,
3. (AB)
∗
= B
∗
A
∗
,
4. A = A
∗
,
5. Các phổ σ (A) và σ (A
∗
) phân bố đối xứng với trục thực.
10
Toán tử H ∈ [B] được gọi là Hermit nếu H = H
∗
. Toán tử Hermit có đặc trưng

là dạng Hermit (Hx, x), x ∈ [B] chỉ nhận giá trị thực. Phổ của toán tử σ (H) là
một tập đóng giới nội trên trục thực. Đoạn nhỏ nhất chứa ph ổ σ (H) được kí
hiệu là [λ
m
(H) , λ
µ
(H)]. Ở đây:
λ
m
(H) = inf {(Hx, x) |x = 1} ; λ
µ
(H) = sup {(Hx, x) |x = 1} ;
H = max {λ
µ
(H) ; −λ
m
(H)}.
Toán tử H ∈ [B] được gọi là dương (khôn g âm) nếu dạng (Hx, x) là dương (không
âm) với mọi x = 0. Đối với H không âm luôn có H = λ
m
(H).
Toán tử H được gọi là dương đều và viết H ≫ 0 nếu dạng (Hx, x) dương đều
trên hình cầu đơn vị S = {x |x = 1} trong B, tức là nếu λ
m
(H) > 0.
Tương tự ta định nghĩa các toán tử âm, không dươ ng và âm đều (và ý nghĩa
của cách viết H ≪ 0).
Rõ ràng rằng điều kiện để một toán tử không âm là khả nghịch là nó ph ả i dương
đều
Định lý 1.1.3. Định lý tổng quát Lyapunov.

Điều kiện cần và đủ để phổ của toán tử A nằm bên trong nửa mặt phẳng trái là
tồn tại toán tử dương đều W sao cho
Re(W A) ≪ 0.
Hơn thế nữa, nếu σ (A) nằm bên trong nửa mặt phẳng trái thì với mọi H ≫ 0
tồn tại toán tử W ≫ 0 sao cho Re(W A) = −H.
11
1.2 Phương trình vi p hân tuyến tí nh tron g không
gian Banach với toán tử hằng
1.2.1 Nghiệm của phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất
và không thuần nhất
1. Phương trình vi phân dạng vector
Giả sử B là không gian Banach, trong chương này chúng ta sẽ xét các phương
trình vi phân (PTVP) trong không gian Banach B dạng đơn giản nhất
dx
dt
= Ax + f(t) (1.9)
trong đó A ∈ B, không gian B được gọi là không gian pha của phương trình.
Đầu tiên ta xét phương trình vi ph â n thuần nhất
dx
dt
= Ax. (1.10)
Nghiệm của bài toán Cauchy cho phương trình này với điều kiện
x (t
0
) = x
0
(1.11)
được cho bởi công thức
x (t) = e
A(t−t

0
)
x
0
(1.12)
Nghiệm này có đạo hàm liên tục theo t và là một nghiệm của bài toán (1.10)-
(1.11).
Dễ dàng thử lại rằng nghiệm này là duy nhất trong lớp hàm khả vi. Chỉ cần
chứng minh rằng nếu một hàm liên tục x(t) thỏa mãn phương trình (1.10) bằng
0 tại t = t
0
, thì nó cũng bằng 0 trong lân cận nào đó của đ iểm này.
Thực vậy, hàm này phải thỏa mãn
x (t) =
t

t
0
Ax (s) ds ,
12
,
từ đó với ∀t, |t − t
0
| ≤ δ ta có đánh giá x (t) ≤ δ A sup
|t−t
0
|≤δ
x (s)
dẫn tới mâu thuẫn sup
|t−t

0
|≤δ
x (s) = 0 khi δ A < 1.
Sử dụng phương pháp biến thiên hằng số ta tìm nghiệm của bài toán Cauchy
cho phương trình không thuần nhất dưới dạng x (t) = e
A(t−t
0
)
y (t) ,
Sau khi thay, phương trình (1.9) ta được e
A(t−t
0
)
y
′
(t) = f (t) ,
Từ đó ta suy ra
y (t) = x
0
+
t

t
0
e
−A(s−t
0
)
f (s)ds,
và cuố i cùng có

x (t) = e
A(t−t
0
)
x
0
+
t

t
0
e
A(s−t
0
)
f (s)ds. (1.13)
Biểu thức (1.13) rõ ràng là một hàm khả vi.
Tính duy nh ất nghiệm của (1.13) của bài toán Cauchy (1.9)-(1.11) suy ra từ
tính duy nhất nghiệm của phương trình thuần nhất.
1.2.2 Dáng điệu nghiệm của phương trình thuần nhất trên
khoảng vô hạn
1. Xác định lại chuẩn
Dáng điệu nghiệm của phương trình vi phân của bài toán (1.10)-(1.11) trên
tại vô hạn phụ thuộc đáng kể vào sự phân bố phổ của toán tử A.
Giả sử rằng phổ σ (A) nằm trong nửa mặt phẳng trái. Khi đó từ (1.12), trên
cơ sở định lí (1.2) có đánh giá:
x(t) ≤ Ne
−ν(t−t
0
)

x (t
0
) (1.14)
∀t ≥ t
0
, N, ν > 0.
13
Ngược lại, cũng đú ng nếu (1.14) đúng với mọi nghiệm x(t) của phương trình
(1.10) thì phổ σ (A) nằm trong nửa mặt phẳng trái.
Dáng điệu nghiệm của phương trình (1.10) với giả thiết σ (A) nằm trong nửa
mặt phẳng trái có thể được mô tả rõ hơn nếu ta đưa vào một chuẩn mới tương
đương với chuẩn ban đầu
x
A
=
∞

0


e
As
x


ds. (1.15)
Rõ ràng trong chuẩn mới này thì nghiệm của (1.10) tiến tới 0 khi t → ∞
Thật vậy,
x (t)
A

=
∞

0


e
As
x (t)


ds =
∞

0



e
A(t+s)
x
0



ds =
∞

t




e
A(s)
x
0



ds
và do đó
d
dt
x (t)
A
= −


e
At
x
0


< 0.
Bây giờ chúng ta xét trường hợp σ (A) = σ
+
(A) ∪ σ
−
(A) (khi phổ của A phân

tách thành 2 tập phổ nằm trong nửa mặt phẳng phải và trái), đồng thời tập
phổ σ
+
(A) là không rỗng.
Giả sử P
+
và P
−
là các phép chiếu phổ với sự phân tích của ph ổ như trên
và cho B = B
+
+ B
−
là tương ứng với sự phân tách đó và B
+
và B
−
là sự khai
triển thành tổng trực tiếp của khô ng gian B tương ứng là bất biến dưới toán tử
e
At
(0 ≤ t < ∞), một nghiệm x (t) = e
At
x
0
xuất phát từ một điểm trong không
gian này thì không đi ra khỏi không gian con tương ứng.
Chúng ta đưa vào B chuẩn bất định:
x (t)
A

=
∞

0



e
At
P
−
x


−


e
−At
P
+
x



dt. (1.16)
Tính toán tương tự như trên ta được
x (t)
A
=

∞

0



e
As
e
At
P
−
x
0


−


e
−As
e
At
P
+
x
0




ds
=
∞

t


e
As
P
−
x
0


ds −
∞

−t


e
−As
P
+
x
0


ds

.
14
Do đó
(d/dt) x (t)
A
= −



e
At
P
−
x
0


+


e
At
P
+
x
0



< 0 (1.17)

và do đó chuẩn bất định của nghiệm bất kỳ nào của phương trình (1.10) không
tăng.
Chúng ta xét 2 trường hợp đặc biệt.
a, Giả sử P
+
x
0
= 0, x
0
∈ B
−
(P
−
B). Trong không gian con này x
A
≥ 0 và x
và x
A
là tương đương. Từ (1.17) suy ra x (t)
A
tiến tới 0.
Do đó nghiệm x (t) = e
At
x
0
của phươ ng trình (1.10) với vector gốc x
0
dần tới
0.
b, Giả sử P

−
x
0
= 0, x
0
∈ B
+
(= P
+
B). Trong không gian con này đại lượng
x
A
≥ 0 là một dạng vi phân tương đương x. Ta có
d
dt
x (t)
A
= x (t) ≥ −
1
M
x (t)
A
.
Lấy tích phân bất đẳng thức trên ta thấy − x(t)
A
≥ − x
0

A
e

(1/M)(t−t
0
)
,
Nghiệm với giá trị ban đầu trong B
+
tăng vô cùng khi t → ∞.
Chú ý rằng sự phân tích
x (t) = e
At
x
0
= e
At
P
−
x
0
+ e
At
P
+
x
0

= P
−
e
At
x

0
+ P
+
e
At
x
0

suy ra nghiệm bất kỳ mà P
+
x
0
= 0 sẽ tăng vô hạ n. Đặc b iệt khi phổ nằm trong
nửa mặt p hẳng phải σ (A) = σ
+
(A), thì nghiệm khác không tiến tới vô hạn khi
t → +∞, và chuẩn x (t)
A
đơn điệu tăng. Hơn nữa, trường hợp này dần đến
trường hợp ban đầu nếu ta thay thế A bởi −A và đổi chiều thời gian t.
Chúng ta nhớ lại rằng toán tử A với phổ phân đ ô i thành hai tập phổ tương ứng
nằm trong nửa mặt phẳng trái và n ửa mặt phẳng phải:σ (A) = σ
+
(A) ∪ σ
−
(A)
được gọi là nhị phân. Trong trường hợp này ta cũng nói phương trình vi phân
15
(1.10) là nhị phân.
Từ những lập luận trên suy ra ra rằng k hông gian pha B cuả phương trình nhị

phân tách được thành tổng trực tiếp B = B
+
·
+ B
−
.
2. Ý nghĩa hình học của chuẩn thay đổi
Nếu không gian pha B là không gian Hilbert, thì tất cả các lập luận được tiến
hành một cách tự nhiên với chuẩn x
A,2
thay cho x
A
.
Trong trường hợ p này việc thay đổi chuẩn có ý nghĩa hình học đơn giản.
Ban đầu giả sử A ≪ 0. Thì nghiệm của phương trình
dx/dt = Ax
thỏa mãn bất đẳng thức

x
′
(t) , x (t)

= (Ax (t) , x (t)) ≤ −cx (t)
2
,
Khi đó góc α giữa vector x(t) và x
′
(t) tiếp xúc với đường cong tích phân của
phương trình (1.10) thỏa mãn:
cosα = −

(x
′
(t), x(t))
x
′
(t) . x(t)
≤ −
cx (t)
2
A .x(t)
2
= −
c
A
Vậy, α ≥
π
2
+ arcsin

c
A

và trường vector của tiếp tuyến của đường cong
tích phân của phương trình (1.10) là tại mỗi điểm hướng chủ yếu vào tron g mặt
cầu có tâm là gốc tọa độ.
Bây giờ chúng ta xem xét trư ờng hợp tổng quát khi phổ σ (A) nằm trong nửa
mặt phẳng trái. Khi đó từ Định lí 1.1.3 tồn tại toán tử dương đều W giới nội
sao cho Re (W ) ≪ 0. Các suy luận trên vẫn đúng nếu các đánh giá được thực
hiện với chuẩn metric mới (x, y)
W

= (W x, y) tương đương với metric cũ.
Thật vậy tính bị chặn và tính dương đề u của toán tử W đảm bảo tính tương
đương topo của các chuẩn . và .
W
. Mặt khác, nếu
Re (W A) ≤ −cI (c > 0) thì đối với một nghiệm x(t) của phương trình (1.10) ta sẽ
có:
Re

x
′
(t), x(t)

W
= ([A
∗
W + W A] x, x) ≤ −c (x, x) ≤ −c
1
(x, x)
W
16
Ta nhớ lại, toán tử W có thể là một nghiệm của phương trình
A
∗
W + W A = −H, ở đó H là một toán tử dương đều tùy ý.
Ví dụ, đặt H = I, ta có:
W =
∞

0

e
A
∗
t
e
At
dt
(x, x)
W
= (W x, x) =
∞

0


e
At
x


2
dt
(1.18)
Trong trường hợp này hệ các mặt cầu được thay thế bởi hệ các mặt ellipxoit
(W x, x) = const với tâm là gốc mà các đường cong tích phân đi vào trong.
Việc xét trong không gian pha Banach chuẩn (1.15) là tương tự với (1.18),
sẽ bao hàm ý tưởng về hình học tổng quát về đề cập hình học trên liên quan tới
phương pháp thứ 2 Lyapunov.
Ở đây vai trò của các ellipxoit là các vậ t thể đối xứng tâm lồi được giới hạn
bởi các mặt x

A
= const.
Phức tạp hơn nhưng bức tranh hình học khá rõ ràng khi phổ của A có phần
tử n ằ m trong nửa mặt phẳng phải, tức là phươn g trình (1.10) gọi là nhị phân.
Đầu tiên xét trường hợp kh pha B là không gian Hilbert H.
Định lý 1.2.1. Phương trình (1.10) là nhị phân khi và chỉ khi là toán tử A là
W tán xạ đều đối với một toán tử Hermit khả nghịch bất định W ∈ H] là toán
tử Hermit có ngược thỏa mãn:
Re(W A) ≪ 0.
Với toán tử W bất kỳ thỏa mãn điều k iện này thì không gian con bất biến
H
+
(H
−
) đối với toán tử A ứng với phần của phổ σ
+
(A) (σ
−
(A)) nằm trong nửa
mặt phẳng phải(trái) là toán tử W âm đều(W -dương đều).
Dạng vô định (W x, x) sinh ra trong H hai hệ hyperboloid bởi phương trình
(W x, x) = c: hyperboloid cộng khi c > 0 và hype rb ilic trừ khi c < 0.
Không khó thử lại, với toán tử W tán xạ đều của A suy ra:
d (W x (t) , x (t))
dt
= 2Re(W Ax(t), x(t)) < 0 (x(t) = 0) ,
17
quan hệ này cho thấy dạng vô đ ịnh (W x, x) giảm với mọi nghiệm x(t) của phương
trình (1.10).
Nếu điểm x

0
nằm trên hyperboloid trừ thì việc giảm tiếp của (W x, x) khi t
tăng có n g hĩa là quỹ đạo của x(t) cắt các hype rboloid với các giá trị âm có giá
trị tuyệt đối càng lớn và do đó quỹ đạo chạy ra vô cùng.
1.2.3 Tính giới nội của các nghiệm của phương trình thuần
nhất
1. Phương trình vi phân cấp 1
Ta hãy xác định điều kiện để nghiệm của phương trình thuần nhất dx/dt = Ax
là bị chặn trên toàn bộ trục th ực. Vì tập nghiệm của phương trình này xác định
bởi công thức x (t) = e
At
x
0
(x
0
= x (0)), từ điều kiện giới nội của nghiệm suy ra
bất đẳng thức:


e
At
x
0


≤ C
x
0
(−∞ < t < ∞) ,
trong đó hằng số C

x
0
chỉ phụ thuộc vào x
0
.
Vậy tập toán tử e
At
(−∞ < t < ∞) bị chặn tại mỗ i phần tử x
0
∈ B theo định
lí Banach-Stainhauss tập toán tử này b ị chặn đề u:


e
At


≤ c (−∞ < t < ∞) (1.19)
Từ đánh giá này, và từ hệ quả I.4.1 trong [1] suy ra rằng phổ của toán tử A nằm
trên trục ảo.
Ta có kết quả chính xác hơn nếu không gian pha B là kh ô ng gian Hilbert .
Thật vậy điều kiện (1.19) thỏa mãn nếu và chỉ nếu toán tử A đồng dạng
với toán tử Hermit được n hân với đ ơn vị ảo (toán tử phản Hermit) A =
S
−1
(iB) S (B
∗
= B)
Vậy ta có kết quả sau:
Định lý 1.2.2. Nếu mỗi nghiệm của phương trình dx/dt = Ax bị chặn trên trục

18
thực thì phổ σ (A) nằm trên trục ảo.
Nếu không gian pha B là không gian Hilbert thì tất cả các nghiệm bị chặn khi
và chỉ khi toán tử A đồng dạng với một toán tử phản Hermit.
2. Phương trình vi phân cấp 2 trong không gian Banach
Chúng ta xét phương trình cấp 2:
d
2
y
dt
2
+ T y = 0, (1.20)
trong đó T ∈ [B].
Việc nghiên cứu phương trình này dẫn tới việc nghiên cứu phương trình cấp
1 trong không gian pha đôi B
(2)
= B
·
+ B có phần tử là cặp
x = (x
1
, x
2
) (x
1
, x
2
∈ B) và có chuẩn xác định bởi công thức
x
2

2
= x
1

2
+ x
2

2
. Đặt y = x
1
và dy/dt = x
2
, chúng ta thay phương trình
(1.20) bởi hệ
dx
1
dt
= x
2
;
dx
2
dt
= −T x
1
,
hoặc bởi phương trình tương đương với nó mà x = (x
1
, x

2
) trong B
2
dx
dt
= Ax. (1.21)
Trong đó
A ∈

B
(2)

được xác định bởi ma trận toán tử
A =

0 1
−T 0

.
Không khó để tính được
A
2k
= (−1)
k

T
k
0
0 T
k


; A
2k+1
= (−1)
k

0 T
k
−T
k+1
0

. (1.22)
Toán tử e
At
xác định nghiệm của (1.21) có dạng:
e
At
=
∞

n=0
t
n
A
n
n!
=
∞


k=0
t
2k
A
2k
(2k)!
+
∞

k=0
t
2k+1
A
2k+1
(2k + 1)!
. (1.23)
19
Áp dụng sự tương ứng giữa hàm vô hướng và hàm vector, ta có thể đặt:
cos T
1
/
2
t =
∞

n=0
(−1)
k
T
k

t
2k
(2k)!
.
Vơí k í hiệu này từ (1.22) và (1.23) suy ra:
e
A
=

cos T
1/2
t T
−1/2
sin T
1/2
t
−T
−1/2
sin T
1/2
t cos T
1/2
t

.
Công thức x(t) = e
A
x
0
, với x

0
= (y
0
, y
′
0
) bây giờ dẫn ta tới biểu diễn của
nghiệm của phương trình (1.20) thỏa mãn điều kiện:
y (0) = 0, y
′
(0) = y
′
0
, (1.24)
dưới dạng
y (t) =

cos T
1/2
t

y
0
+

T
−1/2
sin T
1/2
t


y
′
0
. (1.25)
Có thể thay trực tiếp để thử lại rằng hàm vecrtor (1.25) thỏa mãn phương
trình (1.20) và điều kiện (1.24). Từ công thức (1.25) suy ra rằng tính bị chặn
khi t ∈ (−∞, +∞) của mỗi nghiệm của phương trình (1.20) tương đương với tính
bị chặn của hàm toán tử cos T
1
/
2
t và T
−
1
/
2
sin T
1
/
2
t.
Bây giờ chúng ta chỉ ra rằng chỉ cần yêu cầu cho tính bị chặn của hàm toán
tử T
−
1
/
2
sin T
1

/
2
t (−∞ < t < +∞).
Xét hàm vector:
y (t) =

T
−1/2
sin T
1/2
t

y
0
.
Các đạo hàm của nó là: y
′
(t) =

cos T
1/2
t

y
0
và
y
′′
(t) = −


T
1/2
sin T
1/2
t

y
0
= −T y (t).
Theo giả thiết với mỗi y
0
∈ B cố định hàm vector y(t) tức là cả
y
′′
(t) = −T y(t) là bị chặn.
Nếu ta chứng minh rằng y
′
(t) cũng bị chặn thì tập hợp các toán tử cosT
1/2
t (−∞ < t < +∞)
20
là bị chặn với mỗi y
0
∈ B và do đó là bị chặn theo chuẩn(định lí Banach-
Steinhauss)
Vậy chỉ còn chỉ ra rằn g từ tính bị chặn của của y(t) và y
′′
(t) suy ra tính bị chặn
của y
′

(t).
Ta đặt
y
′′
(t) − y(t) = f(t). (1.26)
Hàm f(t) bị chặn trên trục th ực cùng với y(t) và y
′′
(t). Nếu ta coi phương trình
(1.26) như phương trình vi phân, ta có thể biểu diễn nghiệm là bị chặn trên
toàn trục thực nhờ công thức đã biết
y (t) =
1
2
+∞

−∞
e
−|t−s|
f(s)ds.
Lấy vi phân biểu thức đó theo t dễ dàng chỉ ra rằng
sup
t


y
′
(t)


≤ sup

t
f(t) < ∞.
Như vậy tính bị chặn của mỗi nghiệm của p hương trình vi phân cấp 2 (1.20)
trên trục thực tương đương với tính bị chặn của hàm toán tử
T
−1/2
cosT
1/2
t.
Đồng thời ta chứng minh được khẳng định sau: Để mọi nghiệm của phương
trình (1.20) là bị chặn thì điều kiện cần và đủ là nghiệm thỏa mãn điều kiện
y(0) = 0 là bị chặn.
3. Phương trình vi phân cấp 2 trong không gian Hilbert
Định lý 1.2.3. Để mỗi nghiệm của phương trình
d
2
y
dt
2
+ T y = 0 (−∞ < t < +∞)
trong không gian Hilbert  là bị chặn trên toàn trục thì điều kiện cần và đủ là
toán tử T đồng dạng với toán tử dương đều.
21
Chứng minh. Để chứng minh điều kiện đủ ta chú ý rằng nếu
T = S
−1
T
1
S, trong đó T
1

là dương đều, thì việc đặt y = Sx phương trình (1.20)
có dạng
d
2
x
dt
2
+ T
1
x = 0 Do đó không mất tổng quát ta có thể giả sử ngay từ
đầu rằng T ≫ 0.
Ta xét phương trình (1.21) là phương trình tương đương với (1.20), trong không
gian Hilb e rt đôi 
2
=  + . Tính trực tiếp ta chỉ ra rằng quan hệ sau là đúng
A = iQBQ
−1
trong đó
A =

0 1
−T 0

, B =

T
1/2
0
0 T
1/2


,
là toán tử Hermit trong B
(2)
, còn Q =

I I
−iT
1/2
iT
1/2

và
Q
−1
=
1
2

I iT
1/2
I −iT
1/2

là các toán tử bị chặn trong B
(2)
.
Vậy toán tử A là đồn g dạng với toán tử phản Hermit. Vì vậy mỗi nghiệm
của bị chặn trên trục thực.
Điều này suy ra tính bị chặn của mỗi nghiệm cùng với đạo hàm của phương

trình (1.20).
Ta chứng minh điều kiện cần.
Trước hết chú ý rằng nếu nghiệm của (1.20) là bị chặn thì đạo hàm của nó cũng
bị chặn. Thật vậy từ phương trình suy ra:
sup


y
′′
(t)


≤ T  sup y(t) , −∞ < t < +∞
Còn ở trên ta đã chỉ ra rằng từ tính bị chặn của một hàm và đạo hàm của cấp
2 của nó bị chặn suy ra tính bị chặn của đạo hàm cấp 1.
Do đó tính bị chặn của nghiệm của phương trình (1.20) tương ứng với tính bị
chặn của nghiệm c ủa tất cả các phương trình (1.21). Theo định lý (2.2) để chỉ
ra toán tử A đồng dạng với toán tử phản Hermit. Điều kiện sau có thể được
22
viết dưới dạng HA + A
∗
H = 0. Ở đây H là toán tử dương đều trong B
(2)
.
Thay và o đ ẳ ng thức này các ma trận
H =

H
11
H

12
H
21
H
22

, A =

0 1
−T 0

và nhân chúng với nhau ta có:
−H
22
T + H
11
= 0
Bây giờ ta chú ý rằn g tính dương đều của H trong H
2
suy ra tính dương đều
của H
11
và H
22
trong H thật vậy khi x = (x
1
, 0) ta có
(Hx, x)
2
= (H

11
x
1
, x
1
) ≥ m(H)(x, x)
2
= m(H)(x
1
, x
1
)
Tương tự chứng minh với H
22
. Điều này cho phép ta viết:
T = H
−1
22
H
11
= H
−1/2
22
DH
1/2
22
trong đó D = H
−1/2
22
H

11
H
1/2
22
là một toán tử dương đều.
Định lí được chứng minh.
Hệ quả 1.2.1. Trong không gian Hilbert  toán tử hàm T
−1/2
sin T
1/2
t bị chặn
khi v à chỉ khi T đồng dạng với toán tử dương đều.
1.2.4 Điều kiện tồn tại nghiệm giới nội củ a phương trình
không thuần nhất
1. Hàm Green
Chúng ta xét phương trình không thuần nhất
dx
dt
= Ax + f(t) (1.27)
23
với f (t) là hàm liên tục. Ta giả sử rằng phổ của toán tử A phân tách thành
2 tập phổ :
σ (A) = σ
1
(A) ∪ σ
2
(A). Kí hiệu B
1
và B
2

là hai không gian con bất biến của A
ứng với các tập này và P
1
và P
2
là p hép chiếu tương ứng. Ta nhớ lại rằng
(I.2.4) tài liệu [1]có:
P
k
= −
1
2πi

Γ
1
R
λ
dλ, (k = 1, 2)
Ta đưa vào hàm toá n tử Green s a u:
G(t) =





e
At
P
1
= −

1
2πi

Γ
1
R
λ
dλ; t > 0;
−e
At
P
2
=
1
2πi

Γ
2
R
λ
dλ; t < 0
(1.28)
Nó có tính chất sau:
1, Khi t = 0, G(t) khả vi liên tục và th ỏ a mãn phươn g trình thuần nhất:
dG(t)/dt = AG(t)
Điều này dễ dàng suy ra từ (1.28).
2, Bước nhảy của G(t) tại không bằng toán tử đồng nhất:
Thật vậy,
G(+0) = P
1

, G(−0) = −P
2
; G(+0) − G (−0) = P
1
+ P
2
= I.
3, Vector hàm
x(t) =
b

a
G(t − s)f (s)ds (1.29)
Ở đó f(t) là hàm liên tục thỏa mãn phương trình không thuần nhất (1.27) khi
24