sự ổn định của phương trình vi phân tuyến tính và phương trình vi phân tuyến tính có nhiễu trong không gian hilbert

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
KHOA TOÁN - CƠ - TIN HỌC
Đoàn Hồng Ngọ c
SỰ ỔN ĐỊNH CỦA
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH VÀ
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CÓ NHIỄU
TRONG KHÔNG GIAN HILBERT
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
Chuyên ngành: Toán Giải tích
Người hướng dẫn khoa học: PGS. TS. Đặng Đình Châu
Hà Nội-2011
Mục lục
Lời mở đầu 4
1 Không gian Hilbert và sự ổn định của phương trình vi phân trong
không gian Hilbert theo hai phương pháp của Lyapunov 6
1.1 Không gian Banach và không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2 Toán tử tuyến tính và phổ của nó . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.1 Toán tử tuyến tính, toán t ử đóng và bao đóng của toán tử . . . 8
1.2.2 Phổ của toán tử tuyến tính và ví dụ về phổ của toán tử Volterra 9
1.3 Sự ổn định theo Lyapunov của phương trình vi phân trong không gian
Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.3.1 Phương trình vi phân trong không gia n Hilbert . . . . . . . . . 15
1.3.2 Các khái niệm về sự ổn định của phương trình vi phân trong
không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.3.3 Sự ổn định của phương trình vi phân theo phương pháp hàm
Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.3.4 Sự ổn định của phương trình vi phân tuyến tính và tuyến tính
có nhiễu trong không gian Hilbert theo phương pháp xấp xỉ thứ
nhất Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2 Nửa nhóm liên tục mạnh có nhiễu và ứng dụng trong phương trình

truyền sóng 27
2.1 Nửa nhóm liên tục mạnh trong không gian Banach . . . . . . . . . . . 27
2.1.1 Định nghĩa nửa nhóm liên tục mạnh . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.1.2 Ví dụ về nửa nhóm liên tục mạnh . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.2 Toán tử sinh của nửa nhóm liên tục mạnh . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.2.1 Định nghĩa về toán tử sinh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.2.2 Tính chất của toán tử sinh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.2.3 Ví dụ về toán tử sinh của nửa nhóm . . . . . . . . . . . . . . . 33
2
2.2.4 Các định lý cơ bản về toán tử sinh của nửa nhóm co liên tục mạnh 35
2.3 Nửa nhóm liên tục mạnh có nhiễu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.3.1 Khái niệm nhiễu của toán tử sinh của nửa nhóm liên tục mạnh 42
2.3.2 Nửa nhóm liên tục mạnh có nhiễu bị chặn . . . . . . . . . . . . 42
2.4 Phương trình tiến hoá đặt chỉnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.5 Ứng dụng với phương trình truyền sóng . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.5.1 Không gian hàm và toán tử vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.5.2 Phương trình truyền sóng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
Kết luận 57
Tài liệu tham khảo 58
3
Lời mở đầu
Nghiên cứu dáng điệu nghiệm của các phương trình vi phân là một trong
những bài toán cơ bản của lý thuyết định tính các phương trình vi phân. Ngoài các
phương pháp của Lyapunov (1857-1918), gần đây phương pháp nửa nhóm đóng một
vai trò quan trọng trong việc nghiên cứu tính chất của các hệ động lực tuyến tính và
dáng điệu nghiệm của các phương trình vi phân trong không gian Hilbert.
Mặc dù đã trải qua một thời gian dài của sự hình thành và phát triển, các phương
pháp nghiên cứu tr ên vẫn được nhiều nhà khoa học quan tâm và nghiên cứu vì ngoài
các ý nghĩa sâu sắc trong lý thuyết toán họ c, nó còn góp phần quan trọng trong việc
nghiên cứu các mô hình ứng dụng trong vật lý học, hoá học và môi trường sinh thái.

Nội dung chính của luận văn gồm hai chương:
Trong chương một, chúng tôi dành cho việc trình bày một số khái niệm chuẩn bị và
các kết quả cơ bản về tính ổn định nghiệm của phương trình vi phân trong không gian
Hilbert nhờ phương pháp hàm Lyapunov và phương pháp xấp xỉ thứ nhất. Chúng tôi
xin lưu ý rằng các toán tử tuyến tính được xét ở vế phải của các phương trình vi phân
trong chương này đều thuộ c lớp các toán tử tuyến tính giới nội ( A ∈ L(X) ) và do đó
các nghiệm của phương trình vi phân tương ứng đều được hiểu theo nghĩa nghiệm cổ
điển.
Với mục đích tiếp tục mở rộng phương pháp xấp xỉ thứ nhất cho các bài toán tổng
quát hơn, trong chương hai chúng tôi đã tiệm cận với phương pháp nửa nhóm và chỉ
ra khả năng ứng dụng của nó trong việc nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm của
các phương trình vi phân trong không gian Hilbert. Nội dung chính của chương này
bao gồm lý thuyết về nửa nhóm liên tục mạnh, toán tử sinh của nửa nhóm, nửa nhóm
có nhiễu, đặc biệt là ứng dụng của lý thuyết nửa nhóm vào việc xét tính đặt chỉnh của
phương tr ình vi phân tuyến tính và tuyến tính có nhiễu vớ i toán tử ở vế phải là toán
tử tuyến tính không giới nội. Phần cuối của luận văn này, chúng tôi trình bày tóm tắt
về bài toán truyền sóng để chỉ ra khả năng ứng dụng thực tế của lý thuyết nửa nhóm
các toán tử tuyến tính.
Mặc dù đã hết sức cố gắ ng, song không tránh khỏi những hạn chế thiếu sót, tác
4
giả rất mong nhận được sự chỉ bảo, góp ý của quý thầy cô và bạn đọc để luận văn này
được hoàn thiện hơn. Tôi xin chân thành cảm ơn!
Nhân đây, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS. TS Đặng Đình Châu, người
đã tận tình hướng dẫn tôi trong suốt thời gian qua. Mặc dù bận rất nhiều công việc
nhưng Thầy vẫn luôn bảo ban, chỉ dẫn và đưa ra những ý kiến sâu sắc để giúp tôi hoàn
thành luận văn. Đồng thời, tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới các thầy cô
trong khoa Toán - Cơ - Tin học, trường Đại học Khoa Học Tự Nhiên, Đại học Quốc
gia Hà Nội đã tạo mọi điều kiện thuận lợi để tôi hoàn thành tốt chương trình cao học
và hoàn thành xong luận văn này. Và tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới
gia đình, bạn bè đã luôn bên tôi, khích lệ, động viên, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình

học tập và thực hiện luận văn tốt nghiệp.
5
Chương 1
Không gian Hilbert và sự ổn định
của phương trình vi phân trong
không gian Hilbert theo hai phương
pháp của Lyapunov
Trong chương này, đầu tiên chúng ta sẽ nhắc lại một số kiến thức cơ bản về không
gian Banach, không gian Hilbert, về toán tử tuyến tính và phổ của nó cùng ví dụ về
phổ của toán tử Volterra. Phần chính của chương là phần trình bày những kết quả cơ
bản về sự ổn định của phương trình vi phân tuyến tính và tuyến tính có nhiễu theo
phương pháp hàm Lyapunov và phương pháp xấp xỉ thứ nhất Lyapunov. Chú ý rằng
toán tử tuyến tính ở vế phải của các phương trình vi phân được xét trong phần này
chỉ là các toán tử giới nội.
1.1 Không gian Banach và không gian Hilbert
Định nghĩa 1.1.1. (Không gian tuyến tính định chuẩn)
Giả sử X là không gian vectơ trên trường vô hướng K các số thực R hay các số phức
C, X được gọi là không gian tuyến tính định chuẩn nếu với mỗi x ∈ X có xác định một
số không âm ||x|| (gọi là chuẩn của x ) thoả mãn các điều kiện sau:
• ||x|| ≥ 0 với mọi x ∈ X, ||x|| = 0 ⇔ x = 0;
• ||λx|| = |λ|||x||, v ới mọi λ ∈ K và với mọi x ∈ X;
• ||x + y|| ≤ ||x|| + ||y||, với mọi x, y ∈ X.
6
Định nghĩa 1.1.2. (Không gian đầy đủ)
Không gian X đầy đủ nếu mọi dãy Cauchy trong X đề u là dãy hội tụ, tức là {x
n
}
∞
n=1
là dãy Cauchy trong X thì tồn tại x

0
∈ X mà x
n
→ x
0
(n → ∞).
Định nghĩa 1.1.3. (Không gian Banach)
Nếu không gian tuyến tính địn h chuẩn (X, ||.||) là không gian đầy đủ thì (X, ||.||) gọi
là không gian Banach.
Ví dụ 1.1.1. (Không gian Euclide n-chiều)
Với mỗi số tự nhiên n, ký hiệu K
n
(K là R hoặc C) là tích n lần trường vô hướng
K.
K
n
:= {x = (x
1
, x
2
, , x
n
) : x
1
, x
2
, , x
n
∈ K}
Ta xác định chuẩn ·

2
trên K bởi
||x||
2
=




n

i=1
|x
2
i
|, x = (x
1
, x
2
, , x
n
) ∈ K
n
.
Khi đó K
n
là một không gian định chuẩn với chuẩn ·
2
. Không gian này gọi là không
gian Euclide n-chiều. Ta có thể chứng minh được K

n
là không gian Banach, xem [1]
trang 7.
Ví dụ 1.1.2. (Không gian các hàm liên tục)
Ký hiệu C[a, b] là không gian các hàm liên tục trên [a, b] với phép cộng các hàm và
nhân một hàm với một số được hiểu theo nghĩa thông thường. Bởi vì mọi hàm liên tục
trên một đoạn là bị chặn nên ta có thể xác định
||x|| = max
a≤t≤b
|x(t)|, x ∈ C[a, b].
Dễ thấy hàm x → ||x|| xác định như trên là một chuẩn trên C[a, b]. Như vậy C[a, b]
là một không gian tuyến tính định chuẩn. Ta có thể chứng minh C[a, b] là một không
gian Banach, xem [1] trang 7.
Định nghĩa 1.1.4. (Không gian tiền Hilbert)
Không gian tuyến tính X xác định trên trường số K (K là R hoặc C) được gọi là không
gian tiền Hilbert nếu mọi x, y ∈ X, xác định một số (x, y) gọi là tích vô hướng của x
và y thỏa mãn các tiên đề
• (x, x) ≥ 0 với mọi x ∈ X. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = 0.
7
• (x, y) = (y, x) với mọi x, y ∈ X.
• (αx + βy, z) = α(x, z) + β(y, z) với mọi α, β ∈ K và với mọi x, y, z ∈ X.
Định nghĩa 1.1.5. (Không gian Hilbert)
Không gian Hilbert là không gian tiền Hilbert đầy đủ vớ i chuẩn sinh bởi tích vô hướng
x =

(x, x), x ∈ X.
1.2 Toán tử tuyến tính và phổ của nó
1.2.1 Toán tử tuyến tính, toán tử đóng và bao đóng của toán
tử
Định nghĩa 1.2.1. (Toán tử tuyến tính)

Giả sử X, Y là các không gian tuyến tính định chuẩn trên trường K, toán tử A : X → Y
được gọi là tuyến tính nếu:
A(αx + βy) = αAx + βAy với mọi x, y ∈ X và với mọi α, β ∈ K.
Định nghĩa 1.2.2. Toán tử tuyến tính A được gọi là liên tục tại x
0
∈ X nế u với mọi
dãy x
n
hội tụ đến x
0
, ta đều có Ax
n
→ Ax
0
(n → ∞).
Định lý 1.2.1. (Xem [1], trang 22)
Nếu toán tử tuyến tính A liên tục tại điểm x
0
∈ X thì A liên tục tại mọi điểm x ∈ X.
Như vậy để kiểm tra tính liên tục của toán tử tuyến tính A (trong toàn không gian)
ta chỉ cần kiểm tra tính liên tục tại x = 0.
Định nghĩa 1.2.3. (Toán tử tuyến tính giới nội)
Giả sử X, Y là các không gian Banach. Toán tử A : X → Y được gọi là toán tử tuyến
tính giới nội (bị chặn) nếu A là toán tử tuyến tính và đưa mọi tập giới nội vào tập giới
nội.
Xuyên suốt khoá luận này ta sẽ kí hiệu L(X) là không gian các toán tử tuyến tính
giới nội trên X.
Định lý 1.2.2. (Xem [1], trang 22)
Toán tử tuyến tính A liên tục khi và chỉ khi nó giới nội.
8

Định lý 1.2.3. (Xem [1], trang 22)
Giả sử X, Y là các không gian Banach và A : X → Y là toán tử tuyến tính. Điều kiện
cần và đủ để toán tử A giới nội là tồn tại một số c > 0 sao c ho:
Ax  c x với mọi x ∈ X.
Định nghĩa 1.2.4. Giả sử X, Y là các không gian Banach. Chuẩn A của toán tử
tuyến tính liên tục A : X → Y là đại lượng:
A = sup
x1
Ax = sup
x=0
Ax
x
.
Định nghĩa 1.2.5. (Toán tử đóng)
Giả sử X, Y là các không gian Banach, D(A) là không gian vectơ con của X. Toán tử
tuyến tính A : D(A) ⊂ X → Y gọi là toán tử đóng nếu với mọi dãy {x
n
}
∞
n=1
⊂ D( A)
mà x
n
→ x, Ax
n
→ y thì x ∈ D(A) và Ax = y hay nói cách khác đ ồ thị G(A) =
{(x, Ax) : x ∈ D(A)} ⊂ X ×Y là tập đóng trong X ×Y.
Mệnh đề 1.2.1. Giả sử X, Y là cá c không gian Ban ach, D(A) là không gian vectơ
con của X. Nếu A : D(A) → Y là toán tử bị chặn thì A là toán tử đóng khi và chỉ khi
D(A) là không gian vectơ con đóng.

Chứng minh. Thật vậy, vì A bị chặn nên A liên tục. Giả sử {x
n
}
∞
n=1
⊂ D(A) : x
n
→ x,
Ax
n
→ y. Khi đó x ∈ D(A) khi và chỉ khi D(A) đóng. Ax = y do A liên tục và giới
hạn là duy nhất.
Định nghĩa 1.2.6. Giả sử X, Y là các không gian Banach, A : D(A) ⊂ X → Y . Khi
đó B : D(B) ⊂ X → Y gọi là mở rộng của A nếu D(A) ⊂ D(B) và Ax = Bx với mọi
x ∈ D(A).
Toán tử A gọi là có bao đóng nếu B là mở rộng của A và B là toán tử đóng.
1.2.2 Phổ của toán tử tuyến tính và ví dụ về phổ của toán tử
Volterra
Giả sử X là không gian Banach.
Định nghĩa 1.2.7. Xét toán tử tuyến tính A : D(A) ⊂ X → X với tập xác định D(A),
trong đó D(A) là khô ng gian vectơ con của X.
(i) Điểm λ ∈ C được gọi là giá trị chính quy của A nếu (λI − A) là song ánh giữa
D(A) và X đồng thời (λI − A)
−1
∈ L(X).
9
(ii) Tập các giá trị chính quy, ký hiệu ρ(A) được gọi là tập giải của toán tử A.
(iii) Tập hợp các điểm không phải là g i á trị chí nh quy của A gọi là phổ của toán tử A
(kí hiệu là σ(A)). Ta có σ(A) = C \ρ(A).
(iv) Toán tử R(λ, A) = (λI − A)

−1
được gọi là toán tử giải hoặc giải thức đối với toán
tử A.
Nếu A là toán tử đóng thì (λI − A) cũng là toán tử đóng (do λI liên tục). Do đó
nếu (λI −A)
−1
tồn tại thì cũng là toán tử đóng. Suy ra nếu (λI −A) là song ánh g iữa
D(A), A là toán tử đóng thì theo định lý đồ thị đóng (λI − A)
−1
là liên tục. Vậy đối
với toán tử đóng định nghĩa phổ có thể phát biểu lại là:
ρ(A) =

λ ∈ C : λI − A là song ánh giữa D(A) và X

.
σ(A) = C\ ρ(A) = {λ ∈ C : (λI −A) : D(A) → X không là song ánh}.
A. Một số tính chất của phổ
Định lý 1.2.4. Nếu toán tử A không có phổ là toàn mặt phẳng phức C thì A là toán
tử đóng. (Nếu A không đóng thì phổ là C.)
Chứng minh. Theo giả thiết, tồn tại λ /∈ σ(A). Khi đó B = (λI − A)
−1
∈ L(X);
B : X → D(A). Giả sử {x
n
}
n
⊂ D(A): x
n
→ x, Ax

n
→ y.
Đặt h
n
= (λI −A) x
n
. Suy ra lim
n↓∞
h
n
= λx−y. Vì B liên tục nên B(λx−y) = lim
n↓∞
Bh
n
=
lim
n↓∞
x
n
= x. Suy ra x ∈ D(A). Ta có: (λI − A)x = (λI − A)B(λx − y) = λx − y. Suy
ra Ax = y.
Vậy A là toán tử đóng.
Định lý 1.2.5. (Phương trình giải thức Hilbert)
Đối với λ, µ ∈ ρ(A), ta có phương trình giải thức sau:
R(λ, A) − R(µ, A) = (µ − λ)R(λ, A)R(µ, A).
Chứng minh. Ta có: λR(λ, A) − AR(λ, A) = I = µR(µ, A) − AR(µ, A).
Suy ra
[λR(λ, A) − AR(λ, A)]R(µ, A) = R(µ, A).
R(λ, A)[µR(µ, A) − AR(µ, A)] = R(λ, A).
Do A, R(λ, A) giao hoán nên

R(λ, A) − R(µ, A) = (µ − λ)R(λ, A)R(µ, A).
10
Hệ quả 1.2.1. Với mọi λ, µ ∈ ρ(A), R(λ, A), R(µ, A) giao hoán và:
R(λ, A) − R(µ, A)
µ − λ
= R(λ, A)R(µ, A).
Định lý 1.2.6. Đối với toán tử đóng A : D(A) ⊂ X → X, các tính c hất sau xảy ra:
(i) Tập giải thức ρ(A) là m ở trong C và với µ ∈ ρ(A) ta có:
R(λ, A) =
∞

n=0
(µ − λ)
n
R
n+1
(µ, A)
với mọi λ ∈ C thoả m ãn: |µ − λ| < R(µ, A)
−1
.
(ii) Ánh xạ giải thức λ → R(λ, A) là giải tích địa phương với
d
n
dλ
n
R(λ, A) = (−1)
n
n!R(λ, A)
n+1
∀n ∈ N. (1.1)

(iii) Giả sử dãy số {λ
n
}
n
⊂ ρ(A) và lim
n→∞
λ
n
= λ
0
.
Khi đó λ
0
∈ σ(A) ⇔ lim
n→∞
R(λ
n
, A) = +∞.
Chứng minh xem [6], chương V, mệnh đề 1.3.
B. Phổ của toán tử tuyến tính bị chặn trong không gian Banach
Phổ của toán tử sẽ phụ thuộc vào loạ i không gian mà toán tử xác định trên đó và loại
toán tử mà ta xét đến. Sau đây ta xét toán tử tuyến tính bị chặn T trên không gian
Banach phức X.
Định lý 1.2.7. Cho T ∈ L(X) trong đó X là không gian Banach. Nếu T  < 1 thì
(I −T )
−1
tồn tại như một toán tử tuyến tính bị chặn trên không gian X và
(I −T )
−1
=

∞

j= 0
T
j
= I + T + T
2
+ + T
n
+ (1.2)
trong đó chuỗi bên vế ph ải hội tụ theo chuẩn trên L(X).
Chứng minh. Ta có  T
j
  T 
j
. Chuỗi

T 
j
hội tụ khi T  < 1. Do đó chuỗi
trong 1.2 hội tụ tuyệt đối khi T  < 1. Ta biết chuỗi hội tụ tuyệt đối suy ra hội tụ. Vì
vậy chuỗi trong 1.2 hội tụ. Kí hiệu vế phải của 1.2 là S, ta chứng minh S = (I −T)
−1
.
Đặt S
n
= I + T + + T
n
, ta có S
n

→ S. Xét
(I −T )(I + T + + T
n
) = (I + T + + T
n
)(I −T ) = I − T
n+1
.
Cho n → ∞. Khi đó T
n+1
→ 0 vì T  < 1. Ta suy ra (I − T)S
n
= S
n
(I − T ) → I.
Chứng tỏ S = (I −T )
−1
.
11
Định lý 1.2.8. (Định lý phổ)
Phổ σ(T ) = C\ρ(T ) của một toán tử tuyến tính bị chặn T : X → X trên một không
gian Banach phức X là compact và nằm trong hình tròn
λ  T . (1.3)
Do đó giải thức ρ(T ) của T khác rỗng.
Chứng minh. Với λ ∈ C, xét
(λI −T )
−1
= [λ(I −
1
λ

T )]
−1
=
1
λ
(I −
1
λ
T )
−1
(1.4)
Theo định lý 1.2.7 nếu
1
λ
T  =
1
λ
T  =
T 
λ
< 1 tức là |λ| > T  thì (λI −T )
−1
tồn
tại như một toán tử tuyến tính bị chặn trên không gian X. Như vậy nếu |λ| > T  thì
λ ∈ ρ(T ). Khi đó phổ σ(T ) = C\ρ(T ) phải nằm trong hình tròn 1.3. Vậy σ(T ) bị chặn
mà σ(T ) đóng nên σ(T ) là compact.
Định lý 1.2.9. (Xem [6], tran g 157) Nếu X = { 0} là một không gian Banach phức
và T ∈ L(X) thì σ(T ) = ∅.
Định lý 1.2.10. (Định lý ánh xạ phổ)
Nếu A l à toán tử tuyến tính giới nội trên không gian Hilbert H và f(z) là hàm giải

tích trên miền mở D ⊃ σ(A) thì
σ(f(A)) = f(σ(A)).
C. Bán kính phổ
Định nghĩa 1.2.8. Giả sử X là không gian Banach phức và σ(T ) là phổ của toán tử
T ∈ L(X). Kh i đó số
r(T ) = sup{|λ| : λ ∈ σ(T ) }
được gọi là bán kính phổ của toán tử T.
Định lý 1.2.11. (Công thức tính bán kính phổ, xem [6] trang 158)
Cho T là toán tử tuyến tính bị chặn trong không gia n Banach X. Khi đó bán kính phổ
r(T ) của toán tử T được tính bởi công thức sau
r(T ) = lim
n↓∞
n

T
n
.
12
D. Ví dụ về phổ của toán tử Volterra
Cho k(t, s) là một hàm liên tục hai biến trên tập
D := { (t, s) : a  t  b, a  s  t} .
Với một hàm f cho trước trên đoạn [a, b], phương trình sau đây được gọi là phương
trình tích phân Volterra loại 2
x(t) = f( t) +
t

a
k(t, s)x(s)ds, (1.5)
trong đó x(t), t ∈ [a, b] là hàm cần xác định. Trong mục này ta sẽ ứng dụng lý thuyết
phổ được trình bày ở trên để tìm phổ của toán tử Volterra

(Ax)(t) =
t

a
k(t, s)x(s)ds. (1.6)
Với toán tử A xác định trong 1.6, phương trình 1.5 có thể được viết thành:
(I −A)x = f. (1.7)
Vì vậy việc tìm phổ của toán tử A có ý nghĩa đối với việc giả i được và giải nghiệm cụ
thể của phương trình 1.5.
Đặt K = max
(t,s)∈D
|k(t, s)|. Xét dãy { x
n
(t)}
n
xác định bởi:
x
1
(t) =
t

a
k(t, s)x(s)ds,
x
2
(t) =
t

a
k(t, s)x

1
(s)ds,

x
n
(t) =
t

a
k(t, s)x
n−1
(s)ds.
13
Với mọi t ∈ [a, b], ta có:
|x
1
(t)| 
t

a
|k(t, s)||x(s)|ds  K(t −a) x,
|x
2
(t)|  K
t

a
K(s − a) xds =K
2
(t − a)

2
2
x,

|x
n
(t)|  K
t

a
K
n−1
(s − a)
n−1
(n − 1)!
xds =K
n
(t − a)
n
n!
x.
Hiển nhiên theo định nghĩa của toán tử A ta có: x
n
(t) = A
n
x(t). Vì t ∈ [a, b] nên
A
n
x 
K

n
(b − a)
n
n!
x.
Suy ra
A
n
 
K
n
(b − a)
n
n!
. (1.8)
Áp dụng công thức tính bán kính phổ ở định lý 1.2.11 cho 1.8 ta có:
r(A)  lim
n↓∞
K(b − a)
n
√
n!
= 0.
Vậy r(A) = 0. Theo định lý 1.2.9, σ(A) = ∅ nên λ = 0 ∈ σ(A). Vậy σ(A) = { 0}.
Một trong những ý nghĩa của việc xác định được phổ của toán tử Volterra ở trên
là toán tử I − A khả nghịch và do đó phương trình t ích phân Vo lterra 1.7 có nghiệm
duy nhất x = (I − A)
−1
f.
1.3 Sự ổn định th eo Lyapunov của phương trình vi

phân trong không gian Hilbert
Trong phần này, chúng tôi sẽ trình bày những kết quả cơ bản về tính ổn định
của phương trình vi phân tuyến tính và tuyến tính có nhiễu theo hai phương pháp
của Lyapunov, đó là phương pháp hàm Lyapunov và phương pháp xấp xỉ thứ nhất
Lyapunov. Trước hết, ta cần nhắc lại khái niệm phương trình vi phân trong không gian
Hilbert cũng như nghiệm của nó và một số định lý cơ bản về sự có nghiệm của phương
trình này.
14
1.3.1 Phương trình vi phân trong không gian Hilbert
Cho H là không gian Hilbert. Trong H ta xét phương trình vi phân
dx(t)
dt
= f(t, x(t)), (1.9)
trong đó f : R
+
× H → H, t ≥ 0; x(.) ∈ H.
Từ nay về sau, nếu không nói gì thêm ta sẽ hiểu nghiệm của phương trình (1.9) là
nghiệm theo nghĩa cổ điển sau:
Định nghĩa 1.3.1. Hàm trừu tượng x = x(t)(x : I −→ H; I ⊂ R
+
) xác định trên I,
khả vi liên tục theo t ∈ I được gọi là nghiệm của (1.9) nếu kh i ta thay nó vào (1.9) sẽ
thu được một đồng nhất thức trên I, tức là
dx(t)
dt
= f(t, x(t)) với mọi t ∈ I,
trong đó
dx(t)
dt
là đạo hàm được hi ểu theo nghĩa Fretche.

Bài toán Cauchy: Tìm nghiệm x = x(t) của phương trình (1.9) thỏa mãn điều
kiện ban đầu x(t
0
) = x
0
với (t
0
, x
0
) ∈ I ×H cho trước.
Tương ứng với phương trình (1.9), người ta thường xét phương trình dạng tích
phân:
x(t) = x
0
+
t

t
0
f(τ, x(τ))dτ. (1.10)
Nhận xét: Nếu f liên tục theo chuẩn trong H thì ta có thể chỉ ra r ằng nghiệm của
(1.10) là nghiệm của bài toán Cauchy và ngược lại.
Sau đây tôi nhắc lại một số kết quả cơ bản về sự có nghiệm của bài toán Cauchy.
Định lý 1.3.1. (Tính duy nhất nghiệm địa phương)
Giả sử tồn tại lân cận đóng (t
0
, x
0
) sao cho trong lân cận đó hàm f(t, x) liên tục
theo t và thỏa mãn điều kiện Lipschitz

||f(t, x
2
) − f(t, x
1
)|| ≤ M|| x
2
− x
1
|| (1.11)
(M là hằng số hữu hạn).
Khi đó tồn tại lân cận của x
0
mà trong lân cận đó (1.9) có duy nhất nghiệm x = x(t)
thỏa mãn điều kiện ban đầu x(t
0
) = x
0
.
Chứng minh xem [2], định lý 2.1 trang 187.
Chú ý: Nghiệm x(t) chỉ tồn tại duy nhất trên ||t −t
0
|| ≤ ǫ , ||x −x
0
|| ≤ η với ǫ, η
đủ nhỏ. Định lý sau đây chỉ ra sự tồn tại nghiệm trên toàn bộ [a, b].
15
Định lý 1.3.2. (Tính duy nhất nghiệm toàn c ục)
Giả sử tồn tại miền [a, b] × H mà trên miền đó hàm f(t,x) liên tục theo t vào thỏa
mãn điều kiện Lips chitz (1.11). Khi đó với mọi (t
0

, x
0
) ∈ [a, b] × H, bài toán Cauchy
có nghiệm duy nhất x = x(t) xác định trên [a, b] .
Chứng minh xem [2], định lý 2.2 trang 188.
Định lý 1.3.3. (Sự kéo dài nghiệm trong không gian Hilbert)
Giả sử ||x|| < ∞, t ≥ t
0
, hàm f(t, x) thỏa mãn điều kiện
||f(t, x(t))|| ≤ L(||x||),
trong đó L(r) là hàm liên tục có tính chất

r
r
0
dr
L(r)
→ ∞ khi r → ∞.
Khi ấy mọi nghiệm của phương trình (1.9) có thể k éo dài trên khoảng thời gian vô
hạn t
0
≤ t < ∞.
Chứng minh xem [2], định lý 2.3 trang 189.
1.3.2 Các khái niệm về sự ổn định của phương trình vi phân
trong không gian Hilbert
Giả sử H là không gian Hilbert tách được;
D = {(t, x) ∈ (a, b) × H : |t − t
0
| ≤ T ; ||x − x
0

|| ≤ r}.
Xét phương trình vi phân
dx(t)
dt
= f(t, x(t)), (1.12)
trong đó t ∈ R
+
; x ∈ H; f : D −→ H là một hàm liên tục thỏa mãn f(t, 0) = 0 và
thỏa mãn điều kiện Lipschitz, tức là t ồn tại L > 0 sao cho:
Với mọi ( t, x
1
), (t, x
2
) ∈ D thì ||f(t, x
1
) − f(t, x
2
)|| ≤ L||x
1
− x
2
||.
Trước hết chúng ta nêu một số định nghĩa về sự ổn định của nghiệm tầm thường.
Ký hiệu:
G = {x : x ∈ H, ||x|| ≤ h ≤ r < +∞};
x(t) = x(t, t
0
, x
0
) là nghiệm của phương trình ( 1.12) thỏa mãn điều kiện

ban đầu x(t
0
) = x
0
(x
0
∈ G).
16
Định nghĩa 1.3.2. Nghiệm tầm thường x(t) ≡ 0 của phương trình vi phân ( 1.12)
được gọi là ổn định theo Lyapunov khi t → +∞ nếu :
∀ǫ > 0, t
0
∈ R
+
; ∃δ = δ(t
0
, ǫ) > 0 : ∀x
0
∈ G; ||x
0
|| < δ → ||x(t, t
0
, x
0
)|| < ǫ; ∀t ≥ t
0
.
Định nghĩa 1.3.3. Nghiệm tầm thường x(t) ≡ 0 của phương trình vi phân ( 1.12)
được gọi là ổn định đều theo Lyapunov khi nếu số δ trong định nghĩa (1.3.2) không phụ
thuộc vào t

0
.
Định nghĩa 1.3.4. Nghiệm tầm thường x(t) ≡ 0 của p hương trình vi phân (1.12) được
gọi là ổn định tiệm cận khi t → ∞ nếu :
(i) Nghiệm tầm thường x(t) ≡ 0 là ổn định;
(ii) Tồn tại △ = △(t
0
) > 0 sao cho với mọi x
0
∈ G và ||x
0
|| < △ thì
lim
t→+∞
||x(t, t
0
, x
0
)|| = 0.
Định nghĩa 1.3.5. Nghiệm tầm thường x(t) ≡ 0 của p hương trình vi phân (1.12) được
gọi là ổn định tiệm cận đều nếu:
(i) Nghiệm x(t) ≡ 0 là ổn định đều;
(ii) Tồn tại △ > 0 (không phụ thuộc vào t
0
) sao cho với mọi x
0
∈ G thỏa mãn
||x
0
|| < △ thì

lim
t→+∞
||x(t, t
0
, x
0
)|| = 0.
Định nghĩa 1.3.6. Nghiệm tầm thường x(t) ≡ 0 của phương trình vi phân ( 1.12)
được gọi là ổn định mũ khi t → ∞ nếu mọi nghiệm x = x(t, t
0
, x
0
) của (1.12) thỏa
mãn
||x(t, t
0
, x
0
)|| ≤ B||x
0
||e
−α(t−t
0
)
trong đó B, α là h ằ ng số dương nào đó không phụ thuộc và o (t
0
, x
0
).
Để nghiên cứu tính ổn định của phương trình vi phân ta thường dùng hai phương

pháp cơ bản là phương pháp xấp xỉ thứ nhất Lyapunov và phương pháp thứ hai
Lyapunov hay còn gọi là phương pháp hàm Lyapunov.
Trước hết tôi sẽ trình bày lại một số kết quả cơ bản về tính ổn định của nghiệm
tầm thường của phương trình vi phân trong không gian Hilbert theo phương pháp hàm
Lyapunov.
17
1.3.3 Sự ổn định của phương trình vi phân theo phương pháp
hàm Lyapunov
Định nghĩa 1.3.7. (Phiếm hàm Lyapunov)
Ta nói phiếm hàm V : R
+
× H → R
+
là phiếm hàm Lyapunov nếu nó liên tục và
thỏa mãn điều kiện Lipschitz theo biến thứ hai.
Đạo hàm phải của V dọc theo nghiệm của (1.12), kí hiệu là
.
V
(t, x) được xác định
bởi
.
V
(t, x) = lim
h→+∞
1
h
{V [t + h, x + hf(t, x)] −V (t, x)}.
Kí hiệu CIP: Họ các hàm tă ng, liên tục, xác định dương.
Định lý 1.3.4. (Định lý ổn định, xem [9].)
Giả sử tồn tại phiếm hàm liên tục Lyapunov V : R

+
×H → R
+
và hàm a(.) ∈ CIP
thỏa mãn các điều kiện:
(i) V (t, 0) = 0;
(ii) a(||x||) ≤ V (t, x);
(iii)
.
V
(t, x) ≤ 0.
Khi đó nghiệm tầm thường x ≡ 0 c ủa phương trình (1.12) là ổn định.
Định lý 1.3.5. (Định lý ổn định đều, xem [9].)
Giả sử tồn tại phiếm hàm liên tục Lyapunov V : R
+
× H → R
+
và các hàm
a(.), b(.) ∈ CIP thỏa mãn các điều kiện:
(i) a(||x||) ≤ V (t, x) ≤ b(||x||);
(ii)
.
V
(t, x) ≤ 0.
Khi đó nghiệm tầm thường x ≡ 0 c ủa phương trình (1.12) ổn định đều.
Định lý 1.3.6. (Định lý ổn định tiệm cậ n đều, xem [9].)
Giả sử tồn tại phiếm hàm liên tục Lyapunov V : R
+
× H → R
+

và các hàm
a(.), b(.), c(.) ∈ CIP thỏa mãn các điều kiện:
(i) a(||x||) ≤ V (t, x) ≤ b(||x||);
(ii)
.
V
(t, x) ≤ −c(||x||).
Khi đó nghiệm tầm thường x ≡ 0 c ủa phương trình (1.12) ổn định tiệm cận đều.
Phương pháp hàm Lyapunov được áp dụng nhiều trong việc nghiên cứu định tính
các hệ vi phân, nhất là các hệ phi tuyến. Tuy nhiên việc xác định hàm Lyapunov nói
chung là khó. Vì vậy để nghiên cứu sự ổn định của một số phương trình vi phân người
ta còn sử dụng phương pháp xấp xỉ thứ nhất Lyapunov. Sau đây, chúng tôi sẽ đưa ra
một số định lý về sự ổn định của phương trình vi phân t uyến tính và tuyến tính có
nhiễu trong không gian Hilbert theo phương pháp xấp xỉ thứ nhất Lyapunov.
18
1.3.4 Sự ổn định của phương trình vi phân tuyến tính và tuyến
tính có nhiễu trong không gian Hilbert theo phương
pháp xấp xỉ thứ nhất Lyapunov
A. Một số khái niệm cơ bản về phương trình vi phân tuyến tính thuần
nhất trong không gian Hilbert
Giả sử H là không gian Hilbert. Trong H, xét phương trình
dx
dt
= A(t)x. (1.13)
Giả sử toán tử A(t) với mỗi giá trị cố định của t là một toán tử tuyến tính giới nội và
hàm toán tử A(t) liên tục theo t khi t ≥ 0.
Do đó, theo định lý 1.3.1 phương trình 1.13 thoả mãn điều kiện tồn tại và duy nhất
nghiệm với bài toán giá trị ban đầu; còn theo định lý 1.3.3 tất cả các nghiệm của
phương trình này đều thác triển không giới nội được tr ên nửa khoảng thời gian vô hạn.
Trong không gian L(H) ta xét phương trình

.
U
= A(t)U, (1.14)
trong đó U(t) là hàm toán tử lấy giá trị trong L(H). Giả sử U(t) là nghiệm của phương
trình 1.14 thoả mãn điều kiện U(0) = I, ta chứng tỏ tồn tại toán tử ngược U
−1
(t).
Thật vậy, ký hiệu V (t) là nghiệm của phương trình
.
V
= −V A(t) thoả mãn điều kiện
V (0) = I. Đặt W
1
(t) = V (t)U( t). Suy ra
.
W
1
(t) = V (t)
.
U
(t) +
.
V
(t)U(t) = V AU −V AU = 0.
Do đó
.
W
1
(t) là to án tử hằng số và bằng I. Đặt W
2

(t) = U(t)V (t), ta có
.
W
2
(t) =
.
U
V (t) + U
.
V
(t) = AUV (t) + U(−V A)(t) = AUV (t) −UV A(t).
Vậy
.
W
2
= AW
2
−W
2
A. Phương trình cuối cùng này nhận
.
W
2
(t) = I là nghiệm. Theo
tính chất duy nhất nghiệm, mọi nghiệm bất kỳ khác xác định bởi điều kiện W
2
(0) = I
cũng phải trùng với nghiệm này. Vậy W
2
(t) = I. Suy ra UV = V U.

Đặt W(t, t
0
) = U(t)U
−1
(t
0
) thì W ( t, t
0
) được gọi là toán tử Cauchy của phương
trình 1.1 3. W (t, t
0
) có tính chất W ( t, t
1
)W (t
1
, t
0
) = W (t, t
0
). Dễ thấy, nghiệm của
phương trình 1.13 thoả mãn điều kiện x(t
0
) = x
0
có thể viết dưới dạng x(t) =
W (t, t
0
)x
0
.

Trong trường hợp đặc biệt, khi A(t) = A, A ∈ L(H), ta sẽ chỉ ra U(t) = e
At
. Toán
tử mũ e
At
được xác định như sau
19
Định nghĩa 1.3.8. Với A là toán tử tuyến tính giới nội trê n không gi an Hilbert H, ta
định nghĩa
e
tA
=
∞

n=0
(tA)
n
n!
(1.15)
với mỗi t ≥ 0. (Qui ước 0
0
= I.)
Chú ý: Chuỗi
∞

n=0
(tA)
n

n!

hội tụ vì
(tA)
n

n!

t
n
A
n
n!
với mọi t  0
và chuỗi số
∞

n=0
t
n
A
n
n!
hội tụ theo dấu hiệu D’Alembert. Do đó chuỗi
∞

n=0
(tA)
n
n!
hội tụ
trong L(X). Vì vậy e

tA
hoàn toàn được xác định.
Bây giờ, xét phương trình vi phân tuyến tính trong không gian Hilbert H
.
x
(t) = Ax(t), x(t) ∈ X, t  0 ; (1.16)
với A : H → H là toá n tử tuyến tính giới nội. Ta sẽ chứng minh e
tA
x
0
là nghiệm của
phương trình 1.16 thoả mãn điều kiện ban đầu x(0) = x
0
. Trước hết ta cần có mệnh
đề sau.
Mệnh đề 1.3.1. Với A là toán tử tuyến tính giới nội trên không gian Hilbert H, xác
định e
tA
bởi 1.1 5. Khi đó, ánh xạ
R
+
 t → T ( t) := e
tA
∈ (L(X), ||· ||)
liên tục và thoả mãn
T (t + s) = T (t)T (s) với t, s ≥ 0,
e
0A
= I.
(Ký hiệu R

+
là tập các số thực không âm.)
Chứng minh. Áp dụng quy tắc Cauchy về nhân chuỗi luỹ thừa:

∞

n=0
a
n
x
n

∞

n=0
b
n
x
n

=
∞

n=0
c
n
x
n
với c
n

= a
0
b
n
+ a
1
b
n−1
+ + a
n
b
0
, ta có:
T (t)T (s) =

∞

n=0
(tA)
n
n!

∞

n=0
(sA)
n
n!

=


∞

n=0
c
n
A
n

20
với
c
n
=
1
n!
n

k=0
n!
k!(n −k)!
t
k
s
n−k
=
1
n!
(t + s)
n

.
Vậy
T (t)T (s) =
∞

n=0
[(t + s)A]
n
n!
= T (t + s).
Khi đó, ta có
e
(t+h)A
− e
tA
= e
tA
(e
hA
− I)
với mọi t, h ∈ R. Do đó, để chứng minh T (T ) liên tục, ta chỉ cần chỉ ra
lim
h↓0
e
hA
= I. (1.17)
Đẳng thức 1.17 được suy từ đánh giá sau


e

hA
− I


=





∞

k=1
h
k
A
k
k!






∞

k=1
|h|
k
A

k
k!
= e
|h|·A
− 1.
Vậy mệnh đề được chứng minh.
Định lý sau đây sẽ chỉ ra rằng e
tA
x
0
là nghiệm của phương tr ình 1.16 thoả mãn
điều kiện ban đầu x(0) = x
0
.
Định lý 1.3.7. Với A là toán tử tuyến tính giới nội trên không gian Hilbert H, xác
định e
tA
bởi 1.1 5. Khi đó, ánh xạ
R
+
 t → T ( t) := e
tA
∈ (L(X), ||· ||)
khả vi và thoả mãn
d
dt
T (t) = AT (t) với t ≥ 0,
T (0) = I.
Chứng minh. Theo mệnh đề trên t a có
T (t + h) −T (t)

h
=
T (h) − I
h
· T (t)
21
với mọi t, h ∈ R. Do đó, để chứng minh định lý, ta chỉ cần chỉ ra
lim
h↓0
T (h) − I
h
= A.
Đẳng thức trên được suy ra từ đánh giá sau




T (h) − I
h
− A




 A
∞

k=2
|h|
k−1

A
k−1
k!
 A(e
|h|·A
− 1) → 0 khi h → 0.
Vậy định lý được chứng minh.
Kết quả sau đây được trích dẫn từ tài liệu [4 ].
Định lý 1.3.8. (Định lý Lyapunov về ổn định mũ của phương trình vi phân)
Nghiệm tầm thường x ≡ 0 của phương trình 1.16 ổn định mũ nế u một trong các mệnh
đề sau được thoả m ãn.
(i) r(e
A
) < 1, ở đây r(e
A
) là bán kính phổ của toán tử e
A
.
(ii) σ(A) ⊂ {z ∈ C : Rez < 0}.
B. Sự ổn định của phương trình vi phân tuyến tính có nhiễu trong không
gian Hilb er t
Trong phần này ta xét mối liên hệ về sự ổn định của nghiệm tầm thường của
phương trình thuần nhất và không thuần nhất. G iả sử W (t, t
0
) = U(t)U
−1
(t
0
) là to án
tử Cauchy của phương trình 1.13. Dễ thấy, nếu có bất đẳng thức

||W (t, t
0
)|| ≤ Be
−α(t−t
0
)
(1.18)
trong đó B, α là hằng số dương nào đó, không phụ thuộc vào t
0
thì đây là điều kiện
để nghiệm tầm thường x ≡ 0 của phương trình (1.13) ổn định theo số mũ.
Tương ứng với phương trình thuần nhất 1.13, ta xét phương trình không thuần
nhất
dx
dt
= A(t)x + u(t),
trong đó u(t) là hàm lấy giá trị trong H. Nghiệm của phương trình này có thể nhận
được theo công thức Cauchy:
x(t) = W (t, t
0
)x
0
+
t

t
0
W(t, s)u(s)ds
mà ta có thể dễ dàng nghiệm lại bằng cách thử trực tiếp.
22

Xét phương trình
dx
dt
= A(t)x(t) + R(t, x(t)), (1.19)
trong đó A(t) là toán tử tuyến tính giới nội, liên tục theo t; R(t, x(t)) là hàm thỏa mãn
điều kiện R(t, 0) = 0 và
||R(t, x)|| ≤ L||x|| trong miền G. (1.20)
Để xét sự ổn định của phương trình 1.19 ta cần tới các bổ đề sau:
Bổ đề 1.3.1. (Bổ đề Gronwall, xem [3]) Giả sử u, m : R
+
→ R
+
\{ 0} là các hàm
liên tục. Khi đó nếu
u(t)  c +
t

t
0
m(τ)u(τ )dτ (t ≥ t
0
, c > 0)
thì ta có
u(t)  c. exp {
t

t
0
m(τ)dτ } .
Bổ đề 1.3.2. Giả sử u(t) là một hàm liên tục thoả mã n khi t > t

0
bất đẳng thức
0 < u(t) < δ +
t

t
0
(η + Lu(t))dt
trong đó δ, η, L là những hằng số và δ ≥ 0, η ≥ 0, L > 0. Khi đó ta có bất đẳng thức:
u(t) <
η
L
(e
L(t−t
0
)
− 1) + δe
L(t−t
0
)
.
Chứng minh, xem [2], bổ đề 1 .1 , trang 11.
Định lý 1.3.9. (Về sự ổn định theo xấp xỉ thứ nhất)
Nếu đi ề u kiện (1.20) và (1.18) được thỏa mãn và ngoài ra nếu các hằng số α, B, L
thỏa mãn bất đẳn g thức
λ = α −BL > 0 (1.21)
thì nghiệm tầm thường x ≡ 0 của phương trình (1.19) sẽ ổn định mũ.
Chứng minh: Thậy vậy, xét phương trình tích phân tương đương với phương trình
(1.13)
x(t) = W (t, t

0
)x
0
+

t
t
0
W (t, τ)R(τ, x(τ) )dτ. (1.22)
23
Từ các điều kiện(1.20) và (1.18) ta có đánh giá
||x(t)|| ≤ B.e
−α(t−t
0
)
||x
0
|| +

t
t
0
BL.e
−α(t−s)
||x(s)||ds. (1.23)
Nếu đưa vào ký hiệu ϕ(t) = e
αt
||x(t)|| thì từ ( 1.2 3) ta suy ra
ϕ(t) ≤ Be
αt

0
||x
0
|| + BL

t
t
0
ϕ(s)d(s).
Từ đó theo bổ đề 1.3.2 ta nhận được
ϕ(t) ≤ e
BL(t−t
0
)
Be
αt
0
||x
0
||.
Vậy ta có:
||x(t)|| ≤ Be
(BL−α)(t−t
0
)
||x
0
||. (1.24)
Vì BL − α < 0 nên ta có sự ổn định theo số mũ cần chứng minh.
Cùng với toán tử tuyến tính A(t) bây giờ ta xét toán tử tuyến tính F (t) khác.

Hệ quả 1.3.1. Giả sử bất đẳng thức (1.18) được thỏa mãn và có bất đẳng thức
||F (t)|| ≤ L (0 ≤ t < ∞).
Ngoài ra, nếu các đại lượng α, B, L thỏa mãn điều kiện (1 . 21) thì nghiệm tầm
thường x ≡ 0 của phương trình
dx
dt
= (A(t) + F(t))x (1.25)
ổn định theo số mũ.
Định lý 1.3.10. Giả sử H là không gian Hilbert. Xét phương trình
dx
dt
= A(t)x + ψ(t, x) + g(t, x), (1.26)
trong đó ψ, g : R
+
× H → H thoả mãn các điều kiện sau:
(i) ψ(t, x)  L x, ψ(t, 0) = 0;
(ii) g(t, x)  ϕ(t) x, g(t, 0) = 0,
+∞

0
ϕ(t)dt < +∞.
Ký hiệu W(t, s) là toán tử Cauchy của phương trình
dx
dt
= A(t)x.
Khi đó nếu tồn tại các số dương c và λ s ao cho
W(t, s)  ce
−λ(t−s)
, ∀t ≥ s ≥ 0
thì nghiệm x(t) = 0 của phương trình 1.26 ổn định tiệm cận nếu cL < λ.

24
Chứng minh. Giả sử x(t) là một nghiệm của phương trình 1.26 thoả mãn điều kiện
ban đầu x(t
0
) = x
0
. ta có
x(t) = W(t, t
0
)x(t
0
) +
t

t
0
W(t, τ)[ψ(τ,x(τ)) + g(τ,x(τ))]dτ với t ≥ t
0
≥ 0.
Vậy
x(t)  W(t, t
0
)x(t
0
) +
t

t
0
W(t, τ) ψ(τ,x(τ )dτ

+
t

t
0
W(t, τ)g(τ,x(τ) dτ
 ce
−λ(t−t
0
)
x(t
0
)+
t

t
0
ce
−λ(t−τ)
L x(τ)dτ
+
t

t
0
ce
−λ(t−τ)
ϕ(τ) x(τ)dτ.
Suy ra x(t)e
λt

 ce
λt
0
x(t
0
) + c
t

t
0
e
λτ
L x(τ)dτ + c
t

t
0
e
λτ
ϕ(τ) x(τ)dτ
 ce
λt
0
x(t
0
) + c
t

t
0

(L + ϕ(τ)) x(τ)e
λτ
dτ.
Áp dụng bổ đề Gronwall ta có
x(t)e
λt
 ce
λt
0
x(t
0
)exp{c
t

t
0
(L + ϕ(τ))dτ}.
Suy ra
x(t)  c x(t
0
)e
−λ(t−t
0
)
e
cL(t−t
0
)
exp{c
t


t
0
ϕ(τ)dτ}
 ce
−(λ−cL)(t−t
0
)
exp{c
+∞

0
ϕ(τ)dτ}x(t
0
)
 cMe
−(λ−cL)(t−t
0
)
x(t
0
)
với M = exp{c
+∞

0
ϕ(τ)dτ} < +∞ (do
+∞

0

ϕ(t)dt < +∞). Với cL < λ, ta có
x(t)  cM x(t
0
)
25