Sáng tạo cách giải hệ phương trình

L
L
L
LÊ
Ê
Ê
ÊTU
TU
TU
TUẤ
Ấ
Ấ
ẤN
N
N
NANH
ANH
ANH
ANH
Sauđâychúngtasẽthamkhảothêmmộtphươngphápmớiđểgiảicáchệ
phươngtrìnhcódạngtổngquátsau:
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
= + + + + + +
= + + + + + +
⎪
⎩
⎪

⎨
⎧
= + + +
= + + +
0 ' ' ' ' ' ' '
0
0 ' ' ' '
0
3 2 2 3
3 2 2 3
2 2
2 2
h y g x e y d xyc y x b x a
h gy ex dy cxyy bx ax
d y c xyb x a
d cy bxy ax
Vànhữnghệtươngtựnhưvậ
y.
V
V
V
Ví
í
í
íd
d
d
dụ
ụ
ụ

ụ1:
1:
1:
1:Gi
Gi
Gi
Giả
ả
ả
ải
i
i
ih
h
h
hệ
ệ
ệ
ệph
ph
ph
phươ
ươ
ươ
ương
ng
ng
ngtr
tr
tr

trì
ì
ì
ình:
nh:
nh:
nh:
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
= + + +
= + + +
) 2( 0 1 3
)1( 0 3 2 2
2
2 2
y y xy
x y xy x
Thôngthườngđốivớihệnàytasẽđưa1trong2phươngtrìnhcủahệvề
phươngtrìnhbậc2rồilậpĐentađểphântíchthànhnhântử(khiđentalàsố
chínhphương).Nhưngrõràngtrong2phươngtrìnhtrênĐentakhôngphải
sốchínhphươnghaynóicáchkháctakhôngthểphântíchthànhnhântử.
Thửlấypt(1)+2.pt(2)tađược:
()
0 2 6 4 3 4
0 2 6 2 2 3 2 2
2 2
2 2 2

= + + + + + ⇔
= + + + + + + +
y y x y x
y y xy x y xy x
Phươngtrìnhnàycó:
()
()
1 2 6 4 4 3 4
2
2
= + + − + = ∆
y y y
Dođó:
⎢
⎣
⎡
− − =
− − =
2 2
1 2
y x
y x
Từđâytatiếptụcgiải2hệcơbảnđểtìmnghiệmcủahệbanđầu.
Câuhỏiđặtraởđâylàtạisaolạibiếtnhânpt(2)với2màkhôngphảisốnào
khác,rồilạicộngvớipt(1)màkhôngphảilàtrừ?
Đâylàmộtphươngphápkhôngmớinhưngcơsởđểthựchiệnphươngpháp
nàylạikhámớivàthúvị.Tôikhôngnêutổngquátcácbướcgiải,màchỉxét
vídụnhưngcũngđủđểcácbạnnhậnrađượcquytắcchungđó.
V
V

V
Ví
í
í
íd
d
d
dụ
ụ
ụ
ụ2:
2:
2:
2:Gi
Gi
Gi
Giả
ả
ả
ải
i
i
ih
h
h
hệ
ệ
ệ
ệph
ph

ph
phươ
ươ
ươ
ương
ng
ng
ngtr
tr
tr
trì
ì
ì
ình:
nh:
nh:
nh:
()
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
+ − = − +
= +
) 2( 1 3
25
57

3 4
)1(
5
1
2
2 2
x y x x
y x
GIẢIHỆPHƯƠNGTRÌNHBẰNG
PHƯƠNGPHÁPHỆSỐBẤTĐỊNH.
L
L
L
LÊ
Ê
Ê
ÊTU
TU
TU
TUẤ
Ấ
Ấ
ẤN
N
N
NANH
ANH
ANH
ANH
Bướcnháp:

Lấy) ( );1( . ) 2(
R pt pt
∈ +
α α
vàbiếnđổitađượcphươngtrình:
()
()()
()()
()
()
25
1137 308 20
4 2 4 16 9
25
57 5
4 4 1 9
(*) 0
25
57 5
1 3 4
0
25
57
3 3 4
5
2
2 2
2
2
2 2

2 2 2
+ +
+ − + − − =
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
− + + − + = ∆ ⇒
=
+
− + + + + + ⇔
= − + + + + − +
α α
α α α
α
α α
α
α α
α
α
y y
y y y
y y x y x
y x xy x y x
Ta
sẽtìmgiátrịcủaanphađểĐentalàsốchínhphương.Vàanphakhông
nhấtthiếtphảinguyênhoặcphảidương,tacómẹonhỏđểbiếtgiátrịanpha:

2
1
2
9
0 4 16 9
2
≤ ≤ − ⇔ ≥ − −
α α α
Thửngaytathấy
2
1
=
α
thỏamãnvì:
2
5
36
25
1296
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
= = ∆
.
Nhưvậytađãrõhệsốcầnnhânvàophươngtrình(1)củahệ.Vậykhitrình
bàyvàobàilàmtasẽghi:
Lấy

) 2( )1( .
2
1
pt pt
+
vàbiếnđổitađượcphươngtrình:
()
()
0
25
119
2 1 6 9
0
50
119
2
1
1 3
2
9
2 2
2 2
= − + + + + ⇔
= − + + + +
y y x y x
y y x y x
(Đểchonhanh,tathếanphavàopt(*)ởtrên).
5
36
25

1296
= ∆ ⇒ = ∆
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
+
− =
−
=
⇒
15
5 7
15
5 7
y
x
y
x
.Sauđógiải2hệcơbảntatìmđượcnghiệmcủahệ.
Kếtluận(2/5;1/5)và(11/25;2/25)lànghiệmcủahệphươngtrình.
V
V
V
Ví
í
í
íd

d
d
dụ
ụ
ụ
ụ3:
3:
3:
3:Gi
Gi
Gi
Giả
ả
ả
ải
i
i
ih
h
h
hệ
ệ
ệ
ệph
ph
ph
phươ
ươ
ươ
ương

ng
ng
ngtr
tr
tr
trì
ì
ì
ình:
nh:
nh:
nh:
()
⎩
⎨
⎧
= − −
+ = + +
) 2( 1 2 2
)1( 2 2 1
2 2
y y x
y x y x
Lấy
) 2( . )1(
pt ptα
+
vàgomgọntađược:
L
L

L
LÊ
Ê
Ê
ÊTU
TU
TU
TUẤ
Ấ
Ấ
ẤN
N
N
NANH
ANH
ANH
ANH
()()()
()()()
()
1 2 1 1 1 2 1 1 '
0 1 1 2 1 1 2
2 2 2
2
2 2
= → + + − + = + − + + − − − = ∆
= − + + − − + − +
α α α α α α α α
α α α α
y y y y y

y y x y x
Vậytachỉcầncộng2phươngtrìnhcủahệtheovế.
Từđótađược:
()()
0 2 2 4 2 2
2
= + − ⇔ + = +
y x x y x xy x
Từđótìmđượcnghiệmcủahệ.
V
V
V
Ví
í
í
íd
d
d
dụ
ụ
ụ
ụ4:
4:
4:
4:(VMO
(VMO
(VMO
(VMO2004)
2004)
2004)

2004)Gi
Gi
Gi
Giả
ả
ả
ải
i
i
ih
h
h
hệ
ệ
ệ
ệph
ph
ph
phươ
ươ
ươ
ương
ng
ng
ngtr
tr
tr
trì
ì
ì

ình:
nh:
nh:
nh:
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
− = + −
− = +
) 2( 17 8 8
)1( 49 3
2 2
2 3
x y y xy x
xy x
Lấy
) 2( . )1(
pt ptα
+
vàbiếnđổitađược:
()
(*) 0 49 8 17 8 3
2 2 2 3
= + − + + − + +
y y x y y x xα α α α α
Đâykhôngcònlàphươngtrìnhbậchainêntakhôngcònlậpđentanhư2ví
dụtrênđược,màtasẽtìmanphađểđưa(*)vềphươngtrìnhtích.
Nhớlạiđịnhlývềnghiệmhữutỷcủaphươngtrìnhbậccaotasẽcónghiệm

củapt(*)làmộttrongcácgiátrị:
{}
49 8 ;1;1
2
+ − −
y yα α
Dễthấyx=-1là1nghiệmcủahệ,thayx=-1vào(*)thìtađược:
()()
()
3 0 16 3 0 48 16 3
0 49 8 17 8 3 1
2 2
2 2
= ⇒ = − − ⇔ = + − − ⇔
= + − + − + − + −
α α α α
α α α α α
y y
y y y y
Vậylờigiảicủabàitoántrênlà:
Nhânphươngtrình2với3rồicộngvớiphươngtrình1theovếta
đượcphươngtrình:
()
()
()
()()()
()
⎢
⎣
⎡

= − =
− =
⇒ = − + + + ⇔
= + − + + + ⇔
= + − + + − + +
4 ;1
1
0 4 3 1 1
0 49 24 3 2 1
0 49 24 3 51 24 3 3
2 2
2 2
2 2 2 3
y x
x
y x x
y y x x x
y y x y y x x
Kếtluậnhệđãchocó2nghiệm:(-1;4)và(-1;4).
V
V
V
Ví
í
í
íd
d
d
dụ
ụ

ụ
ụ5:
5:
5:
5:Gi
Gi
Gi
Giả
ả
ả
ải
i
i
ih
h
h
hệ
ệ
ệ
ệph
ph
ph
phươ
ươ
ươ
ương
ng
ng
ngtr
tr

tr
trì
ì
ì
ình:
nh:
nh:
nh:
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
+ = +
+ = +
) 2( 3 2 3 2
)1( 2 2
2 2 2 3
2 2
y x y xy x
y xy y x
Vẫnbướcquenthuộc:
()
()
()
(*) 0 2 3 3 2
2 2 3
= − − + − + − +
α α α αy y y x y y x y x
Nghiệmcủapt(*)cóthểlà1trongcácgiátrị:

⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
− − −;
2
;
2
; ; ;1;1
y y
y y
L
L
L
LÊ
Ê
Ê
ÊTU
TU
TU
TUẤ
Ấ
Ấ
ẤN
N
N
NANH
ANH

ANH
ANH
Vàx=ylà1nghiệmtrongsốđó.Thayx=yvàopt(*):
()()()
y y y y y
− = ⇒ = + − ⇔ = − − +
α α α α
0 1 0 1
2
Vậylờigiảicủabàitoánnàylà:
+Khiy=0thìx=0là1nghiệmcủahệ.
+Khiykhác0,nhân2vếcủapt(1)với(-y)rồicộngvớipt(2)tađược:
()
()
y x y xy x y x
y xy y x x
= ⇒ = + − − ⇔
= − + −
0
0 2 2
2 2
3 2 2 3
Kếtluậnhệcó2nghiệm:(0;0),(1;1).
(Lưuý:hệnàylàhệđẳngcấp).
B
B
B
BÀ
À
À

ÀI
I
I
IT
T
T
TẬ
Ậ
Ậ
Ậ
P
P
P
P
T
T
T
TỰ
Ự
Ự
ỰLUY
LUY
LUY
LUYỆ
Ệ
Ệ
ỆN.
N.
N.
N.

Giảicáchệphươngtrìnhsau:
()
()
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
− − − = −
= −
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
+ = +
= +
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
= + + + +
= + +
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
= + + +

= + + +
y x y x y x
y x
y x y x
y x
x xy y x
y y x
y y xy
x y xy x
8 4 4 3 2
240
) 4
9 16 3 4
91
) 3
0 13 5 2 5 5
0 35 2 6
) 2
0 1 3
0 3 2 2
)1
2 2 3 3
4 4
2 2
3 3
2 2
3 2
2
2 2