Chuyên đề cực trị của hàm số ôn thi đại học cực hay

Một số dạng toán liên quan đến vấn đề cực trị
***
Một số kiến thức cần nhớ:
-Giả sử hàm số f(x) liên tục trên (a;b) chứa điểm
0
x
, có đạo hàm trên
}{\);(
0
xba
, và có
đạo hàm khác 0 tại
0
x
, khi đó:
- Nếu f'(x) đổi dấu khi đi qua
0
x
thì f(x) đạt cực trị tại
0
x
.
- Nếu
0)("
0
xf
thì f(x) đạt cực tiểu tại
0
x
,nếu
0)("

0
xf
thì f(x) đạt cực đại tại
0
x
.
*Cực trị của hàm bậc 3:
RDTXDdcxbxaxy  :
23

- Hàm số có tối đa 2 điểm cực trị.
- Nếu viết
qpxynmxdcxbxaxy  ').(
23
và hàm số có 2 điểm cực trị phân biệt
thì
qpxy 
là phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị đó.
Ví dụ 1: Tìm tham số m để hàm số
4)1(
23
 xmxy
có 2 điểm cực trị phân biệt đối
xứng với nhau qua đường thẳng (d): x - 2y -3=0.













4
27
)1(4
3
)1(2
40
0')1(23'
3
2
m
y
m
x
yx
yxmxy












 4
27
)1(4
;
3
)1(2
);4;0(
3
mm
BA
,gọi










 4
27
)1(2
;
3
1
3

mm
I
là trung điểm AB.












27
)1(4
;
3
)1(2
3
mm
BA

đường thẳng d có VTCP:
)1;2(u


Vì A,B đối xứng với nhau qua d nên AB vuông góc với d và I thuộc d.

Ví dụ 2: Cho hàm số
mmxmmxxy 
3223
)1(33
. Tìm tham số m để khoảng cách từ
điểm cực tiểu đến gốc tọa độ gấp 3 lần khoảng cách từ điểm cực đại đến gốc tọa độ?
mxy
mx
mx
mxmxmmxxy
66"
1
1
0)1)(1(30)1(363'
22








Dễ thấy: A(m-1;2-2m) là điểm cực đại, B(m+1;-2m-2) là điểm cực tiểu.
2
034
27
)1(2
2

3
1
0
27
)1(4
3
)1(4
1
0.
3
3







































m
mm
mm
m
dI
uBA
BA


 







2/1
2
)22()1(9)22()1(93
222222
m
m
mmmmOAOBOAOB

*Cực trị của hàm số trùng phương:
RDTXDcbxaxy  :
24

Nhận xét:
)2(224'
23
baxxbxaxy 

- Nếu
0
2

a
b
thì hàm số có 3 cực trị phân biệt, hơn nữa chúng tạo thành 1 tam giác cân
có đỉnh nằm trên trục Oy

-Nếu
0
2

a
b
thì hàm số có 1 điểm cực trị duy nhất A(0;c)
Ví dụ 1: (TSDH Khối A-2012) Cho hàm số:

Tìm m để hàm số có 3 điểm cực trị tạo thành 3 đỉnh của 1 tam giác vuông?






1
0
0)1(4)1(44'
2
23
mx
x
mxxxmxy

Để hàm số có 3 cực trị phân biệt thì: m>-1. Các điểm cực trị của hàm số là:
   
12;112;1);0(
2
 mmCmmBmA

Vì





CB
CB
yy
xx
nên B,C đối xứng nhau qua Oy, mà A thuộc Oy nên tam giác ABC cân tại
A. Mặt khác ABC là tam giác vuông nên AB vuông góc AC.
   
22
12;112;1 mmmACmmmAB 

Suy ra:
 
1)1(012)1(
4
2
2
 mmmmm
. So điều kiện suy ra m=0
Ví dụ 2: Cho hàm số
12
24
 mmxxy
, tìm m để hàm số có 3 cực trị lập thành 1 tam

giác có:
A) Bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng 1.
B) Có diện tích bằng 1.
Giải
A)






mx
x
mxxmxxy
2
23
0
0)(444'

Để hàm số có 3 cực trị phân biệt thì m>0. Tọa độ 3 điểm cực trị là:
   
1;)1;0(1;
22
 mmmCmBmmmA

Dễ thấy tam giác ABC cân tại B
Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC nằm trên đường trung trực của cạnh AC, tức
là nằm trên trục Oy. Gọi I(0;b) là tâm đường tròn ngoại tiếp.
Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC: R=IB=IA=IC=1 nên:
224

)1(2 mxmxy 

 
 
 



















11
11
11
1)1(
11
2

2
2
2
2
2
bm
bm
bmmm
bm
bmmm

-Với m-1-b=1thì:
 









2/51
1
0
0)1)(1(1)1(
222
m
m
m

mmmmmm

So điều kiện ta nhận
2
51
;1

 mm

-Với m-1-b=-1 thì:
00)12(1)1(
322
 mmmmmm
(loại.Vì không thỏa điều kiện m>0)
Tóm lại, giá trị của m cần tìm là:
2
51
;1

 mm

B) *Cách 1: gọi H là trung điểm AC.
 
 
 
11111.2.
2
1
.
2

1
22


mmmmmmmmyyxBHACS
CBCABC

-Khi
1m
thì phương trình tương đương với:
11
2
 mmm
(nhận)
- Khi
10  m
thì phương trình tương đương với:
(*)1)22(
2
 mmm

Đặt
mt 
với t>0. Phương trình (*) trở thành:
0122
35
 ttt
(**)
Xét hàm số:
);0(:122)(

35
 DTXDttttfy

Dttty  0265'
24
Hàm số f(t) đồng biến trên khoảng
);0( 

-Nếu t>1 thì f(t)>f(1)=0
-Nếu t<1 thì f(t)<f(1)=0
Suy ra phương trình (**) có nghiệm duy nhất: t=1. Suy ra m=1 (loại)
Vậy m=1

*Cách 2: Áp dụng tính chất:
Cho 3 điểm A,B,C phân biệt, giả sử
);();(
2211
yxCByxAB 

thì diện tích của tam
giác ABC được tính bởi công thức:
1221

2
1
yxyxS
ABC



1112
2
1
);();(
22
22



mmmmmS
mmBCmmBA
ABC

*Cực trị của hàm phân thức:










p
q
RDTXD
xh
xg

qpx
cbxax
y \:
)(
)(
2

Nếu điểm
0
x
là cực trị thì giá trị cực trị có thể tính bằng 2 cách:
)('
)('
)(
)(
)(
0
0
0
0
0
xh
xg
xh
xg
xy 

Do đó đường thẳng qua 2 cực trị của hàm số là:
)('
)('2

xh
xg
p
bax
y 



Ví dụ 1: Cho hàm số:
1
52
)(
2



x
mxx
xfy
. Tìm m để hàm số có 2 điểm cực trị nằm
về 2 phía của đường thẳng y=2x.
2
2
)1(
522
'



x

mxx
y

Để hàm số có 2 cực trị phân biệt thì phương trình
0522
2
 mxx
có 2 nghiệm thực
phân biệt:
2042'  mm

Đường thẳng qua 2 cực trị:
mxy 22 

Gọi A(a;-2a+2m) B(b;-2b+2m) là 2 cực trị của hàm số. Khi đó theo định lí Viet ta có:
a+b=2 và a.b=2m+5
Theo đề ta có:

  
  
0)(24
0)2)(2(
0222222
022
2




mbamab

mbma
mbbmaa
yxyx
BBAA

Suy ra:
020404)52(4
22
 mmmmm
vô lí
Vậy không tồn tại giá trị m thỏa mãn yêu cầu.
Bài tập rèn luyện:
Bài 1: Cho hàm số
23
23
 xxy
có đồ thị (C), qua điểm uốn I của đồ thị (C) viết phương
trình đường thẳng (d) cắt (C) tại hai điểm A,B khác I sao cho tam giác MAB vuông tại
M, trong đó M là điểm cực đại của đồ thị hàm số.
ĐS: các đường thẳng qua I lần lượt có các hệ số góc là








2
51

2
k
k

Bài 2: Cho hàm số
23
23
 xxy
có đồ thị (C),tìm m để đường thẳng đi qua 2 điểm cực
trị của (C) tiếp xúc với đường tròn:
5)1()(
22
 mymx
?
DS: m=2, m=-4/3
Bài 3: Cho hàm số
23
23
 xxy
có đồ thị (C),tìm điểm M thuộc đường thẳng y=3x-2
sao cho tổng khoảng cách từ điểm M đến 2 điểm cực trị đạt GTNN?
DS: M(4/5;2/5)