ứng dụng đạo hàm vào giải toán thpt

Chương 3: Ứng dụng của đạo hàm
1
* Các bdt lồi: 5
* Bdt Jensen: 5
*/ BDT về số trung bình: 5
* BDT Holder: 6
* BDT Minkowski: 7
* Cách tìm tiệm cận 1 số hàm số: 8
6/ Điểm kì dị, điểm lùi: 8
7/ Khảo sát đường cong trong tọa độ cực: 9
8/ Đối xứng trong tọa độ cực: 11
9/ Tiếp tuyến của đường cong trong tọa độ cực: 12
10/ Vi phân cung: 13
11/ Độ cong: 13
* Giải pt f(x) = 0 bằng phương pháp Newton: 16
* Định lí Weiertrass: 17

Ta nói hàm f(x) tăng trên (a, b) nếu:
( ) ( ) ( )
1 2 1 2 1 2
x ,x a,b ,x x f x f x∀ ∈ < ⇒ ≤
Ta nói hàm f(x) tăng chặt trên (a, b) nếu:
( ) ( ) ( )
1 2 1 2 1 2
x ,x a,b ,x x f x f x∀ ∈ < ⇒ <
Định lí 1: Cho f(x) khả vi trên khoảng (a, b). Hàm f(x) tăng trên (a, b)
( ) ( )
(
)
( ) ( )
( ) ( )

( )
( ) ( )
( )
( )
(
)
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
'
o o
'
o
x 0
o o
o o
o o
'
o
x 0
'
'
2 1 2 1
f x 0, x a,b
f x x f x
Ta có : f x lim 0
x
Vì f x x f x 0, x 0
x 0 f x x f x 0 do ham f x dong bien
f x x f x

f x lim 0
x
Nguoc lai, neu f x 0 tren a,b ,theo dinh lí Larrange ta có :
f x f x f c x x 0
+
+
∆ →
−
−
∆ →
⇔ ≥ ∀ ∈
+ ∆ −
= >
∆
+ ∆ − > ∆ >
∆ < ⇒ + ∆ − <
+ ∆ −
⇒ = >
∆
≥
− = − ≥

Định lí 2: Cho f(x) khả vi trên khoảng (a, b). Hàm f(x) tăng chặt trên (a, b) khi:
1
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
'
'
1 1 1 1
1/ f x 0, x a,b

2 / Ko ton tai khoang con a ,b a,b sao cho f x 0 tren a ,b
≥ ∀ ∈
⊂ =
Cho f(x) thỏa 1/ và 2/, vậy theo định lí 1 hàm f(x) tăng trên (a, b)
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
1 2 1 2 1 2 1 2
'
1 2
2
x
2
x ' x '' x
' ' '
Gia su: x ,x a,b x x : f x f x f x f x f x
f x 0 tren x , x trái voi 2/
x
VD1: Cm voi x 0 ta có :e 1 x
2
x
Dat f x e 1 x f x e 1 x, f x e 1 0
2
f x tang tren 0, nhung f 0 0 f x 0 x 0
f x tang tren 0, f x f 0 0
∃ ∈ < = ⇒ = =
⇒ =
> > + +

= − − − ⇒ = − − = − >
⇒ ∞ = ⇒ > ∀ >
⇒ ∞ ⇒ > =
Định lí: Cho f(x) khả vi trong lân cận
( )
'
o o
x và f x 0
=
1/ Nếu
( )
''
o
f x 0<
thì f(x) đạt cực đại tại
o
x
2/ Nếu
( )
''
o
f x 0
>
thì f(x) đạt cực tiểu tại
o
x
Với
( )
'
o

f x 0=
I use Taylor formula với n = 2:
( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( ) ( ) ( )
''
o
2 2
o o
2
''
o
2
o o
2
2
''
o o o
2
f x
f x x f x x o x
2!
o x
f x
f x x f x x

2!
x
o x
Because : 0 khi x 0 nen f x x f x cùng dau voi f x
x
+ ∆ = + ∆ + ∆
 
∆
 ÷
⇒ + ∆ − = ∆ +
 ÷
∆
 ÷
 
∆
→ ∆ → + ∆ −
∆
Định nghĩa: Hàm f(x) xác định và liên tục trên (a, b) được gọi là lõm trên (a, b) nếu:
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
1 2 1 2 1 2
x ,x a,b , c 0,1 f cx 1 c x cf x 1 c f x∀ ∈ ∈ ⇒ + − ≤ + −
Xét ý nghĩa hình học của hàm lõm:
Xét đồ thị cùa hàm số y = f(x) và 2 điểm
( )
( )
( )
( )
1 1 1 2 2 2

A x ,f x , A x ,f x
trên đồ thị.
2
( )
( )
1 2
f cx 1 c x+ −
là tung độ của điểm
( )
( )
o o o
A x ,f x
trên đồ thị với
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
1 o 2 o 1 2
1 1 2 1 2 1 2
1 2 2 1 2 1 2
x x x x cx 1 c x voi c 0,1
x cx 1 c x 1 c x 1 c x x x Vì 1 c 0
cx 1 c x x cx cx x x Vì c 0
< < ⇒ = + − ∈
< + − ⇔ − < − ⇔ < − ≠
+ − < ⇔ < ⇔ < ≠
Còn
( ) ( ) ( )
1 2
cf x 1 c f x+ −
là tung độ của điểm B nằm trên dây trương cung

1 2
A A
(đoạn thẳng
1 2
A A
)
Vậy hàm lõm trên (a, b) nếu điểm
o
A
nằm dưới điểm B hay cung
1 2
A A
nằm dưới
dây trương cung
1 2
A A
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
1 2 2 1 2 1 2 1 2 1
1 1 1
1 2 1
1 1
1 2

2 1 2 1
1 2 1
2 1 1 2 1 2 1 1 2 1
2 1 2 1 2 1 1 2
o B 1 2 o
A A x x ,f x f x x x ,y y
A x ,y parametric equation of line segment
x x x x t
x x y y
A A :
x x y y
y y y y t
y y x x y y y x x y x x
x y y y x x x y x y 0 1
B x ,y , B A A x
= − − = − −
= ⇒
= + −

− −

⇒ =

− −
= + −


⇔ − − − = − − −
⇔ − − − + − =
= ∈ =

( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
1 2 o
1 2 2 2 1 2 1 1 2 B 2 1
1 2 2 2 2 2 1 1 2 1 2 1 2 1 1 2 B 2 1
1 2 1 2 2 2 1 2 B 2 1 B 1 2
cx 1 c x voi c 0,1 The x vào 1 :
cx x cx y y x y x y y x x
cx y x y cx y cx y x y cx y x y x y y x x
x cy cy y x cy cy y y x x y cy 1 c y
+ − ∈
+ − − + − = −
⇔ + − − − + + − = −
⇔ − − − − − = − ⇔ = + −
Parametric equation: pt tham số. line segment: đoạn thẳng.
Hàm được gọi là lồi trên (a, b) nếu
( )
( )
( ) ( ) ( )
1 2 1 2
f cx 1 c x cf x 1 c f x+ − ≥ + −
Nói cách khác hàm f(x) lồi nếu hàm – f(x) lõm
Định lí dấu hiệu lồi, lõm: Cho f(x) khả vi đến cấp 2 trên (a, b). Khi ấy hàm số lõm
trên (a, b)
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
''
1 2 1 1 2 2
1 2 1 2 1 2
1 1 2 1 2 1
1 2
1 2
2 1 2 2 1 2
1 2
1 2 1 2
f x 0 tren a,b
Ki hieu : x cx 1 c x voi c 0,1 y f x y f x y f x
Khi ay f cx 1 c x cf x 1 c f x y cy y 1 c 1
x x cx 1 c x x x x 1 c
y y y y
x x x x
x x cx 1 c x x c x x
y y y y
c y
x x c 1 c x x
⇔ ≥
= + − ∈ = = =
+ − ≤ + − ⇔ ≤ + −
− = + − − = − − 
− −
⇔ ≤
 ÷

 ÷
− −
− = + − − = −
 
− −
⇔ ≤ ⇔ −
− − −
( ) ( ) ( )
( ) ( )
1 2
1 2 2 1 2
y c 1 y y
cy y y cy y cy y 1 c ta có lai 1
≤ − −
⇔ − ≤ − − ⇔ ≤ + −
3
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
1 2
1 2
1 1 2

'
1 1
x x
1 1 2
1
2 1 2
'
2 2
x x
2 1 2
2
1 2
' ' ' ''
1 2 1 2
1 2
''
f x f x f x f x
x x x x
f x f x f x f x
Cho x x lim f x
x x x x
f x f x f x f x
Cho x x lim f x
x x x x
f x f x
f x f x x x f x dong bien f x 0
x x
f x loi neu f x 0
→
→

− −
≤
− −
− −
→ ⇒ = ≤
− −
− −
→ ⇒ = ≥
− −
−
⇒ ≤ ≤ < ⇒ ⇒ ≥
−
≤
Ngược lại, cho
( ) ( ) ( )
''
1 2
f x 0 tren a,b . Lay x x ,x≥ ∈
theo định lí Larrange ta có:
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
1 2
' '
1 2
1 2
'' '

1 1 2 2
' '
1 2
f x f x f x f x
f c f c
x x x x
Voi x c x c x . Vì f x 0 nen f x dong bien
f c f c
− −
= =
− −
< < < < ≥
⇒ ≤
* Cho f là 1 hàm số xác định và liên tục trong [a, b] and
[ ]
''
f 0 trong a,b
>
khi đó
hàm số f lồi trong [a, b]
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
set dat : g t t.f a 1 t f b f t.a 1 t b= + − − + −
muốn cm f lồi trong đoạn [a,
b], ta cm f(x) thỏa bdt lồi, nghĩa là cm:
( )
[ ]
g t 0 voi moi t 0,1≥ ∈
, từ biểu thức định
nghĩa, ta có:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
' '
o o o
'
'
' '
o o
g t f a f b a b .f t.a 1 t b
theo cong thuc Larrange,ton tai c t .a 1 t b, t 0,1
sao cho a c b and f a f b a b f c
the giá tri cua f a f b vào bieu thuc cua g t , ta dc:
g t a b t .a 1 t b f t.a 1 t b
= − − − + −
= + − ∈
< < − = −
−
 
= − + − − + −
 
( ) ( ) ( )

( )
( )
( )
( )
( )
[ ] [ ]
( ) ( )
( )
[ ]
'' '
o
' ' ' '
o o o o o
o o
theo gia thiet: f 0 f tang, a b 0
and t.a 1 t b t. a b b t . a b b
khi t t , ta có g t g t 0 if t t , g t g t 0 if t t
g t tang trong 0, t and giam trong t ,1 , because g 0 g 1 0
g t 0 with t 0,1
> ⇒ − <
+ − = − + < − +
≥ ≥ = ≤ ≤ = ≥
⇒ = =
⇒ > ∈
4
Điểm uốn: điểm
( )
( )
o o
M x ,f x

được gọi là điểm uốn nếu nó phân cách cung lồi và
cung lõm của đường cong f(x).
Định lí: Cho hàm f(x) có đạo hàm
( )
''
f x
trong lân cận điểm
o
x
, nếu khi qua
o
x
đạo
hàm cấp 2
( )
''
f x
đổi dấu thì điểm
( )
( )
o o
M x ,f x
là điểm uốn
* Các bdt lồi:
* Bdt Jensen:
( )
[ ]
( )
1 2 n 1 2 n
n n n

k k k k k
k 1 k 1 k 1
n
k k
k 1
Cho f là 1 hàm so loi trên D a,b , with x ,x , x D and a ,a , a 0,1
sao cho a 1, ta có : f a .x a .f x
Cm : with n 2, do la dn tính loi cua f, bay gio ta se quy nap theo n :
gia su bdt dung voi so nguyen n 2 : f a .x
= = =
=
= ∈ ∈
 
= ≤
 ÷
 ÷
 
=
>
∑ ∑ ∑
( )
[ ]
( )
n
k k
k 1
1 2 n n 1 1 2 n n 1
n 1
k i
k 1

a .f x
ta cm nó cung dung voi n 1: lay x ,x , x ,x D and a ,a , a ,a 0,1
sao cho a 1 gia su a , i 1,n ko dong thoi 0, dat set :
=
+ +
+
=
 
≤
 ÷
 ÷
 
+ ∈ ∈
= = =
∑ ∑
∑
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
n n
k n 1 n 1 k k
k 1 k 1
n 1
k k n 1
k 1
n 1 n 1 n 1
n n
k k
k k

k 1 k 1
n
k k
k 1
1
c a 1 a 0 a 1 c, and y a .x
c
dùng dn hàm loi, ta có:
f a .x f c.y 1 c x
c.f y 1 c f x c.f y a .f x
a .x 1
dùng gia thiet quy nap, ta dc: f y f a .f x
c c
f a .x
+ +
= =
+
+
=
+ + +
= =
=
= = − > ⇒ = − =
 
= + − ≤
 ÷
 ÷
 
+ − = +
 

= ≤
 ÷
 ÷
 
⇒
∑ ∑
∑
∑ ∑
( )
1 n 1
k k
k 1
a .f x
+ +
=
 
≤
 ÷
 ÷
 
∑ ∑
*/ BDT về số trung bình:
5
( ) ( ) ( ) ( )
[ ]
1
n
n
n
i k k

k 1
k 1
''
2
n
k i
k 1
1
Cho a 0; i 1,n set : A a , B a khi do : B A
n
1
Cm : Xét hàm f x ln x, x 1, , f x 0 f x loi
x
do dó có the dùng bdt Jensen và dc, with b 1, b 0,1 , i 1,n
=
=
=
 
≥ = = = ≤
 ÷
 ÷
 
= − ∈ ∞ = > ⇒
= ∈ =
∑
∏
∑
( )
n n n n
b

k
k k k k k k
k
k 1 k 1 k 1 k 1
1
n n
n
i k k
k 1 k 1
ln b .a b . lna b .a a ,
1 1
khi b , i 1,n so: a a
2 n
= = = =
= =
   
⇒ − ≤ − ⇔ ≥
 ÷  ÷
 ÷  ÷
   
 
= = ≥
 ÷
 ÷
 
∑ ∑ ∑ ∏
∑ ∏
* BDT Holder:
n n
b

k
k k
k
k 1 k 1
p q
p
1 2 q 1 2
1 1
n n
p q
p q
k k
k 1 k 1
1 1
Cho p 1, q 1 sao cho 1. khi do :
p q
Cho x 0, y 0, use BDT b .a a
1 1 x y
with n 2, a x , a y , b , b , ta dc: x.y
p q p q
BDT van dung khi x or y=0.
Put: a x , b y with a.b 0
= =
= =
> > + =
 
> > ≥
 ÷
 ÷
 

= = = = = ≤ +
   
= = ≠
 ÷  ÷
 ÷  ÷
   
∑ ∏
∑ ∑
6
p q
p q
k k k k k k
p q
n n n
p q
k k k k
p q
k 1 k 1 k 1
p q
p q
1 1
n n n
p q
p q
k k k k
k 1 k 1 k 1
x y x .y x y
x y 1 1
x , y , x.y . . , k 1,n
a b p q ab p q

a b
1 1 1
x .y x y
ab
p.a q.b
1 1 1 1
.a .b 1
p q
p.a q.b
x .y ab x . y
= = =
= = =
= = ≤ + ⇒ ≤ + =
⇒ ≤ +
= + = + =
   
⇒ ≤ =
 ÷  ÷
 ÷  ÷
   
∑ ∑ ∑
∑ ∑ ∑
( )
(
)
(
)
2
2 2 2 2
1 1 2 2 1 1 2 2

n n n
p p 1 p 1
k k k k k k k k
k 1 k 1 k 1
khi p q 2, bdt tren dc goi là bdt Cauchy-schwartz:
x .y x .y x y x y
ta cung có : x y x x y y x y
p 1, q 1 p
− −
= = =
= =
+ ≤ + +
+ ≤ + + +
= = −
∑ ∑ ∑
* BDT Minkowski:
1 1 1
n n n
p p p
p p p
k k k k
k 1 k 1 k 1
x y x y
= = =
     
+ ≤ +
 ÷  ÷  ÷
 ÷  ÷  ÷
     
∑ ∑ ∑

4/ Đường tiệm cận:
1/ Đường thẳng x = a được gọi là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = f(x) nếu thỏa 1
trong 2 điều kiện:
( ) ( )
x a x a
lim f x lim f x
− +
→ →
= ∞ = ∞
2/ Đường thẳng y = b được gọi là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = f(x) nếu thỏa
1 trong 2 điều kiện:
( ) ( )
x x
lim f x b lim f x b
→+∞ →−∞
= =
3/ Đường thẳng y = ax + b được gọi là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số y = f(x) nếu
( )
( )
x
lim f x ax b 0
→∞
− − =
Cách tìm các hệ số a, b của đường tiệm cận xiên y = ax + b
( )
( )
( )
( )
( )
( )

( )
( ) ( )
x x x
x x
lim f x ax b 0 lim f x ax lim f x ax b b 0 b
f x f x ax b
b
lim lim a a
x x x
→∞ →∞ →∞
→∞ →∞
− − = ⇒ − = − − + = +
− − 
= + + =
 ÷
 
7
* Cách tìm tiệm cận 1 số hàm số:
5/ Pt tham số của đường cong:
1/ Elip:
2 2
2 2
x y
1
a b
+ =
Vì tổng bình phương của
x y
, 1
a b

=
, nên có thể coi chúng là cost
và sint:
[ ]
x y
cos t sin t t 0,2 Vay ta có pt tham so cua elip : x a cos t, y bsin t
a b
= = ∈ π = =
2/ Xicloit là quỹ đạo của 1 điểm M nằm trên đường tròn bán kính a khi vòng tròn đó
lăn ko trượt trên 1 đường thẳng d. Pt tham số của xicloit:
( ) ( )
x a t sin t y a 1 cos t= − = −
3/ Epixicloit (ngoại xicloit) và hypoxicloit (nội xicloit):
Cho 1 vòng tròn (C) lăn ko trượt trên bề mặt của 1 vòng tròn khác. Quỹ tích 1 điểm
của vòng tròn (C) được gọi là epixicloit (ngoại xicloit). Trong trường hợp vòng tròn
(C) lăn theo bề mặt trong, quỹ tích được gọi là hypoxicloit (nội xicloit).
Cho vòng tròn cố định có tâm tại tại gốc tọa độ O bán kính a, vòng tròn (C) lăn
ngược chiều kim đồng hồ và có bán kính m.a
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
Pt tham so cua epixicloit:
x a 1 m cosmt m.cos 1 m t y a 1 m sin mt m.sin 1 m t
Pt tham so cua hypoxicloit:
x a 1 m cos mt m.cos 1 m t y a 1 m sin mt m.sin 1 m t

   
= + − + = + − +
   
   
= − + − = − + −
   
Các pt tham số của hypoxicloit nhận được từ pt của epixicloit bằng cách thay m bởi –
m
6/ Điểm kì dị, điểm lùi:
Định nghĩa: Điểm
( ) ( ) ( )
o o o o o 0
M x ,y x x t y y t= =
của đường cong (C) được
gọi là điểm kì dị nếu:
( ) ( )
' '
o o
x t 0, y t 0= =
Xét điểm
( ) ( ) ( )
o o o o o 0
M x ,y x x t y y t= =
có tính chất
( )
'
x t
liên tục trong lân
cận
( )

'
o o
t và x t 0≠

⇒
trong 1 lân cận của
o
t
hàm x(t) đơn điệu chặt nên tồn tại
hàm ngược
( )
t a x=
. Thay vào biểu thức của y ta được y là hàm số của x:
( )
( )
y y a x=
Như vậy trong lân cận của
o
t
, hàm y được biểu diễn tường minh qua x
Tương tự đối với trường hợp
( )
( )
( )
'
o
y t 0 thì ta có hàm tuong minh x x b y≠ =
Như vậy chỉ có trường hợp
( ) ( )
' '

o o
x t 0, y t 0
= =
là đường cong (C) ko thể có pt
tường minh.
Tính chất của tiếp tuyến: Giả sử
( )
'
o
x t 0≠
thì tiếp tuyến với C tại
( )
o o
A x ,y
có hệ
số góc:
8
( )
( )
( )
( )
'
o
' '
x o
'
o
y t
k y A Neu y t 0
x t

= = =
thì tiếp tuyến song song Ox
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
'
o
' ' ' '
o o y x
'
o
x t
Neu x t 0 mà y t 0 thì ta có : x A 0, y A
y t
= ≠ = = = ∞
tiếp tuyến song song Oy
Tiếp tuyến tại điểm kì dị
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
'' ''
o o o o o 0 o o
M x ,y x x t y y t và x t 0 or y t 0= = ≠ ≠
Qua 2 điểm
( )
( ) ( )
( )
o o
M x ,y và N x t , y t
cùa đường cong (C) ta có cát tuyến với pt:

( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
o o
o o o o
o o
2 2
'' ''
o o o o
' '
o o o o o
2 2
'' ''
o o o o
' '
o o o o o
o o
'' ''

o o
x x y y
x x t y y t Theo cong thuc Taylor, ta có:
x t x y t y
x t t x t t
x t x x t t x t x Vì x 0
2! 2!
y t t y t t
y t y y t t y t y Vì y 0
2! 2!
x x y y
pt tiep tuyen tai M :
x t y t
− −
= = =
− −
− −
= + − + ⇒ − = =
− −
= + − + ⇒ − = =
− −
⇒ =
Vì tiếp tuyến tại M là vị trí tới hạn của cát tuyến MN khi
( )
o
N M t t→ →
Điểm lùi: Giả sử
( )
''
o

x t 0
>
, vậy hàm số x = x(t) có cực tiểu tại
( )
( )
o o o
t x t x t x⇒ > =

trong lân cận
o
t
.
Điều đó về mặt hình học có ý nghĩa: nếu chia đường cong (C) thành 2 nhánh ứng với
1 o 2 o
C : t t và C : t t> <
thì 2 nhánh gặp nhau tại
o
t t=
và cùng có chung tiếp tuyến.
Vì
( )
( )
o o o
x t x t voi t t và t t> > <
nên cà 2 nhánh đều nằm về bên phải của đường
thẳng
o
x x=
. Khi ấy điểm
( )

o o
M x ,y
được gọi là điểm lùi của đường cong (C)
7/ Khảo sát đường cong trong tọa độ cực:
Trong mặt phẳng chọn 1 điểm O cố định gọi là cực và 1 tia Ox gọi là tia cực. Vị trí
của điểm M trong mặt phẳng hoàn toàn được xác định bởi 2 đại lượng:
( )
r OM Ox,OM= ϕ =
uuuur uuuur
Trong đó: r là bán kính vector, φ là góc cực của điểm M.
φ là góc định hướng có chiều dương ngược với chiều quay của kim đồng hồ.
Cặp (r, φ) được gọi là các tọa độ cực của điểm M.
Để biểu diễn được tất cả các điểm của mặt phẳng chỉ cần hạn chế:
r 0, 0 2≥ ≤ ϕ ≤ π
Công thức đổi từ hệ tọa độ Decaster Oxy sang tọa độ cực:
9
2 2
y
x rcos y rsin r x y tg
x
= ϕ = ϕ = + ϕ =
Ta chọn φ sao cho sinφ cùng dấu với
y
VD: điểm M trong tọa độ Descarter là:
1 3
x , y
2 2
= =
2
2

1 2
1 3
Vay :r 1, tg 3 ,
2 2 3 3
3
Ta chon vì sin 0 cùng dau voi y 0
3 3 2
Vay M 1,
3
 
π π
 
= + = ϕ = ⇒ ϕ = ϕ = + π
 ÷
 ÷
 
 
π π
ϕ = > = >
π
 
 ÷
 
Hệ tọa độ cực mở rộng:
Cho M(r, φ), với r, φ ko bị hạn chế mà được lấy các giá trị bất kì. Khi ấy ta có tọa độ
cực mở rộng. Như vậy 1 điểm có nhiều tọa độ cực khác nhau.
4
VD : ChoM 1,
3
π

 
−
 ÷
 
trên tia Ou (kéo dài) tạo với Ox góc
4
3
π
ϕ =
, lấy điểm M có
OM 1= −
uuuur
thì M phải ngược hướng với Ou.
Đổi sang tọa độ Descarter:
4 1 4 3
x 1.cos y 1.sin
3 2 3 2
π π
= − = = − =
Điểm M có nhiều cách biểu diễn trong tọa độ cực mở rộng:
4 5
1, , 1, , 1,
3 3 3
π π π
     
−
 ÷  ÷  ÷
     
VD1: lập pt đường tròn bán kính a đi qua cực O và có tâm trên trục cực:
Cách 1: Cho tâm tại điểm I(a, 0) và đường kính OA đi qua I. M thuộc đường tròn với

( )
Ox,OM xét tam giác vuong OMI thì r OM OA.cos 2a.cos= ϕ = = ϕ = ϕ
uuuur
Cách 2: trong tọa độ Descarter đường tròn đó có pt:
( )
2
2 2
x a y a− + =
Thế
x rcos y rsin vào pt trên ta duoc : r 2a.cos= ϕ = ϕ = ϕ
VD2: Cm đường
( )
r a sin a 0= ϕ >
là pt đường tròn bán kính
a
2
2
2 2
2 2 2 2 2 2
Voi r 0 ta có : r asin r arsin
a a
The r x y , y rsin ta duoc :x y ay x y
2 2
a a
duong tròn tâm 0, bán kính
2 2
≠ = ϕ ⇔ = ϕ
   
= + = ϕ + = ⇔ + − =
 ÷  ÷

   
 
 ÷
 
VD3: Lập pt của các đường conic (parabol, elip, hyperbol) trong tọa độ cực.
10
Cho trước 1 đường chuẩn (L), 1 tiêu cự F và 1 số e > 0 (được gọi là tâm sai). Khi ấy
đường conic là quỹ tích tất cả những điểm M sao cho:
( ) ( )
( )
d M,F d M, L=
d(M, (L)) là khoảng cách từ điểm M đến đường chuẩn (L)
d(M, F) là khoảng cách từ điểm M đến tiêu cự F
Nếu 0 < e < 1 ta có elip, e = 1: ta có parabol, e > 1: ta có hyperbol
Cho tiêu cự F trùng với cực O, đường chuẩn (L) cách cực O 1 khoảng 2p và tạo với
trục cực 1 góc α. M(r, φ) là 1 điểm bất kì trên đường conic, r > 0, MF = MO = r
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
d M, L 2p rsin
Tu d M,F d M, L r 2pe resin
2ep
pt duong conic: r
1 esin
= + α − ϕ
= ⇒ = + α − ϕ

⇒ =
− α − ϕ
Ta xét 1 trường hợp thường gặp: khi đường chuẩn vuông góc trục cực:
2
π
α =
( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
2 2
2 2 2 2 2
2
2ep
Khi ay ta có pt : r r e rcos 2p x y e x 2p
1 ecos
Voi dk x 2p x y e x 4px 4p 1
Neu e 1 parabol , ta duoc : y 4p x p
= ⇔ = ϕ + ⇔ + = +
− ϕ
≥ − ⇔ + = + +
= = +
Đó là pt parabol, tiêu cự trùng với gốc tọa độ và đường chuẩn có pt x = – 2p
( ) ( )
(
)
2
2 2 2 2
2 2 2
2

2
2
2
2 2 2
2
2e p y 4e p
Cho e 1 elip , ta dua 1 ve dang : x
1 e 1 e
1 e
2ep 2ep
Do là elip voi các bán truc : a , b ,
1 e
1 e
2e p c
c b a c e
a
1 e
 
< − + =
 ÷
 ÷
− −
 
−
= =
−
−
= = + =
−
đường chuẩn có pt x = – 2p

8/ Đối xứng trong tọa độ cực:
1/ Nếu khi thay (r, φ) = (r, π – φ) or (– r, – φ) mà đồ thị hàm số ko thay đổi thì đồ thị
đối xứng qua đường
2
π
ϕ =
( ) ( )
( )
( ) ( )
x rcos r cos rcos y rsin rsin rsin= ϕ = − π − ϕ = − − −ϕ = ϕ = π − ϕ = − −ϕ
2/ Nếu khi thay (r, φ) = (r, – φ) or (– r, π – φ) mà đồ thị hàm số ko thay đổi thì đồ thị
đối xứng qua trục cực
( ) ( ) ( ) ( )
( )
x rcos r cos r cos y rsin rsin rsin= ϕ = −ϕ = − π − ϕ = ϕ = − −ϕ = − − π − ϕ
11
3/ Nếu khi thay (r, φ) = (– r, φ) or (r, π + φ) mà đồ thị hàm số ko thay đổi thì đồ thị
đối xứng qua cực O
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
x rcos r cos r cos
y rsin rsin rsin
= ϕ = − − ϕ = − π − ϕ
= ϕ = − − ϕ = − π + ϕ
4/ Nếu r = f(sinφ) or r là hàm lẻ theo φ thì đồ thị đối xứng qua đường

2
π
ϕ =
( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
x rcos r cos rcos y rsin rsin rsin
x rcos f sin cos f sin cos f sin cos
y rsin f sin sin f sin sin f sin sin
Voi dk f là hàm le theo , f sin f sin
= ϕ = − π − ϕ = − − −ϕ = ϕ = π − ϕ = − −ϕ
= ϕ = ϕ ϕ = − − −ϕ −ϕ = − π − ϕ π − ϕ
= ϕ = ϕ ϕ = − −ϕ −ϕ = π − ϕ π − ϕ
ϕ −ϕ = − ϕ
5/ Nếu r = f(cosφ) or r là hàm chẵn theo φ thì đồ thị đối xứng qua trục cực

( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
x rcos r cos r cos y rsin rsin rsin
x rcos f cos cos f cos cos f cos cos
y rsin f cos sin f cos sin f cos sin
= ϕ = −ϕ = − π − ϕ = ϕ = − −ϕ = − − π − ϕ
= ϕ = ϕ ϕ = −ϕ −ϕ = − π − ϕ π − ϕ
= ϕ = ϕ ϕ = − −ϕ −ϕ = − − π − ϕ π − ϕ
9/ Tiếp tuyến của đường cong trong tọa độ cực:
Gọi a là góc giữa bán kính vector
OM
uuuur
với tiếp tuyến tại M(r, φ)
b là góc của tiếp tuyến tại M với Ox, tiếp tuyến tại M cắt Ox tại C, trong
OMC∆
góc
MCO là góc ngoài của tam giác

( ) ( )

góc MCO góc COM góc OMC b a a b
tgb tg
tga tg b 1
1 tgb.tg
⇒ = + ⇒ = + ϕ ⇒ = − ϕ
− ϕ
⇒ = − ϕ =
+ ϕ
Đường cong r = f(φ) có thể viết ở dạng tham số sau:
( ) ( )
'
'
'
x
' '
y
r sin r cos
x r cos y r sin he so goc: y tgb
x r cos rsin
ϕ
ϕ
ϕ + ϕ
= ϕ ϕ = ϕ ϕ ⇒ = = =
ϕ − ϕ
'
dr
r
d
=
ϕ

Thế vào (1) ta được:
'
r
tga
r
=
Tiệm cận: coi φ là tham số và đưa đường cong về dạng tham số:
( )
( )
x r cos
y r sin
a a.cos a.sin
VD : r . Dua ve tham so : x , y
Khi 0 thì x , y 1 nên y 1là tiem can ngang
= ϕ ϕ



= ϕ ϕ


ϕ ϕ
= = =
ϕ ϕ ϕ
ϕ → → ∞ → =
12
10/ Vi phân cung:
Chia cung
»
AB

thành n phần bởi các điểm:
o 1 2 n
A M , M , M , M B= =
ứng với các
giá trị:
o 1 2 n
t t t t< < <
Gọi p là độ dài của đường gấp khúc:
o 1 1 2 n 1 n
p M M M M M M
−
= + +
Đường gấp khúc ấy được gọi là đường gấp khúc nội tiếp cung
»
AB
Độ dài cung
»
AB
là cận trên đúng của độ dài các đường gấp khúc nội tiếp cung
»
AB
S = Sup(p)
Giả thiết tồn tại các đạo hàm liên tục
( ) ( )
' '
x t , y t
. Khi ấy ta có:
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )

n 1
2 2
k 1 k k 1 k
k 0
' '
k 1 k k k 1 k k 1 k k k 1 k
n 1
2 2
' '
k k k 1 k
k 0
p x t x t y t y t
theo dinh lí Larrange, ta có :
x t x t x c t t y t y t y d t t
p x c y d t t
−
+ +
=
+ + + +
−
+
=
= − + −   
   
− = − − = −
   
⇒ = + −
   
∑
∑

Kí hiệu m
1
là giá trị nhỏ nhất của
( )
'
x t
, M
1
là giá trị lớn nhất của
( )
'
x t
m
2
là giá trị nhỏ nhất của
( )
'
y t
, M
2
là giá trị lớn nhất của
( )
'
y t
( ) ( )
( ) ( )
( )
2 2 2 2
1 2 n o 1 2 n o
2 2 2 2

1 2 n o 1 2 n o
m m t t p M M t t
m m t t S M M t t 1
⇒ + − ≤ ≤ + −
⇒ + − ≤ ≤ + −
Kí hiệu M(t) là điểm trên cung
»
AB
ứng với giá trị t, và S(t) = độ dài cung
( )
¼
AM t
.
Xét cung
( ) ( )
¼
( )
2 2 2 2
1 2 1 2
M t M t t voi do dài S. Theo 1 ta có : m m t S M M t+ ∆ ∆ + ∆ ≤ ∆ ≤ + ∆
ở đây
1 2 1 2
m , m , M , M
là các giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của
( ) ( )
[ ]
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
' ' 2 2 2 2

1 2 1 2
' ' ' '
1 1
2 2
' ' ' ' '
2 2
t 0
2 2
' ' 2 2 2
S
x t , y t trên doan t, t t vay : m m M M
t
Cho t 0, vì x t , y t lien tuc, nên m x t , M x t ,
S
m y t , M y t S t lim x t y t
t
vay :dS x t y t hay dS dx dy
∆ →
∆
+ ∆ + ≤ ≤ +
∆
∆ → → →
∆
→ → ⇒ = = +
∆
= + = +
11/ Độ cong:
a/ định nghĩa: trên đường cong (C) lấy 1 điểm cố định I gọi là gốc của hoành độ cong
và chọn 1 hướng tính độ dài cung (1 hướng độ dài cung dương và 1 hướng độ dài
13

cung âm). Cho A, B là 2 điểm trên (C). Kí hiệu
∆ω
là góc giữa 2 tiếp tuyến dương tại
A và B, ∆s là độ dài cung AB. Khi đó tỉ số
s
∆ω
∆
được gọi là độ cong trung bình của
cung
»
AB
.
VD1: Với (C) là đường thẳng thì độ cong trung bình của mọi đoạn AB đều bằng nhau
và = 0
(vì 0)∆ω =
VD2: Cho (C) – đường tròn bán kính R. Góc giữa 2 tiếp tuyến dương tại A và B
·
tb
1
AOB s R. C
s R
∆ω
= = ∆ω ∆ = ∆ω ⇒ = =
∆

Vậy độ cong trung bình của mọi cung đều bằng nhau và chỉ phụ thuộc bán kính.
Định nghĩa: độ cong của đường cong (C) tại điểm A là giới hạn của độ cong trung
bình của cung
»
AB

khi B tiến tới A (A, B luôn thuộc (C))
s 0
C lim
s
∆ →
∆ω
=
∆
Công thức tính độ cong: gọi góc giữa hướng dương của trục Ox với tiếp tuyến dương
tại A là
α
, tại B là
α + ∆α
, khi ấy ta có:
∆α = ∆ω
(góc ngoài của tam giác)
s 0
d
C lim
s d
∆ →
∆ω α
⇒ = =
∆ ϕ
a/ Trong tọa độ Descarter: Cho đường (C) có pt y = f(x)
( )
( )
( )
( )
( )

( )
( ) ( )
''
'
' ' ' ' '
x x x
2
'
2
'
x
2
'
x
''
'' ''
2 3 3
2
'
'
2 2
2 2
' '
d y
khi ay : tg y arctgy d .dx arctgy
dx
1 y
dx 1
ds 1 y dx
ds

1 y
y
d d dx y 1 y
. . C
ds dx ds
1 y
1 y
1 y 1 y
α
α = ⇒ α = α = α ⇒ = α = =
+
= + ⇒ =
+
α α
⇒ = = = ⇒ =
+
+
   
+ +
 ÷  ÷
   
b/ Đường cong tham số: Cho (C) có pt tham số:
14
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
'

'' ' '' '
' ''
t
x x
' 3
'
t
t
''
'' ' '' '
t
2 3 3
2
' '
'
2
t t
2
x
'
x
y
y x x y
x x t , y y t y , y
x
x
y
d d dx 1 y x x y 1
. . .
ds dx ds

1 y x
1 y
1 y
 
 ÷
−
= = ⇒ = =
 ÷
 ÷
 ÷
 
 
 ÷
α α −
⇒ = = =
 ÷
 ÷
+
 ÷
+
 
 
+
 ÷
 
(
)
(
)
(

)
(
)
(
)
(
)
(
)
( )
3 3
3 2 2 2
2 2
' ' ' ' ' ' '
t x t t t x t
'' ' '' '
3
2 2
2
' '
t t
x 1 y x y x .y y
y x x y
C 2
x y
   
+ = + =
 ÷  ÷
   
−

⇒ =
 
+
 ÷
 
c/ Trong tọa độ cực: Cho (C) có pt trong tọa độ cực r = r(φ). Ta có thể coi như (C) có
pt tham số sau:
( ) ( )
x r cos , y r sin= ϕ ϕ = ϕ ϕ
. Lấy các đạo hàm rồi thay vào (2), ta
có:
( )
( )
2
2 ' ''
3
2
2
2 '
r 2 r r.r
C
r r
+ −
=
 
+
 ÷
 
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )

(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
( ) ( )
' '' ' ''
t t t t
'' ' 2 2 ' '' 2 2
t t t t
'' ' '' ' 2 2 2 2
2 2
2 2
' ' 2
t t
VD : Tìm do cong cua Xicloit
x a t sin t , y a 1 cost tai 1 diem bat kì :
x a 1 cos t , x a 1 sin t , y a 1 sin t , y a 1 cost
y .x a 1 cos t , y .x a 1 sin t ,
y x x y a sin t cos t a
x y a 1 cost 1 sin t
= − = −
= − = + = + = +
= − = +
⇒ − = + =


+ = − + +

(
)
2 2 2
a 2 sin t cos t 2cos t 2sin t

 

= + + − +
15
(
)
(
)
( )
'' ' '' '
3 1 2
3 2
2 2
2
' '
t t
y x x y
1
C
2 a 1 cost
x y
−

⇒ = =
−
 
+
 ÷
 
* Giải pt f(x) = 0 bằng phương pháp Newton:
* định lí về giá trị trung gian:
Cho f(x) là 1 hàm số xác định, liên tục trong khoảng I:
=
[a, b], sao cho a < b và
f(a).f(b) < 0. Khi đó tồn tại 1 điểm c ∈ (a, b) sao cho f(c) = 0
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
o o
o o
o o o
o o o
1 o 1 o o 1 o 1 o
suppose that f a .f b 0 f a trái dau voi f b and gia thiet f a 0
if f a 0 thi thay f boi f set c a and d b, khi do theo gia thiet
c d
f c 0 and f d 0, set u ,
2
if f u 0 thi c u , if f u 0 thi dat
c u , d d , if f u 0 thi dat c c and d u

< ⇒ <
> − = =
+
< > =
= = <
= = > = =
[ ]
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
1 1 1 1
1 1
1
n n
n n
n
n n
n
Consider c ,d we have f c .f d 0,
c d
therefore continuos putting u and continuos this progress
2
with this putting we have f c 0 and f d 0
c d
continuos putting u
2
If f u 0 c u is the solution of equation f x 0
If f u 0 so puttin
<

+
=
< >
+
=
= ⇒ = =
<
( )
n 1 n n 1 n
n n 1 n n 1 n
g c u and d d
If f u 0 so putting c c and d u
+ +
+ +
= =
> = =
Bây giờ ta giả sử quá trình trên ko kết thúc. Khi đó ta có 2 dãy số
{ } { }
n n
c and d
2
dãy đó hội tụ và có chung giới hạn là c.
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
n n n
n n
Vi f c 0 nen theo gia thiet lien tuc cua f x limf c f limc f c 0
limf d f limd f c 0 f c 0
< = = ≤
= = ≥ ⇒ =

Thủ tục chọn các điểm
n
u
ở trên được gọi là thủ tục phân đôi
Giả sử hàm số f(x) xác định, liên tục trên [a, b], khả vi trên (a, b), f(a).f(b) < 0 and
( )
'
f x
ko đổi dấu trên (a, b). Ta lấy 1 điểm
( )
o o
x tùy ý, x a,b∈
với giả thiết trên có
thể khai triển Taylor hàm số f(x) tại
o
x
và có:
16
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
{ }
( ) ( ) ( )
( )
2
' ''
o o o o

o
2
' ''
o o o o
n
o
'
o o o 1 1 o
1
f x f x x x f x x x f d
2
with d o giua x and x the f x vào pt f x 0, dc:
1
f x x x f x x x f d 0
2
ta xây dung thu tuc tim day x hoi tu den ngiem c
bang cách bo qa so hang bình phuong
f x
ta dc: f x x x f x 0 goi x là ngiem, ta có:x x
f
= + − + −
=
+ − + − =
+ − = = −
( )
'
o
x
( )
( )

( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( ) ( )
n 1
n n 1 o o
'
n 1
n n n 1
n 1
n n 1
'
n 1
'
n 1
' '
n 1
f x
x x with x chon truoc x a,b
f x
Cho x hoi tu den c limx lim x c
f x
limx lim x lim
f x
f lim x f c
0 f c 0 vi f c 0 c a,b

f lim x f c
−
−
−
−
−
−
−
−
−
⇒ = − ∈
⇒ = =
⇒ = −
⇔ − = − = ⇒ = ≠ ∈
* Hệ quả: Cho f(x) là 1 hàm số xác định liên tục trong đoạn [a, b]. Khi đó f(x) lấy ít
nhất 1 lần mọi giá trị nằm giữa f(a) và f(b)
Cm: giả sử f(a) < t < f(b) khi đó tồn tại điểm c: a < c < b sao cho f(c) = t. Đặt g(x) =
f(x) – t, khi đó g(a) = f(a) – t < 0 and g(b) = f(b) – t > 0, khi đó theo định lí trên, tồn
tại g(c) sao cho g(c) = 0 ⇒ f(c) – t = 0
* Định lí Weiertrass:
Cho f(x) là 1 hàm số xác định, liên tục trên đoạn [a, b], khi đó tập J = {f(x) / x ∈ [a,
b]} là giới nội and tồn tại 2 điểm c, d ∈ [a, b] sao cho f(d) = sup f(x) and f(c) = inf
f(x), x ∈ [a, b]
1 hàm số liên tục f(x) trên 1 khoảng đóng giới nội thì đạt được cận trên đúng và cận
dưới đúng của nó. Khi đó thay vì viết sup f(x) and inf f(x), ta viết max f(x) and min
f(x).
Ta cm J = {f(x) / x ∈ [a, b]} giới nội. Giả sử J ko giới nội và có 1 cận trên là +∞ (khi
có cận dưới là –∞ thì thay f bởi –f) khi đó tìm được x
N
∈ [a, b] sao cho f(x

N
) ≥ N,
xét dãy {x
N
}, x
N
∈ [a, b] ⇒ dãy {x
N
} bị chặn, do đó theo định lí Bolzano –
Weiertrass, tìm được 1 dãy con
N
k
x
hội tụ tới 1 điểm c ∈ [a, b], theo giả thiết f(x)
liên tục trong [a, b]
( ) ( ) ( )
{ }
N N N k k
k k k
f lim x limf x , becausef x N and day N dan toi⇒ = ≥ + ∞
17
Điều này mâu thuẫn với giả thiết f(x) xác định trong [a, b]. So có thể biểu diễn J =
(m, M) with m = inf f(x), M = sup f(x)
Tiếp theo, ta cm tồn tại c, d ∈ [a, b] sao cho f(c) = m and f(d) = M (chỉ cần cm sự tồn
tại của 1 trong 2 giá trị đó). Vì M = sup f(x), x ∈ [a, b], nên theo định nghĩa với ε > 0
bé tùy ý, luôn tìm được u ∈ [a, b] sao cho 0 < M – f(u) < ε
[ ]
( )
{ }
[ ]

( ) ( )
n n
n n n
k
n n k n
k k k
k
1
with n nguyen duong, luon ton tai u a,b sao cho 0 M f u
n
day u , u a,b là 1day gioi noi có the trích 1day con u hoi tu
1
0 M f u M limf u khi n d limu
n
∈ < − <
∈ ⇒
⇒ < − < ⇒ = → ∞ ⇒ =
Do đó tồn tại d ∈ [a, b] sao cho f(d) = M
≥ ± ≤ ∉ ∃ ∀
18