các phương pháp tạo lưới tự động và ứng dụng trong tính toán cơ học

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN





Nguyễn Thị Thủy





CÁC PHƯƠNG PHÁP TẠO LƯỚI TỰ ĐỘNG VÀ
ỨNG DỤNG TRONG TÍNH TOÁN CƠ HỌC





LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC








Hà Nội – 2011
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN





Nguyễn Thị Thủy





CÁC PHƯƠNG PHÁP TẠO LƯỚI TỰ ĐỘNG VÀ
ỨNG DỤNG TRONG TÍNH TOÁN CƠ HỌC




LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC
Chuyên ngành: Cơ học chất lỏng
Mã số: 60 44 22

Người hướng dẫn khoa học:
PGS.TS. Trần Văn Trản





Hà Nội – 2011

Mục lục
Lời cảm ơn 1
Lời mở đầu 4
1 Một số phương phá p chia lưới tự động không cấu trúc 6
1.1 Phương pháp chia lưới Delaunay Triangulation . . . . . . . . . . 6
1.1.1 Giới thiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.2 Cơ sở hình học . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.3 Thiết lập hệ tam giá c ban đầu . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.1.4 Thuật toán Bowyer - Watson . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.1.5 Các phương pháp chèn điểm mới . . . . . . . . . . . . . 13
1.1.6 Hạn chế hình dạng của hệ tam giác Delaunay . . . . . . 18
1.1.7 Phép chia lưới Delaunay triangulation trong không gian
ba chiều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.2 Phương pháp tịnh t i ến b i ên (Advancing Front) . . . . . . . . . . 21
1.2.1 Giới thiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.2.2 Điều khiển lưới . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.2.3 Thuật toán AFT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.2.4 Sự thích n ghi và không gian tham số . . . . . . . . . . . . 35
1.2.5 Cải th i ện chất lượng lưới . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
1.3 Phương pháp tạo lưới không cấu trúc sử dụng thuật toán chèn
điểm tự động và tái kết nối địa phương . . . . . . . . . . . . . . 37
1.3.1 Giới thiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
1.3.2 Phương pháp chia lưới AFLR . . . . . . . . . . . . . . . . 38
1.4 Các phương pháp chồn g tạo lưới tứ giác và lục giác . . . . . . . 45
1.4.1 Giới thiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
1.4.2 Các phương pháp chồn g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
1.5 Một số phương pháp đang được phát triển . . . . . . . . . . . . 52
2 Áp dụng trong một số bài toán cơ học 54
2.1 Bài toán 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.2 Bài toán 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

2.3 Bài toán 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
2
2.4 Bài toán 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
2.5 Bài toán 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3
Lời mở đầu
Ngày nay phương pháp chia lưới tự động đã trở thành một công cụ khá
phổ biến trong việc sử dụng nghiệm số của phương trình vi ph ân từng phần
trên các miền có hình dạng bất kì. Trong những năm gần đây, phương pháp
chia lưới tự động đang được phát triển rộng rãi, đầu tiên trong cơ học kết c ấ u
và cơ học vật rắn, sau đó l à trong tính toán độn g lực học chất lỏng. Phương
pháp chia lưới tự động đã cung cấp chìa khóa để giả i quyết các vấn đề về hình
dạng biên từ phương pháp sai phân hữu hạn và được sử dụng trong việc xác
định các điểm nút trong phương pháp phần tử hữu h ạn. Với m ạng lưới như
vậy tất cả các thuật toán số, sai phân hữu hạn hay phần tử hữu hạn đều thực
hiện được trên miền tính toán có hình dạng và đường biên bất kì.
Các ph ươ ng pháp chia lưới tự động bao gồm hai loại: phương pháp chia
lưới tự động có cấu trúc và phương pháp chia lưới tự động không cấu trúc.
Một ví dụ đơ n giản nhất về lưới có cấu t rúc là lưới Đề-Các. Các n út lưới
và ô lưới (hình chữ nhật) là giao của các đường lưới. Lưới này được tạo ra một
cách dễ dàng và nhanh chóng. Tuy nhiên nếu miền tính toán có biên trong và
biên n g o ài là các đường cong thì để giải trên lưới Đ ề-Các yêu cầu phải xác
định sơ đồ số ở gần các biên. Điều này thường khá khó.
Hình 1: (a) Lưới Đề-Các, (b) body-fitted grid
Một loại khác của lưới có cấu tr úc là body-fitted (trùng khít với miền tính
toán). Về cơ bản lưới này khá giống lưới Đề-Các nhưng các ô lưới tứ giác có
hình dạng phù hợp với biên. C ác phương pháp t ính toán đã được phát triển
cho lưới Đề-Các có thể được chỉnh sửa để áp dụng cho lưới body-fitted thông
4

qua các ánh xạ lưới mà kh ô ng l àm thay đổi bản chất của chương trình số. Khó
khăn trong việc thực hiện phương pháp này nằm trong việc tạo ra các nút lưới
nhất là khi có nhiều vật cản bên trong miền tính toán.
Không giống như lưới có cấu trúc, các nút lưới và các ô lưới của lưới
không cấu trúc không phải là giao của các đường thẳn g song song. M ột ưu
điểm của lưới không cấu trúc là các điểm nút có thể đặt trên biên của miền
tính toán vì vậy khi áp dụng các phương pháp số thì lưới không cấu trúc cho
độ chính xác cao hơn. Hơn thế nữa, lưới không cấu trúc cho phép các phần tử
có kích thước khác nhau vì vậy có th ể biểu diễn chính xác biên của miền tính
toán mà không cần một số lượng quá lớn các nút lưới và ô lưới.
Khi miền tính toán có hình dạng phức tạp thì so với lưới có cấu trúc , lưới
không cấu trúc có thể giúp cải thiện độ chính xác của nghiệm tổng thể, lưới
không cấu trúc cũng đã được chứng mi nh là có khả năng thích nghi cao hơn
trong các bài toán biên chuyển dịch hoặc dòng nhất thời.
Về nguyên tắc, lưới không cấu trúc có thể bao gồm các ô có hình dạng
bất kỳ, đượ c xây dựng bằng cách kết nối một điểm cho trước đến một số tùy
ý các điểm khác, nhưng nói chung là được hợp thành từ các tam giác và tứ
giác trong không gian hai chiều, c ác t ứ diện và lục giác trong không gian ba
chiều. Ưu điểm của các lưới này l à chúng có khả năng thích nghi bằng cách
cho phép chèn thêm các điểm mới vào, do đó chúng có thể làm việc với các
miền tính toán có hình dạng phức tạp.
Ở thời điểm hiện tại phương pháp chia lưới không cấu trúc đã được áp
dụng trong khôn g g i an ba chiều. Tuy nhiên phương pháp chia lưới không
cấu trúc dựa trên tam giác Delaunay thường xuyên được sử dụng nhất và đã
được chứng minh là có khả năng thích nghi cao, phù hợp với các miền tính
toán phức tạp. Các lưới này cho phép bổ sung thêm các nút lưới mới vào hệ
tam giác đã tồn tại chỉ ảnh hưởng đến cấu trúc lưới địa phương mà không
ảnh hưởng đến cấu trúc lưới tổng thể.
Trong luận văn này giới thiệu hai phương pháp chia lưới không cấu trúc
hay được sử dụng: phương pháp chia lưới Delaunay Triangulation và phương

pháp tịnh tiến biên (Advancing Front method). Ngoài ra hai phương pháp
đang được phát triển: Phương pháp tạo lưới không cấu trúc sử dụng thuật
toán chèn điểm tự động và tái kết nối địa phương và phương pháp chồng tạo
lưới tứ giác và lục giác cũng được trình bày trong luận văn.
* Nội dung luận văn gồm 2 chương:
Chương 1: Một số phương pháp chia lưới tự động không cấu tr úc.
Chương 2: Áp dụng tron g một số bài toán cơ học.
5
Chương 1
Một số phương pháp chia lưới tự động
không cấu trúc
1.1 Phương pháp chia lưới Delaunay Triangulation
1.1.1 Giới thiệu
Phương pháp Delaunay Triangulation là một trong các phương pháp chia
lưới không cấu trúc đã được ph át triển từ rất sớm [8]. Phương pháp này dựa
trên tiêu chuẩn Delaunay (hay còn gọi là tiêu chuẩn vòn g tròn ngoại tiếp
trống): Siêu cầu của mỗi đơn hình trong kh ô ng gian n - chiều được xác định
bởi n + 1 điểm trong đó không có bất kỳ điểm nút nào khác của lưới. Ví dụ
trong không gian ba chiều, bốn đỉnh của một t ứ diện xác định một mặt cầu
và mặt cầu này không chứa các điểm nút khác của lưới t ứ diện. Trong không
gian hai chiều, hệ tam giác thu được dựa trên tiêu chuẩn Delaunay được gọi
là hệ tam giác Delaunay. Hệ tam giác này được áp dụng rất phổ biến trong
thực hà nh vì chúng có các đặc điểm tối ưu sau:
• Các tam giác Delaunay là các tam giác xấp xỉ đều;
• Góc lớn nhất của ta m giác được cực tiểu hóa;
• Góc nhỏ nhất của tam giác được cực đại hóa.
Với các đặc điểm này hệ tam giác D elaunay sẽ khô ng bị quá biến dạng
hoặc quá méo mó. Tiêu chuẩn Delaunay không đưa ra bất kỳ một sự chỉ dẫn
nào như là các điểm lưới nên được định nghĩa và liên kết với nhau như thế
nào? Một hạn chế nữa của tiêu chuẩn Delaunay đó l à có khả năng không thể

áp dụng tiêu chuẩn này trên toàn bộ miền t ính toán với các tam giác biên xác
định t rước . Nhược điểm này đưa ra hai cách tiếp cận chia lưới t am giác có bảo
toàn liên kết biên và vẫn áp dụng tiêu chuẩn Delaunay. Trong cách tiếp cận
thứ nhất tiêu chuẩn Delaunay được bỏ qua tại các điểm gần biên và h ệ quả
6
là biên của lưới trước vẫn còn nguyên vẹn. Để kết hợp với kỹ thuật này, các
điểm được thêm vào dưới dạng một sơ đồ để đảm bảo không xảy ra sự phá
hủy biên. Cách tiếp cận thứ hai, áp dụng tiêu chuẩn Delaunay trên toàn miền
tính toán, sau đó khôi phục lại biên ban đầu bằng cách bỏ đi các đơn hình
nằm bên ngoài miền tính toán [1].
Có rất nhiều thuật toán tạo lưới không cấu trúc dựa trên tiêu chuẩn De-
launay, chẳng hạn có m ột số thuật toán sử dụng phương pháp chia lưới có
cấu trúc tạo ra sự phân bố các điểm nút lưới trước sau đó các điểm nút lưới
này được kết nối để th u được các tam giác thỏa mãn các tiêu chuẩn hình h ọc
nào đó (tương đương với tiêu chuẩn Delaunay). Tuy nhiên thuật toán chúng
ta hay sử dụng là thuật toán Bowyer - Watson. Thuật toán này có thể áp dụng
với không gian n - chiều bất kỳ. Thuật toán bắt đầu từ một hệ tam giác của
một vài điểm, sau đó tiếp tục tại mỗi bước ta thêm các điểm mới vào hệ tam
giác hiện tại và tái thiết lập hệ tam giác một cách địa phương. Quá trình này
cho phép chúng ta cải thiện được chất lượng lưới trong khuôn khổ của tiêu
chuẩn Delaunay. Điểm khác biệt của thuật toán này là vị trí các điểm và các
liên kết được tính toán một cách đồng thời.
1.1.2 Cơ sở hình học
• Định nghĩa ô lồi
Một ô lồ i n - chiều S là một bao lồi của n + k điểm P
1
, , P
n+k
(k>1) m à
các điểm này không cùng nằm trong một m ặt phẳng (n −1) - chiều. Như vậy

S bao gồm các điểm x ∈ R
n
thỏa mãn
x =
n+k
∑
i=1
α
i
P
i
,
n+k
∑
i=1
α
i
= 1, 1 ≥ α
i
≥ 0.
Gọi tất cả các điểm P
l
của tập P
i
, i = 1, , n + k nằm trên biên của S là
các đỉnh của ô lồi S.
Một mặt m - chiều của ô lồi n - chiều S (n > m) được gọi là bao lồi của
m + 1 đỉnh P
l
, và bao lồi này không chứa bất kỳ một đỉnh nào khác của S.

Ta nói ô S là lồi mạnh nếu nó không có hai mặt bất kỳ cùng nằm trong
mặt phẳng m - chiều với mọi m < n
Nếu P là một điểm nằm t ron g ô lồi mạnh S với các đỉnh P
1
, , P
n+k
thì
P =
n+k
∑
i=1
α
i
P
i
,
n+k
∑
i=1
α
i
= 1, α
i
≥ 0, i = 1, , n + k,
7
Hình 1.1: Ô lồi (bên trái) và ô tứ diện lồi mạnh (bên phải)
• Đơn hình và các ô đơn hình
Một phần tử đơn giản nhất n - chiều được sử dụng để rời rạc hóa miền tính
toán được gọi là một ô n - chiều. Ô này là bao của n + 1 điểm x
1

, , x
n+1
mà
không cùng nằm trong bất kỳ m ặt phẳng (n − 1) - chiều nà o. Những ô như
thế được gọi là các đơn hình. Như vậy một đơn hình được tạo nên bởi các
điểm x ∈ R
n
thỏa mãn
x =
n+1
∑
i=1
α
i
x
i
, i = 1, , n + 1,
n+1
∑
i=1
α
i
= 1, α
i
≥ 0,
Đơn hình này là một ô lồi mạnh có các đỉnh là x
1
, , x
n+1
. Chẳng hạn một

đơn hình ba chiều là một tứ diện có các đỉnh là x
1
, x
2
, x
3
, x
4
, một đơn hình hai
chiều là một tam giác, đơn hình một chiều là một đoạn thẳng. Mỗi mặt m -
chiều của đơn hình là một đơn hình m - chiều được định nghĩa qua m + 1 đỉnh.
Điểm x l à một điểm trong của đơn hình nếu α > 0 với mọi i = 1, , n + 1.
Trong thực hành, để rời rạc hóa miền tính toán, ta hay sử dụng các ô lồi
có các mặt biên là các đơn hình. Những ô như vậy được gọi là các ô đơn hình.
Gọi N
i
, i = 1, , n, là số mặt đơn hình i - chiều của S, và N
0
là số đỉnh của
S. Ta có
n−1
∑
i=k
(
−1
)
i


i + 1

k + 1


N
i
=
(
−1
)
n−1
N
k
,
k = −1, , n −2, N
−1
= 1,


l
m


=
l
(
l −1
)

(
l −m + 1

)
m!
, m ≥ 1,


l
0


= 1,
8
• Tính nhất quán của lưới
Bằng một phép rời rạc phù hợp chúng ta thu được một tập hợp các điểm
V ∈ R
n
và một tập các ô lồi mạnh T thỏa mãn các điều kiện sau:
1. Tập hợp các đỉnh của các ô của T trùng với V;
2. Nếu hai ô khác nhau S
1
và S
2
giao nha u, thì miền giao nhau đó là m ặt
chung của cả hai ô.
Hình 1.2: Các ô giao nhau chấp nhận được (a) và không chấp nh ận được (b, c, d)
Tập hợp các ô của một phép rời rạc phù hợp tạo th ành một miền kết nối
đơn giản n - chiều.
Gọi N
i
, i > 0 là số lượng các m ặt biên i - chiều của miền rời rạc, N
0

là số
đỉnh của biên, theo định lý Euler ta có:
n−1
∑
i=0
(
−1
)
i
N
i
= 1 +
(
−1
)
n−1
biểu thức trên được sử dụng để xác định tính nhất quán của lưới.
• Lưới tổ ong Dirichlet
Xét một tập tùy ý gồm các điểm P
i
, i = 1, 2, , N trong một mi ền xác
định n - chiều. Với mỗi điểm P
i
chúng ta xác định một miền V(P
i
) trong R
n
bao gồm các điểm có khoảng cách tới P
i
nhỏ hơn tới các điểm P

j
khác.
V
i
=

x ∈ R
n
|
d
(
x, P
i
)
≤ d

x, P
j

, i = j, j = 1, , N

,
trong đó d(a, b) là khoảng cách giữa hai điểm a, b. Các miền V
i
này được gọi là
các khối đa diện Voronoi. Do các khối đa diện là giao của các bán không gian
nên chúng là các đa diện lồi, nhưng không cần thiết là bị chặn. Mặt biên chung
của hai Voronoi của hai điểm V(P
i
) và V(P

j
) là một đa giác (n − 1) - chiều.
Cặp điểm P
i
và P
j
được gọi là cặp cấu hình nếu các khối đa diện Voronoi c ủa
chúng có một mặ t chung. Bằng cách kết nối các điểm kề nhau ta sẽ thu được
một lưới. Trong lưới này, tập hợp n + 1 điểm cùng kề với một điểm khác tạo
thành một đơn hình n - chiều. Tâm của bất kỳ một đơn hình nào cũng sẽ là
9
một đỉnh của sơ đồ Voronoi. Siêu cầu của mỗi đơn hình là rỗng, có nghĩa là
không có bất kỳ điểm nào ở bên trong siêu cầu vì nếu có một điểm nào đó ở
bên trong siêu cầu thì điểm này sẽ gần tâm hơn các điểm kh ác của siêu cầu.
Do đó tập hợp các đơn hình được xây dựng từ lưới tổ ong Dirichlet theo cách
này tạo thành một lưới tổ ong mới thỏa mãn ti êu chuẩn Delaunay. Biên của hệ
tam giác Delaunay được xây dựng theo sơ đồ Voronoi là các bao lồi của tập
hợp các điểm P
i
.
Ta có thể coi phép đặt tam giác Delaunay và lưới tổ ong Dirichlet là các
đối ngẫu hình học của nhau trong ý nghĩa là với mỗi đơn hình S
i
sẽ tồn tại
một đỉnh P
i
của lưới tổ ong và n g ược lại, với mỗi miền Voronoi V(P
j
) cũng
tồn tại một đỉnh P

j
của hệ tam giác. Thêm vào đó, với mỗi cạnh của hệ tam
giác sẽ tồn tại tương ứng (n −1) phân đoạn của lưới tổ ong.
1.1.3 Thiết lập hệ tam giác ban đầu
Vì các điểm lưới được đưa vào một cách tuần tự, nên lưới ban đầu rất thô,
số lượng các nút lưới ít và các phần tử lưới là các tam giác rất lớn. Ví dụ trong
không gian hai chiều chúng ta có thể tạo ra lưới ban đầu bằng cách chia một
hình vuông nằm trong m i ền tính toán (hoặc chứa mi ền tính toán) thành hai
tam giác. Sau đó các điểm bên trong và các điểm biên được thêm vào một cách
liên tiếp để xây dựng các tam giác liên tiếp cho đến khi miền xấp xỉ đạt được
các yêu cầu cần thiết. Một tron g các yêu cầu đó là hệ tam giác ban đầu phải
bảo toàn biên, tức là tất cả các cạnh biên đều được c hứa trong hệ ta m giác
ban đầu. Một cách tự nhiên để thỏa mãn yêu cầu trên là ta quy định trước các
điểm nút trên biên bằng các phương tiện của thuật toán Bowyer - Watson. Tuy
nhiên không c ó gì đảm bảo rằng hệ tam giác Delaunay xây dựng từ tập hợp
các điểm biên sẽ có biên được bảo toàn. Để khắc phục vấn đề n ày ta lặp đi
lặp lại việc chèn m ột điểm lưới mới tại trung điểm của cá c cạnh biên bị thiếu
để thu được các tam giác biên. Một cách khác để duy trì tính ng uyên vẹn của
biên là chúng ta loại bỏ tất cả các điểm có thể làm cho liên kết biên bị phá vỡ.
1.1.4 Thuật toán Bowyer - Watson
Có nhiều thuật toán cho việc phân chia tam giác Delaunay chủ yếu trong
trường hợp hai chiều. Tuy nhiên thuật toán được sử dụng phổ biến nhất trong
thực hành là thuật toán Bowyer - Watson [6]. Thuật toán này t hêm các điểm
một cách tuần tự vào hệ tam giác Delaunay đã có, thường thì bắt đầu từ một
hệ tam giác rất đơn giản (chẳng hạn là một tam giác lớn) mà nó bao bọc tất cả
các điểm (giả sử có i điểm) sẽ được dùng để tạo hệ lưới tam giác Delaunay.
Gọi T
i
là tập hợp các tam giác và B
i

là tập hợp các đường tròn ngoại tiếp các
tam giác đó. Khi thêm một điểm mới x
i+1
vào hệ tam giác Delaunay xảy ra
10
các trường hợp sau: x
i+1
∈ T
i
; x
i+1
/∈ T
i
và x
i+1
∈ B
i
; trường hợp cuối cùng là
x
i+1
/∈ B
i
. Sau đây ta sẽ xét lần lượt từng trường hợp một.
• Trường hợp 1: x
i+1
∈ T
i
Ta cần tìm tập S là tập hợp gồm các tam giác ∈ T
i
, có đường tròn ngoại

tiếp chứa điểm x
i+1
, hệ tam giác mới thu được bằng cách xóa các cạnh bên
trong của các tam giác hợp thành S và nối điểm x
i+1
với t ất cả các đỉnh của S .
Ví dụ ta có năm điểm x
1
, x
2
, x
3
, x
4
, x
5
như hình vẽ.
Điểm mới chèn vào x
6
nằm bên trong một tam giác và cũng nằm bên
trong hai đường tròn ngoại ti ếp. Trong trường hợp này S là tứ diện x
2
x
3
x
4
x
5
.
Xóa cạnh trong x

2
x
4
của S đi và nối x
6
với bốn đỉnh của S.
• Trường hợp 2: x
i+1
/∈ T
i
và x
i+1
∈ B
i
Ta cũng gọi S là tập hợp gồm các tam giác mà có đường tròn ngoại tiếp
chứa điểm x
i+1
. Nhưng trong trường hợp n ày ta chỉ xóa đi các cạnh của S gần
nhất với điểm x
i+1
(và nhìn thấy được từ x
i+1
). Hệ tam giác mới thu được
bằng cách nối điểm x
i+1
với tất cả các đỉnh của các tam giác ∈ S và với bất kì
đỉnh nào của T
i
mà nhìn th ấy được từ x
i+1

Trong hình vẽ bên dưới, điểm mới chèn vào x
6
nằm bên trong đường tròn
ngoại ti ếp tam giác x
1
x
2
x
5
(tập S chỉ có một tam giác). Cạnh x
1
x
2
có thể n hìn
11
thấy được từ x
6
, vì vậy cạnh này bị xóa đi và hệ tam giác mới thu được bằng
cách nối x
6
với các đỉnh của x
1
, x
2
, x
5
và x
3
.
• Trường hợp 3: x

i+1
/∈ B
i
Ta không cần b ỏ đi bất cứ cạnh n ào của T
i
mà chỉ cần xác định các cạnh
ngoài của T
i
có thể nhìn thấy được từ x
i+1
. Hệ tam giác mới thu được bằng
cách nối điểm x
i+1
với mỗi đỉnh của các cạnh ngoài này.
Trong hình vẽ trên điểm mới chèn vào x
6
không nằm trong đường tròn
ngoại tiếp của bất kỳ t am giác nào. Các cạnh x
1
x
2
và x
2
x
3
có thể nhìn thấy
được từ x
6
, vì vậy hệ tam giác mới thu được bằng cách nối x
6

với các đỉnh x
1
,
x
2
và x
3
. Rõ ràng các đường tròn ngoại tiếp của các tam giác x
1
x
2
x
6
và x
2
x
3
x
6
không ch ứa ba điểm nút còn lại vì vậy tính chất đường tròn ngoại tiếp được
thỏa mãn.
Khi thêm một điểm mới vào hệ tam giác Delaunay, hệ tam giác mớ i sẽ
được đánh giá theo một vài tiêu chuẩn hình học và vật lý.
12
• Tiêu chuẩn hình học: Các tam giác phải trơn, nhẵn và có kích thước, hình
dạng tương tự nhau.
• Tiêu chuẩn vật lý: Mật độ điểm lưới t ron g miền tính toán phải ít hơn mật
độ điểm lưới là ngh i ệm của phương trình vi phân từng phần.
1.1.5 Các phương pháp chèn điểm mới
Hệ tam giác Delaunay ban đầu dựa trên việc lựa chọn các điểm biên và

áp dụng thuật toán Bowyer - Watson chèn cá c điểm một cách tuần tự vào bên
trong miền tính toán tại các điểm được lựa chọn và xây dựng lại hệ tam giác
bao gồm các điểm mới. Tiếp theo chúng ta sẽ trình bày hai cách tiếp cận để
chèn các điểm vào bên trong miền tính toán.
• Thêm điểm mới vào tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác.
Các điểm mới sẽ được thêm vào tại vị trí tâm c ủa c ác đường tròn ngoại
tiếp tam giác. Một điểm mới được thêm vào không nên quá gần các điểm nút
đã tồn t ại, vì vậy khi thêm điểm mới vào tâm đường t ròn ngoại tiếp tam giác
thì ít nhất điểm này cũng các h đều ba đỉnh của tam giác đó. Vấn đề đặt ra là
ta sẽ chọn tam giác nào để thêm điểm mới vào. Trước khi á p dụng thuật toán
này ta cần sắp xếp các tam giác theo chất lượng c ủa chúng, bắt đầu từ những
tam giác c ó chất lượng xấu nhất . Một tam giác có chất lượng xấu nếu nó là
tam giác gầy, mỏng hoặc có góc tù. Các tam giác này sẽ được nhận biết thông
qua một tiêu chuẩn đó là tỉ lệ khía cạnh.
Tỉ lệ khía cạnh A.R. của tam giác ABC được định n g hĩa là R/2r trong đó
r, R lần lượt là bán kính đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp tam giác ABC. Diện
tích tam giác ABC được tính theo công thức:
S =

p(p − a)(p −b)(p −c) = p.r =
abc
4R
p =
a + b + c
2
⇒A.R. =
abc
8(p − a)(p −b)(p −c)
Nếu tam giác l à tam giác đều thì A.R. = 1. Rõ ràng là nếu ba đỉnh của
tam giác càn g gần như nằm trên một đường thẳng thì p sẽ càng gần bằng giá

trị của a, b hoặc c và tỉ lệ khía cạnh càng lớn. Với ý nghĩa đó tỉ lệ khía cạnh đo
độ gầy của một tam giác. Như vậy ta có thể đưa ra danh sách các tam giác có
chất lượng xấu bằng cách
• Thêm vào danh sách các tam giác có diện tích lớn hơn 1.5 lần diện tích
của tam giác đều có cạnh là cạnh lớn nhất của tam giác đó. Bước này sẽ
loại bỏ tất cả các tam giác có diện tích lớ n.
13
Hình 1.3: Đường tròn ng oại tiếp và đường tròn nội tiếp của tam giác ABC
• Thêm vào danh sách các tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp lớn
và tỉ lệ khía cạnh cao. Như vậy cá c tam giác nhỏ nhưng có tỉ lệ khía cạnh
cao ở gần biên sẽ được giữ l ại.
Tiêu chuẩn để đánh giá t ỉ lệ khía cạnh cao là dựa vào kinh nghiệm, thông
thường tỉ lệ khía cạnh tiêu chuẩn là 1.5. Đ ây là tỉ lệ khía cạnh của tam giác cân
có góc ở đỉnh nằm trong khoảng 24 −104
o
.
Sử dụng ý tưởng trên thuật toán t hêm điểm mới vào tâm đường tròn
ngoại tiếp tam giác được tiến hành theo các bước sau đây:
(i) Thiết lập hệ tam giác ban đầu sử dụng c ác điểm b i ên dữ liệu và thuậ t
toán Bowyer - Watson.
(ii) Xắp xếp các tam giác theo chất lượng của chún g , chọn ra danh sách
các tam giác có c hất lượng xấu, bắt đầu từ tam giác có chất lượng xấu nhất.
(iii) Lấy tam giác đ ầu tiên trong danh sách và thêm một điểm mới vào vị
trí tâm đường tròn n g o ại tiếp .
(iv) Chia lại sử dụng thuật toán Bowyer - Watson.
(v) Thêm các tam giác m ới vào danh sách chất lượng xấu nếu chúng
không đủ tốt.
Tuy nhiên khi sử dụng thuật toán này chèn điểm mới vào t âm đường tròn
ngoại tiếp của tam giác được lựa chọn, có hai trường hợp sau đây cần phải
loại bỏ:

• Tâm của tam giác được l ựa chọn không nằm bên trong miền tính toán.
• Tâm của tam giác được l ựa chọn qua gần biên của miền tính toán.
Một hạn chế nữa của phương pháp trên là mật độ lưới của hệ tam giác
mới thu được trên toàn m i ền bị ảnh hưởng bởi mật độ lưới dọc biên c ủa miền,
do đó kích thước của các tam giác ở xa biên có thể làm cho nghiệm bằng số
14
của các phương trình vi phân trong miền không được đẹp. Để khắc phục vấn
đề này ta đưa ra một hàm ch ỉ vị trí f (x), hàm này cho ta giá trị của bán kính
đường tròn ngoại tiếp tại vị trí x trong miền. Ta có thể thu được biểu thức của
hàm f (x) bằng cách n ộ i suy các giá trị nút quy định trên lưới nền thích h ợ p.
Giả sử một tam giác có tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác lần
lượt là X, R, ta địn h nghĩa tham số α = R/ f (X). Ta sẽ thêm điểm mới vào
tam giác có giá trị α lớn nhất. Sau một số vòng lặp tất cả các tam giác trong hệ
thu được đều có giá trị α ≤ 1, đ i ều này có nghĩa là tất cả cá c tam g i á c đã đạt
được kích thước như mục tiêu đề ra.
• Thêm điểm mới vào đoạn thẳng Voronoi.
Thay vì thêm điểm mới vào tâm đường tròn ngoại tiếp của các tam giác ta
sẽ thêm điểm mới dọ c theo một cạnh của đa g i ác Voronoi. Khác với cách tiếp
cận trước, ở đây vị trí của điểm mới chèn vào sẽ được xác định trước và kích
thước của ô lưới yêu cầu đạt được sau một vài vòng lặp. Kỹ thuật này c ó thể
tạo ra một h oặc một vài tam g i ác mới có kích thước phù hợp và kết quả sau
khi chèn điểm mới vào, ta thu được các tam giác xấp xỉ đều trên toàn miền
tính toán.
Công thức của thuật toán:
Hệ tam giác Delaunay ban đầu được chia thành các tam giác ngoà i và
tam giác trong. Các tam giác ngoài chứa ít nhất một cạnh biên còn các t am
giác trong thì không. Các tam giác trong được chia thành hai loại tam giác đã
được chấp nhận và chưa được chấp nhận . Các tam giác đã được chấp nhận
là các tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp < 1.5 f (X) (X là tâm đường
tròn ngoại tiếp tam giác đó). Các tam giác còn lại là chưa được chấp nhận .

Thuật toán bắt đầu bằn g việc xét các tam giác chưa được chấp nhận, có
một cạnh chung với tam giác đã được chấp nhận và ta chọn tam giác c ó bán
kính đường tròn ngoại tiếp lớn nhất.
Trong hình vẽ trên ta có tam giác ABD là tam giác chưa được chấp nhận
với bán kính đường tròn ngo ại tiếp là R
ABD
và tam giác ABC là tam g i á c đã
được chấp n hận. Cạnh chung AB được gọi là cạnh hoạt động. Đoạn thẳng
Voronoi của hai tam giác này là đo ạn EF (E, F lần l ượt là tâm đường tròn
ngoại tiếp tam giác ABD và ABC), EF⊥AB, EF ∩ AB = {M}.
Bây giờ ta thêm điểm X vào vị trí nào đó trên đoạ n EF sao cho tam giác
ABD sẽ được thay thế bằng tam giác được chấp nhận ABX.
Kí hiệu f
M
là giá trị của f (X) tại M. Đặt
AM = p, MF = q.
+) Nếu X ≡ F thì bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABX là
(p
2
+ q
2
)/2q. Vì bán kính nhỏ nhất của bất kí đường tròn nào qua hai điểm A
và B l à p (đường t ròn tâm M), d o đó ta có:
(p
2
+ q
2
)/2q ≥ p
+) Nếu f
M

≤ p, chọn X sao cho bán kính đường tròn ngoại tiếp R
ABX
của
tam giác ABX bằng p. Điều này xảy ra khi
MX = p và

AXB = 90
o
15
Hình 1.4: Các tam giác chấp nhận được và không chấp n h ận được
+) Nếu f
M
> p chọn vị trí của X sao cho
R
ABX
= min( f
M
, (p
2
+ q
2
)/2q)
Điều này xảy ra khi X nằm giữa F và vị trí của X ở trường hợp trên khi đó
MX = R
ABX
+

(R
ABX
)

2
− p
2
(2.1.1)
Trong cả hai trường hợ p ta đều có:
R
ABX
= min

max
(
f
M
, p
)
,

p
2
+ q
2

/2q

(2.1.2)
+) Nếu f
M
< p < 1.5 f
M
và q > p thì điểm X sẽ được chọn sao cho


AXB = 90
o
, khi đó tam giác AXB là tam giác được chấp nh ận. Các cạnh
XA, XB sẽ là các cạnh hoạt động tiếp theo.
Giả sử t am giác DAX là tam giác chưa được chấp nh ậ n, chúng ta sẽ tìm
vị trí điểm Y trên đường t hẳng trực giao của AX sao cho ta m giác AXY là tam
giác chấp nhận được. chúng ta có th ể đánh lại nhãn p là p
0
và gọi N là trung
điểm của AX. Đặt
AN = p
1
= p
0
/
√
2.
+) Nếu p
1
> f
N
thì bước trước được lặp lại và Y sẽ được chọn sao cho

AYX = 90
o
.
+) Nếu p
1
< f

N
, giả sử q > p
0
và R
AYX
= f
N
. Theo phương trình (2.1.1)
và (2.1.2) ta có:
NY = d
1
= f
N
+

( f
N
)
2
−(p
1
)
2
(2.1.3)
16
⇒ tan θ =
d
1
p
1

=
f
N
p
1
+


f
N
p
1

2
−1
Chú ý rằng giá trị hàm f tại M và N về cơ bản là giống nhau ( và cùng
bằng f
N
), vì vậy p
1
< f
N
<
√
2p
1
⇒ 1 < tan θ <
√
2 + 1
⇒ 45

◦
< tan θ < 67.5
◦
Hình 1.5: Chèn điểm vào đoạn thẳng Voronoi
Nếu AY được chọn là cạnh hoạt động tiếp theo, chúng ta có:
(AY)
2
= (2p
2
)
2
= (p
1
)
2
+ (d
1
)
2
và sử dụng phương trình (2.1.3) ta thu được
(
p
2
)
2
=
1
2

(

f
N
)
2
+ f
N

(
f
N
)
2
−
(
p
1
)
2

Do chúng ta giả t hiết p
1
< f
N
<
√
2p
1
⇒
1
√

2
<
p
2
p
1
<

1 +
1
√
2
17
Nếu quá trình này được lặp lại với giả thiết f gần như bằng hằ ng số thì ta
có các bước tổng quát như sau:
(
p
n+1
)
2
=
1
2

(
f
N
)
2
+ f

N

(
f
N
)
2
−
(
p
n
)
2

(2.1.4)
và
d
n
= f
n
+

(
f
N
)
2
−
(
p

n
)
2
(2.1.5)
Giá trị của p
n
hội tụ đến giá trị p. Theo (2.1.4) ta có

p
f
N

2
=
1
2



1 +

1 −

p
f
N

2




Nghiệm của phương trình trên là
p =
√
3
2
f
N
tương tự giá trị của d
n
cũng hội tụ đến giá trị d, từ (2.1.5)
⇒ d =
3
2
f
N
Tam giác có giá t rị của d và p như trên là tam giác đều có bán kính đường
tròn ngoại tiếp là f
N
, vì vậy sau một số vòng lặp ta sẽ thu được lưới mà các
phần tử của nó là các tam giác đều.
1.1.6 Hạn chế hình dạng của hệ tam giác Delaunay
Một cách để đảm bảo các tam giác biên vẫn còn nguyên vẹn trong quá trình
tái kết nối lại hệ tam giác khi chèn thêm điểm mới vào l à sử dụng một phiên
bản hạn chế hình dạng của h ệ tam giác Delaunay mà không ảnh hưởng đến
các liên kết gần biên.
Xét hệ tam giác T bất kì có thể chưa thỏa mãn tiêu chuẩn Delaunay. P là
một điểm mới được chèn vào. Kí hi ệu Γ
(
P

)
là tập h ợ p các tam giác có đường
tròn ngoại tiếp chứa điểm P. Γ(P) được gọi là hố Delaunay. Chú ý rằng P là
điểm duy nhất nằm trong Γ(P). Thật vậy, giả sử A là một đỉnh của ít nhất một
tam giác trong Γ(P). Nếu có một tam giác S /∈ Γ(P) nhận A l à một đỉnh thì
A không phải là điểm trong của Γ(P). Vì vậy chún g ta cần chỉ ra rằng tồn tại
một tam giác như thế.
Gọi {S
i
} là tập hợp các tam giác nhận A là một đỉnh và C
i
là đường tròn
ngoại tiếp tươn g ứng với tam giác S
i
. S
i
∈ Γ(P) nếu điểm mới chèn vào nằm
bên trong C
i
. Vì vậy, một đỉnh A là điểm trong c ủa Γ(P) nếu các điểm P nằm
bên trong ∩C
i
. Tuy nhiên nếu A là một điểm trong c ủa Γ(P) thì m i ền bên
18
Hình 1.6: Minh họa thành phần chủ yếu
trong của ∩C
i
là rỗng vì vậy A chỉ có thể là điểm nằm trên tất cả các đường
tròn của {S
i

}. Vì vậy có ít nhất một tam giác của {S
i
} không nằm bên trong
Γ(P) và A khô ng phải là điểm trong của Γ(P).
Trong trường hợp tổng quát, hố Delaunay không còn là các kết nối đơn
giản nữa. Với mục đích tái kết nối các tam giác, chúng ta xét miền kết nối đơn
giản lớn nh ất của hố Delaunay có chứa điểm P. Miền này được gọi là thành
phần chủ yếu của hố Delaunay và đ ược kí hiệu là Γ
P
.
Rõ ràng là tất cả các cạnh biên của Γ
P
đều có thể nhìn thấy được từ P.
Thật vậy vì Γ
P
không rỗng nên có ít nhất một tam giác chứa điểm P thuộc Γ
P
.
Giả sử tam giác đó là tam giác ABC, cho tam giác BCD nằm bên trong Γ
P
, thì
điểm P phải nằm bên trong đường tròn n g oại t i ếp tam giác BCD. Khi đó các
điểm P, B, C, D là bốn đỉnh của một tứ diện lồi, t ất cả các cạnh của tứ di ện này
đều co thể nhìn thấy từ P. Tiếp tục quá trình này đối với tất cả các tam giác
của Γ
P
, rõ ràng là tất cả các cạnh của Γ
P
đều có thể nhìn thấy từ P (hình 1.6).
• Xây dựng hệ tam giác bị hạn chế

Chúng ta giả thiết các tam giác nhất định của hệ tam giác Delaunay là cố định,
đặc biệt là các tam giác liền kề biên. Kí hiệu tập hợp các tam giác đó là
¯
T. Các
tam giác của
¯
T không tham gia trong việc xây dựng các hố Delaunay, tức là
nếu hố được tạo ra từ sự ra đời của một điểm mới có chứa một hoặc nhiều
tam giác cố định thì chúng ta hạn chế chỉ tái kết nối trong phần của hố không
chứa bất kỳ một tam giác cố định nào. Kí hiệu Υ(P) là phần này của hố thì
Υ(P) = Γ(P) −
¯
T. Kí hiệu Υ
P
là miền kết n ối đơn giản lớn nhất của Υ(P) có
chứa P. Tương tự Υ
P
được gọi là thành phần chủ yếu của Υ(P), Υ
P
chỉ tồn tại
nếu điểm P không nằm bên trong bất kỳ một tam giác nào của
¯
T.
Tương tự chúng ta cũng chứng minh được tất cả các cạnh biên của Υ
P
đều nhìn thấy từ P và các đỉnh của Υ
P
đều được kết nối với P, do đó xây d ựng
được hệ tam giác hạn chế mà các tam giác cố định của
¯

T vẫn còn nguyên vẹn.
• Bảo toàn biên củ a hệ tam giác
19
Một yêu cầu quan trọng của quá trình tạo lưới l à biên của miền tính toàn được
bảo toàn. Quá trình thiết lập hệ tam giác hạn chế giúp chúng ta giữ được một
tập hợp con c ác tam giác biên được xây dựng từ các cạnh tạo thành biên. Các
tam giác biên này có thể tạo ra bởi bất kỳ một quá trình phù hợp nào đó. Vì
vậy mà hệ tam giác thu được bảo toàn biên và các tam giác b ên trong thỏa
mãn tiêu chuẩn Delaunay.
Một cách tiếp cận khác đ ược Weatherill và Hassan phát triển đó là: áp
dụng tiêu chuẩn Delaunay để tạo ra lưới có biên phù hợp, bao gồm cả các
cạnh biên đã được k hôi phục trong quá trình chia lưới Delaunay triangulation
và sau đó xóa tất cả các tam giác nằm bên ngo ài miền tính toán.
1.1.7 Phép chia lưới Delaunay triangulation trong không gian ba chiều
Trong không gian ba chiều, lưới không cấu trúc của phép đặt tam giác
Delaunay th u được bằng cách li ên kết các đỉnh của các khối đa di ện Voronoi
mà có một mặt chung. Mỗi đỉnh của khối đa diện Voronoi là tâm của khối cầu
đi qua bốn đỉnh tạo thành tứ diện và không c ó bất kỳ một điểm nào khác nằm
bên trong khối cầu.
Thuật toán chúng ta hay sử dụng để chia lưới Delaunay trong không gian
ba chiều là thuật toán dựa trên quá trình tuần tự Bowyer - Watson: Mỗi điểm
của lưới được đưa vào một hệ tam giác Delaunay đã tồn tại, phá vỡ các liên
kết và tái kết nối để thu được một hệ tam giác Delaunay mới. Trong trường
hợp tổng quát, các bước của thuật toán tương tự như trong k h ông gian hai
chiều.Thuật toán bắt đầu với một hệ tam giác Delaunay được tạo thành bởi
một siêu tứ diện hoặc một siêu lập phương, phân chia thành năm tứ diện
chứa tất cả các điểm khác.Các điểm còn lại phát sinh trong quá trình hình
thành lưới sẽ được đưa vào tại một thời điểm. Sau khi mỗi điểm được thêm
vào, thuật toán Bowyer - Watson được áp dụng để tạo ra các hố Delaunay, sau
đó tái kết nối để th u được hệ tam giác Delaunay mới.

Thuật toán trên có một nhược điểm là không b ảo toàn được bề mặt biên
của miền tính toán. Để khắ c phục hạn chế này ta phải đưa ra các hạn chế đối
với hệ tam giác Delaunay. Các hạn chế đối với hệ tam giác Delaunay trong
không gian ba chiều cũng tương tự như trong không gian ha i chiều.
• Đối với cách ti ếp cận thứ nhất: các tứ diện có các mặt hợp thàn h bề m ặ t
biên được giữ nguyên trong quá trình tái kết nối. Các tứ diện biên này
được thiết lập ngay từ hệ phép đặt t am giác Delaunay ban đầu. C ác bước
tiếp theo là ch èn điểm mới vào, xác định một h ố hình sao có chứa điểm
đó và tái kết n ố i các cạnh của hố đó. Lưới thu được b ảo toàn bi ên và các
tam giác nhỏ bên trong thỏ a mãn tiêu chuẩn Delaunay.
• Đối với cách tiếp cận thứ hai: Thuật toán bắt đầu bằng việc xác định các
điểm nút trên biên, kết nối các điểm này để tạo ra bề mặt của h ệ tam giác
20
biên. Sau đó xây dựng hệ tam giác D elaunay mới bằng cách chèn các
điểm bên trong và áp dụng thuật toán Bowyer - Watson. Sau bước này,
các tứ diện cắt bề mặt biên sẽ được biến đổi để khôi phục lại biên. Nếu
có một mặt biên kh ông hiện diện ở phép đặt tam giác Delaunay mới, đó
là do các cạnh và các mặt của tứ diện của p hép đặt tam giác Delaunay cắt
mặt bi ên này. Vì một mặt được tạo nên từ ba cạnh, nên để khô i phục lại
một mặt ta phải khôi phục lại ba cạnh trước. Quá trình khôi phục lại cạnh
biên bao gồm các bước sau: Đầu tiên, ta tìm các tứ diện giao với các cạnh
của mặt, sau đó, thiết lập tiêu chuẩn giao nhau c ủa mỗi tứ diện với các
cạnh biên, ch o phép thực hiện c ác phép biến đổi trực ti ếp để khôi phục
lại cạnh biên. Các tứ diện được biến đổi một cách địa phương thành các
tứ diện mới có hiện diện các cạnh yêu cầu. Để khôi phục lại các mặt biên
ta cũng thực hiện quá trình t ương tự.
1.2 Phương pháp tịnh tiến biên (Advancing Front)
1.2.1 Giới thiệu
Trong một số bài toán, v i ệc sử dụng ph ương pháp Delaunay Triangulatio n
có thể thu được lưới không thỏa mãn. Chẳng hạn như bài toán xác định dòng

chảy nhớt. Bài toán này yêu cầu ph ải tạo ra các phần tử tam giác có bán kính tỉ
lệ cao ở vùng lớp biên. Vì vậy trong trường hợp này nếu chỉ sử dụng phương
pháp chia lưới Delaunay Triangulation ta sẽ thu được lưới không thỏa mãn.
Một vấn đề khác đố i với phương pháp Delaunay Triangulation là các nút biên
sẽ là các đỉnh của hệ tam giác cuối cùng, vì vậy mà không có gì có thể đảm
bảo là các cạnh biên giữa các nút sẽ trùng với biên của miền tính toán, nó i
cách khác là tính nguyên vẹn của biên không được bảo toàn và cần thiết phải
thực hiện thêm một số bước nữa.
Phương pháp t ị nh tiến b i ên (AFT) được George đưa ra lần đầu tiên năm
1971, là phương pháp tạo lưới không cấu trúc bảo toàn tính nguyên vẹn của
biên và có thể tạo ra các tam giác có bán kính t ỉ lệ cao ở các vùng lớp biên.
Khi sử dụng phương pháp này các đường biên ngoài và biên trong (nếu có)
được rời rạc thành các đoạn thẳng bằng cách c họn p hân bố các nút trên biên
của miền tính toán [6]. Tập hợp các cạnh biên này hợp thành một ’front’ ban
đầu. front sẽ di chuyển vào bên trong miền tính toán khi các điểm nút mới và
các cạnh mới được tạo thành. Các phần tử tam giác được tạo thành bằng cách
xóa các cạnh cũ đi. Các đỉnh của một phần tử tam giác mới bao gồm hai nút
của một đoạn thẳng của một front và một nút khác hoặc là của front hoặc là
mới được tạo ra. Quá trình này tiếp tục cho đến khi không có cạnh nào còn lại
trong front, front không còn nữa và ta thu được các phần tử tam giác trong
miền tính toán. Chú ý là việc lựa chọn các đi ểm nút trên đường cong biên cần
phụ thuộc chặt chẽ vào yêu cầu kích thước của các ô lưới vì các cạnh của front
21
ban đầu sẽ là các cạnh của hệ tam giác cuối cùng.
1.2.2 Điều khiển lưới
Khi sử dụng bất kì một phương pháp chia lưới nào ta cũng đều phả i quan
tâm đến k ích thước và hình dạng của ô lưới. Đối với phương pháp tịnh tiến
biên (trong không gian 2 chiều) để thu được các ô lưới vớ i các đặc điểm yêu
cầu ta t hực hiện lần lượt hai bước sau:
• Định nghĩa các đặc điểm yêu cầu của ô lưới;

• Tạo ra một lưới nền ban đầu.
Để thu được lưới với các đặc điểm yêu cầu, ta cần chỉ rõ sự phân bố
không gian của các tham số lưới phù hợp trên lưới nền.
Kích thước, hình dạng và hướng của ô lưới tam giác được mô tả bởi một
tập hợp gồm 3 tham số độc lập:
Hình 1.7: Các th am số mô tả của phần tử tam giác
• Tham số kích thước δ ;
• Tham số kéo dãn s;
• Tham số định hướn g Φ được liên hệ với 2 véct ơ trực giaos vàn
Để định nghĩa một ô lưới ta định nhập bốn tham số đầu vào(δ, s, n
x
, n
y
)
trong đó n
x
, n
y
lần lượt là hình chiếu vuông góc củan trên các trục ox, oy. Các
giá trị c ủa bốn tham số này cần được chỉ rõ tại mỗi nút của lưới nền. Lưới nền
ban đầu thường do người sử dụng tạo ra và có thể kh á không mịn đặc biệt là
đối với các miền tính toán phức tạp. Ví dụ một lưới nền có thể chỉ gồm một
22
phần tử hoặc hai phần tử tam giác, tuy nhiên lưới nền cần phải thỏa mãn yêu
cầu về sự bi ến đổi tuyến tính của các tham số trong miền tính toán. Lưới nền
không nhất thiết phải trùng khít với miền tính toán. Trong trường hợp không
có lưới nền được cung cấp thì một lưới nền mặc định sẽ được tạo ra dựa trên
các quy tắc thực ng hiệm bao gồm hai phần tử ta m giác yêu cầu đồng nhất
mật độ lưới. Giá t rị tham số kích thước δ được lấy bằng 5% chiều dài đường
chéo của lưới nền và lưới đầu tiên được tạo ra sẽ là lưới nền cho lưới tiếp th eo.

Để cả i thiện p hương pháp t ron g trường hợp bi ên của miền tính toán có
hình dạng phức tạp, với mục đích điều khiển lưới ta cần chỉ rõ các tham số
lưới trong một số khu vực biên th ô ng qua sự phâ n bố của các nguồn, chẳng
hạn miền tính toán là một chiếc máy bay thì ta cần c hỉ rõ các tham số lưới
ở đầu và đuôi của máy b ay. Trong cách tiếp cận này sự phân bố kích thước
không gia n của cá c ô lưới sẽ được xác định như là một hàm của khoảng cách
từ một điểm cho trước đến một điểm hoặc một đoạn thẳng của nguồn. Sự
phân bố là đẳng hướng nếu nó chỉ p hụ thuộc vào khoảng cách x dù lấy theo
bất kỳ hướng nào tới nguồn. Hàm ng uồ n đẳng hướng tại điểm nguồn S được
xác định như sau:
δ
(
x
)
=





δ
1
0 < x < x
c
δ
1
exp

x −x
c

D −x
c

ln 2

x ≥ x
c
trong đó δ
1
, D, và x
c
là các tham số được đưa thêm vào để có thể điều khiển
sự biến đổi của kích thước tam giác δ tại S. Hình 1.8 là đồ thị sự phụ thuộc
của δ(x) vào các tham số δ
1
, D, và x
c
.
Hình 1.8: Sự phụ thuộc của δ(x) vào các th am số δ
1
, D, và x
c
.
• Thuật toán tìm kiếm
Để nội suy các tham số lưới từ lưới nền (trong không gia n hai chiều), ta
cần địn h vị tam giác của lưới nền mà có một đi ểm cho trước nằm trong miền
23
xác định bằng cách tính toán diện tích tọa độ của điểm đó. Giả sử ta có một
tam giác có các đỉnh được đánh nhãn lần lượt là 1, 2, 3. Kí hiệu ∆123 là diện
tích của tam giác này, d i ện tích của tam giác sẽ dương nếu thứ tự 1, 2, 3 ngược

chiều kim đồng hồ, và âm nếu ngược lại.
Hình 1.9: Các điểm 1, 2, 3 theo thứ tự ngược chiều kim đồng hồ
Hình 1.10: Các điểm 1, 2, P theo thứ tự cùng chiều kim đồng hồ
Diện tích tọa độ của điểm P được xác định bở i các tỉ lệ của các diện tích
sau:
l
1
=
∆23P
∆123
, l
2
=
∆31P
∆123
, l
3
=
∆12P
∆123
,
trong đó các diện tích nh ận giá trị dương hoặc âm theo quy ước ngược hoặc
cùng chi ều kim đồn g hồ. Vì vậy nếu điểm P nằm bên trong tam giác có diện
tích dương như hình (1.9) thì tất cả các diện tích đều dương. Tuy nhiên nếu vị
trí của điểm P như trong hình (1.10) thì l
1
> 0, l
2
> 0 nhưng l
3

< 0. Như vậy
nếu điểm P nằm bên ngoài tam giác 123 thì có ít nhất một di ện tích tọa độ âm.
Vì vậy, nếu cho trước một điểm P(x
P
, y
P
), chúng ta sẽ lấy một tam giác
24