toán tử sai phân của hàm hữu tỷ trên trường đóng đại số, đặc trưng không và áp dụng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
NGÔ THỊ PHƯƠNG LOAN
TOÁN TỬ SAI PHÂN CỦA HÀM HỮU TỶ
TRÊN TRƯỜNG ĐÓNG ĐẠI SỐ,
ĐẶC TRƯNG KHÔNG VÀ ÁP DỤNG
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
THÁI NGUYÊN, NĂM 2014
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
NGÔ THỊ PHƯƠNG LOAN
TOÁN TỬ SAI PHÂN CỦA HÀM HỮU TỶ
TRÊN TRƯỜNG ĐÓNG ĐẠI SỐ,
ĐẶC TRƯNG KHÔNG VÀ ÁP DỤNG
Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP
Mã số: 60460113
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học:
TS. VŨ HOÀI AN
THÁI NGUYÊN, NĂM 2014
Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan luận văn Thạc sĩ chuyên ngành Phương pháp toán sơ cấp
với đề tài “Toán tử sai phân của hàm hữu tỷ trên trường đóng đại số, đặc trưng
không và áp dụng” là của tôi. Các tài liệu được trích dẫn đầy đủ.
Tác giả
Ngô Thị Phương Loan
i
Lời cảm ơn
Luận văn được thực hiện và hoàn thành tại trường Đại học Khoa học - Đại
học Thái Nguyên. Qua đây tác giả xin gửi lời cảm ơn đến các thầy cô giáo của
khoa sau Đại học, Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, Ban giám hiệu

và Viện Toán học đã trang bị kiến thức cơ bản, tạo điều kiện tốt nhất cho tác
giả trong quá trình học tập và nghiên cứu.
Tác giả xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới GS.TSKH Hà Huy Khoái, GS.TSKH
Nguyễn Tự Cường, PGS.TS Lê Thị Thanh Nhàn cùng PGS.TS Đàm Văn Nhỉ,
PGS.TS Trịnh Thanh Hải đã có nhiều ý kiến quý báu để tác giả hoàn chỉnh
luận văn.
Tác giả cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới TS. Vũ Hoài
An, người đã tận tình chỉ bảo, tạo điều kiện và giúp đỡ tác giả có thêm nhiều
kiến thức, khả năng nghiên cứu, tổng hợp tài liệu để hoàn thành luận văn.
Tuy có nhiều cố gắng, song thời gian và kiến thức còn hạn chế nên luận văn
khó tránh khỏi những thiếu sót. Tác giả rất mong và xin được cảm ơn ý kiến
đóng góp của các nhà toán học và bạn đọc để luận văn được hoàn thiện hơn.
Tác giả xin chân thành cảm ơn.
Thái Nguyên, tháng 3 năm 2014
Tác giả
Ngô Thị Phương Loan
ii
Mục lục
Lời cam đoan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i
Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii
Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii
Bảng ký hiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . v
Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1 Về toán tử sai phân, đa thức sai phân của hàm phân hình
p-adic 5
1.1 Sai phân của hàm số trong toán học Trung học phổ thông và
ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.1 Khái niệm về phép sai phân . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.2 Sai phân liên tiếp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.3 Sai phân của đa thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.1.4 Ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2 Về toán tử sai phân, đa thức sai phân của hàm phân hình p-adic 9
1.2.1 Vấn đề nhận giá trị và duy nhất đối với toán tử sai phân
của hàm phân hình p-adic . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.2 Vấn đề nhận giá trị và duy nhất đối với đa thức sai phân
của hàm phân hình p-adic . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3 Hàm hữu tỷ trên trường đóng đại số, đặc trưng không đối với
vấn đề nhận giá trị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3.1 Hàm hữu tỷ trên trường đóng đại số, đặc trưng không . 13
1.3.2 Mối quan hệ giữa hàm độ cao, hàm đếm của hàm hữu tỷ
trên trường đóng đại số, đặc trưng không . . . . . . . . . 15
iii
2 Toán tử sai phân của hàm hữu tỷ trên trường đóng đại số, đặc
trưng không 18
2.1 Vấn đề nhận giá trị của toán tử sai phân, đơn thức sai phân đối
với hàm hữu tỷ trên trường đóng đại số, đặc trưng không . . . . 19
2.2 Vấn đề xác định duy nhất đối với đơn thức sai phân của hàm
hữu tỷ trên trường đóng đại số, đặc trưng không . . . . . . . . . 25
Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
iv
Bảng ký hiệu
f Hàm hữu tỷ
n(f, a) Hàm đếm của f tại điểm a
T (f) Hàm đặc trưng của f
E
f
(S) Ảnh ngược tính cả bội của tập S đối với f
E
f

(S) Ảnh ngược không tính bội của S đối với f
K Trường đóng đại số, đặc trưng không
R Trường số thực
v
Lời mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Sai phân của hàm số đã được đề cập đến trong toán học phổ thông. Vấn đề
duy nhất đối với sai phân đa thức đã được giải quyết nhờ công thức nội suy
Newton, công thức nội suy Lagrange. Còn vấn đề nhận giá trị đối với sai phân
của đa thức được kiểm tra thông qua các định lý về hàm số thực liên tục. Đối
với sai phân của hàm phân hình p-adic, vấn đề nhận giá trị và duy nhất đã
nhận được kết quả ban đầu.
Cho hàm f là hàm phân hình p-adic. Toán tử sai phân của f được xác định
nhhư sau:
∆
c
f = f (z + c) − f(z), ∆
1
c
f = ∆
c
f, , ∆
n+1
c
= ∆
c
(∆
n
c
), n = 1, 2,

ở đó c ∈ C
p
là một hằng số khác 0.
Đa thức sai phân của f được xác định như sau:
uA (z, f ) =

λ∈ I
a
λ
f
λ
0
f
λ
1
g
(z + c
1
) f
λ
n
(z + c
n
), c
1
, c
n
∈ C
p
, c

1
= 0, , c
k
=
0, a
λ
∈ C
p
.
Năm 2012, Hà Huy Khoái và Vũ Hoài An [7] đã đưa ra các kết quả cho vấn
đề nhận giá trị và duy nhất cho Toán tử sai phân, đa thức sai phân của hàm
phân hình p-adic. Họ đã nhận được các kết quả sau:
Cho P là đa thức bậc n trên C
p
. Viết P = a
0
(z − a
1
)
m
1
. . . (z − a
s
)
m
s
.
Định lý A. Giả sử f là hàm phân hình khác hằng trên C
p
, n, k

i
, s, q, i = 1, , q
là các số nguyên,
s  1, q  1, k
i
 1, n 
q

i=1
(2k
i
+ 1)2
i
+ q + s + 1 − 3
q

i=1
k
1
, ∆
q
c
f
không đồng nhất không. Khi đó P (f )(∆
1
c
f)
k
1
(∆

q
c
f)
k
q
− a có không điểm, ở
đó a ∈ C
p
, a = 0.
1
Định lý B. Giả sử f là hàm phân hình khác hằng trên C
p
, n, q
i
, s, k,
i = 1, . . . , k là các số nguyên,
s  1, q
i
 1, k  1, n 
q
i

i=1
+2k + s = 1.
Khi đó P(f)(f(z + c))
q
1
(f(z + kc))
q
k

−a có không điểm, ở đó a ∈ C
p
, a = 0.
Định lý C. Giả sử f, g là hàm phân hình khác hằng trên C
p
.
1. Nếu E
f
n
f(z+c) f(z+kc)
(1) = E
g
n
g(z+c) g(z+kc)
(1) với k  1, n  5k + 8 là
các số nguyên, thì f = hg với h
n+k
= 1 hoặc fg = l với l
n+k
= 1.
2. Nếu E
f
n
(f(z+c))
q
1
(f(z+kc))
q
k
(1) = E

g
n
(g(z+c))
q
1
(g(z+kc))
q
k
(1) với k  1, q
i
>
1, i = 1, . . . , k, n 
k

i=1
q
i
+8k+8 là các số nguyên, thì f = hg với h
n+q
1
+ +q
k
=
1 hoặc fg = l với l
n+q
1
+ +q
k
= 1;
3. Nếu

E
f
n
f(z+e
1
c) f(z+e
m
c)(f(z+t
1
c))
q
1
(f(z+t
k
c))
q
k
(1)
= E
g
n
g(z+e
1
c) g(z+e
m
c)(g(z+t
1
c))
q
1

(g(z+t
k
c))
q
k
(1),
với e
j
 1, j = 1, . . . , m, t
i
 1, q
i
> 1, k  1i = 1, . . . k, n  5m +
k

i=1
q
i
+
8k + 8, là các số nguyên, thì f = hg với h
n+m+q
1
+ q
k
= 1 hoặc fg = l với
l
n+m+q
1
+ +q
k

= 1.
Để ý rằng, C
p
là trường đóng đại số, đặc trưng không và đầy đủ. Câu hỏi tự
nhiên được đặt ra là: Đối với K là trường đóng đại số, đặc trưng không, không
cần giả thiết K là trường đầy đủ thì các định lý nêu trên còn đúng hay không?
Nhằm trả lời câu hỏi này, đề tài nghiên cứu vấn đề: Toán tử sai phân của
hàm hữu tỷ trên trường đóng đại số, đặc trưng không và áp dụng.
2. Mục tiêu nghiên cứu
Trình bày lại tương tự các Định lý A, B, C cho hàm hữu tỷ trên trường
đóng đại số, đặc trưng không đã đưa ra trong [1].
3. Nội dung nghiên cứu
• Luận văn tổng hợp và trình bày về sai phân của hàm số trong toán học
trung học phổ thông và ứng dụng.
2
• Luận văn trình bày tổng quan về vấn đề nhận giá trị và duy nhất đối với
toán tử sai phân, đa thức sai phân của hàm phân hình p-adic.
• Luận văn tổng hợp, trình bày các kết quả về vấn đề nhận giá trị và duy
nhất đối với toán tử sai phân, đa thức sai phân của hàm hữu tỷ trên
trường đóng đại số, đặc trưng không trong [1].
4. Kết quả nghiên cứu
• Luận văn trình bày lại các định lý về nhận giá trị và duy nhất đối với
toán tử sai phân, đa thức sai phân của hàm hữu tỷ trên trường đóng đại
số, đặc trưng không. Cụ thể là:
Định lý 2.1.3 là tương tự của Định lý A.
Định lý 2.1.4 là tương tự của Định lý B.
Định lý 2.2.3 là tương tự của Định lý C.
• Luận văn là tài liệu tham khảo có ích cho giáo viên Toán trung học phổ
thông, học viên Cao học chuyên ngành Phương pháp toán sơ cấp.
5. Bố cục luận văn

Ngoài phần mở đầu và phần kết luận, luận văn gồm 2 chương:
Chương 1: Về toán tử sai phân, đa thức sai phân của hàm phân hình
p-adic.
Trong Chương 1, chúng tôi trình bày về sai phân của hàm số trong toán học
trung học phổ thông và ứng dụng của nó và ứng dụng của nó vào chứng minh
Định lý Wilson. Ngoài ra, chúng tôi trình bày tổng quan về toán tử sai phân,
đa thức sai phân của hàm phân hình p-adic làm cơ sở cho việc tương tự đối với
hàm hữu tỷ trên trường đóng đại số, đặc trưng không.
Chúng tôi cũng nhắc lại các khái niệm độ cao, hàm đếm và hai định lý nhận
giá trị của hàm hữu tỷ trên trường đóng đại số, đặc trưng không. Các kết quả
này ở trong [1] và được trình bày ở [2].
Chương 2: Toán tử sai phân của hàm hữu tỷ trên trường đóng đại
số, đặc trưng không.
Trong Chương 2, chúng tôi trình bày lại các kết quả trong [1]. Các định lý
3
2.1.3, 2.1.4 là kết quả về vấn đề nhận giá trị đối với toán tử sai phân, đơn thức
sai phân của hàm hữu tỷ trên trường đóng đại số, đặc trưng không.
Định lý 2.2.3 là kết quả về vấn đề duy nhất đối với sai phân của hàm hữu
tỷ trên trường đóng đại số, đặc trưng không.
4
Chương 1
Về toán tử sai phân, đa thức sai
phân của hàm phân hình p-adic
1.1 Sai phân của hàm số trong toán học Trung học
phổ thông và ứng dụng
1.1.1 Khái niệm về phép sai phân
Cho c ∈ R, c = 0, D là tập con khác rỗng của R thỏa mãn điều kiện x+c ∈ D,
P (x) là hàm số thực xác định trên D.
Phép sai phân ∆
c

của P (x) được xác định như sau:
∆
c
(P (x)) = P (x + c) − P (x)
Ta có thể đưa một vài ví dụ sau:
1. Nếu P (x) = 5 thì ∆
1
(P (x)) = 5 − 5 = 0
2. Nếu P (x) = x thì ∆
1
(P (x)) = (x + 1) − x = 1
3. Nếu P (x) = x
2
thì ∆
1
(P (x)) = (x + 1)
2
− x
2
= 2x + 1
4. Nếu P (x) = 3x
2
+ 2x + 1 thì
∆
1
(P (x)) = [3(x + 1)
2
+ 2(x + 1) + 1] − (3x
2
+ 2x + 1) = 6x + 5

5. Nếu P (x) =
1
x
thì ∆
1
(P (x)) =
1
x + 1
−
1
x
= −
1
x(x + 1)
6. Nếu P (x) = 2
x
thì ∆
1
(P (x)) = 2
x+1
− 2
x
.
5
Ta cũng đưa ra 2 tính chất của phép sai phân:
Tính chất cộng: ∆
c
(u(x) + v(x)) = ∆
c
(u(x)) + ∆

c
(v(x))
Tính chất nhân: Với mọi hằng số a ta có: ∆
c
(aP (x)) = a∆
c
(P (x)).
1.1.2 Sai phân liên tiếp
Chúng ta có thể thực hiện phép sai phân liên tiếp như sau:
Đầu tiên, ta có sai phân cấp 1 của P (x): ∆
c
(P (x)) = P (x + c) − P (x).
Tiếp theo, áp dụng sai phân cho ∆
c
(P (x)), kết quả là sai phân cấp 2, ta kí
hiệu:
∆
2
c
(P (x)) = ∆
c
(∆
c
(P (x)) = ∆
c
(P (x + c) − P (x))
Vậy
∆
2
c

(P (x)) = [P (x + 2c) − P (x + c)] − [P (x + c) − P(x)]
= P (x + 2c) − 2P (x + c) + P (x).
Tương tự ta có sai phân cấp 3:
∆
3
c
(P (x)) = P (x + 3c) − 3P (x + 2c) + 3P (x + c) − P(x).
Dùng phép quy nạp, ta có sai phân cấp j sẽ bằng:
∆
j
c
(P (x)) =P (x + jc) −

j
j − 1

P [x + (j − 1)c] +

j
j − 2

P [x + (j − 2)c]
− + (−1)
j−1

j
1

P (x + c) + (−1)
j

P (x).
Vậy công thức sai phân liên tiếp: sai phân cấp j của P (x) là:
∆
j
c
(P (x)) =
j

v=0
(−1)
j−v

j
v

P (x + v).
1.1.3 Sai phân của đa thức
Bây giờ chúng ta sẽ tìm hiểu về sai phân của đa thức, sai phân của đa thức
có tính chất quan trọng sau đây:
6
Với mọi n > 0, sai phân của đa thức bậc n là một đa thức bậc n − 1. Vì vậy:
Sai phân cấp n của một đa thức bậc n là một hằng số.
Sai phân cấp n + 1 của một đa thức bậc n bằng 0.
Ví dụ 1.1.1. Cho P (x) = 2x
3
+ x
2
+ 3x + 5, ta lần lượt tính sai phân của
P (x).
Sai phân cấp 1:

∆
1
(P (x)) = [2(x + 1)
3
+ (x + 1)
2
+ 3(x + 1) + 5] − (2x
3
+ x
2
+ 3x + 5)
= 2[(x + 1)
3
− x
3
] + [(x + 1)
2
− x
2
] + 3[(x + 1) − x]
= 2(3x
2
+ 3x + 1) + (2x + 1) + 3
= 6x
2
+ 8x + 6.
Như vậy, sai phân của P (x) là một đa thức bậc 2. Sai phân cấp 2:
∆
2
1

(P (x)) = [6(x + 1)
2
+ 8(x + 1) + 6] − (6x
2
+ 8x + 6)
= 6[(x + 1)
2
− x
2
] + 8[(x + 1) − x]
= 6(2x + 1) + 8 = 12x + 14.
Sai phân cấp 2 của P (x) là đa thức bậc 1.
Sai phân cấp 3:
∆
3
1
(P (x)) = [12(x + 1) + 14] − (12x + 14) = 12
Ta có sai phân cấp 3 của P (x) là một hằng số.
Sai phân cấp 4 của P (x) sẽ bị triệt tiêu: ∆
4
1
(P (x)) = 12 − 12 = 0.
Nhận xét 1.1.2. Khi càng lấy sai phân thì bậc của đa thức càng giảm xuống,
cho đến khi sai phân bị triệt tiêu và bằng 0.
1.1.4 Ứng dụng
Một ứng dụng của sai phân của đa thức chúng ta xét đến ở đây đó là chứng
minh Định lý Wilson. Định lý được phát biểu như sau:
Với mọi số nguyên tố p thì số (p − 1)! + 1 chia hết cho p.
7
Để chứng minh Định lý Wilson, chúng ta sử dụng một vài tính chất của đa

thức. Các tính chất này mặc dù rất đơn giản nhưng nếu chúng ta biết cách sử
dụng thì nó sẽ trở nên hữu ích trong việc giải toán.
Trước tiên, ta nhắc lại về đa thức. Đa thức là một tổng có dạng:
P (x) = a
n
x
n
+ a
n−1
x
n−1
+ + a
1
x + a
0
trong đó các số thực a
0
, a
1
, , a
n
gọi là các hệ số. Số a
0
gọi là hệ số tự do của
đa thức P (x). Cũng có thể gọi a
0
là hệ số cuối cùng và a
n
là hệ số đầu tiên của
đa thức.

Chúng ta phát biểu 3 tính chất của đa thức:
Tính chất 1.1.3. Đối với đa thức P (x) = a
n
x
n
+ a
n−1
x
n−1
+ + a
1
x + a
0
thì
hệ số a
0
có thể tính như sau: a
0
= P (0).
Tính chất 1.1.4. Nếu P (x) là đa thức có bậc là n ≥ 1 thì ∆P (x) = P (x +
1) − P (x) sẽ là một đa thức bậc n − 1.
Ta chứng minh tính chất này cho một trường hợp đặc biệt là đa thức x
n
,
trường hợp tổng quát sẽ suy ra từ đó.
Đối với đa thức x
n
, chúng ta có:
∆x
n

= (x + 1)
n
− x
n
= nx
n−1
+

n
2

x
n−2
+

n
3

x
n−3
+ + nx + 1
Vậy ∆x
n
là đa thức bậc n − 1.
Xét với trường hợp tổng quát, ta có ∆P (x) = a
n
∆x
n
+ a
n−1

∆x
n−1
+ + a
1
∆x
Vì ∆x
n
là đa thức bậc n − 1, ∆x
n−1
là đa thức bậc n − 2, , do đó ∆P (x)
là đa thức bậc n − 1.
Tính chất 1.1.5. Hệ số đầu tiên của đa thức ∆P (x) sẽ bằng na
n
.
Theo tính chất thứ 2 đã chứng minh ở trên, ∆x
n
là đa thức bậc n −1 với hệ
số đầu tiên bằng n, do đó đa thức ∆P (x) = a
n
∆x
n
+ a
n−1
∆x
n−1
+ + a
1
∆x
sẽ có hệ số đầu tiên là na
n

.
Với 3 tính chất trên ta sẽ sử dụng để chứng minh định lý Wilson.
Định lý Wilson: Với mọi số nguyên tố p thì (p − 1)! = 1(mod p).
Chứng minh: Sử dụng đa thức: f
1
(x) = x
p−1
− 1
8
Xét đa thức: f
2
(x) = ∆f
1
(x) = f
1
(x + 1) − f
1
(x)
Theo tính chất 2 về đa thức ở trên thì f
2
(x) là đa thức bậc p − 2.
Theo tính chất 3 thì hệ số đầu tiên của f
2
(x) là p−1. Vì f
2
(x) = f
1
(x+1)−f
1
(x)

cho nên f
2
(1) = f
2
(2) = = f
2
(p − 2) = 0(mod p).
Tương tự với đa thức f
3
(x) = ∆f
2
(x) = f
2
(x + 1) − f
2
(x) là đa thức bậc p − 3,
hệ số đầu tiên của đa thức là (p − 1)(p − 2), f
3
(1) = f
3
(2) = = f
3
(p − 3) =
0(mod p).
Cuối cùng với đa thức f
p−1
(x) = ∆
1
f
p−2

(x) = f
p−2
(x+1)−f
p−2
(x) thì f
p−1
(x) là
đa thức bậc 1 với hệ số đầu tiên là (p−1)(p−2) 2 = (p−1)! và f
p−1
= 0(mod p).
Bây giờ ta xét đến hệ số cuối cùng của đa thức này:
Hệ số cuối cùng của đa thức f
1
(x) là f
1
(0) = −1
Hệ số cuối cùng của đa thức f
2
(x) là f
2
(0) = f
1
(1) − f
1
(0) = −f
1
(0)(mod p)
Hệ số cuối cùng của đa thức f
3
(x) là f

3
(0) = f
2
(1) − f
2
(0) = −f
2
(0)(mod p)
Hệ số cuối cùng của đa thức f
p−1
(x) là
f
p−1
(0) = f
p−2
(1) − f
p−2
(0) = −f
p−2
(0)(mod p).
Từ đó suy ra f
p−1
(0) = (−1)
p−2
f
1
(0) = 1(mod p).
Tóm lại f
p−1
(x) là một đa thức bậc 1, có hệ số đầu tiên là (p − 1)!, hệ số cuối

cùng là f
p−1
(0) = 1(mod p) cho nên f
p−1
(x) = (p−1)!x+c, ở đây c = 1(mod p).
Ở trên ta đã chỉ ra rằng f
p−1
(1) = 0(mod p), tức là (p − 1)! + c = 0(mod p).
Kết hợp với c = 1(mod p), ta có: (p − 1)! + 1 = 0(mod p).
Vậy ta đã chứng minh được Định lý Wilson nhờ phép sai phân và tính chất
của đa thức.
1.2 Về toán tử sai phân, đa thức sai phân của hàm
phân hình p-adic
Các kết quả sau đây có trong [1].
9
1.2.1 Vấn đề nhận giá trị và duy nhất đối với toán tử sai phân của
hàm phân hình p-adic
Gần đây, vấn đề nhận giá trị và duy nhất được xem xét đối với toán tử sai
phân cho f hàm phân hình p−adic. Ta định nghĩa Toán tử sai phân của hàm
f như sau: ∆
c
f = f(z + c) − f(z), ở đó c ∈ C
p
là hằng số khác không. Năm
2012, Hà Huy Khoái và Vũ Hoài An đã xem xét vấn đề nhận giá trị và duy
nhất cho Toán tử sai phân.
Bổ đề 1.2.1. Nếu hàm phân hình f trên C
p
thỏa mãn ∆
c

f (z) = 0 với mọi
z ∈ C
p
thì f là hằng.
Bổ đề 1.2.2. Cho f là hàm phân hình khác hằng trên C
p
. Khi đó
1. m(
f(z+c)
f(z)
) = O(1)
2. m(
f(z)
f(z+c)
) = O(1)
3. n(
1
f(z+c)
) = n(
1
f(z)
) + O(1)
4. n(f (z + c)) = N(f (z)) + O(1)
5. m(r,
∆
c
f
f
) = O(1)
6. T (f(z + c)) = T (f (z)) + O(1)

7. T (
∆
c
f
f
) ≤ 2T (f) + O(1)
8. T (∆
c
f) ≤ 2T (f ) + O(1)
9. (n − 1)T (f ) ≤ T (f
n
(z)∆
c
f) + O(1)
10. (n − 1)T (f ) ≤ T (f
n
(z)f (z + c)) + O(1).
Định lý 1.2.3. Nếu hàm phân hình f trên C
p
thỏa mãn f
n
(z) ∆
c
f (z) = 1 với
n ≥ 6 là một số nguyên dương nào đó và với mọi z ∈ C
p
thì f là hằng.
Cho f là hàm phân hình p−adic. Toán tử sai phân cấp n + 1 của f được
xác định như sau:
∆

c
f = f (z + c) − f (z), ∆
1
c
f = ∆
c
f, , ∆
n+1
c
f = ∆
c
(∆
n
c
)
n = 1, 2, , ở đó c ∈ C
p
là một hằng số khác 0.
Định lý 1.2.4. Cho f hàm phân hình trên C
p
và n, k
i
, s, q, i = 1, 2, , q là các
số nguyên dương, s ≥ 1, q ≥ 1, k
i
≥ 1, n ≥
q

i=1
(2k

i
+ 1)2
i
+ q + s + 1 − 3
q

i=1
k
i
,
10
và ∆
q
c
f không đồng nhất không. Khi đó
P (f )(∆
1
c
f)
k
1
(∆
q
c
f)
k
q
− a không có không điểm, với a ∈ C
p
, a = 0.

Định lý 1.2.5. Cho f là hàm phân hình khác hằng trên C
p
và n ≥ 6, E
f
n
∆
c
f
(a
i
) =
E
f
n
∆
d
f
(a
i
) và q ≥ 2 +
n+2
n−1
. Khi đó c = d.
Định lý 1.2.6. Cho f là hàm phân hình trên C
p
, n ≥ 15 và E
f
n
∆
c

(1) =
E
f
n
∆
d
(1). Khi đó c = d.
1.2.2 Vấn đề nhận giá trị và duy nhất đối với đa thức sai phân của
hàm phân hình p-adic
Kí hiệu C
p
là trường đóng đại số, đặc trưng không. Cho f là hàm hữu tỷ
khác hằng trên C
p
và a ∈ C
p
∪ {∞}. Kí hiệu:
E
f
(a) = {(µ
a
f
(z), z) : z ∈ C
p
}
E
f
(a) = f
−1
(a) = {z ∈ C

p
: µ
a
f
> 0}.
Cho k là số: E
≤k
f
(a) = {z ∈ C
p
, µ
≤k
f−a
}. Nếu một cặp hàm hữu tỷ f và g khác
hằng trên C
p
thoả mãn E
f
(a) = E
g
(a) (tương ứng E
f
(a) = E
g
(a)) thì ta nói
f và g chung nhau giá trị aCM (tương ứng aIM), trong đó CM (tương ứng
IM) có nghĩa là kể cả bội (tương ứng không kể bội).
Định lý 1.2.7. Nếu một hàm phân hình f thỏa mãn f
n
(z) f (z + c) = 1 với

n ≥ 5 là một số nguyên dương nào đó và với mọi z ∈ C
p
thì f là hằng.
Định lý 1.2.8. Giả sử f, g là các hàm phân hình trên Cp. Nếu E
f
n
f(z+c)
(1) =
E
g
n
g(z+c)g
(1) và n ≥ 13, n là số nguyên, thì f = hg với h
n+1
= 1 hoặc fg = l
với l
n+1
= 1.
Định lý 1.2.9. Giả sử f, g là các hàm phân hình trên Cp. Nếu
E
f
n
f(z+c)
(1) = E
g
n
g(z+c)g
(1)
và n ≥ 25, n là số nguyên thì fg = l với l
n+1

= 1 hoặc f = hg với h
n+1
= 1.
11
Định lý 1.2.10. Giả sử f là hàm phân hình khác hằng trên C
p
,n, q
i
, s, k, i =
1, , k là các số nguyên dương , s ≥ 1, q
i
≥ 1, k ≥ 1, n ≥
k

i=1
q
i
+ 2k + s + 1. Khi
đó
P (f) (f (z + c))
q
1
(f (z + kc))
q
k
− a có không điểm, ở đó a ∈ C
p
, a = 0.
Định lý 1.2.11. Giả sử f, g là các hàm phân hình khác hằng trên Cp.
1. Nếu E

f
n
f(z+c)f(z+kc)
(1) = E
g
n
g(z+c)g(z+kc)
(1) ,
k ≥ 1, n ≥ 5k + 8 là các số nguyên thì f = hg với h
n+k
= 1 hoặc fg = l với
l
n+h
= 1.
2. Nếu E
f
n
f(z+c) (f(z+kc))
q
k
(1) = E
g
n
g(z+c) (g(z+kc))
q
k
(1) ,
k ≥ 1, q
i
> 1, i = 1, , k, n ≥

k

i=1
q
i
+ 8k + 8 là các số nguyên thì f = hg với
h
n+q
1
+ +q
k
= 1 hoặc fg = l với l
n+q
1
+ +q
k
= 1.
3.Nếu
E
f
n
f(z+e
1
c) f(z+e
m
c)(f(z+t
1
c))
q
1

(f(z+t
k
c))
q
k
(1) =
E
g
n
g(z+e
1
c) g(z+e
m
c)(g(z+t
1
c))
q
1
(g(z+t
k
c))
q
k
(1).
với e
j
≥ 1, j = 1, , m, t
i
≥ 1, q
i

> 1, k ≥ 1, i = 1, k, n ≥ 5m+
k

i=1
q
i
+8k+8 là
các số nguyên thì f = hg với h
n+m+q
1
+ +q
k
= 1 hoặc f g = l với l
n+m+q
1
+ +q
k
=
1.
Nhận xét 1.2.12. Định nghĩa sai phân đối với hàm số thực và hàm phân hình
p-adic là tương tự. Xét vấn đề nhận giá trị đối với toán tử sai phân, đa thức
sai phân gồm các bước sau:
Bước 1: Tìm mối liên hệ giữa hàm đặc trưng của f và hàm đặc trưng của
∆
c
f, f(z + c).
Bước 2: Dùng các kiểu Định lý chính thứ 2 đối với toán tử sai phân, đa thức
sai phân. Sau đó chuyển T (∆
c
f, r), T (f(z + c), r) về T (f, r) và ước lượng.

12
1.3 Hàm hữu tỷ trên trường đóng đại số, đặc trưng
không đối với vấn đề nhận giá trị
1.3.1 Hàm hữu tỷ trên trường đóng đại số, đặc trưng không
Định nghĩa 1.3.1. Một trường K được gọi là đóng đại số nếu mọi đa thức
một ẩn có bậc khác không, với hệ số trong K, có nghiệm trong K.
Trường R không là đóng đại số vì đa thức P (x) = x
2
+ 1 không có nghiệm thực
mặc dù các hệ số của đa thức là (1, 0, 1) cũng thuộc R.
Định nghĩa 1.3.2. Ta định nghĩa thêm khái niệm đặc trưng không của trường
K . Số 0 được gọi là đặc trưng của trường K nếu n1 = 0 với mọi số tự nhiên n.
Nếu có một số tự nhiên n sao cho n1 = 0 thì số n nhỏ nhất với tính chất này
được gọi là đặc trưng của K, kí hiệu là char(K).
Ví dụ 1.3.3.
1. Các trường Q, K có đặc trưng 0
2. Trường Z
p
có đặc số p vì p ≡ 0 và p là số nguyên dương nhỏ nhất thỏa mãn
điều kiện này.
Nếu char(K) = n > 0 thì nx = 0 với mọi x ∈ K vì nx = n(1x) = (n1)x = 0x.
Các kết quả trong [1] sau đây đã được trình bày lại ở [2]. Ký hiệu K là
trường đóng đại số, đặc trưng không. Giả sử f là đa thức khác hằng có bậc n
trên K và a là không điểm của f. Khi đó viết
f = (z − a)
m
p(z)
với p(a) = 0. Ta gọi m là bội của không điểm a của f . Đặt µ
0
f

(a) = m. Giả sử
d ∈ K và l là số nguyên dương. Ký hiệu n(f) là số các không điểm của f tính
cả bội;
n(f, d) = n(f − d)
n
l
(f) =
q

i=1
min{m
i
, l} ở đó f = a(f − z
1
)
m
1
. . . (f − z
q
)
m
q
n
l
(f, d) = n
l
(f − d)
13
n
0

(f) = q; n
0
(f, d) = n
0
(f − d)
Giả sử f =
f
1
f
2
là hàm hữu tỷ trên K, ở đó f
1
, f
2
∈ K[x] và không có không
điểm chung, d ∈ K, ta ký hiệu
n(f) = n(f
1
), n(f, d) = n(f
1
− df
2
),
n
l
(f) = n
l
(f
1
), n

l
(f, d) = n
l
(f
1
− df
2
),
n
0
(f, d) = n
0
(f
1
− df
2
), n(f, ∞) = n(f
2
)
n
l
(f, ∞) = n
l
(f
2
), n
0
(f, ∞) = n
0
(f

2
),
degf = degf
1
− degf
2
, µ
d
f
= µ
0
f
1
−df
2
, µ
∞
f
= µ
0
f
2
.
Giả sử f là đa thức bậc k trên K và b ∈ K. Khi đó chúng ta có thể viết f
trong dạng
f =
k

n=0
b

n
(z − b)
n
với b
k
= 0 và ta đặt ω
0
f
(b) = k. Cho a ∈ K, ta định nghĩa hàm
ω
a
f
: K −→ N bởi ω
a
f
(b) = ω
0
f=a
(b).
Giả sử k là số nguyên dương. Ta định nghĩa hàm ω
k
f
từ K tới N bởi
ω
k
f
(z) =




0 nếu ω
0
f
(z) > k
ω
0
f
(z) nếu ω
0
f
(z)  k
và
n
k
(f) =

z∈K
ω
k
f
(z), (z ∈ K)
n
k
(f, a) = n
k
(f − a).
Chú ý rằng ω
k
f
(z) bằng 0 hầu hết trừ một số hữu hạn z ∈ K.

lim
k→∞
n
k
(f, a) = n(f, a).
Giả sử l là số nguyên dương. Ta định nghĩa
n
k
l
(f) =

z∈K
min

ω
k
f
(z), l

14
Chú ý rằng lim
k→∞
n
k
l
(f) = n
l
(f).
Bây giờ giả sử f là hàm hữu tỷ trên K, d ∈ K, l là số nguyên dương. Tương
tự như trên, ta định nghĩa các hàm

n
k
(f, a), n
<k
f(, a) n
k
(f, a) n
>k
(f, a),
n
k
l
(f, a), n
<k
l
f(, a) n
k
l
(f, a) n
>k
l
(f, a).
Bây giờ giả sử f là hàm hữu tỷ trên K, d ∈ K, l là số nguyên dương. Tương
tự như trên, ta định nghĩa các hàm
n
k
(f, a), n
<k
f(, a) n
k

(f, a) n
>k
(f, a),
n
k
l
(f, a), n
<k
l
f(, a) n
k
l
(f, a) n
>k
l
(f, a).
Kí hiệu C
p
là trường đóng đại số, đặc trưng không. Cho f là hàm hữu tỷ
khác hằng trên C
p
và a ∈ C
p
∪ {∞}. Kí hiệu:
E
f
(a) = {(µ
a
f
(z), z) : z ∈ C

p
}
E
f
(a) = f
−1
(a) = {z ∈ C
p
: µ
a
f
> 0}.
Cho k là số: E
≤k
f
(a) = {z ∈ C
p
, µ
≤k
f−a
}. Nếu một cặp hàm hữu tỷ f và g khác
hằng trên C
p
thoả mãn E
f
(a) = E
g
(a) (tương ứng E
f
(a) = E

g
(a)) thì ta nói
f và g chung nhau giá trị aCM (tương ứng aIM), trong đó CM (tương ứng
IM) có nghĩa là kể cả bội (tương ứng không kể bội).
1.3.2 Mối quan hệ giữa hàm độ cao, hàm đếm của hàm hữu tỷ trên
trường đóng đại số, đặc trưng không
Định lý 1.3.4. Đường cong hữu tỷ f : K → P
n
(K) là một lớp tương đương
của các bộ (n + 1) đa thức (f
1
, . . . , f
n+1
) sao cho f
1
, . . . , f
n+1
không có không
điểm chung trên K. Hai bộ (n + 1) đa thức (f
1
, . . . , f
n+1
) và (g
1
, . . . , g
n+1
) là
tương đương với nhau khi và chỉ khi tồn tại c ∈ K
∗
sao cho g

i
= cf
i
với mọi
i = 1, . . . , n + 1.
Ký hiệu
˜
f = (f
1
: f
2
: . . . : f
n+1
) là một biểu diễn của f. Khi đó ta viết
Giả sử f và g là hai đường cong hữu tỷ từ K và P
n
(K) với hai biểu diễn
˜
f = (f
1
: f
2
: . . . : f
n+1
), ˜g = (g
1
: g
2
: . . . : g
n+1

) tương ứng. Ta nói f đồng
nhất g và viết f ≡ g khi tồn tại c ∈ K
∗
sao cho f
1
= cg
i
với ∀ i = 1, . . . , n + 1.
15
f : K → P
n
(K)
z →
˜
f(z) =

f
1
(z) : . . . : f
n+1
(z)

.
Định nghĩa 1.3.5. Độ cao đường cong hữu tỷ f từ K vào P
n
(K) với hai biểu
diễn
˜
f = (f
1

: f
2
: . . . : f
n+1
) được xác định bởi
T (f ) = max
1in+1
degf
i
ở đó degf
i
là bậc của đa thức f
i
(i = 1, . . . , n + 1).
Định nghĩa 1.3.6. Đường cong hữu tỷ f từ K vào P
n
(K) được gọi là không
suy biến tuyến tính nếu ảnh của f không được chứa trong bất kỳ siêu phẳng
nào của P
n
(K).
Đường cong hữu tỷ f được gọi là khác hằng nếu ảnh của f không là một
điểm nào của P
n
(K).
Bổ đề 1.3.7. Giả sử f là đường cong hữu tỷ khác hằng từ K vào P
1
(K) với
biểu diễn là
˜

f = (f
1
, f
2
). Khi đó Wronskian
W = W (f
1
, f
2
) =





f
1
f
2
f

1
f

2






không đồng nhất không.
Định lý 1.3.8. Giả sử f là đường cong hữu tỷ khác hằng từ K vào P
1
(K) với
biểu diễn là
˜
f = (f
1
, f
2
) và X là một điểm của P
1
(K) sao cho ảnh của f không
chứa trong X. Khi đó
T (f, X) = T (f).
Định lý 1.3.9. Giả sử f là đường cong hữu tỷ khác hằng từ K vào P
1
(K) với
biểu diễn là
˜
f = (f
1
: f
2
), X
1
, . . . , X
q
là các điểm phân biệt của P
1

(K). Khi đó
(q − 1)T (f) 
q

i=1
n(f, X
i
).
16
Định lý 1.3.10. Giả sử f là đường cong hữu tỷ khác hằng từ K vào P
1
(K) với
biểu diễn là
˜
f = (f
1
: f
2
), X
1
, . . . , X
q
là các điểm phân biệt của P
1
(K). Khi đó
(q − 2)T (f) 
q

i=1
n

0
(f, X
i
).
Định lý 1.3.11. Giả sử f là hàm hữu tỷ khác hằng trên K và a
1
, a
2
, . . . , a
q
∈
K ∪ {∞}. Khi đó
(q − 1)T (f) 
q

i=1
n(f, a
i
).
Định lý 1.3.12. Giả sử f là hàm hữu tỷ khác hằng trên K và a
1
, a
2
, . . . , a
q
∈
K ∪ {∞}. Khi đó
(q − 1)T (f)  n
0
(f, ∞) +

q

i=1
n
0
(f, a
i
).
(q − 2)T (f) 
q

i=1
n
0
(f, a
i
) − 1.
Bây giờ giả sử f là hàm hữu tỷ trên K, a ∈ K. Ta định nghĩa khuyết của f
tại a bởi
Θ
f
(a) = 1 −
n
1
(f, a)
T (f )
.
Trong trường hợp a = ∞, ta kí hiệu
Θ
f

(∞) = 1 −
n
1
(f, ∞)
T (f )
.
Định nghĩa 1.3.13. Cho f là hàm hữu tỷ trên K.
Đa thức sai phân của f được xác định như sau:
A (z, f ) =

λ∈ I
a
λ
f
λ
0
f
λ
1
(z + c
1
) f
λ
n
(z + c
n
), c
1
, c
n

∈ K, c
1
= 0, , c
k
= 0,
a
λ
∈ K.
Đơn thức sai phân của f được xác định như sau:
M (z, f ) = af
n
f
q
1
(z + c) f
q
k
(z + kc); a, c
k
∈ K, a = 0, c = 0, k ∈ N
∗
.
17
Chương 2
Toán tử sai phân của hàm hữu tỷ
trên trường đóng đại số, đặc trưng
không
Cho hàm f là hàm phân hình p-adic. Toán tử sai phân của f được xác định
như sau:
∆

c
f = f (z + c) − f (z), ∆
1
c
f = ∆
c
f, , ∆
n+1
c
= ∆
c
(∆
n
c
), n = 1, 2,
ở đó c ∈ C
p
là một hằng số khác 0.
Đa thức sai phân của f được xác định như sau:
A (z, f ) =

λ∈ I
a
λ
f
λ
0
f
λ
1

(z + c
1
) f
λ
n
(z + c
n
), c
1
, c
n
∈ C
p
, c
1
= 0, , c
k
= 0,
a
λ
∈ C
p
.
Năm 2012, Hà Huy Khoái và Vũ Hoài An [7] đã đưa ra các kết quả cho vấn
đề nhận giá trị và duy nhất choToán tử sai phân, đa thức sai phân của hàm
phân hình p-adic. Họ đã nhận được các kết quả sau:
Cho P là đa thức bậc n trên C
p
. Viết P = a
0

(z − a
1
)
m
1
. . . (z − a
s
)
m
s
.
Định lý A.
Giả sử f là hàm phân hình khác hằng trên C
p
, n, k
i
, s, q, i = 1, , q là các số
nguyên,
s  1, q  1, k
i
 1, n 
q

i=1
(2k
i
+ 1)2
i
+ q + s + 1 − 3
q


i=1
k
1
, ∆
q
c
f
không đồng nhất không. Khi đó P (f )(∆
1
c
f)
k
1
(∆
q
c
f)
k
q
− a có không điểm, ở
đó a ∈ C
p
, a = 0.
18