giải tích 12 phần 7 khảo sát và vẽ đồ thị của hàm hữu tỷ

Giải tích 12

August 16 ,2009
/>Nhấn space bar hay click chuột để xem các dòng và trang kế tiếp
Biên tập PPS : vinhbinhpro
Phần VII : Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm hữu tỉ
http:my.opera.com/vinhbinhpro
Phần VII

Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm hữu tỉ
/>Tóm tắt giáo khoa
vinhbinhpro
Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số :
( )00 ;c
a x
ad
b
y
c x d
bc
+
+
− ≠≠=
* Tập xác định :
\
d
D R
c
 
= −
 

 
* Chiều biến thiên của hàm số
( )
2
'
a d bc
y
cx d
−
=
+
1. ad - bc > 0 => y’ > 0 ,
x D
∀ ∈
=> Hàm số luôn đồng biến trên txđ D
2. ad - bc < 0 => y’ < 0 ,
x D
∀ ∈
=> Hàm số luôn nghịch biến trên txđ D
( cả hai trường hợp hàm số không có cực trị )
* Giới hạn và đường tiệm cận :
lim ; lim
d
x
c
d
x
c
y y
− +

 
→ −
 ÷

 
→ −
 ÷
  
= +∞ = −∞
1
.


a
d

-

b
c


>


0


d
x

c
⇒ = −
là tiệm cận đứng
lim ; lim
x x
y y
a a
c c
→+∞ →−∞
− +
   
 ÷  ÷
 
=

=

a
y
c
⇒ =
là tiệm cận ngang
Tóm tắt giáo khoa
vinhbinhpro
2
.


a
d

-

b
c


<


0


lim ; lim
d
x
c
d
x
c
y y
− +
 
→ −
 ÷

 
→ −
 ÷
  

= +∞ = −∞
lim ; lim
x x
y y
a a
c c
→+∞ →−∞
+ −
   
 ÷  ÷
 
=

=

d
x
c
⇒ = −
a
y
c
⇒ =
là tiệm cận đứng
là tiệm cận ngang
* Bảng biến thiên :
Tóm tắt giáo khoa
vinhbinhpro
2
.

a
d

-

b
c


<


0


lim ; lim
d
x
c
d
x
c
y y
− +
 
→ −
 ÷


 
→ −
 ÷
  
= −∞ = +∞
lim ; lim
x x
y y
a a
c c
→+∞ →−∞
+ −
   
 ÷  ÷
 
=

=

d
x
c
⇒ = −
a
y
c
⇒ =
là tiệm cận đứng
là tiệm cận ngang
* Bảng biến thiên :

d
c
−
d
c
−
- ∞
+∞ - ∞ +∞
ad - bc > 0 ad - bc < 0
x
y’
y
x
y’
y
+ +
- -
- ∞
+∞
a
c
+
 
 ÷
 
a
c
−
 
 ÷

 
+∞
- ∞
a
c
−
 
 ÷
 
a
c
+
 
 ÷
 
* Giao điểm của 2 đường tiệm cận là tâm đối xứng của đồ thị.
Tóm tắt giáo khoa
biên tập pps: vinhbinhpro
x
y y
x
tiệm cận ngang y= a/c
tiệm cận đứng x=-d/c
tiệm cận ngang y = a/c
tiệm cận đứng x=-d/c
ad - bc >0 ad - bc < 0
0
0
tâm đối xứng
tâm đối xứng

Tóm tắt giáo khoa
vinhbinhpro
Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số :
2
( 0 ; ' 0)
' '
ax bx c
y a a
a x b
+ +
= ≠ ≠
+
( tử không chia
hết mẫu )
* Tập xác định :
'
\
'
b
D R
a
 
= −
 
 
* Chiều biến thiên của hàm số : có thể tính y’ theo các cách sau
( )
( )
2
2

2
'
1. '
'
'
'
'
2 '
'
'x x
ax bx c
y
bb
y
a x
aa a
b
a
b ca
x b
+ +
+ +
= ⇒
+
−
=
+
2. Lấy tử chia mẫu :
( )
2

'
'
' '
' '
a
y x l yk k
a x b
a x
Q Q
b
= + + ⇒ = −
+
+
( kx +l là THƯƠNG và Q là số DƯ trong phép chia tử cho mẫu)
Tổng quát :
( )
2
2
'
' '
Ax Bx C
y
a x b
+ +
=
+
2
0(*0 )' Ax Bxy C
+ + == ⇔
Dấu của y’ phụ thuộc vào số nghiệm của phương trình (*) và A = a.a’

Tóm tắt giáo khoa
vinhbinhpro
* Giới hạn và đường tiệm cận :
' '
' '
'
'
lim lim
b b
x x
a a
y y
b
x
a
− +
   
→ − → −
 ÷  ÷
   
=±∞ =±∞ ⇒ =−
g
là tiệm cận đứng
( )
; lim lim 0
' ' ' '
x x
kx l k
Q Q
a x b

y y
b
x
x
l
a
→±∞ →±∞
+= + − = =
 
 
+
+
+
g
=> y = kx + l là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số
* Chiều biến thiên :
Tóm tắt giáo khoa
vinhbinhpro
* Chiều biến thiên :
2
' 0 0y Ax Bx C
x
x
α
β
=

× = ⇔ + +
=
= ⇔



1. Trường hợp 1 :
2. Trường hợp 2 :
' 0y× =
VÔ NGHIỆM
Lúc này dấu y’ luôn cùng dấu với A = a a’
Click vào để xem tiếp
Click vào để xem tiếp
Tóm tắt giáo khoa
vinhbinhpro
* Giới hạn và đường tiệm cận :
' '
' '
'
'
lim lim
b b
x x
a a
y y
b
x
a
− +
   
→ − → −
 ÷  ÷
   
=±∞ =±∞ ⇒ =−

g
là tiệm cận đứng
( )
; lim lim 0
' ' ' '
x x
kx l k
Q Q
a x b
y y
b
x
x
l
a
→±∞ →±∞
+= + − = =
 
 
+
+
+
g
=> y = kx + l là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số
* Bảng biến thiên :
2
' 0 0y Ax Bx C
x
x
α

β
=

× = ⇔ + +
=
= ⇔


1. Trường hợp 1 :
A = a a’ > 0
x
y’
y
-∞
+∞
'
'
b
a
−
α
β
0 0
- -
++
CĐ
ct
-∞ -∞
+∞+∞
A = a a’ < 0

'
'
b
a
−
α
β
0 0
+∞
+ +

x
y’
y
CĐ
ct
- ∞
-∞-∞
+∞+∞
Tóm tắt giáo khoa
/>Chú ý : Cách tính giá trị cực trị Gọi
i
x
là điểm cực trị
)
( )
( )
(
i
i

i
u x
y x
v x
=
Ngoài cách tính :
ta còn có cách tính sau :
)
'( )
( )
'( )
i
i
i
u x
y x
v x
=
(với u’ là đạo hàm của tử u(x) và v’ là đạo hàm của mẫu v(x)
* Đồ thị :
a) Đồ thị hàm số là một hyperbol không vuông góc
b) Giao điểm của 2 đường tiệm cận là tâm đối xứng của đồ thị
Cách dựng : 1. Dựng 2 đường tiệm cận
2. Dựng điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm số
3.Dựng 2 nhánh của đồ thị ( đi qua các điểm đặc biệt)
Tóm tắt giáo khoa

vinhbinhpro
y
x

y
x
0
0
t
i
ệ
m

c
ậ
n

x
i
ê
n


y

=

k
x

+

l
tiệm cận đứng x = - b’/a’

điểm cực tiểu
điểm cực đại
tâm đối xứng
A= a a’ > 0 hay k > 0
A= a a’ < 0 hay k < 0
tâm đối xứng
trở về
Tóm tắt giáo khoa *
/>A = a a’ > 0
A = a a’ < 0
2. Trường hợp 2 :
' 0y× =
VÔ NGHIỆM
Lúc này dấu y’ luôn cùng dấu với A = a a’
'
'
b
a
−
'
'
b
a
−
+ +
- -
x
y’
y
- ∞ +∞ - ∞ +∞

x
y’
y
+∞+∞ +∞+∞
- ∞ - ∞
- ∞
- ∞
2
lim lim
'
x x
a x
y
a x
→+∞ →+∞
= =+∞
2
lim lim
'
x x
a x
y
a x
→−∞ →−∞
= =−∞
2
lim lim
'
x x
a x

y
a x
→+∞ →+∞
= =−∞
2
lim lim
'
x x
a x
y
a x
→−∞ →−∞
= =+∞
Tóm tắt giáo khoa *
vinhbinhpro
A = a a’ > 0 hay k > 0 A = a a’ < 0 hay k < 0
y
y
x
x
0 0
x= - b’/a’
y

=

k
x

+

l
tâm đối xứng
trở về
Bài tập
Phần VII : Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm hữu tỉ
Bài tập 1
vinhbinhpro
b)Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m = 3
Cho hàm số :
( )
2 2
( 1; 2)
m x m
y m m
x m
− + −
= ≠ − ≠
−
a) Định m để 2 đường tiệm cận của đồ thị cắt nhau trên đường thẳng y = 2x - 5
Hướng dẫn : a)
( ) ( )
2
lim 2 2 2 0 1; 2
x m
m x m m m m m
→
− + − = − − ≠ ≠ − ≠
 
 

g
lim
x m
y x m
→
= ∞ ⇒ =
g
là tiệm cận đứng
( )
2
2
lim lim
1
2
x x
m
x m
x
y
m
x
x
m
→∞ →∞
−
 
− +
 
 
= =

 
−
 ÷
 
−
g
=> y = m - 2 là tc ngang
Giao điểm của 2 đường tiệm cận là điểm I (m ; m - 2 )
2 3: 2 5 2 5y x m mI d m
= − ⇔ − = − ⇔∈ =
Bài tập 1*
/>) 3 ;
1
3
m y
x
b
x
+
=
−
=
{ }
\ 3D R
=
* Tập xác định :
( )
2
4
' 0

3
y x D
x
−
∗ = < ∀ ∈
−
Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định
3 3
lim ; lim
x x
y y
+ −
→ →
+∞∗ = = −∞
=> x = 3 là tiệm cận đứng
lim lim ; lim1 1
x x x
x
y y
x
→+∞ →+∞ →−
+ −
∞
∗ = = =
=> y = 1 là tiệm cận ngang
* Bảng biến thiên
Bài tập 1*
/>) 3 ;
1
3

m y
x
b
x
+
=
−
=
{ }
\ 3D R
=
* Tập xác định :
( )
2
4
' 0
3
y x D
x
−
∗ = < ∀ ∈
−
Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định
3 3
lim ; lim
x x
y y
+ −
→ →
+∞∗ = = −∞

=> x = 3 là tiệm cận đứng
lim lim ; lim1 1
x x x
x
y y
x
→+∞ →+∞ →−
+ −
∞
∗ = = =
=> y = 1 là tiệm cận ngang
* Bảng biến thiên
3
+ ∞
- ∞

x
y’
y
1
+
1
−
+ ∞
- ∞
* Đồ thị :
Điểm đặc biệt :
x
y
0 1 2

- 3-2- 1/3
Bài tập 1**
/>f(x)=(x+1)/(x-3)
f(x)=1
x(t)=3 , y(t)=t
Series 1
-4 -2 2 4 6
-4
-2
2
4
x
f(x)
Tâm đối xứng
Bài tập 2
vinhbinhpro
Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số :
2
3 6
1
x x
y
x
− +
=
−
Hướng dẫn :
* Tập xác định :
{ }
\ 1D R

=
* Chiều biến thiên
( )
2
2
2
2 3
' ; ' 0 2 3 0
1
1
3
x x
y y x
x
x
x
x
− −
= = ⇔ − − =
=−

⇔
=
−


g
* Giới hạn và tiệm cận :
2
lim lim ; lim

xx x
x
y y
x
→+∞ →−∞ ∞→+
+∞ ∞= = = −
g
11
2
1
3 6
lim lim ; lim
1
x x x
x x
y y
x
+ + −
→ →→
− +
• = +∞= =
−
−∞
=> x = 1 là tiệm cận đứng
( )
4 4
; lim lim2
1 1
2 0
x x

x xy y
x x
→∞ →∞
• = + − = =
 
 
− −
− −
=> y = x - 2 là tiệm cận ngang
* Bảng biến thiên :
Bài tập 2*
-1 1 3
0 0
+∞- ∞
- -
++
x
y’
y
+∞
- ∞ - ∞
+∞
CĐ
ct
2 3
( 1) 5
1
CD
CD
x

y y
−
= − = = − ⇒
g
Điểm cực đại ( - 1 ; - 5 )
2 3
(3) 3
1
ct
ct
x
y y
−
= = = ⇒
g
Điểm cực tiểu ( 3 ; 3 )
* Đồ thị :
+ Giao điểm 2 đường tiệm cận I ( 1 ; - 1 ) là tâm đối xứng của đồ thị
+ Tính thêm tọa độ các điểm đặc biệt
/>f(x)=(x^2-3*x+6)/(X-1)
x(t)=1 , y(t)=t
f(x)=x-2
Series 1
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-6
-4
-2
2
4
6

x
f(x)
3
- 5
tâm đối xứng
I (1 ; -1 )
Bài tập 3
vinhbinhpro
Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số :
2
2 1
1
x x
y
x
− + +
=
−
Hướng dẫn :
* Tập xác định :
{ }
\ 1D R
=
* Chiều biến thiên
( )
2
2
2 3
' ; Pt : ' 0 0 ; 1
1

'y x
x x
y y VN
x
− + −
= = <⇒ ∀
−
≠
g
* Giới hạn và tiệm cận :
2
lim lim ; lim
xx x
x
y y
x
→+∞ →−∞ ∞→+
−∞ ∞= = = +
g
1 1
2
1
2 1
lim lim ; lim
1
xx x
x x
y y
x
+ + −

→ →→
+
− + +
• = =
−
∞ = −∞
=> x = 1 là tiệm cận đứng
( )
2 2
; lim lim
1
1
1
1 0
x x
y xy
x
x
x
→∞ →∞
− + −• = + − = =
 
 
− −
+
=> y = - x +1 là tiệm cận ngang
* Bảng biến thiên :
Hàm số nghịch biến trên các khoảng của D và không có cực trị
Bài tập 2*
1 +∞- ∞

- -
x
y’
y
- ∞
+ ∞
- ∞
+∞
* Đồ thị :
+ Giao điểm 2 đường tiệm cận I ( 1 ; 0 ) là tâm đối xứng của đồ thị
+ Tính thêm tọa độ các điểm đặc biệt
- Đồ thị cắt trục Oy tại điểm ( 0 ; - 1 )
- Đồ thị cắt trục Ox tại 2 điểm :
( ) ( )
1 2 ; 0 ; 1 2 ; 0
− +
f(x)=(-x^2+2*x+1)/(x-1)
x(t)=1 , y(t)=t
f(x)=-x+1
-1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5
-4
-2
2
4
x
f(x)