rèn luyện kỹ năng ứng dụng đạo hàm để giải toán cực trị hình học cho học sinh khá, giỏi líp 12 thpt

MỞ ĐẦU
1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Chương trình Giải tích THPT, đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm giữ vai trò chủ
đạo. Thực trạng dạy và học Toán ở trường THPT cho thấy: Do vai trò chủ đạo của
đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm trong chương trình Toán nên phần lớn GV và HS
rất chú trọng đặc biệt là đối với HS líp 12 vì thế nhiều HS khá, giỏi đã được rèn
luyện kỹ năng ứng dụng của đạo hàm để giải toán. Bên cạnh đó có nhiều sách tham
khảo viết về ứng dụng của đạo hàm để giải toán nói chung. Tuy nhiên về bài toán
cực trị hình học và việc ứng dụng của đạo hàm giải loại toán này thì đa số học sinh
đối với cả học sinh khá, giỏi còn chưa được rèn luyện, thậm chí Ýt được tiếp cận.
Trên thực tế có rất Ýt tài liệu tham khảo viết có hệ thống về loại toán này. Vấn đề
cực trị hình học khó đối với học sinh vì nó đòi hỏi kiến thức tổng hợp về hình học,
đại số, giải tích và nó đòi hỏi học sinh phải có thãi quen ứng dụng tổng hợp kiến
thức. Nếu rèn luyện được kỹ năng giải loại toán này thì không chỉ học sinh nắm
được hệ thống tri thức toán mà còn góp phần rèn luyện năng lực giải toán, kỹ năng
vận dụng tri thức toán vào thực tiễn, phát triển tư duy Toán học cho học sinh. Vì vậy
việc rèn luyện kỹ năng ứng dụng đạo hàm để giải toán cực trị hình học là một nhu
cầu thiết yếu đối với học sinh, đặc biệt là học sinh khá, giỏi líp 12. Vì lẽ đó chúng tôi
chọn đề tài:
Rèn luyện kỹ năng ứng dụng đạo hàm để giải toán cực trị hình học cho học
sinh khá, giỏi líp 12 THPT
2. MỤC ĐÍCH VÀ NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU
 Nghiên cứu lí luận về kỹ năng, kỹ năng giải toán và một số biện pháp rèn
luyện kỹ năng giải toán cho học sinh THPT
 Rèn luyện kỹ năng ứng dụng đạo hàm để giải toán cực trị của hàm sè
 Tìm hiểu thực trạng của việc rèn luyện kỹ năng ứng dụng của đạo hàm trong
giải toán cực trị hình học
 Tìm hiểu bài toán cực trị hình học và nêu quy tắc giải bài toán cực trị hình
học có ứng dụng của đạo hàm
 Xây dựng hệ thống các bài tập điển hình nhằm rèn luyện kỹ năng ứng dụng
của đạo hàm để giải toán cực trị hình học cho học sinh khá, giỏi líp 12

 Gợi ý cánh vận dụng hệ thống bài tập điển hình trong việc rèn luyện kỹ năng
giải toán nói chung, kỹ năng ứng dụng đạo hàm giải toán cực trị hình học nói riêng,
góp phần phát triển trí tuệ cho HS.
 Bước đầu thử nghiệm sư phạm để kiểm nghiệm tính khả thi của đề tài.
3. GIẢ THUYẾT KHOA HỌC
Có thể rèn luyện được kỹ năng ứng dụng của đạo hàm để giải toán cực trị hình
học thông qua hệ thống các bài tập điển hình và những gợi ý rèn luyện kỹ năng giải
toán. Bởi vì bài tập là một phương tiện quan trọng để đạt được những mục đích cơ
bản về dạy học toán cho học sinh phổ thông.
4. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
Các phương pháp sau đây được sử dụng trong quá trình nghiên cứu:

• Phương pháp nghiên cứu lý luận:
Nghiên cứu một số giáo trình phương pháp dạy học môn toán, SGK phổ
thông, Sách bồi dưỡng giáo viên THPT, các sách tham khảo, các tạp chí về giáo dục,
một số luận văn có liên quan đến đề tài.
• Phương pháp tổng kết kinh nghiệm:
Tổng kết kinh nghiệm qua nhiều năm trực tiếp giảng dạy, qua trao đổi kinh
nghiệm với một số giáo viên giỏi bộ môn Toán ở trường THPT. Từ đó xây dựng
được hệ thống các bài tập điển hình và những gợi ý dạy học nhằm rèn luyện kỹ năng
ứng dụng của đạo hàm trong giải toán cực trị hình học.
• Phương pháp quan sát, điều tra:
Quan sát và điều tra thực trạng dạy học giải toán cực trị hình học đối với học
sinh líp 12, qua đó nắm bắt được nhu cầu của việc rèn luyện kỹ năng ứng dụng của
đạo hàm cho học sinh khá, giỏi líp 12.
• Phương pháp thực nghiệm sư phạm:
Thử nghiệm việc rèn luyện kỹ năng ứng dụng của đạo hàm để giải toán cực
trị hình học thông qua chuyên đề tự chọn môn Toán líp 12, Bước đầu kiểm nghiệm
tính khả thi và hiệu quả của nội dung đã được xây dùng trong luận văn.
5. BỐ CỤC LUẬN VĂN

Mở đầu
Chương I. Cơ sở lý luận và thực tiễn
Chương II. Rèn luyện kỹ năng ứng dụng của đạo hàm để giải toán cực trị hình
học cho học sinh khá, giỏi líp 12.
Chương III. Thử nghiệm sư phạm
Kết luận
Tài liệu tham khảo
CHƯƠNG I. CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
I.1. KHÁI NIỆM CHUNG VỀ KỸ NĂNG VÀ KỸ NĂNG GIẢI TOÁN
I.1.1. Kỹ năng
Có nhiều quan niệm khác nhau về kỹ năng
“ Kỹ năng là khả năng vận dụng tri thức khoa học vào thực tiễn” trong đó khả
năng được hiểu là sức đã có về mặt nào đó để có thể làm tốt một việc gì [1]. “Kỹ
năng là khả năng thực hiện hành động một cách thành thạo, linh hoạt sáng tạo, phù
hợp với mục tiêu trong các điều kiện khác nhau” [6].
Theo từ điển trên mạng Wikipedia: Kỹ năng là sự thành thạo, sự dễ dàng, hoặc
khéo léo có được thông qua đào tạo hoặc trải nghiệm. Có 3 thành tố cơ bản của kỹ
năng là kết quả (effectivienss), sự chắc chắn/ ổn định (consistency) và hiệu quả
(efficency).
Từ các quan niệm về kỹ năng cho ta thấy có hai loại quan niệm về kỹ năng: 1)
Xem xét nghiêng về mặt kỹ thuật của hành động, coi kỹ năng là một phương tiện
thực hiện hành động mà con người đã nắm vững, theo đó người có kỹ năng là người
nắm vững tri thức về hành động và thực hiện hành động theo đúng yêu cầu đặt ra; 2)

Xem xét kỹ năng nghiêng về năng lực của con người, là biểu hiện của năng lực con
người chứ không đơn thuần là mặt kỹ thuật của hành động. Loại quan niệm này chú ý
tới kết quả của hành động. Coi kỹ năng là năng lực thực hiện một công việc có kết
quả với chất lượng cần thiết trong một thời gian nhất định, trong những điều kiện,
tình huống mới.
Rèn luyện kỹ năng có vai trò đặc biệt quan trọng đối với sự phát triển trí tuệ

“Khó có thể phân biệt rạch ròi đâu là rèn luyện kỹ năng, đâu là phát triển trí tuệ”.
Theo như đã trình bày, kiến thức là cơ sở của kỹ năng, do đó tuỳ theo nội dung
kiÕn thức truyền thụ cho HS mà GV có những yêu cầu rèn luyện kỹ năng tương ứng.
Con đường đi từ kiến thức đến kỹ năng là rất phong phú và nó phụ thuộc vào nhiều
tham số như: kiến thức xác định kỹ năng, yêu cầu rèn luyện kỹ năng, mức độ chủ
động, tích cực của học sinh vv. Con đường tốt nhất và đảm bảo tính sư phạm là sự
tham gia hoạt động và bằng hoạt động chủ động, tích cực, độc lập của HS.
Muốn kiến thức là cơ sở của kỹ năng thì kiến thức đó phải phản ánh đầy đủ
thuộc tính bản chất, được thử thách trong thực tiễn và tồn tại trong ý thức với tư cách
là công cụ của hành động.
Các yếu tố ảnh hưởng đến sự hình thành kỹ năng
• Nội dung của bài tập, nhiệm vụ đặt ra được trừu tượng hoá hay bị che phủ bởi
những yếu tố phụ làm chệch hướng tư duy có ảnh hưởng tới sự hình thành kỹ năng.
• Tâm thế và thãi quen cũng ảnh hưởng tới sự hình thành kỹ năng. Vì thế tạo tâm
thế thuận lợi trong học tập sẽ giúp HS trong việc hình thành kỹ năng.
• Có khả năng khái quát đối tượng một cách toàn thể.
Sự hình thành kỹ năng:
Thực chất của việc hình thành kỹ năng là hình thành cho HS nắm vững một hệ
thống phức tạp các thao tác nhằm làm biến đổi và sáng tỏ những thông tin chứa đựng
trong bài tập, trong nhiệm vụ và đối chiếu chúng với những hoạt động cụ thể. Muốn
vậy khi hình thành kỹ năng chủ yếu là kỹ năng học tập cho HS cần:
• Giúp HS biết cánh tìm tòi để nhận xét ra yếu tố đã cho, yếu tố phải tìm và mối
quan hệ giữa chúng.
• Giúp HS hình thành mô hình khái quát để giải quyết các bài tập cùng dạng,
các đối tượng cùng loại.
• Xác lập được mối quan hệ giữa bài tập mô hình khái quát và các kiến thức
tương xứng.
I.1.2. Kỹ năng Toán học, kỹ năng giải toán
a) Kỹ năng Toán học
Một yêu cầu quan trọng cần đạt được trong dạy học Toán là HS phải nắm vững

kiến thức,có kỹ năng, kỹ xảo vận dụng trong thực hành giải toán. Tuỳ theo nội dung
kiến thức truyền thụ cho HS mà ta có những yêu cầu rèn luyện kỹ năng tương ứng.
Trong chương trình Toán phổ thông ta có thể chỉ ra một số kỹ năng cần thiết khi giải
toán là
Kỹ năng tính toán:
Kỹ năng vận dụng thành thạo các quy tắc:

Kỹ năng vận dụng tri thức vào giải toán:
Kỹ năng chứng minh Toán học:
Kỹ năng chuyển từ tư duy thuận sang tư duy nghịch, kỹ năng biến đổi xuôi chiều
và ngược chiều:
Kỹ năng đọc và vẽ hình, đo đạc:
Kỹ năng Toán học hoá các tình huống thực tiễn:
Kỹ năng hoạt động tư duy hàm:
Kỹ năng tự kiểm tra đánh giá, tìm sai lầm trong lời giải:
b) Kỹ năng giải toán
Trong Toán học,“Kỹ năng là khả năng giải các bài toán, thực hiện các chứng
minh cũng như phân tích có phê phán các lời giải và chứng minh nhận được”.
Kỹ năng giải toán có cơ sở là các tri thức Toán: kiến thức, kỹ năng, phương
pháp. HS sau khi nắm vững lí thuyết, trong quá trình luyện tập, củng cố, đào sâu kiến
thức thì kỹ năng được hình thành, phát triển đồng thời nó cũng góp phần củng cố, cụ
thể hoá tri thức Toán học.
Kỹ năng Toán học được hình thành và phát triển thông qua việc thực hiện các
hoạt động Toán học và các hoạt động học tập trong môn Toán.
Kỹ năng có thể được rút ngắn, bổ sung, thay đổi trong quá trình hoạt động.
I.2. RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI TOÁN CHO HS THPT.
I.2.1. Cơ sở lý luận để xây dựng các biện pháp nhằm rèn luyện kỹ năng giải toán
cho học sinh THPT
a) Cơ sở tâm lý giáo dục
b) Cơ sở phương pháp dạy học bộ môn Toán

Phương pháp dạy học Toán ở trường THPT phải luôn gắn liền với với việc
truyền thụ tri thức, kỹ năng với việc giáo dục, rèn luyện con người với việc phát triển
các năng lực của học sinh.
Căn cứ vào nhiệm vụ của việc dạy học bộ môn, bên cạnh việc truyền thụ tri
thức, rèn luyện kỹ năng thực hành Toán học, học sinh cần được rèn luyện kỹ năng
vận dụng Toán học vào thực tiễn, cụ thể là trau rồi cho họ khả năng vận dụng
những hiểu biết Toán học vào việc học tập bộ môn khác, vào thực tiễn cuộc sống,
vv. Do đó cần thiết và có thể xây dựng các biện pháp nhằm rèn luyện các kỹ năng
giải toán cho học sinh, góp phần thực hiện các nhiệm vụ bộ môn đồng thời đảm
bảo tính liên môn trong dạy học.
I.2.2. Con đường hình thành và rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh
Quy trình hình thành và phát triển kỹ năng giải toán cho học sinh
Trong quá trình dạy học, việc vận dụng quy trình sau nhằm thực hiện mục tiêu:
hình thành và phát triển kỹ năng giải toán, bồi dưỡng năng lực Toán học cho HS, đặc
biệt là HS khá, giỏi.

I.2.3. Giải pháp rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh.
Để rèn luyện được kỹ năng giải toán cho học sinh ta cần phải có một giải pháp
đồng bộ, bao gồm các hoạt động sau:
a)Tổ chức các hoạt động học tập đảm bảo tính chủ động, tích cực, độc lập
của học sinh trong quá trình chiếm lĩnh tri thức và rèn luyện kỹ năng.
Mục tiêu quan trọng đầu tiên của việc tổ chức các hoạt động học tập là đảm bảo
cho học sinh nắm một cách vững chắc và có hệ thống các kiến thức quy định trong
chương trình. Căn cứ vào chương trình, người giáo viên cần phải xác định và chọn
lọc các kiến thức, kỹ năng cơ bản cần được trang bị, hình thành, phát triển cho học
sinh.
Trên quan điểm hoạt động, định hướng đổi mới phương pháp dạy học, trong quá
trình dạy học, người GV cần tổ chức các hoạt động học tập để HS tham gia, cụ thể là:
 Tạo những tình huống gợi ra những hoạt động tương thích với nội dung và
mục tiêu dạy học.

 HS hoạt động tự giác tích cực, chủ động, sáng tạo, có sự giao lưu giữa HS
với HS, giữa GV với HS.
 GV có tác động điều chỉnh hoạt động học tập, chẳng hạn: giúp đỡ HS vượt
qua những khó khăn bằng cách phân tách một hoạt động thành những phần đơn giản
hơn, hoặc cung cấp cho HS mét số tri thức phương pháp và nói chung là điều chỉnh
mức độ khó khăn của nhiệm vụ dùa vào sự phân bậc hoạt động.
 GV giúp HS xác nhận những tri thức đã đạt được trong quá trình hoạt
động, đưa ra những bình luận cần thiết để HS hiểu tri thức đó một cách sâu
sắc, đầy đủ hơn.
b) Trang bị các tri thức về phương pháp giải toán cho học sinh





 !
"#$%&'(
& !
)*
Kü n¨ng
*+,
 /0 
/1+,%23
0*+,
/23)4& !
"5255(
6%7$5
"5)85255(
&*+,
952552

"& !(
:$5
5)80;.
Trước hết chúng ta cần rèn luyện cho HS thực hành giải toán theo quy trình 4
bước của Polya rồi từ đó hình thành kỹ năng giải toán theo quy trình giải toán này.
• Đối với những bài toán đã có thuật giải: giáo viên cần căn cứ vào yêu cầu
chung của chương trình còng như tình hình thực tế để, hoặc thông báo tương minh
thuật giải hoặc có thể cho học sinh thực hiện các hoạt động học tập ăn khớp với tri
thức phương pháp đó.
• Đối với những bài toán chưa có hoặc không có thuật giải: Giáo viên cần
hướng dẫn HS suy nghĩ, tìm tòi lời giải. Qua đó trang bị cho HS một số tri thức về
phương pháp giải toán. Thông qua dạy HS giải một số bài toán cụ thể mà dần dần cho
HS cách thức, kinh nghiệm tiến tới nghệ thuật trong việc suy nghĩ, tìm tòi lời giải các
bài toán, hình thành phương pháp giải một líp các bài toán có dạng quen thuộc. Từ đó
hình thành kỹ năng giải quyết loại bài toán đó.
Cách thức dạy phương pháp chung để giải bài toán
Một câu hỏi đặt ra là làm thể nào để HS hiểu được và vận dụng được phương
pháp chung để giải toán vào việc giải những bài toán cụ thể mà họ gặp trong chương
trình. Học phương pháp chung để giải toán không phải là học một thuật giải mà là
học những kinh nghiệm giải toán mang tính chất tìm tòi, phát hiện, Nói chung, cách
thức dạy HS phương pháp chung để giải bài toán như sau:
 Thông qua việc giải những bài toán cụ thể cần nhấn mạnh để học sinh nắm được
phương pháp chung 4 bước của Polya và có ý thức vận dụng 4 bước này trong quá
trình giải toán
 Còng thông qua giải những bài toán cụ thể, cần đặt cho HS những câu hỏi gợi ý
đúng tình huống để HS dần dần biết sử dụng những câu hỏi này như những phương
tiện kích thích suy nghĩ tìm tòi, dự đoán, phát hiện để thực hiện từng bước của
phương pháp chung giải toán. Những câu hỏi này lúc đầu do GV nêu ra để hỗ trợ cho
học sinh nhưng dần dần biến thành vũ khí của bản thân cho học sinh, được học sinh
tự nêu ra đúng lúc, đúng chỗ để gợi ý cho từng bước đi của mình trong quá trình giải

toán.
Như vậy trong quá trình học sinh học phương pháp chung giải toán là một quá
trình biến những tri thức phương pháp tổng quát thành kinh nghiệm giải toán của bản
thân mình thông qua việc giải hàng loạt các bài toán cụ thể. Từ phương pháp chung
giải toán đi tới cách giải một bài toán cụ thể còn là cả một chặng đường đòi hỏi lao
động tích cực của người học sinh, trong đó có nhiều yếu tố sáng tạo. “Tìm được cách
giải một bài toán là một phát minh’’ (Polya - 1975).
c) Rèn luyện kỹ năng giải toán thông qua củng cố
Việc củng cố tri thức kỹ năng một cách có định hướng và có hệ thống có một ý
nghĩa to lớn trong dạy học Toán. Điều đó trước hết là do cấu tạo của SGK ở phổ
thông theo cách là mỗi lĩnh vực nội dung mới đều dùa vào những lĩnh vực nội dung
đã được học trước kia. Củng cố cần được thực hiện đối với tất cả các thành phần của
nhân cách đã được phát biểu thành mục tiêu trong chương trình, tức là không chỉ
những đối với tri thức mà còm đối với cả kỹ năng, kỹ sảo, thãi quen và thái độ. Tuy
nhiên, việc củng cố chỉ có thể được thực hiện dùa vào những nội dung cụ thể, vì vậy
dưới đây chỉ xét chủ yếu là việc củng cố tri thức và kỹ năng Toán học.
<
Trong môn Toán củng cố diễn ra dưới các hình thức luyện tập, đào sâu, ứng
dụng, hệ thống hoá và ôn.
d) Rèn luyện kỹ năng giải toán thông qua các tiết tự chọn.
Theo chương trình đổi mới nội dung dạy học đối với học sinh THPT ở mỗi líp
học thuộc ban cơ bản hay ban nâng cao đều có hình thức học tự chọn một số môn học
nào đó với mỗi tuần 4 tiết tự chọn, với hai hình thức là: tự chọn nâng cao theo chuyên
đề; tự chọn bám sát chương trình. Mục tiêu của các tiết tự chọn là nhằm củng cố tri
thức, rèn luyện kỹ năng học tập bộ môn, đặc biệt đối với môn Toán là rèn luyện kỹ
năng giải toán, bổ sung kiến thức nâng cao, học các chuyên đề tự chọn do GV hay
học sinh đề xuất. Thông qua học tự chọn HS có điều kiện được rèn luyện thêm kỹ
năng, học được những tri thức mới đặc biệt là đối với HS khá, giỏi. GV cần lùa chọn
những chuyên đề phù hợp, gây hứng thó học tập cho học sinh. Trong quá trình lùa
chọn và xây dựng các chuyên đề tự chọn cho HS khá, giỏi cần có những chú ý sau:

 Thời gian (số tiết) mỗi chuyên đề phù hợp với yêu cầu phân phối chương trình
của Môn học.
 Chọn chuyên đề gây được hứng thó học tập cho HS, tránh trùng lặp nhiều những
nội dung hay bài toán mà trên líp HS đã được luyện tập và đã có kỹ năng.
 Nên lùa chọn những chuyên đề nhằm bổ sung, nâng cao kiến thức hay những
chuyên đề học tập có tính liên môn nhằm hỗ trợ học tập các môn học khác, đặc biệt là
những chuyên đề mà nội dung của nó có tính thực tiễn cho HS khá, giỏi
 Không nên quá tham vọng xây dựng những chuyên đề lớn như đối với các
trường chuyên. Vì mục đích của các chuyên đề tự chọn là rèn luyện và củng cố tri
thức, kỹ năng giải toán.
 Đối với việc rèn luyện kỹ năng giải toán trong môn Toán, GV cần chuẩn bị một
hệ thống kiến thức, bài tập liên quan đến chuyên đề đó để giao cho HS chuẩn bị trước
ở nhà. Vì làm như thế thì đảm bảo được phần lớn thời gian trên líp nó giúp cho việc
học chuyên đề có hiệu quả hơn.
I.3. KỸ NĂNG GIẢI TOÁN CỰC TRỊ HÌNH HỌC VÀ ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM
ĐỂ GIẢI TOÁN CỰC TRỊ HÌNH HỌC CHO HỌC SINH KHÁ, GIỎI LÍP 12.
I.3.1. Bài toán cực trị hình học
Trong chương trình THPT hầu như các bài toán cực trị hình học có dạng chung
là: Trong tất cả các hình có chung một tính chất, tìm hình mà một đại lượng nào
đó (Độ dài, khoảng cách, số đo góc, số đo diện tích, số đo thể tích, ) có giá trị
lớn nhất hay nhỏ nhất.
Giả sử hình H thay đổi trên miền D mà vị trí hay hình dạng của nó thay đổi theo
một đại lượng cho bởi biểu thức f ứng với sự biến thiên của tập các biến sốX trên
tập xác định D.
• Khi tìm vị trí hay hình dạng của hình H trên miền D sao cho f đạt giá trị lớn
nhất ta phải xác định được hai điều kiện sau:
1. Với mọi vị trí hay dạng của hình H trên miền D thì f M (là hằng số)
2. Tồn tại vị trí hay dạng của hình H trên miền D sao cho f = M
• Khi tìm vị trí hay hình dạng của hình H trên miền D sao cho f đạt giá trị nhỏ
nhất ta phải xác định được hai điều kiện sau:

=
1. Với mọi vị trí hay dạng của hình H trên miền D thì f m (là hằng số)
2. Tồn tại vị trí hay dạng của hình H trên miền D sao cho f = m.
Ví dô 1. Trong các tam giác vuông mà cạnh huyền có độ dài bằng 10cm, hãy xác
định ( tìm dạng) tam giác có diện tích lớn nhất.
Ví dô 2. Cho hình lập phương cạnh a ABCD.A’B’C’D’, tìm M, N lần lượt thuộc các
cạnh AA’, BD’ sao cho MN nhỏ nhất, tìm giá trị nhỏ nhất đó.
I.3.2. Một số dạng Toán cực trị hình học thường gặp, kiến thức và kỹ năng cơ
bản
Dạng 1: Xác định khoảng cách (độ dài đoạn thẳng) lớn nhất hay nhỏ nhất
Dạng 2: Các bài toán xác định diện tích đa giác, diện tích hình tròn lớn nhất,
nhỏ nhất.
Dạng 3: Các bài toán xác định thể tích đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất
Dạng 4: Các bài toán xác định và tính góc lớn nhất hay nhỏ nhất.
I.3.3. Một số phương pháp giải toán cực trị hình học
Ph ương pháp 1 : Sử dụng quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên
Phư ơng pháp 2 : Sử dụng quan hệ giữa đoạn thẳng và đường gấp khúc, các bất
đẳng thức trong tam giác
Ph ương pháp 3 : Sử dụng bất đẳng thức trong đường tròn
Phư ơng pháp 4 : Sử dụng một số phép dời hình
Ph ương pháp 5 : Sử dụng một số bất đẳng thức cơ bản
Phương pháp 6: Sử dụng phương pháp hàm số
Bước 1: Thiết lập tương ứng sự thay đổi của điểm, của góc …(các yếu tố biến
đổi) với mét biến sè x, đặt điều kiện cho x.
Bước 2: Thành lập biểu thức tính đại lượng cần tìm cực trị theo biến x, ta được
hàm số chứa biến x
Bước 3: Xét hàm số chứa biến x vừa thiết lập được, Tìm cực trị của nó.
Bước 4: Dùa vào cực trị, hay GTLN, GTNN của hàm số theo x để kết luận cực
trị của bài toán.
Ví dô 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D, AB

= 2a, AD = DC = a; cạnh bên SA đáy, SA = 2a, Gọi E là trung điểm của SA. Xét
mặt phẳng (P) đi qua điểm E và song song với AB, cắt các cạnh SB, BC,AD lần lượt
tại M, N, F. Thiết diện của hình chóp S.ABCD cắt bởi (P) là hình gì? Tìm vị trí của F
để thiết diện có diện tích nhỏ nhất.
Bài giải
Dễ dàng xác định được thiết diện là hình thang vuông EMNF vuông tại E, F
Bước 1: Đặt AF = x, 0 x a.
Bước 2: Do E là trung điểm của SA nên EM = a, EF =
.
Gọi I là trung điểm AD, J là giao của CI với FN ta có
JN=a-x vậy NF=2a - x.
Do đó S
EMNF
= (EM + FN).EF = (3a - x) = f(x)
>

?
@
A
B
C
D
:
E
F
G
Bước 3: Xét hàm sè f(x) trên [ 0; a]: f’(x) = ; f’(x)=0

Bảng biến thiên:
Bước 4: Từ bảng biến thiên suy ra MinS = khi x = F là trung điểm của

AD. Vậy với F là trung điểm của AD thì thiết diện của hình chóp cắt bởi mp (P) có
diện tích nhỏ nhất.
I.3.4. Ứng dụng đạo hàm để giải toán cực trị hình học đối với học sinh líp 12.
Nhiều bài toán cực trị hình học sau khi vẽ hình, phân tích đề bài dẫn đến việc
tìm cực trị, hay GTLN, GTNN của một biểu thức hay đại lượng nào đó.
Ngoài những phương pháp thông thường sử dụng để tìm cực trị, một phương
pháp dùng có hiệu quả, đặc biệt là đối với HS líp 12 đã học ứng dụng của đạo hàm để
tìm cực trị của hàm số thông qua ví dụ trên chúng ta thấy rõ điều đó.
Thực tế cho thấy rất nhiều học sinh khá giỏi vận dụng thành thạo việc ứng dụng
của đạo hàm để giải các bài toán đại số như: tìm cực trị của biểu thức đại số, chứng
minh bất đẳng thức, giải phương trình, bất phương trình, biện luận nghiệm,….Song
khi gặp bài toán cực trị hình học nói chung và đặc biệt khó đối với bài toán phải đưa
về xét hàm số mới giải được thì HS lại tỏ ra lúng túng thiếu tự tin vì chưa áp dụng nó
hoặc Ýt có điều kiện được áp dụng.
Bài toán cực trị hình học mà đại lượng cần tìm cực trị đưa được về xét cực trị
của một hàm số thì việc giải bài toán này đối với HS líp 12 nói chung, đặc biệt là đối
với HS khá giỏi thì rất thuận lợi. Mặt khác việc ứng dụng của đạo hàm để xét cực trị
của hàm số mang tính hiệu quả cao và tính chặt chẽ, rõ dàng.
I.4. RÈN LUYỆN KỸ NĂNG ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM ĐỂ GIẢI TOÁN CỰC
TRỊ HÌNH HỌC
Như đã phân tích ở mục (I.3.4) việc ứng dụng của phương pháp hàm số trong
đó có sử dụng đạo hàm để tìm cực trị của hàm số tỏ ra có hiệu quả đặc biệt đối với
HS khá, giỏi líp 12. Việc rèn luyện kỹ năng ứng dụng của đạo hàm giải toán cực trị
hình học góp phần vào việc rèn luyện khả năng ứng dụng của tri thức Toán học trong
nội bộ môn Toán, và trong thực tiễn vì nhiều bài toán thực tiễn dÉn đến tìm phương
pháp tối ưu (lín nhất, nhỏ nhất).
I.4.1. Kỹ năng
Các kỹ năng cần thiết cho việc ứng dụng của đạo hàm để giải toán cực trị hình
học là:
1. Các kỹ năng chung giải toán cực trị hình học: Vẽ hình, chứng minh, nhận

dạng, áp dụng công thức, tính toán và biến đổi linh hoạt, so sánh,
H
2. Các kỹ năng giải toán cực trị, tìm GTLN, GTNN của hàm số: Kỹ năng tính
đạo hàm, xét dấu của đạo hàm, kỹ năng vận dụng các quy tắc tìm cực trị, tìm GTLN,
GTNN của hàm số (II.1, II.2)
3. Kỹ năng vận dụng quy trình 4 bước để giải toán cực trị hình học bằng phương
pháp hàm số có ứng dụng của đạo hàm (Phương pháp 6)
Ví dô 4. Trong các hình trụ nội tiếp hình cầu bán kính R, hãy tìm hình trụ có thể tích
lớn nhất.
Bài giải
Bước 1: Thiết lập sự tương ứmg sự thay đổi các yếu tố phụ
thuộc bằng 1 biến
Vì thể tích của khối trụ phụ thuộc vào bán kính đáy và
chiều cao, lại bị ràng buộc bởi điều kiện nội tiếp, nên ta có
thể chọn biến tương ứng là chiều cao của hình trụ. Gọi h là
chiều cao của hình trô 0 < h < 2R.
Bước 2: Thiết lập hàm số
Kí hiệu chiều cao, bán kính đáy và thể tích của hình trụ nội
tiếp hình cầu lần lượt là h, r và V. Khi đó V = r
2
h.
Biểu diễn r theo h: Vì r
2
= R
2
- nên
V = V(h) = Vậy hàm số cần xét là V(h)
Bước 3: Khảo sát hàm số V(h)
Bài toán quy về tìm h để hàm số V(h) đạt GTLN, với h (0 ; 2R).
Ta có V’(h) =

Bảng biến thiên, Từ bảng biến thiên MaxV = khi h = .
Bước 4: Kết luận bài toán cực trị
Vậy hình trụ nội tiếp hình cầu có bán kính R có thể tích lớn nhất khi chiều cao
của nó bằng . Khi đó thể tích của hình trụ là .
Ví dô 5. Trong các mặt phẳng đi qua các điểm A(1 ; 2 ; -1), B(-1 ; 1 ; 2), viết phương
trình mặt phẳng ( ) tạo với mặt phẳng Oxy một góc nhỏ nhất.
Bài giải
Ta có phương trình AB :
Mặt phẳng ( ) chứa AB nên phương trình có dạng: u(x-2y+3) + t(3y+z - 5) = 0; u
2
+
t
2
> 0.
Nếu u = 0 thì ( ) : 3y + z – 5 = 0 cos(( ), Oxy) = = Nếu u
NÕu u 0 ta chọn u = 1. phương trình ( ) :x + (3t-2)y + tz -5t = 0 có = (1 ; 3t -
2 ; t).
I


J
Khi đó cos(( ), Oxy) = = .
Xét hàm sè f(t) = ; f’(t) = . Ta có f’(t) = 0 t = 0; t = .
Ta có bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên suy ra cos[( ), Oxy] lớn nhất bằng > góc (( ), Oxy)
nhỏ nhất
t = phương trình mặt phẳng ( ) cần tìm là : 6x + 3y +5z - 7 = 0.
I.4.2. Biện pháp rèn luyện
1. Biện pháp chung để rèn luyện kỹ năng giải toán (I.2.3).
2. Luyện tập quy trình 4 bước giải toán của Polya, quy trình 4 bước giải toán

cực trị hình học bằng phương pháp hàm số có ứng dụng của đạo hàm.
3. Xây dựng hệ thống các bài tập điển hình để giúp HS luyện tập giải toán
4. Xây dựng các chuyên đề tự chọn nâng cao đối với học sinh khá, giỏi
I.4.3. Một số khó khăn và sai lầm khi giải toán cực trị hình học
Khi giải toán hình học nói chung, giải toán cực trị hình học đặc biệt là hình học
không gian, học sinh líp 12 kể cả học sinh khá, giỏi môn Toán đã và có thể mắc
những khó khăn và sai lầm sau:
1. Trong vẽ hình không gian: khó khăn do hình vẽ phức tạp, phương tiện hỗ trợ
còn thô sơ (thước kẻ và compa), quy tắc vẽ hình không gian đơn giản song để vẽ
đúng hình trong các trường hợp cụ thể còn gặp khó khăn như xác định hình chiếu,
đường vuông góc, thiết diện,…dÉn đến vẽ hình sai.
2. Khó khăn trong việc áp dụng các định lý, đặc biệt là cách xác định góc,
khoảng, cách dẫn đến xác định sai góc, và khoảng cách.
3. Sai lầm khi không xét bài toán ở trường hợp đặc biệt, trường hợp không tồn
tại theo giả thiết.
4. Khó khăn và sai lầm trong việc vận dụng các phương pháp giải toán cực trị
hình học: so sánh các đại lượng, áp dụng bất đẳng thức, sử dụng phương pháp hàm
số.
I.5. NHỮNG LÝ DO CẦN THIẾT PHẢI RÈN LUYỆN KỸ NĂNG ỨNG DỤNG
CỦA ĐẠO HÀM ĐỂ GIẢI TOÁN CỰC TRỊ HÌNH HỌC CHO HỌC SINH
KHÁ, GIỎI LÍP 12.
I.5.1. Đổi mới nội dung chương trình SGK, SBT phổ thông
Theo khảo sát sách giáo khoa(SGK) và sách bài tập (SBT) Giải tích và Hình học
líp 12 nâng cao cho thấy: Việc trình bày lí thuyết một cách tinh giải không mang tính
hàn lâm, không yêu cầu HS phải chứng minh những định lí khó. Bên cạnh đó tăng
cường thêm nhiều bài tập trong SGK, trong SBT nhằm chú trọng kỹ năng thực hành
giải toán cho HS, đặc biệt là có nhiều bài tập nhằm rèn luyện kỹ năng ứng dụng Toán
học trong bộ môn, liên môn và ứng dụng vào thực tế. Sau đây là danh mục những bài
tập có ứng dụng của đạo hàm để giải toán cực trị hình học:
SBT Giải tích:


Chương I. Ứng dụng của đạo hàm để khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số:
Bài tập 1.23, 1.24, 1.25, 1.26, 1.27, 1.77, 1.78…
SBT Hình học:
Chương I. Khối đa diện và thể tích của chúng: Bài tập 34, 35, 42, 60
Chương II. Mặt cầu, mặt trụ, mặt nón: Bài tập 4, 15, 16, 17, 29, 40, 44, 46, 48, 50.
Chương III. Phương pháp toạ độ trong không gian: Bài tập 28, 40, 48, 74, 94.
I.5.2. Nhu cầu rèn luyện kỹ năng giải toán cực trị hình học của học sinh khá, giỏi
líp 12
Các bài toán cực trị hình học đặc biệt là hình học không gian được bố trí nhiều
trong SBT líp 12. Thông qua Giải tích 12 HS đã nắm được một cách hệ thống về bài
toán cực trị của hàm số. Nhu cầu tự nhiên của HS đặc biệt là HS khá, giỏi líp 12 là có
được hệ thống về bài toán cực trị hình học và cũng có quy trình giải loại bài toán này.
Mặt khác khi HS khá, giỏi líp 12 tham gia giải bài tập SBT nhằm củng cố và rèn
luyện kỹ năng giải toán của mình đã gặp loại toán này và họ không tránh khỏi những
lúng túng, những sai lầm khi giải toán. Trước những nhu cầu cấp thiết của phần lớn
HS khá, giỏi về việc rèn luyện kỹ năng giải toán cực trị hình học có ứng dụng của đạo
hàm GV cần có biện pháp để giúp HS giải quyết những yêu cầu này nhằm rèn luyện
kỹ năng ứng dụng của đạo hàm trong giải toán nói chung và trong giải toán cực trị
hình học, giải bài toán thực tế nói riêng.
KẾT LUẬN CHƯƠNG I
Trên cơ sở lÝ do chọn đề tài, chương 1 của luận văn có nhiệm vụ: Tìm hiểu khái
niệm về kỹ năng, sự hình thành kỹ năng nói chung và kỹ năng giải toán nói riêng,
nhằm mục đích đưa ra biện pháp rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh.
Tìm hiểu bài toán cực trị hình học, các dạng toán và các phương pháp giải toán
cực trị hình học nói chung, đi sâu phân tích kỹ năng ứng dụng của đạo hàm để giải
toán cực trị hình học.
Tìm hiểu thực trạng dạy học giải toán cực trị hình học và việc ứng dụng đạo hàm
để giải toán cực trị hình học cho HS líp 12. Tìm hiểu SGK, SBT Giải tích và Hình
học líp 12 nâng cao

Tìm hiểu những khó khăn và sai lầm của HS khi giải toán cực trị hình học. Từ đó
đưa ra biện pháp rèn luyện kỹ năng ứng dụng đạo hàm giải toán cực trị hình học. Có
thể nói kỹ năng chung giải toán cực trị hình học có ứng dụng của đạo hàm là thực
hiện thành thạo 4 bước giải toán loại này:
Bước 1: Thiết lập tương ứng sự thay đổi của các yếu tố biến đổi) với một biến
số x, đặt điều kiện cho x.
Bước 2: Thành lập biểu thức tính đại lượng cần tìm cực trị theo biến x
Bước 3: Xét hàm số chứa biến x vừa thiết lập được, Tìm cực trị của nó.
Bước 4: Dùa vào cực trị của hàm số theo x để kết luận cực trị của bài toán.
CHƯƠNG II. XÂY DỰNG HỆ THỐNG BÀI TẬP ĐIỂN HÌNH NHẰM RÈN
LUYỆN KỸ NĂNG ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ GIẢI TOÁN CỰC TRỊ
HÌNH HỌC CHO HỌC SINH KHÁ , GIỎI LÍP 12 THPT
II.1. HỆ THỐNG HOÁ KIẾN THỨC VÀ KỸ NĂNG ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM TÌM
CỰC TRỊ CỦA HÀM SÈ

II.1.1 Định nghĩa và các quy tắc tìm cực trị của hàm số
1. Định nghĩa
Giả sử hàm sè f xác định trên tập hợp D (D R) và x
0
D.
a) x
0
được gọi là điểm cực đại của hàm sè f nếu tồn tại một khoảng (a; b) chứa
điểm x
0
sao cho (a; b) D và f(x) < f(x
0
) với mọi x (a; b)\ {x
0
}. Khi đó f(x

0
) được
gọi là giá trị cực đại của hàm sè f.
b) x
0
được gọi là điểm cực tiểu của hàm sè f nếu tồn tại một khoảng (a; b) chứa
điểm x
0
sao cho (a; b) D và f(x) > f(x
0
) với mọi x (a; b)\ {x
0
}. Khi đó f(x
0
) được
gọi là giá trị cực tiểu của hàm sè f.
Điểm cực đại và điểm cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị
Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu được gọi chung là cực trị
Nếu x
0
là một điểm cực trị của hàm sè f thì ta nói rằng hàm sè f đạt cực trị tại
điểm x
0
. Kí hiệu điểm cực đại (tiểu) x
CĐ
(x
CT
), giá trị cực đại (tiểu) y
CĐ
(y

CT
)
Định lí 1 (Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị)
Giả sử hàm sè f đạt cực trị tại điểm x
0
, nếu f có đạo hàm tại x
0
thì f’(x
0
)=0
Nhận xét: Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị tại x
0
D là tại x
0
hàm số xác định và
f’(x
0
) = 0 hoặc f’(x
0
) không xác định. Điểm x
0
như thế gọi là điểm tới hạn
Định lí 2 (Dấu hiệu 1)
Giả sử hàm sè f liên tục trên khoảng (a; b) chứa điểm x
0
và có đạo hàm trên các
khoảng (a; x
0
) và (x
0

; b). Khi đó
a) Nếu f’(x
0
) < 0 với mọi x (a ; x
0
) và f’(x
0
) > 0 với mọi x (x
0
; b) thì hàm sè
f đạt cực tiểu tại điểm x
0
.
b) Nếu f’(x
0
) > 0 với mọi x (a ; x
0
) và f’(x
0
) < 0 với mọi x (x
0
; b) thì hàm sè f
đạt cực đại tại điểm x
0
.
Định lí 3 (Dấu hiệu 2)
Giả sử hàm sè f có đạo hàm cấp một trên khoảng (a; b) chứa điểm x
0
, f’(x
0

)= 0 và
f có đạo hàm cấp hai khác 0 tại điểm x
0
. Khi đó
a) Nếu f’’(x
0
) < 0 thì hàm sè f đạt cực đại tại điểm x
0
.
b) Nếu f’’(x
0
) > 0 thì hàm sè f đạt cực tiểu tại điểm x
0
.
Các quy tắc tìm cực trị của hàm số
Quy tắc 1 : Tìm cực trị của hàm sè f(x)
1. Tìm tập xác định D
2. Tìm f’(x)
3. Tìm các điểm tới hạn x
i
D.
4. Lập bảng xét dấu f’(x). Nếu f’(x) đổi dấu khi x qua điểm x
i
thì hàm số đạt cực
trị tại x
i
.
Quy tắc 2
1. Tìm tập xác định D.
2. Tìm f’(x)

3. Giải phương trình f’(x) = 0 được nghiệm x
i
D.
4. Tìm f’’(x) và tính f’’(x
i
).
Nếu f’’(x
i
) < 0 thì hàm sè f đạt cực đại tại điểm x
i
.
Nếu f’’(x
0
) > 0 thì hàm sè f đạt cực tiểu tại điểm x
i
.

II.1.2. Định nghĩa và các quy tắc tìm GTLN, GTNN của hàm số.
Định nghĩa Giả sử hàm sè f xác định trên tập hợp D (D R) .
a) Nếu tồn tại một điểm x
0
D sao cho f(x) f(x
0
) với mọi x D thì số M =
f(x
0
)được gọi là giá trị lớn nhất (GTLN) của hàm sè f trên D, kí hiệu M = maxf(x).
b) Nếu tồn tại một điểm x
0
D sao cho f(x) f(x

0
) với mọi x D thì số m = f(x
0
)
được gọi là giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm sè f trên D, kí hiệu m = minf(x).
Quy tắc 1 ( Tìm GTLN, GTNN trên đoạn [a; b])
Nếu hàm sè f(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Ta có quy tắc sau:
1. Tìm các điểm x
1
, x
2
, …,x
m
thuộc (a ; b) tại đó hàm sè f có đạo hàm bằng 0
hoặc không có đạo hàm
2. Tính f(x
1
), f(x
2
), f(x
m
), f(a) và f(b).
3. So sánh các giá trị tìm được. Số lớn nhất trong các giá trị đó là GTLN của f
trên đoạn [a; b], Số nhỏ nhất trong các giá trị đó là GTNN của f trên đoạn [a; b].
Quy tắc 2 (Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên khoảng, nửa khoảng)
1. Tìm tập xác định D là khoảng, nửa khoảng
2. Tìm f’(x), tìm các điểm tới hạn thuộc D
3. Lập bảng biến thiên (Chú ý các giá trị cực trị, các giới hạn)
4. Từ bảng biến thiên suy ra kết luận.
II.2.3. Những sai lầm thường gặp của HS khi tìm cực trị của hàm sè

Trong khi giải toán tìm cực trị, tìm GTLN, GTNN của hàm số HS thường mắc
một số sai lầm sau:
1. Tìm đạo hàm sai đối với những hàm số hợp có công thức phức tạp.
2. Chưa nhận biết đầy đủ các điểm tới hạn dẫn đến tìm thiếu các điểm tới hạn,
lẫn điểm tới hạn với điểm không xác định của hàm số.
3. Xét sai dấu của đạo hàm.
4. Lập bảng biến thiên chưa hoàn chỉnh, thiếu giá trị tại các điểm mót và giới
hạn tại các điểm không xác định.
5. Áp dông sai quy tắc.
6. Khi đặt Èn phụ thường thiếu điều kiện của Èn phô.
II.1.4 Mét số lưu ý khi dạy học giải toán cực trị của hàm số
Ứng dụng đạo hàm để giải toán cực trị, GTLN, GTNN của hàm số. Trước
hết GV phải giúp HS có kỹ năng thành thạo về tính đạo hàm của hàm số. Sau đó:
1. Giúp HS hiểu và nắm vững các quy tắc tìm cực trị, tìm GTLN, GTNN,
thực hành thành thạo các quy tắc này bằng cách: thông qua bài tập mẫu, cho HS áp
dụng giải các bài tập tương tự, dần dần nâng cao cho các bài tập phức tạp dễ gặp
khó khăn khi (tính đạo hàm, tìm điểm tới hạn, xét dấu của đạo hàm).
2. Trong các bước của mỗi quy tắc cần nhắc nhở HS không coi nhẹ bước nào.
Vì chỉ sai một bước sẽ dẫn đến sai ở các bước tiếp theo. GV cần cho HS làm các bài
tập có gài bẫy sai lầm để HS chó ý.
3. Cần xây dựng hệ thống các bài tập có ứng dụng của đạo hàm trong giải
toán như: chứng minh bất đẳng thức; tìm cực trị đại số; giải phương trình, bất
phương trình; biện luận nghiệm của phương trình; ứng dụng giải toán cực trị hình
học; một số bài toán ứng dụng liên môn, ứng dụng thực tế,

x D
x D
4. Cần rèn luyện cho HS thãi quen “quy lạ về quen” ở các bài toán cần đặt Èn
phụ, điển hình là các hàm số, hay phương trình lượng giác (đặt t = sinx, cosx, ) để
đưa bài toán về xét hàm đa thức hay phân thức quen thuộc. Khi đặt Èn phụ cần đặc

biệt lưu ý điều kiện của Èn phụ đó.
II.2. HỆ THỐNG CÁC BÀI TOÁN ĐIỂN HÌNH CÓ ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ
GIẢI TOÁN CỰC TRỊ HÌNH HỌC LÍP 12 THPT
II.2.1. Mục tiêu và nguyên tắc lùa chọn
II.2.2 . Các bài toán điển hình
II.2.2.1. Một số bài toán cực trị trong hình học không gian tổng hợp
Bài toán 1. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh bằng 1. Điểm M chạy trên
đoạn AA’, điểm N chạy trên BC sao cho AM = BN = x (0 < x < 1). P là trung điểm
của C’D’. Dùng thiết diện tạo bởi mp(MNP) của hình lập phương. Tìm x để chu vi
thiết diện đạt GTNN.
Bài toán 2. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Lấy hai điểm M và N
theo thứ tự trên AC và A’B sao cho AM = A’N = x (0 x a ). Tìm GTNN của
MN khi M, N lần lượt chuyển động trên AC, A’B.
Bài toán 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D,
AB = 2a, AD = DC = a; cạnh bên SA đáy, SA = 2a, Gọi E là trung điểm của SA.
Xét mặt phẳng (P) đi qua điểm E và song song với AB, cắt các cạnh SB, BC,AD lần
lợt tại M, N, F. Thiết diện của hình chóp S.ABCD cắt bởi (P) là hình gì? Tìm vị trí
của F để thiết diện có diện tích nhỏ nhất.
Bài toán 4. Cho hình chóp S.ABC có SA (ABC) và SA = 2a, tam giác ABC
vuông tại C, AB = 2a , góc A bằng 30
0
. Gọi M là một điểm di động trên cạnh AC, SH
BM. Đặt AM = x, Tính khoảng cách từ S đến BM theo a và x. Tìm x để khoảng
cách đó lớn nhất.
Bài toán 5. Cho tứ diện đều cạnh bằng 1. Các điểm M, N di động lần lượt trên AB và
AC sao cho mp(DMN) mp(ABC). Đặt AM =x, AN =y.
a) Chứng minh hệ thức x+y = 3xy.
b) Xác định vị trí của M và N để Thể tích của tứ diện ADMN đạt GTLN,
GTNN
c) Diện tích toàn phần của tứ diện ADMN đạt GTLN, GTNN.

Bài toán 6.(Bài 34-SBT HH12-NC )
Cho khối chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân đỉnh C và SA
(ABC), SC = a. Hãy tìm góc giữa hai mặt phẳng (SCB) và (ABC) để thể tích khối
chóp lớn nhất.
Bài toán 7.(Bài 35- SBT HH12-NC)
Cho khối chóp tứ giác đều S.ABCD mà khoảng cách từ A đến mp(SBC) bằng
2a. Với giá trị nào của góc giữa mặt bên và mặt đáy của khối chóp thì thể tích của
khối chóp nhỏ nhất.
Bài toán 8. Cho tứ diện ABCD có một cạnh > 1, còn các cạnh khác đều 1. Tìm các
cạnh của tứ diện sao cho tứ diện có thể tích lớn nhất.
Bài toán 9. (Bài 1.78 SBT GT12 NC)
Một hình chóp tứ giác đều ngoại tiếp hình cầu bán kính a.
a) CMR thể tích V của hình chóp là V= x là chiều cao

b) Với giá trị nào của x thì hình chóp có thể tích nhỏ nhất.
Bài toán 10. (Bài 46 - SBT HH12 NC)
Xét hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy và chiều cao thay đổi. Tìm hệ
thức liên hệ giữa cạnh đáy và chiều cao của hình chóp để đạt GTNN, V
1
, V
2
lần
lượt là thể tích của các hình cầu ngoại tiếp và nội tiếp hình chóp.
Bài toán 11. Cho một hình cầu nội tiếp trong một hình nón tròn xoay. Một hình trụ
ngoại tiếp hình cầu đó có đáy dới nằm trong mặt phẳng đáy của hình nón. Gọi V
1
và
V
2
lần lợt là thể tích của hình nón và của hình trụ.Tìm giá trị nhỏ nhất của tỉ số V

1
/V
2
.
Bài toán 12. Cho mặt cầu (S) bán kính R, tìm hình nón (N) ngoại tiếp mặt cầu sao
cho (N) có thể tích nhỏ nhất.
Bài toán 13. Tìm hình nón nội tiếp mặt cầu bán kính R cho trớc sao cho
a) Thể tích đạt GTLN.
b) Diện tích toàn phần đạt GTLN.
Bài toán 14 . (VD2-BTGT 12-CB)
Trong các hình trụ nội tiếp hình cầu bán kính R, hãy tìm hình trụ có thể tích lớn nhất.
Bài toán 15. (Bài tập 48, t 63 - BT Hình học 12)
Gọi r, h lần lượt là bán kính đáy và chiều cao của một hình nón. Kí hiệu V
1
, V
2
lần
lượt là thể tích hình nón và thể tích hình cầu nội tiếp hình nón.
1. Tính tỉ sè theo r và h.
2. Khi r và h thay đổi, tìm GTNN của tỉ sè .
II.2.2.2. Một số bài toán cực trị trong hình học giải tích
Bài toán 16. (16-Toán BD HS THPT)
Cho n điểm A
1
, A
2
, . . . A
n
và một điểm O cố định. Gọi
1

là đường thẳng qua
sao cho tổng các bình phương khoảng cách từ A
i
đến
1
là nhỏ nhất. Gọi
2
là đường
thẳng qua O sao cho tổng các bình phương khoảng cách từ A
i
đến
2
là lớn nhất.
Chứng minh rằng
1

2
.
Bài toán 17. Trong hệ trục toạ độ Đềcác vuông góc Oxy cho Parabol (P): y = x
2
và
điểm A(-3; 0). Tìm M thuộc (P) sao cho đoạn AM nhỏ nhất, tìm giá trị đó.
Bài toán 18. Trong hệ trục toạ độ Đềcác vuông góc Oxy cho Elíp (E): và đư-
ờng thẳng d: x+y - 4 = 0. Tìm N d, M (E) sao cho MN nhỏ nhất. Tìm khoảng
cách giữa d và (E).
Bài toán 19. Cho Elíp (E): và tiếp tuyến d của (E) tại T cắt hai tiếp tuyến tại
hai đỉnh trục lớn A
1
, A
2

lần lợt tại M, N. Gọi F là tiêu điểm của (E). Xác định toạ độ
của T sao cho diện tích S
FMN
của tam giác FMN nhỏ nhất.
Bài toán 20. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho điểm A và đường thẳng d:
. Viết phương trình mp( ) chứa d sao cho khoảng cách từ A đến ( ) lớn nhất.
<
Bài toán 21. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho đường thẳng
; và hai điểm A(1; -2; -1), B(2- ; 2; -3 ). Tìm M thuộc sao cho
AM + BM nhỏ nhất.
Bài toán 22. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Lấy hai điểm M và N
theo thứ tự trên AC và A’B sao cho AM = A’N = t (0 t a ). Tìm GTNN của M
khi M, N lần lượt chuyển động trên AC, A’B.
Bài toán 23. Cho đường thẳng và các điểm A(2;1;-1), B(-1;2;0).
Trong các đường thẳng đi qua B và cắt , viết phương trình đường thẳng sao cho
khoảng cách từ A tới nó là lớn nhất? Bé nhất?
Bài toán 24. Cho mặt phẳng ( ): x+y-z+1 = 0 và đường thẳng .
Trong các đường thẳng đi qua A(1;-1;2) và song song với mặt phẳng ( ) viết phương
trình đường thẳng sao cho khoảng cách giữa và d lớn nhất.
II.2.2.3. Một số bài toán cực trị hình học có ứng dụng thực tiễn
Bài toán 25.(Giải tích 12 - Cơ bản)
Cho một tấm nhôm hình vuông cạnh a. Người ta cắt ở bốn góc bốn hình vuông
bằng nhau, rồi gập tấm nhôm lại để được cái hộp không nắp. Tính cạnh của các hình
vuông bị cắt sao cho thể tích của khối hộp là lớn nhất.
Bài toán 26. (Giải tích 12 - nâng cao)
Một hộp không nắp được làm từ một mảnh các tông theo mẫu. Hộp có đáy là
một hình vuông cạnh x(cm), chiều cao h(cm) và có thể tích là 500cm
3
. Tìm diện tích
S(x) của mảnh các tông. Tìm x sao cho S(x) nhỏ nhất

Bài toán 27.(1.26 SBT GT12- NC)
Cắt bỏ hình quạt tròn AOB từ một mảnh các tông hình tròn bán kính R rồi dán hai
bán kính OA và OB của hình quạt tròn còn lại với nhau để được một cái phễu có
dạng của một hình nón. Gọi x là góc ở tâm của quạt tròn dùng làm phễu 0 < x < 2 .
a) Hãy biểu diễn bán kính r của hình tròn đáy và đường cao h của hình nón theo
R và x. Tính thể tích hình nón theo R và x.
b)Tìm x để hình nón có thể tích lớn nhất, và tính giá trị lớn nhất đó.
Bài toán 28. (1.25 SBT GT12-NC)
Một hành lang giữa hai nhà có hình dạng của một lăng trụ đứng (H.12). Hai mặt
bên ABB’A’ và ACC’A’ là hai tấm kính hình chữ nhật dài 20m rộng 5m.Gọi x (m) là
độ dài cạnh BC.
a) Tính thể tích V của hình lăng trụ theo x.
b) Tìm x sao cho hình lăng trụ có thể tích lớn nhất, tìm giá trị đó.
Bài toán 29. Mét nhà máy cần sản xuất mét bể bằng tôn có dạng hình hộp đứng đáy
là hình chữ nhật có chiều dài gấp 2 lần chiều rộng không nắp, có thể tích 4/3m
3
. Hãy
tính kích thước của bể sao cho tèn Ýt vật liệu nhất.
Bài toán 30. Nguời ta muốn sản xuất những cái hộp hình trụ đứng tròn xoay kín hai đáy,
với thể tích cho trước bằng V. Hãy tìm kích thước của hộp sao cho tèn Ýt vật liệu nhất.
=
II.3. CÁC ĐỀ XUẤT SƯ PHẠM NHẰM RÈN LUYỆN KỸ NĂNG ỨNG DỤNG
ĐẠO HÀM ĐỂ GIẢI TOÁN CỰC TRỊ HÌNH HỌC CHO HỌC SINH KHÁ, GIỎI
LÍP 12 THPT
II.3.1. Rèn luyện kỹ năng chung ứng dụng đạo hàm để giải toán cực trị hình học
• Rèn luyện kỹ năng chung để giải toán theo 4 bước của Polya được áp dụng
cho quá trình rèn luyện các kỹ năng.
• Rèn luyện kỹ năng chung ứng dụng đạo hàm (phương pháp hàm số) để giải
toán cực trị hình học
Các bước:

Bước 1: Chọn biến (Thiết lập tương ứng sự thay đổi của điểm, của góc …(các yếu tố
biến đổi) với mét biến sè x, đặt điều kiện cho x
Xem xét đại lượng cần tìm cực trị liên quan đến sự biến đổi của các yếu tố nào?
Các yếu tố này phụ thuộc lẫn nhau như thế nào, có thể quy về sự biến đổi của một
yếu tố được không? Hay tập hợp các yếu tố phụ thuộc đó có thể gộp chung mét Èn
biến đổi không? (như tổng, tích, biểu thức nào đó).
Hãy chọn một yếu tố biến đổi tương ứng với một biến x nào đó và tìm điều kiện cho
biến x theo đề bài
Bước 2: Thành lập biểu thức tính đại lượng cần tìm cực trị theo biến x
Lập biểu thức tính đại lượng cần tìm cực trị theo biến x đã chọn ở bước 2,
Xem xét sự tương ứng giữa x với giá trị biểu thức cần tìm cực trị có là hàm số
không?.
Hãy tìm điều kiện cho biến x dùa vào đề ra, sự phụ thuộc của các yếu tố, và điều kiện
tồn tại hàm số theo x?
Bước 3: Xét hàm số chứa biến x vừa thiết lập được, Tìm cực trị của hàm số đó
Tính đạo hàm; lập bảng biến thiên; kết luận cực trị(GTLN, GTNN)
Bước 4. Dùa vào cực trị, hay GTLN, GTNN của hàm số theo x để kết luận cực trị của
bài toán
Kết quả tìm được có thoả mãn yêu cầu của bài toán không?
Có tồn tại hình ( xem xét cả hình bị suy biến)thoả mãn kết quả đó không?
Hãy xét thêm những trường hợp đặc biệt,
Kết quả tìm được có gợi cho ta phương pháp mới để giải bài toán đó không?
Hãy tìm những bài toán tương tự với bài toán vừa giải để áp dụng, hãy tổng quát hoá
cho dạng toán này?
Có thể khái quát hóa bài toán để được bài toán lớn hơn?
II.3.2. Rèn luyện kỹ năng ứng dụng đạo hàm giải toán cực trị trong hình học
không gian
Kỹ năng giải toán thông qua ví dụ sau
Một hình chóp tứ giác đều ngoại tiếp hình cầu bán kính a. Tìm hình chóp có thể
tích nhỏ nhất.

Bài giải
a) Cắt Hình chóp tứ giác đều đỉnh S ngoại tiếp hình cầu
tâm O bán kính a bởi mp chứa SO (Hình trên)
Bước 1: Chọn biến
>
Thể tích của khối chóp tứ giác đều phụ thuộc vào diện tích đáy và chiều cao, đáy
là hình vuông song giữa chiều cao và cạnh đáy lại phụ thuộc vào điều kiện ngoại tiếp
mặt cầu bán kính a
Vậy ta có thể chọn biến là độ dài chiều cao, hoặc là độ dài cạnh đáy của khối
chóp. Ta chọn độ dài của chiều cao làm biến. Đặt x = SH chiều cao của hình chóp, x
> 0.
Bước 2: Thiết lập hàm sè
Để biểu diễn sù phụ thuộc giữa chiều cao x, độ dài cạnh đáy, bán kính a ta xét
thông qua biến trung gian: Gọi là góc SNH, Hạ OP SN tại P SOP= .
Ta có HN = xtan ; MN = 2xcot . V =
Biểu diễn biến trung gian theo a và x để được biểu thức tính V chỉ chứa biến a. Ta
tính cot
2
theo a và x.
Từ đẳng thức SH = OH + OS x = a + cos = sin
2
= 1 -

Do đó cot
2
= . Từ đó suy ra V=
Tõ ®ã suy ra V= với x > 2a, Do hình chóp ngoại tiếp mặt cầu bán kính a nên
điều kiện của x là x > 2a, Vậy hàm số cần tìm là f(x) = với x > 2a.
Bước 3: Xét cực trị của hàm f(x)
Đặt f(x) = V = với x > 2a V nhỏ nhất f(x) nhỏ nhất.

Bài toán quy về tìm x > 2a để f(x) đạt GTNN.Ta có f’(x) = , f’(x) = 0
x = 4a, vì x > 2a .
Bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên hàm số đạt GTNN tại x = 4a
Bước 4: Kết luận bài toán cực trị hình học
Vậy hình chóp tứ giác đều ngoại tiếp mặt cầu bán kính a, có thể tích nhỏ nhất khi
chiều cao của hình chóp đó bằng 4a .
Nghiên cứu kết quả của bài toán:
Kết quả tìm được thoả mãn yêu càu của bài toán và tồn tại hình thoả mãn.
Hãy tìm những bài toán tương tự với bài toán vừa giải để áp dụng, hãy tổng quát hoá
cho dạng toán này?
Ta có thể tìm được nhiều bài toán tương tự bài toán này như:
Bài 1. Thay mặt cầu nội tiếp thành mặt trụ nội tiếp cho trước
Bài 2. Thay chóp tứ giác đều thành chóp tam giác đều
Bài 3. Thay điều kiện ngoại tiếp thành điều kiện chóp tứ giác đều nội tiếp mặt
cầu tâm a cho trước, tìm hình chóp có thể tích lớn nhất.
Bài 4. Tương tự bài 3 thay chóp tứ giác đều thành chóp tam giác đều
Tương tự với chóp tứ giác đều thay bằng hình nón
Bài 5. Trong trong các hình nón ngoại tiếp mặt cầu cho trước tìm hình nón có
thể tích nhỏ nhất
H

Bài 6. Trong các hình nón nội tiếp mặt cầu cho trước tìm hình nón có thể tích lớn nhất
Tương tù thay thể tích bằng diện tích xung quanh (lớn nhất, nhỏ nhất) ta cũng có
thêm 6 bài toán tương tự.
Cũng tương tự ta đổi vai trò của hình chóp với mặt cầu hay mặt trụ ta lại được
12 bài toán tương tự như 12 bài đã nêu trên.
Như vậy bằng thao tác tư duy so sánh, tương tù ta có thể đặt ra nhiều bài toán
như trên. Từ đó ta có quy trình chung giải hàng loạt các bài toán cùng kiểu bằng thao
tác tổng quát hoá.

Có thể khái quát hóa bài toán để được bài toán lớn hơn?
Ta có thể khái quát hoá các bài toán 1 đến 4 bằng cách thay hình chóp tứ giác đều
thành hình chóp n giác đều.
II.3.3. Rèn luyện kỹ năng ứng dụng đạo hàm giải toán cực trị trong hình học giải tích
Bài toán cực trị hình học giải tích thường được phát biểu dưới dạng yêu cầu xác
định toạ độ của một điểm, phương trình của một đường, hay một mặt để một biểu
thức tính đại lượng hình học nào đó (góc, khoảng cách, diện tích, thể tích…) đạt
GTLN, GTNN. Về phương pháp giải toán theo (I.3.3).
Kỹ năng giải toán thông qua ví dụ sau:
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho điểm A và đt d: . Viết
phương trình mp( ) chứa d sao cho khoảng cách từ A đến ( ) lớn nhất.
Bài giải
Bước 1: Chọn biến: Ta có phương trình tổng quát của d là
Mp( ) chứa d pt của ( ) có dạng: m(x-2y-1)+ n(2y-z+2) = 0, m
2
+n
2
> 0.
Với n =0 ( ): x-2y-1 = 0. d(A, ) =
Với n 0, chọn n =1 ( ): mx-2(m-1)y-z-m+2 = 0
Ta chọn m làm biến phải tìm để d(A, ) lớn nhất.
Bước 2: Thiết lập hàm số phương trình của ( ): mx-2(m-1)y-z-m+2 = 0
d(A, ) = hàm số cần xét là: f(m) = ;
Bước 3: Xét hàm số này. Ta có
f’(m) = , f’(m) = 0 m =-1.
Bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên Maxd(A, ) = 3 (do 3 > ) d(A, ) = 3
m = -1.
Bước 4: Kết luận.pt của mp( ) là: -x +4y -z +3 = 0 hay x - 4y + z - 3 = 0.
II.3.4. Rèn luyện kỹ năng ứng dụng đạo hàm giải toán cực trị hình học trong

thực tế
Bước 1: Trước hết ta phải đưa bài toán thực tế về bài toán toán học ta cần thực hiện
các hoạt động: Lùa chọn ký hiệu hợp lý; Phát biểu lại bài toán theo ngôn ngữ Toán
học (yêu cầu diễn đạt dễ hiểu)
Bước 2: Tiếp theo ta giải bài toán cực trị hình học vừa phát biểu trên theo (II.6.2)
I
Bước 3: Cuối cùng ta chuyển kết quả của bài toán cực trị hình học về ngôn ngữ thực
tế. chú ý kiểm tra điều kiện thực tế của kết quả
Ví dô: Cho một tấm nhôm hình vuông. Người ta cắt ở bốn góc bốn hình vuông bằng
nhau, rồi gập tấm nhôm lại để được cái hộp không nắp. Tính cạnh của các hình vuông
bị cắt sao cho thể tích của khối hộp là lớn nhất.
Bước 1: Gọi a là cạnh của hình vuông cho trước, x là hình vuông bị cắt (0 < x < a/2).
Bài toán quy về tìm x để hình hộp chữ nhật có đáy là hình vuông cạnh bằng a -2x,
chiều cao bằng x có thể tích V lớn nhất.
Bước 2: Giải bài toán cực trị hình học trên lời giải xem (II.6- Bài toán 22)
Bước 3: Chuyển kết quả của bài toán về ngôn ngữ thực tế: Kết quả tìm được là V lớn
nhất bằng khi x = .
Vậy để cái hộp không nắp có thể tích lớn nhất ta phải cắt 4 góc 4 hình vuông có cùng
cạnh là bằng 1/6 cạnh của hình vuông ban đầu.
II.4. Khả năng phát triển tư duy sáng tạo cho HS khá, giỏi líp 12 thông qua dạy
giải toán cực trị hình học
Rèn luyện kỹ năng giải toán cực trị hình học có nhiều cơ hội phát triển tư duy
sáng tạo cho HS vì thông qua đó HS được rèn luyện các hoạt động trí tuệ: Dự đoán,
bác bỏ, khái quát hoá, tương tự hoá,…Vận dụng nhuần nhiễn các thao tác trí tuệ và
phối hợp các hoạt động, nhanh chóng phát hiện vấn đề, liên tưởng tốt. Chọn được
nhiều giải pháp, xét nhiều phương diện,… Thông qua hai ví dụ sau ta sẽ chứng tỏ.
Ví dụ 1. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Lấy hai điểm M và N theo
thứ tự trên AC và A’B sao cho AM = A’N = t (0 t a ). Tìm GTNN của M khi
M, N lần lượt chuyển động trên AC, A’B.
Có thể tìm lời giải bài toán theo các hướng sau:

1. Dù đoán đoạn MN có là đoạn vuông góc chung không? (So sánh). Nếu HS
chó ý đến điều kiện AM =A’N =t và trong kinh nghiệm giải toán đã gặp bài toán tìm
đoạn vuông góc chung của AC, A’C thì sẽ bác bỏ ngay dự đoán này thể hiện tính
linh hoạt của tư duy.
2. Có thể tính MN theo a và t rồi tìm x để MN đạt GTNN sau đó dùng phương
pháp đại số hay giải tích để tìm GTNN.
HD: áp dụng định lý Cos trong tam giác và hệ quả đối với các tam giác A’BM; BMN
để tìm được MN theo a, t.
3. Tiếp cận bài toán bằng phương pháp toạ độ trong không gian. Chuyển bài
toán hình học tổng hợp sang bài toán hình học giải tích: Lập hệ trục toạ độ Descartes
vuông góc Oxyz sao cho O trùng B’,trục Ox chứa A’ , trục Oy chứa C’ trục Oz chứa
B. Từ đó tìm được toạ độ điểm M, N theo a, t. Dùng công thức tính khoảng cách để
tính MN.
4. Tiếp cận bài toán bằng phương pháp véctơ hãy biểu diễn véctơ MN theo các
véctơ nằm trên các cạnh hay các đường chéo của các mặt, cụ thể:
. Vì các góc của các cặp véctơ này dễ dàng xác định được nên
bằng cách khai triển bình phương vô hướng vế trái ta suy ra được MN
2
= t
2
- at +a
2
,
Lời giải của bài toán xem Bài toán 21 (II.5)

5. Xem xét lại bài toán cũ để tìm ra hướng giải mới hay hơn, hiệu quả hơn cách
giải quen thuộc: Qua các hướng tiếp cận của bài toán này ta có thể giải bài toán sau
theo hướng mới:
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Tìm và tính độ dài đoạn vuông
góc chung của hai đường thẳng AC và A’B. (có thể tiếp cận bằng phương pháp toạ

độ). Qua những cách giải bài toán trên giúp HS có thể tìm tòi hướng giải bài toán
dưới nhiều góc độ, cách nhìn khác nhau, giúp cho việc rèn luyện tính linh hoạt của tư
duy cho HS.
Ví dô 2.

Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho đường thẳng ;
và hai điểm A(1; -2; -1), B(2- ; 2; -3 ). Tìm M thuộc sao cho AM + BM nhỏ
nhất.
Tương tự như bài toán trên ta cũng nhìn nhận bài toán này theo các hướng sau:
1. Hãy đặc biệt hoá bài toán: Nếu AB và đồng phẳng trở giải bài toán quen
thuộc trong mặt phẳng. Tuy nhiên ở bài toán cụ thể này thì AB và không đồng
phẳng.
2. Tiếp tục đi trường hợp đặc biệt trong không gian khi AB và chéo nhau
nhưng AB vuông góc với ?. Nếu AB vuông góc với dùa vào phân tích hình học
ta có ngay cách giải là: Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa AB và (P) , gọi N
là giao của (P) và dễ dàng M trùng N vì AM, BM là các đường vuông góc hạ
từ A, B đến .
3. Hãy giải bài toán trong trường hợp tổng quát, nếu tiến hành theo phương
pháp hình học tổng hợp thì giải bài toán theo các bước sau:
B1: Tìm toạ độ hình chiếu A
1
của A lên ; B
1
lên
B2: Tính độ dài AA
1
; BB
1
từ đó suy ra điểm N chia A
1

B
1
theo tỉ sè = -k
B3: Chứng minh AM + BM nhỏ nhất khi M trùng N. Thật vậy gọi A
2
là điểm thuộc
mặt phẳng chứa (d, B) khác phía đối với (d) và thoả mãn AA
1
= A
1
A
2
và A
1
A
2
(d)
A
2
, B, N thẳng hàng đpcm.
4. Giải bài toán tổng quát nhưng dùng phương pháp đặc trưng của hình học giải
tích là: Viết phương trình của (d) dưới dạng tham sè t, ta có toạ độ của M thuộc (d)
theo tham sè t. Tính khoảng cách AM, BM theo biểu thức toạ độ, khi đó tổng AM +
BM là giá trị của hàm sè f biến t, khảo sát cực trị của hàm số này suy ra t để hàm số
đó đạt GTNN từ đó suy ra M.
5. Cũng giải bài toán bằng phương pháp hình học giải tích như trên song vì
hàm f(t) có dạng + . Nên ta có thể lùa chọn khéo léo để dùng được bất
đẳng thức đã biết đối với HS khá, giỏi: Dùng bất đẳng thức: +
(Sáng tạo)
Khai thác hướng giải 4 của bài toán ta có thể khái quát hoá cách giải cho các

bài toán tìm cực trị hình học liên quan đến sự biến thiên của điểm thuộc đường thẳng
cho trước.
KẾT LUẬN CHƯƠNG II

Chương II nhằm mục đích, trước hết là rèn luyện kỹ năng ứng dụng đạo hàm để
tìm cực trị, GTLN, GTNN của hàm số. Bởi vì muốn có kỹ năng ứng dụng của đạo
hàm để giải toán cực trị hình học thì phải có kỹ năng tìm cực trị của hàm số.
Xây dựng hệ thống các bài toán cực trị hình học nhằm rèn luyện kỹ năng ứng
dụng đạo hàm để giải toán cực trị hình học.
Đề xuất biện pháp rèn luyện kỹ năng: bằng cách hướng dẫn học sinh thực hành 4
bước giải toán nói chung và kỹ năng giải toán cực trị hình học có ứng dụng của đạo
hàm thông qua các ví dụ điển hình: Cực trị trong hình học không gian, trong hình học
giải tích, trong thực tiễn.
Chương II còn đề xuất một số bài toán cực trị hình học trên cơ sở rèn luyện kỹ
năng giải toán để rèn luyện các thao tác trí tuệ cơ bản, góp phần phát triển tư duy, đặc
biệt là tư duy sáng tạo cho HS khá, giỏi líp 12.
CHƯƠNG III. THỬ NGHIỆM SƯ PHẠM
III.1. MỤC ĐÍCH, NỘI DUNG THỬ NGHIỆM
Mục đích:
• Bước đầu kiểm tra tính khả thi và tính hiệu quả của luận văn được trình bày ở
chương II nhằm rèn luyện kỹ năng ứng dụng đạo hàm để giải toán cực trị hình học
cho học sinh khá, giỏi líp 12.
Nội dung thử nghiệm:
• Tiến hành dạy một số tiết luyện tập giải toán ứng dụng của đạo hàm, ứng dụng
của đạo để giải toán cực trị hình học
• Gợi ý soạn bài thực nghiệm dành cho 3 tiết tự chọn thuộc chuyên đề tự chọn
nâng cao đối với học sinh khá, giỏi líp 12 học nâng cao môn Toán
Phương pháp dạy học:
• Chủ yếu dùng phương pháp thảo luận nhóm, kết hợp phương pháp tự học của
học sinh có hướng dẫn của giáo viên nhằm phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động,

sáng tạo của học sinh
III.2. TỔ CHỨC THỬ NGHIỆM
Đối tượng thử nghiệm:
Là học sinh líp 12 ban KHTN gồm đa số học sinh khá, giỏi môn Toán. Hai líp được
dạy thử nghiệm là líp 12 A
1
, 12 A
2
hai líp đối chứng là: líp 12 A
3
, 12 A
4
cùng thuộc trường
THPT Minh Khai Hà Nội năm học 2008 - 2009. Bốn líp cùng học ban KHTN.
Tiến hành dạy thử nghiệm:
Số tiết dạy thử nghiệm 3 tiết. Thời gian thử nghiệm Tháng 10 năm 2008: thuộc
chuyên đề tự chọn môn Toán các tuần 6, 7, 8, 9 của năm học 2008 - 2009.
III.3. GỢI Ý BÀI SOẠN THỰC NGHIỆM
Chuyên đề tự chọn: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ GIẢI TOÁN CỰC TRỊ HÌNH
HỌC KHÔNG GIAN LÍP 12
III.4. KẾT QUẢ THỬ NGHIỆM
III.4.1 Kết quả chung
Đã đạt được mục tiêu của chuyên đề như đã đề ra trong bài soạn. Đặc biệt qua
chuyên đề này học sinh được: củng cố kỹ năng giải toán nói chung theo quy trình 4

bước của Pôlya; không còn gặp trở ngại lớn đối với loại toán cực trị hình học trong
không gian; có kỹ năng ứng dụng đạo hàm để giải toán cực trị hình học; học sinh có
hứng thó học tập đặc biệt là trong các chuyên đề tự chọn.
III.4.2 Kết quả kiểm tra
ĐỀ KIỂM TRA (thời gian làm bài 45 phót)

Bài 1. Người ta muốn làm một thùng bằng tôn hình hộp đứng đáy là hình vuông
không nắp có thể tích V = 4 lít. Tính kích thước của thùng sao cho tèn Ýt vật liệu
nhất.
Bài 2. Cho khối chóp tứ giác đều S.ABCD mà khoảng cách từ A đến mp(SBC) bằng
2a.Với giá trị nào của góc giữa mặt bên và mặt đáy của khối chóp thì thể tích của
khối chóp nhỏ nhất.
Nhận xét về bài làm: Ở hai líp thực nghiệm nhiều bài các em trình bày rõ ràng
các bước chứng tỏ các em nắm vững được quy trình giải Toán loại này. Phần lớn các
em đã vận dụng thành thạo việc ứng dụng của đạo hàm trong giải toán cực trị hình
học, bước đầu các em đã có được kỹ năng giải toán loại này.
Thống kê kết quả kiểm tra
Líp Sĩ sè Điểm
3 4 5 6 7 8 9 10
12A
1
45 0 2 6 6 12 9 5 5
12A
2
45 1 3 5 6 11 10 5 4
12A
3
40 5 6 7 15 3 2 1 1
12A
4
45 4 5 8 17 7 3 2 2
Tỷ lệ đạt điểm khá, giỏi 12A
12A
1
đạt 31/45 69% ; 12A
2

đạt 30/45 67%12A
12A
3
đạt 7/40 17.5%; 12A
4
đạt 14/45 31%
Tỷ lệ điểm đạt loại khá giỏi ở hai líp thực nghiệm vượt hẳn hai líp đối chứng
KẾT LUẬN
Trong quá trình nghiên cứu đề tài, luận văn đã thu được những kết quả sau:
Tìm hiểu được thực trạng của việc rèn luyện kỹ năng giải toán cực trị hình học và
việc ứng dụng đạo hàm để giải toán cực trị hình học. Từ đó rót ra được yêu cầu cấp
thiết của đề tài, cũng qua đó nắm được những khó khăn và một số sai lầm của HS khi
giải toán cực trị hình học
Nêu được khái quát bài toán cực trị hình học và một số phương pháp giải toán cực
trị hình học, đặc biệt là phương pháp ứng dụng của đạo hàm để giải toán cực trị hình
học là quy trình gồm 4 bước như luận văn đã trình bày
Xây dựng được hệ thống các bài toán điển hình nhằm rèn luyện kỹ năng ứng dụng
đạo hàm để giải toán cực trị hình học, trong hình học không gian, hình học giải tích
và một số bài toán cực trị hình học có ứng dụng thực tiễn.
Đề xuất các biện pháp sư phạm nhằm rèn luyện kỹ năng ứng dụng đạo hàm giải
toán cực trị hình học thông qua việc khai thác các bài toán điển hình và việc hướng
dẫn HS thực hành phương pháp giải toán loại này. Có thể phát triển đề tài theo hướng

phát triển tư duy sáng tạo của HS khá, giỏi thông qua rèn luyện kỹ năng giải toán cực
trị hình học
Qua thử nghiệm sư phạm, luận văn đưa ra được gợi ý bài soạn thông qua chuyên
đề tự chọn và bước đầu đã chứng minh được tính khả thi của đề tài.
Kết quả chung là: Có thể rèn luyện được kỹ năng ứng dụng của đạo hàm để giải
toán cực trị hình học thông qua hệ thống các bài tập điển hình và những gợi ý rèn
luyện kỹ năng giải toán. Qua việc rèn luyện kỹ năng ứng dụng của đạo hàm để giải

toán cực trị hình học cho học sinh đã giúp HS khá, giỏi líp 12 bồi dưỡng thêm năng
lực giải toán, phát triển tư duy toán học, góp phần nâng cao chất lượng dạy học Toán
trong nhà trường.

