rèn luyện kỹ năng ứng dụng tích phân cho học sinh lớp 12 trung học phổ thông

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM
––––––

––––––






HOÀNG HỒNG HẠNH




RÈN LUYỆN KĨ NĂNG ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
CHO HỌC SINH LỚP 12 THPT



LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC





THÁI NGUYÊN - 2011
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM
––––––

––––––





HOÀNG HỒNG HẠNH



RÈN LUYỆN KĨ NĂNG ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
CHO HỌC SINH LỚP 12 THPT
Chuyên ngành: Lý luận và Phƣơng pháp giảng dạy môn Toán
Mã số: 60.14.10


LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC


Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: PGS.TS. BÙI VĂN NGHỊ



THÁI NGUYÊN - 2011

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên


i
LỜI CẢM ƠN
Với tấm lòng biết ơn sâu sắc, em xin chân thành cảm ơn thầy giáo hƣớng
dẫn khoa học PGS.TS.Bùi Văn Nghị đã tận tình hƣớng dẫn, hết lòng giúp đỡ em
trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu để hoàn thành luận văn này.
Tác giả xin trân trọng cảm ơn các thầy cô giáo trong Tổ bộ môn
Phƣơng pháp giảng dạy môn Toán Trƣờng Đại học Sƣ phạm Thái Nguyên,
Đại học Sƣ phạm Hà Nội; Ban Chủ nhiệm khoa Toán, Ban Chủ nhiệm khoa
Sau Đại học Trƣờng Đại học Sƣ phạm – Đại học Thái Nguyên đã tạo mọi
điều kiện thuận lợi cho tác giả trong quá trình học tập, thực hiện và hoàn
thành luận văn.
Tác giả cũng xin trân trọng cảm ơn Sở Giáo dục và Đào tạo Lạng Sơn;
Ban Giám hiệu và các đồng nghiệp của Trƣờng THPT Dân tộc Nội trú tỉnh
Lạng Sơn cùng gia đình, bạn bè đã động viên để tác giả đạt đƣợc kết quả
nhƣ ngày hôm nay.
Tác giả luận văn


HOÀNG HỒNG HẠNH

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên


ii
MỤC LỤC
LỜI CẢM ƠN i

MỤC LỤC ii
DANH MỤC CHỮ VIẾT TẮT TRONG LUẬN VĂN vi
MỞ ĐẦU 1
1. Lí do chọn đề tài 1
2. Lịch sử nghiên cứu 1
3. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu 2
4. Đối tƣợng nghiên cứu và khách thể nghiên cứu 2
5. Mẫu khảo sát 2
6. Vấn đề nghiên cứu 3
7. Giả thuyết khoa học 3
8. Phƣơng pháp nghiên cứu 3
9. Cấu trúc luận văn 3
CHƢƠNG 1. CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 4
1.1. Kĩ năng và kĩ năng giải toán 4
1.1.1. Kĩ năng 4
1.1.2. Kĩ năng giải toán 6
1.1.2.1. Kĩ năng giải toán 6
1.1.2.2. Một số kĩ năng cần thiết khi giải toán 7
1.1.2.3. Cơ sở khoa học của việc rèn luyện kĩ năng giải toán cho học sinh 10
1.1.2.4. Con đường hình thành và rèn luyện kĩ năng giải toán cho HS 11
1.2. Bài tập toán và phƣơng pháp dạy học giải bài tập toán 12
1.2.1. Vai trò của bài tập toán trong quá trình dạy học 12
1.2.2.Các yêu cầu đối với lời giải 13

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên


iii
1.2.3. Phƣơng pháp chung để giải bài toán 13
1.3. Dạy học nội dung “Ứng dụng tích phân” và việc rèn luyện kĩ năng

giải Toán cho HS 15
1.3.1. Nội dung “Ứng dụng tích phân” 15
1.3.2. Mục đích, yêu cầu dạy học nội dung Ứng dụng tích phân 15
1.3.3. Các dạng bài tập của nội dung Ứng dụng tích phân 16
1.3.4. Tình hình dạy học nội dung Ứng dụng tích phân ở trƣờng THPT 16
TÓM TẮT CHƢƠNG 1 17
CHƢƠNG 2. BIỆN PHÁP RÈN LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI TOÁN ỨNG DỤNG
TÍCH PHÂN CHO HS LỚP 12 THPT 18
2.1. Biện pháp 1: Biện pháp về Phƣơng pháp dạy học 18
2.1.1. Tổ chức các hoạt động học tập đảm bảo tính chủ động, tích cực, độc lập
của HS trong quá trình chiếm lĩnh tri thức và rèn luyện kĩ năng 18
2.1.2. Trang bị các tri thức phƣơng pháp cho HS 19
2.1.3. Rèn luyện kĩ năng giải toán thông qua củng cố, luyện tập 19
2.2. Biện pháp 2. Trang bị vững chắc kiến thức và rèn luyện vững chắc kĩ
năng cơ bản cho học sinh 21
2.2.1.Khái niệm và công thức tính diện tích hình thang cong 21
2.2.2.Khái niệm và công thức tính thể tích khối tròn xoay 22
2.2.3.Hệ thống bài toán 24
2.2.4. Hệ thống bài toán tham khảo 26
2.3. Biện pháp 3. Rèn luyện kĩ năng cho học sinh thông qua hệ thống bài
toán theo mức độ khó dần, phức tạp dần 27
2.3.1. Tính diện tích hình thang cong, là đồ thị của hàm siêu việt 27
2.3.2. Tính diện tích hình phẳng, đƣợc giới hạn bởi hai đƣờng cong, là đồ thị
của các hàm đa thức, phân thức bậc nhỏ hơn ba 30

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên


iv
2.3.3. Tính diện tích hình phẳng, đƣợc giới hạn bởi hai đƣờng cong, là đồ thị

của các hàm bậc cao, hàm lƣợng giác, hàm chứa căn thức, hàm mũ, logarit 33
2.3.4. Tính diện tích hình phẳng đƣợc giới hạn bởi hai đƣờng cong chứa tham
số và tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của diện tích đó 38
2.3.5. Tính diện tích hình phẳng, đƣợc giới hạn bởi nhiều hơn hai đồ thị hàm số 42
2.3.6. Tính thể tích khối tròn xoay đƣợc tạo thành do hình phẳng đƣợc giới hạn
bởi đƣờng cong có đồ thị là các hàm số bậc cao, hàm lƣợng giác, hàm chứa căn
thức, hàm mũ, hàm lôgarit khi quay quanh trục Ox hoặc trục Oy 49
2.3.7. Tính thể tích khối tròn xoay đƣợc tạo thành do hình phẳng đƣợc giới
hạn bởi hai đƣờng cong khi quay quanh trục Ox hoặc trục Oy 53
2.3.8. Ứng dụng tích phân tính tổng các
k
n
C
, chứng minh đẳng thức 61
2.3.9. Ứng dụng tích phân chứng minh Bất đẳng thức 71
2.4. Biện pháp 4: Khắc phục và sửa chữa sai lầm cho học sinh 76
Tóm tắt chƣơng 2 80
CHƢƠNG 3. THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM 81
3.1. Mục đích, tổ chức và nội dung thực nghiệm sƣ phạm 81
3.1.1. Mục đích thực nghiệm sƣ phạm 81
3.1.2. Tổ chức thực nghiệm sƣ phạm 81
3.2. Đánh giá kết quả thực nghiệm sƣ phạm 82
3.2.1. Đề kiểm tra đánh giá (Thời gian 45 phút) 82
3.2.2. Thống kê kết quả kiểm tra 82
3.2.3. Đánh giá 83
3.2.4. Phân tích nguyên nhân 83
Tóm tắt chƣơng 3 84
KẾT LUẬN 85
TÀI LIỆU THAM KHẢO 86

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên


v

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên


vi

DANH MỤC CHỮ VIẾT TẮT TRONG LUẬN VĂN

Đvdt : Đơn vị diện tích
Đvtt : Đơn vị thể tích
GV : Giáo viên
HĐ : Hoạt động
HS : Học sinh
NXB : Nhà xuất bản
THPT : Trung học phổ thông
TNSP : Thực nghiệm sƣ phạm
SGK : Sách giáo khoa


1
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên


MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Theo Luật Giáo dục Việt Nam năm 2005, phƣơng pháp giáo dục cần

phải “Phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, tƣ duy sáng tạo của ngƣời
học; bồi dƣỡng năng lực tự học, lòng say mê học tập và ý chí vƣơn lên”, “bồi
dƣỡng phƣơng pháp tự học, rèn luyện kĩ năng vận dụng kiến thức vào thực
tiễn; tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh”.
Từ đó, mục tiêu dạy học môn Toán là: Trang bị cho HS những tri thức, kĩ
năng, phƣơng pháp toán học phổ thông, cơ bản, thiết thực; Góp phần phát
triển năng lực trí tuệ, bồi dƣỡng phẩm chất trí tuệ cho HS; Góp phần hình
thành và phát triển các phẩm chất, phong cách lao động khoa học, biết hợp tác
lao động, có ý chí và thói quen tự học thƣờng xuyên; Tạo cơ sở để HS tiếp tục
học cao đẳng, đại học, trung học chuyên nghiệp, học nghề hoặc đi vào cuộc
sống lao động.
“Ứng dụng tích phân” là một nội dung tuy không phải là khó đối với
HS lớp 12 THPT, song thực tiễn cho thấy trong quá trình giải dạng toán này
HS cũng có không ít những biểu hiện sai lầm.
Xuất phát từ những lí do trên chúng tôi lựa chọn đề tài nghiên cứu cho luận
văn là: “Rèn luyện kĩ năng ứng dụng tích phân cho học sinh lớp 12 THPT”.
2. Lịch sử nghiên cứu
Hiện nay đã có một số đề tài luận văn Thạc sĩ gần gũi với đề tài này, nhƣ:
+) Đề tài “Rèn luyện kĩ năng giải toán về nguyên hàm, tích phân cho
học sinh kết hợp với sử dụng phần mềm Macromedia flash” của Nguyễn Văn
Thái Bình, Đại học sƣ phạm Hà Nội, năm 2004.
+) Đề tài “Rèn luyện kĩ năng ứng dụng đạo hàm trong giải toán cho học
sinh lớp 12 THPT thông qua hệ thống bài tập đã phân dạng” của Lý Hồng
Hạnh, Đại học Thái Nguyên, năm 2006.
2
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên


+) Đề tài “Dạy học tích phân lớp 12 THPT bằng phƣơng pháp khám phá có
hƣớng dẫn” của Nguyễn Thị Thơ, Đại học Quốc gia Hà Nội, năm 2009.

+) Đề tài “Rèn luyện kĩ năng vận dụng Phƣơng pháp tọa độ giải toán
HHKG 12” của Hoàng Thị Phƣơng Thảo, Đại học Quốc gia Hà Nội, năm
2009
Những đề tài trên hoặc là gần gũi với nội dung “Ứng dụng đạo hàm”,
hoặc là rèn luyện kĩ năng giải toán cho học sinh nhƣng với những chủ đề
khác. Đề tài mà chúng tôi lựa chọn nghiên cứu về biện pháp rèn luyện kĩ năng
ứng dụng tích phân cho học sinh lớp 12 THPT, không trùng lặp với các đề tài
đã đƣợc công bố.
3. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu
+ Mục đích nghiên cứu: Đề xuất một giải pháp nhằm rèn luyện kĩ năng
ứng dụng tích phân cho học sinh lớp 12 THPT.
+ Nhiệm vụ nghiên cứu:
- Nghiên cứu hệ thống lí luận về kĩ năng, kĩ năng giải toán.
- Nghiên cứu nội dung dạy học “Ứng dụng tích phân” lớp 12 THPT.
- Nghiên cứu và đề xuất biện pháp rèn luyện kĩ năng ứng dụng tích
phân cho học sinh lớp 12 THPT.
- Thực nghiệm sƣ phạm nhằm đánh giá tính khả thi và hiệu quả của đề tài.
4. Đối tƣợng nghiên cứu và khách thể nghiên cứu
- Đối tƣợng nghiên cứu: là quá trình rèn luyện kĩ năng ứng dụng tích
phân cho học sinh lớp 12 THPT.
- Phạm vi nghiên cứu: Chƣơng Tích phân trong chƣơng trình Giải tích
lớp 12 THPT.
- Khách thể nghiên cứu: chƣơng trình, nội dung môn Toán THPT.
5. Mẫu khảo sát
Một số lớp 12, trƣờng THPT Dân tộc nội trú tỉnh Lạng Sơn.
3
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên


6. Vấn đề nghiên cứu

- Kĩ năng giải toán Ứng dụng tích phân.
- Biện pháp rèn luyện kĩ năng giải toán Ứng dụng tích phân cho học sinh.
7. Giả thuyết khoa học
Nếu vận dụng biện pháp rèn luyện kĩ năng giải toán “Ứng dụng tích
phân” đề xuất trong luận văn thì học sinh sẽ nắm vững lí thuyết và có những
kĩ năng giải dạng toán này tốt hơn, nâng cao hiệu quả dạy học chủ đề này ở
trƣờng THPT.
8. Phƣơng pháp nghiên cứu
- Phƣơng pháp nghiên cứu lí luận: Nghiên cứu lí luận về rèn luyện và
phát triển kĩ năng giải toán cho học sinh.
- Phƣơng pháp điều tra quan sát: Sử dụng phiếu điều tra về tình hình
dạy và học nội dung “Ứng dụng tích phân” lớp 12 THPT.
- Phƣơng pháp thực nghiệm sƣ phạm: TNSP một số giáo án về “Ứng
dụng tích phân” lớp 12 THPT và đánh giá kết quả rèn luyện kĩ năng giải dạng
toán này cho học sinh, đánh giá tính khả thi và hiệu qủa của đề tài.
- Phƣơng pháp thống kê toán học: Dùng để xử lí số liệu trƣớc và sau
khi thực nghiệm sƣ phạm.
9. Cấu trúc luận văn
Ngoài phần mở đầu và phần kết luận, luận văn gồm 3 chƣơng.
Chƣơng 1. Cơ sở lí luận và thực tiễn
Chƣơng 2. Biện pháp nhằm rèn luyện kĩ năng giải toán “Ứng dụng tích
phân” cho học sinh lớp 12 THPT
Chƣơng 3. Thực nghiệm sƣ phạm
4
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên


CHƢƠNG 1. CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1. Kĩ năng và kĩ năng giải toán
1.1.1. Kĩ năng

Theo Từ điển Hán Việt của tác giả Phan Văn Các thì “Kĩ năng là khả
năng vận dụng tri thức khoa học vào thực tiễn” trong đó khả năng đƣợc hiểu
là “sức đã có (về một mặt nào đó) để có thể làm tốt công việc” [3]. Nhƣ vậy,
kĩ năng là khả năng thực hiện có kết quả một hành động nào đó theo một mục
đích trong những điều kiện nhất định.
Theo Polya.G “Trong toán học, kĩ năng là khả năng giải các bài toán,
thực hiện các chứng minh cũng nhƣ phân tích có phê phán các lời giải và
chứng minh nhận thức”.
Khi nói đến kĩ năng là nói đến sự sẵn sàng và năng lực hoàn thành công
việc một cách có ý thức và độc lập với chất lƣợng cần thiết và trong thời gian
tƣơng ứng với những điều kiện mới. “Mỗi kĩ năng bao gồm một hệ thống thao
tác trí tuệ và thực hành thực hiện trọn vẹn hệ thống này sẽ đảm bảo đạt đƣợc
mục đích đã đặt ra” [20].
- Cơ sở tâm lí của kĩ năng là sự thông hiểu mối quan hệ qua lại giữa
mục đích hoạt động, các điều kiện và cách thức tiến hành hoạt động ấy .
- Kiến thức là cơ sở của kĩ năng khi kiến thức đó phản ánh đầy đủ
thuộc tính bản chất, đƣợc thử thách trong thực tiễn và tồn tại trong ý thức với
tƣ cách là công cụ của hành động.
- Không phải có tri thức là có kĩ năng tƣơng ứng. “Con đƣờng đi từ chỗ
có tri thức (biết) đến chỗ có kĩ năng tƣơng ứng (biết làm) là con đƣờng luyện
tập” [7]. Nhƣ vậy, tri thức thuộc phạm vi nhận thức, thuộc về khả năng “biết”
còn kĩ năng thuộc phạm vi hành động, thuộc về khả năng “biết làm”.
- Rèn luyện kĩ năng có vai trò đặc biệt quan trọng đối với sự phát triển
trí tuệ, “Khó có thể phân biệt rạch ròi đâu là rèn luyện kĩ năng, đâu là phát
triển trí tuệ”.
5
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên


Kĩ năng có các tính chất sau:

- Kĩ năng nào cũng phải dựa trên cơ sở lí thuyết, đó là kiến thức, bởi vì
cấu trúc của kĩ năng bao gồm: hiểu mục đích, biết cách đi đến kết quả, hiểu
những điều kiện để triển khai các cách thức đó. Kiến thức là cơ sở của kĩ năng
khi các kiến thức đó phản ánh đầy đủ các thuộc tính bản chất của đối tƣợng,
đƣợc thử nghiệm trong thực tiễn và tồn tại trong ý thức với tƣ cách là công cụ
của hành động. Nhƣ vậy kĩ năng giải toán cũng phải dựa trên cơ sở tri thức
toán học (bao gồm kiến thức, kĩ năng, phƣơng pháp). Do vậy nói đến kĩ năng
giải toán không thể tách rời với phƣơng pháp toán học nhằm hình thành và
rèn luyện những kĩ năng đó.
- Vai trò quan trọng của kĩ năng là góp phần củng cố kiến thức, cụ thể
hóa, chính xác hóa lại kiến thức. Điều này vừa là tính chất, đồng thời vừa là
một mục tiêu quan trọng trong dạy học: chú ý đến rèn luyện và phát triển kĩ
năng cho học sinh, từ đó làm cơ sở cho việc kiểm tra, củng cố lại kiến thức,
dần từng bƣớc tiếp thu kiến thức và kĩ năng mới phù hợp với sự phát triển trí
tuệ và rộng hơn là phù hợp với yêu cầu của cuộc sống.
- Kĩ năng chỉ có thể hình thành trong hoạt động và bằng hoạt động. Kĩ
năng và tri thức thống nhất trong hoạt động. Tri thức là cần thiết để tiến hành
các thao tác, độ thành thạo của các thao tác đƣợc hiểu nhƣ là kĩ năng, các thao
tác này đƣợc thực hiện dƣới sự kiểm tra của tri thức. Con đƣờng đi từ chỗ có
tri thức đến chỗ có kĩ năng tƣơng ứng là con đƣờng luyện tập. Nội dung của
sự luyện tập này rất phong phú. Nói nhƣ vậy là để khẳng định vai trò quan
trọng của việc tổ chức các hoạt động học tập trong quá trình hình thành và
phát triển kĩ năng cho học sinh nhƣng đồng thời cũng phải chú ý rằng các
hoạt động phải đƣợc ngƣời học thực hiện nhiều lần, mang tính liên tục và đến
một mức độ nhất định nào đó kĩ năng mới đƣợc hình thành.
6
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên


- Nói đến kĩ năng ta cũng cần phân biệt với kĩ xảo. Kĩ năng và kĩ xảo

có điểm phân biệt tƣơng đồng, đều là khả năng của con ngƣời đƣợc hình
thành trên cơ sở của tri thức và của chủ thể trong quá trình tiến hành hoạt
động và quá trình luyện tập, đều là cách thức của hành động. Tuy nhiên kĩ
năng và kĩ xảo có những điểm khác biệt nhƣ sau: Kĩ năng yêu cầu độ linh
hoạt, sáng tạo của chủ thể cao trong khi kĩ xảo thiên về khuôn mẫu, máy móc.
Kĩ xảo có trƣớc và là tiền đề để có kĩ năng. Kĩ năng có tính ổn định nhƣng
không bền vững nhƣ kĩ xảo. Trong quá trình hoạt động, qua thời gian kĩ năng
có thể đƣợc bổ sung hoặc rút ngắn đi, hoặc thay đổi. Kĩ năng thực hiện một
hoạt động nào đó có thể mất đi sau một thời gian đồng thời cũng có thể đƣợc
tái hình thành (thƣờng thì sau một thời gian ngắn hơn thời gian hình thành kĩ
năng đó).
- Nhƣ đã nói trên, kiến thức là cơ sở của kĩ năng, do đó mà tùy theo nội
dung kiến thức truyền thụ cho học sinh mà ta có những yêu cầu rèn luyện kĩ năng
tƣơng ứng. Con đƣờng đi từ kiến thức đến kĩ năng là rất phong phú và nó phụ
thuộc vào nhiều tham số nhƣ kiến thức xác định kĩ năng, mức độ chủ động, tích
cực của HS Con đƣờng tốt nhất và đảm bảo tính sƣ phạm là sự tham gia hoạt
động và bằng hoạt động chủ động, tích cực, độc lập của chủ thể.
1.1.2. Kĩ năng giải toán
1.1.2.1. Kĩ năng giải toán
Kĩ năng giải toán là khả năng vận dụng các kiến thức toán học để giải
các bài tập toán học (tìm tòi, suy đoán, suy luận, chứng minh ).
Kĩ năng giải toán dựa trên cơ sở tri thức toán học bao gồm: Kiến thức,
kĩ năng, phƣơng pháp. HS sau khi nắm vững lí thuyết trong quá trình tập
luyện, củng cố, đào sâu kiến thức thì kĩ năng đƣợc hình thành, phát triển đồng
thời nó cũng góp phần củng cố, cụ thể hóa tri thức toán học.
7
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên


Kĩ năng toán học đƣợc hình thành và phát triển thông qua việc thực

hiện các hoạt động toán học và các hoạt động trong học tập môn Toán. Kĩ
năng có thể đƣợc rút ngắn, bổ sung, thay đổi trong quá trình hoạt động. Với tƣ
cách là cơ sở giáo dục toán học, tri thức có quan hệ mật thiết với việc thực hiện
nhiệm vụ môn Toán. Đặc biệt những tri thức phƣơng pháp liên quan chặt chẽ đến
việc rèn luyện kĩ năng, những tri thức giá trị, nhiều khi có liên hệ với việc gây
động cơ hoạt động, điều đó cũng ảnh hƣởng đến việc rèn luyện kĩ năng.
Do tính trừu tƣợng trong toán học diễn ra trên nhiều cấp độ nên trong
dạy học môn Toán cần quan tâm rèn luyện cho HS những kĩ năng trên những
bình diện khác nhau:
- Kĩ năng vận dụng tri thức trong nội bộ môn Toán.
- Kĩ năng vận dụng tri thức Toán học vào các môn học khác nhau.
- Kĩ năng vận dụng Toán học vào đời sống.
Kĩ năng trên bình diện thứ nhất là sự thể hiện mức độ thông hiểu tri
thức toán học. Không thể hình dung một ngƣời thông hiểu tri thức toán học
mà lại không biết vận dụng chúng để làm toán.
Kĩ năng trên bình diện thứ hai thể hiện vai trò công cụ của toán học đối
với những môn học khác, điều này cũng thể hiện mối liên hệ liên môn giữa
các môn học trong nhà trƣờng và đòi hỏi ngƣời GV dạy toán cần có quan
điểm tích hợp trong việc dạy học bộ môn.
Kĩ năng trên bình diện thứ ba là một mục tiêu quan trọng của môn
Toán. Nó cũng cho HS thấy rõ mối liên hệ giữa toán học và đời sống.
1.1.2.2. Một số kĩ năng cần thiết khi giải toán
Hệ thống kĩ năng giải toán có thể chia thành 3 cấp độ: biết làm, thành
thạo và sáng tạo khi giải các bài toán cụ thể.
Trong giải toán HS cần có nhóm kĩ năng chung sau đây:
+) Kĩ năng tìm hiểu nội dung bài toán: Phân tích bài toán, làm rõ các dữ
kiện đặt ra, nếu bài toán có tính chất là một vấn đề thì cần tìm một khâu nào
còn chƣa biết một quy tắc tổng quát hoặc một phƣơng pháp có yếu tố thuật
8
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

toán để giải bài toán, xác định đó là trọng tâm suy nghĩ tìm hƣớng giải. Đây là
kĩ năng phát hiện và giải quyết vấn đề, là một trong những kĩ năng quan trọng
nhất khi giải một bài toán có tính chất là một vấn đề. Cần làm rõ các thành
phần, mối liên hệ (tƣờng minh hay không tƣờng minh) qua các yếu tố (có
hoặc không có) trong bài toán.
+) Kĩ năng tìm kiếm, đề ra chiến lƣợc giải, hƣớng giải bài toán: Huy
động tri thức, kinh nghiệm của bản thân có liên quan để giải bài toán bao gồm
hai dạng:
- Dạng 1 là những nội dung mà HS sản sinh ra một cách tích cực bằng
các thao tác tƣ duy, bằng lao động trí óc và thực hành.
- Dạng 2 là những ý tƣởng chợt lóe sáng tự phát, đƣợc hiểu theo nghĩa
bừng sáng của quá trình tƣ duy sáng tạo, chuyển dịch về những vấn đề quen
thuộc đã có thuật giải: quy nạp, tìm kiếm, dự báo, bổ sung vào thuật giải đã có
hoặc tìm kiếm thuật giải mới.
+) Kĩ năng tự kiểm tra đánh giá tiến trình và kết quả bài toán, tránh sai
lầm khi giải toán: Trong học tập giải toán, việc phát hiện và sửa chữa sai lầm
là một thành công của ngƣời học toán.
+) Kĩ năng thu nhận, hợp thức hóa bài toán thành kiến thức mới của
ngƣời giải toán.
Ngoài ra, HS cần rèn luyện các nhóm kĩ năng cụ thể sau:
*) Nhóm kĩ năng thực hành:
+) Kĩ năng vận dụng tri thức vào hoạt động giải toán: Kĩ năng này đƣợc
rèn luyện trong quá trình tìm tòi lời giải của bài toán. Cần chú ý kĩ năng
chuyển từ tƣ duy thuận sang tƣ duy nghịch để nắm vững và vận dụng kiến
thức (một thành phần của tƣ duy toán học), kĩ năng biến đổi xuôi chiều và
ngƣợc chiều song song với nhau giúp cho việc hình thành các liên tƣởng
ngƣợc diễn ra đồng thời với việc hình thành các liên tƣởng thuận.
9

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên


+) Kĩ năng tính toán: Đây là điều cần thiết trong thực tiễn cuộc sống. Ở
đâu cũng đòi hỏi kĩ năng tính toán nhƣ: tính đúng, tính nhanh, tính hợp lí. Các
đức tính đó để có đƣợc kĩ năng đó là: cẩn thận, chu đáo, nhanh trí, kiên trì,
luôn có ý thức tìm tòi các phƣơng pháp tính toán khác nhau. Kĩ năng tính toán
đƣợc rèn luyện qua các bài luyện tập, thông qua tính nhẩm, sử dụng bảng số,
máy tính, thực hiện các phép tính gần đúng.
+) Kĩ năng trình bày lời giải khoa học, sử dụng biểu đồ, sơ đồ, đồ thị,
đọc và vẽ đồ thị chính xác, rõ ràng.
+) Kĩ năng ƣớc lƣợng, đo đạc có ý nghĩa giáo dục và có ý nghĩa thực
tiễn: Để có kĩ năng đó cần rèn luyện cho HS thói quen ƣớc lƣợng khi sử dụng
dụng cụ đo trong thực tiễn. Đặc biệt với kĩ năng vẽ hình HS phải đƣợc hình
thành và rèn luyện kĩ năng vẽ hình chính xác, phù hợp với lý thuyết biểu diễn
hình, vẽ cẩn thận, vẽ đẹp.
+) Kĩ năng toán học hóa các tình huống thực tiễn: HS đƣợc rèn luyện kĩ
năng này thông qua các bài toán có tính thực tiễn hoặc các bài toán có nội
dung không phải dƣới dạng thuần túy toán học mà dƣới dạng một vấn đề thực
tế cần giải quyết.
*) Nhóm kĩ năng về tƣ duy:
+) Kĩ năng tổ chức hoạt động nhận thức trong giải toán: sắp xếp kiến
thức theo trình tự giải, nhớ lại và huy động kiến thức, kinh nghiệm hữu ích để
giải toán; phân loại bài toán để lựa chọn kế hoạch và phƣơng pháp giải, tập
hợp các dữ kiện, xác định ẩn, biểu thị qua các mối liên hệ, xác định rõ giả
thiết, kết luận, phản ánh rõ các kí hiệu trong bài toán; biết sử dụng các
phƣơng pháp suy luận và các thao tác tƣ duy khái quát hóa, đặc biệt hóa,
tƣơng tự trong tiến trình giải toán, biết giải quyết từng cái riêng, bộ phận
trong bài toán từ đó đi đến giải quyết cái chung, tổng thể của bài toán và
ngƣợc lại.

+) Kĩ năng tổng hợp: Liên kết các dữ kiện trong bài toán, khái quát các
dấu hiệu, tóm tắt nội dung bài toán, xác định rõ giả thiết, kết luận, kết cấu lại
đề toán, định hƣớng tiến trình giải toán.
10
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên


+) Kĩ năng phân tích: Biết phân tích các quan hệ và cấu trúc của bài
toán, nhận dạng ý trọng tâm, dự đoán, phân tích và khắc phục các sai lầm
trong quá trình giải toán, phân loại các khả năng có lời giải hoặc cách đi đến
lời giải, xác định trọng tâm cần giải quyết trong bài toán.
+) Kĩ năng mô hình hóa: Hành động mô hình hóa bài toán là hành động
chuyển bài toán thành mô hình và phân tích quan hệ toán học cũng nhƣ các
phƣơng pháp toán học sử dụng trên mô hình đó. Đây là một kĩ năng cần thiết
để giải một bài toán có ứng dụng thực tiễn và các bài toán liên môn khác.
+) Kĩ năng sử dụng thông tin: Nhận biết, thu thập và ghi nhận thông tin
từ nội dung bài toán. Phân loại, sắp xếp và thể hiện qua các kênh thông tin
trong hoạt động giải toán để tạo cơ sở huy động kiến thức, vốn kinh nghiệm
có liên quan hữu ích đến việc giải bài toán.
1.1.2.3. Cơ sở khoa học của việc rèn luyện kĩ năng giải toán cho học sinh
+) Cơ sở tâm lý giáo dục: Quá trình học đƣợc tiến hành bằng sự kết
hợp giữa hoạt động dạy của thầy và các hoạt động học của trò, do đó các biện
pháp sƣ phạm phải thông qua hoạt động dạy tác động và hoạt động học của
HS, làm cho HS có động cơ hoàn thiện tri thức và kĩ năng. Nhân cách của HS
trong đó có kết quả học tập chính là chất lƣợng sản phẩm mà nhà trƣờng đào
tạo cho xã hội. Vì vậy cần chú ý đến hoạt động học, các biện pháp tập trung
vào rèn luyện và phát triển các dạng hoạt động của HS, rèn luyện kĩ năng học
tập của HS nhƣ kĩ năng nhận thức, kĩ năng thực hành, kĩ năng tổ chức hoạt
động, kĩ năng tự kiểm tra, đánh giá. Theo Lê Văn Hồng “Cơ sở tâm lí của kĩ
năng là sự thông hiểu mối quan hệ qua lại giữa mục đích hoạt động, các điền

kiện và cách thức hoạt động ấy” [9].
+) Cơ sở phương pháp dạy học bộ môn Toán: Phƣơng pháp dạy học
môn Toán ở trƣờng THPT phải luôn gắn liền với việc truyền thụ tri thức, kĩ
năng với việc phát triển các năng lực của HS.
11
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên


Căn cứ vào nhiệm vụ của việc dạy học bộ môn, bên cạnh việc truyền
thụ tri thức, rèn luyện kĩ năng thực hành Toán học, HS cần đƣợc rèn luyện kĩ
năng vận dụng Toán học vào việc học tập bộ môn khác, vào thực tiễn cuộc
sống. Do đó cần thiết và có thể xây dựng các biện pháp nhằm rèn luyện các kĩ
năng giải toán cho HS, góp phần thực hiện các nhiệm vụ bộ môn đồng thời
đảm bảo tính liên môn trong dạy học.
1.1.2.4. Con đường hình thành và rèn luyện kĩ năng giải toán cho HS
Việc rèn luyện kĩ năng giải toán cho HS phải nhằm vào việc biến các kiến
thức và kĩ năng cơ bản trong từng chƣơng, từng mục thành kiến thức và kĩ năng
tổng hợp, hoàn chỉnh chuẩn bị cho mọi hoạt động học tập lao động và nghề
nghiệp cho HS. Trƣớc hết ngƣời GV cần xác định rõ con đƣờng hình thành kĩ
năng cho HS và và vai trò của mình trong qui trình đó nhờ sơ đồ sau đây:
Qui trình hình thành và phát triển kĩ năng giải toán cho HS

Kiến thức chuẩn SGK
Hoàn thiện quy trình
giải dạng toán
Kĩ năng
Hệ thống các bài toán
cơ bản
Quy trình giải (Thuật
toán, quy tắc)
Các bài tập áp dụng và
nâng cao
Khái quát hoá HĐ chọn
phƣơng pháp tối ƣu
(Hoàn thiện quy trình
)giải)
HS thực hành, luyện tập
(áp dụng phƣơng pháp)
GV hƣớng dẫn quy
trình (phƣơng pháp)
GV gợi động cơ, hƣớng
HS vào các hoạt động
Hoạt động của GV và HS
12
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

1.2. Bài tập toán và phƣơng pháp dạy học giải bài tập toán
1.2.1. Vai trò của bài tập toán trong quá trình dạy học
Bài tập Toán học có vai trò quan trọng trong môn Toán, là giá mang
hoạt động của HS. Thông qua giải bài tập, HS phải thực hiện những hoạt động
nhất định, bao gồm cả nhận dạng và thể hiện định nghĩa, định lí, qui
tắc/phƣơng pháp, những hoạt động toán học phức hợp, những hoạt động phổ
biến trong toán học, những hoạt động trí tuệ chung và hoạt động ngôn ngữ.
Vai trò của bài tập thể hiện trên ba bình diện:
+) Trên bình diện mục đích dạy học, bài tập Toán học ở trƣờng phổ
thông là giá mang những hoạt động mà việc thực hiện các hoạt động đó thể
hiện mức độ đạt mục đích. Mặt khác, những bài tập cũng thể hiện những chức
năng khác nhau hƣớng đến việc thực hiện các mục đích dạy học môn Toán, cụ
thể là:
- Hình thành, củng cố tri thức kĩ năng, kĩ xảo ở những giai đoạn khác
nhau của quá trình dạy học, kể cả kĩ năng ứng dụng Toán học vào thực tiễn.
- Phát triển năng lực trí tuệ: Rèn luyện những thao tác tƣ duy, hình
thành những phẩm chất trí tuệ.
- Bồi dƣỡng thế giới quan duy vật biện chứng hình thành những phẩm
chất đạo đức của ngƣời lao động mới.
+) Trên bình diện nội dung dạy học, những bài tập Toán học là giá
mang những hoạt động liên hệ với những nội dung nhất định, làm cho bài tập
đó trở thành một phƣơng tiện để cài đặt nội dung dƣới dạng những tri thức
hoàn chỉnh hay những yếu tố bổ sung cho những tri thức nào đó đã đƣợc trình
bày trong phần lí thuyết.
+) Trên bình diện phương pháp dạy học, bài tập Toán học là giá mang
những hoạt động để ngƣời học kiến tạo những nội dung nhất định và trên cơ
sở đó thực hiện các mục đích dạy học khác. Khai thác tốt những bài tập nhƣ
13
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

vậy sẽ góp phần tổ chức cho HS học tập trong hoạt động và bằng hoạt động tự
giác, tích cực và sáng tạo đƣợc thực hiện độc lập hoặc trong giao lƣu.
Trong thực tiễn dạy học, bài tập đƣợc sử dụng với những dụng ý khác
nhau về phƣơng pháp dạy học: đảm bảo trình độ xuất phát, gợi động cơ, làm
việc với nội dung mới, củng cố hoặc kiểm tra Đặc biệt là về mặt kiểm tra,
bài tập là phƣơng tiện để đánh giá mức độ, kết quả dạy và học, khả năng làm
việc độc lập và trình độ phát triển của HS, giúp GV nắm đƣợc thông tin hai
chiều trong quá trình dạy và học.
1.2.2. Các yêu cầu đối với lời giải
Để phát huy tác dụng của bài tập Toán học, trƣớc hết cần nắm vững các
yêu cầu của lời giải. Nói một cách vắn tắt, lời giải phải đúng và tốt. Nói nhƣ
vậy là bao hàm đủ các ý cần thiết, nhƣng quá cô đọng. Để thuận tiện cho việc
thực hiện các yêu cầu của lời giải trong quá trình dạy học và đánh giá HS, có
thể cụ thể hóa các yêu cầu, đƣơng nhiên là phải chấp nhận các yếu tố trùng
lặp nhất định trong các yêu cầu chi tiết:
- Kết quả đúng, kể cả ở các bƣớc trung gian.
- Lập luận chặt chẽ.
- Lời giải đầy đủ.
- Ngôn ngữ chính xác.
- Trình bày rõ ràng, đảm bảo mĩ thuật.
- Tìm ra nhiều cách giải, chọn cách giải ngắn gọn, hợp lí nhất.
- Nghiên cứu giải những bài toán tƣơng tự, mở rộng hay lật ngƣợc vấn đề.
1.2.3. Phương pháp chung để giải bài toán
Dựa trên những tƣ tƣởng tổng quát cùng với những gợi ý chi tiết của
Polya [8] về cách thức giải bài toán đã đƣợc kiểm nghiệm trong thực tiễn dạy
học, có thể nêu lên phƣơng pháp chung để giải bài toán nhƣ sau:
14
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

Bước 1: Tìm hiểu nội dung đề bài
Phát biểu đề bài dƣới những dạng thức khác nhau để hiểu rõ nội dung
bài toán; phân biệt cái đã cho và cái phải tìm, phải chứng minh; có thể dùng
công thức, kí hiệu, hình vẽ để hỗ trợ cho việc diễn tả đề bài.
Bước 2: Tìm cách giải
Tìm tòi, phát hiện cách giải nhờ những suy nghĩ có tính chất tìm đoán:
biến đổi cái đã cho, biến đổi cái phải tìm hay phải chứng minh, liên hệ cái đã
cho hoặc cái phải tìm với những tri thức đã biết, liên hệ bài toán cần giải với
một bài toán cũ tƣơng tự, một trƣờng hợp riêng, một bài toán tổng quát hơn
hay một bài toán nào đó có liên quan, sử dụng những phƣơng pháp đặc thù
với từng dạng toán nhƣ chứng minh phản chứng, quy nạp Toán học, toán
dựng hình, toán quĩ tích
Kiểm tra lại lời giải bằng cách xem kĩ lại từng bƣớc thực hiện hoặc đặc biệt
hóa kết quả tìm đƣợc hoặc đối chiếu kết quả với một số tri thức có liên quan
Tìm tòi những cách giải khác, so sánh chúng để đƣợc một cách giải hợp
lí nhất.
Trả lời các câu hỏi hƣớng dẫn nhƣ: đã gặp bài toán này lần nào chƣa?
Hay đã gặp bài toán này ở một dạng hơi khác? Xét kĩ cái chƣa biết và thử nhớ
lại một bài toán quen thuộc có cùng cái chƣa biết hay có cái cho biết tƣơng tự? Có
biết một bài toán nào có liên quan không? Có thể áp dụng một định lí nào đó
không? Có thể phát biểu bài toán một cách khác hay không? Nếu chƣa giải đƣợc,
hãy thử giải một bài toán có liên quan, có thể nghĩ ra một bài toán liên quan và dễ
hơn đƣợc không? Hãy chọn một lời giải ngắn gọn, hợp lí nhất
Bước 3: Trình bày lời giải
Từ cách giải đã phát hiện đƣợc, sắp xếp các việc phải làm thành một
chƣơng trình gồm các bƣớc theo một trình tự thích hợp và thực hiện các bƣớc đó.
15
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

Bước 4: Nghiên cứu sâu lời giải
Nghiên cứu khả năng ứng dụng kết quả của lời giải.
Nghiên cứu giải những bài toán tƣơng tự, mở rộng hay lật ngƣợc vấn đề.
1.3. Dạy học nội dung “Ứng dụng tích phân” và việc rèn luyện kĩ năng
giải Toán cho HS
1.3.1. Nội dung “Ứng dụng tích phân”
Theo phân phối chƣơng trình môn Toán THPT, phần Giải tích lớp 12
nâng cao HS đƣợc học với số tiết là 90 tiết, trong đó nội dung “Ứng dụng tích
phân” chỉ đƣợc nghiên cứu trong 6 tiết trong chƣơng III – SGK Giải tích 12,
cụ thể nhƣ sau:
Tiết theo phân
phối chƣơng trình
Tên bài
63
Ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng – Bài tập
64
Ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng – Bài tập
65
Bài tập
66
Ứng dụng tích phân để tính thể tích vật thể – Bài tập
67
Ứng dụng tích phân để tính thể tích vật thể – Bài tập
68
Bài tập
1.3.2. Mục đích, yêu cầu dạy học nội dung Ứng dụng tích phân
Trên cơ sở mục đích của việc dạy học toán ở trƣờng phổ thông, căn cứ vào
nội dung ứng dụng tích phân trong chƣơng trình giải tích lớp 12, ta có thể xác định
đƣợc mục đích yêu cầu dạy học nội dung ứng dụng đạo hàm nhƣ sau:

Về kiến thức: Biết các công thức tính diện tích hình phẳng, thể tích vật
thể, thể tích khối tròn xoay nhờ tích phân.
Về kĩ năng: Tính đƣợc một số diện tích hình phẳng, thể tích của một số
khối tròn xoay nhờ tích phân.
Ngoài những yêu cầu trên, GV có thể cho HS thấy những ứng dụng
khác của tích phân nhƣ chứng minh bất đẳng thức, tính một số tổng hữu hạn,
tính giới hạn
16
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên


1.3.3. Các dạng bài tập của nội dung Ứng dụng tích phân
+) Ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng.
+) Ứng dụng tích phân tính thể tích vật thể và thể tích khối tròn xoay.
+) Ứng dụng tích phân tính một số tổng các
k
n
C
, chứng minh đẳng thức
bằng phƣơng pháp tích phân các nhị thức.
+) Ứng dụng tích phân chứng minh một số bất đẳng thức.
1.3.4. Tình hình dạy học nội dung Ứng dụng tích phân ở trường THPT
Để biết đƣợc tình hình thực tế của việc rèn luyện kĩ năng ứng dụng tích
phân để giải một số bài toán trong chƣơng trình cho HS lớp 12 THPT tác giả
đã phát phiếu thăm dò đến các thầy cô giáo trong tổ Toán trƣờng THPT Dân
tộc Nội trú tỉnh Lạng Sơn và một số thầy cô trƣờng THPT Việt Bắc, THPT
Cao Lộc của tỉnh Lạng Sơn với nội dung nhƣ sau:
Câu hỏi 1: Việc rèn luyện kĩ năng ứng dụng tích phân cho HS lớp 12
có thật sự quan trọng không? Tại sao?
Câu hỏi 2: Thầy cô có thƣờng xuyên rèn luyện kĩ năng ứng dụng tích

phân cho HS lớp 12 hay không?
Câu hỏi 3: Thầy cô thƣờng gặp khó khăn gì khi rèn luyện kĩ năng ứng
dụng tích phân cho HS lớp 12?
Kết quả thu đƣợc nhƣ sau:
Đối với câu hỏi 1: Đa số các thầy cô trả lời là thật sự rất quan trọng vì
nó có nhiều ứng dụng trong thực tế, hơn nữa trong các kì thi tốt nghiệp, tuyển
sinh ta cũng gặp nhiều dạng toán này.
Đối với câu hỏi 2: Câu trả lời của các thầy cô là không đồng đều, có
thầy cô thƣờng xuyên rèn luyện kĩ năng này, nhƣng cũng có những thầy cô
không thƣờng xuyên làm đƣợc việc này vì một số lí do.
Đối với câu hỏi 3: Đa số các thầy cô nêu ra khó khăn do điều kiện thời
gian, số tiết trong phân phối chƣơng trình ít, kĩ năng xác định hình của HS
còn yếu, thiếu hệ thống bài tập tốt để thực hiện rèn luyện kĩ năng này.
17
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên


TÓM TẮT CHƢƠNG 1
Chƣơng 1 của luận văn đã tìm hiểu khái niệm về kĩ năng, các tính chất
của kĩ năng, kĩ năng giải Toán.
Tiến hành phân loại các bài toán về ứng dụng của tích phân ở lớp
12 THPT.
Tìm hiểu thực trạng dạy các bài toán về ứng dụng tích phân cho HS lớp
12 THPT.
Trên cơ sở đó ở chƣơng 2, chúng ta sẽ đề ra các biện pháp rèn luyện kĩ
năng ứng dụng tích phân cho HS thông qua việc giải một hệ thống bài tập đa
dạng, có chọn lọc.