tổng hợp lý thuyết toán lớp 9

Lý thuyết Tốn 9
Vận dụng hằng đẳng thức đáng nhớ để giải toán
Những hằng đẳng thức đáng nhớ :
• A .( B + C) = A.C + A.B
• ( A + B ) .(C + D ) = A.C+ A.D + B.D + B. C
• ( A + B ) . (D + E + F ) = A.D + A.E + A.F + B.D + B.E + B.F
• 7 hằng đẳng thức :(SGK)
Với A, B là các biểu thức
• (A + B)
2
= A
2
+ 2AB + B
2
• (A – B)
2
= A
2
– 2AB + B
2
• A
2
– B
2
= (A + B)(A – B)
• (A + B)
3
= A
3
+ 3A
2

B +3AB
2
+B
3
• (A – B)
3
= A
3
– 3A
2
B + 3AB
2
- B
3
• A
3
+ B
3
= (A + B) (A
2
– AB + B
2
)
• A
3
– B
3
= (A – B) (A
2
+ AB +B

2
)
• Các hằng đẳng thức liên quan :
• (A + B)
2
= (A –B)
2
+ 4AB
• (A – B)
2
= (A +B)
2
– 4AB
•
( )
2
2 2
2A B A B AB+ = + −

• A
3
+ B
3
= (A + B)
3
– 3AB (A+B)
• A
3
- B
3

= (A – B)
3
+ 3AB (A – B)
• (A + B – C)
2
= A
2
+ B
2
+ C
2
+ 2(AB - AC – BC)
• Các hằng đẳng thức dạng tổng quát :
• (A + B)
n
= A
n
+ n A
n-1
B + . . .+ n AB
n-1
+ B
n
• A
n
– B
n
= (A – B) (A
n-1
+ A

n-2
B + . . . +AB
n-2
+ B
n-1
)
• (A
1
+ A
2
+ . . . +A
n
)
2
= A
1
2
+ A
2
2
+ . . . + A
n
2
+ 2(A
1
A
2
+ A
1
A

3
+. . .
+A
n-1
A
n
)


( )
( )
( )( )
( )( )
( )( )
2
2
2
2
( ) 2
1 1 2
( ) 2
1 1 2
( )( )
( )( )
1 1 1
1 1 1
a b a ab b
a a a
a b a ab b
a a a

a b a b a b
a a b b a b a ab b
a a b b a b a ab b
a a a a a
a a a a a
+ = + +
+ = + +
− = − +
− = − +
− = − +
+ = + − +
− = − + +
− = − + +
+ = + − +

( )
( )
( )
( )
a b b a ab a b
a b b a ab a b
+ = +
− = −

GV : PHẠM HỒNG PHƯƠNG ĐT : 0976.580.880
Lý thuyết Toán 9
ÔN TẬP KT CHƯƠNG I ĐẠI SỐ
LÝ THUYẾT
• Điều kiện có nghĩa của một số biểu
thức:

1) A(x) là đa thức
⇒
A(x) luôn có nghĩa
2)
)(
)(
xB
xA
có nghĩa
⇔
B(x)
≠
0
3)
)(xA
có nghĩa
⇔
A(x)
≥
0
4)
)(
)(
xB
xA
có nghĩa
⇔
B(x) > 0
• Khử mẫu của biểu thức dưới dấu căn
bậc hai:

Ta nhân mẫu số với thừa số phụ thích hợp
để mẫu số là một bình phương
B
BA
B
BA
B
A
2
==
( với B
≠
0, A.B
≥
0 )
• Trục căn thức ở mẫu số:
•
2
A
A A
A

= =

−


• Nếu A không âm thì
( )
2

2
. AAAAA
===

•
. .A B A B
=
( với A
≥
; B
≥
0 )
Tổng quát:
1 2 1 2
.
n
n
A A A A A A=
với A
i

≥
0 (1
≤
i
≤

n )
•
A A

B
B
=
(với A
≥
0, B
≥
0)
• Đưa thừa số A
2
ra ngoài dấu căn bậc
hai:
ta được |A| . Ta có:
2
A B A B
=
• Đưa thừa số vào trong dấu căn bậc
hai:

2
A B A B=
( với A
≥
0 )
2
A B A B= −
( với A < 0 )
• Phương trình chứa căn thức bậc hai:
1)
2

0 | | 0 0A A A= ⇔ = ⇔ =
3)



=
≥
⇔=
2
0
BA
B
BA
2)



=
≥
⇔=
BA
B
BA
0
4)
⇔=+ OBA
A = 0 và B = 0
GV : PHẠM HỒNG PHƯƠNG ĐT : 0976.580.880
(hoặc A
0≥

)
Lý thuyt Toỏn 9
A. Kiến thức cần nhớ.
1. Điều kiện để căn thức có nghĩa.

A
có nghĩa khi A 0
2. Các công thức biến đổi căn thức.
a.
2
A A=
b.
. ( 0; 0)AB A B A B=
c.
( 0; 0)
A A
A B
B
B
= >
d.
2
( 0)A B A B B=
e.
2
( 0; 0)A B A B A B=


2
( 0; 0)A B A B A B= <

f.
1
( 0; 0)
A
AB AB B
B B
=
i.
( 0)
A A B
B
B
B
= >
k.
2
2
( )
( 0; )
C C A B
A A B
A B
A B
=


m
m.
2

( )
( 0; 0; )
C C A B
A B A B
A B
A B
=


m
Kin thc c bn:
CH 2: HM S - HM S BC NHT
1.1Hm s bc nht
a. Khỏi nim hm s bc nht
- Hm s bc nht l hm s c cho bi cụng thc y = ax + b. Trong ú a, b l cỏc
s cho trc v a

0
b. Tớnh cht :Hm s bc nht y = ax + b xỏc nh vi mi giỏ tr ca x thuc R v cú
tớnh cht sau:
- ng bin trờn R khi a > 0
- Nghch bin trờn R khi a < 0
c. th ca hm s y = ax + b (a

0)
th ca hm s y = ax + b (a

0) l mt ng thng
- Ct trc tung ti im cú tung bng b
- Song song vi ng thng y = ax, nu b

0, trựng vi ng thng y = ax,
nu b = 0
* Cỏch v th hm s y = ax + b (a

0)
Bc 1. Cho x = 0 thỡ y = b ta c im P(0; b) thuc trc tung Oy.
Cho y = 0 thỡ x = ta c im Q( ; 0) thuc trc honh
Bc 2. V ng thng i qua hai im P v Q ta c th hm s y = ax + b
d. V trớ tng i ca hai ng thng
Cho hai ng thng (d): y = ax + b (a

0) v (d): y = ax + b (a

0). Khi ú
+
'
// '
'
a a
d d
b b
=





GV : PHM HNG PHNG T : 0976.580.880
Lý thuyết Toán 9

+
{ }
' ' 'd d A a a
∩ = ⇔ ≠
+
'
'
'
a a
d d
b b
=

≡ ⇔

=

+
' . ' 1d d a a
⊥ ⇔ = −
e. Hệ số góc của đường thẳng y = ax + b (a
≠
0)
*Góc tạo bởi đường thẳng y = ax + b và trục Ox.
- Góc tạo bởi đường thẳng y = ax + b và trục Ox là góc tạo bởi tia Ax và tia AT, trong
đó A là giao điểm của đường thẳng y = ax + b với trục Ox, T là điểm thuộc đường
thẳng y = ax + b và có tung độ dương
*Hệ số góc của đường thẳng y = ax + b
- Hệ số a trong phương trình y = ax + b được gọi là hệ số góc của đường thẳng
y = ax +b

f. Một số phương trình đường thẳng
- Đường thẳng đi qua điểm M
0
(x
0
;y
0
)có hệ số góc k: y = k(x – x
0
) + y
0
- Đường thẳng đi qua điểm A(x
0
, 0) và B(0; y
0
) với x
0
.y
0

≠
0 là
0 0
1
x y
x y
+ =
2.1 Cụng thức tính toạ độ trung điểm của đoạn thẳng và độ dài đoạn thẳng
Cho hai điểm phân biệt A với B với A(x
1

, y
1
) và B(x
2
, y
2
). Khi đó
- Độ dài đoạn thẳng AB được tính bởi công thức
2 2
( ) ( )
B A B A
AB x x y y
= − + −
- Tọa độ trung điểm M của AB được tính bởi công thức
;
2 2
A B A B
M M
x x y y
x y
+ +
= =
CHỦ ĐỀ 3: HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
I. CÁC KHÁI NIỆM:
Phương trình bậc nhất hai ẩn:
+Dạng: ax + by = c trong đó a; b; c là các hệ số đã biết(
0≠a
hoặc
)0≠b
+ Một nghiệm của phương trình là cặp số x

0
; y
0
thỏa mãn : ax
0
+ by
0
= c
+ Phương trình bậc nhất hai ẩn ax + by = c luôn luôn có vô số nghiệm.
+ Tập nghiệm được biểu diễn bởi đường thẳng (d): ax + by = c. Nếu
0;0 ≠≠ ba
thì đường
thẳng (d) là đồ thị của hàm số bậc nhất:
b
c
x
b
a
y +−=
.
 Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn:
+ Dạng:



=+
=+
)2.(
)1.(
,,,

cybxa
cbyax
+ Nghiệm của hệ là nghiệm chung của hai phương trình
+ Nếu hai phương trình ấy không có nghiệm chung thì ta nói hệ vô nghiệm
+ Quan hệ giữa số nghiệm của hệ và đường thẳng biểu diễn tập nghiệm:
-Phương trình (1) được biểu diễn bởi đường thẳng (d)
-Phương trình (2) được biểu diễn bởi đường thẳng (d')
*Nếu (d) cắt (d') hệ có nghiệm duy nhất
*Nếu (d) song song với (d') thì hệ vô nghiệm
*Nếu (d) trùng (d') thì hệ vô số nghiệm.
Hệ phư ơng trình tương đương:
Hai hệ phơng trình được gọi là tương đương với nhau nếu chúng có cùng tập nghiệm
II.PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH:
GV : PHẠM HỒNG PHƯƠNG ĐT : 0976.580.880
Lý thuyết Toán 9
Giải hệ ph ương trình bằng phương pháp thế :
a) Quy tắc thế :
+ Bước 1: Từ một phương trình của hệ đã cho, ta biểu diễn một ẩn theo ẩn kia, rồi thay vào
phương trình thứ hai để được một phương trình mới (chỉ còn 1 ẩn).
+ Bước 2: Dùng phương trình mới này để thay thế cho phương trình thứ hai trong hệ (phương
trình thứ nhất cũng thường được thay thế bởi hệ thức biểu diễn một ẩn theo ẩn kia có được ở
bước 1).
 Giải hệ ph ương trình bằng phương pháp cộng đại số :
a)Quy tắc cộng đại số :
+ Bước 1: Cộng hay trừ từng vế hai phương trình của hệ của hệ phương trình đã cho để được
một phương trình mới.
+ Bước 2: Dùng phương trình mới ấy thay thế cho một trong hai phương trình của hệ (và giữ
nguyên phương trình kia)
Lưu ý: Khi các hệ số của cùng một ẩn đối nhau thì ta cộng vế theo vế của hệ.
Khi các hệ số của cùng một ẩn bằng nhau thì ta trừ vế theo vế của hệ.

Khi hệ số của cùng một ẩn không bằng nhau cũng không đối nhau thì ta chọn nhân
với số thích hợp để đưa về hệ số của cùng một ẩn đối nhau (hoặc bằng nhau).( tạm gọi là quy
đồng hệ số)
HỆ SỐ GÓC CỦA ĐƯỜNG THẲNG.
ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG, ĐƯỜNG THẲNG CẮT NHAU
A. Kiến thức cơn bản
1. Góc tạo bởi đường thẳng y = ax + b (a khác 0) và trục Ox
- Góc
α
tạo bởi đường thẳng y = ax + b (a khác 0) và trục Ox là góc tạo bởi tia Ax và tia AT,
trong đó A là giao điểm của đường thẳng y = ax + b với trục Ox; T là điểm thuộc đường
thẳng y = ax + b và có tung độ dương
8
6
4
2
-2
-4
-6
-8
-15
-10
-5
5
10
15
T
A
α
α

y=ax+b
y=ax
Trường hợp a > 0
8
6
4
2
-2
-4
-6
-8
-15
-10
-5
5
10
15
T
A
α
α
y=ax+b
y=ax
Trường hợp a < 0
- với a > 0
0 0
0 90
α
⇒ < <
, a càng lớn thì

α
càng lớn
- với a < 0
0 0
90 180
α
⇒ < <
, a càng lớn thì
α
càng lớn
2. y = ax + b (a khác 0) thì a được gọi là hệ số góc của đường thẳng
3. Với 2 đường thẳng
( )
( ) ( )
' ' ' '
: à : ; 0d y ax b v d y a x b a a= + = + ≠
, ta có:
( )
( )
( )
( )
' ' ' ' ' '
/ / ; ;d d a a b b d d a a b b+ ⇔ = ≠ + ≡ ⇔ = =
( )
( )
( )
( )
' ' ' '
. 1d d a a d d a a+ × ⇔ ≠ + ⊥ ⇔ = −
- Chú ý: khi a khác a

’
và b = b
’
thì 2 đường thẳng có cùng tung độ gốc, do đó chúng cắt nhau
tại 1 điểm trên trục tung có tung độ là b
GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP THẾ
GV : PHẠM HỒNG PHƯƠNG ĐT : 0976.580.880
Lý thuyết Toán 9
A. Kiến thức cơ bản
1. Quy tắc thế
- từ một trong các phương trình của hệ biểu diễn x theo y (hoặc y theo x)
- dùng kết quả đó thế cho x (hoặc y) trong pt còn lại rồi thu gọn
2. Cách giải hệ phương trình bằng phương pháp thế
- dùng quy tắc thế biến đổi hệ phương trình đã cho để đc 1 hpt mới trong đó có 1 pt 1 ẩn
- giải pt 1 ẩn vừa tìm đc, rồi suy ra nghiệm của hpt đã cho
GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP CỘNG ĐẠI SỐ
A. Kiến thức cơ bản
1. Quy tắc cộng đại số: gồm 2 bước
- Cộng hay trừ từng vế 2 pt của hpt đã cho để đc pt mới
- Dùng pt mới ấy thay thế cho 1 trong 2 pt của hệ (giữ nguyên pt kia)
2. Tóm tắt cách giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số
- Giải theo quy tắc: “Nhân bằng, đổi đối, cộng, chia Thay vào tính nốt ẩn kia là thành”
- Nghĩa là:
+ nhân cho hệ số của 1 ẩn trong hai phương trình bằng nhau
+ đổi dấu cả 2 vế của 1 pt: hệ số của 1 ẩn đối nhau
+ cộng vế với vế của 2 pt trong hệ, rút gọn và tìm 1 ẩn
+ thay vào tính nốt ẩn còn lại
GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH
A. Kiến thức cơ bản
Để giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình ta thực hiện theo 3 bước sau :

- bước 1 : lập hpt (bao gồm các công việc sau)
+ chọn ẩn và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn)
+ biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết
+ lập hpt biểu thị tương quan giữa các đại lượng
- bước 2 : giải hpt vừa lập đc ở bước 1
- bước 3 : kết luận : so sánh nghiệm tìm đc với điều kiện đặt ra ban đầu
HÀM SỐ
( )
2
0y ax a= ≠
. ĐỒ THỊ HÀM SỐ
( )
2
0y ax a= ≠
A. Kiến thức cơ bản
1. Tính chất hàm số
( )
2
0y ax a= ≠
a) Tính chất:
Nếu a > 0 thì hàm số nghịch biến khi x < 0 và đồng biến khi x > 0
Nếu a < 0 thì hàm số nghịch biến khi x > 0 và đồng biến khi x < 0
b) Nhận xét:
Nếu a > 0 thì y > 0 với mọi x khác 0; y = 0 khi x = 0. giá trị nhỏ nhất của hàm số là y = 0.
Nếu a < 0 thì y < 0 với mọi x khác 0; y = 0 khi x = 0. giá trị lớn nhất của hàm số là y = 0.
2. Tính chất đồ thị hàm số
( )
2
0y ax a= ≠
Đồ thị hàm số

( )
2
0y ax a= ≠
là một đường cong đi qua gốc tọa độ và nhận trục Oy là
trục đối xứng. đường cong đó được gọi là một Parabol với đỉnh O.
Nếu a > 0 thì đồ thị nằm phía trên trục hoành, O(0;0) là điểm thấp nhất của đồ thị.
Nếu a < 0 thì đồ thị nằm phía dưới trục hoành, O(0;0) là điểm cao nhất của đồ thị.
PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN
GV : PHẠM HỒNG PHƯƠNG ĐT : 0976.580.880
Lý thuyết Toán 9
A. Kiến thức cơ bản
1. Định nghĩa: pt bậc hai một ẩn là pt có dạng:
( )
2
0 0ax bx c a+ + = ≠
(1), trong đó x là ẩn; a,
b, c là các số cho trước.
2. Cách giải
a) Khuyết c (c = 0): pt (1) trở thành:
( )
2
0
0
0 0
0
x
x
ax bx x ax b
b
ax b

x
a
=

=


+ = ⇔ + = ⇔ ⇔


+ =
= −


b) Khuyết b (b = 0): pt (1) trở thành:
2 2 2
0
c
ax c ax c x
a
+ = ⇔ = − ⇔ = −
(2)
- nếu
0
c
a
− <
thì pt (2) vô nghiệm, suy ra pt (1) cung vô nghiệm
- nếu
0

c c
x
a a
− > ⇒ = ± −
c) đầy đủ:
( )
2
0 0ax bx c a+ + = ≠
Công thức nghiệm
2
4b ac∆ = −
+ Nếu
0
∆ >
thì pt có 2 nghiệm phân biệt:
1 2
;
2 2
b b
x x
a a
− + ∆ − − ∆
= =
+ nếu
0
∆ =
thì pt có nghiệm kép:
1 2
2
b

x x
a
−
= =
+ nếu
0
∆ <
thì pt vô nghiệm
Công thức nghiệm thu gọn
' '2
b ac∆ = −
+ Nếu
'
0∆ >
thì pt có 2 nghiệm phân biệt:
' ' ' '
1 2
;
b b
x x
a a
− + ∆ − − ∆
= =
+ nếu
'
0∆ =
thì pt có nghiệm kép:
'
1 2
b

x x
a
−
= =
+ nếu
'
0∆ <
thì pt vô nghiệm
d) Cho pt:
( )
2
0 0ax bx c a+ + = ≠
. Điều kiện để phương trình:
- Vô nghiệm:
0
∆ <
(
'
0∆ <
)
- Nghiệm kép:
0
∆ =
(
'
0∆ =
)
- Có 2 nghiệm phân biệt:
0
∆ >

(
'
0∆ >
) hoặc a.c < 0
- Có 2 nghiệm cùng dấu:
( )
'
1 2
0
. 0P x x

∆ ∆ ≥


= >


- Có 2 nghiệm cùng dấu âm:
( )
'
1 2
1 2
0
. 0
0
P x x
S x x

∆ ∆ ≥



= >


= + <


- Có 2 nghiệm cùng dấu dương:
( )
'
1 2
1 2
0
. 0
0
P x x
S x x

∆ ∆ ≥


= >


= + >


- Có 2 nghiệm khác dấu:
( )
'

1 2
0
. 0P x x

∆ ∆ ≥


= <


3. Hệ thức Vi-ét và ứng dụng
GV : PHẠM HỒNG PHƯƠNG ĐT : 0976.580.880
Lý thuyết Toán 9
- Định lý: Nếu x
1
; x
2
là 2 nghiệm của pt
( )
2
0 0ax bx c a+ + = ≠
thì
1 2
1 2
.
b
x x
a
c
x x

a

+ = −




=


- Ứng dụng nhẩm nghiệm của hệ thức Vi-ét:
+ nếu pt
( )
2
0 0ax bx c a+ + = ≠
có
0a b c+ + =
thì pt có 2 nghiệm là:
1 2
1;
c
x x
a
= =
+ nếu pt
( )
2
0 0ax bx c a+ + = ≠
có
0a b c− + =

thì pt có 2 nghiệm là:
1 2
1;
c
x x
a
= − = −
+ nếu
.
u v S
u v P
+ =


=

thì suy ra u, v là nghiệm của pt:
2
0x Sx P− + =
(điều kiện để tồn tại u, v là
2
4 0S P∆ = − ≥
)
PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
1. Phương trình trùng phương.
- dạng tổng quát:
( )
4 2
0 0ax bx c a+ + = ≠
- cách giải: dùng phương pháp đặt ẩn phụ, đặt

( )
2
0x t t= ≥
. Khi đó ta có pt:
2
0at bt c+ + =
(đây
là pt bậc hai một ẩn)
2. Phương trình chứa ẩn ở mẫu: Các bước giải
- Tìm đk xác định của pt
- Quy đồng mẫu thức cả 2 vế của pt, rồi khử mẫu
- Giải pt vừa nhận được
- Kết luận: so sánh nghiệm tìm được với đk xác định của pt
3. Phương trình tích.
- dạng tổng quát:
( ) ( )
. 0
x x
A B =
- cách giải:
( ) ( )
( )
( )
0
. 0
0
x
x x
x
A

A B
B
=

= ⇔

=


3. Hµm sè y = ax + b (a ≠ 0)
- TÝnh chÊt:
+ Hµm sè ®ång biÕn trªn R khi a > 0.
+ Hµm sè nghÞch biÕn trªn R khi a < 0.
- §å thÞ:
§å thÞ lµ mét ®êng th¼ng ®i qua ®iÓm A(0;b); B(-b/a;0).
4. Hµm sè y = ax
2
(a ≠ 0)
- TÝnh chÊt:
+ NÕu a > 0 hµm sè nghÞch biÕn khi x < 0 vµ ®ång biÕn khi x > 0.
+ NÕu a < 0 hµm sè ®ång biÕn khi x < 0 vµ nghÞch biÕn khi x > 0.
- §å thÞ:
§å thÞ lµ mét ®êng cong Parabol ®i qua gèc to¹ ®é O(0;0).
+ NÕu a > 0 th× ®å thÞ n»m phÝa trªn trôc hoµnh.
+ NÕu a < 0 th× ®å thÞ n»m phÝa díi trôc hoµnh.
5. VÞ trÝ t¬ng ®èi cña hai ®êng th¼ng
XÐt ®êng th¼ng y = ax + b (d) vµ y = a'x + b' (d')
(d) vµ (d') c¾t nhau ↔ a ≠ a'
(d) // (d') ↔ a = a' vµ b ≠ b'
(d) ≡ (d') ↔ a = a' vµ b = b'

6. VÞ trÝ t¬ng ®èi cña ®êng th¼ng vµ ®êng cong.
XÐt ®êng th¼ng y = ax + b (d) vµ y = ax
2
(P)
GV : PHẠM HỒNG PHƯƠNG ĐT : 0976.580.880
Lý thuyt Toỏn 9
(d) và (P) cắt nhau tại hai điểm
(d) tiếp xúc với (P) tại một điểm
(d) và (P) không có điểm chung
7. Phơng trình bậc hai.
Xét phơng trình bậc hai ax
2
+ bx + c = 0 (a 0)
Công thức nghiệm Công thức nghiệm thu gọn
= b
2
- 4ac
Nếu > 0 : Phơng trình có hai nghiệm
phân biệt:
a
b
x
2
1
+
=
;
a
b
x

2
2

=
Nếu = 0 : Phơng trình có nghiệm kép
:
a
b
xx
2
21

==
Nếu < 0 : Phơng trình vô nghiệm
' = b'
2
- ac với b = 2b'
- Nếu ' > 0 : Phơng trình có hai
nghiệm phân biệt:
a
b
x
''
1
+
=
;
a
b
x

''
2

=
- Nếu ' = 0 : Phơng trình có nghiệm
kép:
a
b
xx
'
21

==
- Nếu ' < 0 : Phơng trình vô nghiệm
8. Hệ thức Viet và ứng dụng.
- Hệ thức Viet:
Nếu x
1
, x
2
là nghiệm của phơng trình bậc hai ax
2
+ bx + c = 0 (a0) thì:
1 2
1 2
.
b
S x x
a
c

P x x
a


= + =




= =


- Một số ứng dụng:
+ Tìm hai số u và v biết u + v = S; u.v = P ta giải phơng trình:
x
2
- Sx + P = 0
(Điều kiện S
2
- 4P 0)
+ Nhẩm nghiệm của phơng trình bậc hai ax
2
+ bx + c = 0 (a0)
Nếu a + b + c = 0 thì phơng trình có hai nghiệm:
x
1
= 1 ; x
2
=
c

a
Nếu a - b + c = 0 thì phơng trình có hai nghiệm:
x
1
= -1 ; x
2
=
c
a

9. Giải bài toán bằng cách lập phơng trình, hệ phơng trình
Bớc 1: Lập phơng trình hoặc hệ phơng trình
Bớc 2: Giải phơng trình hoặc hệ phơng trình
Bớc 3: Kiểm tra các nghiệm của phơng trình hoặc hệ phơng trình nghiệm nào thích hợp
với bài toán và kết luận
B. các dạng bài tập
Dạng 1: Rút gọn biểu thức
Bài toán: Rút gọn biểu thức A
Để rút gọn biểu thức A ta thực hiện các bớc sau:
- Quy đồng mẫu thức (nếu có)
GV : PHM HNG PHNG T : 0976.580.880
Lý thuyt Toỏn 9
- Đa bớt thừa số ra ngoài căn thức (nếu có)
- Trục căn thức ở mẫu (nếu có)
- Thực hiện các phép tính: luỹ thừa, khai căn, nhân chia
- Cộng trừ các số hạng đồng dạng.
Dạng 2: Bài toán tính toán
Bài toán 1: Tính giá trị của biểu thức A.
Tính A mà không có điều kiện kèm theo đồng nghĩa với bài toán Rút gọn biểu thức
A

Bài toán 2: Tính giá trị của biểu thức A(x) biết x = a
Cách giải:
- Rút gọn biểu thức A(x).
- Thay x = a vào biểu thức rút gọn.
Dạng 3: Chứng minh đẳng thức
Bài toán: Chứng minh đẳng thức A = B
Một số phơng pháp chứng minh:
- Phơng pháp 1: Dựa vào định nghĩa.
A = B A - B = 0
- Phơng pháp 2: Biến đổi trực tiếp.
A = A
1
= A
2
= = B
- Phơng pháp 3: Phơng pháp so sánh.
A = A
1
= A
2
= = C
B = B
1
= B
2
= = C
- Phơng pháp 4: Phơng pháp tơng đơng.
A = B A' = B' A" = B" (*)
(*) đúng do đó A = B
- Phơng pháp 5: Phơng pháp sử dụng giả thiết.

- Phơng pháp 6: Phơng pháp quy nạp.
- Phơng pháp 7: Phơng pháp dùng biểu thức phụ.
Dạng 4: Chứng minh bất đẳng thức
Bài toán: Chứng minh bất đẳng thức A > B
Một số bất đẳng thức quan trọng:
- Bất đẳng thức Cosi:
n
n
n
aaaa
n
aaaa


321
321

++++
(với
0
321

n
aaaa
)
Dấu = xảy ra khi và chỉ khi:
n
aaaa ====
321

- Bất đẳng thức BunhiaCôpxki:
Với mọi số a
1
; a
2
; a
3
; ; a
n
; b
1
; b
2
; b
3
;b
n
( )
) )( (
22
3
2
2
2
1
22
3
2
2
2

1
2
332211 nnnn
bbbbaaaababababa ++++++++++++
Dấu = xảy ra khi và chỉ khi:
n
n
b
a
b
a
b
a
b
a
====
3
3
2
2
1
1
Một số phơng pháp chứng minh:
- Phơng pháp 1: Dựa vào định nghĩa
A > B A - B > 0
- Phơng pháp 2: Biến đổi trực tiếp
GV : PHM HNG PHNG T : 0976.580.880
A = B
Lý thuyt Toỏn 9
A = A

1
= A
2
= = B + M
2
> B nếu M 0
- Phơng pháp 3: Phơng pháp tơng đơng
A > B A' > B' A" > B" (*)
(*) đúng do đó A > B
- Phơng pháp 4: Phơng pháp dùng tính chất bắc cầu
A > C và C > B A > B
- Phơng pháp 5: Phơng pháp phản chứng
Để chứng minh A > B ta giả sử B > A và dùng các phép biến đổi tơng đơng để dẫn đến
điều vô lí khi đó ta kết luận A > B.
- Phơng pháp 6: Phơng pháp sử dụng giả thiết.
- Phơng pháp 7: Phơng pháp quy nạp.
- Phơng pháp 8: Phơng pháp dùng biểu thức phụ.
Dạng 5: bài toán liên quan tới phơng trình bậc hai
Bài toán 1: Giải phơng trình bậc hai ax
2
+ bx + c = 0 (a0)
Các phơng pháp giải:
- Phơng pháp 1: Phân tích đa về phơng trình tích.
- Phơng pháp 2: Dùng kiến thức về căn bậc hai
x
2
= a x =
a
- Phơng pháp 3: Dùng công thức nghiệm
Ta có = b

2
- 4ac
+ Nếu > 0 : Phơng trình có hai nghiệm phân biệt:
a
b
x
2
1
+
=
;
a
b
x
2
2

=
+ Nếu = 0 : Phơng trình có nghiệm kép

a
b
xx
2
21

==
+ Nếu < 0 : Phơng trình vô nghiệm
- Phơng pháp 4: Dùng công thức nghiệm thu gọn
Ta có ' = b'

2
- ac với b = 2b'
+ Nếu ' > 0 : Phơng trình có hai nghiệm phân biệt:
a
b
x
''
1
+
=
;
a
b
x
''
2

=
+ Nếu ' = 0 : Phơng trình có nghiệm kép

a
b
xx
'
21

==
+ Nếu ' < 0 : Phơng trình vô nghiệm
- Phơng pháp 5: Nhẩm nghiệm nhờ định lí Vi-et.
Nếu x

1
, x
2
là nghiệm của phơng trình bậc hai ax
2
+ bx + c = 0 (a0) thì:







=

=+
a
c
xx
a
b
xx
21
21
.
Chú ý: Nếu a, c trái dấu tức là a.c < 0 thì phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt.
Bài toán 2: Biện luận theo m sự có nghiệm của phơng trình bậc
hai ax
2
+ bx + c = 0 ( trong đó a, b, c phụ thuộc tham số m ).

Xét hệ số a: Có thể có 2 khả năng
GV : PHM HNG PHNG T : 0976.580.880
Lý thuyt Toỏn 9
a. Trờng hợp a = 0 với vài giá trị nào đó của m.
Giả sử a = 0 m = m
0
ta có:
(*) trở thành phơng trình bậc nhất ax + c = 0 (**)
+ Nếu b 0 với m = m
0
: (**) có một nghiệm x = -c/b
+ Nếu b = 0 và c = 0 với m = m
0
: (**) vô định (*) vô định
+ Nếu b = 0 và c 0 với m = m
0
: (**) vô nghiệm (*) vô nghiệm
b. Trờng hợp a 0: Tính hoặc '
+ Tính = b
2
- 4ac
Nếu > 0 : Phơng trình có hai nghiệm phân biệt:
a
b
x
2
1
+
=
;

a
b
x
2
2

=
Nếu = 0 : Phơng trình có nghiệm kép :
a
b
xx
2
21

==
Nếu < 0 : Phơng trình vô nghiệm
+ Tính ' = b'
2
- ac với b = 2b'
Nếu ' > 0 : Phơng trình có hai nghiệm phân biệt:
a
b
x
''
1
+
=
;
a
b

x
''
2

=
Nếu ' = 0 : Phơng trình có nghiệm kép:
a
b
xx
'
21

==
Nếu ' < 0 : Phơng trình vô nghiệm
- Ghi tóm tắt phần biện luận trên.
Bài toán 3: Tìm điều kiện của tham số m để phơng trình bậc hai
ax
2
+ bx + c = 0 ( trong đó a, b, c phụ thuộc tham số m ) có nghiệm.
Có hai khả năng để phơng trình bậc hai ax
2
+ bx + c = 0 có nghiệm:
1. Hoặc a = 0, b 0
2. Hoặc a 0, 0 hoặc ' 0
Tập hợp các giá trị m là toàn bộ các giá trị m thoả mãn điều kiện 1 hoặc điều kiện 2.
Bài toán 4: Tìm điều kiện của tham số m để phơng trình bậc hai
ax
2
+ bx + c = 0 ( a, b, c phụ thuộc tham số m ) có 2 nghiệm phân biệt.
Điều kiện có hai nghiệm phân biệt

>

0
0a
hoặc



>

0
0
'
a
Bài toán 5: Tìm điều kiện của tham số m để phơng trình bậc hai
ax
2
+ bx + c = 0 ( trong đó a, b, c phụ thuộc tham số m ) có 1 nghiệm.
Điều kiện có một nghiệm:




=
0
0
b

a
hoặc



=

0
0a
hoặc



=

0
0
'
a
Bài toán 6: Tìm điều kiện của tham số m để phơng trình bậc hai ax
2
+ bx + c = 0 (
trong đó a, b, c phụ thuộc tham số m ) có nghiệm kép.
Điều kiện có nghiệm kép:



=

0

0a
hoặc



=

0
0
'
a
Bài toán 7: Tìm điều kiện của tham số m để phơng trình bậc hai ax
2
+ bx + c = 0 (
trong đó a, b, c phụ thuộc tham số m ) vô nghiệm.
Điều kiện có một nghiệm:



<

0
0a
hoặc



<

0

0
'
a
GV : PHM HNG PHNG T : 0976.580.880
Lý thuyt Toỏn 9
Bài toán 8: Tìm điều kiện của tham số m để phơng trình bậc hai ax
2
+ bx + c = 0
( trong đó a, b, c phụ thuộc tham số m ) có 1 nghiệm.
Điều kiện có một nghiệm:




=
0
0
b
a
hoặc



=

0
0a
hoặc

=

0
0
'
a
Bài toán 9 : Tìm điều kiện của tham số m để phơng trình bậc hai ax
2
+ bx + c = 0
( a, b, c phụ thuộc tham số m ) có hai nghiệm cùng dấu.
Điều kiện có hai nghiệm cùng dấu:






>=

0
0
a
c
P
hoặc

>=

0
0
'
a
c
P
Bài toán 10 :Tìm điều kiện của tham số m để phơng trình bậc hai ax
2
+ bx + c = 0
(a, b, c phụ thuộc tham số m) có 2 nghiệm dơng.
Điều kiện có hai nghiệm dơng:










>=
>=

0
0
0

a
b
S
a
c
P
hoặc









>=
>=

0
0
0
'
a
b
S
a
c
P
Bài toán 11 : Tìm điều kiện của tham số m để phơng trình bậc hai ax

2
+ bx + c = 0
( trong đó a, b, c phụ thuộc tham số m ) có 2 nghiệm âm.
Điều kiện có hai nghiệm âm:










<=
>=

0
0
0
a
b
S
a
c
P
hoặc

<=
>=

0
0
0
'
a
b
S
a
c
P
Bài toán 12 : Tìm điều kiện của tham số m để phơng trình bậc hai ax
2
+ bx + c = 0 ( a,
b, c phụ thuộc tham số m) có 2 nghiệm trái dấu.
Điều kiện có hai nghiệm trái dấu:
P < 0 hoặc a và c trái dấu.
Bài toán 13 : Tìm điều kiện của tham số m để phơng trình bậc hai ax
2
+ bx + c = 0 (*) (
a, b, c phụ thuộc tham số m) có một nghiệm x = x
1

.
Cách giải:
- Thay x = x
1
vào phơng trình (*) ta có: ax
1
2
+ bx
1
+ c = 0 m
- Thay giá trị của m vào (*) x
1
, x
2
- Hoặc tính x
2
= S - x
1
hoặc x
2
=
1
x
P
Bài toán 14 : Tìm điều kiện của tham số m để phơng trình bậc hai ax
2
+ bx + c = 0 ( a,
b, c phụ thuộc tham số m) có 2 nghiệm x
1
, x

2
thoả mãn các điều kiện:
a.

=+
21
xx
b.
kxx =+
2
2
2
1
c.
n
xx
=+
21
11
d.
hxx +
2
2
2
1
e.
txx =+
3
2
3

1
Điều kiện chung: 0 hoặc ' 0 (*)
Theo định lí Viet ta có:
GV : PHM HNG PHNG T : 0976.580.880
Lý thuyt Toỏn 9







==
=

=+
)2(.
)1(
21
21
P
a
c
xx
S
a
b
xx
a. Trờng hợp:

=+
21
xx
Giải hệ





=+

=+

21
21
xx
a
b
xx
Thay x
1
, x
2
vào (2) m
Chọn các giá trị của m thoả mãn (*)
b. Trờng hợp:
kxxxxkxx =+=+
21
2
21

2
2
2
1
2)(

Thay x
1
+ x
2
= S =
a
b
và x
1
.x
2
= P =
a
c
vào ta có:
S
2
- 2P = k Tìm đợc giá trị của m thoả mãn (*)
c. Trờng hợp:
ncbxnxxxn
xx
==+=+
2121
21

.
11
Giải phơng trình - b = nc tìm đợc m thoả mãn (*)
d. Trờng hợp:
02
22
2
2
1
+ hPShxx

Giải bất phơng trình S
2
- 2P - h 0 chọn m thoả mãn (*)
e. Trờng hợp:
tPSStxx ==+ 3
33
2
3
1
Giải phơng trình
tPSS =3
3
chọn m thoả mãn (*)
Bài toán 15 : Tìm hai số u và v biết tổng u + v = S và tích u.v = P của chúng.
Ta có u và v là nghiệm của phơng trình:
x
2
- Sx + P = 0 (*)
(Điều kiện S

2
- 4P 0)
Giải phơng trình (*) ta tìm đợc hai số u và v cần tìm.
Nội dung 6:
giải phơng trình bằng phơng pháp đặt ẩn số phụ
Bài toán1: Giải phơng trình trùng phơng ax
4
+ bx
2
+ c = 0
Đặt t = x
2
(t0) ta có phơng trình at
2
+ bt + c = 0
Giải phơng trình bậc hai ẩn t sau đó thay vào tìm ẩn x
Bảng tóm tắt
at
2
+ bt + c = 0 ax
4
+ bx
2
+ c = 0
vô nghiệm vô nghiệm
2 nghiệm âm vô nghiệm
nghiệm kép âm vô nghiệm
1 nghiệm dơng 2 nghiệm đối nhau
2 nghiệm dơng
4 nghiệm

2 cặp nghiệm đối nhau
Bài toán 2: Giải phơng trình
0)
1
()
1
(
2
2
=++++ C
x
xB
x
xA
Đặt
x
x
1
+
= t x
2
- tx + 1 = 0
Suy ra t
2
= (
x
x
1
+
)

2
=
2
1
2
2
++
x
x

2
1
2
2
2
=+ t
x
x
GV : PHM HNG PHNG T : 0976.580.880
x
1
, x
2
Lý thuyt Toỏn 9
Thay vào phơng trình ta có:
A(t
2
- 2) + Bt + C = 0
At
2

+ Bt + C - 2A = 0
Giải phơng trình ẩn t sau đó thế vào
x
x
1
+
= t giải tìm x.
Bài toán 3: Giải phơng trình
0)
1
()
1
(
2
2
=+++ C
x
xB
x
xA
Đặt
x
x
1

= t x
2
- tx - 1 = 0
Suy ra t
2

= (
x
x
1

)
2
=
2
1
2
2
+
x
x

2
1
2
2
2
+=+ t
x
x
Thay vào phơng trình ta có:
A(t
2
+ 2) + Bt + C = 0
At
2

+ Bt + C + 2A = 0
Giải phơng trình ẩn t sau đó thế vào
x
x
1

= t giải tìm x.
Bài toán 4: Giải phơng trình bậc cao
Dùng các phép biến đổi đa phơng trình bậc cao về dạng:
+ Phơng trình tích
+ Phơng trình bậc hai.
Nội dung 7:
giải hệ phơng trình

Bài toán: Giải hệ phơng trình



=+
=+
''' cybxa
cbyax
Các phơng pháp giải:
+ Phơng pháp đồ thị
+ Phơng pháp cộng
+ Phơng pháp thế
+ Phơng pháp đặt ẩn phụ
Nội dung 7:
giải phơng trình vô tỉ

Bài toán 1: Giải phơng trình dạng
)()( xgxf =
(1)
Ta có
[ ]



=

=
)3()()(
)2(0)(
)()(
2
xgxf
xg
xgxf
Giải (3) đối chiếu điều kiện (2) chọn nghiệm thích hợp nghiệm của (1)
Bài toán 2: Giải phơng trình dạng
)()()( xgxhxf =+
Điều kiện có nghĩa của phơng trình

0)(
0)(
0)(
xg
xh
xf
Với điều kiện trên thoả mãn ta bình phơng hai vế để giải tìm x.
GV : PHM HNG PHNG T : 0976.580.880
Lý thuyt Toỏn 9
Nội dung 8:
giải phơng trình chứa giá trị tuyệt đối
Bài toán: Giải phơng trình dạng
)()( xgxf
=
Phơng pháp 1:
)()( xgxf
=

[ ] [ ]



=

22
)()(
0)(
xgxf
xg

Phơng pháp 2: Xét f(x) 0 f(x) = g(x)
Xét f(x) < 0 - f(x) = g(x)
Phơng pháp 3: Với g(x) 0 ta có f(x) = g(x)
Nội dung 9:
giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Bài toán: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x)
Phơng pháp 1: Dựa vào luỹ thừa bậc chẵn.
- Biến đổi hàm số y = f(x) sao cho:
y = M - [g(x)]
2n
,

n Z y M
Do đó y
max
= M khi g(x) = 0
- Biến đổi hàm số y = f(x) sao cho:
y = m + [h(x)]
2k
kZ y m
Do đó y
min
= m khi h(x) = 0
Phơng pháp 2: Dựa vào tập giá trị hàm.
Phơng pháp 3: Dựa vào đẳng thức.
Nội dung 10:
các bài toán liên quan đến hàm số
* Điểm thuộc đờng - đờng đi qua một điểm
Bài toán: Cho (C) là đồ thị của hàm số y = f(x) và một điểm A(x
A

;y
A
).
Hỏi (C) có đi qua A không?
Đồ thị (C) đi qua A(x
A
;y
A
) khi và chỉ khi toạ độ của A nghiệm đúng phơng trình
của (C)
A(C) y
A
= f(x
A
)
Dó đó tính f(x
A
)
Nếu f(x
A
) = y
A
thì (C) đi qua A.
Nếu f(x
A
) y
A
thì (C) không đi qua A.
* sự tơng giao của hai đồ thị
Bài toán : Cho (C) và (L) theo thứ tự là độ thị hàm số

y = f(x) và y = g(x)
Hãy khảo sát sự tơng giao của hai đồ thị
Toạ độ điểm chung của (C) và (L) là nghiệm của phơng trình hoành độ điểm chung:
f(x) = g(x) (*)
- Nếu (*) vô nghiệm thì (C) và (L) không có điểm chung.
- Nếu (*) có nghiệm kép thì (C) và (L) tiếp xúc nhau.
- Nếu (*) có 1 nghiệm thì (C) và (L) có 1 điểm chung.
GV : PHM HNG PHNG T : 0976.580.880
Lý thuyt Toỏn 9
- Nếu (*) có 2 nghiệm thì (C) và (L) có 2 điểm chung.
* lập phơng trình đờng thẳng
Bài toán 1: Lập phơng trình của đờng thẳng (D) đi qua điểm A(x
A
;y
A
) và có hệ số
góc bằng k.
Phơng trình tổng quát của đờng thẳng (D) là : y = ax + b (*)
- Xác định a: ta có a = k
- Xác định b: (D) đi qua A(x
A
;y
A
) nên ta có y
A
= kx
A
+ b b = y
A
- kx

A
- Thay a = k; b = y
A
- kx
A
vào (*) ta có phơng trình của (D)
Bài toán 2: Lập phơng trình của đờng thẳng (D) đi qua điểm A(x
A
;y
A
); B(x
B
;y
B
)
Phơng trình tổng quát của đờng thẳng (D) là : y = ax + b
(D) đi qua A và B nên ta có:



+=
+=
b ax y
b ax y
BB
AA
Giải hệ ta tìm đợc a và b suy ra phơng trình của (D)
Bài toán 3: Lập phơng trình của đờng thẳng (D) có hệ số góc k và tiếp xúc với đ-
ờng cong (C): y = f(x)
Phơng trình tổng quát của đờng thẳng (D) là : y = kx + b

Phơng trình hoành độ điểm chung của (D) và (P) là:
f(x) = kx + b (*)
Vì (D) tiếp xúc với (P) nên (*) có nghiệm kép. Từ điều kiện này ta tìm đợc b và suy ra
phơng trình của (D)
Bài toán 3: Lập phơng trình của đờng thẳng (D) đi qua điểm A(x
A
;y
A
) k và tiếp
xúc với đờng cong (C): y = f(x)
Phơng trình tổng quát của đờng thẳng (D) là : y = kx + b
Phơng trình hoành độ điểm chung của (D) và (P) là:
f(x) = kx + b (*)
Vì (D) tiếp xúc với (P) nên (*) có nghiệm kép.
Từ điều kiện này ta tìm đợc hệ thức liên hệ giữa a và b (**)
Mặt khác: (D) qua A(x
A
;y
A
) do đó ta có y
A
= ax
A
+ b (***)
Từ (**) và (***) a và b Phơng trình đờng thẳng (D).
GV : PHM HNG PHNG T : 0976.580.880
Lý thuyt Toỏn 9
A. Kiến thức cần nhớ.
1. Hệ thức lợng trong tam giác vuông.
b

2
= ab' c
2
= ac'
h
2
= b'c'
ah = bc
a
2
= b
2
+ c
2

222
111
cbh
+=
2. Tỉ số l ợng giác của góc nhọn .
0 < sin < 1 0 < coss < 1




cos
sin
=tg

sin
cos
cot =g
sin
2
+ cos
2
= 1
tg.cotg = 1


2
2
cos
1
1 =+ tg



2
2
sin
1
cot1 =+ g
3. Hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông.
b = asinB = acosC
b = ctgB = ccotgC
c = a sinC = acosB

c = btgC = bcotg B
4. Đ ờng tròn .
- Cách xác định: Qua ba điểm không thẳng hàng ta vẽ đợc một và chỉ một đờng tròn.
- Tâm đối xứng, trục đối xứng : Đờng tròn có một tâm đối xứng; có vô số trục đối xứng.
- Quan hệ vuông góc giữa đờng kính và dây.
Trong một đờng tròn
+ Đờng kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy
+ Đờng kính đi qua trung điểm của một dây không đi qua tâm thì vuông góc với dây ấy.
- Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây:
Trong một đờng tròn:
+ Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm
+ Hai dây cách đều tâm thì bằng nhau
+ Dây nào lớn hơn thì dây đó gần tâm hơn
+ Dây nào gần tâm hơn thì dây đó lớn hơn
- Liên hệ giữa cung và dây:
Trong một đờng tròn hay trong hai đờng tròn bằng nhau:
+ Hai cung bằng nhau căng hai dây bằng nhau
+ Hai dây bằng nhau căng hai cung bằng nhau
GV : PHM HNG PHNG T : 0976.580.880
Phần II: HèNH HC
a
b'
c'
b
c
h
H
B
C
A

b
a
c
C
B
A
Lý thuyt Toỏn 9
+ Cung lớn hơn căng dây lớn hơn
+ Dây lớn hơn căng cung lớn hơn.
- Vị trí tơng đối của đờng thẳng và đờng tròn:
Vị trí tơng đối Số điểm chung
Hệ thức liên hệ
giữa d và R
- Đờng thẳng và đờng tròn cắt nhau
2 d < R
- Đờng thẳng và đờng tròn tiếp xúc nhau
1 d = R
- Đờng thẳng và đờng tròn không giao nhau
0 d > R
- Vị trí tơng đối của đờng thẳng và đờng tròn:
Vị trí tơng đối
Số điểm
chung
Hệ thức liên hệ giữa d
và R
- Hai đờng tròn cắt nhau
2 R - r < OO' < R + r
- Hai đờng tròn tiếp xúc nhau
+ Tiếp xúc ngoài
+ Tiếp xúc trong

1
OO' = R + r
OO' = R - r
- Hai đờng tròn không giao nhau
+ (O) và (O') ở ngoài nhau
+ (O) đựng (O')
+ (O) và (O') đồng tâm

0
OO' > R + r

OO' < R - r
OO' = 0
GV : PHM HNG PHNG T : 0976.580.880
Lý thuyt Toỏn 9
5. Tiếp tuyến của đờng tròn
- Tính chất của tiếp tuyến: Tiếp tuyến vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm.
- Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến:
+ Đờng thẳng và đờng tròn chỉ có một điểm chung
+ Khoảng cách từ tâm của đờng tròn đến đờng thẳng bằng bán kính
+ Đờng thẳng đi qua một điểm của đờng tròn và vuông góc với bán kính đi qua điểm
đó.
- Tính chất của 2 tiếp tuyến cắt nhau
MA, MB là hai tiếp tuyến cắt nhau thì:
+ MA = MB
+ MO là phân giác của góc AMB
+ OM là phân giác của góc AOB
- Tiếp tuyến chung của hai đờng tròn: là đờng
thẳng tiếp xúc với cả hai đờng tròn đó:
Tiếp tuyến chung ngoài Tiếp tuyến chung trong

6. Góc với đờng tròn
Loại góc Hình vẽ Công thức tính số đo
1. Góc ở tâm
ã
ằ
AOB sd AB=
2. Góc nội tiếp

ã
ằ
1
2
AMB sd AB=
3. Góc tạo bởi tia tiếp tuyến
và dây cung.

ã
ằ
1
2
xBA sd AB=
GV : PHM HNG PHNG T : 0976.580.880
B
O
A
M
d'
d
O'
O

d'
d
O'
O
B
A
O
M
B
A
O
x
B
A
O
Lý thuyt Toỏn 9
4. Góc có đỉnh ở bên trong đ-
ờng tròn
ã
ằ
ằ
1
( )
2
AMB sd AB sdCD= +
5. Góc có đỉnh ở bên ngoài đ-
ờng tròn
ã
ằ
ằ

1
( )
2
AMB sd AB sdCD=
Chú ý: Trong một đờng tròn
- Các góc nội tiếp bằng nhau chắn các cung bằng nhau
- Các góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau
- Các góc nội tiếp chắn các cung bằng nhau thì bằng nhau
- Góc nội tiếp nhỏ hơn hoặc bằng 90
0
có số đo bằng nửa số đo của góc ở tâm cùng chắn
một cung.
- Góc nội tiếp chắn nửa đờng tròn là góc vuông và ngợc lại góc vuông nội tiếp thì chắn
nửa đờng tròn.
- Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng
nhau.
7. Độ dài đờng tròn - Độ dài cung tròn.
- Độ dài đờng tròn bán kính R: C = 2R = d
- Độ dài cung tròn n
0
bán kính R :
180
Rn
l

=
8. Diện tích hình tròn - Diện tích hình quạt tròn
- Diện tích hình tròn: S = R
2
- Diện tích hình quạt tròn bán kính R, cong n

0
:
2
360 2
R n lR
S

= =
9. Các loại đờng tròn
Đờng tròn ngoại tiếp
tam giác
Đờng tròn nội tiếp
tam giác
Đờng tròn bàng tiếp
tam giác
Tâm đờng tròn là giao
của ba đờng trung trực
của tam giác
Tâm đờng tròn là giao của
ba đờng phân giác trong của
tam giác
Tâm của đờng tròn bàng
tiếp trong góc A là giao
điểm của hai đờng phân
giác các góc ngoài tại B
hoặc C hoặc là giao điểm
của đờng phân giác góc A
và đờng phân giác ngoài
GV : PHM HNG PHNG T : 0976.580.880
M

D
C
B
A
O
O
B
A
D
C
M
O
C
B
A
O
C
B
A
F
E
J
B
C
A
Lý thuyt Toỏn 9
tại B (hoặc C)
10. Các loại hình không gian.
a. Hình trụ.
- Diện tích xung quanh: S

xq
= 2rh
- Diện tích toàn phần: S
tp
= 2rh + r
2
- Thể tích hình trụ: V = Sh = r
2
h
b. Hình nón:
- Diện tích xung quanh: S
xq
= 2rl
- Diện tích toàn phần: S
tp
= 2rl + r
2
- Thể tích hình trụ: V =
2
1
r
3
h

c. Hình nón cụt:
- Diện tích xung quanh: Sxq = (r
1
+ r
2
)l

- Thể tích: V =
2 2
1 2 1 2
1
( )
3
h r r r r

+ +
d. Hình cầu.
- Diện tích mặt cầu: S = 4R
2
= d
- Thể tích hình cầu: V =
3
4
3
R

11. Tứ giác nội tiếp:
Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp:
- Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180
0
- Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diện
- Tứ giác có 4 đỉnh cách đều một điểm.
- Tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh còn lại dới một góc .
B. các dạng bài tập.
Dạng 1: Chứng minh hai góc bằng nhau.
Cách chứng minh:
- Chứng minh hai góc cùng bằng góc thứ ba

- Chứng minh hai góc bằng với hai góc bằng nhau khác
- Hai góc bằng tổng hoặc hiệu của hai góc theo thứ tự đôi một bằng nhau
- Hai góc cùng phụ (hoặc cùng bù) với góc thứ ba
- Hai góc cùng nhọn hoặc cùng tù có các cạnh đôi một song song hoặc vuông góc
- Hai góc ó le trong, so le ngoài hoặc đồng vị
- Hai góc ở vị trí đối đỉnh
- Hai góc của cùng mộ tam giác cân hoặc đều
- Hai góc tơng ứng của hai tam giác bằng nhau hoặc đồng dạng
- Hai góc nội tiếp cùng chắn một cung hoặc chắn hai cung bằng nhau.
Dạng 2: Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau
Cách chứng minh:
- Chứng minh hai đoạn thẳng cùng bằng đoạn thứ ba
- Hai cạnh của mmột tam giác cân hoặc tam giác đều
- Hai cạnh tơng ứng của hai tam giác bằng nhau
- Hai cạnh đối của hình bình hành (chữ nhật, hình thoi, hình vuông)
- Hai cạnh bên của hình thang cân
- Hai dây trơng hai cung bằng nhau trong một đờng tròn hoặc hai đờng bằng nhau.
GV : PHM HNG PHNG T : 0976.580.880
r: bán kính
Trong đó
h: chiều cao
r: bán kính
Trong đó l: đờng sinh
h: chiều cao
r
1
: bán kính dáy lớn
r
2
: bán kính đáy nhỏ

Trong đó l: đờng sinh
h: chiều cao
R: bán kính
Trong đó
d: đờng kính
Lý thuyt Toỏn 9
Dạng 2: Chứng minh hai đờng thẳng song song
Cách chứng minh:
- Chứng minh hai đờng thẳng cùng song song với đờng thẳng thứ ba
- Chứng minh hai đờng thẳng cùng vuông góc với đờng thẳng thứ ba
- Chứng minh chúng cùng tạo với một cát tuyến hai góc bằng nhau:
+ ở vị trí so le trong
+ ở vị trí so le ngoài
+ ở vị trí đồng vị.
- Là hai dây chắn giữa chúng hai cung bằng nhau trong một đờng tròn
- Chúng là hai cạnh đối của một hình bình hành
Dạng 3: Chứng minh hai đờng thẳng vuông góc
Cách chứng minh:
- Chúng song song song song với hai đờng thẳng vuông góc khác.
- Chứng minh chúng là chân đờng cao trong một tam giác.
- Đờng kính đi qua trung điểm dây và dây.
- Chúng là phân giác của hai góc kề bù nhau.
Dạng 4: Chứng minh ba đờng thẳng đồng quy.
Cách chứng minh:
- Chứng minh chúng là ba đờng cao, ba trung tuyến, ba trung trực, ba phân giác trong
(hoặc một phân giác trong và phân giác ngoài của hai góc kia)
- Vận dụng định lí đảo của định lí Talet.
Dạng 5: Chứng minh hai tam giác bằng nhau
Cách chứng minh:
* Hai tam giác thờng:

- Trờng hợp góc - cạnh - góc (g-c-g)
- Trờng hợp cạnh - góc - cạnh (c-g-c)
- Trờng hợp cạnh - cạnh - cạnh (c-c-c)
* Hai tam giác vuông:
- Có cạnh huyền và một góc nhọn bằng nhau
- Có cạnh huyền bằng nhau và một cạnh góc vuông bằng nhau
- Cạnh góc vuông đôi một bằng nhau
Dạng 6: Chứng minh hai tam giác đồng dạng
Cách chứng minh:
* Hai tam giác thờng:
- Có hai góc bằng nhau đôi một
- Có một góc bằng nhau xen giữa hai cạnh tơng ứng tỷ lệ
- Có ba cạnh tơng ứng tỷ lệ
* Hai tam giác vuông:
- Có một góc nhọn bằng nhau
- Có hai cạnh góc vuông tơng ứng tỷ lệ
Dạng 7: Chứng minh đẳng thức hình học
Cách chứng minh:
Giả sử phải chứng minh đẳng thức: MA.MB = MC.MD (*)
- Chứng minh: MAC MDB hoặc MAD MCB
- Nếu 5 điểm M, A, B, C, D cúng nằm trên một đờng thẳng thì phải chứng minh các
tích trên cùng bằng tích thứ ba:
MA.MB = ME.MF
MC.MD = ME.MF
Tức là ta chứng minh: MAE MFB
GV : PHM HNG PHNG T : 0976.580.880
Lý thuyt Toỏn 9
MCE MFD
MA.MB = MC.MD
* Trờng hợp đặc biệt: MT

2
= MA.MB ta chứng minh MTA MBT
Dạng 8: Chứng minh tứ giác nội tiếp
Cách chứng minh:
Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp:
- Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180
0
- Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diện
- Tứ giác có 4 đỉnh cách đều một điểm.
- Tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh còn lại dới một góc .
Dạng 9: Chứng minh MT là tiếp tuyến của đờng tròn (O;R)
Cách chứng minh:
- Chứng minh OT MT tại T (O;R)
- Chứng minh khoảng cách từ tâm O đến đờng thẳng MT bằng bán kính
- Dùng góc nội tiếp.
Dạng 10: Các bài toán tính toán độ dài cạnh, độ lớn góc
Cách tính:
- Dựa vào hệ thức lợng trong tam giác vuông.
- Dựa vào tỷ số lợng giác
- Dựa vào hệ thức giữa cạnh và góc trong tam giác vuông
- Dựa vào công thức tính độ dài, diện tích, thể tích
Vn : nh ngha v s xỏc nh ng trũn.
1. Tp hp cỏc im cỏch O cho trc mt khong R khụng i gi l ng trũn tõm
O bỏn kớnh R. Kớ hiu: (O; R).
2. xỏc nh c ng trũn ta cú cỏc cỏch sau:
2.1. Bit tõm O v bỏn kớnh R.
2.2. Bit 3 im khụng thng hng nm trờn ng trũn.
3. Cho (O; R) v im M. Khi ú cú cỏc kh nng sau:
3.1. Nu MO > R thỡ M nm ngoi ng trũn (O; R).
3.2. Nu MO=R thỡ M nm trờn ng trũn (O;R). Kớ hiu: M (O; R).

3.3. Nu MO < R thỡ M nm trong ng trũn (O; R).
4. Dõy cung l on thng ni hai im trờn ng trũn. ng kớnh l dõy cung qua
tõm. Vy ng kớnh l dõy cung ln nht trong mt ng trũn.
5. Mun c/m cỏc im cựng nm trờn (O; R) ta ch ra khong cỏch t mi im n O
u l R. Cỏc cỏch khỏc sau ny xột sau.
6. ng trũn qua hai im A v B cú tõm nm trờn trung trc ca AB.
7. ng trũn ngoi tip tam giỏc vuụng cú tõm l trung im cnh huyn.
Vn : tớnh cht i xng xa ng trũn.
1. ng trũn l hỡnh cú mt tõm i xng l tõm ng trũn ú.
2. ng trũn cú vụ s trc i xng l mi ng kớnh ca nú.
3. ng kớnh vuụng gúc dõy cung thỡ i qua trung im v ngc li.
4. Hai dõy cung bng nhau khi v ch khi chỳng cỏch u tõm.
5. Dõy cung no gn tõm hn thỡ di hn v ngc li.
6. Vn dng cỏc tớnh cht trờn ta cú th tớnh di cỏc on v c/m cỏc tớnh cht cng
nh so sỏnh cỏc on thng da vo ng trũn.
Vn : v trớ tng i gia ng thng v ng trũn.
GV : PHM HNG PHNG T : 0976.580.880
Lý thuyết Toán 9
1. Khoảng cách từ 1 điểm đến đường thẳng là độ dài đường vuông góc từ điểm đó đến
đường thẳng.
2. Cho đường tròn (O; R) và đường thẳng d khi đó có các trường hợp sau:
2.1. Nếu d(O;d) = OH > R thì đường thẳng và đường tròn không có điểm chung.
Ta nói đường thẳng và đường tròn ngoài nhau hoặc không cắt nhau.
2.2. Nếu d(O; d) = OH = R khi đó đường thẳng và đường tròn có một điểm chung
duy nhất chính là H. Khi đó ta nói đườngthẳng tiếp xúc đường tròn (đường
thẳng này gọi là tiếp tuyến của (O)).
2.3. Nếu d(O; d) = OH < R thì đường thẳng d cắt đường tròn (O; R) tại hai điểm
phân biệt A và B. Đường thẳng này gọi là cát tuyến với (O; R).
3. Vậy muốn xác định vị trí của đường thẳng d và đường tròn ta cần tìm bán kính R và
khoảng cách d(O; d) rồi so sánh và kết luận.

Vấn đề: tiếp tuyến của đường tròn.
1. Cho (O; R) tiếp tuyến của (O; R) là một đường thẳng tiếp xúc với (O; R).
2. Vậy d là tiếp tuyến (O; R) <=> d ⊥ OA tại A. A gọi là tiếp điểm.
.O
D A
3. Nói cách khác : d là tiếp tuyến của (O; R) <=> d(O; d) =R.
4. Ta có tính chất: từ một điểm M nằm ngoài (O; R) ta kẽ được hai tiếp tuyến đến (O;
R) tại hai tiếp điểm A và B khi đó MA=MB.
5. Từ một điểm A trên (O; R) ta kẽ được một tiếp tuyến duy nhất, đó là đường thẳng
qua A và vuông góc bán kính OA.
6. Từ hai điểm A và B trên (O) kẽ hai tiếp tuyến cắt nhau tại M thì MA= MB.
A
O. M
B
7. Ngoài ra ta còn có : MO là phân giác của góc AOB và OM là phân giác góc AOB.
8. Phương pháp vẽ tiếp tuyến với (O) từ một điểm nằm ngoài (O).
8.1. Ta nối OM.
8.2. Vẽ ( I; OM/2) cắt (O) tại hai điểm A và B.
8.3. Nối MA và MB được hai tiếp tuyến.
.Vấn đề: vị trí tương đối của hai đường tròn.
1. Cho hai đường tròn (O; R) và (O’; R’) khi đó dựa vào khoảng cách OO’ và R; R’ ta
có các khả năng sau:
2. Nếu OO’ = R-R’ với R > R’ thì hai đường tròn này tiếp xúc trong.
3. Nếu OO’ = R +R’ thì hai đường tròn có một điểm chung và điểm này là giao điểm
của OO’ và hai đường tròn. Ta gọi hai đường tròn tiếp xúc ngoài.
4. Nếu OO’ < R+R’ thì hai đường tròn này cắt nhau tại hai điểm. Hai điểm này nhận
OO’ làm trung trực.
GV : PHẠM HỒNG PHƯƠNG ĐT : 0976.580.880