Chuyên đề giới hạn hàm số

GIỚI HẠN HÀM SỐ
(Trích tạp chí THTT)
LaTeX:
02/10/2012
Mục lục
1 Giới hạn hàm số của dạng vô định
0
0
2
1.1 Dạng 1: Dạng vô định
0
0
của hàm phân thức đại số . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Dạng 2: Dạng vô định
0
0
của hàm phân thức chứa căn thức bậc hai . . . 2
1.3 Dạng vô dịnh
0
0
của hàm phân thức chứa căn thức bậc 3 . . . . . . . . . . 3
1.4 Dạng 4: Dạng vô định
0
0
của hàm phân thức chứa căn thức bậc cao . . . 3
1.5 Dạng 5: Dạng vô định
0
0
của hàm phân thức chứa căn thức không cùng
bậc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.6 Dạng 6: Dạng vô định

0
0
của một hàm hàm số lượng giác . . . . . . . . . 4
1.7 Dạng 7: Dạng vô định
0
0
của hàm số mũ và hàm số logarit . . . . . . . . . 4
1.8 Dạng 8: Áp dụng định nghĩa đạo hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2 Giới hạn hàm số của dạng vô định
∞
∞
, ∞ −∞, 1
∞
, 0.∞ 6
2.1 Dạng vô dịnh
∞
∞
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.2 Dạng vô định ∞ −∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.3 Dạng vô định 1
∞
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.4 Dạng vô định 0.∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3 Một số dạng toán liên quan 7
3.1 Dạng 1: Xét tính liên tục của hàm số tại một điểm . . . . . . . . . . . . . 7
3.2 Dạng 2: Tính đạo hàm của hàm số tại một điểm . . . . . . . . . . . . . . . 8
1
1 Giới hạn hàm số của dạng vô định
0
0

1.1 Dạng 1: Dạng vô định
0
0
của hàm phân thức đại số
Tìm lim
x→x
0
f(x)
g(x)
trong đó f(x), g(x) là các hàm đa thức khác 0 nhận x = x
0
là nghiệm
Cách giải: Ta có lim
x→x
0
f(x)
g(x)
= lim
x→x
0
(x −x
0
)f
1
(x)
(x −x
0
)g
1
(x)

= lim
x→x
0
f
1
(x)
g
1
(x)
= = lim
x→x
0
f
k
(x)
g
k
(x)
=
f
k
(x
0
)
g
k
(x
0
)
. Với

điều kiện f
2
k
(x
0
) + g
2
k
(x
0
)
Thí dụ 1: Tính lim
x→1
x
3
+ x
2
− 2
x
4
− x
3
+ x
2
+ x − 2
Bài tập tự luyện
Tìm các giới hạn sau:
a. lim
x→
1

2
8x
3
− 1
6x
2
− 5x + 1
b. lim
x→1
2x
4
− 5x
3
+ 3x
2
+ x − 1
3x
4
− 8x
3
+ 6x
2
− 1
c. lim
x→
√
2
2x
3
− (4

√
2 + 1)x
2
+ (4 + 2
√
2)x − 2
x
3
− (2
√
2 + 1)x
2
+ (2 + 2
√
2)x − 2
1.2 Dạng 2: Dạng vô định
0
0
của hàm phân thức chứa căn thức bậc
hai
Tìm lim
x→x
0

f(x) − a
g(x)
trong đó

f(x
0

) = a và g(x
0
) = 0
Cách giải: Khi đó thực hiện phép nhân biểu thức liên hợp

f(x) + a ta được lim
x→x
0

f(x) − a
g(x)
=
lim
x→x
0
f(x) − a
2
g(x)(

f(x) + a)
= lim
x→x
0
(x − x
0
)f
1
(x)
(


f(x) + a)(x −x
0
)g
1
(x)
= lim
x→x
0
f
1
(x)
(

f(x) + a)g
1
(x)
=
f
1
(x
0
)
2a.g
1
(x
0
)
Chú ý: Việc tìm các giới hạn lim
x→x
0


f(x) − a

g(x) − b
, lim
x→x
0

f
1
(x) −

f
2
(x)
g(x)
, lim
x→x
0

f
1
(x) −

f
2
(x)

g
1

(x) −

g
2
(x)
hoàn toàn tương tự.
Thí dụ 2: Tính lim
x→1
√
x + 8 −3
x
2
+ 2x − 3
Thí dụ 3: Tính lim
x→1
√
x +
√
x − 1 −1
√
x
2
− 1
Chú ý: Khi tìm giới hạn hàm phân thức chứa căn bậc 2 dạng
0
0
đôi khi ta tách thành tổng các
phân thức dạng trên rồi nhân lượng liên hợp.
Bài tập tự luyện
Tính các giới hạn sau:

a. lim
x→2
√
x + 2 −
√
2x
√
x − 1 −
√
3 − x
b. lim
x→1
x − 1
√
x
2
+ 3 + x
3
− 3x
c. lim
x→2
√
x − 1 + x
4
− 3x
3
+ x
2
+ 3
√

2x − 2
2
1.3 Dạng vô dịnh
0
0
của hàm phân thức chứa căn thức bậc 3
Tìm lim
x→x
0
3

f(x) − a
g(x)
trong đó
3

f(x
0
) = a và g(x
0
) = 0
Cách giải: Thực hiện phép nhân biểu thức liên hợp
3

f
2
(x) + a
3

f(x) + a

2
Chú ý: Việc tìm các giới hạn dạng lim
x→x
0
3

f(x) + a
g(x)
; lim
x→x
0
3

f(x) ± a
3

g(x) ± b
;
lim
x→x
0
3

f(x) ± a

g(x) − b
; lim
x→x
0
3


f
1
(x) ±
3

f
2
(x)

g
1
(x) −

g
2
(x)
;
lim
x→x
0
3

f
1
(x) ±
3

f
2

(x)
3

g
1
(x) ±
3

g
2
(x)
hoàn toàn tương tự.
Thí dụ 4: Tính lim
x→2
3
√
4x − 2
x − 2
ĐS:
1
3
Thí dụ 5: Tính lim
x→−1
3
√
x + x
2
+ x + 1
x + 1
Bài tập tự luyện: Tính các giới hạn sau:

a. lim
x→1
3
√
2x − 1 −
3
√
x
√
x − 1
b. lim
x→1
√
2x − 1 + x
2
− 3x + 1
3
√
x − 1 + x
2
− x + 1
1.4 Dạng 4: Dạng vô định
0
0
của hàm phân thức chứa căn thức bậc
cao
Dạng thường gặp: Tìm lim
x→0
n
√

1 + ax −1
x
Cách giải: Đặt t =
n
√
1 + ax → t
n
= 1 + ax → x =
t
n
− 1
a
và khi x → 0 thì t → 1
Khi đó lim
x→0
n
√
1 + ax −1
x
= lim
t→1
a(t − 1)
t
n
− 1
=
a
n
Thí dụ 6: Tính lim
x→0

5
√
1 + 5x −1
x
Bài tập tự luyện: Tính các giới hạn sau:
a. lim
x→0
4
√
2x + 1 −1
x
b. lim
x→1
4
√
4x − 3 −1
x − 1
c. lim
x→1
7
√
2 − x −1
x − 1
1.5 Dạng 5: Dạng vô định
0
0
của hàm phân thức chứa căn thức không
cùng bậc
Cách giải: Thêm và bớt một số hạng thích hợp, tách ra thành hai giới hạn của dạng vô định
0

0
Thí dụ 7: Tính lim
x→0
2
√
1 + x −
3
√
8 − x
x
(Hướng dẫn: thêm bớt 2 ở tử số)
Thí dụ 8: Tính lim
x→0
√
1 + 2x −
3
√
1 + 3x
x
2
(Hướng dẫn: thêm bớt 1+x ở tử số)
Bài tập tự luyện: Tính các giới hạn sau:
a. lim
x→2
3
√
8x + 11 −
√
x + 7
x

2
− 3x + 2
b. lim
x→0
3
√
1 + x
2
−
4
√
1 − 2x
x + x
2
c. lim
x→0
√
1 + 4x −
3
√
1 + 6x
x
2
d. lim
x→1
4
√
2x − 1 +
5
√

x − 2
x − 1
3
e. lim
x→0
(x
2
+ 2004)
7
√
1 − 2x −2004
x
f. lim
x→0
(x
2
+ 2001)
9
√
1 − 5x −2001
x
1.6 Dạng 6: Dạng vô định
0
0
của một hàm hàm số lượng giác
Định lí: lim
x→0
sin x
x
= 1

Hệ quả: lim
x→a
sin u(x)
u(x)
= 1 (nếu lim
x→a
= 0); lim
x→0
x
sin x
= 1; lim
x→0
tan x
x
= 1
Thí dụ 9: Tìm lim
x→
π
2
(
1
cos x
− tan x) Làm theo 2 cách
Thí dụ 10:Tìm lim
x→
π
3
sin x −
√
3 cos x

sin 3x
.
Bài tập tự luyện:
Tính các giới hạn sau:
a) lim
x→0
1 − cos x.
√
cos 2x
x
2
; b) lim
x→
π
4
sin x −
√
2
2
tan x − 1
.
c) lim
x→0
cos
4
x − sin
4
x − 1
√
x

2
+ 1 − 1
d) lim
x→0
1 −
3
√
cos x
tan
2
x
e) lim
x→0
cos (
π
2
cos x)
sin
2
x
2
g) lim
x→0
1 −
√
2x + 1 + sin x
√
3x + 4 −2 −x
h) lim
x→0





1 − |1 + sin 3x|
√
1 − cos x




i) lim
x→0

1 − cos 3x. cos 5x. cos 7x
sin
2
7x

k) lim
x→
π
4
3
√
tan x − 1
2 sin
2
x − 1
m) lim

x→0
1 − cos x. cos 2x
x
2
1.7 Dạng 7: Dạng vô định
0
0
của hàm số mũ và hàm số logarit
Định lý: lim
x→∞

1 +
1
x

x
= e; lim
x→∞
(1 + x)
1
x
= e; lim
x→0
ln 1 + x
x
= 1; lim
x→0
e
x
− 1

x
=
1
Thí dụ 11 : Tính lim
x→0
e
ax
− e
bx
x
Thí dụ 12: Tính lim
x→0
ln tan

π
4
+ ax

sin bx
Thí dụ 13:Tính lim
x→0
ln (sin x + cos x)
x
Bài tập luyện tập :
Tính các giới hạn sau:
a. lim
x→0
e
sin 2x
− e

sin x
sin x
; . lim
x→0
e
2x
− 1
√
1 + x −
√
1 − x
c. lim
x→0
e
3x
2
. cos
2
x − 1
x
2
; d. lim
x→0
3
x
2
− cos x
x
2
e. lim

x→0
e
−2x
2
−
3
√
1 + x
2
ln (1 + x
2
)
; g. lim
x→0
e
cos x−cos 3x
− cos 2x
x
2
4
1.8 Dạng 8: Áp dụng định nghĩa đạo hàm
Ta có f

(x
0
) = lim
x→x
0
f(x) − f (x
0

)
x − x
0
Thí dụ 14 :Tìm A = lim
x→0
(x
2
+ 2010)
9
√
1 − 9x −2010
x
Thí dụ 15 :Tìm B = lim
x→0
1 −
√
2x + 1 + sin x
√
3x + 4 −2
Bài tập tự luyện:
Tính các giới hạn sau:
a. lim
x→1
4
√
2x − 1 +
5
√
x − 2
x − 1

; b. lim
x→0
1 −
√
2x + 1 + sin x
√
3x + 4 −2
c. lim
x→0
e
sin 2x
− e
sin x
sin x
; d. lim
x→
π
4
3
√
tan x − 1
2 sin
2
x − 1
e. lim
x→0
e
−2x
2
−

3
√
1 + x
2
ln (1 + x
2
)
Một số bài trong các đề thi
Bài 1: lim
x→1
√
2x − 1 −
√
x
x − 1
(HVNH-98)
Bài 2: lim
x→1
x
3
−
√
3x − 2
x − 1
(ĐHQG-98)
Bài 3: lim
x→0
2
√
1 + x −

3
√
8 − x
x
(ĐHQG KA-97)
Bài 4: lim
x→1
4
√
2x − 1 +
5
√
x − 2
x − 1
(ĐHSP II KA-99)
Bài 5: lim
x→0
1 − cos
2
2x
x sin x
(ĐH ĐN KD-97)
Bài 6: lim
x→0




1 − |1 + sin 3x|
√

1 − cos x




(ĐHQG KB 97)
Bài 7: lim
x→0

2
sin 2x
− cot x

(ĐHL-98)
Bài 8: lim
x→0
tan x − sin x
x
3
(HVKTQS-97)
Bài 9: lim
x→0
cos

π
2
cos x

sin
2

x
2
(ĐHTN-KA-97)
Bài 10: lim
x→0
1 − sin 2x −cos 2x
1 + sin 2x −cos 2x
Bài 11: lim
x→0
tan(a + x). tan(a −x) −tan
2
a
x
2
(ĐHTN-98)
Bài 12: lim
x→0
98
83

1 − cos 3x. cos 5x. cos 7x
sin
2
7x

(ĐHAN KA00)
Bài 13: lim
x→0
1 −
√

2x + 1 + sin x
√
3x + 4 −2 −x
(ĐHGTVT 98)
Bài 14: lim
x→0
√
1 + x
2
− cos x
x
2
(ĐHTM-99)
Bài 15: lim
x→0
1 −
√
cos x
1 − cos
√
x
(ĐHHH-97)
Bài 16: lim
x→0
√
1 + tan x −
√
1 + sin x
x
3

(ĐHHH 00)
Bài 17: lim
x→0
e
sin 2x
− e
sin x
sin x
(ĐHHH 99)
5
Bài 18: lim
x→1
x
3
+ x
2
− 2
sin(x − 1)
(ĐHQG KD-99)
Bài 19: lim
x→0
e
−2x
2
−
3
√
1 + x
2
ln(1 + x

2
)
(GTVT 01)
Bài 20: lim
x→0
√
2x + 1 −
3
√
x
2
+ 1
sin x
(ĐHQG-00)
Bài 21: lim
x→1
√
5 − x −
3
√
x
2
+ 7
x
2
− 1
(TCKT-01)
Bài 22: lim
x→0
√

1 + 2x −
3
√
1 + 3x
x
2
(ĐH Thủy Lợi -01)
Bài 23: lim
x→
π
4

tan 2x. tan

π
4
− x

(ĐHSP II-00)
Bài 24: lim
x→0
3
x
2
− cos x
x
2
(ĐHSP II-00)
Bài 25: lim
x→0

cos
4
x − sin
4
x − 1
√
x
2
+ 1 − 1
(ĐHHH-01)
Bài 26: lim
x→0
√
x + 1 +
3
√
x − 1
x
(TK-02)
Bài 27: lim
x→1
x
6
− 6x + 5
(x − 1)
2
(TK-02)
Bài 28: lim
x→0
1 −

√
2x
2
+ 1
1 − cos x
(ĐHBK-01)
2 Giới hạn hàm số của dạng vô định
∞
∞
, ∞− ∞, 1
∞
, 0.∞
2.1 Dạng vô dịnh
∞
∞
Cách giải : Để khử dạng vô định
∞
∞
ta thường chia tử và mẫu cho lũy thừa bậc cao nhất của
biến.
Thí dụ 1 : Tính lim
x→+∞

x +
√
x
√
x + 1
Thí dụ 2 : Tính lim
x→+∞

x
2
+ 2x + 1
x
√
x + 1
Bài tập tự luyện :
Tính các giới hạn:
a. lim
x→+∞
x + 1
x
√
x +
√
x
; b. lim
x→+∞
√
x +
3
√
x +
4
√
x
√
2x + 1
2.2 Dạng vô định ∞ − ∞
Cách giải: Thực hiện phép nhân liên hợp để khử dạng vô định ∞ − ∞. Đôi khi phải cùng

thêm và bớt một số hạng để tách thành hai giới hạn dạng ∞− ∞, rồi mới thực hiện phép nhân
liên hợp như trên.
Thí dụ 3: Tìm lim
x→+∞
(
√
x
2
− 1 − x)
Thí dụ 4 : Tìm lim
x→+∞
(
3
√
x
3
+ 3x
2
−
√
x
2
− x + 1)
Bài tập tự luyện:
Tìm các giới hạn sau:
6
a. lim
x→+∞
(
√

x
2
+ x + 1 −
√
x
2
− x + 1) b. lim
x→+∞
(
√
4x
2
+ 3x − 1 −
3
√
8x
3
− 5x
2
+ 3)
2.3 Dạng vô định 1
∞
Tìm lim
x→+∞

f(x)
g(x)

x
, trong đó lim

x→+∞
f(x)
g(x)
= 1
Cách giải: Biến đổi
f(x)
g(x)
= 1 +
1
t
, khi đó x → +∞ ⇔ t → +∞. Đưa về giới hạn cơ bản
lim
t→+∞

1 +
1
t

t
= e
Thí dụ 5 : Tìm lim
x→+∞

x + 3
x + 1

x
Bài tập tự luyện:
Tìm các giới hạn:
a. lim

x→+∞

2x + 3
2x − 1

x
b. lim
x→+∞

x + 3
x − 1

x
2.4 Dạng vô định 0.∞
Cách giải: Biến đổi đưa về dạng
0
0
hoặc
∞
∞
Thí dụ 6: (Đưa về dạng
0
0
) Tìm lim
x→−1
+
(x
3
+ 1)


x
x
2
− 1
Thí dụ 7: (Đưa về dạng
∞
∞
Tìm lim
x→+∞
(x − 2)

x + 1
x
3
− x
Bài tập tự luyện:
Tìm các giới hạn:
a. lim
x→4
+
(x
2
− 16)

x
x
3
− 64
b. lim
x→+∞

x − 1
x
3
+ 5
√
x + 2
3 Một số dạng toán liên quan
3.1 Dạng 1: Xét tính liên tục của hàm số tại một điểm
Cách giải (Sử dụng định nghĩa)
• Hàm số y = f (x) liên tục tại điểm x = x
0
khi và chỉ khi lim
x→x
0
f(x) = f(x
0
)
• Đôi khi ta phải sử dụng đến tính liên tục từng phía tại điểm x = x
0
. Hàm số y = f(x) liên
tục tại điểm x = x
0
khi và chỉ khi lim
x→x
+
0
f(x) = lim
x→x
−
0

f(x) = f(x
0
).
Thí dụ 8: Tìm a để hàm số sau liên tục tại điểm x = 1 :
f(x) =



3
√
x − 2 +
√
2x − 1
x − 1
khi x = 1
a khi x = 1
Thí dụ 9: Cho f(x) =

e
x
khi x < 0
a + x khi x ≥ 0
Hãy tìm a sao cho hàm số f (x) liên tục.
Bài tập tự luyện:
Tìm m để hàm số f(x) liên tục:
7
a. f(x) =




tan x − 3 cot x
3x − π
khi x =
π
3
m khi x =
π
3
b. f(x) =

e
x
khi x < 1
mx − 1 khi x ≥ 1
3.2 Dạng 2: Tính đạo hàm của hàm số tại một điểm
Cách giải: Sử dụng định nghĩa đạo hàm của hàm số tại một điểm
Thí dụ 10: Tính đạo hàm của hàm số sau tại điểm x = 0:
y = f(x) =



e
tan x−sin x
− 1
x
2
khi x = 0
0 khi x = 0
Bài tập tự luyện:
1. Tính đạo hàm của hàm số sau tại điểm x = 0: y = f(x) =


ln (cos 2x)
sin x
khi x = 0
0 khi x = 0
2. Cho hàm số y = f (x) =

x
2
khi x ≤ 1
ax + b khi x > 1
Tìm a, b để f (x) có đạo hàm tại điểm x = 1
3. Chứng minh rằng hàm số y =
x
2
− 2|x + 3|
3x − 1
liên tục tại x = −3 nhưng không có đạo hàm tại
điểm này.
—————– Hết ——————–
8