Cách giải tích phân trong thi đại và tốt nghiệp quốc gia

1

NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN
BÀI 1. BÀI TẬP SỬ DỤNG CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN
I. B󰖤ng các nguyên hàm thư󰗞ng g󰖸p


1
1
1
1
ax b
ax b dx c,
a



 
     
 

 


   
1
cos ax b dx sin ax b
a
  


 c
1dx
ln ax b c
ax b
a
  


 c
   
1
sin ax b dx cos ax b c
a

   


1
ax b ax b
e dx e c
a
 
 


   
1
tg ax b dx ln cos ax b c
a

    


1
ax b ax b
m dx m c
a ln m
 
 


   
1
cotg ax b dx ln sin ax b c
a
   


2 2
1dx x
arctg c
a a
a x
 



 
 
2

1dx
cotg ax b c
a
sin ax b

  



2 2
1
2
dx a x
ln c
a a x
a x

 




 
 
2
1dx
tg ax b c
a
cos ax b
  






2 2
2 2
dx
ln x x a c
x a
   



2 2
x x
arcsin dx x arcsin a x c
a a
   


2 2
dx x
arcsin c
a
a x
 



2 2
x x
arccos dx x arccos a x c
a a
   


2 2
1dx x
arccos c
a a
x x a
 



 
2 2
2
x x a
arctg dx xarctg ln a x c
a a
   


2 2
2 2
1dx a x a
ln c
a x

x x a
 
  



 
2 2
2
x x a
arc cotg dx xarccotg ln a x c
a a
   


   
b
ln ax b dx x ln ax b x c
a
 
     
 
 


 
1
2
dx ax b
ln tg c

sin ax b a

 



2 2 2
2 2
2 2
x a x a x
a x dx arcsin
c
a

   


 
1
2
dx ax b
ln tg c
sin ax b a

 



 
2 2

ax
ax
e asinbx bcosbx
e sinbx dx c
a b

 



 
2 2
ax
ax
e acosbx bsinbx
e cosbx dx c
a b

 




C󰗚ng đ󰗔ng h󰗎c t󰖮p tr󰗲c tuy󰗀n - CungHocTap.Com
C󰗚ng đ󰗔ng h󰗎c t󰖮p tr󰗲c tuy󰗀n - CungHocTap.Com

2

II. NHỮNG CHÚ Ý KHI SỬ DỤNG CÔNG THỨC KHÔNG CÓ TRONG SGK 12
Các công thức có mặt trong II. mà không có trong SGK 12 khi sử dụng phải chứng minh lại

bằng cách trình bày dưới dạng bổ đề. Có nhiều cách chứng minh bổ đề nhưng cách đơn giản
nhất là chứng minh bằng cách lấy đạo hàm
1. Ví dụ 1:
Chứng minh:
2 2
d x 1 x a
l n c
2 a x a
x a

 



;
2 2
d x 1 a x
l n c
2 a a x
a x

 




Chứng minh:

2 2
d x 1 1 1 1 d x d x 1 x a

d x l n c
2 a x a x a 2 a x a x a 2 a x a
x a

   
     
   
    
   

   

 
2 2
dx 1 1 1 1 dx d a x 1 a x
dx l n c
2a a x a x 2a a x a x 2a a x
a x
 
 
 
     
   
    
   

   

2. Ví dụ 2: Chứng minh rằng:



2 2
2 2
d x
lnx x a
x a
  


 c
Chứng minh: Lấy đạo hàm ta có:
 
 
2 2
2 2
2 2
1 x a
l n x x a c
x x a


 
 
   
 
 

2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 x 1 x x a 1

1
x x a x a x x a x a x a
 
 
    
 
      
 

3. Ví dụ 3: Chứng minh rằng:
2 2
dx 1
u c
a
a x
 


(với
x
tgu
a

)
Đặt
x
tgu
a

,



u
,
2 2
 
 





 
2 2
2 2
d a t g u
dx 1 1
du u c
a a
a x
a 1 tg u
   


  

4. Ví dụ 4: Chứng minh rằng:
2 2
dx
u c

a x
 


(với
x
sin u
a

, a > 0)
Đặt
x
sin u
a

,u
,
2 2
 
 

 
 



 
2 2
2 2
d x d a sinu

du u c
a x
a 1 sin u
   


  

Bình luận: Trước năm 2001, SGK12 có cho sử dụng công thức nguyên hàm
2 2
d x 1 x
a r c t g c
a a
a x
 


và
2 2
d x x
a r c s i n c
a
a x
 


(a > 0) nhưng sau đó không giống bất cứ
nước nào trên thế giới, họ lại cấm không cho sử dụng khái niệm hàm ngược arctg x , arcsin x . Cách
t r ì n h bà y t r ê n đ ể k h ắ c p h ụ c l ện h c ấ m n à y.
III. CÁC DẠNG TÍCH PHÂN ĐƠN GIẢN

III.1. CÁC KỸ NĂNG CƠ BẢN:
1. Biểu diễn luỹ thừa dạng chính tắc:
C󰗚ng đ󰗔ng h󰗎c t󰖮p tr󰗲c tuy󰗀n - CungHocTap.Com

3


1
n
n
x x
;
 
m m
n
n k
m m
n n k
x x ; x x



 
1
n
n
n
n
1 1
x ; x

x
x
;


m
n
n
m
1
x
x
;


m
n k
n
k m
1
x
x

2. Biến đổi vi phân:
dx

d(x ± 1)

d(x ± 2)


…

d(x ± p)
adx

d(ax ± 1)

d(ax ± 2)

…

d(ax ± p)




x p
1
x 1 x 2
dx d d d
a a a
a

 
 
   
 
 
L

III.2. CÁC BÀI TẬP MẪU MINH HOẠ
1.

3
dx
1
x
x




3
2
1 1 1
dx 1 dx
1 1
x
x x
x x
 
 
    
 
 
 
 




 


2 3 2
1
1 1
1 dx l n 1
1 3 2
d x
x x x x x x c
x

        

 

2.
 
1
4 7 dx = 4 7 7 4 7 dx
4
x x x x     
 
 

         
3 5 31
2 2 2 2
1 1 22
4 7 7 4 7 4 7 4 7 7 4 7

1 6 1 6 5 3
x x d x x x c
 
 
          
 
 
 


3.



 
 
17
2 2
2
d 2
d 1
2 5
2
2 5
x
x
I
x
x
 



 
1 10
arctg
5
10
x c
 
 
 
 

4.



 
 
x
d x 1 2 1 1 1 1 2
2 l n
l n 2 5ln2 5ln2
2 + 5 2 2 5 2 5
2 2 5
x x
x
x x x
x x
d

d c
 
    
 
 
 

  

5.

 
 
5
3 2 3
cos
cos 1 s i n 1 sin cos cos s i n dx
1 sin
x
dx x x dx x x x x
x
 
    
 

  


 
   

3 4
2 3
sin cos
1 sin sin cos cos sin
3 4
x x
x d x xd x x c
      
 

III.3. CÁC BÀI TẬP DÀNH CHO BẠN ĐỌC TỰ GIẢI








1
x 1 x 2 x 3 x 4
J d x
x x
   


;
2
7x 3
J dx

2x 5




;
2
3
3x 7x 5
J
dx
x 2
 




 
3 2 2 2
4 5 6
1 0
2x 5x 7x 1 0 4x 9x 10 2x 3 x 9
J d x ;J d x ; J d x
x 1 2x 1
x 1
      
  
 

  

   
3 2 3 2
7 8
15 3 0
x 3x 4x 9 2x 5x 11x 4
J dx ; J dx
x 2 x 1
     
 
 
 
















 dx1x25x3xJ;dx2x51xJ;dx1x3xJ
33

2
11
152
10
310 0
9

C󰗚ng đ󰗔ng h󰗎c t󰖮p tr󰗲c tuy󰗀n - CungHocTap.Com

4

 
 
 
 
2
4
3
2 4 5
5
9
12 1 3 1 4
4
7
x 3x 5
J 2x 3 . x 1 d x ; J d x ; J x . 2x 3 d x
2x 1
 
     


  

 
9 3
1 5 16 17
4 2 2
1 0
5
x x x
J dx ; J dx ; J dx
x x 1 x x 1
2 3x
  
   

  

  
     
1 8 1 9 20
2 2 2 2
dx dx dx
J ; J ; J
x 2 x 5
x 2 x 6 x 2 x 3
  
 
   
  

        
21 22 23
2 2 2 2 2 2
x dx dx dx
J ; J ; J
x 3 x 7 3x 7 x 2 2x 5 x 3
  
     
  

l n 2 l n 2 l n 2 ln 2
2x x
x
24 25 26 27
x
x x
1 0 0 0
dx e dx 1 e
J ; J ; J e 1dx; J dx
1 e
e 1 e 1

    

 
   






2 2
x x
1 1 1 1
x
28 29 30 3 1
x 2x 2x x 3x
0 0 0 0
1 e dx 1 e
e dx dx
J ; J ; J ; J dx
1 e 1 e e e e


 
   
  
   

l n 2 ln 4 1 e
3x
32 3 3 34 35
x 3 x x x
0 0 0 1
dx dx e dx 1 l n x
J ; J ; J ; J dx
x
e e 4e 1 e

  


   
 
   

 
3 1 1
6
5 2 5 3 3 2
36 37 38
0 0 0
J x 1 x dx ; J x 1 x dx ; J x 1 x dx
     
  



2
x
1 1 1 1
2x x
39 40 41 42
x x x x
0 0 0 0
2 1 dx
dx dx
J ; J ; J ; J e 1 e dx
4 3 4 2 4
 


    
 
   

B À I 2 . T Í C H P H Â N C Á C H À M S Ố C Ó M Ẫ U S Ố C H Ứ A T A M T H Ứ C B Ậ C 2
A. CÔNG THỨC SỬ DỤNG VÀ KỸ NĂNG BIẾN ĐỔI
1.

 


2 2
du 1 u
arctg c
a a
u a

4.

 

d u
2 u c
u

2.


 




2 2
du 1 u a
ln c
2a u a
u a

5.

 
  


2 2
du u
arcsin c a 0
a
a u

3.


 



2 2
du 1 a u
ln c

2a a u
a u

6.
   


2
2
du
ln u u p c
u p

Kỹ năng biến đổi tam thức bậc 2:
1.

 

 
    
 
 
 
 
 
2
2
2
2
b b 4ac

ax bx c a x
2a
4a

2.


     
2
2 2
ax bx c mx n p

B. CÁC DẠNG TÍCH PHÂN
C󰗚ng đ󰗔ng h󰗎c t󰖮p tr󰗲c tuy󰗀n - CungHocTap.Com

5

I. Dạng 1:


2
d x
A =
ax + bx + c

1. Phương pháp:

 

  

 
 
 
2 2
2
d x dx 1 mx n
arctg c
mp p
ax bx c
mx n p


 
 
  
 
 
 
 
2 2
2
mx n pd x dx 1
ln c
2mp mx n p
ax bx c
mx n p

2. Các bài tập mẫu minh họa
•
 

 
 
 
1
2 2 2
2
d d 1 d 2 2 1 2 2 3
l n
2
4 8 1
4 32 2 3
2 2 3
2 2 3
x x x x
A c
x x
x
x
x
  
    
 
 
 
 
  

1
2
dx

3. Các bài tập dành cho bạn đọc tự giải:
A
3x

4x 2 

;
2 3
2 2
dx dx
A ; A ;
4x 6x 1 5x 8x 6
 
    
 

2 1 1
4 5 6
2 2 2
1 0 0
dx dx dx
A ; A ; A
7x 4x 3 6 3x 2x 4x 6x 3
  
     
  

II. Dạng 2:





2
mx+ n
B = dx
ax + bx + c

1. Phương pháp:

 
 


  

 
   
 
2 2
m mb
2ax b n
m x n
2a 2a
B dx dx
ax bx c ax bx c







 
 
 
 
 
 

2
2
d ax bx c
m mb
n A
2a 2a
a x b x c



 
   
 
 
2
m mb
ln ax bx c n A
2a 2a

Cách 2:
Phương pháp hệ số bất định (sử dụng khi mẫu có nghiệm)

• Nếu mẫu có nghiệm kép
0
x
x
tức là
2 2
0
( )
ax bx c a x x
   

thì ta giả sử:
 

  

 

2 2
0
0
mx n
x
x x
ax bx c
x x
 

Quy đồng vế phải và đồng nhất hệ số ở hai vế để tìm


,

.
Với

,

vừa tìm ta có:




 

2
mx n
B dx
ax bx c



l n
  

0
0
x x c
x x



• Nếu mẫu có 2 nghiệm phân biệt
1 2
,x x
:
2
1 2
( )( )
ax bx c a x x x x
    
thì ta giả sử

  
 
 
2
1 2
mx n
x
x x x x
ax bx c
 

C󰗚ng đ󰗔ng h󰗎c t󰖮p tr󰗲c tuy󰗀n - CungHocTap.Com

6

Quy đồng vế phải và đồng nhất hệ số ở hai vế để tìm

,


.
Với

,

vừa tìm ta có:


dx


 

2
mx n
B
ax bx c



l n l n
   
1 2
x x x x c
 

2. Các bài tập mẫu minh họa:
•



1
2
2x + 3
B = dx
9x 6x + 1

 
 
2 2 2
1 11
1 8 6
1 1 8 6 d 1 1 d
9 3
d
9 3
9 6 1 9 6 1 9 6 1
x
x x x
x
x x x x x x
 

  
     
  





 
 
 
2
2 2
1 9 6 1 11 3 1 2 11
l n 3 1
9 9 9 9 3 1
9 6 1
3 1
d x x d x
x c
x
x x
x
  
     

 

 

3. Các bài tập dành cho bạn đọc tự giải:






1 2 3

2 2 2
7 3xdx 3x 4 dx 2 7xdx
B ; B ; B
4x 6x1 2x 7x9 5x 8x 4
  
  
     
  
;
III. Dạng 3:


2
dx
C =
ax + bx + c

1. Phương pháp:

Bổ đề:
l n
2
2
du
u u k c
u k
   



Biến đổi nguyên hàm về 1 trong 2 dạng sau:
 
   
2
2 2
dx dx 1
l n
C mx n mx n k c
m
ax bx c
mx n k
       
 
 
 

 
 
2 2
2
dx d x 1
arcsin 0
mx n
C p
m p
ax bx c
p mx n

   
 

 
 

2. Các bài tập mẫu minh họa:
•


 
2
3
2 2
d 1 d 5
5 45
l n
4 16
2 4
45
4 10 5
5
4
16
x x
C x x c
x x
x
      
 
 
 

3. Các bài tập dành cho bạn đọc tự giải:
1 2 3
2 2
2
dx dx dx
C ; C ; C
3x 8x 1 7 8x 10x
5 12x 4 2 x
  
   
 
  

IV. Dạng 4:




2
mx+ n dx
D =
a x + bx + c

1. Phương pháp:



2 2
2 d x
d x

2 2
ax b
m m b
D
a a
a x b x c a x b x c

 
   
 




2
2
2 2
d ax bx c
m mb
C
a a
ax bx c
 
 
 


2. Các bài tập mẫu minh họa:
C󰗚ng đ󰗔ng h󰗎c t󰖮p tr󰗲c tuy󰗀n - CungHocTap.Com

7

• D
1
=
   
1 1 1
2 2 2
0 0 0
4 d 2 d d
2
4 5 4 5 4 5
x x x x x
x x x x x x
 
 
     
  



 
 


1 1
1
2
2 2
2 2

0
0 0
1 d 4 5 d
2 4 5 2ln 2 4 5
2
4 5
2 1
x x x
x x x x x
x x
x
 
         
 
 
 

   
3 10
10 5 2ln3 10 2ln2 5 10 5 2ln
2 5

        


3. Các bài tập dành cho bạn đọc tự giải:







1 2 3
2 2 2
5 4xdx 3x 7 dx 8x 11 dx
D ; D ; D
3x 2x 1 2x 5x 1 9 6x 4x
  
  
     
  


V. Dạng 5:

 

2
dx
E =
px + q ax + bx + c

1. Phương pháp:
Đặt
2
1 dt 1 1
dx ;
px q p x q
t p t
t


 
    

 
 
. Khi đó:
 
2
2 2 2
2
d t p td x d t
E
p x q a x b x c t t
1 a 1 b 1
q q c
t t p t
p

   
     
   
   
   
   
  

2. Các bài tập mẫu minh họa:
•
 


3
1
2
2
dx
E =
x - 1 x - 2 x + 2
. Đặt
2
2 1
1
1 1
3
1 ;
2
dx
x t
t
x t
x x
t t
dt
t
  




  

   






Khi đó:
 
   
1 2
3
2
1
2 2
2 1
dt t
dx
E
1
x-1 x 2x 2
t 1 t 1
2 2
t t
t

 
 
 
 

 

 
1
1
2
2
1 2
1 2
dt 1 5 2 2 2
l n t t 1 ln 1 2 l n ln
2
1 5
t 1
 
       




3. Các bài tập dành cho bạn đọc tự giải:
     
2 3 3
1 2 3
2 2 2
1 2 2
d x d x d x
E ; E ; E
2x 3 x 3 x 1 3 x 4 2x 3 x 7 x 1 x 1
  

       
  

VI. Dạng 6:



 

2
mx+ n dx
F =
px + q ax + bx + c

C󰗚ng đ󰗔ng h󰗎c t󰖮p tr󰗲c tuy󰗀n - CungHocTap.Com

8

1. Phương pháp:

 
 
 
 
2 2
d x
dx
mq
m
px q n

mx n
p p
F
px q ax bx c px q ax bx c
 
  
 

 
 
     
 

 
2 2
d x dxmq mqm m
F n C n E
p p
p p
ax bx c px q ax bx c
   
     
   
   
    
 

2. Các bài tập mẫu minh họa:
 
 

1
1
2
0
2 3 d
1 2 2
x x
F
x x x

 
  

 
1 1
2 2
0 0
dx dx
2 2I J
x 2x 2 x 1 x 2x 2
  
    
 

1
2
0
dx
2 2
I

x x

 

 
   
1
1
2
0
2
0
dx 2 5
l n 1 1 1 l n
1 2
1 1
x x
x

      

 


 
1
2
0
1 2 2
dx

J
x x x

  

. Đặt
2
0
1
1
1
1
1
2
dx
x t
x t
x
t
dt
t
  



  
  






. Khi đó:
   
1 2
1
2
1
2
2 2
1 2
1 1 2
dt t
dt 2 2 2
J l n t t 1 l n
1 5
1
t 1
1 1
1 2 1 2
t t
t
 
     


   
 



F
1


2I + J




 
 
2 5 2 2 2 2 9 4 5
2ln l n l n
1 2 1 5
1 2 1 5
  
 
 
 

•
 
 
 
 
3 2
2
2
5
1

2 1
2 2
2 1 4 3
x
dx
x x x


 

   
 
- 3 2
2
2
-2
x + 3 dx
F =
2x + 1 -x - 4x - 3


 
3 2 3 2
2 2
2 2
1 d x 5 dx 1
5
I J
2 2 2 2
x 4x 3 2x 1 x 4x 3

 
 
   
      
 

3 2
2
2
4 3
dx
I
x x



  

 
 
3 2
3 2
2
2
2
dx
arcsin x 2
6
1 x 2






   
 


 
3 2
2
2
2 1 4 3
dx
J
x x x



   

. Đặt
2
1
2
3
1 1
3
1
2 1

2 2
2
2
x t
t
x t
x x ;
t t
dt
dx
t


   





  
   
















1 2 1 3
2
2 2
1 3 1 2
1 3
1 3
2 2
1 2
1 2
dt 2 t dt
J
1
5 t 6 t 1
1 1 1
1 2 1 3
4 t t
t
1 d t 1 5t 3 1 2 1
arcsin arcsin arcsin
2 3 4
5 5 5
3
2
t

5 5
 
 





 
  

   

 
   
 
 
 
 




9

Vậy


2
5

5
1 2 1
F I J arcsin arcsin
2 2 12 2 3 4

    

3. Các bài tập dành cho bạn đọc tự giải:

 
 
 
 
 
 
1 1 1
1 2 3
2 2 2
0 0 0
4x 7 dx 6 7x dx 7 9x dx
F ; F ; F
8 5x 3x 4x 2 2x 5 x x 4 4x 3 2x x 1
  
  
        
  

VII. Dạng 7
:
 


2 2
xdx
G =
ax + b cx + d

1. Phương pháp:
Đặt
2
2 2 2 2
t d t dt
t cx d t cx d x ; x dx
c c

       

Khi đó:
 
 
2 2 2
2
1 1 1t dt dt
G A
c
c at bc ad c
a t d
b t
c
   
   



 
 
 

2. Các bài tập mẫu minh họa:
•
 

1
1
2 2
0
xdx
G =
5 - 2x 6x + 1
. Đặt
2
0 1
6 1 1 7
6
x t
t x x t
x dx t dt
  



     






. Khi đó:



 
7
7 7
1
2 2
2
1
1 1
3 4 7
1 t dt 1 dt 1 1 4 t 1
G ln ln
6 2 2 8 4 t 16
4 t
16 t
5 4 7
t
3


 
   

 

  
 


 
 
 

3. Các bài tập dành cho bạn đọc tự giải:
     
2 2 1
1 2 3
2 2 2 2 2 2
1 1 0
xdx x dx xdx
G ; G ; G
4x 3 5 x 5x 11 7 3x 8 7x 2x 1
  
     
  

VIII. Dạng 8:

 

2 2
dx
H =

ax + b cx + d

1. Phương pháp:
Đặt
 
2 2 2 2 2
2 2
2
d td.dt
xt cx d x t cx d x xdx
t c
t c

        





 
 
 
2
2
2
2
2
td.dt t c
dx xdx dt
x xt

t c
td t c
cx d
 

  



. Khi đó ta có:
 
 
 
2
2 2
2
2
dx dt dt
H A
ad
bt ad bc
ax b cx d
b t c
t c
 
   
 
 
 
 

 

 
  

2. Các bài tập mẫu minh họa:
C󰗚ng đ󰗔ng h󰗎c t󰖮p tr󰗲c tuy󰗀n - CungHocTap.Com

10

•
 

3
1
2 2
2
dx
H =
x - 2 x + 3
. Đặt
2
2
2
3
3
3
3
7
2

2
x t
x
xt x t
x
x t

  


    


  


và
 
 
2 2 2 2 2 2
2 2
2
3 3tdt
x t x 3 t 1 x 3 x xdx
t 1
t 1

        



 
 
 
2
2
2
2
2
3tdt t 1
dx x dx dt
x xt
t 1
3t t 1
x 3
 

  



. Khi đó ta có:
2 3
1
2
7 2
dt
2 5
H

t
 


  
  
2 3
7 2
1 2 5 1 2 2 1 5 14 2 5
l n l n
2 10 2 5 2 10
2 2 15 14 2 5
t
t
  


 

3. Các bài tập dành cho bạn đọc tự giải:
   
2 2 2
2
1 2 3
2
2 2 2 2
1 1 1
d d 5
; ; d
2

3 1 5 2 3 2 3 1
x x x
H H H x
x
x x x x x x

  

     
  

IX. Dạng 9:



 

2 2
mx+ n dx
I =
ax + b cx + d

1. Phương pháp:
   
2 22 2
x d x d x
I m n m G n H
a x b cx d a x b c x d
   
   

 

2. Các bài tập mẫu minh họa:
•
 
 
 


   
3
2 2
2
4 1 7
1 5 3 1 2
x dx
x x
 

 
   
 
 
3
1
2 2
2
4x + 3 dx
I =
x - 2x - 4 3x - 6 x + 5

 
     
2 2 2
2 2 2 2 2 2
1 1 1
du u d u du
4u 7
4 7 4J 7L
u 5 3 u 2 u 5 3 u 2 u 5 3 u 2

    
     
  

Xét
 
2
2 2
1
5 3 2
udu
J
u u

 

. Đặt
2

2 2
2
3 2
3 3
t tdt
t u u udu

     

 
 
1 4
2 14 14
2
2
2 2
1
5 5
5
udu tdt dt 1 t 17
J l n
2 17 t 17t 17
t 17 t
u 5 3 u 2

   


 
  





  
17 14 17 5
1 17 14 17 5 1
l n l n l n
2 17 1 7 14 17 5 2 17
17 14 17 5
 
 
 
  
 
 
 
 

Xét
 
2
2 2
1
5 3 2
du
L
u u


 

. Đặt
2 2 2 2 2
2
2
3 2 3 2
3
ut u u t u u
t
      




 
 
 
 
2
2
2 2
2
2
2
2tdtt 3
2tdt du udu dt
udu
u ut

t 3
2t t 3
3u 2
t 3
 
    




. Khi đó:
C󰗚ng đ󰗔ng h󰗎c t󰖮p tr󰗲c tuy󰗀n - CungHocTap.Com

11

 
 
1 4 2 14 2
2
2
2 2
2
1 2 2
2
du dt dt
L
2
17 5t
u 5 3u 2
5 t 3

t 3
   
 

 
 
 

 
  


14 2
2
1 1 17 t 5
l n
5 2 1 7 17 t 5

 





  
1 7 0 2 1 7 2 5 1 7
l n
2 8 5
7 0 2 1 7 2 5 1 7
 


 







  
  
  
1
1 7 1 4 1 7 5
4 7 7 0 2 1 7 2 5 1 7
I 4 J 7L l n l n
2 1 7 2 8 5
1 7 1 4 1 7 5 7 0 2 1 7 2 5 1 7
 
 
   
   

•
 
 
 
 
   
6 1

2 2
2 1
2 1 1
1 5 2 1 3
x dx
x x


 

 
   
 
 
6 -1
2
2 2
2 -1
2x + 1 dx
I =
x + 2x + 6 2x + 4x - 1


 
     
6 6 6
2 2 2 2 2 2
2 2 2
2u 1 d u u d u d u
2 2J L

u 5 2 u 3 u 5 2 u 3 u 5 2u 3

    
     
  

Xét
 
6
2 2
2
5 2 3
udu
J
u u

 

. Đặt
2
2 2
3
2 3
2 2
t tdt
t u u udu

     

 

 
6 3 3
2
2
2 2
1 1
2
u d u tdt d t 2 3 1
J a r c t g a r c t g
t 1 3
1 3 1 3 1 3
t 1 3 t
u 5 2u 3
 
    
 


 
 
  

Xét L


 
6
2 2
2
5 2 3

du
u u
 

. Đặt
2 2 2 2 2
2
3
2 3 2 3
2
ut u u t u u
t
      




 
2
2
3tdt
udu
2 t




 
 
 

2
2
2
2
2
3tdt 2 t
du udu dt
u u t
2 t
3t 2 t
2u 3

  



. Khi đó:
 
 
3 6 3 6 3 6
6
2
2 2
2
2
2 1 2 1 2 1 2
2
d u d t d t 1 d t
L
1 3

3 5
1 3 5t
u 5 2u 3
t
5 2 t
5
2 t
   
  
 

 
 

 
   


3 6
1 2
13 5 t
1 1 1 78 3 5 2 6 5
ln ln l n
5
2 13 5 13 5 t 2 65 78 3 5 26 5
 

 
   
 

 
  
 





  
2
4 3 1 1 78 3 5 26 5
I 2J L arctg arctg l n
13 13 13 2 65
78 3 5 26 5
 
 
    
 
 
 

BÀI 3. BIẾN ĐỔI VÀ ĐỔI BIẾN NÂNG CAO
TÍCH PHÂN HÀM PHÂN THỨC HỮU TỈ
I. DẠNG 1: TÁCH CÁC MẪU SỐ CHỨA CÁC NHÂN TỬ ĐỒNG BẬC
C󰗚ng đ󰗔ng h󰗎c t󰖮p tr󰗲c tuy󰗀n - CungHocTap.Com

12

Các bài tập mẫu minh họa:
•

  


1
d x
A =
x 2 x + 5




  
1 5 2 1 1 1 1 2
l n
7 2 5 7 5 5 7 5
x x x
d x d x c
x x x x x
   
 
    
 
    
 
 

   





 
  
1 x 4 x 5
d x
9 x 5 x 2 x 4

  

   
 
2
d x
A =
x 5 x+2 x+4

     




  




  
1 1 1 1 2 5 1 4 2
9 5 2 2 4 6 3 5 2 1 8 2 4
1 1 1 1 1 1 1 5 1 4

l n l n
6 3 5 2 1 8 4 2 6 3 2 1 8 2
x x x x
d x d x d x
x x x x x x x x
x x
d x d x c
x x x x x x
     
 
   
 
       
 
 
   
      
   
     
   
  
 

II. DẠNG 2: TÁCH CÁC MẪU SỐ CHỨA CÁC NHÂN TỬ KHÔNG ĐỒNG BẬC
1. Các bài tập mẫu minh họa:
 


 
 

2 2
2
2 2
2 2
2
2 2
dx 1 x x 3 1 xdx d x
dx
3 3 x
x 3
x x 3 x x 3
1 1 d x 3 dx 1 1 1 x 3
l n x 3 l n x c ln c
3 2 x 3 2 6
x 3 x

 
 
   
 
 
 
 
 
 
 
      
 
 
 


 
    
 
1
3
dx
B =
x 3x

•
 


 
4 4
4 3
3 4 3 4
d x 1 x x 1 0 1 x d x d x
d x
1 0 1 0
x 1 0 x
x x 1 0 x x 1 0
 
 
   
 
 
 
 

    
2
7 3
d x
B =
x 1 0 x



 
2 2
2 3 2
2
2
1 1 d x dx 1 1 x 10 1
l n c
10 2 20
x x
10 x 10
x 10
 
 

    
 
 
 
 

 


 
 

2. Các bài tập dành cho bạn đọc tự giải:
1 2 3 4 5
3 9 4 1 1 5 6 7
d x d x d x d x d x
B ; B ; B ; B ; B
x 5x x 7x x 8x x 9x x 1 3 x
    
    
    

6 7 8
3 2 3 2 4 3 2
d x d x d x
B ; B ; B
x 6x 1 9 x 2 2 x 3 x 1 4 x 1 2 x 4 x 6x 7x 4
  
         
  

III. DẠNG 3: KĨ THUẬT NHẢY TẦNG LẦU KHI MẪU SỐ LÀ HÀM ĐA THỨC BẬC 4
  




  

2 2
2 2 2 2
d x 1 x 1 x 1 1 x 11
d x l n a r c t g x c
2 4 x 12
x 1 x 1 x 1 x 1

   
    


   
  
1
4
d x
C =
x 1



  
 
2 2
2
2 2 2
2 2
1 d x 1 1 1 1 x 1
d x l n c
2 4 4

x 1 x 1 x 1
x 1 x 1


 
    
 
   
 
 
  
2
4
x d x
C =
x 1





  
2 2
2 2
2 2
2 2
1 x 1 x 1 1 1 1
dx dx
2 2
x 1 x 1

x 1 x 1
1 dx 1 dx 1 x 1 1
ln arctgx c
2 2 4 x 1 2
x 1 x 1

  
 
  
 
  
 
 

    

 
  
 
2
3
4
x dx
C =
x 1

C󰗚ng đ󰗔ng h󰗎c t󰖮p tr󰗲c tuy󰗀n - CungHocTap.Com

13

•


4
4
4
1 d x 1 1
ln x 1 c
4 4
x 1

   
 
 
3
4
4
x dx
C =
x 1



4
1
4 4
x 1 1 d x 1 x 11
d x d x x C x l n a r c t g x c
4 x 12
x 1 x 1


  
       

  
   
4
5
4
x d x
C =
x 1



 
 
2
2
2
2
1 d x 1
arctg x c
2 2
x 1

  

 
6

4
xdx
C =
x + 1



4
4
4
1 d x 1 1
l n x 1 c
4 4
x 1


   

 
3
7
4
x dx
C =
x + 1






 


 
2
2
2
2
2
1
1 1
1
d x x 2
1
x x
x
d x l n c
1
1
2 2
1
x 2
x
x 2
x
x
x


  


   
 

 
  
2
8
4
x 1
C = d x
x + 1

•




 
2
2
2
2
2
2
1
1
1
d x
1 x 1

x
x
dx arctg c
1
2 x 2
1
x
x 2
x
x



   

 
  
2
9
4
x + 1
C = dx
x + 1





 
2 2 2 2

4 4 4
2 2
9 8
2
1 x 1 x 1 1 x 1 x 1
dx dx dx
2 2
x 1 x 1 x 1
1 1 1 x 1 1 x x 2 1
C C arctg l n c
2 2
2 x 2 2 2x x 2 1

 
    
  
 
  
 
 
  
    
 
 
 
 
   
10
4
dx

C =
x + 1





 
2 2 2 2
4 4 4
2 2
9 8
2
1 x 1 x 1 1 x 1 x 1
dx dx dx
2 2
x 1 x 1 x 1
1 1 1 x 1 1 x x 2 1
C C arctg ln c
2 2
2 x 2 2 2x x 2 1

 
    
  
 
  
 
 
  

    
 
 
 
 
   
2
11
4
x dx
C =
x + 1



4 2 2
4
2
x 1 1 1 1 x 1 1 x x 2 1
d x x a r c t g l n c
2
x 1
2 x 2 2 2x x 2 1

 
    
   
 
 


 
 
 
4
12
4
x d x
C =
x + 1

 
 


   
  
2
2
2
2
2
2 2
1
1
1 d x
d x
x
x
1 1
1 1

x 5 x 4
x 5 x 6
x
x
x x
d u d u 1 1 1 1 x 6 x 1
d u l n c
7 u 6 u 1 7u 6 u 1
u 5 u 6 x x 1

 


 
 
 
  
   
   
 
 
     
 
  
 
   
  
  
2
1 3

4 3 2
x -1d x
C =
x 5 x 4 x 5 x + 1


•




2 2 2 2
4 2 4 2 4 2
1 x 1 x 1 1 x 1 x 1
d x d x d x
2 2
x x 1 x x 1 x x 1
 
    
  
 
     
 
   
1 4
4 2
d x
C =
x + x + 1

C󰗚ng đ󰗔ng h󰗎c t󰖮p tr󰗲c tuy󰗀n - CungHocTap.Com

14









2 2
2 2
2 2
2 2
1 1
1 1
1 dx 1 dx
d x d x
1 1
x x x x
1 12 4
1 1
x 1 x 1
x 3 x 1
x x
x x
 
   

 
 
 
   
 
 
   
   
 
 
   
 
   
 
   
   
 
 
   
 
 
   

2 2
2
1 1
x x 1
1 1 1 x 1 1 x x 1
x x
arctg l n c arctg l n c

1
4 4
x x 1
2 3 3 2 3 x 3
x 1
x
  
  
     
 
 

IV. DẠNG 4: KĨ THUẬT NHẢY TẦNG LẦU KHI MẪU SỐ LÀ HÀM ĐA THỨC BẬC 3
•
 
 


     
22
dx d x 1
x 1 x x 1
x 1 x 1 3 x 1 3

 
 

  
    
 

  
1
3
dx
D =
x 1

 




 
 
2 2
2
2 2
dt 1 t 3t 3 t 3t 1 dt t 3 dt
dt
3 3 t
t 3t 3
t t 3t 3 t t 3t 3
 
    
   
 
 
 
   
   

 
2 2
1 d t 1 2t 3 d t 3 d t
3 t 2 2
t 3 t 3 t 3 t 3
 

  
 
   
 
  
2
2
1 x 2x 11 2x 1
l n a r c t g c
6
x x 1
2 3 3
  
  
 

•
 
 


     

22
dx d x 1
x 1 x x 1
x 1 x 1 3 x 1 3

 
 
  
    
 
  
2
3
dx
D =
x + 1

 




 
 
2 2
2
2 2
dt 1 t 3t 3 t 3t 1 dt t 3 dt
dt
3 3 t

t 3t 3
t t 3t 3 t t 3t 3
 
    
   
 
 
 
   
   





2
2 2
1 dt 1 d t 3t 3 3 dt
3 t 2 2
3
t 3 t 3
3
t
2
4
 
 
   
 
 

 
 
 
 
  

2 2
2 2
1 1t 2t 3 1 x 2x 11 2x 1
l n 3 a r c t g c l n arctg c
3 2 6
t 3t 3 x x 1
3 2 3 3
 
   
    
 
   
 

•
 
 


 
 
 
2
2

2 2
xdx 1 x x 1 x 1
dx
3
x 1 x x 1 x 1 x x 1
   
 

     
  
3
3
xdx
D =
x 1


2
1 1 x 1
dx
3 x 1
x x 1

 
 
 

 
 


 
 
2 2
2
1 d x 1 2x 1 d x 3 d x
3 x 1 2 2
x x 1
3
1
x
2 2
 

  
 

 
 
 
 
 
 
 
 
  


2
1 1 2x 1
l n x 1 l n x x 1 3 a r c t g c

3 2
3

 
      
 
 

•
 
 


 
 
 
2
2
2 2
xdx 1 x x 1 x 1
dx
3
x 1 x x 1 x 1 x x 1
    
 
     
  
4
3
xdx

D =
x + 1

 


2 2 2
2
1 1 x 1 1 d x 1 2x 1 d x 3 d x
d x
3 x 1 3 x 1 2 2
x x 1 x x 1
3
1
x
2 2
 
   
 
    
 
 
 
   
 
 
 
 
 
 

 
 
   

C󰗚ng đ󰗔ng h󰗎c t󰖮p tr󰗲c tuy󰗀n - CungHocTap.Com

15

2
2
2
1 1 2 x 1 1 x 2 x 11 2 x 1
l n x 1 l n x x 1 3 a r c t g c l n a r c t g c
3 2 6
x x 1
3 3 3
     
 
         
 
 
 

V. DẠNG 5: KĨ THUẬT NHẢY TẦNG LẦU KHI MẪU LÀ HÀM ĐA THỨC BẬC 6
•
  
 
1 2
3 3
3 3

dx 1 dx dx 1
D D
2 2
x 1 x 1
x 1 x 1
 
    
 
   
 
   
1
6
dx
E =
x 1


 
  
2 2
2 2
2 2
2 2
1 1 x 2x 11 2x 1 1 x 2x 11 2x 1
l n a r c t g l n a r c t g
2 6 6
x x 1 x x 1
2 3 3 2 3 3
1 x 2x 1 x x 11 2x 1 2x 1

l n a r c t g a r c t g c
1 2
4 3 3 3
x 2x 1 x x 1
 
   
     
   
 
   
   
   
 
   
 
     
 
   
 
   
 

•


 
2
1
3 3
2

1 d x 1 d u 1
D
2 2 2
u 1
x 1
  
 

  
2
6
xdx
E =
x 1


2 4 2 2
2 4 2
1 1u 2 u 11 2 u 1 1 x 2 x 1 1 2 x 1
l n a r c t g c l n a r c t g c
2 6 1 2
u u 1 x x 1
2 3 3 2 3 3
 
     
     
 
   
 



3 3 3
6 3 3
1 d x 1 1x 1 1 x 1
l n c l n c
3 3 2 6
x 1 x 1 x 1

 
    
   
 
2
3
6
x dx
E =
x 1

•


 
 
2 2
6 3
2
1 x d x 1 udu 1 udu
2 2 2

x 1 u 1
u 1 u u 1
   
  
  
   
3
4
6
x dx
E =
x 1


 
2
4 2 2
2 4 2
1 u 11 2u 1 1 x 2x 1 1 2x 1
l n a r c t g c l n a r c t g c
1 2 1 2
u u 1 x x 1
2 3 3 2 3 3
    
     
   






  
4 2 2
2 4 2 6
2 4 2
x x 1 x 1 2 d x d x d x
d x 2
x 1 x x 1 x 1
x 1 x x 1

    
   
    
  
    
4
5
6
x d x
E =
x 1






  
2 2 2
2 2

1 x 2x 1 x x 11 2x 1 2x 1 x 1
l n a r c t g a r c t g a r c t g c
1 2
2 3 3 3 x 3
x 2x 1 x x 1
 
      
    
 
   
 

•


6
6
6
1 d x 1
l n x 1 c
6 6
x 1
   
 
 
5
6
6
x dx
E =

x 1

•


6
1
6 6
x 1 1 dx
dx dx x E
x 1 x 1
 
    
  
   
6
7
6
x dx
E =
x 1






  
2 2
2 2

1 x 2x 1 x x 11 2x 1 2x 1
x l n arctg arctg c
12
4 3 3 3
x 2x 1 x x 1
     
 
    
 
   
 

•
  
  
 
2 2 2
2
4 2
2 4 2
2
2
1
1 dx
x 1 x 1 dx x 1 dx
x
1
x x 1
x 1 x x 1
x 1

x
 

 
   
 
  
 
 
  
 
 
 
   
4
8
6
x 1
E = dx
x + 1

C󰗚ng đ󰗔ng h󰗎c t󰖮p tr󰗲c tuy󰗀n - CungHocTap.Com

16





 

2
2
2
2
1
1
d x
x 3
1 1 x x 3 1
x
x
ln c l n c
1
2 3 2 3x x 3 1
1
x 3
x 3
x
x

 
 
    
 
 
 


•



  
4 2 2 2
2 6
2 4 2
x x 1 x dx x d x
dx
x 1 x 1
x 1 x x 1
  
  
 
  
   
4
9
6
x + 1
E = dx
x + 1



 
3
3
2 6
dx 1 d x 1
arctgx arctg x c
3 3

x 1 x 1
    
 
 





 
 
4 4
9 8
6
2
3
2
1 x 1 x 1 1
dx E E
2 2
x 1
1 1 1 x x 3 1
arctgx arctg x l n c
2 3
2 3x x 3 1

  
   

 

 
   
 
 
 
 
 
1 0
6
dx
E =
x + 1

•






3 2 3
2
6 6 6
1 d x 1 d x 1 d x 1
D
3 2 3 2
x 1 x 1 x 1
   
  
   

2
11
6
x + x
E = d x
x + 1
(thay x
2
vào D
2
)

 
4 2 2
3
4 2
1 1 1x 2x 1 1 2x 1
arctg x ln arctg c
3 2 6
x x 1
2 3 3
 
  
   
 
 
 


VI. DẠNG 6: SỦ DỤNG KHAI TRIỂN TAYLOR

• Đa thức P
n
(x) bậc n có khai triển Taylor tại điểm x

a là:
 
 
 
 
 
 
 
 
 
n
2 n
n n n
n n
P a P aP a
P x P a x a x a x a
1 ! 2! n!
  
       

1. Các bài tập mẫu minh họa:
•
 
 

4 3

1
50
3x 5x + 7x 8
F = dx
x + 2
. Đặt
 
4 3
4
P x 3x 5x 7x 8
   

   
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 4
2 3 4
4 4 4 4
4 4
P 2 P 2 P 2 P 2
P x P 2 x 2 x 2 x 2 x 2
1 ! 2 ! 3 ! 4 !

  
   
          

         
2 3 4
4
P x 66 149 x 2 48 x 2 29 x 2 3 x 2
         

       
 
         
         
2 3 4
1
5 0
5 0 49 48 4 7 4 6
4 9 4 8 4 7 46 4 5
66 1 4 9 x 2 4 8 x 2 2 9 x 2 3 x 2
F d x
x 2
6 6 x 2 1 4 9 x 2 4 8 x 2 2 9 x 2 3 x 2 d x
6 6 149 4 8 2 9 3
c
4 9 x 2 48 x 2 4 7 x 2 46 x 2 45 x 2
    
       
 


 
         
 

     
    



VII. DẠNG 7: KĨ THUẬT NHẢY TẦNG LẦU KHI MẪU LÀ HÀM ĐA THỨC BẬC CAO
1. Các bài tập mẫu minh họa:
C󰗚ng đ󰗔ng h󰗎c t󰖮p tr󰗲c tuy󰗀n - CungHocTap.Com

17

•
 


 
9 9 9 9 9 8
9 9
9 9 9 9
1 3 5 3 1 3
5 5
3 5
3 5 3 5
 
 
   




 
 
    
1
1 0 0
d x
G =
3x + 5 x
dx x x d x x dx
dx
x
x
x x x x




9 9 9 9
9 9
9 9 9 9
1 d x 1 d 3 x 5 1 1 1 x
l n x l n 3 x 5 c l n c
5 x 9 9 5 9 9 4 9 5
3 x 5 3 x 5
 

 

       
 
 
 
 
 
 

 


 
 
 
 
 
   
 
5 0 5 0 4 9
2 2
5 0
5 0 5 0
5 0 5 0 49 4 9 4 9
2 5 0 2
5 0
5 0 5 0
5 0
5 0
1 2 x 7 2 x 1 d x 2 x d x
d x

7 7
x 2 x 7
x 2x 7 2 x 7
1 1 2 x 7 2 x 2 x d x 1 d x 2 x d x 1 2 x d x
d x
7 7 4 9 x 7
2x 7
x 2 x 7
2x 7 2x 7
1 d x 1 d 2 x 7
4 9 x 5 0
2x 7

 
 
  
 

 
 
 
 
 
 
    
 
 

 


 
 
 
 

 



   
    
 
2
2
5 0
d x
G =
x 2 x +7
 
 
   
5 0
2
5 0
5 0
5 0
5 0
5 0 50
1 d 2 x 7
3 5 0

2 x 7
1 1 1 1 x 1
l n x l n 2 x 7 ln c
4 9 4 9 . 5 0 4 9 . 5 0
2 x 7
3 5 0 2x 7 3 5 0 2 x 7





      

 


 


   


 
n n n
k k 1 k
n n n
1 ax b ax 1 dx 1 d ax b
d x
b b nb
x ax b x ax b ax b



  
  
  
   
3
k
n
dx
G =
x ax + b


 


 


 
n n
2 k 2 2 k 1 k
n n n
1 dx 1 d ax b 1 d ax b
nb
b nb
x ax b ax b ax b
 
 

    
  
  


 
 
 
 
 
 
n
k k 1 k
k 1 n
n
n
k n k 1
k 1 n
n
1 1 1 1 1
ln x ln ax b c
n
b b
b ax b
b k 1 ax b
1 x 1 1 1
ln c
n
nb ax b
b ax b

b k 1 ax b




 
         
 

 
 
 
       
 


 
 



 


   
 
 
2000 2000 1999
2000 2000
2000 1000

2000
2000
2000
1 x 2x dx 2x dx
dx
x
x 1 x 1 x
dx 1 d 1 x 1 x
ln x ln1 x c ln c
x 1000 1000
1 x
1 x

  
  
 

       


   
 
2000
4
2000
1 x dx
G =
x 1 + x

   



 


 
 
   
 
 
10 9 10 10 10
10
2 2 2
10 10 10
10 10
10
10 2
10
10
1 .10 1 1 3 3
3
10 10 10
3 3 3
1 3 3 1 3
3 ln 3
10 10
3
10 3
3


 
  
  
 
 
     
 


 

 
   
 
19
5
2
10
x dx
G = =
3 + x
x x dx x d x x
d x
x x x
d x d x
x c
x
x
x

   


 
 
 
 
 
     
 
   
50 49 50
50
7 7
50 50
50 50
6 7 5 6
50 50 50 50
50 50
6 6
50 50
x .x dx 1 2x 3 3
d 2x 3
200
2x 3 2x 3
1 d 2x 3 d 2x 3 1 1 1
3 c
200 200
2x 3 2x 3 5 2x 3 2 2x 3
1 2 2x 3 5 1 4x

c c
200
10 2x 3 2000 2x 3

 
  
  
 
  
 
    
 
 
 
   
   
   
   
 
  
 
99
6
7
50
x dx
G =
2x 3

C󰗚ng đ󰗔ng h󰗎c t󰖮p tr󰗲c tuy󰗀n - CungHocTap.Com

18

•
   
n n 1
k
n
x x dx
ax b



 
2n-1
7
k
n
x dx
G =
a x + b


 
 
n
n
2 k
n
1 ax b b

d ax b
na
ax b
 
 






 


 
 
 
 
 
n n
2 k 1 k 2 k 2 k 1
n n n n
1 d a x b d a x b 1 1 b
b c
n a n a
a x b a x b k 2 a x b k 1 a x b
  
 
  
 

    
 
 
 
     
   
 

   


  
 
  
 
n n
2 k 1 k 1
n 2 n
1 b k 2 k 1 ax b kax b
c c
na
k 1 k 2 ax b na k 1 k 2 ax b
 
     
    
     

2. Các bài tập dành cho bạn đọc tự giải:
5
* * * *

1 2 3 4 5
8 8 8 8 8
xdx x x dx xdx dx
G ; G d x ; G ; G ; G
x 1 x 1 x 1 x 1 x 1

    
    
    

VIII. DẠNG 8: KĨ THUẬT CHỒNG NHỊ THỨC
•
 
 
 
1 0
2
3x 5 dx
x 2
x 2
 
 

 
 

 
10
1
12

3x 5
H = dx
x + 2


10 11
1 3x 5 3x 5 1 3x 5
d c
11 x 2 x 2 121 x 2
  
     
  
     
  
     


•
 
 
 
9 9 99
2
7x 1 dx 1 7x 1 7x 1
d
2x 19 2x 1 2x 1
2x 1
   
     
 

     
  
     

  
9 9
2
101
7x 1
H = dx
2x + 1


100 100
1 1 7x 1 1 7x 1
c c
9 100 2x 1 900 2x 1
 
   
   
   
 
   

•
   


 



   
5 5 6 2
8
dx 1 1 dx
x 3 x 3
x 5 x 5
x 5
x 5 x 5
   
   

 
  
3
5 3
dx
H =
x + 3 x + 5




   


 
6
6
7 5 7 5

1 1 x 3 x 5 1 1
x 3
d u 1 du
x 5
x 5
2 2 u
x 3
x 5
 
  

    
 


 


 


6 5 4 3 2
7 5
7 2 3 4 5
2
7 2 3 4
1 u 6u 1 5 u 20u 15u 6u 1
du
2 u
1

15 20 15 6
1
u 6 du
u
2 u u u u
1 u
20 15
2 1
6u 15ln u c
u
2
2 2u u 4u
     

 
      
 
 
 
       
 
 

















2
7
2 3 4
7
1 1 x 3
x 3 x 3
6 15ln
x 5 x 5
2 x 5
2
1
x 5 15 x 5 x 5 x 5
1
20 2 c
x 3 2 x 3 x 3 4 x 3
2
 

 
   
 
 


 
 
   
    
 
   
 

C󰗚ng đ󰗔ng h󰗎c t󰖮p tr󰗲c tuy󰗀n - CungHocTap.Com

19

Các bài tập dành cho bạn đọc tự giải:
•
   


1
7 3
d x
H =
3 x 2 3 x + 4
;
   
1

2
3 4
d x

H =
2 x 3 x -1
;
   

3
5 4
d x
H =
3 x + 2 4 x -1

BÀI 4. TÍCH PHÂN CƠ BẢN CỦA CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
A. CÔNG THỨC SỬ DỤNG
1. KHAI TRIỂN NHỊ THỨC NEWTON
 
0 1 1 1 1
n
n n k n k k n n n n
n n n n n
a b C a C a b C a b C ab C b
   
       

trong đó
 
!
! !


n

n
k
C
k n k
và


1 2 1
m! . . . m m
 
với qui ước 0!

1
2. CÁC CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM LƯỢNG GIÁC

       
 
 
 
 
2 2
1 1
1 1
cos ax b dx s i n ax b c sin ax b dx cos ax b c
a a
dx dx
t g ax b c cotg ax b c
a a
cos a x b s i n ax b
        

      
 
 
 

B. CÁC DẠNG TÍCH PHÂN
I. Dạng 1:
   
 
n n
1.1 1.2
A = sinx dx ; A cosx dx

1. Công thức hạ bậc
2 2 3 3
1 2 1 2 3 3 3 3
2 2 4 4
c o s x c o s x s i n x s i n x c o s x c o s x
s i n x ;cosx ; s i n x ;cosx
    
   

2. Phương pháp
2.1.

Nếu n chẵn thì sử dụng công thức hạ bậc
2.2.

Nếu n


3 thì sử dụng công thức hạ bậc hoặc biến đổi theo 2.3.
2.3.

Nếu 3

n lẻ (n

2p

1) thì thực hiện biến đổi:
     
 
 
2
2
1
p
p
s i n x sin xdx c o s x d c o s x
   
   
n 2p+1
1.1
A = sinx dx= s i n x d x

 
 
 
 
 

 
 
 
 
k p
k p
0 1 2 k 2 p 2
p p p p
k p
2k1 2p1
0 1 3 k p
p p p p
C C cos x 1 C cos x 1 C cos x d cosx
1 1 1
C cosx C cos x C cosx C cosx c
3 2k 1 2p 1
 
 
        
 
 
 
 
       
 
 
 
 


     
 
 
2
2
1
p
p
cos x cos xdx s i n x d sin x
  
   
n 2p+1
1. 2
A = cosx d x = cosx dx

C󰗚ng đ󰗔ng h󰗎c t󰖮p tr󰗲c tuy󰗀n - CungHocTap.Com

20

 
 
 
 
 
 
 
 
 
k p
k p

0 1 2 k 2 p 2
p p p p
k p
2k1 2p1
0 1 3 k p
p p p p
C C sin x 1 C sin x 1 C sin x d sinx
1 1 1
C sinx C sin x C sinx C sinx c
3 2k1 2p1
 
 
       
 
 
 
      
 
 
 


•
 
3
3
2
1 2
2
cos x

cos x d x dx

 

 
 
  
6
1
A = cos xdx =


 
 
 
3
2 3
1 1
1 cos 2x dx 1 3cos2x 3cos2x cos 2x dx
4 4
1 3 1 2cos4x cos 3x 3cosx
1 3cos2x dx
4 2 4
1 1
7x 6sin2x 3sin4x sin3x 3sinx c
16 3
     
 
 
   

 
 
 
     
 
 
 


•
     
 
 
4
8
2
1
5 5 1 5 5
5
s i n x sin x dx cos x d cos x
   
  
9
2
A = sin5x dx

 
 
2 4 6 8
3 5 7 9

1
1 4cos5x 6cos5x 4cos5x cos 5x d cos 5x
5
1 4 6 4 1
cos 5x cos 5x cos 5x cos 5x cos 5x c
5 3 5 7 9
     
 
      
 
 


II. Dạng 2:


m n
B = sin x cos x d x
(m, n

N)
1. Phương pháp:
1.1. Trường hợp 1: m, n là các số nguyên
a.
Nếu m chẵn, n chẵn thì sử dụng công thức hạ bậc, biến đổi tích thành tổng.
b.
Nếu m chẵn, n lẻ (n

2p


1) thì biến đổi:
         
 
 
2
2
1
p
m p m
s i n x c o s x c o s x d x s i n x s i n x d s i n x
  
  
m 2 p + 1
B = s i n x c o s x d x
 
 
 
 
 
 
   
 
 
 
 
k p
m k p
0 1 2 k 2 p 2
p p p p
m 1 m 3 2k 1 m 2p 1 m

k p
0 1 k p
p p p p
s i n x C C s i n x . . . 1 C s i n x 1 C s i n x d s i n x
s i n x s i n x s i n x s i n x
C C . . . 1 C 1 C c
m 1 m 3 2k 1 m 2p 1 m
     
 
        
 
 
 
       
 
     
 
 


c.
Nếu m chẵn, n lẻ (n

2p

1) thì biến đổi:
         
 
 
2

2
1
p
n p n
c o s x s i n x s i n x d x c o s x c o s x d c o s x
   
  
2 p + 1 n
B = s i n x c o s x d x
 
 
 
 
 
 
   
 
 
 
 
k p
n k p
0 1 2 k 2 p 2
p p p p
n 1 n 3 2k 1 n 2p 1 n
k p
0 1 k p
p p p p
c o s x C C c o s x . . . 1 C c o s x 1 C c o s x d c o s x
c o s x c o s x c o s x c o s x

C C . . . 1 C 1 C c
n 1 n 3 2 k 1 n 2 p 1 n
     
 
         
 
 
 
        
 
     
 
 


d.
Nếu m lẻ, n lẻ thì sử dụng biến đổi 1.2. hoặc 1.3. cho số mũ lẻ bé hơn.
1.2. Nếu m, n là các số hữu tỉ thì biến đổi và đặt u

sinx ta có:
C󰗚ng đ󰗔ng h󰗎c t󰖮p tr󰗲c tuy󰗀n - CungHocTap.Com

21

 
   
1 1
2 2
2 2
1

n m
m
m n m
B sin x cos xdx sin x cos x cos xdx u u du
 
   
  
(*)
• Tích phân (*) tính được

1 trong 3 số
1 1
2 2 2
m n m k
; ;
  
là số nguyên
2. Các bài tập mẫu minh họa
•
       
2 2
1
2
4
sin x cos x dx

 
2 4
1
B = sinx cosx dx

    
 
 
1 1
1 cos 4x 1 cos 2x dx 1 cos2x cos 4x cos 2xcos 4x dx
16 16
1 1
1 cos 2x cos 4x cos 6x cos 2x d x
16 2
1 1 sin 2x sin 4x sin6x
2 cos 2x 2cos4x cos 6x dx 2x c
32 32 2 2 6
      
 
    
 
 
 
        
 
 
 



•
       
111 8
5 5 5

cos x s i n x sin x dx

 
9 1 1 1
2
B = sin5x cos5x dx

 
 
 
 
 
 
         
4
111
2
1 1 1
2 4 6 8
112 114 116 118 120
1
cos5x 1 cos 5x d cos 5x
5
1
cos 5x 1 4cos5x 6cos5x 4cos5x cos 5x d cos 5x
5
1 cos 5x 4 cos5x 6 cos 5x 4 cos 5x cos 5x
c
5 112 114 116 118 120


 
     
 
      
 
 



•
 
     
 
 
4 4
3
6
2
5 5
1
c o s 3 s i n 3 s i n 3 c o s 3 1 c o s 3 c o s 3
3
x x x d x x x d x
 

  
  
7
3
5

4
s i n 3 x
B = d x
c o s 3 x


 
 
 
       
4
2 4 6
5
3 11 11 21
5 5 5 5
1
cos 3x 1 3cos3x 3cos3x cos 3x d cos 3x
3
1 15 15 5
5 cos 3x cos3x cos 3x cos 3x c
3 11 21 31


   

 
    
 
 


•
   


3
3 3 2 2
8
1 1
d x dx
tg x cos x cos x
sin x
cos x
cos x
 
 
 
 
  
4
3 5
dx
B =
sinx cosx




 
   

3
2
2 4 6
3 3
1 tg x
1 3tgx 3tgx tg x
d tg x d tgx
tgx t g x

  
 
 


 
 
33
2 4
2
3
1 3 1
t g x 3tgx t g x
d t g x 3lnt g x t g x t g x c
t g x
2 4
2tgx

 
  
     

 
 


•
 
 


 
 
4 4
4 2
4 2 4 2
cos sin 1 sin sin
sin
sin cos
sin 1 sin sin 1 sin
xdx d x x x
d x
x x
x x x x
 
  
 
   
5
4
dx
B =

sin xcosx
 
 
 
2
4 2 3
1 sin x d sinx 1 1 1 1 sinx
d sinx ln c
sinx 2 1 sinx
3 sinx
sin x 1 sin x
  
     


 

C󰗚ng đ󰗔ng h󰗎c t󰖮p tr󰗲c tuy󰗀n - CungHocTap.Com

22

•
       
5 1 5 4
3 3 3 3
sin cos sin cos cos d
x x dx x x x x
   
 
  

6
3
5
dx
B =
sin xcosx
     
 
2
5
2
2
3
5 4
2 3
3
3
3 3
2
1 u
sinx cos x d si n x u 1 u du u du
u



 

 

     

 
 
  

Đặt
2
3
2
1 u
v
u




3 2
2u du 3v dv

 
;
 
1 3 1 3
2 2
2
3
2 2
1 u cos x
v tgx
u s i n x


   

  
   
   
   



 
2
2
3
2
3
3
6
2
1 u 3 3 3
B u du dv v c tgx c
2 2 2
u



 
 
       
 
 

 
 

Cách 2:


     
5 2
3 3
7
2
5
3
1 dx 3
B tgx d tgx tgx c
2
cos x
sin x
cos x
 
     
 

III. Dạng 3:

   
 
n n
3 . 1 3 . 2
C = tg x dx ;C = cotg x dx

(n

N)
1. Công thức sử dụng
•
 
 
2
2
1
dx
tg x dx d tg x tg x c
cos x
    
  

•
 
 
2
2
1
dx
cotg x dx d cotg x cotg x c
sin x
       
  

•



s i n x d cos x
t g xdx dx ln cos x c
cos x

cosx
    
  

•


cos x d sin x
cotg xdx dx ln s i n x c
sin x

sin x
  
  

2. Các bài tập mẫu minh họa

•
   


 


 



2 2 2 4 2 6
2 2 2
t g 1 t g t g 1 t g t g 1 t g
k k k
x x x x x x
  
      
 
2 k
1
C = t g x d x
 


 
 


 
k 1 k2k 8 0
2 2
t g x 1 t g x . . . 1 t g x 1 t g x 1 d x


       


     

 
   
 
     
   
k 1 k2k 2 2k 4 2k 6 0
2k 1 2k 3 2k5
k 1 k
tgx tgx tgx 1 tgx d tgx 1 d x
tgx tgx t g x
t g x
1 1 x c
2k 1 2k 3 2k 51
  
  

 
       
 
       
  
 

•
   


 



2 1 2 3
2 2
tg 1 tg tg 1 tg
k k
x x x x
 
    
 
2 k + 1
2
C = tgx dx
 


 
 


 
k 1 k
2k5
2 2
tg x 1 tg x . 1 tgx 1 tg x 1 tgx dx



       


     

 
   
 
     
 
 
 
k 1 k
2k 1 2k3 2k 5
2k 2k 2 2k 4 2
k 1 k
tgx t g x t g x 1 tgx d t g x 1 t g xdx
tgx tgx tgx t g x
1 1 l n cos x c
2k 2k 2 2k 42

  
 

 
       
 
        
 
 

C󰗚ng đ󰗔ng h󰗎c t󰖮p tr󰗲c tuy󰗀n - CungHocTap.Com

23

•
   


 


2 2 2 4
2 2
cotg 1 tg cotg 1 tg
k k
x co x x co x
 
    
 
2 k
3
C = cotgx dx

 


 
 


 
k 1 k2k 6 0
2 2
cotg x 1 c o tg x 1 c o t g x 1 c o tg x 1 d x



       


   
 
   
 
     
   
k 1 k2k 2 2k 4 0
2k1 2k 3 2k5
k 1 k
cotg x cotg x 1 cotg x d cotg x 1 d x
cotg x cotg x cotg x
cotg x
1 1 x c
2k 1 2k 3 2k 5 1
 
  

 
       
 
 
 
         
  
 

 

•
   


 


2 1 2 3
2 2
cotg 1 tg cotg 1 tg
k k
x co x x co x
 
    
 
2k+1
4
C = cotgx dx

 


 
 


 
k 1 k2k 5 1

2 2
c o t g x 1 c o tg x 1 c o t g x 1 c o tg x 1 c o t g x d x


       


   
 
   
 
   
 
 
 
k 1 k
2k 1 2k 3
2k 2k 2 2
k 1 k
cotg x cotg x . 1 c o t g x d cotg x 1 cotg x dx
cotg x cotg x cotg x
1 1 l n s i n x c
2k 2k 2 2

 


 
       
 

 
 
        

 
 

•
         
5 4 3 2
t g 5 tg cotg 10 t g cotgx x x x x

   

 
5
5
C = t g x + cotgx dx
       
       
       
2 3 4 5
5 5 3 3
5 3 5 3
10 tgx cotg x 5tgx cotg x cotg x dx
tgx cotg x 5 tgx 5 cotg x 10 tg x 10cotg x dx
tgx 5 tgx 10tgx dx cotg x 5 cotg x 10cotg x dx

  


 
     
 
   
     
   

 

 




 
   
       
   
3
2 2
3
2 2
3 3
4 4
2 2
t g x 1 t g x 4tgx1 t g x 6tgxd x
c o t g x 1 c o t g x 4cotgx1 c o t g x 6cotgxd x
t g x 4tgxd t g x 6 tg x d x c o t g x 4cotgxd c o t g x 6 c o t g x
d x
t g x c o t g x

2tgx 6lnc o s x 2cotgx 6lns i n x c
4 4
 
    
 
 
    
 
   
     
   
      


   

IV. Dạng 4:

 
 
 
 
 
m m
4 . 1 4 . 2
n n
tg x cotg x
D = dx ; D = dx
cos x sin x

1. Phương pháp:
Xét đại diện
 
 
4 1
m
.
n
tg x
D dx
cos x



1.1. Nếu n chẵn (n

2k) thì biến đổi:
 
 
   
 
 
1
1
2
2 2
1
1
k
k

m m
dx
tg x tg x tg x d tg x
cos x cos x


 
  
 
 
  
m
4.1
2 k
t g x
D = dx
cosx

C󰗚ng đ󰗔ng h󰗎c t󰖮p tr󰗲c tuy󰗀n - CungHocTap.Com

24

 
     
 
       
1 p k 1
m
0 1 2 p 2 k 1 2
k 1 k 1 k 1 k 1

m 1 m 3 m 2p 1 m 2k 1
0 1 p k 1
k 1 k 1 k 1 k 1
tgx C C t g x C tg x . C t g x d tgx
t g x tgx tg x tgx
C C . C . . . Cc
m 1 m 3 m 2p 1 m 2k 1


   
     

   
 
     
 
    
     


1.2. Nếu m lẻ, n lẻ (m

2k

1, n

2h

1) thì biến đổi:
 

 
 
 
2 2
2
2
2
1 1
h h
k
k
t g x
s i n x
t g x d x t g x d x
c o s x c o s x c o s x
c o s x
   
 
   
   
  
2 k + 1
4 .1
2 h + 1
t g x
D = d x
c o s x

 
k 2h

k
2 2h
2
1 1 1
1 d u 1 u du
cos x cosx
cos x
     
   
   
 
   
 
 
(ở đây
1
u
cosx

)
   
 
 
 
k k 1 k p
p k
2h 0 2 1 2 p 2 k
k k k k
u C u C u 1 C u . 1 C du
 

 
       
 


   
2k 2h 1 2k 2h 1 2k 2h 2p 1 2h 1
p k
0 1 p k
k k k k
u u u u
C C 1 C 1 C c
2 k 2 h 1 2 k 2 h 1 2 k 2 h 2 p 1 2 h 1
       
        
       

1.3. Nếu m chẵn, n lẻ (m

2k, n

2h

1) thì sử dụng biến đổi:
 
 
 
 
 
 

 
   
 
 
     
2k
2k 2k
4 . 1
2h 1 k h 1
2 k h 1
2
2k 2k 2 2 2k 2 2k 2
4 . 1
k h 1 k h 1 k h 1 k h
2 2 2 2
tgx
s i n x cos x s i n x
D d x dx d sinx ; u sinx
cos x
cos x
1 s i n x
u du u 1 1 u u d u u d u
D du
1 u1 u 1 u 1 u
  
 
  
      
   


 
 
 
   
   
  
   

Hệ thức trên là hệ thức truy hồi, kết hợp với bài tích phân hàm phân thức hữu tỉ ta có thể tính
được D
4.1
.
2. Các bài tập mẫu minh họa:
•
 
 
 
   
 
 
 
2
2
7 7
2
2 2
1 1
t g 3 tg 3 1 t g 3 t g 3
3
c o s 3 c o s 3

d x
x x x d x
x x
 
  
 
 
  
7
1
6
t g 3 x
D = d x
c o s 3 x

       
     
8 1 0 1 2
7 2 4
t g 3 x t g 3 x t g 3 x
1 1
t g 3 x 1 2 t g 3 x t g 3 x d t g 3 x 2 c
3 3 8 1 0 1 2
 
 
      
 
 
 


•
 
 
 
   
3
1 0
2 2
1
5
5 5
dx
cotg x
sin x sin x
 

 
 
 
1 0
2
8
cotg5x
D = dx
sin5x


   
       

3
10
2
1 1 13 15 17
1
cotg 5x 1 cotg 5x d cotg 5x
5
cotg 5x cotg 5x cotg 5x cotg 5x
1
3 3 c
5 11 13 15 17
 
  
 
 
 
     
 


•
 
 
 
9 4
6
4
1
4
4 4

tg x
t g x dx
cos x cos x
 

 
 
 
7
3
9 5
tg4x
D = dx
cos4x

C󰗚ng đ󰗔ng h󰗎c t󰖮p tr󰗲c tuy󰗀n - CungHocTap.Com

25

 
 
 
       
3 94
3
9 4 2
2
1 0 1 9 9 9 7 95
94 6 4 2
1 0 1 99 97 95

1 1 1 1 1
1 d u u 1 du
4 cos 4x cos 4x 4
cos4x
1 1 u u u u
u u 3 u 3 u 1 du 3 3 c
4 4 101 9 9 97 95
1 1 1 3 1
c
4
101 cos 4x 33 cos 4x 97 cos 4x 95 cos 4x
     
   
   
 
   
 
 
        
 
 
 
    
 
 
 


•
 

 
 
4 0
8
3
1
3
3 3
cotg x
cotg x dx
sin x s i n x
 

 
 
 
9
4
4 1
cotg3x
D = dx
s i n 3 x

 
4 40
4
4 0 2
2
1 1 1 1 1
1 d u u 1 du

3 sin3x sin3x 3
sin x
     
     
   
 
   
 
 

 
49 47 45 43 41
4
40 8 6 4 2
1 1 u u u u u
u u 4u 6u 4u 1 du 4 6 4 c
3 3 49 47 45 43 41
 
            
 
 


         
49 47 45 43 41
1 1 4 2 4 1
c
3
4 9 s i n 3 x 4 7 s in 3 x 1 5 s i n 3 x 4 3 s i n 3 x 4 1 si n 3 x
 

      
 
 

•
 
 
   
 
22
2 2 2
1
sinx cosxdx sinx
d sinx
sinx
cosx cosx
 
  
 

 
  
2
5
tgx dx
D =
cosx

   
  

   
2
2
1 sin x 1 sin x 1 1
d s i n x d s i n x
1 sin x 1 sin x 1 sin x 1 sin x
 
  
 
  
 
 
   
 
 
 

   
 
2 2 2
1 1 2 1 1 1 s i n x
d s i n x l n c
1 s i n x 1 s i n x 1 s i n x
1 s i n x
1 s i n x 1 s i n x

 
      
 
  


 
 


•
 
 
   
 
 
 
4 4
4 2 3
2
1
sin x cos xdx sin x
d sin x
cos x cos x
sin x
  

  
4
6
tgx
D = dx
cosx
 



     
4 4 2
2 1
3 3 3 2
2 2 2 2
u du 1 1 u du 1 u
du du I I
1 u 1 u 1 u 1 u
  
     
   
   



 
2
1
2
2
1
1
u du
I
u







 
2
2 2 2
1
1
1 du
d u
1 u
u
u
c c
1
1 u
1
1
u
u
u
u
u
u
 


 
 
      


 



 
 
 

 
2
3
2
1
du
I
u



   
  
3
3
1 1 u 1 u 1 1 1
du d u
8 1 u 1 u 8 1 u 1 u
 
  
 
  

 
 
   
 
 
 

   
 
3 3
2
1 1 1 3 1 1
d u
8 1 u 1 u
1 u 1 u 1 u
 
 
   
 
 
 
 
  
 


   
 
   
 





 
 
 
   
2 2
2 2
2 2 2 2 2
2 2 2
2
1
2 2 2 2
2 2 2
1 1 1 du 1 1 u 1 u 1 u 1 u
6 3 du
8 8
2 1 u 2 1 u
1 2 1 u 1 u
u 3 1 u du 3 du u 3 3 1 u
I ln c
8 8 8 16 1 u
1 u
4 1 u 1 u 4 1 u
 
     
 
    

 
 
 
 
  
   
 
      


  
 
 
u