Đề tài Dùng bất đẳng thức để giải phương trình Hệ phương trình

Dùng bất đằng thức để giải phơng trình, hệ phơng trình
I. phần mở đầu
I.1. Lý do chọn đề tài.
Giúp đỡ học sinh là một trong những nhiệm vụ quan trọng nhất mà
ngời thầy nhất thiết phải làm. Nhiệm vụ đó không phải là dễ nó đòi hỏi
phải có thời gian, kinh nghiệm, phải có lòng tận tâm và những nguyên
tắc đúng đắn. Ngời học sinh với sự nỗ lực của bản thân phải thu đợc
càng nhiều càng tốt những kinh nghiệm độc lập công tác. Nhng nếu
Học sinh đứng một mình trớc một bài toán mà không có giúp đỡ nào,
hay một sự giúp đỡ quá ít thì không thể tiến bộ gì đợc. Mặt khác nếu
thầy giúp đỡ nhiều quá thì học sinh chẳng còn gì phải làm. Thầy giáo
phải giúp đỡ vừa phải không nhiều quá, cũng ít quá và nh vậy để học
sinh có một công việc hợp lý.
Trong các kì thi chọn học sinh giỏi cấp huyện, cấp tỉnh của trung học
cơ sở và thi vào lớp 10 chúng ta thờng gặp bài toán giải phơng trình, hệ
phơng trình không chính tắc, chúng thờng đợc thiết kế dới ý tởng của
một bất đẳng thức tính chất bất đẳng thức nào đó.
Phơng trình, hệ phơng trình không chính tắc là sự phối hợp nhiều
luồng kiến thức, kĩ năng giải toán. Bài toán đòi hỏi ngời làm toán phải
hiểu biết sâu sắc bất đẳng thức, linh hoạt trong sử dụng. Ngời làm toán
cần tìm tòi, củng cố hệ thống, liên hệ các kiến thức, đồng thời tập cho
chúng ta làm quen với nghiên cứu, khám phá vẻ đẹp toán học.
Là giáo viên dạy toán nhiều năm tôi nhận thấy cần phải tập hợp
lại thành một chuyên đề để dạy cho học sinh sử dụng dạng toán một
cách có hệ thống nhằm cho học sinh hiểu rõ và sử dụng dạng toán một
cách chính xác, linh hoạt, khơi dạy tính tích cực, chủ động, tự giác học
tập của học sinh nhằm giúp học sinh có thể giải một số bài toán nhanh,
gọn và tiết kiệm đợc thời gian .
Căn cứ vào thực tế trên, yêu cầu của việc bồi dỡng học sinh khá giỏi
và đặc biệt là việc phát huy tính tích cực chủ động sáng tạo của học
sinh trong hoạt động học tập. Với các lý do nêu trên tôi có ý tởng xây

dựng đề tài: Dùng bất đẳng thức để giải phơng trình hệ phơng trình.
Nguyễn Thị Hạnh Trờng THCS Mạo Khê II
Dùng bất đằng thức để giải phơng trình, hệ phơng trình
I.2.Tính cần thiết của đề tài.
Theo đề tài này khi đa vào áp dụng sẽ có tác dụng sau:
Nhằm nâng cao chất lợng Giải phơng trình, hệ phơng trình
bằng phơng pháp dùng bất đằng thức. Giúp cho thầy và trò trong
dạy và học đạt đợc kết quả cao trong các kỳ thi, kỳ thi học
sinh giỏi Toán, giải toán trên máy tính bỏ túi khối THCS,
học sinh có niềm tin và kỹ năng vận dụng dạng toán giải
phơng trình và hệ phơng trình. Góp phần nâng cao chất lợng
dạy học toán và các bộ môn khác ngày càng cao hơn.
I.2. Mục đích nghiên cứu.
Học sinh đạt đợc Giải phơng trình và hệ phơng trình bằng phơng
pháp bất đẳng thức .
I.3. Đối tợng, phạm vi, kế hoạch, thời gian nghiên
cứu.
4.1. Đối tợng nghiên cứu:
- Các dạng toán giải phơng trình, hệ phơng trình v các bất đẳng
thức trong chơng trình THCS.
4.2. Phạm vi nghiên cứu:
Học sinh các lớp khối 8 khối 9 ở trờng THCS Mạo Khê II -
Đông Triều - Quảng Ninh
4.3.Thời gian nghiên cứu: Năm học 2005- 2006; 2006- 2007;
2007- 2008; 2008- 2009; 2009 - 2010.
I.4. Đóng góp mới về mặt lý luận và thực tiễn
I.4.1. Cơ sở lí lụân
Nói đến dạy học là một công việc vừa mang tính khoa học vừa
mang tính nghệ thuật. Do đó đòi hỏi ngời giáo viên cần có năng lực s
phạm vững vàng, phơng pháp giảng dạy phù hợp theo hớng tích cực

giúp học sinh chủ động trong việc chiếm lĩnh kiến thức. Việc tạo cho
học sinh niềm hứng thú trong học tập Giải phơng trình hệ phơng trình
bằng phơng pháp dùng bất đằng thức hoàn toàn phụ thuộc vào năng
lực s phạm của giáo viên . Ngoài việc lên lớp ngời giáo viên phải
không ngừng học hỏi, tìm tòi tài liệu có liên quan để làm sao có thể
truyền thụ cho học sinh một cách nhẹ nhàng, dễ hiểu, phù hợp với khả
năng tiếp thu của từng đối tợng học sinh.
Hớng đổi mới phơng pháp dạy học Toán hiện nay ở trờng THCS
là tích cực hóa hoạt động học tập của học sinh, khơi dậy và phát triển
Nguyễn Thị Hạnh Trờng THCS Mạo Khê II
Dùng bất đằng thức để giải phơng trình, hệ phơng trình
khả năng tự học, nhằm hình thành cho học sinh t duy tích cực, độc lập,
sáng tạo, nâng cao năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề, rèn luyện
kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn: tác động đến tình cảm đem
lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh. Đặc biệt là trong năm học
này toàn ngành giáo dục đang ra sức thực hiện cuộc vận động Xây
dựng trờng học thân thiện, học sinh tích cực thì việc tạo hứng thú
học tập cho học sinh cũng chính là tạo cho các em có niềm tin trong
học tập, khơi dậy trong các em ý thức mỗi ngày đến trờng là một
niềm vui
I.4.2. Cơ sở thực tiễn
Bản thân tôi là một giáo viên đã trực tiếp giảng dạy môn Toán tôi có
nhiều năm tham gia vào công tác bồi dỡng học sinh giỏi môn Toán,
Toán trên máy tính tại trờng THCS Mạo Khê II tôi thấy rằng:
- Đối với học sinh giải phơng trình, hệ phơng trình bằng phơng
pháp dùng bất đẳng thức các em rất tích cực vì một số điều nh kết
quả nhanh, chính xác, làm đợc nhiều bài tập trong khoảng thời gian
ngắn, tạo hứng thú cho học sinh học toán.
- Đối với giáo viên đa số trong khi đó kiến thức đã khó lại rộng lớn
và bao trùm. Do đó để thời gian vào nghiên cứu, tìm tòi để có kiến

thức vững và sâu thì rất khó, có lẽ mọi ngời cùng một suy nghĩ rằng -
cố gắng hoàn thành nhiệm vụ là đợc còn nghiên cứu tìm tòi đã có các
nhà khoa học.
- Nguyên nhân góp phần không nhỏ nữa cho rằng việc nghiên
cứu tìm lời giải cho các bài toán là những ngời phải có trí tuệ, phải là
bậc vĩ nhân. Suy nghĩ này chỉ đúng một phần vì Ngọc không mài thì
không sáng đợc.
- Do đó đòi hỏi ngời giáo viên phải có thời gian, có tâm huyết và
tinh thần học hỏi cao thì mới đáp ứng đợc chuyên môn, công việc
giảng dạy của mình. Toán học cao cấp có kiến thức, có cách giải nhanh
và khoa học với bài toán trên song không vận dụng đợc vào cấp học
phổ thông, hoặc cha tìm đợc phơng pháp khoa học để học sinh tiếp cận
cho phù hợp với chơng trình học, và nội dung sách giáo khoa hiện
hành.

II. phần nội dung
II.1.1. Một số thành tựu
Nguyễn Thị Hạnh Trờng THCS Mạo Khê II
Dùng bất đằng thức để giải phơng trình, hệ phơng trình
Thực tế qua theo dõi chất lợng bồi dỡng học sinh giỏi ở khối 8, 9
có áp dụng sáng kiến kinh nghiệm trên thì tôi thấy rằng đa số các em
tích cực t duy, hứng thú với bài tập mới, kiến thức mới hơn so với các
lớp còn lại. Đặc biệt là trong lớp luôn có sự thi đua tìm ra cách giải
hay nhất, nhanh nhất. Không khí lớp học luôn sôi nổi, không gò bó,
học sinh đợc độc lập t duy. Điều hứng thú hơn là phát huy đợc trí lực
của các em, giúp các em phát triển kỹ năng nghiên cứu khoa học hứng
thú trong việc tìm tòi kiến thức mới, kỹ năng mới.
II.1.2. Một số tồn tại và nguyên nhân
Sáng kiến kinh nghiệm này đợc áp dụng trong hai khối 8 và khối
9 khả năng nhận thức của học sinh không đồng đều, đa số học sinh

còn thiếu động cơ học tập, lời học, không tích cực học tập vì cho rằng
đây là chuyên đề khó không quan trọng, không thiết thực vậy việc phát
huy tính tích cực của một số học sinh đó rất hạn chế. Hơn nữa những
học sinh trên ít đợc sự quan tâm của gia đình.Vì vậy đòi hỏi sự cố
gắng tận tâm của ngời thầy dần giúp các em hòa nhập với khả năng
nhận thức chung cuả môn học.
II.13. Vấn đề đặt ra
Rèn luyện Giải phơng trình hệ phơng trình bằng phơng pháp dùng
bất đằng thức là một trong những cách hình thành kiến thức, kỹ năng
mới cho học sinh phơng pháp luyện tập thông qua bài tập là quan
trọng để nâng cao chất lợng dạy và học bộ môn. Với học sinh họat
động giải bài tập là hoạt động tích cực có tác dụng sau:
- Rèn kỹ năng vận dụng kiến thức đã học, kiến thức tiếp thu đợc
qua bài giảng thành kiến thức của mình, kiến thức đợc nhớ lâu khi đợc
vận dụng thờng xuyên.
- Đào sâu mở rộng kiến thức đã học một cách sinh động, phong
phú, hấp dẫn.
- Là phơng tiện để ôn tập, củng cố, hệ thống hoá một cách tốt
nhất kiến thức đã học.
- Phát triển năng lực nhận thức, rèn trí thông minh cho học sinh.
II.2.áp dụng trong giảng dạy
II.2.1.các b ớc tiến hành
Nguyễn Thị Hạnh Trờng THCS Mạo Khê II
Dùng bất đằng thức để giải phơng trình, hệ phơng trình
Để bồi dỡng học sinh giỏi Toán nói chung và giải toán trên máy tính
nói riêng có hiệu quả theo tôi phải làm đợc những công việc sau:
- Đầu năm phân loại đối tợng học sinh, chọn những em học khá
Toán trở lên và chăm học vào đội tuyển HSG Toán.
- Chuẩn bị tài liệu, sách tham khảo, sách nâng cao môn Toán.
- Soạn nội dung bồi dỡng học sinh giỏi, trong nội dung bồi dỡng học

sinh giỏi phải hệ thống, phân loại đợc từng dạng Toán ở khối đợc phân
công bồi dỡng
- Lên kế hoạch bồi dỡng học sinh giỏi theo từng tuần .
- Thờng xuyên tìm hiểu và nghiên cứu các kiến thức có liên quan trên
mạng internet.
Kế hoạch bồi dỡng học sinh giỏi : Dạy từ 2 3 buổi trong một tuần.
Ii.2.2. Quá trình thực hiện
I)- á p dụng bất đẳng thức Cauchy
1. Kiến thức
Bất đẳng thức Cauchy là một bất đẳng thức quen thuộc đối cới
hầu hết học sinh. Tuy nhiên, ngời ta vẫn xây dựng đợc nhiều bài toán
mới hay khó. Bất đẳng thức cauchy đợc phát biểu:
Cho dãy số không âm a
1
,a
2
, a
n
. Ta có bất đẳng thức:
n
n
n
aaa
n
aaa


21
21

++
Và dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a
1
=a
2
= =a
n
Bất đẳng thức đợc chính minh trong rất nhiều tài liệu, xin phép
không trình bày chứng minh trong bài viết này.
2. Một số ví dụ.
Phơng trình, hệ phơng trình giải bằng cách dùng bất đẳng thức
cauchy rất phong phú và đa dạng. Thông qua các ví dụ điển hình mong
rằng chúng ta sẽ nhận dạng nhanh đặc điểm của bài toán.
Ví dụ 1: Giải phơng trình:
5.63.42.24 ++=+++ zyxzyx
(Tuyển sinh 10, THPT Lê Hồng Phong TP Hồ Chí Minh - 1993 -1994)
* Lời giải:
Điều kiện có nghĩa: x 2 ; y 3 ; z 5.
Nguyễn Thị Hạnh Trờng THCS Mạo Khê II
Dùng bất đằng thức để giải phơng trình, hệ phơng trình
áp dụng Bất đẳng thc Cauchy, ta có:
1222 + xx
(1)
4334
+
yy
(2)
9556 + zz
(3)
Cộng (1), (2), (3), ta có:

45.63422 +++++ zyxzyx
Đẳng thức xảy ra: x - 2 = 1
Khi y - 3 = 2
z - 5 = 3
Vậy nghiệm của phơng trình là: (x ; y, z) = (3, 5, 8)
Nhận xét: Đây là phơng trình vô tỷ không chính tắc, bài toán còn
có những cách giải khác, tuy nhiên với cách giải dùng bất đẳng thức
Cauchy là dụng ý của ngời viết. Đây là bài toán cơ bản, chúng ta có
thể tạo nhiều bài tơng tự với một chút biến đổi.
Ví dụ 2: Giải phơng trình:
3
34
46516 xxx +=+
Lời giải:
Điều kiện có nghĩa: Vì 16x
4
+ 5 > 0 nên
3
3
4 xx +
> 0 x > 0
áp dụng Bất đẳng thức Cauchy cho 3 số dơng 4x; 4x
2
+1 ; 2 ta
có:
3442)14(42).14(4346
22
3
3
3

3
++=++++=+ xxxxxxxx
=> 16x
3
+ 5 4x
2
+ 4x + 3
8x
3
+ 2x
2
- 2x + 1 0
(2x-1)
2
. (2x
2
+ 2x + 1) 0
(2x - 1)
2
0, vì (2x - 1)
2
0, nên x = 1/2 thỏa mãn
Nhận xét: Đây là bài toán phơng trình vô tỷ khó, hiểu giải bằng
cách nâng lên lũy thừa thì bài toán phức tạp và khó giải đợc . Bằng
cách quan sát, sử dụng điều kiện hợp lý, bất đẳng thức Cauchy kết hợp
Nguyễn Thị Hạnh Trờng THCS Mạo Khê II
Dùng bất đằng thức để giải phơng trình, hệ phơng trình
với biến đổi tơng đông chúng ta tìm ra lời giải. Quan sát kỹ chúng ta
có thể tạo ra một lớp bài toán bằng cách biển đổi đi lên.
Ví dụ 3: Giải hệ phơng trình

3
1
2
4
2
=+
y
x

3
1
2
4
2
=+
x
y
Lời giải:
6
1
2
1
2
2
2
2
2
=+++
y
y

x
x
Cộng vế với vế ta có: (1)
áp dụng Bất đẳng thức Cauchy ta có:
3
1
3
1
3
4
22
4
22
=++
x
xx
x
xx
3
1
3
1
3
4
22
4
22
=++
y
yy

y
yy
4
2
1
x
x =
Vậy dấu bằng xảy ra ở (1) khi:
4
2
1
y
y =
x = 1
y = 1
Vậy tập nghiệm của hệ phơng trình là:
( x ; y) = {(1 ; 1), (1 ; -1), (-1 ; 1), (-1 ; -1)
Nhận xét: Đứng ở góc độ nào đó, thì đây là lệ phơng trình đối
xứng loại 2, bài toán có thể giải theo phơng trình chung đó. Vận dụng
bất đẳng thức cauchy trong bài là lời giải độc đáo và sáng tạo. Chỉ sử
dụng bất đẳng thức Cauchy thì phơng trình (1) dễ phát hiện hơn so với
hệ phơng trình đầu bài cho. áp dụng cách giải, ta có thể tạo ra nhiều
bài hay và khó hơn.
Ví dụ 4: Giải hệ phơng trình :
Nguyễn Thị Hạnh Trờng THCS Mạo Khê II
Dùng bất đằng thức để giải phơng trình, hệ phơng trình
y
x
x
=

+
2
2
1
2
z
y
y
=
+
2
2
1
2
x
z
z
=
+
2
2
1
2
Lời giải:
Dễ thấy ( x; y; z) = (0; 0; 0) là một nghiệm của phơng trình
Xét x # 0 thì y # 0, z # và x, y, z > 0
áp dụng Bất đẳng thức Cauchy ta có: 1+ x
2
2x , 1+ y
2

2y ,1
+z
2
2z.
Nên ta có:
x
x
x

+
2
2
1
2
;
y
y
y

+
2
2
1
2
;
z
z
z

+

2
2
1
2
Vậy từ hệ phơng trình ta
có:
y x z y do đó x = y = z . Giải ra ta có: x = y = z = 1
Vậy hệ phơng trình có hai nghiệm (x, y, z) = {(0, 0, 0) ; (1, 1, 1)}
Nhận xét: Đây là hệ phơng trình có dạng hoán vị, ngoài cách giải
trên, bài toán còn cách giải khác. Tuy nhiên cách giải trên ngắn gọn,
phù hợp với học sinh THCS hơn, Bất đẳng thức Cauchy đã đem lại lời
giải hay, độc đáo.
II)- á p dụng bất đẳng thức BUNHIACÔPSKI.
1- Kiến thức:
Khi nhắc đến bất đẳng thức chúng ta không thể không nhắc đến
Bất đẳng thức Binhiacôpski. Đây là một bất đẳng thức quen thuộc với
học sinh, đợc sử dụng nh một công cụ, trong phần này chúng ta
nghiên cứu dới dạng ứng dụng giải phơng trình, hệ phơng trình không
mẫu mực. Trớc hết ta phát biểu bất đửng thức Binhiacôpski.
Giả sử: a
1
, a
2
,, a
n
và b
1
, b
2
,b

n
là hai hãy số tùy ý.
Ta có bất đẳng thức.
(a
1
b
1
+ a
2
b
2
+ a
n
b
n
)
) ).( (
22
2
2
1
22
2
2
1 nn
bbbaaa ++++++
.
Nguyễn Thị Hạnh Trờng THCS Mạo Khê II
Dùng bất đằng thức để giải phơng trình, hệ phơng trình
Và dấu bằng xảy ra khi:

n
n
b
a
b
a
b
a

2
2
1
1
==
Bất đẳng thức đợc chứng minh trong rất nhiều tài liệu, xin phép
không trình bày cách chứng minh trong bài viết này.
2. Một số ví dụ:
Kỹ thuật dùng bất đẳng thức Bunhiacôpski trong giải phơng
trình, hệ phơng trình thờng phong phú và đa dạng. Khi giải dạng toán
bằng phơng pháp này, cần quan sát, có kỹ năng nhận biết các cặp số.
Sau đây là một số ví dụ phân tích nhận biết này:
Ví dụ 1: Giải phơng trình
164231
2
+=+ xxxx
Lời giải:
Điều kiện có nghĩa x 1
áp dụng bất đẳng thức Bunhia-côpki ta có:
2222
)3()1(.1131 +++ xxxx

164231
2
++ xxxx
Đẳng thức xảy ra
03
1
3
1
1


=

x
xx

3
)3(1
2

=
x
xx

0107
3
2
=+

xx
x
x = 5 (loại x = 2 < 3). Vậy phơng trình có nghiệm duy nhất x
= 5.
Nhận xét: Nhận biết hai bộ s
3;1 xx
và 1; 1 để dùng bất đẳng
thức Bunhia -côpski đánh giá vế trái là một kỹ thuật hay và khó. Bài
toán này nếu giải theo cách khác sẽ phức tạp và gặp khó khăn, Chúng
ta có thể tạo ra những bài toán tơng tự.
Ví dụ 2: Giải phơng trình
381257
2
+=+ xxxx
Nguyễn Thị Hạnh Trờng THCS Mạo Khê II
Dùng bất đằng thức để giải phơng trình, hệ phơng trình
(Thi học sinh giỏi THCS TP Hồ Chí Minh 2002 - 2003)
Lời giải:
Điều kiện có nghĩa: 5 x 7.
áp dụng bất đẳng thức Bunhia-côpski ta có:
Vế trái:
( ) ( )
257.1157
22
=+++ xxxx
(1)
Vế phải: x
2
- 12x + 38 = (x-6)
2

+ 2 2 (2)
Vậy vế trái 2 vế phải
1
5
1
7
=
xx
Từ (1), (2) đẳng thức xảy ra khi:
0)6(
2
=x
x = 6
Vậy phơng trình có nghiệm duy nhất x = 6
Nhận xét: Đây là bài toán cơ bản đối với học sinh. Nhận biết hai
bộ:
x7
;
5x
và 1; 1 để sử dụng bất đẳng thức Buhnhia-côpski
đánh giá vế trái kết hợp dùng hằng đẳng thức để đánh giá vế phải.
Cách thiết lế những bài toán nh vậy sẽ kiểm tra đợc nhiều luồng kiến
thức của học sinh.
Ví dụ 3: Giải hệ phơng trình
92
)(26)43(
333
2222
=++
++=++

zyx
zyzyx
Lời giải:
áp dụng bất đẳng thức Bunhia-côpski ta có:
))(431()43(
2222222
xyxzyx ++++++

)(26)43(
2222
xyxzyx ++++
(1)
Đẳng thức (1) xảy ra khi
431
zyx
==
kết hợp với hệ phơng trình ta
tìm đợc nghiệm duy nhấy (x, y, z) = (1 ; 3 ; 4).
Nhận xét: Đây là hệ phơng trình không mẫu mực. Để phát hiện
ra cách vận dụng bất đẳng thức Bunhia-côpski trong bài ta chú ý đến
vế phải của chơng trình thứ nhất (chứa x
2
+ y
2
+ z
2
), Sau đó chọn bộ số
Nguyễn Thị Hạnh Trờng THCS Mạo Khê II
Dùng bất đằng thức để giải phơng trình, hệ phơng trình
thích hợp là 1; 3; 4 và x, y, z để đánh giá. Phơng trình thứ hai chỉu

dùng khi đánh giá xong phơng trình thứ nhất. Những bài kiểu này dễ
thiết kế, xong khó giải. Ngời giải phải có kiến thức nhất định về bất
đẳng thức.
Ví dụ 4: Giải hệ phơng trình
2006
2007
.20061 11
200621
=++++++ xxx
2006
2005
.20061 11
200621
=+++ xxx
Lời giải:
Điều kiện có nghĩa; -1 x
i
1 ; i = 1, 2 ., 2006.
áp dụng bất đẳng thức Bunhia-côpski ta có:

( )
2
200621
2
1 11
2006
2007
.2006 xxx ++++++=
)1 11)(1 11(
200621

xxx +++++++++
) 2006.(20062007.2006
200621
xxx ++++

1
200621
+++ xxx
(1)
( )
2
200621
2
1 11
2006
2005
.2006 xxx +++=
) 2006.(20062005.2006
200621
xxx

1
200621
+++ xxx
(2)
Từ (1), (2) x
1
+ x
2
+ .+ x

2006
và điều kiện bất đẳng thức
của hệ xảy ra, nên hệ đã cho tơng đơng với:
Tơng đơng với:
1
1 11
1 11
200621
200621
200621
=+++
===
+==+=+
xxx
xxx
xxx
Nguyễn Thị Hạnh Trờng THCS Mạo Khê II
Dùng bất đằng thức để giải phơng trình, hệ phơng trình
=> x
1
= x
2
= x
2006
= 1/2006
Nhận xét: Đây là bài toán khó, dẫu biết rằng phải sử dụng bất
đẳng thức. Cách đánh giá liên lục hai phơng trình rồi so sánh với nhau
đòi hỏi ngời giải phải có kỹ năng thuân thục, sáng tạo, nhậy bén trong
vận dụng bất đẳng thức nói chung.
Tổng quát ta có bài toán sau:

n
kn
nxxx
n
kn
nxxx
n
n

=+++
+
=++++++
.1 11
.1 11
21
21
III)- Giải ph ơng trình bằng cách đánh giá các ẩn
1- Kiến thức:
Nhiều bài toán tởng chừng không giải đợc , thật bất ngờ chung ta
chỉ cần đánh giá, so sánh các ẩn trong phơng trình thì bài toán cho ta
một lời giải thú vị đến bất ngờ.
Kỹ thuật trong phần này thờng sử dụng quan sát các ẩn, để đánh
giá hai vế hoặc giữa các phơng trình của hệ để tìm ra sự kiên hệ giữa
các ẩn số, từ đó có đợc một phơng trình , hệ phơng trình đơn giản hơn.
2. Một ví dụ:
Trong phần này thông qua một ví dụ, chúng ta quan sát cách
đánh giá giữa các ẩn hoặc với một số, từ đó xác định đợc nghiệm của
hệ.
Ví dụ 1: Giải phơng trình
20165)32(2

123
31020
22
2
2
+++=
++
++
xxyxy
xx
xx
Lời giải:
* Xét vế trái:
77
123
31020
123
31020
2
2
2
2
+
++
++
=
++
++
xx
xx

xx
xx
=
123
)2(
2
2
++


xx
x
7
Đẳng thức xảy ra hki x = 2 (1)
* Xét vế phải: y
2
+ 2 (2x - 3) y + 5x
2
-

16x + 20
= (y+2x-3)
2
+ (x-2)
2
+ 7
Nguyễn Thị Hạnh Trờng THCS Mạo Khê II
Dùng bất đằng thức để giải phơng trình, hệ phơng trình
7
Đẳng thc xảy ra khi x = 2 , y = 1 (2)

Từ (1), (2) phơng trình có một nghiệm duy nhất
Nhận xét: Đây là bài toán rất phức tạp, không giải đợc trực tiếp.
Bằng các quan sát chúng ta đánh giá hai vế của phơng trình với cùng
số 7, bài toán có nghiệm duy nhất. Cách tạo đợc bài toán này không
khó nhng giải đợc thì không dễ.
Ví dụ 2: Giải hệ phơng trình:
19981998
19981998
=+
=+
yx
yx
(Tuyển sinh 10, chuyên toán, ĐHSP Vinh 1998)
Lời giải:
Điều kiện của bài: 1998 x, y 0
- Nếu x > y thì:
xyyx +>+ 19981998
=> Vô lý
- Nếu x > y thì:
xyyx +>+ 19981998
=> Vô lý
- Vậy x = y ta có hệ phơng trình:
19981998 =+ xx
Bình phơng hai vế:
19981998)1998(2 =++ xxxx
x = 0 , x = 1998.
Vậy phơng trình có hai nghiệm (x ; y) = {(0 ; 0) , (1998 ; 1998)}.
Nhận xét: Bài toán có vai trò bình đẳng. Bằng sự đánh giá giữa
hai ẩn, ta tìm đợc x = y là then chốt của bài. ý tởng này đợc sử dụng
rộng trong các bài chứa ẩn có vai trò nh nhau.

IV)-Một số cách sử dụng khác của bất đẳng thức.
1- Kiến thức
Đã nói về bất đẳng thức thì rất rộng và khó, việc sử dụng cũng đa
dạng và phong phú, các thiết mục trên đã kiểm tra qua những nét
chính, những kiến thức kinh điển. Trong mục này chúng ta xét thêm
một số kỹ thuật khác mà tởng chừng nh đơn giản song đôi khi lại gặp
khó khăn. Một số chú ý là:
Nguyễn Thị Hạnh Trờng THCS Mạo Khê II
Dùng bất đằng thức để giải phơng trình, hệ phơng trình
- Điều kiện của bài toán.
- Tính chất của lũy thừa, 0 a 1, m > n > 0 => a
m
a
n
1
1 a; m < m => a
m
a
n
.
- Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối.
|A| +|B| |A + B| |A| - |B| ; |A| -A
- Làm trội bất đẳng thức không chặt,
2. Một số ví dụ.
Sau đây thông qua một số ví dụ, chúng ta thấy sự linh hoạt của ý
tởng sử dụng, sử dụng phong phú của ứng dụng bất đẳng thức.
Ví dụ 1: Giải hệ phơng trình:
11
11
=++

=++
yx
yx
(Thi học sinh giỏi Toán THCS Thành phố Hồ Chí Minh -
2002 - 2003)
Lời giải:
Điều kiện của bài toán 0 x, y.
=> x + 1 1, y + 1 1. Vậy:
11
11
++
++
yx
yx
Đẳng thức chỉ xảy ra khi x = 0 , y = 0
Vậy bài toán có nghiệm duy nhất x = y = 0
Nhận xét: Quả thật bài toán trên có lời giải bất ngờ và đơn giản,
chỉ cần sử dụng điều kiện của bài nh một nhận xét là tìm đợc lời
giải. bài toán này không khó, có thể giải theo cách khác nhng dài và
không đẹp Vì vậy trớc khi giải hệ phơng trình vô tỷ nên quan tâm đến
điều kiện ẩn số.
Nguyễn Thị Hạnh Trờng THCS Mạo Khê II
Dùng bất đằng thức để giải phơng trình, hệ phơng trình
Ví dụ 2: Giải hệ phơng trình:
1
20062006
=+ yx
(1)
1
20072007

=+ yx
(2)
Lời giải:
Từ phơng trình (1) ta có: |x| 1, |y| 1 => 1 - x 0,1 -y 0.
Lấy phơng trình (1) trừ đi (2) vế với vế, ta có:
0)1()1(
20062006
=+ yyxx
Mà
0)1()1(
20062006
+ yyxx
Đẳng thức chỉ xảy ra khi x = 0, y = 1 hoặc x = 1, y = 0
Vậy bài toán có hai nghiệm x = 0, y = 1 và x = 1, y = 0.
Nhận xét: bài toán này đã sử dụng tính chất của lũy thừa 0 a
1, m > n > 0 =>a
m
a
n
1 chúng ta có thể mở rộng về số ẩn. Dạng
bài này có dùng để tính giá trị biểu thức và vấn đề là tìm giá trị của ẩn,
Cách thiết kế kiểu bài này không khó.
Ví dụ 3: Giải phơng trình
321
22
=++ xxxx
Lời giải:
Cách 1: áp dụng bất đẳng thức
.BABA ++
Dấu bằng xảy ra khi

A. B > 0, Vậy ta có
xxxxxxxx +++=++
2222
2121

321
22
=+++ xxxx
Đẳng thức xảy ra khi
0).2).(1
22
>++ xxxx
Mà x
2
-x + 1 > 0 => x 0 s - 1 x 2.
Cách 2: áp dụng bất đẳng thức
AA
dấu bằng xảy ra khi A 0
x
2
-x + 1 > 0 => |x
2
-x + 1| = x
2
-x + 1.
|x
2
-x - 2| (-x
2
- x - 2).

|x
2
-x + 1| + |x
2
-x - 2| x
2
-x + 1 - (x
2
-x - 2) = 3
Nguyễn Thị Hạnh Trờng THCS Mạo Khê II
Dùng bất đằng thức để giải phơng trình, hệ phơng trình
Đẳng thức xảy ra khi: x
2
-x - 2 0 - 1 x 2.
Nhận xét: Thông thờng học sinh dùng phơng án phá dấu giá trị
tuyệt đối. Nhng cách giải bài này là sử dụng bất đẳng thức chứa dấu
giá trị tuyệt đối đã cho lời giải đơn giản và ngắn gọn. Nếu chúng ta
tăng thêm các biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối thì đợc nhiều bài
toán hay và khó.
II.3. Ph ơng pháp nghiên cứu- kết quả nghiên cứu

II.3.1.Phơng pháp.
1/ Nghiên cứu lý luận.
Để viết đợc kinh nghiệm này bản thân tôi đã sử dụng những
phơng pháp sau:
*-Nghiên cứu tài liệu :
+SGK - Sách tham khảo ; tạp trí toán học.
*-Sử dụng phơng pháp phân tích đi lên (xuống), tổng hợp
của dạy học .
*- So sánh, tổng kết

*- Kết hợp với hội đồng s phạm nhà trờng cùng nghiên
cứu vận dụng kiến thức hợp lý không quá sức học sinh trong
khuôn khổ chơng trình học .
Tổng kết kinh nghiệm bằng thực tế giảng dạy (đặc biệt là bồi d-
ỡng học sinh giỏi) của bản thân và đồng nghiệp
Tham gia các lớp bồi dỡng giáo viên do Sở Giáo dục Đào tạo tổ
chức
2/ Nghiên cứu thực tiễn.
- Kiểm tra học sinh lớp 8, 9
II.3.1. Kết quả
- Đã hình thành cho học sinh một số kỹ năng Giải phơng trình, hệ ph-
ơng trình bằng phơng pháp dùng bất đẳng thức. Giúp cho học sinh
nhìn nhận một dạng toán dới lăng kính nhiều mặt với nhiều màu sắc
khác nhau trong quá trình vận dụng linh hoạt các kĩ thuật giải.
- Ôn tập, củng cố và đào sâu các kiến thức về số học, đại số có liên
quan đồng thời giúp cho học sinh hình thành thói quen suy nghĩ định
hớng tìm tòi lời giải trớc một bài toán. Từ đó giúp học sinh có thói
quen giải toán theo một trình tự khoa học.
- Xây dựng đợc một hệ thống phơng pháp và kỹ năng Giúp cho học
sinh và giáo viên có một t liệu tham khảo cho hoạt động dạy học toán
Nguyễn Thị Hạnh Trờng THCS Mạo Khê II
Dùng bất đằng thức để giải phơng trình, hệ phơng trình
học với việc bồi dỡng học sinh khá, giỏi trong nhà trờng phổ thông
hiện nay.
- Hình thành ở học sinh thói quen khai thác kiến thức cơ bản trong
chơng trình theo chiều sâu. Giúp cho các em có đợc t duy sâu sắc linh
hoạt, độc lập sáng tạo trong quá trình giải toán.
- Giúp cho học sinh phân loại đợc các dạng bài tập và phơng pháp,
kỹ năng giải cho từng loại tạo điều kiện cho các em nhìn nhận một vấn
đề toán học (phơng trình) dới con mắt hoàn thiện hơn.

- Hình thành ở học sinh thói quen khám phá, khai thác tìm tòi lời giải
cho một bài toán phát huy đợc tích cực suy nghĩ trong quá trình giải
toán.
- Góp phần trau dồi cho học sinh những phẩm chất nh tính độc lập
kiên trì sáng tạo tích cực tìm tòi và giúp các em hoàn thiện dần các
phẩm chất đạo đức, phẩm chất trí tuệ trong quá trình học toán ở nhà tr-
ờng phổ thông.
- Phát huy đợc đức tính tự học, tự tìm tòi nghiên cứu góp phần tô
điểm cho việc đổi mới phơng pháp giảng dạy và học tập của giáo viên
và học sinh mà hạt nhân là: " Lấy lôgic học của học sinh làm trung
tâm " từ đó nâng cao từng bớc chất lợng học tập môn toán cho các em.



Vì vậy trong 5 năm học từ năm 2005 - 2006 đến năm 2009 - 2010
kết quả cho thấy những bài toán đa ra các em rất tích cực học tập, làm
đợc tơng đối tốt đạt 65% - 70% và ngày càng gây niềm tin cho học
sinh. Đặc biệt trong kỳ thi học sinh giỏi các cấp ở khối 8 và khối 9 ở
trờng THCS tôi đã đạt học sinh giỏi các cấp có cả cấp quốc gia kết quả
cụ thể nh sau:
- Năm học 2005 2006: Đạt 8 em học sinh giỏi cấp huyện và 4
em học sinh giỏi cấp tỉnh.
- Năm học 2006 2007: Đạt 8 em học sinh giỏi cấp huyện và 4
em học sinh giỏi cấp tỉnh.
- Năm học 2007 2008: Đạt 6 em học sinh giỏi cấp huyện và 3 em
học sinh giỏi cấp tỉnh.
- Năm học 2008 2009: Đạt 4 em học sinh giỏi cấp tỉnh, trong đó
có một em đạt giải nhì và đợc thi tiếp Quốc gia vào ngày 13/3/2009
đạt giải khuyến khích cấp Quốc gia.
- - Năm học 2008 2009: Đạt 5 em học sinh giỏi cấp tỉnh, trong

đó có một em đạt giải nhất và đợc thi tiếp Quốc gia vào ngày
19/3/2010 đạt giải ba cấp Quốc gia.
Phần III: Phần kết luận Kiến nghị
III.1.Kết luận
- Khi cha đợc tiếp cận với các bài toán không chính tắc, hầu hết học
sinh đều tỏ ra lúng túng, mất phơng hớng tìm ra lời giải. Khi làm quen
Nguyễn Thị Hạnh Trờng THCS Mạo Khê II
Dùng bất đằng thức để giải phơng trình, hệ phơng trình
với sự phân tích sâu sắc, hầu hết các em đều thích thú và say mê bởi sự
mới lạ, sáng tạo, không máy móc.
- Với kiến thức nh vậy các em nắm bài tốt hơn, liên hệ các kiến
thức với nhau mật thiết hơn, thực sự bồi bổ các chất toán cho các em
tốt hơn trong các môn học khác cũng nh trong cuộc sống.
- Nhiều học sinh của huyện khi đợc học, đã thành công nhiều
trong kỳ thi học sinh giỏi toán, thi vào các trờng chất lợng cao trong
những năm gần đây.
Phơng trình, hệ phơng trình không chính tắc là một dạng toán
khó, đa dạng, thờng đợc dùng trong các kỳ thi chọn học sinh giỏi các
cấp, cũng nh thi vào các lớp chất lợng cao. Các bài toán nh vậy luôn là
vấn đề nan giải đối với hầu hết học sinh nói chung, học sinh khá giỏi
nói riêng.
Trong một số năm qua, bằng sự trăn trở để tìm ra ý tởng cho
những bài toán hay và khó này,tôi đã tìm tòi, phân dạng để giảng dạy
nhằm mục đích truyền đạt hiệu quả nhất đến với học sinh.
Thật bất ngờ, khi giảng dạy chuyên đề này, tôi thấy học sinh rất
say mê mỗi khi tự mình khám phá ra lời giải. Bớc đầu đã làm cho học
sinh khám phá, tự tìm các kiến thức có liên quan để giải. Qua đây, tôi
cũng thấy kiến thức toán học sinh đợc nâng nhiều phần khác nhau.
Sử dụng bất đẳng thức và tính chất của nó vào giải phơng trình,
hệ phơng trình là một ứng dụng lớn. Sự phân chia nh trên chỉ là ý tởng

của tôi còn nhiều phần cha nêu hết, Đề tài này hy vọng giúp chúng ta
phần nào khó khăn trong giảng dạy và hy vọng các bạn đồng nghiệp
nêu tiếp những ứng dụng mà bài viết này cha nêu đợc.
Mặc dù đã giành nhiều thời gian, công sức, tìm hiểu, rút kinh
nghiệm và cố gắng để cho bản đề tài song do nhiều lí do, trong đó lí
do còn hạn chế về kiến thức cũng nh phơng pháp nên bản đề tài chắc
không thể tránh khỏi thiếu xót.Tôi mong đợc sự đóng góp, bổ sung.
Nguyễn Thị Hạnh Trờng THCS Mạo Khê II
Dùng bất đằng thức để giải phơng trình, hệ phơng trình
III.2- Kiến nghị:
- Với nhà trờng: Cần khuyến khích động viên mỗi giáo viên
thực hiện và áp dụng những sáng kiến hay để đẩy mạnh phong trào
chuyên môn trong nhà trờng.

- Với Phòng, Sở giáo dục: Đề nghị quan tâm đầu t mở nhiều chuyên
đề bồi dỡng các chuyên đề có liên quan đến môn Toán đặc biệt bồi d-
ỡng giáo viên ôn học sinh giỏi để nâng cao trình độ, phơng pháp, năng
lực s phạm cho giáo viên dạy học.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
Mạo Khê, ngày 20 tháng 4 năm 2010
Ngời viết
Nguyễn Thị Hạnh
Nguyễn Thị Hạnh Trờng THCS Mạo Khê II
Dùng bất đằng thức để giải phơng trình, hệ phơng trình
đánh giá của hội đồng khoa học
Trờng thcs mạo
khê II
phòng gd - đt
huyện đông
triều

Sở gd - đt tỉnh
quảng ninh
Nguyễn Thị Hạnh Trờng THCS Mạo Khê II
Dùng bất đằng thức để giải phơng trình, hệ phơng trình
Nguyễn Thị Hạnh Trờng THCS Mạo Khê II