tuyển tập phương pháp giải hình học lớp 9

TT Ÿo i˚n & ia s ti TP Hu - T: 070 7 ¼ 0989 249
E mail:
-
Trang
1

-

TT Ÿo i˚n & ia s ti TP Hu - T: 070 7 ¼ 0989 249
E mail:
-
Trang
2

-

Li n‚i u!
Tuyn tp phng phŸp gii h˜nh hc 9 lš mt tp trong 8 tp xut bn c•ng t˚n ca c•ng tŸc gi. Trong mi
tp ch…ng t“i ž c gng tr˝ch lc nhng ch  c bn nht ca tng chuy˚n  hc tp, thi ca ca hc sinh. Trong
mi ch  bao gm phng phŸp thc hin nhng dng toŸn ‚, cŸc kin thc cn nm, bši tp mu, bši tp luyn
tp, bši tp “n tp, bši tp nŽng cao. Mi ch  c chia khoa hc  gi…p hc sinh c‚ cŸi nh˜n bao quŸt ca mt
vn  toŸn hc cn thit.
 s dng tt theo mong mun ca tŸc gi. Bn c n˚n c k phn phng phŸp ca tng ch  kt hp
vi nhng kin thc ž hc trc Žy, vš l› thuyt y   sŸch giŸo khoa  gii quyt cŸc bši toŸn t c bn n
nŽng cao.
V c trng ca h˜nh hc lp 9. TŸc gi khuy˚n bn trc khi gii quyt mt bši toŸn bn n˚n v h˜nh r” ršng,
ch˝nh xŸc theo  bši.  t ‚ thy c mi li˚n h gia cŸc i tng li˚n quan. Ri gn kt li chng minh hoc t˝nh
toŸn theo y˚u cu ca tng bši toŸn.
Quyn sŸch c chia thšnh 4 chng khŸc nhau mi chng gm cŸc ch  thuc v dng toŸn.
hng I: H hc n tr ng ta i c v
h  1: t s h hc v cnh vš ng cao ong t m giŸc v “n

h  :  s lng i c ca ‚c n n
h  :  hc ia c c cnh vš cŸc g‚c ca t ta i c vu n
hng I : ng tr’n
h  1: x c nh ng tr n
h  : nh ht i xng c ng tr n
h  : V tr˝ tng i c ng h ng vš ng tr n
h  : Tip tuy ca  r n
h  : T˝nh h t c i tip tuy n c t nha
h  : V r˝ ng i c h i n r n
ng II: ‚c vi ng t ’n
h  1: ‚c  tŽ , s o cung
h  : i n  gi c n v Žy c n
h  : ‚c n ti
h  : ‚c t i tip tuy v Žy cun
h  : ‚c ‚ n  b n trong h y b ng i ng tr n
h  : C n h g‚
h  7: T i c ni ti
h  : ng t ’n n oi tip ¼  g tr ni ti
h  :  d i ng t ’n
h  1 : Di t˝c h nh tr
hng IV: H n tr - H˜nh n n H n cu
h  1: H nh tr Di n t˝ch x ng u nh vš h t˝ch h n tr
h  : H nh n n ¼ Di t˝c x n qu nh v h t˝ h c h nh n‚n
h  : H nh c u ¼ in t˝ch m t c u v th t˝ch h nh c u
SŸch Tuyn tp phng phŸp gii h˜nh hc 9 do xuctu.com xut bn. c chia thanh ba bn khŸc nhau. Bao
gm phi˚n bn min ph˝, phi˚n bn trc tuyn vš phi˚n bn bn quyn. V phi˚n bn min ph˝ bn hošn tošn c‚ th ti
ti Xuctu.com, chn mc SŸch ¼ Ebook. Bn c‚ th xem trc khi quyt nh c‚ ti v hay kh“ng. V bn trc tuyn th˜
ch…ng t“i s ˝nh k˘m vš gi Email cho bn. Bn trc tuyn lš bn c‚ ph˝, ch…ng t“i lp tc gi cho bn sau khi nhn
c thanh toŸn. Bn trc tuyn c‚ nhiu t˝nh nng hn. N‚ lš bn y  ca quyn sŸch n‚ bao gm y  cŸc bši
tp, li gii. Phc v y cho vic hc tp ca bn. Tuy nhi˚n bn cng kh“ng th chnh sa n‚. V bn bn quyn, h˜nh

thc bn cng nhn c bn nšy qua h˜nh thc ˝nh k˘m Email. Bn nšy phc v cho giŸo vi˚n vš cŸc t chc mun s
dng tši liu ca tŸc gi  phc v ri˚ng cho c“ng vic ca m˜nh. i vi bn nšy, bn c‚ th chnh sa tši liu, chnh
s nh  kt xut sang nhng phn mm khŸc  phc v cho c“nng vic ca m˜nh. Nh bši giŸo Ÿn in t, to bši
kim tra,  thi § ca ri˚ng m˜nh. Ngoši ra, ch…ng t“i c’n h tr phn mm s dng vš hng dn bn cši t  phc
v c“ng vic ca m˜nh.
T•y thuc všo t˝nh cht vš mc  s dng tši liu mš giŸ c khŸc nhau. Bn c‚ th t˜m hiu th˚m nhng th“nng tin
nšy, cng nh so sŸnh t˝nh nng chi tit ti Xuctu.com /
TT Ÿo i˚n & ia s ti TP Hu - T: 070 7 ¼ 0989 249
E mail:
-
Trang
3

-

Chương I: Hệ thức lượng trong tam giác vuông
Chủ ñề 1: Một số hệ thức về cạnh và ñường cao trong tam giác vuông

Phương pháp:
+Trong một tam giác vuông, bình phương mỗi
cạnh góc vuông bằng tích của cạnh huyền với hình chiếu
của cạnh góc vuông ñó lên cạnh huyền.
22
','
babcac
= =

+ Trong một tam giác vuông, bình phương ñường
cao ứng với cạnh huyền bằng tích hai hình chiếu của hai
cạnh góc vuông trên cạnh huyền

2
'.'
hbc
=

+ Trong một tam giác vuông, tích hai cạnh góc
vuông bằng tích của cạnh huyền với ñường cao tương
ứng
ahbc
=

+ Trong một tam giác vuông, nghịch ñảo bình
phương ñường cao bằng tổng các nghịch ñảo bình
phương hai cạnh góc vuông
222
111
hbc
= +





Bài tập mẫu
Cho tam giác vuông ABC vuông tại A, ñường cao AH. Biết BH = 9cm, CH = 16cm.
a. Tính ñộ ài các cạnh AB, AC
b. Tính chiều cao AH
Giải
a. Ta có
(

)
91625
BCBHHCcm
= + = + =


Tam giác ABC vuông ở A,
AHBC
⊥
(theo giả thiết).
Sử dụng hệ thức về góc vuông và hình chiếu của nó
lên cạnh huyền ta có :
2
.9.25225
ABBHBC
= = =

⇒

(
)
22515
ABcm
= =
.
2
.16.25400
ACCHCB
= = =

Từ ñây suy ra
(
)
40020
ACcm
= =

Chú ý: Sau khi tính ñược AB (hoặc AC) ta có thể sử
dụng ñịnh lý Pitago ñể tính cạnh còn lại.
b. Theo hệ thức liên hệ giữa ñường cao thuộc cạnh huyền và hai hình chiếu của hai góc vuông trên
cạnh huyền ta có
(
)
2
.9.1614414412
AHBHHCAHcm
= = = ⇒= =

Cách khác
Trong tam giác vuông ABH, theo Pitago, ta có :
22222
15922581144
AHABBH
= − = − = − =
⇒

(
)
14412
AHcm

= =


Bài tập luyện tập

TT Ÿo i˚n & ia s ti TP Hu - T: 070 7 ¼ 0989 249
E mail:
-
Trang
4

-

Bài tập 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, ñường cao AH, biết AB = 4cm, AC = 7,5cm, tính
HB,HC.
Bài tập 2: Cho tam giác ABC vuông tại A, ñường cao AH .
a. Biết AH = 6cm, BH = 4,5cm, Tính AB, AC, BC,HC
b. Biết AB = 6cm, BH = 3cm, Tính AH,AC,CH
Bài tập 3: Cho tam giác vuông ABC vuông tại A, ñường cao AH, tính diện tích tam giác ABC,
biết AH = 12cm, BH = 9cm
Bài tập 4: Cho tam giác ABC, biết BC = 7,5 cm, CA= 4,5cm, AB= 6cm
a. Tam giác ABC là tam giác gì? Tính ñường cao AH của tam giác ABC ;
b. Tính ñộ dài các ñoạn thẳng BH, CH
Bài tập 5: Cho tam giác vuông với các cạnh góc vuông lần lượt là 7 và 24. Kẻ ñường cao ứng với
cạnh huyền. Tính ñộ dài ñường cao và các ñoạn thẳng mà ñường cao ñó chia ra trên cạnh huyền.
Bài tập 6: Cho một tam giác vuông, biết tỉ số hai cạnh góc vuông là
5
12
, cạnh huyền là 26cm.
Tính ñộ dài các cạnh góc vuông và hình chiếu của cạnh góc vuông trên cạnh huyền

Bài tập 7: Cho tam giác ABC vuông ở A. Biết
5
7
AB
AC
=
, ñường cao AH = 15cm. Tính HB, HC.
Bài tập 8: Cho hình thang cân ABCD (AB// CD), biết AB=26cm, AD =10cm và ñường chéo AC
vuông góc với cạnh bên BC. Tính diện tích của hình thang ABCD.
Bài tập 9: Cho tam giác ABC vuông ở A, AB = 12cm, AC =16cm, phân giác AD, ñường cao AH.
Tính ñộ dài các ñoạn thẳng HB,HD,HC .
Bài tập 10: Cho tam giác ABC vuông ở A, phân giác AD ñường cao AH. Biết BD = 15cm,
CD = 20cm.
Tính ñộ dài các ñoạn thẳng BH,HC
Bài tập 11: Cho tam giác ABC vuông ở A, ñường cao AH, tính chu vi của tam giác ABC. Biết AH
= 14 cm,
1
4
HB
HC
=

Bài tập 12: Cho hình thang vuông ABCD,


0
90
AD
= =
, AB = 15cm, AD = 20cm. Các ñường

chéo AC và BD vuông góc với nhau ở O
a. Tính ñộ dài các ñoạn thẳng OB, OD
b. Tính ñộ dài ñường chéo AC
c. Tính diện tích hình thang ABCD


Chủ ñề 2: Tỉ số lượng giác của góc nhọn

Phương pháp :
+ Tỉ số giữa cạnh ñối và cạnh huyền
ñược gọi là sin của góc
a
, kí hiệu
sin
a

+ Tỉ số giữa cạnh kề và cạnh huyền
ñược gọi là côsin của góc
a
, kí hiệu
cos
a

+ Tỉ số giữa cạnh ñối và cạnh kề ñược
gọi là tang của góc
a
, kí hiệu là
tg
a
hoặc

tan
a

+ Tỉ số giữa cạnh kề và cạnh ñối ñược
gọi là côtang của góc
a
, kí hiệu là
cot
g
a

hoặc
cot
a





TT Ÿo i˚n & ia s ti TP Hu - T: 070 7 ¼ 0989 249
E mail:
-
Trang
5

-



+ Nếu hai góc phụ nhau thì sin góc này bằng

cos góc kia, và tang góc này bằng cotg góc kia

sincos;cossin
cot;cot
tgggtg
a b a b
a b a b
= =
= =



Bài tập mẫu
Cho tam giác vuông ABC vuông ở A,
()
8
30,
15
ABcmtgB= =
a. Tính AC, BC
b. Tính
sin,cos,cot
BBgB

Định hướng: Trong tam giác vuông ABC vuông ở A khi biết tgB nên biết ñược tỉ số giữa cạnh
AC và AB. Mặt khác
(
)
30
ABcm

=
nên ta biết ñược cạnh BC theo ñịnh lí Pitago. Hơn thế, khi
biết ñộ dài các cạnh của tam giác vuông ta biết ñược các tỉ số lượng giác của các góc tam giác .
Giải
a. Trong tam giác vuông ABC vuông ở A, ta có



8
15
AC
tgB
AB
= = mà
(
)
30
ABcm
=
nên ta có
()
830.8
16
301515
AC
ACcm
= ⇔=
Theo ñịnh lí Pitago ta lại có
22222
30161156

BCABAC
= + = + =
từ ñây
suy ra :
(
)
34
BCcm
=



b. Theo ñịnh nghĩa ta có các tỉ số lượng giác của các góc là
16
sin0,4706
34
30
cos0,8824
34
30
1,875
16
AC
B
BC
AB
B
BC
AB
tgB

AC
= = ≈
= = ≈
= = =

Bài tập luyện tập
Bài tập 13: Cho tam giác ABC vuông ở A. Chứng minh rằng:
osB
cosC
ABc
AC
=
Bài tập 14: Cho tam giác nhọn ABC, hai ñường cao BD và CE. Hãy biểu thị cosA bằng hai cách,
từ ñó. Chứng minh rằng
∆
ADE
∆
ABC.
TT Ÿo i˚n & ia s ti TP Hu - T: 070 7 ¼ 0989 249
E mail:
-
Trang
6

-

Bài tập 15: Cho tam giác ABC vuông ở A, AB = 8cm, AC = 15cm. Tính tỉ số lượng giác của góc
C, từ ñó suy ra tỉ số lượng giác của góc B.
Bài tập 16: Cho tam giác ABC vuông ở A, AC = 5cm. Biết cotgB = 2.4
a) Tính AB,BC;

b) Tính tỉ số lượng giác của góc C
Bài tập 17: Hãy biến ñổi các tỉ số lượng giác sau ñây thành tỉ số lượng giác của các góc nhỏ hơn
45
o
: sin57
o
;cos43
o
32’; tg72
o
12’; cotg85
o
35’.
Bài tập 18: Sử dụng ñịnh nghĩa các tỉ số lượng giác của một góc nhọn ñể chứng minh rằng: Với
góc nhọn
a
tùy ý, ta có:
a) sin
a
< 1, cos
a
< 1 ;
b) tg
a
=
sin
os
c
a
a

, cotg
a
=
os
sin
c
a
a
, tg
a
.cotg
a
=1
c)sin
2

a
+ cos
2

a
=1
Bài tập 19: Tìm sin
a
,cos
a
, biết:
a) tg
a
=

3
4
; b)cotg
a
=
5
12
.
Bài tập 20: Cho sin
a
=
7
25
. Tìm cos
a
; tg
a
và cotg
a
.
Bài tập 21: Dựng góc nhọn
a
, biết :
a) sin
a
=0.5 b)cos
a
=0.8
c) tg
a

=3
)
d
cotg
a
=2


Chủ ñề 3: Hệ thức giữa các cạnh và các góc của một tam giác vuông

Phương pháp:



Trong một tam giác vuông, mỗi cạnh góc
vuông bằng :
+ Cạnh huyền nhân với sin góc ñối hay
nhân với côsin góc kề
+ Cạnh góc vuông kia nhân với tang
góc ñối hay nhân với côtang góc kề.



Bài tập mẫu
Cho tam giác ABC, ñường cao AH (H
∈
BC),

0
42

B
=
, AB = 12cm, BC = 22cm. Tính các cạnh
và góc còn lại tam giác
Định hướng: Trong tam giác vuông AHB, với

0
42
B
=
, nên tính ñược góc BAH. Mặt khác AB =
12cm nên sử dụng hệ thức lượng gữa cạnh và góc của mộ tam giác vuông ta tính ñược AH, BH
rồi từ ñó suy ra HC. Khi ñó trong tam giác vuông AHC ta tính ñược tgC rồi suy ra

C
, từ ñó ta lại
tính ñược
•
HAC
và cạnh AC
Giải
Trong tam giác vuông AHB tại H,

0
42
B
=
nên
•
000

904248
HAB
= − =

TT Ÿo i˚n & ia s ti TP Hu - T: 070 7 ¼ 0989 249
E mail:
-
Trang
7

-

Áp dụng hệ thức lượng liên hệ giữa các cạnh và các góc trong tam giác vuông AHB ta có :



0
.sin12.sin42
AHABB
= =

(
)
12.0,6698,028
cm
≈ ≈

(
)
0

.cos12.os42
12.0,7438,916
BHABBc
cm
= =
≈ ≈

Trong tam giác vuông AHB, ta có

•
0
000
0,028
0,614
13,084
3130'
903130'5830'
AH
tgC
HC
C
HAC
= ≈ =
⇒≈
⇒≈ − =

Do ñó:
•
000
485830'10630'

.sin
BAC
AHACC
= + =
=

Suy ra
()
0
8,0288,028
15,35
sinsin3130'0,523
AH
ACcm
C
= ≈ ≈ ≈


Bài tập luyện tập
Bài tập 22: Giải tam giác vuông ABC vuông tại A biết rằng :
a. a = 72cm,

0
58
B
=

b. b = 20cm,

0

48
B
=

c. b = 15cm,

0
30
C
=

d. b = 21cm, c = 18cm
Bài tập 23: Tam giác ABC vuông tại A, ñường cao AH. Biết HB = 25cm, HC = 64cm. Tính


,
BC

Bài tập 24: Chứng minh rằng: Nếu một tam giác có hai cạnh bằng a và b, góc nhọn tạo bởi hai
ñường thẳng ñó bằng
a
thì diện tích của tam giác ñó bằng :
1
sin
2
Sab
a
=

Bài tập 25: Một hình bình hành có hai cạnh là 10cm và 12cm, góc tạo bởi hai cạnh ñó bằng

0
150
.
Tính diện tích của hình bình hành ấy
Bài tập 26: Tam giác ABC có AB = 16cm, AC = 14cm, và

0
60
B
=

a. Tính BC
b. Tính
ABC
S

Bài tập 27: Cho hình bình hành ABCD có

0
45
A
=
,
18
ABBDcm
= =

a. Tính AB
b. Tính
ABCD

S
Bài tập 28: Một cột ñèn có bóng trên mặt dài 7,5m, các tia sáng mặt trời tạo với mặt ñất một góc
xấp xỉ bằng
0
42
. Tính chiều cao của cột ñèn.
Bài tập 29: Ở ñộ cao 920cm, từ một máy bay trực thăng người ta nhìn hai ñiểm A, B của hai ñầu
cầu những góc so với ñường nằm ngang mặt ñất các góc lần lượt là
0
37,
a b
= =
0
31
. Tính chiều
dài của AB của cầu




TT Ÿo i˚n & ia s ti TP Hu - T: 070 7 ¼ 0989 249
E mail:
-
Trang
8

-

Bài tập ôn tập chương I
Bài tập 30: Cho tam giác ABC vuông ở A, ñường cao AH. Tính sinB, sin C ứng với mỗi trường

hợp sau:
a.
10;6
ABcmBHcm
= =

b.
5;12
BHcmAHcm
= =

Bài tập 31: Cho tam giác vuông ABC vuông ở A. Tính sinB, tgB trong mỗi trường hợp sau :
a.
12
13
AB
BC
=

b.
15
8
AB
AC
=

Bài tập 32: Tính :
a.
0
0

sin17
cos73

b.
00
83cot7
tgg
−

Bài tập 33: Cho tam giác vuông ABC vuông ở A,
6,8
ABcmACcm
= =
. Tính
a. Tính


,,
BCBC

b. Đường phân giác của góc A cắt BC ở D. Tính BD,DC
c. Từ D kẻ DE
⊥
AB, DF
⊥
AC. Tứ giác AEDF là hình gì? Tính chu vi và diện tích của tứ giác
AEDF.
Bài tập 34: Góc ở ñỉnh của một tam giác bằng
0
78

, cạnh ñáy dài
28,5
cm
. Tính ñộ dài cạnh bên
và diện tích của tam giác
Bài tập 35: Cạnh bên của một tam giác cân dài
17,2
cm
, góc ở ñáy của tam giác là
0
46
. Tính cạnh
ñáy của tam giác và diện tích tam giác ABC
Bài tập 36: Cho hình thang ABCD, ñáy lớn
20
ABcm
=
, cạnh bên
8
ADcm
=
và tạo với ñáy lớn
AB một góc
0
65

a. Tính ñộ dài ñường cao AH, ñáy nhỏ CD
b. Tính góc ABD và ñường chéo BD
Bài tập 37: Cho hình thang ABCD có



0
90
AD
= =
,
30
ADcm
=
,
18
CDcm
=
và
20
BCcm
=
.
a. Tính các góc
•
•
,
ABCBCD

b. Tính các góc
•
•
,
DACADB
và ñộ dài các ñường chéo AC, BD

Bài tập 38: Cho tam giác ABC. Biết
10,24,26
ABACBC
= = =
.
a. Chứng minh rằng tam giác ABC vuông ở A
b. Tính
sin,sin
BC

c. Tính chiều cao AH và các ñoạn thẳng mà chiều cao nó chia ra tên BC
Bài tập 39: Một con ñường lên dốc tạo với mặt phẳng nằm ngang một góc
a
. Hỏi ñộ cao h so với
mắt ñất là bao nhiêu nếu quãng ñường ñi trên ñường lên dốc là l trong các trường hợp sau:
a.
0
1,5,430'
lkm
a
= =

b.
0
3,8
lkm
a
= =

Bài tập 40: Một người quan sát ñứng cách một tháp

10
m
, nhìn thấy dưới một góc là
0
55
và ñược
phân tích như hình dưới. Tính chiều cao của chiếc tháp này
Bài tập 41: Trên một quả ñồi có một tháp cao 100m. Từ ñỉnh B và chân C của tháp nhìn ñiểm A ở
chân ñồi dưới các góc tương ứng bằng
0
60
và
0
30

Hãy tính chiều cao của quả ñồi



TT Ÿo i˚n & ia s ti TP Hu - T: 070 7 ¼ 0989 249
E mail:
-
Trang
9

-

Bài tập nâng cao
Bài tập 42: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn
,,

ABcACbCBa
= = =

Chứng minh rằng:
sinsinsin
abc
ABC
= =

Bài tập 43: Không dùng bản tính hay máy tính tỏ túi tính các biểu thức sau :
a.
202020202020
sin12sin22sin32sin58sin68sin78
+ + + + +

b.
202020202020
cos15cos25cos35cos55cos65cos753
+ + + + + −

Bài tập 44: Không dùng bản tính hay máy tính tỏ túi tính các biểu thức sau :
a.
22
4cos6sin
a a
−
, biết
1
sin
5

a
=

b.
sin.cos
a a
, biết
cot3
tgg
a a
+ =

Bài tập 45: Chứng minh rằng với mọi góc nhọn
a
, thì mỗi biểu thức sau không phụ thuộc vào
a

a.
(
)
2
sincos2sincos1
A a a a a
= + − −

b.
(
)
2
sincos2sincos1

B a a a a
= − + +

c.
(
)
(
)
22
sincossincos2
C a a a a
= + + + +

Bài tập 46: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn,
,,
ABcACbCBa
= = =
. Chứng minh rằng
222
2cos
bacacB
= + −

Bài tập 47: Cho tam giác vuông ABC vuông ở A

(
)
0
45
C a a= < trung tuyến AM, ñường cao

AH. Biết BC = a, AC = b, AH = h
a. Tính
sin,sin2
a a
theo a,b,h . Chứng minh rằng
sin22sinos
c
a a a
=

Bài tập 48: Cho tam giác ABC cân ở A, ñường cao thuộc cạnh bên bằng h, góc ở ñáy bằng
a
.
Chứng minh rằng
2
4sinos
ABC
h
S
c
a a
=



Chương II: Đường tròn

Chủ ñề 1: Sự xác ñịnh ñường tròn

Phương pháp:

+ Tập hợp các ñiểm cách ñều ñiểm O cố ñịnh cho trước một khoảng không ñổi R (R > 0) là ñường
tròn tâm O bán kính R.

+ Đường kính là dây cung lớn nhất của ñường
tròn
Qua ba ñiểm cho trước không thẳng hàng, bao
giờ ta cũng xác ñịnh ñược duy nhất một ñường
tròn ñi qua
- Một ñiểm O cho trước và một số thực dương
R cho trước xác ñịnh một ñường tròn tâm O bán
kính R.
- Ba ñiểm không thẳng hàng xác ñịnh một
ñường tròn qua ba ñiểm ñó


TT Ÿo i˚n & ia s ti TP Hu - T: 070 7 ¼ 0989 249
E mail:
-
Trang
10

-

Bài tập mẫu
Cho tam giác ABC cân ở A, hai ñường cao BD và CE
a. Chứng minh rằng bốn ñiểm B,C,D,E cùng nằm trên một ñường tròn
b. Tính bán kính của ñường tròn trên biết rằng
6,4
BDcmCDcm
= =

c. Chứng minh rằng
DEBC
<

Giải
a. Gọi O là trung ñiểm của cạnh BC thì khi ñó



()
1
1
2
OBOCBC= =

OD, OE lần lượt là trung tuyến của cạnh huyền BC
của tam giác vuông BDC và BEC nên
1
2
ODBC
=
và
()
1
2
2
OEBC=
Từ (1) và (2) suy ra
1

2
OBOCODBC
= = =
Vậy theo ñịnh nghĩa ñường tròn, bốm ñiểm B, C,
D, E cùng thuộc một ñường tròn tâm O va bán kính
là
2
BC
(ñccm)

b. Tam giác BDC vuông tại D, theo ñịnh lí Pitago ta có :
22222
64361452
BCBDDC
= + = + = + =

Suy ra
(
)
52
BCcm
=

Vậy bán kính ñường tròn
(
)
O
là
()
52213

13
22
cm
= =

c. Trong ñường tròn
(
)
O
, BC là ñường kính, ED là dây cung, do ñó
DEBC
<


Bài tập luyện tập
Bài tập 1: Cho hình thang cân ABCD (AD//BC). Biết rằng
12,16,20
ABcmACcmBCcm
= = =
.
Chứng minh rằng bốn ñiểm A,B,C,D cùng thuộc một ñường tròn, tín bán kính ñường tròn ñó
Bài tập 2: Cho ñường tròn tâm O bán kính bằng 3 có tâm ở gốc tọa ñộ. Hãy xác ñịnh vị trí của
mỗi ñiểm A,B,C ñối với ñường tròn, biết tọa ñộ các ñiểm là
(
)
(
)
(
)
1;2;22;1;1;3

ABC− −

Bài tập 3: Cho tam giác vuông ABC vuông ở A có
5;12
ABcmACcm
= =
. Tính bán kính ñường
tròn ngoại tiếp tam giác ABC
Bài tập 4: Cho góc
•
0
30
xOy
=
, hai ñiểm A và B trên Ox sao cho
2,4
OAcmOBcm
= =

a. Hãy dựng ñường tròn tâm I ñi qua A và B sao cho I thuộc Oy
b. Tính bán kính của ñường tròn tâm I


TT Ÿo i˚n & ia s ti TP Hu - T: 070 7 ¼ 0989 249
E mail:
-
Trang
11

-

Bài tập 5: Hãy nối mỗi ý (1),(2)&(3) với mỗi ý (4),(5)&(6) ở cột tương ứng ñể ñược ý ñúng
(1) Đường tròn tâm O bán kính 4cm gồm toàn
những ñiểm
(4) Là ñường tròn tâm O bán kính 4cm
(2) Tập hợp những ñiểm có khoảng cách ñến O
nhỏ hơn hoặc bằng 4cm
(5) cách ñiểm O một khoảng bằng 4cm
(3) Tập hợp các ñiểm có khoảng cách ñến ñiểm
O cố ñịnh bằng 4cm
(6) là hình tròn tâm O bán kính 4cm
Bài tập 6: Tam giác ñều ABC cạnh 4. Bán kính ñường tròn ngoại tiếp tam giác ABC bằng bao
nhiêu
Bài tập 7: Cho ñường tròn tâm O bán kính R, dây cung
ABR
=
. Trên tia ñối của tia BA lấy ñiểm
sao cho
BBA
=
. Tia CO cắt ñường tròn (O) ở D. Biết rằng R = 3cm
a. Tính góc
•
ACD

b. Tính CD

Chủ ñề 2: Tính chất ñối xứng của ñường tròn

Phương pháp :

+ Tâm của ñường tròn là tâm ñối xứng của ñường tròn ñó
+ Bất kì ñường kính: Nào cũng là trục ñối xứng của ñường tròn ñó
+ Đường kính vuông góc với một dây cung thì ñi qua trung ñiểm của dây ñó
+ Đường kính ñi qua trung ñiểm của một dây (không phải ñường kính ) thì vuông góc với dây ñó
tại trung ñiểm
+ Trong một ñường tròn:
- Hai dây bằng nhau thì cách ñều tâm
- Hai dây cách ñều tâm thì bằng nhau
- Dây lớn hơn thì gần tâm hơn
- Dây gần tâm thì lớn hơn

Bài tập mẫu
Cho ñường tròn tâm O, hai dây AB, CD vuông góc với nhau tại M. Biết rằng
18,14,3,4
ABcmCDcmMAcmMCcm
= = = =

a. Tính khoảng cách từ O ñến mỗi dây
b. Tính bán kính ñường tròn (O)
Giải :
a. Kẻ
,
OHCDOKAB
⊥⊥
. Ta có

()
11
.147
22

HCHDCDcm
= = = =

()
11
.189
22
KAKBABcm
= = = =

(
)
743
MHHCMCcm
= − = − =

(
)
936
MKKAMAcm
= − = − =

Tứ giác OHMK là hình chữ nhật vì có ba góc
vuông
¶


(
)
0

90
MHK= = = . Nên
(
)
6
OHOKcm
= =
,
(
)
3
OKMHcm
= =

Vậy khoảng cách từ O ñến các dây cung AB và
CD lần lượt là
(
)
3
cm
và
(
)
5
cm


TT Ÿo i˚n & ia s ti TP Hu - T: 070 7 ¼ 0989 249
E mail:
-

Trang
12

-

b. Tam giác AOK vuông tại K, nên theo ñinhk lí Pitago, ta có :
22222
9381990
OAAKOK
= + = + = + =

Suy ra
(
)
90310
OAcm
= =

Vậy bán kính ñường tròn
(
)
O
là
(
)
310
cm


Bài tập luyện tập

Bài tập 8: Cho ñường tròn tâm O bán kính bằng 3cm, hai dây ung AB và AC, biết rằng
5;2
ABcmACcm
= =
. Tính khoảng cách từ O ñến mỗi dây
Bài tập 9: Cho ñường tròn tâm O ñường kính AB, hai dây cung AC và BD song song với nhau.
Chứng minh rằng
a.
ACBD
=

b. Ba ñiểm C,O,D thẳng hàng
Bài tập 10: Cho ñường tròn tâm O bán kính R, hai dây cung AB và CD, các tia BA và DC cắt
nhau tại M nằm ngoài ñường tròn
a. Biết rằng
ACBD
=
. Chứng minh rằng
MAMC
=

b. Trường hợp
ABCD
>
hãy so sánh khoảng cách từ M ñến trung ñiểm của các dây AB,CD
Bài tập 11: Cho ñường tròn tâm O và ñiểm M nằm bên trong ñường tròn. Qua M vẽ dây cung AB
vuông góc với OM và dây cung CD không vuông góc với OM, So sánh ñộ dài của hai dây cung
AB và CD
Bài tập 12: Cho ñường tròn tâm O bán kính R và ñiểm M nằm bên trong ñường tròn (ñiểm M
khác ñiểm O)

a. Hãy nêu các dựng dây AB nhận M làm trung ñiểm
b. Tính ñộ dài dây AB ở câu a, Biết rằng
2,5;1,5
RcmOMcm
= =

Bài tập 13: Cho ñường tròn tâm O m ñường kính AB, dây cung CD cắt AB tại M. Biết rằng
4,12
MCcmMBcm
= =
và
•
0
30
BMD
=

a. Tính khoảng cách từ O ñến dây CD
b. Tính bán kính ñường tròn tâm (O)
Bài tập 14: Cho ñường tròn tâm O, ñường kính AB. Dây cung CD vuông góc với OA tại M là
trung ñiểm của OA
a. Tứ giác ACOD là hình gì? Vì sao
b. Tam giác BCD là tam giác gì? Vì sao?



Chủ ñề 3: Vị trí tương ñối của ñường thẳng và ñường tròn

Phương pháp:
+ Gọi d là khoảng cách từ tâm O của ñường tròn bán kính R ñến ñường thẳng a thì vị trí tương

ñối của ñường thẳng và ñường tròn ñược biểu thị theo bảng sau :
Vị trí tương ñối của ñường thẳng và ñường tròn Số ñiểm chung Hệ thức liên hệ giữa d và
R
1. Đường thẳng và ñường tròn cắt nhau 2
dR
<

2. Đường thẳng và ñường tròn tiếp xúc nhau 1
dR
=

3. Đường thẳng và ñường tròn không giao nhau 0
dR
>


Bài tập mẫu
Cho ñường thẳng xy và một ñiêm A cách xy một khoảng 6cm. Vẽ ñường tròn tâm A bán kính
10cm
TT Ÿo i˚n & ia s ti TP Hu - T: 070 7 ¼ 0989 249
E mail:
-
Trang
13

-

a. Chứng minh rằng ñường thẳng xy có hai giao ñiểm với ñường tròn (A) ;
b. Gọi hai giao ñiểm nói trên là B va C. Tính ñộ dài BC
Giải

a. Kẻ
AHxy
⊥
. Theo quan hệ của ñường
vuông góc và ñường xiên, ta có
AHAC
<
,
nghĩa là
dR
<
, do ñó ñường thẳng
xy
có giao
ñiểm với ñường tròn là
(
)
A



b. Tam giác AHC vuông tại H, theo ñịnh lí Pitago, ta có :
22222
10664
HCACAH

= − = − =

Suy ra
(
)
8
HCcm
=

Do
AHBC
⊥
nên
1
2
HBHCBC
= =
hay
(
)
22.816
BCHCcm
= = =


Bài tập luyện tập
Bài tập 15 : Cho biết giá trị R( bán kính ñường tròn ) và d ( khoảng cách ) từ tâm ñến ñường
thẳng. Hãy xác ñịnh vị trí tương ñối của ñường thẳng và ñường tròn trong mỗi trường hợp sau:

R d Vị trí tương ñối

7cm 6cm


8cm 8cm


4cm 5cm


Bài tập 16: Trên mặt phẳng tọa ñộ có ñường tròn tâm M bán kính 3cm . Tọa ñộ ñiểm M là (3,-
2). Đường tròn tâm M có vị trí như thế nào ñối với các trục tọa ñộ
Bài tập 17 : Đường thẳng xy cắt ñường tròn (O,7) tại hai ñiểm. Khoảng cách d từ tâm O ñến
ñường thẳng xy bằng một trong các giá trị sau :
a.
7
d
=
b.
07
d
< <
c.
07
d
≤ <
d.
7
d
>

Hãy chọn kết quả ñúng
Bài tập 18: Cho ñường thẳng a. Tâm các ñường tròn có bk băng 1,5cm và tiếp xúc với ñường
thẳng a nằm trên ñường tròn nào?
Bài tập 19: Cho ñường tròn (O;R) và ñiểm A nằm bên ngoài ñường tròn. B là một ñiểm tùy ý trên
ñường tròn (O). Khi ñiểm B di chuyển trên ñường tròn O thì trung ñiểm ñiểm M của các ñoạn
thẳng AB chạy trên ñường nào?
Bài tập 20: Cho hình vuông ABCD, trên ñường chéo BD lấy ñiểm I sao cho BI = BA. Qua I kẻ
ñường thẳng vuông góc với BD cắt AB tại E
a. So sánh ba ñoạn thẳng ID, IE, EA
b. Xác ñịnh vị tương ñối của ñường tròn (E,EA) với ñường thẳng BD



TT Ÿo i˚n & ia s ti TP Hu - T: 070 7 ¼ 0989 249
E mail:
-
Trang
14

-

Chủ ñề 4: Tiếp tuyến của ñường tròn

Phương pháp:
+Tiếp tuyến của ñường tròn là ñường thẳng chỉ có một ñiểm chung với ñường tròn ñó
+ Nếu một ñường thẳng là tiếp tuyến của một ñường tròn thì nó vuông góc với bán kính ñi qua tiếp
ñiểm
+ Nếu một ñường thẳng ñi qua một ñiểm của ñường tròn và vuông góc với bán kính ñi qua ñiểm
ñó thì ñường thẳng ấy là một tiếp tuyến của ñường tròn
Bài tập mẫu

Cho ñường tròn tâm O bán kính 3cm và một ñiểm A có OA = 5cm.
a. Dùng compa hãy dựng các cciểm B và C thuộc ñường tròn. Sao cho AB và AC là tiếp tuyến của
ñường tròn
b. Tính ñộ dài dài AB,AC
Giải
Cách dựng
- Đầu tiên dựng I là trung ñiểm của ñoạn thẳng OA,

- Tiếp theo dựng ñường tròn
(
)
;
IIO
, ñường
tròn
(
)
I
cắt ñường tròn
(
)
O
tại B và C .
- Kẻ dto AB,AC thì AB và AC chính là các tiếp
tuyến của ñường tròn
(
)
O

+ Chứng minh :

Tam giác AOB có trug tuyến BI bằng
1
2
OA

nên ÂBO vuông tại B, suy ra
ABOB
⊥
tại B,
do ñó AB là tiếp tuyến của ñường tròn
(
)
O

Tương tự, AC là tiếp tuyến của ñường tròn
(
)
O



b. Tam giác AOB
⊥
tại B, theo ñịnh lí Pitago ta có
22222
5325916
ABOAOB
= − = − = − =

Suy ra

(
)
4
ABcm
=

Tương tự ta tính ñược
(
)
4
ACcm
=

Bài tập luyện tập
Bài tập 21: Cho ñường tròn tâm O bán kính 6cm và ñiểm A nằm trên ñường tròn. Qua A kẻ tiếp
tuyến Ax, trên ñó lấy ñiểm B sao cho OB = 8cm
a. Tính OB
b. Qua A kẻ ñường vuông góc với OB và cắt ñường tròn tại C. Chứng minh rằng BC là tiếp tuyến
của ñường tròn tâm O
Bài tập 22: Cho ñường tròn tâm O và ñẻm B nằm trên ñường tròn. Qua B kẻ tiếp tuyến với ñường
tròn, trên ñó lấy ñiểm A. Trân OA lấy ñiểm C sao cho AC = BCC, tia BC cắt ñường tròn tâm O tại
E. Chứng minh rằng OE vuông góc với OA
Bài tập 23: Cho ñường tròn tâm O bán kính 5cm, ñường kính AB, tiếp tuyến Bx. Gọi C là một
ñiểm trên ñường tròn sao cho
•
0
30
BAC
=
, tia AC cắt tia BX tại E

a. Chứng minh rằng
2
.
BCACCE
=

b. Tính ñộ dài ñoạn thẳng BE
Bài tập 24: Cho góc nhọn xOy, ñiểm A thuộc tia Ox.
Dựng ñường tròn tâm I tiếp xúc với Ox ở A và có tâm I nằm trên Oy
TT Ÿo i˚n & ia s ti TP Hu - T: 070 7 ¼ 0989 249
E mail:
-
Trang
15

-

Bài tập 25: Cho ñường tròn tâm O bán kính R, ñường kính AB. M là một ñiểm nằm giữa O và B.
Đường thẳng kẻ qua trung ñiểm E của Am vuông góc với AB cắt ñường tròn tâm O tại C và D
a. Tứ giác ACMD là hình gì? Tại sao?
b. Kẻ tiếp tuyến với ñường tròn tại C, tiếp tuyến này cắt OA tại I. Chứng minh rằng ID là tiếp
tuyến vủa ñường tròn tâm O


Chủ ñề 5: Tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau

Phương pháp :
+ Nếu hai tiếp tuyến của một ñường tròn cắt nhau tại một ñiẻm thì :
- Điểm ñó cách ñều hai tiếp ñiểm
- Tia kẻ từ ñiểm ñó ñi qua tâm là phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến

- Tia kẻ từ tâm qua ñiểm ñó là tia phângiác của góc tạo bởi hai bán kính qua tiếp ñiểm
+ Đường tròn tiếp xúc với ba cạnh của một tam giác ñược gọi là ñường tròn nội tiếp tam giác, còn
tam giác ñược gọi là tam giác ngoại tiếp của ñường tròn
+ Đường tròn tiếp xúc với mội cạnh của tam giác và tiếp xúc với phần kéo dài của hai cạnh còn lại
ñược gọi là ñường tròn bàng tiếp của tam giác
Bài tập mẫu
Cho ñường tròn tâm O bán kính 5cm, một ñiểm M nằm ngoài ñường tròn. Kẻ các tiếp tuyến MA
và MB với ñường tròn (Với A,B là tiếp ñiểm). Biết rằng
•
0
60
AMB
=

a. Chứng minh rằng tam giác AMB là tam giác ñều
b. Tính chu vi tam giác AMB
c. Tia AO cắt ñường tròn ở C. Tứ giác BMOC là hình gì? tại sao?
Giải
a. Ta có : MA và Mb là hai tiếp tuyến của ñường tròn
(
)
O
(theo giả thiết) nên
MAMB
=
.

Do ñó tam giác AMB cân tại M
Mặt khác ta lại có
•

0
60
AMB
=
, do ñó tam giác
AMB là tam giác ñều
b. MO là tia phân giác của góc
•
AMB
nên
•
•
0
0
60
30
2
AMOBMO= = =

Mà MA là tiếp tuyến của ñường tròn
(
)
O
tại A
(theo giả thiết) nên
•
0
90
OAM
=

Tam giác MOA vuông tại A, có
•
0
30
AMO
=
nên
(
)
210
OMOAcm
= =



Theo ñinhk lí Pitago, ta có
(
)
2222222
433.575
MAMOOAOAOAOAcm
= − = − = = =

Suy ra
(
)
53
MAcm
=

Vậy chi vi của tam giác AMB là
(
)
23.53153
MAMBABMAcm
+ + = = =

c. MO là tia phân giác của góc
•
AMB
trong tam giác ñều
AMB
∆
, nên MO là ñường cao của tam
giác, do ñó
MOAB
⊥

TT Ÿo i˚n & ia s ti TP Hu - T: 070 7 ¼ 0989 249
E mail:
-
Trang
16

-

Tam giác ABC có trung tuyến
1
2

BOAC
=
nên tam giác ABC vuông tại B, do ñó
BCAB
⊥

MO và BC cùg vuông góc với AB, do ñó BC //OM . Vậy tư sgiác BMOC là hình thang.

Bài tập luyện tập
Bài tập 26: Cho ñường tròn tâm O bán kính R, ñường kính AB, dây cung AC. Các tiếp tuyến với
ñường tròn tại B và C cắt nhau tại D
a. Chứng minh rằng DO song song với AC
b. Biết
•
0
30
BAC
=
, R = 2cm. Tính ñộ dài các ñọa BD, CD
Bài tập 27: Cho ñường tròn tâm O và ñiểm M nằm bên ngoài ñường tròn. Kẻ hai tiếp tuyến MA,
MB sao cho
•
0
90
AMB
=
. Từ ñiểm C trên cung ngỏ AB kẻ tiếp tuyến với ñường tròn cắt MA, MB
lần lượt tại P và Q. Biết rằng bán kính ñường tròn bằng 5cm
a. Tứ giác MAOB là hình gì? Tại sao?
b. Tính chu vi của tam giác MPQ

c. Tính góc
•
POQ

Bài tập 28: Cho nửa ñường tròn tâm O bán kính R, ñường kính AB, hai tiếp tuyến Ax, By trên
cùng một nửa mặt phẳng bờ AB. Trên Ax lấy ñiểm, qua O kẻ ñường thẳng vuông góc với
OC cắt By tại D
a. Tứ giác ABDC là hình gì? Tại sao?
b. Chứng minh rằng ñường tròn ngoại tiếp tam giác COD tiếp xúc với ñường thẳng AB tại
O
c. Chứng minh rằng
2
.
CACBR
=

Bài tập 29: Cho tam giác vuông ABC vuông ở A. Đường tròn tâm O nội tiếp tam giác và
tiếp xúc với các cạnh AB,AC lần lượt tại D và E
a. Tứ giác ADOE là hình gì? Tại sao?
b. Tính bán kính ñường tròn tâm O, br AB = 5cm, AC= 12cm
Bài tập 30: Cho tam giác ABC có
;;
ABcACbBCa
= = =
. Gọi r là bán kính ñường tròn
nội tiếp tam giác, S là diện tích của tam giác
Chứng minh rằng
(
)
2

rabc
S
+ +
=

Bài tập 31: Một tam giác cân có ñáy 16cm, cạnh bên 10cm. Tính ñộ dài các bán kính
ñường tròn nội tiếp, ngoại tiếp tam giác và khoảng cách giữa hai tâm ñường tròn ñó
Bài tập 32: Cho tam giác vuông ABC vuông ở A. Gọi r, R là lần lượt là bán kính ñường
tròn nội tiếp và ngoại tiếp của tam giác
Chứng minh rằng
(
)
2
ABACrR
+ = +

Bài tập 33: Cho tam giác ABC có AB = 5cm, AC = 7cm, BC = 6cm. Đường tròn tâm
1
O

bàng tiếp góc A, tiếp xúc với cạnh BC ở D, tiếp xúc với phần kéo dài của các cạnh AB,AC
lần lượt tại E và F. Gọi O là tâm ñường tròn nội tiếp tam giác ABC.
a. Chứng minh rằng A,O,O
1
thẳng hàng
b. Tính ñộ dài các ñoạn thẳng AE,AF, BE, CF
Bài tập 34: Cho ñường tròn tâm O, ñường kính AB. Gọi M là một ñiểm tùy ý trên ñường
tròn, xy là tiếp tuyến của ñường tròn tại A. Qua M kẻ MP
⊥
AB và MQ

⊥
xy
a. Tứ giác APMQ là hình gì? Tại sao?
b. Gọi I là trung ñiểm của PQ. Chứng minh rằng OI
⊥
AM
c. Khi ñiểm M di chuyển trên ñường tròn tâm O thì ñiểm I chuyển ñộng trên ñường nào?
Tại sao?
TT Ÿo i˚n & ia s ti TP Hu - T: 070 7 ¼ 0989 249
E mail:
-
Trang
17

-

Bài tập 35: Cho góc nhọn xOy. Dựng ñường tròn tâm I bán kính 1,5cm tiếp xúc với hai
cạnh Ox và Oy




Chủ ñề 6: Vị trí tương ñối của hai ñường tròn


Phương pháp:
+ Gọi O, O’ là tâm của hai ñường tròn. Đường thẳng OO’ là ñường nối tâm, ñoạn thẳng
OO’ ñược gọi là ñoạn nối tâm là trục ñối xứng của hình gồm hai ñường tròn tâm O và
ñường tròn tâm O’
+ Nếu hai ñường tròn cắt nhau thì ñường nối tâm vuông góc với dây chug và trung ñiểm

cyủa dây chung .
+ Nếu hai ñường tròn tiếp xúc nhau thìe tiếp ñiểm A nằm trên ñường nối tâm OO’
+ Hai ñường tròn tâm O bán kính R và ñường tròn tâm O’ bán kính r’ có
Rr
≥
. Khi ñó
mỗi vị trí tương ñối giữa hai ñường tròn ứng với hệ thức giữa R, r và OO’ ñược cho theo
bảng sau :
Vị trí tương ñối của hai ñường
tròn (O,R) và (O’,r)
Số ñiểm chung Hệ thức liên hệ giữa OO’ với R và r
Hai ñường tròn cắt nhau 2 ñiểm chung
OO' < R+r
Rr
− <

Hai ñường tròn tiếp xúc nhau:
- Tiếp xúc ngoài
- Tiếp xúc trong
1ñiểm chung
- '
OORr
= +

-
'0
OORr
= − >

Hai ñường tròn không giao nhau

:
- Ở ngoài nhau
- (O) ñựng (O’)
0 ñiểm chung
- '
OORr
> +

-
'
OORr
< −


Trên hình 92 các ñường thẳng
1
d
và
2
d
là tiếp tuyến chung ngoài của hai ñường tròn tâm
O và ñường tròn tâm O’, các ñường thẳng m
1
và m
2
là các tiếp tuyến chung trong của hai
ñường tròn (O) và ñường tròn (O’)


Bài tập mẫu :

Cho hai ñường tròn tâm (O) và (O’) cắt nhau tại A và B (O và O’ thuộc hai nửa mặt phẳng
bờ AB). Kẻ các ñường kính BOC và BO’D
a. Chứng minh rằng ba ñiểm C,A,D thẳng hàng
b. Biết rằng OO’ = 5cm, OB = 4cm, O’B = 3cm. Tính diện tích tam giác BCD
Giải
Tam giác ABC có ñường trung tuyến AO bằng một nửa cạnh BC nên
•
0
90
BAC
=

Tam giác ABD có AO’ là ñường trung tuyến nên
1
'
2
AOBD
=
, do ñó
•
0
90
ABD
=

TT Ÿo i˚n & ia s ti TP Hu - T: 070 7 ¼ 0989 249
E mail:
-
Trang
18

-


Vì vậy :
•
•
000
9090180
BACBAD
+ = + =

Vậy ba ñiểm C,A,D thẳng hàng
b. Ta có :
222222
'43255'
OBBOOO
+ = + = = =

Vậy
∆
OBO’ vuông tạ B . Suy ra
∆
BCD
vuông tại B
(
)
(
)
28,2'6

BCBOcmBDBOcm
= = = =

(
)
2
11
.8.624
22
BCD
SBCBDcm
= = =




Bài tập luyện tập
Bài tập 1: Cho hai ñường tròn tâm O ñường kính AB. Vẽ ñường tròn tâm O’ ñường kính
OA. Dây cung AC của nửa ñường tròn tâm O cắt ñường tròn tâm O’ tại M. Chứng minh
rằng
a. Đường tròn tâm O’ tiếp xúc với ñường tròn tâm O tại A
b. O’M song song với OC
c. OM song song với BC
Bài tập 37: Hai ñường tròn tâm O bán kính 6,5cm và ñường tròn tâm O’ bán kính 7,5cm
giao nhau tại A và B. Tính ñộ dài ñoạn nối tâm OO’, Biết rằng AB = 12cm
Bài tập 38 :Cho hai ñường tròn (O), (O’) tiếp xúc trong tại A (ñường tròn (O’) nằm trong
ñường tròn (O)). Qua A kẻ một ñường thẳng cắt (O) tại B, cắt (O’) tại C. So sánh
1
OAB
S

và
2
OAC
S ,. Biết rằng bán kính các ñường tròn ñã cho là 7cm và 5cm
Bài tập 39: Cho hai ñường tròn (O), (O’) giao nhau tại M và N. Gọi I là trung ñiểm của
OO’. Đường thẳng kẻ qua M vuông góc với MI cắt ñường tròn (O) và (O’) lần lượt tại A
và B. Hai ñường thẳng vuông góc với AB tại A và B cắt ñường tròn (O) tại P và cắt ñường
tròn (O’) tại Q
a. Chứng minh rằng M là trung ñiểm của PQ
b. MI cắt PQ tại E, Chứng minh rằng EP = EQ
Bài tập 40: Cho hai ñường tròn ñồng tâm (O) và ñường tròn (O’) tiếp xúc với cả hai
ñường tròn trên tại hai ñiểm A và B
a. Chứng minh rằng bốn ñiểm A,B,O,O’ thẳng hàng
b. Tính bán kính của ñường tròn tâm O’, Biết rằng bán kính các ñường tròn ñồng tâm bằng
5cm và 9cm
Bài tập 41: Cho hai ñường tròn
(
)
1
O
,
(
)
2
O
tiếp xúc ngoài tại M. Qua M kẻ hai ñường
thẳng, ñường thẳng thứ nhất cắt
(
)
1

O
tại
1
A
, cắt
(
)
2
O
tại
1
B
, ñường thẳng thứ hai cắt
(
)
1
O
ở
2
A
, cắt
(
)
2
O
tại
2
B
. Chứng minh rằng
a.

11
OAM
∆

21
OBM
∆

b.
12
MAA
∆

12
MBB
∆

c.
12
AA
song song với
12
BB

Bài tập 42: Trên hình 95: AB là tiếp tuyến chúng ngoài của hai ñường tròn
(
)
1
O
và

(
)
2
O
.
Chứng minh rằng AC = BD
TT Ÿo i˚n & ia s ti TP Hu - T: 070 7 ¼ 0989 249
E mail:
-
Trang
19

-

Bài tập 43: Hai ñường tròn
(
)
1
O
và
(
)
2
O
tiếp xúc ngoài tại A. Đường nối tâm OO’ cắt
ñường tròn
(
)
1
O

ởi B, cắt ñường tròn
(
)
2
O
tại C. DE là một tiếp tuyến chung ngoài của hai
ñường tròn (D
∈

(
)
1
O
, E
∈

(
)
2
O
). Gọi M là giao ñiểm của hai ñường thẳng BD và CE.
Chứng minh rằng
a.
•
0
90
DME
=

b. MA là tiếp tuyến cung chủa hai ñường tròn o1 và

(
)
2
O

c.

MDMBMEMC
=

Bài tập 44: Cho tam giác ABC vuông tại A
a. Trình bày cách vẽ ñường tròn
(
)
1
O
ñi qua A và tiếp xúc với BC tại B, ñường tròn
(
)
2
O
ñi
qua A và tiếp xúc với AB tại C
b. Chứng minh rằng ñường tròn
(
)
1
O
và
(

)
2
O
tiếp xúc ngoài với nhau
c. Gọi M là trung ñiểm cua BC. Chứng minh rằng AM là tiếp tuyến chung của hai ñường
tròn
(
)
1
O
,
(
)
2
O
tại A


Bài tập ôn tập chương II

Bài tập 45: Cho ñường tròn tâm O, ñường kính AB và I là ñiểm nằm giữa A và O. Qua I
kẻ dây cung CD. Đường thẳng OE cắt BH tại F. Chứng minh rằng
a. F là trung ñiểm của HB và CH = KD
b.
2
BKAH
OE
−
=

c.

AIIKIHIB
=

Bài tập 46: Cho hai ñường tròn
(
)
1
O
và
(
)
2
O
cắt nhau tại A và B (hai tâm thuộc hai nửa
mặt phẳng bờ AB). Một cát tuyến kẻ qua A cắt ñường tròn
(
)
1
O
tại C, cắt ñường tròn
(
)
2
O

tại D. Kẻ OM
⊥
CD, và O’N

⊥
CD
a. Chứng minh rằng
1
2
MNCD
=

b. Gọi I là trung ñiểm của MN. Chứng minh rằng ñường thẳng kẻ qua I vuông góc với BC ñi qua
một ñiểm cố ñịnh khi cát tuyến CD kẻ qua A thay ñổi
c. Qua A kẻ cát tuyến song song với ñường nối tâm
12
OO
cắt ñường tròn
(
)
1
O
tại P, cắt ñường
tròn
(
)
2
O
tại Q. So sánh ñộ dài các ñoạn thẳng PQ và CD
Bài tập 47: Chi tam giác cân
123
OOO
có ñáy
12

6
OOcm
=
, hai cạnh bên bằng 5cm vẽ các ñường
tròn ñồng tâm
(
)
1
O
,
(
)
2
O
có bán kính 3cm và ñường tròn tâm
3
O
bán kính 2cm
a. xác ñịnh vi trí tương ñối của hai ñường tròn
(
)
1
O
và
(
)
2
O
,
(

)
1
O
và
(
)
3
O
,
(
)
2
O
và
(
)
3
O

b. Gọi tiếp ñiểm của ñường tròn
(
)
1
O
và
(
)
3
O
là B, của ñường tròn

(
)
2
O
và
(
)
3
O
là C. Chứng
minh rằng
12
//
BCOO

c Tính ñộ dài ñoạn thẳng BC
Bài tập 48: Cho nửa ñường tròn tâm O, ñường kính AB, hai tiếp tuyến Ax, By trên cùng một nữa
mặt phẳng bờ AB chứa nửa ñường tròn tâm O. Tiếp tuyến tại M của nửa ñường tròn cắt Ax tại C
và cắt By tại D
a. Tam giác COD là tam giác gì? Tại sao
TT Ÿo i˚n & ia s ti TP Hu - T: 070 7 ¼ 0989 249
E mail:
-
Trang
20

-

b. Chứng minh rằng
CDACBD

= +

c. AM và BM căt OC và OC theo thứ tự ở E và F. Tứ giác DEFM là hình gì? Tại sao
d. Gọi I là trung ñiểm của hai ñường cheo OM và EF của tứ giác OEMF. Khi M thay ñổi trên nửa
ñường tròn tâm O thì ñiểm I chuyển ñộng trên ñường nào? tại sao?
e. Xác ñịnh vị trí của ñiểm M ñể tứ giác OEMF là hình vuông. Tính diện tích của hình vuông này,
Biết rằng AB = 6cm
Bài tập 49: Cho nửa ñường tròn tâm O, ñường kính AB và một ñiểm I nằm giữa A và B. Gọi C là
một ñiểm trên nửa ñường tròn. Đường thẳng kẻ qua C vuông góc với IC cắt cát tuyến của nửa
ñường tròn tại A và B lần lượt tại M và N
a. Chứng minh rằng
CAI
∆

CBN
∆

b. So sánh hai tam giác ABC và tam giác INC
c. Chứng minh rằng
•
0
90
MIN
=

Bài tập 50: Cho tam giác MAB, Vẽ ñường tròn tâm O, ñường kính AB cắt MA tại C cắt MB tại
D. Kẻ
,
APCDBQCD
⊥⊥

. Gọi giao ñiểm của AD với BC là H. Chứng minh rằng
a. CP=DQ
b. PD.DQ=PA.PB và QC.CP=PD.QD
c. MH
⊥
AB
Bài tập 51: Cho ñoạn thẳng AB. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB vẽ tia Ax và By song song
với nhau. Một ñường tròn tâm M tiếp xúc với AB tại C, với Ax tại D, với By tại E
a. Trình bày cách dựng ñường tròn tâm M
b. Chứng minh rằng tổng AD + BE không phụ thuộc vào vị trí của Ax và By
c. Chứng minh rằng ba ñiểm M,D,E thẳng hàng
d. Xác ñịnh vị trí tương ñối của ñường thẳng DE với ñường tròn ngoại tiếp tam giác MAB
Bài tập 52: Cho ba ñiểm J,I,J’ cùng nằm trên một ñường thẳng theo thứ tự ñó. Biết rằng IJ =
10cm, IJ’= 4cm. Vẽ ñường tròn tâm (O’) ñường kính IJ’ .
a. Chứng minh rằng ñường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài ở I
b. Gọi A là một ñiểm trên ñường tròn (O), tia AI cắt ñường tròn (O’) ởa A’.
Chứng minh rằng
AIJ
∆
''
AIJ
∆

c. Qua I kẻ một cát tuyến cắt ñường tròn (O) tại B (B và A thuộc hai nửa mặt phẳng bờ IJ) cắt
ñường tròn (O’) ở B’. Chứng minh rằng
∆
IAB
∆
IA’B’
d. Chứng minh rằng

∆
OAB
∆
OA’B’
e. Tứ giác ABA’B’ là hình gì? Tại sao?


Bài tập nâng cao
Bài tập 53: Cho ñường tròn tâm O, ñường kính AD, dây cung AB. Qua B kẻ ñường vuông góc
với AD và cắt ñường tròn tại C.
Tính bán kính của ñường tròn tại C
Bài tập 54: Cho nửa ñường tròn tâm O, ñường kính AD. Trên nửa ñường tròn lấy hai ñiểm B,C.
Biết rằng
(
)
25
ABBCcm
= =
và
(
)
6
CDcm
=
. Tính bán kính ñường tròn ñó.
Bài tập 55: Cho hai ñường tròn
(
)
1
O

và
(
)
2
O
tiếp xúc ngoài tại A. Tiếp tuyến chung ngoài TT’
với ñường tròn
(
)
1
O
tại T và ñường tròn
(
)
2
O
tại T’, cắt ñường nối tâm
12
OO
tại S. Tiếp tuyến
chung trong tại A của hai ñường tròn cắt TT’ tại M.
a. Tính ñộ dài AM theo các bán kính của hai ñường tròn
(
)
1
O
và
(
)
2

O

b. Chứng minh rằng:
2
.'
SOSOSM
=

2
.'
STSTSA
=

c. Chứng minh rằng: ñường tròn ngoại tiếp
∆
TAT’ tiếp xúc với
12
OO
tại A và ñường tròn ngoại
tiếp tam giác OMO’ tiếp xúc với SM tại M
TT Ÿo i˚n & ia s ti TP Hu - T: 070 7 ¼ 0989 249
E mail:
-
Trang
21

-

Bài tập 56: Cho hai ñường tròn tâm O và O’ tiếp xúc ngoài tại A. Kẻ hai bán kính OM và O’M’
sao cho OM//O’M’

a. Chứng minh rằng: khi hai bán kính OM và O’M’ thay ñổi nhưng OM//O’M thì ñường thẳng
MM’ luôn luôn ñia qua một ñiểm cố ñịnh S
b. Tính SO và SO’, biết bán kính ñường tròn (O) và ñường tròn (O’) lần lượt bằng 5cm và 3cm
c. Tam giác AMM’ là tam giác gì? Tại sao?
Bài tập 57: Cho tam giác
(
)
ABCACAB
>
, trung tuyến CD, Đường tròn nội tiếp tam giác ACD
và BCD tiếp xúc với CD lần lượt tại E và F
Chứng minh rằng:
2
EFACBC
= −

Bài tập 58: Cho ñường tròn tâm O, ñường kính BC, dây cung BA. Biết rằng
(
)
65
Rcm
=
,
(
)
126
ABcm
=

a. Tính AC và khoảng cách từ O ñến các dây AB và AC

b. Trên nửa mặt phẳng bờ A không chứa ñiểm C kẻ dây AD. Treê nửa mặt phẳng còn lại kẻ dây
BE, cho biết
•
•
0
45
BADABE
= =
và
DEAB
⊥
tại P. Tứ giác ACED là hình gì? Tại sao?
c. Chứng minh rằng:
22222
4
PAPBPCPDR
+ + + =

Bài tập 59: Cho hai ñường tròn
(
)
1
O
và
(
)
2
O
có bán kính lần lượt là
1

R
và
2
R
với
1
R
>
2
R
. Hai
tiếp tuyến chung ngoài MN và PQ
(
)
(
)
(
)
12
,,,'
MPONPO
∈∈

a. Chứng minh rằng: ba ñường thẳng MN,PQ và
12
OO
ñồng quy
b. Chứng minh rằng: Tứ giác MNPQ là hình thang cân
c. Xác ñịnh vị trí tương ñối của
(

)
1
O
và
(
)
2
O
sao cho ñường tròn ñường kính
12
OO
tiếp xúc với
ñường thẳng MN
Bài tập 60: Cho tam giác ABC vuông tại A. Đường tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với cạnh
BC tại D
Chứng minh rằng:
.
ABC
SBDDC
=

Bài tập 61: Cho ñường tròn
(
)
1
O
và một ñiểm P nằm bên trong ñường tròn
(
)
PO

≠
. Gọi Q là
một ñiểm tùy ý trên ñường tròn
(
)
1
O
. Qua ñiểm Q kẻ tiếp tuyến với ñường tròn
(
)
1
O
. Chứng minh
rằng khi ñiểm Q di chuyển trên ñường tròn
(
)
1
O
thì giao ñiểm M các ñường thẳng kẻ từ
(
)
1
O

vuông góc với QP và tiếp tuyến từ Q chạy trên một ñường thẳng cố ñịnh




Chuơng III: Góc với ñường tròn

Chủ ñề 1: Góc ở tâm, số ño cung

Phương pháp:
+ Góc có ñỉnh trùng với tâm ñường tròn ñược gọi là góc ở tâm
+ Số ño của cung nhỏ bằng số ño của góc chắn cung ñó
+ Số ño của cung lớn bằng
0
360
trừ ñi số ño của cung nhỏ
+ Số ño của nửa ñường tròn bằng
0
180

+ Trong một ñường tròn hai trong hai ñường tròn bằng nhau:
- Hai cung ñược gọi là bằng nhau nếu chúng có số ño bằng nhau
- Trong hai cung, cung nào có số ño lớn hơn ñược gọi là cung lớn hơn
+ Nếu C là một ñiểm nằm trên cung AB thì
Sñ
»
AB
= Sñ
»
AC
+Sñ
»
CB

TT Ÿo i˚n & ia s ti TP Hu - T: 070 7 ¼ 0989 249
E mail:
-

Trang
22

-


Bài tập mẫu
Cho ñường tròn
(
)
O
, hai tiếp tuyến của ñường tròn tại A và B cắt nhau tại M. Biết rằng
•
0
65
AMB
=

a. Tính số ño góc ở tâm tạo bởi hai bán kính OA,OB;
b. Tính số ño cung nhỏ AB và số ño cung lớn AB
Giải
MA và MB là tiếp tuyến của ñường tròn
(
)
O
tại A và B nên
MAOA
⊥
tại A và
MBOB

⊥
tại B,

do ñó
•
0
90
OAM
=
và
•
0
90
OBM
=

Trong tứ giác AMBO, ta có
•
•
•
•
(
)
(
)
0
0000
360
360909065115
AOBOAMOBMAMB

0
= − + +
= − + + =

Vậy số ño góc ở tâm tạo bởi hai bán kính OA,
OB bằng
0
115

b. Số ño cung nhỏ
»
AB
banừg số ño góc ở tâm
AOB bằng
0
115

Số ño cung lớn
»
000
360115245
AB
= − =


Bài tập luyện tập
Bài tập 1: Cho ñường tròn tâm O bán kính R. Qua ñiểm A thuộc ñường tròn, kẻ hai tiếp tuyến Ax
trên ñó lấy ñiểm B sao cho
2
OBR

=
, OB cắt ñường tròn
(
)
O
tại
a. Tính số ño các góc ở tâm bới hai bán kính OA, OC
b. Tính số ño các cung AC của ñường tròn
(
)
O

Bài tập 2: Cho hai ñường thẳng xy và x’y’ cắt nhau tại O và
•
0
'45
xOx
=




Vẽ hai ñường tròn ñồng tâm O, cắt hai ñường
thẳng xy và x’y’ tại các ñiểm A,B,C,D và
A’,B’,C’,D’ như nhình bên
a. Có nhận xét gì về số ño của các cung nhỏ
»
…
»
…

,'',,''
ABABCDCD

b. Trong các cung nhỏ
…
'
AA
,
…
'
BB
,
…
'
CC
,
…
'
DD
.
Những cung nào không bằng nhau? Tại sao?


Bài tập 3: Cho hai ñường tròn
(
)
1
O
và
(

)
2
O
có bán kính là cắt nhau tại A và B.
a. Tứ giác
12
AOBO
là hình gì? Tại sao?
b. Biết rằng
ABR
=
. Tính số ño các cung nhỏ AB, cung loén AB thuộc hai ñường tròn
(
)
1
O
và
(
)
2
O
. Có nhận xét gì về các cung ñó?
Bài tập 4: Mỗi mệnh ñề sâu, mệnh ñề nào ñúng mệnh ñề nào sai? Tại sao?
TT Ÿo i˚n & ia s ti TP Hu - T: 070 7 ¼ 0989 249
E mail:
-
Trang
23

-

a. Hai cung có số ño bằng nhau thì bằng nhau
b. Hai cung bằng nhau thì có số ño bằng nhau
c. Trong hai cung, cung nào nhỏ hơn thì có số ño nhỏ hơn
d. Trong hai cung trên một ñường tròn, cung nào lớn hơn thì có số ño lớn hơn.
Bài tập 5: Cho tam giác cân ABC nội tiếp trong ñường tròn
(
)
O
, cung nhỏ BC có số ño bằng
100
0
. Tia AO cắt cung nhỏ AC tại E .
a. Tính số ño các góc ở tâm BOE, COE ;
b. Tính số ño các cung nhỏ
»
»
,
ABAC

Bài tập 6: Cho tam giác OAO’
(
)
'
OAOA
>
. Vẽ ñường tròn
(
)
;

OOA
và ñường tròn
(
)
';'
OOA

chúng cắt nhau tại B. Tia phân giác OAO’ cắt ñường tròn
(
)
O
tại C, cắt ñường tròn
(
)
'
O
tại D
So sánh hai góc ở tâm AOC và AO’D
Bài tập 7: Cho tam giác AOB, có
•
0
110
AOB
=
. Vẽ ñường tròn
(
)
;
OOA
. Gọi C là một ñiểm trên

ñường tròn
(
)
O
, biết
»
0
40
AC
=
. Tính số ño cung nhỏ
»
BC
và cung lớn
»
BC










Chủ ñề 2: Liên hệ giữa cung và dây cung

Phương pháp :
+ Với hai cung nhỏ trong một ñường tròn hay trong hai ñường tròn bằng nhau:

- Hai dây cung bằng nhau căng hai dây bằng nhau
- Hai dây bằng nhau căng hai cung bằng nhau
+ Với hai cung nhỏ trong một ñường tròn hay trong hai ñường tròn bằng nhau :
- Cung lớn hơn căng dây lớn hơn
- Dây lớn hơn căng cung lớn hơn
+ Nếu hai tam giác có hai cạnh tương ứng bằng nhau từng ñôi một nhưng các góc xen giữa không
bằng nhau thì cạnh thứ ba cũng kông bằng nhau và cạnh ñối diện với góc lớn hơn là cạnh lớn hơn
+ Nếu hai tam giác có hai cạnh tương ứng bằng nhau từng môt một nhứng các cạnh thứ ba không
bằng nhau thì góc xen giữa hai cạnh ñó cũng không bằng nhau và góc ñối diện với cạnh lớn hơn là
góc lớn hơn








TT Ÿo i˚n & ia s ti TP Hu - T: 070 7 ¼ 0989 249
E mail:
-
Trang
24

-

Bài tập mẫu :
Cho ñường tròn
(
)

O
và dây cung AB không ñi qua O. Trên dây AB lấy ba ñiểm C,D,E sao cho
ACCDDEED
= = =
. Các tia OC,OD,OE cắt ñường tròn lần lượt tại M,N,P. Chứng minh rằng
a.
…
»
AMPB
=
và
…
»
MNNP
=

b.
…
…
AMMN
<

Giải
a. Tam giác AOB có
OAOB
=
(bán kính ñường tròn
(
)
O

) nên AOB cân tại O và
•
•
OABOBA
=


Xét hai tam giác
∆
AOC và
∆
BOE có
OAOB
=

•
•
OACOBE
=
(theo chứng minh trên)
ACBE
=
(Theo giả thiết)
Do ñó
∆
AOC =
∆
BOE (cạnh góc cạnh)
Từ ñây suy ra
•

•
AOMBOP
=
, vậy cung
…
»
AMPB
=

Góc
•
OCD
là góc ở ngoài ñỉnh C của tam giác
OCA nên
•
•
•
OCDOACAOC
= +

Tương tự
•
•
•
AEBEOBBOE
= +

Mà
•
•

AOCBOE
=
,
•
•
OACOBE
=
, do ñó
•
•
OCEOEC
=


Xét hai tam giác OCD và tam giác OED có
OC=OE (2 cạnh tương ứng của
∆
AOC =
∆
BOE )
•
•
OCDOED
=
(theo chứng minh trên)
CDDE
=
(theo giả thiết )
Do ñó
∆

OCD =
∆
OED (cạnh góc cạnh)
Suy ra
•
•
CODEOD
=
hay
•
•
MONNOP
=
. Vậy cung
…
»
MNNP
=

b. Trên tia CM lấy dñểm Q sao cho
.
CQCO
=
Tứ giác AQDO là hình bình hành vì có hai ñường
chéo cắt nhau tại trung ñiểm của mỗi ñường
Do ñó
QDOA
=
nhưng
.

OAOD
>
Do ñó trong hai tam giác QOD, ta có
•
•
QODOQD
>
maà
•
•
OQDAOQ
=
(hai góc so le trong). Vì vậy
•
•
AOMMON
<

Do ñó
…
…
AMMN
<

Bài tập luyện tập
Bài tập 8: Cho tam giác MNP với các góc nhọn và
MNMP
<
. Trên cạnh MP lấy ñiểm D sao cho
MDMN

=
. Vẽ ñường tròn
(
)
O
ngoại tiếp tam giác tam giác NDP.
a. SO sánh các cung nhỏ
»
…
,
PDDN
và
»
PN

b. Từ O kẻ OI, OH,OK lần lượt vuông góc với PN ,PD ND. So sánh các ñoạn thẳng OI,OH,OK
Bài tập 9: Cho hai ñường tròn ñồng tâm O và bán kính lần lượt là R và r với
Rr
>
. Từ một ñiểm
P nằm ngoài ñường tròn tâm O bán kính R kẻ tia Px và Py không qua O, cắt hai ñường tròn theo
thứ tự tại A,B,E và C,D,F. Biết rằng
ABCD
>

a. Chứng minh rằng
PABE
=

b. So sánh các cung nhỏ

»
PE
,
»
PE
của ñường tròn tâm O bán kính R
Bài tập 10: Chứng minh rằng ñường kính ñi qua ñiểm chính giữa của một cung thì ñi qua trung
ñiểm của dây cung ấy. Mệnh ñề ñảo lại có ñung skhông? Hãy nêu ñiềm kiện ñể mệnh ñề ñảo ñúng
TT Ÿo i˚n & ia s ti TP Hu - T: 070 7 ¼ 0989 249
E mail:
-
Trang
25

-

Bài tập 11: Cho ñường tròn
(
)
O
ñường kính AB. Qua trung ñiểm I của bán kính OB kẻ dây
CD

vuông góc với AB. Kẻ dây CE song song với AB. Chứng minh rằng :
a.
AEBCBD
= =

b. E,O,D thẳng hàng
c. Tứ giác ADBE là hình chữ nhật

Chủ ñề 3: Góc nội tiếp

Phương pháp:
+ Góc nội tiếp là góc có ñỉnh nằm trên ñường tròn và hai cạnh cắt ñường tròn ñó
Cung nằm bên trong góc là cung bị chắn
+ Số ño góc nội tiếp bằng nửa số ño cung bị chắn
+ Trong một ñường tròn :
- Các góc nội tiếp cùng chắn một cung hoặc chắn hai cung bằng nhau thì bằng nhau
- Mọi góc nội tiếp chắn nửa ñường tròn ñều là góc vuông
- Mọi góc nội tiếp (nhỏ hơn hoặc bằng một góc vuông) có số ño bằng nửa số ño của góc ở tâm
cùng chắn một cung
Bài tập mẫu
Cho nửa ñường tròn
(
)
O
, ñường kính AB. Trên nửa ñường tròn lấy hai ñiểm C và D
»
(
)
DAC
∈

sao cho
•
0
90

COD
=
. Các tia AD và BC cắt nhau tại P, AC và BD cắt nhau tại H. Chứng minh rằng
a. Tam giác ACP và tam giác BDP là các tam giác cân;
b. PH vuông góc với AB
Giải

Góc
•
ACB
là góc nội tiếp chắn nửa ñường tròn
tâm O ñường kính AB nên
•
0
90
ACB
=
, suy ra
•
0
90
ACP
=
(hai góc kề bù). Do ñó hai tam giác
ACP vuông tại C
Ta có
•
•
1
2

CADCOD
=
(Góc nội tiếp chắn nửa
góc ở tâm cùng chắn cung
»
CD
). Mà
•
0
90
COD
=
nên
•
0
45
CAD
=

Tam giác vuông ACP có
•
0
45
CAP
=
nên nó à
tam giác vuông cân tại C
+ Chứng minh tương tự tam giác BDP vuông
cân tại D

b. Theo chứng minh trên ta có
•
0
90
ACB
=
, suy ra
ACBP
⊥
,
•
0
90
BDA
=
, suy ra
BDAP
⊥

Trong tam giác APB, hai ñường cao AC và DB cắt nhau tại H nên H là trực tâm của tam giác, do
ñó
PHAB
⊥


Bài tập luyện tập
Bài tập 12: Cho tam giác ABC nội tiếp trong ñường tròn
(
)
O

. Đường cao AH cắt ñường tròn
(
)
O
tại M, ñường cao BK cắt ñường tròn
(
)
O
tại N
Chứng minh rằng: