ĐỀ GIAO LUU HSG TOAN 8

PHÒNG GD – ĐT CHƯƠNG MỸ
TRƯỜNG THCS NAM PHƯƠNGTIẾNB
GV : Nguyễn thị Xuyến
ĐỀ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI
KHỐI 8
NĂM HỌC : 2009 – 2010
MÔN : TOÁN
Thời gian làm bài : 150 phút
ĐỀ BÀI :
Bài : 1 (3điểm) Phân tích đa thức thành nhân tử:
1. 8x
2
+ 10x – 3
2. 6x
2
+ 7xy + 2y
2
3. (x – y)
3
+ (y – z)
3
+ (z – x)
3
ĐÁP ÁN
Bài Ý Lời giải vắn tắt Điểm
1
(3đ)
1
(1đ)
8x
2

+ 10x – 3 = 8x
2
+ 12x – 2x – 3 =
4x(2x + 3) – (2x + 3) = (2x + 3)(4x – 1)
0,5 đ
0,5 đ
2
(1đ)
6x
2
+ 7xy + 2y
2
= 6x
2
+ 3xy + 4xy + 2y
2
=
= 3x(2x + y) + 2y(2x + y) = (2x + y)(3x + 2y)
0,5 đ
0,5 đ
3
(1đ)
(x - y)
3
+ (y - z)
3
+ (z - x)
3
=(x - y + y - z)[(x - y)
2

-(x - y)(y - z) + (y - z)
2
] + (z - x)
3
=(x - z)[(x - y)
2
- (x - y)(y - z) + (y - z)
2
- (z - x)
2
]
=(x - z)[(x - y)(x - y - y + z) + (y - z + z - x)(y - z - z + x)]
=(x - z)(x - y)(x - 2y + z - y + 2z - x)
=3(x - z)(x - y)(z - y)
0,5 đ
0,5 đ
Ghi chú: học sinh có thể làm theo cách khác, nếu đúng chấm điểm tròn theo từng phần
của bài đó./.
BAN GIÁM HIỆU DUYỆT ĐỀ
PHÒNG GD – ĐT CHƯƠNG MỸ
TRƯỜNG THCS NAM PHƯƠNGTIẾNB
GV : Nguyễn thị Xuyến
ĐỀ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI
KHỐI 8
NĂM HỌC : 2009 – 2010
MÔN : TOÁN
Thời gian làm bài : 150 phút
ĐỀ BÀI :
Bài 2: (4 điểm)
Cho biểu thức:

2 2 2 2 2 2
2 2
2 x x - y y x -xy + y
P = - + - :
x x -xy xy y -xy x - y
 
 ÷
 
1. Tìm điều kiện của các biến x, y để giá trị của P được xác định;
2. Rút gọn P;
3. Tìm giá trị của P với |2x – 1| = 1 ; |y + 1| =
1
2
ĐÁP ÁN
Bài Ý Lời giải vắn tắt Điểm
2
(4đ)
1
(1đ)
2 2 2 2 2 2
2 x x - y y x - xy + y
P = - + + :
x x(x - y) xy y(x - y) x - y
 
 
 
ĐKXĐ: x
≠
0; y
≠

0; x
≠
y
0,5 đ
0,5 đ
2
(1đ)
2 2 2 2
2 2
2 x y + (x - y )(x - y) + xy x - y
P = - .
x xy(x - y) x - xy + y
2 2
2 2
2 (x + y)(x - xy + y ) x - y 2 (x + y) y - x
= - .
x xy(x - y) x - xy + y x xy xy
= − =
0,5 đ
0,5 đ
3
(2đ)
2x -1 = 1 x = 1
2x -1 = 1
2x -1 = -1 x = 0
 
⇔ ⇔
 
 
; loại bỏ x = 0.

1 1
y +1 = y = -
1
2 2
y +1 =
1 3
2
y +1 = - y = -
2 2
 
 
⇔ ⇔
 
 
 
 
* Với
1
x 1;y
2
= = −
thì P = 3
* Với
3
x 1;y
2
= = −
thì P =
5
3

0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
Ghi chú: học sinh có thể làm theo cách khác, nếu đúng chấm điểm tròn theo từng phần
của bài đó./.
BAN GIÁM HIỆU DUYỆT ĐỀ
PHÒNG GD – ĐT CHƯƠNG MỸ
TRƯỜNG THCS NAM PHƯƠNGTIẾNB
GV : Nguyễn thị Xuyến
ĐỀ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI
KHỐI 8
NĂM HỌC : 2009 – 2010
MÔN : TOÁN
Thời gian làm bài : 150 phút
ĐỀ BÀI :
Bài 3: (3 điểm)
1. Giải phương trình:
x 16 x 18 x 20
1
49 47 45
−
+ + +
+ =
2. Giải phương trình: 4x
2
– 12x + 5 = 0
3. Cho các số x, y, z tùy ý. Chứng minh rằng:
2
2 2 2

3 3
x y z x y z+ + + +
 
≥
 ÷
 
ĐÁP ÁN
Bài Ý Lời giải vắn tắt Điểm
3
(3đ)
1
(1đ)
Thêm 2 vào 2 vế của phương trình ta được:
x 16 x 18 x 20
1 1 1
49 47 45
+ + +
+ + + = +
x 65 x 65 x 65
0
49 47 45
+ + +
⇔ + − =
1 1 1
(x 65) 0
49 47 45
 
⇔ + + − =
 ÷
 

(x 65) 0⇔ + =
; (vì
1 1 1
0
49 47 45
+ − ≠
)
Vậy x = – 65
0,5 đ
0,5 đ
2
(1đ)
Ta có: 4x
2
– 12x + 5 = 4x
2
– 2x – 10x + 5 = 2x(2x – 1) -5(2x – 1)=
= (2x – 1)(2x – 5).
Phương trình đã cho tương đương: (2x – 1)(2x – 5) = 0
* 2x – 1 = 0 => x =
1
2
* 2x – 5 = 0 => x =
5
2
Vậy phương trình có 2 nghiệm là: x =
1
2
; x =
5

2
0,5 đ
0,5 đ
3
(1đ)
Ta có
2 2
2 2
2 2
2 (1)
2 (2)
2 (3)
x y xy
y z yz
z x zx
+ ≥
+ ≥
+ ≥
Cộng từng vế ba BĐT trên ta được :
2 2 2
2( ) 2( )x y z xy yz zx+ + ≥ + +
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
2( ) ( ) ( ) 2( )
3( ) ( )
x y z x y z x y z xy yz zx
x y z x y z
+ + + + + ≥ + + + + +
⇒ + + ≥ + +
Chia hai vế cho chín ta được :

2 2 2 2
( )
3 9
x y z x y z+ + + +
=
hay
2
2 2 2
3 3
x y z x y z+ + + +
 
≥
 ÷
 
(đpcm)
0,5 đ
0,5 đ
Ghi chú: học sinh có thể làm theo cách khác, nếu đúng chấm điểm tròn theo từng phần
của bài đó./.
BAN GIÁM HIỆU DUYỆT ĐỀ
PHÒNG GD – ĐT CHƯƠNG MỸ
TRƯỜNG THCS NAM PHƯƠNGTIẾNB
GV : Nguyễn thị Xuyến
ĐỀ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI
KHỐI 8
NĂM HỌC : 2009 – 2010
MÔN : TOÁN
Thời gian làm bài : 150 phút
ĐỀ BÀI :
Bài 4: (3 điểm) Cho tam giác ABC, đường cao AH. Gọi D, E, M theo thứ tự là trung

điểm của AB, AC, BC. Chứng minh rằng tứ giác DEMH là hình thang cân?
ĐÁP ÁN
Bài Ý Lời giải vắn tắt Điểm
4
(3đ)
Hình
vẽ
(0,5đ)
M
E
D
H
C
B
A
0,5 đ
Chứng
minh
(2,5đ)
Ta có DE là đường trung bình của tam giác ABC nên DE // BC;
Do đó tứ giác DEMH là hình thang.
Mặt khác tam giác AHC vuông tại H và HE là đường trung tuyến nên:

( )
AC
HE 1
2
=
DM là đường trung bình của tam giác ABC nên:

( )
AC
DM 2
2
=
Từ (1) và (2) suy ra: DM = HE.
Hình thang DEMH có hai đường chéo bằng nhau nên nó là hình thang
cân. (đpcm)
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
Ghi chú: học sinh có thể làm theo cách khác, nếu đúng chấm điểm tròn theo từng phần
của bài đó./.
BAN GIÁM HIỆU DUYỆT ĐỀ
PHÒNG GD – ĐT CHƯƠNG MỸ
TRƯỜNG THCS NAM PHƯƠNGTIẾNB
GV : Nguyễn thị Xuyến
ĐỀ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI
KHỐI 8
NĂM HỌC : 2009 – 2010
MÔN : TOÁN
Thời gian làm bài : 150 phút
ĐỀ BÀI :
Bài 5: (4 điểm) Cho hình bình ABCD. Một đường thẳng a cắt AB ở E, cắt AD ở F và cắt
đường chéo AC ở G. Chứng minh rằng:
AE
AB
+

FA
AD
=
GA
AC
?
ĐÁP ÁN
Bài Ý Lời giải vắn tắt Điểm
5
(4đ)
Hình vẽ
(0,5đ)
0,5 đ
Chứng
minh
(3,5đ)
Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Kẻ BM // EF và DN // EF với
M,N trên AC
Xét tam giác ABM có EG // BM nên

AE
AB
=
GA
AM
(1)
Xét tam giác ADN có FG // DN nên


AF

AD
=
GA
AN
(2)
Cộng (1) và (2) vế theo vế ta có

AE
AB
+
FA
AD
=
GA
ANAM +
(3)
Mặt khác:
∆
ABM=
∆
CDN(g.c.g)
Suy ra AM =NC (4) .
Thay (4) vào (3) ta được:

AE
AB
+
FA
AD
=

GA
ANNC +
=
AG
AC
(đpcm)
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
Ghi chú: học sinh có thể làm theo cách khác, nếu đúng chấm điểm tròn theo từng phần
của bài đó./.
BAN GIÁM HIỆU DUYỆT ĐỀ

F

G

O

E

B

C

A

D

M

N
PHềNG GD T CHNG M
TRNG THCS NAM PHNGTINB
GV : Nguyn th Xuyn
GIAO LU HC SINH GII
KHI 8
NM HC : 2009 2010
MễN : TON
Thi gian lm bi : 150 phỳt
BI :
Bài 6 :(3 điểm):
a) Chứng minh rằng: 2009
2008
+ 2011
2010
chia hết cho 2010
b) Cho x, y, z là các số lớn hơn hoặc bằng 1. Chứng minh rằng:

2 2
1 1 2
1 1 1x y xy
+
+ + +
c) Chng minh rng : Với a+b+c=0 thì a
4

+b
4
+c
4
=2(ab+bc+ca)
2
P N
Bài 6: :(3 điểm):
a)(1điểm) Ta có: 2009
2008
+ 2011
2010
= (2009
2008
+ 1) + ( 2011
2010
1) 0,25 điểm
Vì 2009
2008
+ 1 = (2009 + 1)(2009
2007
- )
= 2010.() chia hết cho 2010 (1) 0,25 điểm
2011
2010
- 1 = ( 2011 1)(2011
2009
+ )
= 2010.( ) chia hết cho 2010 (2) 0,25 điểm
Từ (1) và (2) ta có đpcm . 0,25 điểm

b)(1điểm)
2 2
1 1 2
1 1 1x y xy
+
+ + +
(1)

( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
2 2
2 2
2
2 2
1 1 1 1
0
1 1 1 1
0
1 1 1 1
1
0 2
1 1 1

x xy y xy
x y x y x y
x xy y xy
y x xy
x y xy

+
ữ ữ
+ + + +


+
+ + + +


+ + +
0,50 điểm
Vì
1; 1x y

=>
1xy

=>
1 0xy

0,25 điểm
=> BĐT (2) đúng => BĐT (1) đúng (dấu = xảy ra khi x = y) 0,25 điểm

c)(1điểm) Ta có : a+b+c=0

a
2
+b
2
+c
2
+2(ab+ac+bc)=0

a
2
+b
2
+c
2
= -2(ab+ac+bc)
0,25 điểm

a
4
+b
4
+c
4
+2(a
2
b
2
+a
2

c
2
+b
2
c
2
)=4( a
2
b
2
+a
2
c
2
+b
2
c
2
)+8abc(a+b+c) Vì a+b+c=0 0,25 điểm

a
4
+b
4
+c
4
=2(a
2
b
2

+a
2
c
2
+b
2
c
2
) (1)
Mặt khác 2(ab+ac+bc)
2
=2(a
2
b
2
+a
2
c
2
+b
2
c
2
)+4abc(a+b+c) . Vì a+b+c=0


2(ab+ac+bc)
2
=2(a
2

b
2
+a
2
c
2
+b
2
c
2
) (2) 0,25 điểm
Từ (1)và(2)

a
4
+b
4
+c
4
=2(ab+ac+bc)
2
0,25 điểm
Ghi chỳ: hc sinh cú th lm theo cỏch khỏc, nu ỳng chm im trũn theo tng phn ca bi ú./.
BAN GIM HIU DUYT
PHềNG GD T CHNG M
TRNG THCS NAM PHNGTINB
GV : Nguyn th Xuyn
GIAO LU HC SINH GII
KHI 8
NM HC : 2009 2010

MễN : TON
Thi gian lm bi : 150 phỳt
BI :
Bi : 1 (3im) Phõn tớch a thc thnh nhõn t:
1. 8x
2
+ 10x 3
2. 6x
2
+ 7xy + 2y
2
3. (x y)
3
+ (y z)
3
+ (z x)
3
Bi 2: (4 im)
Cho biu thc:
2 2 2 2 2 2
2 2
2 x x - y y x -xy + y
P = - + - :
x x -xy xy y -xy x - y

ữ

1. Tỡm iu kin ca cỏc bin x, y giỏ tr ca P c xỏc nh;
2. Rỳt gn P;
3. Tỡm giỏ tr ca P vi |2x 1| = 1 ; |y + 1| =

1
2
Bi 3: (3 im)
1. Gii phng trỡnh:
x 16 x 18 x 20
1
49 47 45

+ + +
+ =
2. Gii phng trỡnh: 4x
2
12x + 5 = 0
3. Cho cỏc s x, y, z tựy ý. Chng minh rng:
2
2 2 2
3 3
x y z x y z+ + + +


ữ

Bi 4: (3 im) Cho tam giỏc ABC, ng cao AH. Gi D, E, M theo th t l trung
im ca AB, AC, BC. Chng minh rng t giỏc DEMH l hỡnh thang cõn?
Bi 5: (4 im) Cho hỡnh bỡnh ABCD. Mt ng thng a ct AB E, ct AD F v ct
ng chộo AC G. Chng minh rng:
AE
AB
+
FA

AD
=
GA
AC
?
Bài 6 :(3 điểm)
1) Chứng minh rằng: 2009
2008
+ 2011
2010
chia hết cho 2010
2) Cho x, y, z là các số lớn hơn hoặc bằng 1. Chứng minh rằng:

2 2
1 1 2
1 1 1x y xy
+
+ + +
3) Chng minh rng : Với a+b+c=0 thì a
4
+b
4
+c
4
=2(ab+bc+ca)
2