Đề thi hsg trường THPT Đô lương 3 năm học 2012-2013

SỞ GD&ĐT NGHỆ AN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TRƯỜNG LỚP 11
Trường THPT Đô Lương 3 NĂM HỌC: 2012-2013
Môn thi: TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút
A. Phần chung .
Câu I: (8 điểm)
1. Giải phương trình:
2
2 2 3 5 6 3 7x x x x x− + − = − − − +
2. Giải hệ:
2
2
1( 1) 4 (2 1) 0
2 3 8 0
x x y y
y xy x

− + − + =


− + + =


Câu II: (3 điểm)
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC và đường thẳng
(d): x-y+1=0. Gọi D(4;2), E(1;1), N(3;0) lần lượt là chân đường cao kẻ từ A,
chân đường cao kẻ từ B và trung điểm cạnh AB. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác
ABC, biết rằng trung điểm M của cạnh BC nằm trên đường thẳng (d) và điểm M có
hoành độ lớn hơn 3.
Câu III: (3 điểm)
Cho x, y, z là ba số thực không âm và thỏa mãn điều kiện:

2 2 2
1a b c+ + =
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
3
( ) ( ) 6P a b c a b c abc= + + − + + +
.
B. Phần riêng .(mỗi thí sinh chỉ được chọn một trong hai câu IVa hoặc IVb)
Câu IVa: (6 điểm)
1. Cho hình chóp OABC. Xét các điểm
1 1 1
, ,A B C
theo thứ tự thuộc các cạnh
, ,OA OB OC
sao cho
1 1 1
3
OA OB OC
OA OB OC
+ + =
. Chứng minh rằng khi các điểm
1 1 1
, ,A B C

thay đổi thì mặt phẳng
1 1 1
( )A B C
đi qua một điểm cố định.
2. Cho dãy số
( )
n

U
xác định bởi :
1
1
0
5 2
4 1
n
n
n
U
U
U
U
+
=


−

=

−

,
*
n N∈
Xác định công thức số hạng tổng quát
n
U

theo n .
Câu IVb: (6 điểm)
1.Cho hình hộp
1 1 1 1
ABCDA B C D
. Hãy xác định các điểm M, N theo thứ tự thuộc các
đoạn thẳng
1
AC
và
1 1
B D
sao cho
MN
song song với
1
A D
.
2. Cho dãy số
( )
n
U
, xác định bởi :
1
2 2
1
2013
4023 2012
n n n
U

U U U
+
=



= − +


,
*
n N∈
Tính:
1 2
1 1 1
( )
2011 2011 2011
n
Lim
U U U
+ + +
− − −
.
Hết
Họ tên thí sinh: …………………………………………… Số báo danh ………………