Hệ thống kiến thức toán 12

HỆ THỐNG KIẾN THỨC TỐN 12
Nhắc lại 1 số cơng hức về đạo hàm cơ bản:
Bài

( u ± v) / = u / ± v /
( u.v ) / = u / .v + u.v /
( C.v ) / = C.v /

1.
2.
3.

sát
SƠ

/

7.( x ) = 1
/

( )

8. x α

/

4.

VÀ
THỊ
SỐ

u / .v − v / .u
u
  =
v2
v

5.

− C.v /
C
  =
v2
v

19.

( )

10. x

/
ta có y =

2.
y/ =

a1
a2

2

nghiệm
3.Tính giới hạn:
lim y = ...

ad − bc
(cx + d ) 2

( )
12.( e )

/

1

=

2. x

= a . ln a

x /

11. a

x /

= ex

x

1
13.( log a x ) =
x. ln a
1
/
14.( ln x ) =
x
/
15.( sin x ) = cos x
/

b1 2
a
x +2 1
b2
a2

(a x

= α ..x α −1

−1
1
9.  = 2
x
x

(v ≠ 0)

a1 x 2 + b1 x + c1
y=
a 2 x 2 + b2 x + c 2

20.

/
/

/

ax + b
y=
cx + d

6.( C ) = 0

2

ta coù
c1
b
x+ 1
c2
b2

+ b2 x + c 2

)

c1
c2

2

16.( cos x ) = − sin x
1
/
17.( tan x ) =
cos 2 x
−1
/
18.( cot x ) =
sin 2 x
/

(u )

α /

toán 1:
Khảo
hàm số

= α ..x α −1 .u /

/

− v/

1
= 2
 
v
v
/
u/
u =
2. u

ĐỒ
KHẢO
SÁT
VẼ ĐỒ
HÀM

( )
(a )
(e )

u /

= a u . ln a.u /

u /

= e u .u /

( log a u ) /
( ln u ) /

=

u/
u. ln a

u/
u
= u / . cos u

=

( sin u ) /
( cos u ) /
( tan u ) /
( cot u ) /

= −u / . sin u
u/
cos 2 u
− u/
=
sin 2 u
=

1.Tìm
tập
xác
định:
D=…

Tính
đạo
hàm:
y’=
cho
y’=0
và tìm

lim y = ...

với xo là nghiệm mẫu
4.Tìm phương trình tiệm cận (nếu có)
5.Lập bảng biến thiên
6.Chỉ ra khoảng đồng biến,nghịch biến
7.Chỉ rõ điểm CỰC ĐẠI,CỰC TIỂU
8.Xét tính lồi lõm và điểm uốn (Đối với hàm số bậc 3 và hàm trùng phương)
Tính y’’
cho y’’=0 tìm nghiệm và lập bảng xét dấu y’’
9.Nhận xét về đồ thị:
• Chỉ rõ tâm đối xứng(trục đối xứng của đồ thị)
• Chỉ rõ giao điểm của (C) với trục Oy và Ox
• Cho thêm điểm đặt biệt để vẽ
10. Vẽ đồ thị.
x →±∞

x → xo ±

1.Hàm số bậc 3 : y = ax3 + bx2 + cx + d

(a≠0)

Giáo viên : Phạm Đỗ Hải (violet.vn/phamdohai)

Trang số 1


a>0 ; coù 2 CT

a<0; coù 2 CT

y = ax4 + bx2 + c

2 Hàm trùng phương
a> 0
b>0

a>0,không CT

a<0,không CT

(a≠0)
a< 0
b>0

a< 0
b <0

ax + b
cx + d

( c ≠ 0; ad − bc ≠ 0 )

x= −d/ c

x= −d/ c

3.Haøm phân thức : y =

a> 0
b <0

y= a/c
y= a/c

Bài toán 2: Phương trình tiếp tuyến :
u Cầu Viết PTTT của (C): y=f(x) biết
1. Tiếp tuyến tại M(x0; f(x0))
• TT có phương trình là :
y - f(x0)= f/(x0)(x− x0)
• Từ x0 tính f(x0) ; Đạo hàm : y/ = f/(x) => f/(x0) = ?
• P.trình tiếp tuyến tại M là: y = f/(x0)(x− x0) + f(x0)
2. Tiếp tuyến có hệ số góc k :
Nếu : tiếp tuyến // đường thẳng y = a.x + b => hệ số góc k = a

1

tiếp tuyến ⊥ đường thẳng y = a.x + b => hệ số góc k = − a
• Giả sử M(x0; f(x0)) là tiếp điểm => hệ số góc của tiếp tuyến f/(x0).
• Giải phương trình f/(x0) = k => x0 = ? −> f(x0) = ?
• Phương trình tiếp tuyến y = k (x − x0) + f(x0)

Chú ý : + Hai đường thẳng vuông góc nhau : k1.k2 = −1
+ Hai đường thẳng song song nhau : k1 = k2

Bài toán 3: Biện luận số nghiệm của phương trình bằng đồ thị :

Giả sử phải biện luận số nghiệm của Pt : F(x; m) = 0 .
• Biến đổi phương trình F(x; m) = 0 về dạng f(x) = g(x) Trong đó đồ thị hàm số y = f(x) đã vẽ và
y=g(x) là 1 đường thẳng song song với Ox
Chú ý:Ở mức độ khó hơn thì đồ thị y=g(x) // với đường thẳng cố định hoặc quay quanh 1 điểm cố định)
• Vẽ đồ thị:y = g(x) ; đồ thị (C): y =f(x)
• Dựa vào đồ thị xét sự tương giao của đồ thị (C) với đồ thị y = g(x)

Bài toán 4: xét tính đơn điệu

Phương pháp xác định khoảng tăng, giảm hàm số :
+ MXĐ: D= ?

Giáo viên : Phạm Đỗ Hải (violet.vn/phamdohai)

Trang số 2


+ Đạo hàm : y/ = ? ..
cho y/ = 0 ( nếu có ) xét dấu y/
+ BXD (sắp các nghiệm của PT y/ = 0 và giá trị không xác định của hàm số từ trái sang phải tăng dần)
/
* y > 0 thì hàm số tăng
; y/ < 0 thì hàm số giảm
+ Kết luận : hàm số đồng biến , nghịch biến trên khoảng ...
Định lý 2 (dùng để tìm giá trị m):

a) f(x) tăng trong khoảng (a;b) thì f/(x) ≥ 0 ∀ x ∈ (a;b)
b) f(x) giảm trong khoảng (a;b) thì f/(x) ≤ 0 ∀ x ∈ (a;b).

Bài tốn 5: Cực trị hàm số

• Dấu hiệu I :
+ MXĐ D=?
+ Đạo hàm : y/ = ? ..
cho y/ = 0 ( nếu có ) xét daáu y/
+ BBT : (sắp các nghiệm của PT y/ = 0 và giá trị không xác định của hàm số từ trái sang phải tăng dần)
+ Tính yCĐ ; yCT ; kết luận cực trị ?
Chú ý:
1) Nếu hàm số ln tăng ( giảm)trên (a;b) thì khơng có cực trị trên (a;b).
2) Số cực trị của hàm số bằng số nghiệm đơn của phương trình y/ = 0.



/

3) x0 là cực trị của hàm số  y / ( x 0 ) = 0
y ( x ) đổi dấu qua x0
• Dấu hiệu II:
+ MXĐ
+ Đạo hàm : y/ = ? .. y// = ? ..
cho y/ = 0 ( nếu có ) => x1 , x2 ….. .
+ Tính y//(x1); y//(x2)…….
Nếu y//(x0) > 0 thì hàm số đạt CT tại x0 , yCT= ?
Nếu y//(x0) < 0 thì hàm số đạt CĐ tại x0 , yCĐ= ?
• Tìm m để hàm số đạt cực trị tại xo:
 f / ( x0 ) = 0

+ xo là điểm cực trị <=>  / /
 f ( x0 ) ≠ 0
 f / ( x0 ) = 0
+ xo là điểm cực đại <=>  / /
 f ( x0 ) > 0
 f / ( x0 ) = 0
+ xo là điểm cực tiểu <=>  / /
 f ( x0 ) < 0

• Hàm số đạt cực trị bằng y0 tại x0

 f / ( x0 ) = 0

Hàm số đạt cực trị bằng y0 tại x0 khi  f ( x 0 ) = y 0
 f // ( x ) ≠ 0
0


Chú ý : dấu hiệu II dùng cho những h/s mà y/ khó xét dấu (như hàm lượng giác,mũ,logarit,luỹ thừa,… )
* Nếu y = f(x) là đa thức thì đường thẳng đi qua các điểm cực trị là:
y = phần dư của phép chia f(x) cho f/(x).
Dạng 2: Cực trị của hàm hữu tỉ :
Cho h/s y =
Và y/ =

u

u(x) ; v(x) là các đa thức có MXĐ: D

v

u′v − v′u
2
v

=

g(x)
2
v

dấu của y/ là dấu cuûa g(x)

Giáo viên : Phạm Đỗ Hải (violet.vn/phamdohai)

Trang số 3


Nếu h/s đạt cực trị tại x0 thì y/(x0)= 0 => g(x0) = 0 <=> u/v−v/u = 0
=>

u′
v′

=

u
v

. Do đó giá trị cực trị y(x0) =

u′(x 0 )
v′(x 0 )

Một số dạng bài tập về cực trị thường gặp
-

a ≠ 0
Để hàm số y = f ( x ) có 2 cực trị ⇔ f ' ( x ) = 0 có nghiêm ⇔ 
∆ > 0

-

Để hàm số y = f ( x ) có hai cực trị nằm về 2 phía đối với tung ⇔ yCD . yCT < 0

-

Để hàm số y = f ( x ) có hai cực trị nằm về 2 phía đối với trục tung ⇔ xCD .xCT < 0

-

 yCD + yCT > 0
Để hàm số y = f ( x ) có hai cực trị nằm trên trục hồnh ⇔ 
 yCD . yCT > 0

-

 yCD + yCT < 0
Để hàm số y = f ( x ) có hai cực trị nằm dưới trục hoành ⇔ 
 yCD . yCT < 0

-

Để hàm số y = f ( x ) có cực trị tiếp xúc với trục hồnh ⇔ yCD . yCT = 0

Bài toán 6: Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất

1. Phương pháp tìm GTLN và GTNN của h/s y = f(x) trên [a;b]:
• xét hàm số y = f(x)=… trên [a;b]
• Đạo hàm : y/ = ? ..
cho y/ = 0 ( nếu có ) _ x1 , x2 ….. . chỉ chọn các nghiệm thuộc [a;b]
• Tính f(x1) ; f(x2) ………. So sánh → KL
f(a) ; f(b)
•

Kết luận:

max y =
[a;b]

?

min y =
[a;b] ?

2. P/pháp tìm GTLN hoặc GTNN của h/s trên (a;b) hoặc MXĐ :
• Miền đang xét (a;b) hoặc TXĐ
• Đạo hàm : y/ = ? ..
cho y/ = 0 ( nếu có ) xét dấu y/
• Lập BBT:

• Từ BBT kết luận
* Nếu trên toàn miền đang xét h/s chỉ có 1 CT thì GTNN bằng giá trị CT

min y = y
ct
[a;b]
max y =
yCĐ
[a;b]

* Nếu trên toàn miền đang xét h/s chỉ có 1 CĐ thì GTLN bằng giá trị CĐ
* Nếu hàm số ln tăng (giảm) trên (a;b) thì khơng có cực trị trên khoảng (a;b).
Chú ý : Khi gặp h/s không cho miền đang xét thì ta tìm TXĐ của h/s đó :
• nếu TXĐ là một đoạn [a;b]hoặc nữa khoảng thì ta dùng cách 1
• nếu TXĐ là một khoảng thì dùng cách 2
• Đơi khi:Đặt ẩn phụ t=u(x)
Biến bài tốn tìm GTLN,NN của hàm số y = f(x) trên một khoảng
nào đó thành bài tốn tìm GTLN,NN của hàm số y = g(t) trên 1 đoạn khác

Bài toán 7 : Giao điểm hai đường cong ( đ.thẳng và một đường cong).
1. Cho hai đồ thị (C1) : y = f(x) ;
(C2) : y = g(x)
Hoành độ giao điểm của (C1) và (C2) nếu có
là nghiệm của phương trình : f(x) = g(x) (1)

Giáo viên : Phạm Đỗ Hải (violet.vn/phamdohai)

Trang số 4

• pt(1) vô nghiệm <=> (C1) và (C2) không có điểm chung
• pt(1) có n nghiệm <=> (C1) và (C2) có n điểm chung
* Số nghiệm của (1) là số giao điểm của hai đường cong.
f (x) = g(x)
2. Điều kiện tiếp xúc : Đồ thị (C1) tiếp xúc (C2) <=> hệ pt 
có nghiệm
f ′(x) = g′(x)
Bài tốn 8: Ứng dụng của tích phân :Tính diện tích hình phẳng và thể tích của một vật thể trịn xoay sinh bởi
1 hình phẳng quay quanh trục Ox hoặc Oy
 (C1 ) và (C2 )
 (C1 ) và (C2 )
(H ) 
(H ) 
x = a , x = b (a < b)
y = c, y = d (c < d )
b

d

S = ∫ y C1 − yC2 dx

S = ∫ x C 1 − xC2 dy

a

c

b

VOx =π∫ y

d

2
C1

−y

2
C2

2
2
VOy =π∫ xC1 − xC2 dy

dx

a

c

Bài tốn 9: Tìm điểm cố định của 1 họ đường cong (Cm): y=f(x,m)
• Biến đổi PT y=f(x,m) thành PT theo ẩn m
• Toạ độ điểm cần tìm là nghiệm hệ PT gồm tất cả các hệ số bằng 0
• Giải hệ và kết luận
……………………

PHầN 2: HÀM Số MŨ VÀ LOGARIT
Bài tốn 1:Dùng cơng thức tính các biểu thức có chứa hàm số mũ hoặc logarit
a−n =

1

a

n

; a0 = 1 0 ;

m
n m
an = a

( m; n nguyeân dương , n > 1)

• Các quy tắc:
ax.ay = ax+y
(a.b)x =ax.bx
a
a

x
y =a

x y

x

a
ữ

b

=

a
b

x
x

( ax )

y

( y)

= a

x

=a

x.y

ã Hàm số mũ : y = a x với a > 0 ; a ≠ 1
TXĐ : D = R
MGT : (0; +∞ )
+ a > 1 ; h/s đồng bieán :
x1 > x2 ⇔ a x1 > a x2
+ 0 < a < 1 ; h/s nghịch biến : x1 > x2 ⇔ a x1 < a x2

* Hàm số logarit: α = logaN ⇔ aα = N
logax = b ⇔ x= ab
• Đặc biệt : a loga x = x ; log a a x = x ; loga1 = 0
• Các qui tắc biến đổi : với a , B , C > 0 ; a ≠ 1 ta coù:
log a (B.C) = log a B + log a C
β
B
log a  ÷ = log a B − log a C log aα Bβ = log a B
α
C
• Công thức đổi cơ số : với a , b , c > 0 ; a , c ≠ 1 ta coù :
log c a.log a b =

log c b

⇔

log a b =

log c b
log c a

0 < a, b ≠ 1 :

log a b =

1
log b a

Chú ý : log10x = lg x ; log e x = ln x

• Hàm số Logarit: y = log a x với a > 0 ; a ≠ 1
TXĐ : D = (0 ; +∞ )
MGT : R
+ a > 1 ; h/s đồng biến : x1 > x2 > 0 ⇔ log a x1 > log a x2
+ 0 < a < 1;h/s ngh bieán: x1 > x2 > 0 ⇔ log a x1
Giáo viên : Phạm Đỗ Hải (violet.vn/phamdohai)

Trang số 5


Bài tốn 2: Tính đạo hàm của các hàm số mũ và logrit
−> ( eu)/ = u/.eu
−> ( au)/ = u/.au.lna

(ex) / = ex
( ax) / = ax.lna
(lnx) / =

1

x ∈(0;+∞)

x

(logax) / =

−> (lnu)/ =

1

−> (logau )/ =

x ln a

u′
u
u′
u. ln a

Bài tốn 3: Giải phương trình mũ:
(a x = b <=>a x = a log ab <=> x=log a b)

a x = b <=> x=log a b

Cách 1. Sử dụng định nghĩa

Cách 2. Sử dụng pp đưa về cùng cơ số

a

f (x)

=a

<=>

g(x)

Cách 3. Sử dụng pp đưa về cùng cơ số và đặt ẩn phụ

α. a 2f (x) +β. a f (x) + γ = 0
;
Đặt : t =

a

f (x) = g(x)

0 < a ≠ 1

f (x)

Ñk t > 0

f (x)

Ñk t > 0

α. a b + f (x) +β. a b−f (x) + γ = 0 ;

Đặt : t =

a

α. a f (x) +β. bf (x) + γ = 0 và a.b = 1;

Đặt: t =

a

α. a 2f (x) +β. ( a.b )

f (x)

+ γ. b 2f (x) = 0 ;

f (x) 1
; = b f (x)
t
f (x)
a

Đặt t =  ÷
b

Bài tốn 4: Giải phương trình logarit :
Cách 1. Sử dụng định nghĩa

f(x) > 0

log a f(x)=b<=> 0 < a ≠ 1
f(x)=a b


Cách 2. Sử dụng pp đưa về cùng cơ số

log a f(x) =

f (x) > 0 (hay


log a g(x) <=> 0 < a ≠ 1
f (x) = g(x)


g(x) > 0)

Bài toán 5: Giải bất phương trình mũ và logarit
Về cơ bản thì phương trình mũ và logarit có các cách gải nào thì bất phương trình mũ và logarit có các cách
giải đó
Tuy nhiên,ta cần chú ý dạng cơ bản sau:

• Bất phương trình mũ dạng:
TH1 :

0 < u(x) <1 ;

f (x)
g(x)
u(x)
≥ u(x)
f (x)
g(x)
u(x)
≥ u(x)
<=> f (x) ≤ g(x)

TH1 :

u(x) > 1

u(x)

;

TQuat :

f (x)

u(x)

f (x)

≥ u(x)

g(x)

≥ u(x)

g(x)

<=> f (x) ≥ g(x)
0 < u(x) ≠1

<=> 
[ u(x) -1][f (x) −g(x)]≥0


• Bất phương trình logarit dạng: log f(x) ≥ log g(x)
a

a

TH1 :

0 < u(x) <1 ;

log u(x) f(x) ≥ log u(x) g(x) <=> f (x) ≤ g(x)

TH1 :

u(x) > 1

log u(x) f(x) ≥ log u(x) g(x) <=> f (x) ≥ g(x)

TQuat :

;

log u(x) f(x) ≥ log u(x) g(x)

0 < u(x) ≠1

f(x) >0
<=> 
g(x) >0
[ u(x) -1][f (x) −g(x)]≥0


Lưu ý:
*) trong trường hợp có ẩn dưới cơ số thì chúng ta nên sử dụng cơng thức sau để bài toán trở nên dễ dàng hơn.

1. a f (x) > a g(x)  (a−1)(f(x) − g(x)) > 0.

Giáo viên : Phạm Đỗ Hải (violet.vn/phamdohai)

Trang số 6


2. log a f(x) > log a g(x)  (a−1)(f(x) − g(x)) > 0.
*) Khi giải bài toán bất phương trình mũ hoặc logarit thì phải nắm thật vững tính chất đơn điệu của hai hàm
số trên.
*) Nắm vững phép lấy hợp, lấy giao của hai hay nhiều tập hợp số.
Bài tốn 5: Giải hệ phương trình mũ và logarit (Khơng có ở ban cơ bản)
Thơng thường giải bằng PP thế

PHầN 3: NGUN HÀM.
Bài tốn 1:Tìm ngun hàm cơ bản(dựa vào bảng nguyên hàm các hàm số cơ bản).
∫ dx = x + C
x

α

∫ x .dx =
∫

dx

α+1

∫ (ax + b) dx =

+ C (α ≠-1 )

α +1

∫

= lnx + C ( x≠ 0)

x
x
∫ e .dx =
x
∫ a .dx

a

∫ Cosx.dx
∫ Sinx.dx

dx

x

ln a

+C

=

ax + b

∫e

ex + C

=

(ax + b)

α

∫a

ax + b

1

αx +β

a( α + 1)

1
a

.dx =

+ C (α

≠-1)

lnax+ b + C

a

.dx =

α+1

eax+b + C

1 a
α

αx + b
ln a

+C

= Sinx + C
= − Cos x + C

∫ Cos(ax + b).dx

=

∫ Sin(ax + b).dx

= − Cos(ax+ b) + C

∫

dx
2
Cos x

= ∫ (tan 2 x + 1).dx = tanx + C

∫

dx
2
Sin x

=

2
∫ (Cot x + 1).dx

= −Cotx + C

∫
∫

dx
2

Cos (ax + b)
dx
2

Sin (ax + b)

1

Sin(ax+ b) + C

a

1
a

1

= tan(ax+ b) + C
a

1

= − Cot(ax+ b) + C
a

Bài tốn 2: Tìm ngun hàm bằng phương pháp đổi biến số.
Dạng 1: Tính I = ∫ f [u(x)].u '(x)dx bằng cách đặt t = u(x)
• Đặt t = u(x) ⇒ dt = u '(x)dx
• I = ∫ f [u(x)].u '(x)dx = ∫ f (t)dt
Dạng 2: Tính I = ∫ f (x)dx Nếu khơng tính được theo dạng 1 nhưng trong tích phân có chứa một trong số các
hàm biểu thức sau thì có thể đổi biến như sau:
2
2
a −x

a2 + x2 ;

1

;

2
2
a −x

1
2 + x2
a

thì đặt x = atant.

CHÚ Ý:
u ( x)
/
1. ∫ f (e ).u ( x)dx
1

∫ f (ln x). x dx
3. ∫ f ( ax + b ).dx
4. ∫ f (sin x, cos x )dx
2.

n

thì đặt x = asint

Đặt

t = u (x)

Đặt

t = ln(x)

Đặt

t = n ax + b

• Nếu f là hàm lẻ đối với cosx : đặt t = sinx
• Nếu f là hàm lẻ đối với sinx : đặt t = cosx
• Nếu f là hàm chẵn đối với sinx, cosx dùng công thức hạ bậc:
1 + cos 2 x
1 − cos 2 x
cos 2 x =
, sin 2 x =
2
2

Giáo viên : Phạm Đỗ Hải (violet.vn/phamdohai)

Trang số 7


• Nếu f chỉ chứa sinx hoặc cosx đặt t = tan

x
2

∫ f(
6. ∫ f (

a 2 − x 2 ).dx

Đặt

x = a sin t

a 2 + x 2 ).dx

Đặt

x = a tan t

7.

∫ f(

x 2 − a 2 ).dx

Đặt

x=

8.

∫ f(

Đặt

t = x + x2 ± a2

5.

1

).dx

x2 ± a2

a
cos t

Bài tốn 3: Tìm ngun hàm bằng phương pháp từng phần:
Nếu u(x) , v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên I
∫ u(x).v'(x)dx = u(x).v(x) − ∫ v(x).u '(x)dx
Hay ∫ udv = uv − ∫ vdu ( với du = u’(x)dx,

dv = v’(x)dx)

phân tích các hàm số dễ phát hiện u và dv
sin ax 
∫ f ( x ) cosax dx với f(x) là đa thức:
@ Dạng 1
 ax 
e 

u = f ( x )
du = f '( x ) dx




sin ax 
sin ax 
⇒
Đặt
Sau đó thay vào công thức ∫ udv = uv − ∫ vdu để tính

cos ax  dx


dv = 
v = ∫ cosax  dx
ax 
ax


e

e 



a.dx
u = ln( ax + b ) du =
⇒

∫ f ( x ) ln( ax + b )dx
@ Dạng 2:
Đặt 
ax + b
dv = f ( x ) dx
v = ∫ f ( x ) dx

Sau đó thay vào công thức ∫ udv = uv − ∫ vdu để tính
ax sin ax 
@ Dạng 3: ∫ e . 
Ta thực hiện từng phần hai lần với u = eax
dx
cosax 

b
b
PHầN 4: TÍCH PHÂN. ∫a f ( x).dx = F ( x) = F (b) − F (a)
a

Bài tốn 1: Tính tích phân bằng cách sử dụng tính chất và ngun hàm cơ bản.
Bài tốn 2: Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số.
b
/
∫ f [u(x)]u dx bằng cách
a
Đặt t = u(x) ⇒ dt = u '(x)dx

Dạng 1: Tính I =
•
•

•

đặt t = u(x)

Đổi cận x=a => t = u(a)
x=b => t = u(b)
I=

Dạng 2: Tính I =

b
/
∫ f [u(x)]u dx
a
β
∫ f (x)dx
α

u(b)

=

∫ f (t)dt

u(a)

Nếu khơng tính được theo dạng 1 nhưng trong tích phân có chứa một trong số các

hàm biểu thức sau thì có thể đổi biến như sau:
2

2
a −x
a2 + x2 ;

;

1
2
2
a −x

1
2 + x2
a

thì đặt x = asint

thì đặt x = atant.

Giáo viên : Phạm Đỗ Hải (violet.vn/phamdohai)

Trang số 8


Bài tốn 3: Tìm ngun hàm bằng phương pháp từng phần:
Nếu u = u(x) , v = v(x) là hai hàm số có
đạo hàm liên tục trên [a;b] thì I =
b
b b
∫ udv = u.v a − ∫ vdu

a
a

phân tích các hàm số dễ phát hiện u và dv
@ Dạng 1

β

∫

α

sin ax 
f ( x ) cosax dx với f(x) là đa thức:
 ax 
e 

Sau đó thay vào cơng thức
@ Dạng 2:

∫ udv = uv − ∫ vdu

để tính

u = ln( ax + b ) du =
⇒
Đặt 
dv = f ( x ) dx
v = ∫


β

∫ f ( x ) ln( ax + b )dx

α

Sau đó thay vào cơng thức

Đặt

u = f ( x )
du = f '( x ) dx




sin ax 
sin ax 
⇒





dv = cos ax  dx v = ∫ cosax  dx
ax
ax



e

e 



∫ udv = uv − ∫ vdu

a.dx
ax + b
f ( x ) dx

để tính

PHầN 5: DIệN TÍCH HÌNH PHẳNG − THể TÍCH VậT THể TRỊN XOAY.
Bài tốn 1: Tính diện tích hình phẳng
y
• Hình phẳng giới hạn bởi :

hàm số y = f (x) liên tục trên [a;b]

Diện
trục hoành y = 0; x = a; x = b

tích : S =

b
∫ | f (x) | .dx
a

b
a

Chú ý : nếu thiếu cận a, b giải pt : f(x) = 0
hàm số x = f (y) liên tục trên [a; b]
Diện
x = 0;y = a; y = b


• Hình phẳng giới hạn bởi : trục hoành

tích : S =

• Hình phẳng giới hạn bởi :
 hàm số y = f (x) liên tục trên [a; b]

 hàm số y = g(x) liên tục trên [a; b]
x = a; x = b


x
b
∫ | f (y) | .dy
a

y

Diện tích : S =

b

∫ | f (x) − g(x) | .dx
a

y=f(x
)
y=g(
x)
x
b

a
Chú ý : 1) Nếu thiếu cận a, b giải pt : f(x) = g(x)
2) Nếu bài tốn qua phức tạp thì ta có thể vẽ hình để xác định hình phẳng hoặc tính thơng qua tổng
hoặc hiệu của nhiều hình.
• Hình phẳng giới hạn bởi :
 hàm số x = f (y) liên tục trên [a; b]

 hàm số x = g(y) liên tục trên [a; b] Diện
 y = a;y = b


tích : S =

b
∫ | f (y) − g(y) | .dy
a

Bài tốn 2:Tính thể tích vật thể trịn xoay :
* Thể tích hình tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường :
 hàm số y = f (x) liên tục trên [a; b]


quay
trục hoành y = 0; x = a; x = b

quanh truïc Ox và f(x) ≥ 0 trên [a;b] thì V =

b
2
π ∫ f (x) .dx


a

PHầN 6: Số PHứC
Bài tốn 1: Tìm số phức, tính mơđun,số phức liên hợp,biểu diễn số phức,…
Cho hai số phức a+bi và c+di.
1) a+bi = c+di  a = c và b = d.

2) môđun số phức z

= a + bi = a 2 + b 2

3) số phức liên hợp của z = a+bi là z = a − bi.
* z+ z = 2a; z. z = z 2 = a 2 + b2
4) (a+bi ) +( c+di) = (a+c)+(b+d)i
5) (a+bi ) −( c+di) = (a−c)+(b−d)i.
6) ) (a+bi )( c+di) = (ac − bd)+(ad+bc)i

Giáo viên : Phạm Đỗ Hải (violet.vn/phamdohai)

Trang số 9


c + di
1
=
[(ac+bd)+(ad-bc)i]
2 + b2
a + bi a

7) z =

(để thực hiện phép chia:ta nhân tử và mẫu cho số phức liên hợp

của số phức ở mẫu)

Bài toán 2: Giải phương trình bậc 2.

Cho phương trình ax2 + bx + c = 0. với ∆ = b2 − 4ac.
Nếu ∆ = 0 thì phương trình có nghiệp kép

b
x1 = x 2 = −
2a

Nếu ∆ > 0 thì phương trình có hai nghiệm:

x=

Nếu ∆ < 0 thì phương trình có hai nghiệm:

x=

−b ± ∆
2a
−b ± i ∆
2a

Phần 1: Thể tích, diện tích của các khối hình
•

Tính diện tích các mặt (là tam giác,tứ giác,hình trịn,...)

•

Tính thể tích khối chóp

•
•
•

Tính thể tích khối hộp chữ nhật
Tính thể tích khối lăng trụ:
Khối cầu:
o Xác định tâm và bán kính mặt cầu (S) ngoại tiếp hình chóp
 Dựng trục d của đa giác đáy
 Trong mp chứa cạnh bên và trục d,ta dựng đường trung trực d’ (hoặc mp trung trực) của
cạnh bên
 Khi đó:gọi I = d ∩ d ' Suy ra I là tâm mc(S) ngoại tiếp hình chóp
 Tính bán kính r (là khoảng cách từ I đến đỉnh của hình chóp)

o Tính diện tích mặt cầu
S = 4πr2 .
4
3

V = πr3

thể tích khối cầu

o
•

1

V = 3 Bh ;
V= a.b.c
V= Bh.

Khối trụ:
o Tính diện tích xung quanh hình trụ Sxq = 2πrl;
o diện tích tồn phần hình trụ
Stp = 2πr(r + l).
o thể tích khối trụ
V = πr2h
Khối nón:
o Tính diện tích xung quanh hình nón Sxq = πrl;
o diện tích tồn phần hình nón
Stp = πr(r + l).

•

Phần 2: Phương pháp tọa độ trong khơng gian
→
a

= (x;y;z)

Tính chất :

Tích

Cho

→
a

⇔

→
a =

→
→
→
i + y. j + z. k
→
a3) , b = (b1;b2; b3)

x.

= (a1;a2;

→ →
• a ± b =(a1 ± b1; a2 ± b2; a3 ± b3)
→
• k. a = (ka1;ka2;ka3)
k∈R
→→
→
→
vô hướng :
a . b = a1.b1 + a2.b2 +a3.b3= a . b Cos
a1b1 + a 2b 2 + a 3b3

Cos ϕ =

→
a cuøng

→ →
a ⊥ b

2
2
2
2
2
2
a1 + a 2 + a 3 . b1 + b 2 + b3

⇔ a1.b1 + a2.b2 + a3.b3 = 0
→ →

→

→

→

→ →

→

phương b ; a ≠ 0 ⇔ b = k. a ⇔ [ a , b ] = 0
Toạ độ điểm:
→
→
→
→
M = (x;y;z) ⇔ OM = (x;y;z) ⇔ OM = x. i + y. j + z.
→
AB =

ϕ

→
k

( xB− xA ; yB−yA;zB −zA)

Giáo viên : Phạm Đỗ Hải (violet.vn/phamdohai)
10

Trang số


• M chia đoạn AB theo tỉ số k≠1 (

• M là trung điểm của AB thì

→
MA

→

= k MB )

xA + x

B
x M =
2


y +y

A
B
I:  y M = 2



z +z
B
z = A
M
2



• G là trọng tâm tam giác ABC thì

1

 x G = 3 (x A + x B + x C )

1

G:  y G = 3 (y A + y B + y C )


1
z G = (z A + z B + z C )
3


• Tíchrcó hướng của 2 véctơ :
Cho a = (a1 ; a2 ; a3 );
→ →
r
Khi đó [ a , b ] =

b = (b1 ; b2 ; b3 )
*[

→ →
a , b ]

⊥

→
a

;[

→ →
a , b ]

⊥

Thì M có toạ độ là :

x − k.x

B
x M = A
1− k


y − k.y

A

B
y M =
1− k


z − k.z
B
z = A
1− k
 M


→
b

 a a
a a
a a
 2 3 ; 3 1 ; 1 2
 b 2 b 3 b 3 b1 b1 b 2


→ → →
a , b , c

• Đk đồng phẳng của 3 véctơ :


÷
÷


→ → →
a , b ]. c = 0
→ → →
ba véc tơ AB , AC , AD

đồng phẳng ⇔ [

• ĐK để 4 điểm A,B,C,D không đồng phẳng ( tạo thành tứ diện ) là:
→ →
→
[ AB , AC ]. AD ≠

không đồng

phẳng <=>
0
• ĐK để 4 điểm A,B,C,D không đồng phẳng ( khơng tạo thành tứ diện ) là: A ∉ mp ( BCD )
1
→ →
• Diện tích tam giác ABC : SABC = .[ AB , AC ]
2
• Thể tích tứ diện ABCD :

VABCD =

1
6

→

→

→

[ AB , AC ]. AD 
→

→

→

• Thể tích hình hoäp : VABCD.A'B'C 'D' = [ AB , AD ]. AA′ 

Phần 3: Mặt cầu (S)
Bài toán 1: xác định tâm và bán kính mặt cầu

Phương trình mặt cầu tâm I(a;b;c) ; bk R laø : (x −a)2 + (y − b)2+ (z−c )2 = R2
Phương trình tổng quát của mặt cầu ( S):
x2 + y2+ z2+ 2.Ax+ 2.By + 2.Cz + D = 0 với A2 + B2 + C2−D > 0
có tâm I(−A ;−B;−C) ; bán kính R = A 2 + B2 + C2 − D

Bài toán 2: Viết phương trình mặt cầu

• Pt.mặt cầu (S) tâm I(a;b;c) và đi qua M1(x1;y1;z1)
+ Bán kính R = IM1 =

(x1 − a) 2 + (y1 − b) 2 + (z1 − c) 2

• Pt.mặt cầu (S) đường kính AB :

+ Tâm I là trung điểm AB => I(

xA + xB
2

;

yA − yB
2

;

zA − z B
2

)

+ Bán kính R = IA
• Pt. mặt cầu (S) qua bốn điểm A,B,C,D:
p/ pháp : Pt tổng quát mặt cầu (S)

Giáo viên : Phạm Đỗ Hải (violet.vn/phamdohai)
11

Trang số


x2 + y2+ z2+ 2.Ax+ 2.By + 2Cz + D = 0 (1)
Thay lần lượt toạ độ 4 điểm vào (1) => giải hệ tìm hệ số A;B;C;D
• Pt.mặt cầu (S) tâm I(a;b;c) và tiếp xúc mặt phẳng (α)

bán kính R = d(I; (α))

Bài tốn 3: Xác định vị trí tương đối giữa mặt cầu và đường thẳng
x - x o y - yo z - z o
=
=
;
mc(S): (x −a)2 + (y−b)2 +(z−c)2 = R2
a
b
c
Tính d(I; (d)) = ?
Nếu:• d(I; d ) > R <=> (d) và (S) không có điểm chung ( rời nhau)
• d(I; α ) = R <=> (d) tiếp xúc với (S) ( d là tiếp tuyến)
(d) ∩ (S) ={M0} ;
• d(I; α ) < R <=> (d) cắt mặt cầu (S) tại 2 điểm phân biệt A và B
(Chú ý:AB sẽ vng góc với đt qua tâm I tại trung điểm của nó)
Cho (d) :

Bài tốn 4: Xác định vị trí tương đối giữa mặt cầu và mặt phẳng

Cho (α) : A x + B y + Cz +D = 0 ;
(S): (x −a)2 + (y−b)2 +(z−c)2 = R2
Tính d(I; (α)) = ?
Nếu:• d(I; α ) > R <=> (α) và (S) không có điểm chung ( rời nhau)
• d(I; α ) = R <=> (α) tiếp xúc với (S) ( α là mp tiếp dieän) (α) ∩ (S) ={M0} ;

Cách viết mặt phẳng tiếp diện : (α) qua M0 nhận

→

IM0

làm VTPT
• d(I; α ) < R <=> α cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn (C) có tâm H; bán kính r
* P.t ñ.troøn(C ) A x + B y + Cz +D = 0
(x −a)2 + (y−b)2 + (z−c)2= R2
+ Taâm H là hình chiếu của I lên mp (α)
+ bán kính r = R 2 − [d(I ; α )]2
Caùch xaùc định Hình chiếu H của tâm I lên mp(α) :
→

+ Lập pt đ.thẳng (d) qua I nhận nα làmVTCP

Giả sử (d)

 x = a + At

 y = b + Bt
z = c + Ct


+ Toạ độ điểm H là nghiệm hệ PT (gồm pt mp(α) và pt đ.thẳng (d))
+ Giải hệ tìm t=>x;y;z Suy ra toạ độ điểm H

Bài toán 4: Cách viết mặt phẳng tiếp diện tại điểm M0:
+) Xác định tâm và bán kính của mặt cầu (S)
→
+) Tính IM0
+) Mặt phẳng tiếp diện (α) qua M0 nhận

→
IM0

làm VTPT.

Phần 4: Mặt phẳng, đường thẳng.
Bài tốn 1: Cáchviết phương trình mặt phẳng:
Cách 1:Viết dưới dạng cơ bản:
r

Biết (P) qua Mo(xo;yo;zo) và có VTPT là n = ( A, B, C ) sẽ có PTTQ là A(x-xo)+B(y-yo)+C(z-zo)=0

CHÚ Ý:

uu
ur

uu
ur

* (ABC): +) tính AB = ? ; AC = ?
r uu uu
ur ur
+) VTPT của (ABC) là n = [AB, AC]
r
=> viết mặt phẳng đi qua A có VTPT n .
r

ur u u
u ur

* mp(a,b) : nếu a//b thì VTPT n = [u a ,AB] với A∈ a; B ∈ b.
r ur ur
u u
Nếu a cắt b thì n = [u a ,u b ]

Giáo viên : Phạm Đỗ Hải (violet.vn/phamdohai)
12

Trang số


*(A;a) thì VTPT

r ur u u
u ur
n = [u a ,AB]

* (α) //(β) thì VTPT
* (α) ⊥a thì VTPT

với B∈ a.

u r ur
u
u
n α = nβ

u r ur
u

u
nα = ua

* (α) có hai vectơ chỉ phương

r r
a, b

thì

ur r r
u
n α = [a, b] .

*(α) đi qua 2 điểm A và B đồng thời chứa đ.thẳng a hoặc // a hoặc có VTCP
*(α) vng góc cả hai mặt phẳng (P) và (Q). thì VTPT

u r ur u u
u
u ur
r
a thì n α = [u a , AB]

( thay

ur r
u
ua = a )

u r ur u u

u
u u
r
n α = [n P , n Q ]

* Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB.
+) Xác định trung điểm M của đoạn thẳng AB.
uu
ur
+) Tính vectơ AB .
uu
ur
Mặt phẳng trung trực đi qua M có VTPT AB .
* (α) song song đường thẳng và vng góc với một mặt phẳng thì

u r ur ur
u
u u
n α = [n β , u a ] .

* (α) chứa đ.thẳng (D) và ⊥(β) .
+) chọn M trên đ.thẳng (D). ur
u r uu u
u
u
r
+) VTPT của (α) là n α = [u D , nβ ]
* Viết PT mặt phẳng (P) chứa đường thẳng (d) và song song với (d/).
+) chọn M trên đ.thẳng (d). u u
ur ur ur

u
u
+) VTPT của (α) là n P = [u d ,u d / ]
ur ur u u
u
u ur
Viết PT mp(P) đi qua M và có VTPT n P = [u d ,u d / ]

Bài toán 2 viết phương trình đường thẳng.(PTTS và PTCT)
 x = x o + a.t
r

Biết (d) qua Mo(xo;yo;zo) và có VTCP là u = ( a, b, c ) sẽ có PTTS là  y = y o + b.t
 z = z + c.t
o

r
x - x o y - yo z - zo
=
=
Biết (d) qua Mo(xo;yo;zo) và có VTCP là u = ( a, b, c ) sẽ có PTCT là
a
b
c

CHÚ Ý:
*∆ đi qua điểm A và có VTCP

r
u

* ∆ đi qua 2 điểm A và B => ∆ đi qua A có VTCP
*∆ đi qua A và // (D) => ∆ qua A có VTCP

uu
ur
AB .

uu
u
r
uD .

*∆ đi qua A và ⊥(α) thì ∆ qua A có VTCP là

ur
u
nα .

* ∆ là giao tuyến của hai mặtu
phẳng (α) và (β) thì
r u r ur
u
+) VCTP của ∆ là u = [n α , nβ ] .
+) Cho một ẩn bằng 0 giải hệu2 ẩn cịn u r ur điểm M?
lại tìm
r
u ur r
r u
u u

u = [n α , n β ] u = [n α , n β ]
=> ∆ đi qua M có VTCP là

Giáo viên : Phạm Đỗ Hải (violet.vn/phamdohai)
13

Trang số


* ∆ là hình chiếu của đ.thẳng (d) lên mp (β)
o Viết phương trình mp(P) chứa (d) và vng góc mp(β)
ur ur ur
u
u u
(chọn M trên đ.thẳng (d),VTPT của (α) là n P = [u d , n β ] )
o Đường thẳng ∆ cần tìm là giao tuyến của 2 mp (P) và mp(β)
Viết PT ∆ dưới dạng tham số hoặc chính tắc (choumộtuẩnu = 0 giải hệ gồm 2 ẩn y và z của 2 PT hai
x
u
r
u ur
r
mặt phẳng (P) và (β)=> M? => ∆ đi qua M có VTCP u ∆ = [n P , nβ ] )
* Cách viết phương trình đường cao AH của ∆ABC.
r uu uu
ur ur
+) Tìm tọa độ VTPT của mp(ABC) là n = [BC, AC] = ?.
r uu r
ur
+) Tìm tọa độ VTCP của đường cao AH là: u = [BC, n] = ?

r uu r
ur
=> Viết PT đường cao AH đi qua A có VTCP u = [BC, n] .
* Cách viết phương trình đường trung trực củaucạnh BC của ∆ABC.
r u r uu
u ur
+) Tìm tọa độ VTPT của mp(ABC) là n = [BC, AC] = ?.
r uu r
ur
+) Tìm tọa độ VTCP của trung trực là: u = [BC, n] = ?.
+) Tìm tọa độ điểm M là trung điểm đoạn thẳng BC.
 Đường trung trực cạnh BC của ∆ABC là đường thẳng đi qua M có VTCP

r uu r
ur
u = [BC, n] .

Bài tốn 3: tìm hình chiếu của một điểm lên một mặt phẳng hoặc đ.thẳng.
* Tìm hình chiếu H của M lên (α)
+) Viết PT đ.thẳng (D) qua M có VTCP là
+) giải hệ gồm

ur
u
nα .

PTmp(α)

PT(D)

+) Hình chiếu H là giao điểm của (α) và (D) là nghiệm của hệ trên.
* Tìm hình chiếu H của M lên đường thẳng (D).
uu
u
r
+) Viết PT mặt phẳng (P) qua M có VTPT là u D .
+) giải hệ gồm

PTmp(α)

PT(D)

+) Hình chiếu H là giao điểm của (α) và (D) là nghiệm của hệ trên.

Bài tốn 4: Tìm tọa độ điểm A/ đối xứng với điểm A qua đt hoặc mp
* Đối xứng qua mp(α)
+) Viết PT đ.thẳng (D) qua M có VTCP là
+) giải hệ gồm

ur
u
nα .

PTmp(α)

PT(D)

+) Hình chiếu H là giao điểm của (α) và (D) là nghiệm của hệ trên.
+) Tọa độ điểm đối xứng A/ :

 x = 2x − x
H

A/

 y = 2y H − y /
A

z = 2z H − z /
A


* Đối xứng quađường thẳng (D).
+) Viết PT mặt phẳng (P) qua M có VTPT là
+) giải hệ gồm

uu
u
r
uD .

PTmp(α)

PT(D)

+) Hình chiếu H là giao điểm của (α) và (D) là nghiệm của hệ trên.
+) Tọa độ điểm đối xứng A/ :

 x = 2x − x
H


A/

 y = 2y H − y /
A

z = 2z H − z /
A


Giáo viên : Phạm Đỗ Hải (violet.vn/phamdohai)
14

Trang số


Bài tốn 5: Xác định vị trí tương đối giữa mp và mp, đt và đt, đt và mp.
* Vị trí tương đối giữa mp (P) và mp(Q).
(P) : Ax + By + Cz + D = 0 ; (Q) : A/x + B/y + C/z + D/ = 0
→
→
với n =(A;B;C) vaø n′ =(A/; B/ ; C/ )
A
A/

(P) ≡ (Q) <=>
(P) // (Q)<=>

A
A/

B
B/

=

A

C

C
C/

=

A/

≠

B
B/

≠

D
D/
D
D/

B

C
C
A
≠ / ∨ /≠ /
B/
C
C
A
→ →
⊥ α/ <= > n . n′ = 0 <=> AA/ + BB/ + CC/
→
→
cắt α/ <=> n và n′ không cùng phương

(P) cắt (Q)<=>
Chú ý :• α
•α

B

= B/ = C / =

∨

=0

* vị trí tương đối giữa đ.thẳng (d1) và (d2).
x = x o / + a / t
x = x o + at



/
/
/
Cho hai đường thẳng d và d’ lần lượt có phương trình d : y = y o + bt , d : y = y o + b t
z = z + ct

/
/
o

z = z o + c t
ur
u
ur
u
ud = ( a;b;c ) ,u d / = a / ;b / ;c / ,
Ta có vectơ chỉ phương của d và d’ lần lượt là :

(

)

M o ( x o ;yo ;z o ) ∈ d;M o / x o / ;y o / ;z o / ∈ d /
ur u r r
u u
ud ∧ u / = 0

d
a) d // d’ ⇔ 

M o ∉ d

ur u r r
u u
ud ∧ u / = 0

d
b) d ≡ d’ ⇔ 
M o ∈ d

ur u r u uu u/
u u ur u r
 u ∧ u / .M M = 0
o
o
 d
d
c) d cắt d’ ⇔  ur u r r
u u
ud ∧ ud / ≠ 0

ur u r u uu u/
u u ur u r
d) d chéo d’ ⇔ u d ∧ u d / .M o M o ≠ 0

(

)

)

(

(

)

ur u r
u u

* d ⊥ d’ ⇔ u d .u d / = 0

x o + at1 = x o / + a / t 2

/
/
* Muốn tìm giao điểm của d và d’ ta lập hệ phương trình  y o + bt1 = y o + b t 2 tìm t1, t2 sau đó thay vào

/
/
z o + ct1 = z o + c t 2
phương trình của d hoặc d’ tìm ra giao điểm.

* Vị trí tương đối giữa đ.thẳng (D) và mặt phẳng (P).
x = x o + at

Cho đường thẳng d có phương trình d : y = y o + bt và mp (P) có phương trình Ax + By + Cz + D = 0
z = z + ct
o


ur
u
Ta có vectơ chỉ phương của đường thẳng u d = ( a;b;c )
Giáo viên : Phạm Đỗ Hải (violet.vn/phamdohai)
15

Trang số


ur
u

Vectơ phám tuyến của mp(P) là n P = ( A;B;C ) và M o ( x o ;y o ;z o ) ∈ d

ur ur
u u
u d .n P = 0

a) d // (P) ⇔ 
M o ∉ (P)

ur ur
u u

ud .n P = 0
b) d ⊂ (P) ⇔ 
M o ∈ (P)

ur ur
u u

c) d cắt (P) ⇔ u d .n P ≠ 0
ur
u
ur
u
* d ⊥ (P) ⇔ n P = k.u d ( k ≠ 0 )

x = x o + at (1)

y = yo + bt (2)
* Muốn tìm giao điểm của d và (P0 ta giải hệ phương trình : 
thay x,y,z từ
z = z o + ct (3)

Ax + By + Cz + D = 0 (4)

phương trình (1), (2), (3) vào phương trình (4) giải tìm t sau đó thay vào phương trình (1), (2), (3) tìm giao
điểm.

Bài tốn 6: Tính khoảng cách.
* từ điểm A(x0;y0;z0) đến mặt phẳng (P): Ax+By+Cz+D = 0 .
d(A;(α)) =

Ax 0 + By0 + Cz0 + D
A 2 + B2 + C 2

* (P)//(Q) thì d((P),(Q)) = d(A;(Q)) với mọi điểm A chọn tùy ý trên (P)
* Khoảng cách tử đường thẳng (d) đến mặt phẳng (P) với (d)//mp(P)
+) chọn điểm M bất kỳ trên (d). tính d(M;(d)) = ?
+) d((d), mp(p)) = d(M,(mp(P))

* Khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng (D) (khơng có cơng thức tính trong chương trình mới phân ban
đối với ban cơ bản) nhưng ta có thể tính như sau:
Cách 1
+) lập PT mp(Q) qua A và vng góc với (D).
+) Tìm giao điểm H của mp(P) và đ.thẳng (D).
+) Khoảng cách cần tìm là đoạn thẳng AH.
ur u u u
u uu
r
[ud ; AM ]
ur
u
Cách 2 Áp dụng công thức : d ( A, d ) =
M thuộc d
u
d

* Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song (d) và (d/).
+) Chọn điểm M bất kỳ trên (d).
ur
u
+) Viết PT mặt phẳng (P) qua M có VTPT là u d .
+) Tìm điểm N là giao điểm của (d/ ) và mp(P) ( bằng cách giải hệ gồm PTcủa (d/) và PT mặt phẳng (P) =>
nghiệm x,y,z là tọa độ điểm N).
+) Khoảng cách cần tìm là độ dài đoạn thẳng MN.
* Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau (d) và (d/).
Cách 1:
Viết PT mặt phẳng (P) chứa đường thẳng (d) và song song với (d/).
+) chọn M trên đ.thẳng (d).

Giáo viên : Phạm Đỗ Hải (violet.vn/phamdohai)
16

Trang số


ur
u

ur u u
u ur

+) VTPT của (α) là n P = [u d ,u d / ]
ur ur u u
u
u ur
=> Viết PT mp(P) đi qua M và có VTPT n P = [u d ,u d / ]
Chọn điểm N bất kỳ trên (d/) . Tính d(N, mp(P)) =?
 d((d), (d/)) = d(N, mp(P))
Cách 2: Tìm đoạn vng góc chung của hai đường thẳng đó.
ur u r u u
u u uu
r
[ud ; ud / ].MN
/
ur u r
Cách 3 Áp dụng công thức : d (d ; d ) = [uu; uu ]
d

d/

Bài tốn 7: Tính góc .
* Góc giữa hai mp (P) A1x+B1y+C1z+D1 = 0
u ur
r u
Với

·
ϕ = ((mp(Q),mp(P))

thì

cosϕ =

* Góc giữa đường thẳng (D):

Với

·
ϕ = ((D), mp(P))

thì

Α1A 2 + B1B2 + C1C2 
2
2
2
2
2
2

A1 + B1 + C1 . A 2 + B2 + C2

và mặt phẳng Ax+By+Cz+D = 0

ur ur
u u

ur ur
u u

n .u
P D

 Α + bB + cC 
a

nP . uD

A 2 + B2 + C 2 . a 2 + b 2 + c 2

u u
thì SinΨ=|cos( n P , u D ) |= ur ur =

u ur
r u

¶
ϕ = (d,∆ )

n1 . n 2

 x = x 0 + at

 y = y0 + bt

z = z0 + ct

Góc giữa hai đường thẳng (d) :

Với

n1.n 2

u ur =
r u

và mp(Q) A2x+B2y+C2z+D2 = 0

cosϕ =

u1.u 2

 x = x 0 + a1t

 y = y0 + b1t

z = z0 + c1t

u ur =
r u

u1 . u 2

Và ( ∆ ):

/
x = x 0 + a 2t /


/
/
 y = y0 + b 2 t

/
/
z = z0 + c2 t


 1a 2 + b1b 2 + c1c2 
a
2 + b2 + c2 . a 2 + b 2 + c2
a1
1 1
2
2 2

Giáo viên : Phạm Đỗ Hải (violet.vn/phamdohai)
17

Trang số