hệ thống kiến thức toán lớp 12 (sau khi sửa chữa)

−∞

x

∞

−∞

y
y

/

+
+

x

−∞

x1

−

∞

0
−
CĐ

+

∞

y/
+
y −∞

y
−
y −∞

0
+
CT

−

+∞

a <∞
0

/

∞

∞

∞

0
CT

Chú ý : dù y/ = 0 có nghiệm kép việc xét dấu vẫn đúng
+ Vẽ đồ thị : • xác đinh Cực trị ?
b
b
• Điểm uốn I(−
;f(−
)); điểm đặc biệt

3a

3a

d
là tiệm cận đứng vì
c

+Bảng biến thiên :
x −∞
−d/c
y/
y

∞

−

a/c

a/c

||

−

−

a<0; có 2 CT

a>0,không CT

+ TXĐ : D = R\

 d
− 

 c

+ Đạo hàm : y =
/

+

(cx + d ) 2

ad−bc < 0

ad−bc > 0

+
a/c
a/c

+

−d/c

−
−

∞

+

||

+

∞ ||− ∞

y= a/c

y= a/c

+

3 Hàm trùng phương y = ax4 + bx2 + c
(a≠0)
+ TXĐ : D = R

+ Đạo hàm: y/ = 4ax3 + 2b.x =2x.(2a x2+ b)
a,b cùng dấu
a, b trái daáu
y/ = 0 ⇔ x = 0
y/ = 0 ⇔ 2x (2ax2 + b) = 0 ⇔ x= 0; x1,2=±
−

•KL: tăng? Giảm

b
2a

•KL: tăng? Giảm?
• Giá trị cực trị: y(0)= c ; y(±

−

b
) =−
2a

∆
4a
Có 3 cực trị
+ Giới hạn :

+ ( a > 0)
∞
lim ( ax + bx 2 + c) = 


4

y/

∞

−

a>0

x →±∞

+ Bảng biến thiên :
x −∞
0

ad − bc

y

∞

+ Vẽ đồ thị : − Vẽ tiệm cận , điểm đặc biệt
− Cho 2 điểm về 1 phía của tiệm cận đứng vẽ một nhánh , lấy đối xứng
nhánh đó qua giao điểm hai tiệm cận .

a<0,không CT

ax + b
2.Hàm phân thức : y =

( c ≠ 0; ad − bc ≠ 0 )
cx + d

−

y/

∞ ||+ ∞

•Giá trị cực trị : y(0) = c
có một cực trị

a>0 ; có 2 CT

x

+

lim

+

x2
0
CÑ

ax + b
=∞
x →− d / c cx + d
ax + b

a
a
•y=
là tiệm cận ngang vì lim
=
c
c
x → cx + d
∞

+ Tiệm cận: • x = −

x= −d/ c

∞

y/
y

y/ < 0 ∀ x ∈D
y/ > 0 ∀ x ∈D
Haøm số không có cực trị
Hàm số nghịch biến trên D
Hàm số đồng biến trên D

x= −d/ c

HƯỚNG DẪN ƠN THI TNTHPT NĂM 2009 (Ban cơ bản)
A. ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH
PHẦN 1: HÀM SỐ

Bài tốn 1: Khảo sát hàm số
1.Hàm số bậc 3 : y = ax3 + bx2 + cx + d
(a≠0)
+ TXĐ : D = R
+ Đạo hàm: y/ = 3ax2 + 2bx + c với ∆/ = b2 − 3ac
∆/ ≤ 0
∆/ > 0
/
y cùng dấu với hệ số a
y/ = 0 có hai nghiệm x1; x2
•KL: hàm số tăng trên? (giảm trên?)
•KL: hàm số tăng? Giảm?
•Hàm số không có cực trị
• Cực tri ̣ cực đại? Cực tiểu?
∞
+ ( a > 0)
3
2
+ Giới hạn: • lim ( ax + bx + cx + d ) = 
x →+∞
−∞ ( a < 0)

∞
− ( a > 0)
3
2
• lim ( ax + bx + cx + d ) = 
x →−∞
+∞ ( a < 0)
a>0

+ Bảng biến thiên:
x −∞
x −∞
+
x1
x2
+

c
0 +

+

−∞ ( a < 0)

x −∞

∞

y/a < 0 −

x1
0

0
+

0

x2

−

0

+
+


CT

∞

x

−∞

y/
y

+

∞

−∞

∞

y +∞

+

0

∞

x −∞
y/
+
y +∞

0 −
CÑ

∞

0

−

CÑ

x1

+

−
c CÑ

CT

∞

CT

0

+

x2

0 +
CT

ax 2 + bx + c
ex + f

y=

+ Đạo hàm : y =

(e.x + f )

∆/ < 0
/
y cùng dấu với ae
Hàm số không có cực trị

đứng

có ∆ =(af) −(bf−c e).ae

2

2

lim

vì x →− f

f ( x)

e

• Viết lại hàm số y = A x + B + ε(x);

=∞

lim [ f ( x) − ( Ax + B )] = lim ε(x) =0 => y = a x + ( b − af ) laø t/c xieân
x →∞
e
e e2
a.e > 0

y/
y

∞

+

∞
∞

+

−

x −∞
y/

∞

||

∞ ||− ∞
+

||

−

x1

∞

+

−f/e
−

x −∞

+

+

y/
+
y −∞
+∞
a.e < 0

0 − ||
− 0
CÑ − ∞ ||+ ∞

x −∞
y/

x1

∞

−

x2

−f/e

0

+

||

+

+
CT

x2

−f/e

+

0

CĐ
−∞

Xiên

Xiên
Xiên

Bài toán 2: Phương trình tiếp tuyến :
1. Tiếp tuyến tại M(x0; f(x0)) có phương trình là :
Từ x0 tính f(x0) ; • Đạo hàm : y/ = f/(x) => f/(x0) = ?
P.trình tiếp tuyến tại M là: y = f/(x0)(x− x0) + f(x0)

2. Tiếp tuyến đi qua(kẻ từ) một điểm A(x1; y1) của đồ thị h/s y =f(x)
+ Gọi k là hệ số góc của đường thẳng (d) đi qua A
Pt đường thẳng (d) là : y = k(x − x1) + y1
+ Điều kiện để đường thẳng (d) tiếp xúc với Đồ thị (C) là
hệ phương trình :

f(x) = k(x − x1 ) + y1
/
f (x) = k

(1)
(2)

coù nghiệm

tiếp tuyến ⊥ đường thẳng y = a.x + b => hệ số góc k = −

f
+ Tiệm cận : • x = −
là tiệm cận đứng
e

+ Bảng biến thiên :
x −∞
−f/e

CT

Thay (2) vào (1) giải tìm x => k = ? Kết luận
3. Tiếp tuyến có hệ số góc k :

Nếu : tiếp tuyến // đường thẳng y = a.x + b => hệ số góc k = a

∆/ > 0
y = 0 có hai nghiệm x1; x2
• Giá trị cực trị tính theo CT : y =
/

2ax + b
e

x →∞

+ ∞ ||
−∞

(ban cơ bản không khảo sát hàm số này)

 f

 e
/

−

Xiên

(đk : e ≠ 0 ; tử không chia hết cho mẫu )

ae.x 2 + 2af .x + (bf − ce)

∞

+

+ TXÑ: D = R\ −
/

y +

+ Vẽ đồ thị : ( như hàm phân thức )

+ Vẽ đồ thị : • cực đại , cực tiểu ; • y = 0 −> x= ? giải pt trùng phương
a> 0
a> 0
b <0
b>0
a< 0
a< 0
b>0
b <0
4. Hàm hữu tỉ : 2/1

∞ ||+ ∞

∞

+

0
−

CĐ

y +∞

+

−

đứng

+∞

đứng

y

1
a

+ giả sử M(x0; f(x0)) là tiép điểm => hệ số góc của tiếp tuyến f/(x0).
+ Giải phương trình f/(x0) = k => x0 = ? −> f(x0) = ?
+ Phương trình tiếp tuyến y = k (x − x0) + f(x0)
Chú ý : + Hai đường thẳng vuông góc nhau : k1.k2 = −1
+ Hai đường thẳng song song nhau : k1 = k2
Bài toán 3: Biện luận số nghiệm của phương trình bằng đồ thị :
+ Giả sử phải biện luận số nghiệm của Pt : F(x; m) = 0 . Trong đó đồ thị
hàm số y = f(x) .
+ Biến đổi phương trình về dạng f(x) = g(m)
Đặt: M = g(m)
+ y = M là đường thẳng nằm ngang ; y =f(x) đồ thị (C)

+ Tuỳ theo M xét sự tương giao của đồ thị (C) với đồ thị y = M
Bài toán 4: xét tính đơn điệu
Phương pháp xác định khoảng tăng, giảm hàm số :
+ MXĐ D= ?
+ Đạo hàm : y/ = ? ..
cho y/ = 0 ( neáu có ) xét dấu y/
+ BXD (sắp các nghiệm của PT y/ = 0 và giá trị không xác định của hàm số từ trái
sang phải tăng dần)
* y/ > 0 thì hàm số tăng
; y/ < 0 thì hàm số giảm


+ Kết luận : hàm số đồng biến , nghịch biến trên khoảng ...
Định lý 2 (dùng để tìm giá trị m):
a) f(x) tăng trong khoảng (a;b) thì f/(x) ≥ 0 ∀ x ∈ (a;b)
b) f(x) giaûm trong khoaûng (a;b) thì f/(x) ≤ 0 ∀ x ∈ (a;b).
Bài tốn 5: Cực trị hàm số
• Dấu hiệu I :
+ MXĐ D=?
+ Đạo hàm : y/ = ? ..
cho y/ = 0 ( nếu có ) xét dấu y/
+ BBT : (sắp các nghiệm của PT y/ = 0 và giá trị không xác định của hàm số từ trái
sang phải tăng dần)
+ Tính yCĐ ; yCT ; kết luận cực trị ?
Chú ý:
1) Nếu hàm số luôn tăng ( giảm)trên (a;b) thì khơng có cực trị trên (a;b).
2) Số cực trị của hàm số bằng số nghiệm đơn của phương trình y/ = 0.
3)

y / ( x 0 ) = 0

x0 là cực trị của hàm số  

y

/

( x ) đổi dấu qua x0

• Dấu hiệu II:
+ MXĐ
+ Đạo hàm : y/ = ? .. y// = ? ..
cho y/ = 0 ( nếu có ) => x1 , x2 ….. .
+ Tính y//(x1); y//(x2)…….
Nếu y//(x0) > 0 thì hàm số đạt CT tại x0 , yCT= ?
Nếu y//(x0) < 0 thì hàm số đạt CĐ tại x0 , yCĐ= ?
Chú ý : dấu hiệu II dùng cho những h/s mà y/ khó xét dấu
* Nếu y = f(x) là đa thức thì đường thẳng đi qua các điểm cực trị là:
y = phần dư của phép chia f(x) cho f/(x).
Dạng 2: Cực trị của hàm hữu tỉ :
Cho h/s y =

u
v

u(x) ; v(x) là các đa thức có MXĐ: D

u′v − v′u g(x)
Và y/ =
= 2

dấu của y/ là dấu của g(x)
2
v
v
Nếu h/s đạt cực trị tại x0 thì y/(x0)= 0 => g(x0) = 0 <=> u/v−v/u = 0
u′(x 0 )
u′ u
=
=>
. Do đó giá trị cực trị y(x0) =
v′(x 0 )
v′ v
Bài toán 6: Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất
1. Phương pháp tìm GTLN và GTNN của h/s trên [a;b]:
+ Miền đang xét [a;b]
+ Đạo hàm : y/ = ? ..
cho y/ = 0 ( neáu coù ) _ x1 , x2 ….. . chỉ chọn các nghiệm thuộc [a;b]
+ Tính y(x1) ; y(x2) ……….
So sánh → KL
y(a) ; y(b)
+

max y = ?
[a;b]

min y = ?
[a;b]

2. P/pháp tìm GTLN hoặc GTNN của h/s trên (a;b) hoặc MX Đ :
+ Miền đang xét (a;b) hoặc TXĐ

+ Đạo haøm : y/ = ? ..
cho y/ = 0 ( nếu có ) xét dấu y/
+ BBT:
* Nếu trên toàn miền đang xét h/s chỉ có 1 CT thì GTNN bằng giá trị CT
1
min y =
yCT
[a;b] 2
* Nếu trên toàn miền đang xét h/s chỉ có 1 CĐ thì GTLN bằng giá trị CĐ
max y =
yCĐ
[a;b]
* Nếu hàm số ln tăng (giảm) trên (a;b) thì khơng có cực trị trên khoảng (a;b).
Chú ý : Khi gặp h/s không cho miền đang xét thì ta tìm TXĐ của h/s đó :
+ nếu TXĐ là một đoạn [a;b]hoặc nữa khoảng thì ta dùng cách 1
+ nếu TXĐ là một khoảng thì dùng cách 2
Bài tốn 7 : Giao điểm hai đường cong ( đ.thẳng và một đường cong).
1. Cho hai đồ thị (C1) : y = f(x) ;
(C2) : y = g(x)
Hoaønh độ giao điểm của (C1) và (C2) nếu có
là nghiệm của phương trình : f(x) = g(x) (1)
• pt(1) vô nghiệm <=> (C1) và (C2) không có điểm chung
• pt(1) có n nghiệm <=> (C1) và (C2) có n điểm chung
* Số nghiệm của (1) là số giao điểm của hai đường cong.
2. Điều kiện tiếp xúc :
Đồ thị (C1) tiếp xúc (C2) <=> hệ pt

f (x) = g(x)

f ′(x) = g′(x)

có nghiệm

Bài tốn 8: Cách xác định tiệm cận :
*Tiệm cận đứng :

lim f (x) = ∞
x → x0

=> x = x0 là tiệm cận đứng

Chú ý : tìm x0 là những điểm hàm số không xác định
*Tiệm cận ngang :

lim f (x) = y 0
x →∞

=> y = y0 là tiệm cận ngang

Chú ý : hàm số có dạng phân thức ( hoặc có thể đưa về dạng phân thức ) và bậc tử
≤ bậc mẫu thì có tiệm cận ngang
* Tiệm cận xiên (ban cơ bản khơng có phần này):
Cách 1: + viết hàm số dưới dạng : f(x) = ax + b + ε (x)

lim [f(x) –(ax + b)] = lim ε(x) = 0 ⇒ y = ax + b là tiệm cận xiên
x →∞
x→ ∞

Cách 2: ta tìm hai hệ số a và b ;

[

]

f (x)
b = lim f (x) − ax
a = lim
;
x →∞
x →∞ x
⇒ y = ax + b là tiệm cận xiên
Phần 2: Hàm số mũ và logarit
Bài tốn 1: Dùng cơng thức tính các biểu thức có chứa hàm số mũ hoặc hàm số
logarit


a−n =

1
a

; a0 = 1 0 ;

n

• Các quy tắc:
ax.ay = ax+y
a
a

x
y =a

m
n m ( m; n nguyên dương , n > 1)
an = a

x

a
ữ
b

x y

ã Haứm số mũ :

y = ax

TXĐ : D = R

=

a
b

u
a

(a.b)x =ax.bx

x
x

( ax )

y

( y)

= a

x

=a

x.y

với a > 0 ; a ≠ 1

f (x) = g(x) ⇔ f(x) = g(x)
a
v(x) = 1 ⇔ ( u −1 ).v(x) = 0 ( trong đó u có chứa biến )

a

f (x) = b ( với b > 0 ) ⇔ f(x) = log b
a

f (x) > 0 hoặc
log a f(x) = log a g(x) ⇔ 

f (x) = g(x)
daïng:

MGT : (0; +∞ )
x 1 > x2 ⇔

a x1

>

a x2

+ 0 < a < 1 ; h/s nghịch biến : x1 > x2 ⇔

a x1

<

a x2

+ a > 1 ; h/s đồng biến :

* Hàm số logarit:
α = logaN ⇔ aα = N
logax = b ⇔ x= ab
• Đặc biệt : a log a x = x ; log a a x = x ; loga1 = 0
• Các qui tắc biến đổi : với a , B , C > 0 ; a ≠ 1 ta coù:
log a (B.C) = log a B + log a C
log a

B
 ÷ = log a B − log a C
C

β
log aα Bβ =
log a B
α

• Công thức đổi cơ số : với a , b , c > 0 ; a , c ≠ 1 ta coù :
log c a.log a b = log c b ⇔ log a b =
0 < a, b ≠ 1 :

log a b =

log c b
log c a

1
log b a

log u(x) v(x) = b

• Hàm số Logarit: y = log a x với a > 0 ; a ≠ 1
MGT : R

Bài tốn 2: Tính đạo hàm của các hàm số mũ và logrit
(ex) / = ex
−> ( eu)/ = u/.eu
( ax) / = ax.lna

−> ( au)/ = u/.au.lna
1
u′
(lnx) / =
x ∈(0;+∞) −> (lnu)/ =
x
u
(logax) / =

1
x ln a

−> (logau )/ =

u′

Đặt : t = a f (x) Ñk t > 0

;

α. b + f (x) +β. a b −f (x) + γ = 0 ;
a

Đặt : t = a f (x) Ñk t > 0

1
α. a f (x) +β. b f (x) + γ = 0 và a.b = 1; Đặt: t = a f (x) ; = b f (x)
t
f (x)
f (x)

2f (x) +β.
2f (x) = 0 ; Đặt t = a
. a
+ . b
a.b
ữ
b

( )

ã Logarit hoá hai vế :
Bài tốn 4: Giải bất phương trình mũ và logarit
• Dạng cơ bản :

2 a f (x) > b ⇔

f (x) > g(x)
f (x) < g(x)


Neáu b ≤ 0

0

Neáu b > 0

khi a > 1
khi 0 < a < 1

có nghiệm ∀x

f(x) > log a b nếu a > 1
f(x) < log a b neáu 0 < a < 1

3

0

f (x) < b ⇔
a

Neáu b ≤ 0 thì pt vô nghiệm
Nếu b > 0 ; f(x) < log a b neáu a > 1
f(x) > log a b nếu 0 < a < 1

•log a f(x) > log a g(x) ⇔

Ñk: f(x) > 0 ; g(x) > 0 ; 0 < a ≠ 1
(a−1)[ f(x) − g(x) ] > 0

•log a f(x) > b

⇔

•log a f(x) < b

* Nếu a > 1 :

bpt là f(x) > a b

* Nếu 0 < a < 1 bpt là 0 < f(x) < a b

u. ln a

Bài toán3: giải phương trình mũ và logarit :
• Dạng cơ bản:

v(x) > 0 ; u(x) > 0 ; u(x) ≠ 1


b
v(x) = [ u(x)]


• Đặt ẩn phụ :
α. a 2f (x) +β. a f (x) + γ = 0

+ a > 1 ; h/s đồng biến : x1 > x2 > 0 ⇔ log a x1 > log a x2
+ 0 < a < 1;h/s ngh bieán: x1 > x2 > 0 ⇔ log a x1
⇔ f(x) = a b

⇔

10 a f (x) > a g(x) ⇔

Chú ý : log10x = lg x ; log e x = ln x
TXĐ : D = (0 ; +∞ )

log a f (x) = b


0 < a ≠ 1

g(x) > 0

⇔

* Neáu a > 1 :

bpt laø 0 < f(x) < a b

* Nếu 0 < a < 1 bpt là

f(x) > a b


(

• u(x)

)

v(x)

a2 + x2 ;

> 1 ⇔ u(x) > 0 và [ u(x) −1 ].v(x) > 0

• ( u( x )) v( x ) < 1 ⇔ u(x) > 0 vaø [ u(x) −1 ].v(x) < 0
Lưu ý:
*) trong trường hợp có ẩn dưới cơ số thì chúng ta nên sử dụng cơng thức sau để bài tốn

trở nên dễ dang hơn.
10 a f (x) > a g(x)  (a−1)(f(x) − g(x)) > 0.
20 log a f(x) > log a g(x)  (a−1)(f(x) − g(x)) > 0.
*) Khi giải bài tốn bất phương trình mũ hoặc logarit thì phải nắm thật vững tính chất đơn
điệu của hai hàm số trên.
*) Nắm vững phép lấy hợp, lấy giao của hai hay nhiều tập hợp số.
Phần 3: Ngun hàm.
Bài tốn 1: Tìm nguyên hàm cơ bản (dựa vào bảng nguyên hàm của các hàm số cơ
bản).
α+1
∫ dx = x + C
(ax + b)
α
+ C (α ≠-1)
∫ (ax + b) dx =
α+1
x
a( α + 1)
α
+ C (α ≠-1 )
∫ x .dx =
α +1
dx
1
= lnax+ b + C
∫
dx
ax + b
a
= lnx + C ( x≠ 0)

∫
x
1
ax + b
.dx = eax+b + C
∫e
x
= ex + C
∫ e .dx
a
x
αx + b
a
1 a
x
αx +β
+C
∫ a .dx =
.dx =
+C
∫a
ln a
α ln a
∫ Cosx.dx = Sinx + C

∫ Cos(ax + b).dx =

∫ Sinx.dx = − Cos x + C
dx
2

∫
2 = ∫ (tg x + 1).dx = tgx
Cos x
dx
2
∫
2 = ∫ (Cotg x + 1).dx
Sin x
= −Cotgx

1

∫
∫

dx

1

dx
Sin (ax + b)

a

=−

1
a

Cotg(ax+ b) + C

I = ∫ f [u(x)].u '(x)dx = ∫ f (t)dt

Dạng 2: Tính I = ∫ f (x)dx Nếu khơng tính được theo dạng 1 nhưng trong tích phân
có chứa một trong số các hàm biểu thức sau thì có thể đổi biến như sau:
2
2
a −x

;

1
2

a −x

2

thì đặt x = asint

@ Dạng 1

u = f ( x )
du = f '( x ) dx




sin ax 
sin ax 

⇒

dv = cos ax  dx
v = ∫ cosax  dx


 ax 
 ax 


e

e 



Đặt

Sau đó thay vào cơng thức ∫ udv = uv − ∫ vdu để tính
∫ f ( x ) ln( ax + b )dx

@ Dạng 2:

Đặt


u = ln( ax + b ) du =
⇒

dv = f ( x ) dx

v = ∫


@ Dạng 3: ∫ e

1

Đặt t = u(x) ⇒ dt = u '(x)dx



sin ax 

∫ f ( x ) cosax dx với f(x) là đa thức:
 ax 
e 

Cos(ax+ b) + C

Bài tốn 2: Tìm ngun hàm bằng phương pháp đổi biến số.
Dạng 1: Tính I = ∫ f [u(x)].u '(x)dx bằng cách đặt t = u(x)


Hay ∫ udv = uv − ∫ vdu ( với du = u’(x)dx, dv = v’(x)dx)
phân tích các hàm số dễ phát hiện u và dv

a.dx
ax + b
f ( x ) dx

Sau đó thay vào cơng thức ∫ udv = uv − ∫ vdu để tính

= tg(ax+ b) + C
2
Cos (ax + b) a
2

Bài tốn 3: Tìm ngun hàm bằng phương pháp từng phần:
Nếu u(x) , v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên I
∫ u(x).v'(x)dx = u(x).v(x) − ∫ v(x).u '(x)dx

Sin(ax+ b) + C

a

∫ Sin(ax + b).dx = −

1
2 + x 2 thì đặt x = atant.
a

ax

.

sin ax 
cosax dx



Ta thực hiện từng phần hai lần với u = eax
Bài tốn 4: Tìm ngun hàm của các hàm số lượng giác (một số dạng cơ bản).
Dạng 1:

∫ sin(ax+b).sin(cx+d)dx ; ∫ sin(ax+b).cos(cx+d)dx
∫ cos(ax+b).cos(cx+d)dx .

* Thực hiện công thức biến đổi tích thành tổng rồi tính tích phân.
Dạng 2:

∫ sin

n

ax.cos maxdx (n,m là các số nguyên dương)

*) Nếu n lẻ, m chẵn thì đặt t = cosax.
*) nếu m lẻ, n chẵn thì đặt t = sinax.
*) Nếu n,m đều chẵn thì : Dùng cơng thức nhân đơi sau đó dung tiếp cơng thức hạ bậc
để tính. (nếu một trong 2 số n hoặc n = 0 số cịn lại là số chẵn thì ta chỉ dung cơng thức hạ
bậc).
*) n,m ∈ Z nếu n+m là số nguyên chẵn thì có thể
đặt t = tanax hoặc t = cotax.


Dạng 3:

∫ R(sinx,cosx)dx R là hàm số hữu tỷ. (mở rộng thi đại học).

*) Nếu R(sinx, cosx) lẻ đối với sinx tức là R(−sinx, cosx) = −R(sinx, cosx)thì ta đặt t =

cosx.

*) Nếu R(sinx, cosx) lẻ đối với cosx tức là R(sinx, −cosx) = −R(sinx, cosx)thì ta đặt t =
sinx.
*) Nếu R(sinx, cosx) chẵn đối với sinx và cosx tức là
R(−sinx,− cosx) = R(sinx, cosx)thì ta đặt t = tanx.
Bài tốn 5: Tìm ngun hàm của các hàm số hữu tỷ
f (x)
dx trong đó f(x), g(x) là các đa thức theo x.
Yêu cầu tính
g(x)

∫

Trường hợp 1: Bậc của f(x)≥ Bậc của g(x) thì thực hiện phép chia đa thức f(x) cho g(x) ta
f (x)
r(x)
= h(x) +
dẫn đến:
. Trong đó h(x) (thương của phép chia) là một đa thức còn
g(x)
h(x)
r(x) (phần dư của phép chia) là một đa thức có bậc nhỏ hơn bậc của g(x).
f (x)
r(x)
(
)dx = h(x)dx +
dx .Như vậy h(x)dx ta tích được bằng bảng
Nên
g(x)

h(x)

∫

∫

∫

ngun hàm vì vậy ta chỉ cịn phải tính
Trường hợp 2: tính

∫

2
2
a −x

1

;

2

a −x
a2 + x2 ;

Bài tốn 3: Tìm ngun hàm bằng phương pháp từng phần:
Nếu u = u(x) , v = v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục
b
b b

trên [a;b] thì I = ∫ udv = u.v a − ∫ vdu
a
a
phân tích các hàm số dễ phát hiện u và dv

∫

@ Dạng 1

α

r(x)

∫ f (t)dt

u(a)

với f(x) là đa thức:

u = f ( x )
du = f '( x ) dx




sin ax 
sin ax 
⇒

cos ax  dx



dv = 
v = ∫ cosax  dx

ax
ax


e

e 



r(x)

u(b)

sin ax 
f ( x ) cosax dx
 ax 
e 

β

∫ g(x) dx với bậc r(x) nhỏ hơn bậc g(x).

b
I = ∫ f [u(x)]u / dx =

a

thì đặt x = asint

2

1
2 + x 2 thì đặt x = atant.
a

∫ g(x) dx theo trường hợp sau.

*) Phân tích mẫu số g(x) thành tích của các nhị thức.
*) Dùng cách đồng nhất thức như sau: chắn hạn:
r(x)
r(x)
A
B
C
=
=
+
+
g(x) a(x − α ).(x − x )2 (x − x1) (x − x 2 ) (x − x ) 2 (*) ( x1; x2 là nghiệm của
1
2
2
g(x).
*) ta quy đồng bỏ mẫu ta được biểu thức (**) rồi sau đó cho các giá trị của x vào biểu
thức (**) để tìm các hệ số A,B,C ( thơng thường nên cho x bằng các nghiệm của g(x) để

tìm các hệ số được dễ dàng).
*) sau đó thay vào biểu thức dưới dấu tích phân để tính.
Lưu ý: Xét ở trình độ THPT chúng ta thường gặp phải g(x) phân tích về thành tích của các
nhị thức .
Phần 4: Tích phân.
Bài tốn 1: Tính tích phân bằng cách sử dụng tính chất và ngun hàm cơ bản.
Bài tốn 2: Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số.
b
Dạng 1: Tính I = ∫ f [u(x)]u / dx bằng cách đặt t = u(x)
a
 Đặt t = u(x) ⇒ dt = u '(x)dx
 Đổi cận x=a => t = u(a)
x=b => t = u(b)


β
Dạng 2: Tính I = ∫ f (x)dx Nếu khơng tính được theo dạng 1 nhưng trong tích phân có
α
chứa một trong số các hàm biểu thức sau thì có thể đổi biến như sau:

Đặt

Sau đó thay vào cơng thức ∫ udv = uv − ∫ vdu để tính
β

∫ f ( x ) ln( ax + b )dx

@ Dạng 2:

Đặt

α


u = ln(ax + b ) du =
⇒

dv = f ( x ) dx
v = ∫


a.dx
ax + b
f ( x ) dx

Sau đó thay vào cơng thức ∫ udv = uv − ∫ vdu để tính
β

@ Dạng 3: ∫ e
α

ax

.

sin ax 
cosax dx



Ta thực hiện từng phần hai lần với u = eax
Bài tốn 4: Tính tích phân của các hàm số lượng giác (một số dạng cơ bản).
β
β
Dạng 1: ∫ sin(ax+b)sin(cx+d)dx ; ∫ sin(ax+b).cos(cx+d)dx
α
α
β
∫ cos(ax+b).cos(cx+d)dx .
α
* Thực hiện công thức biến đổi tích thành tổng rồi tính tích phân.


β

Dạng 2:

∫

sin n ax.cos max.dx (n,m là các số nguyên dương)

α

*) Nếu n lẻ, m chẵn thì đặt t = cosax.
*) nếu m lẻ, n chẵn thì đặt t = sinax.
*) Nếu n,m đều chẵn thì : Dùng cơng thức nhân đơi sau đó dung tiếp cơng thức hạ bậc
để tính. (nếu một trong 2 số n hoặc n = 0 số cịn lại là số chẵn thì ta chỉ dung công thức hạ
bậc).
*) n,m ∈ Z nếu n+m là số ngun chẵn thì có thể
đặt t = tanax hoặc t = cotax.

β
Dạng 3: ∫ R(sinx,cosx)dx R là hàm số hữu tỷ. (mở rộng thi đại học).
α
*) Nếu R(sinx, cosx) lẻ đối với sinx tức là R(−sinx, cosx) = −R(sinx, cosx)thì
ta đặt t = cosx.
*) Nếu R(sinx, cosx) lẻ đối với cosx tức là R(sinx, −cosx) = −R(sinx, cosx)
thì ta đặt t = sinx.
*) Nếu R(sinx, cosx) chẵn đối với sinx và cosx tức là

R(−sinx,− cosx) = R(sinx, cosx)thì ta đặt t = tanx.
Bài tốn 5: Tính tích phân của các hàm số hữu tỷ
β f (x)
dx trong đó f(x), g(x) là các đa thức theo x.
Yêu cầu tính ∫
α g(x)
Trường hợp 1: Bậc của f(x)≥ Bậc của g(x) thì thực hiện phép chia đa thức f(x) cho g(x) ta
f (x)
r(x)
= h(x) +
dẫn đến:
. Trong đó h(x) (thương của phép chia) là một đa thức còn
g(x)
h(x)
r(x) (phần dư của phép chia) là một đa thức có bậc nhỏ hơn bậc của g(x).
β f (x)
β
β r(x)
dx = ∫ h(x)dx + ∫
dx .
Nên ∫

α g(x)
α
α h(x)
β
Như vậy ∫ h(x)dx ta tích được bằng bảng ngun hàm vì vậy ta chỉ cịn phải tính
α
β r(x)
dx theo trường hợp sau.
∫
α g(x)

β r(x)
dx với bậc r(x) nhỏ hơn bậc g(x).
Trường hợp 2: tính ∫
α g(x)
*) Phân tích mẫu số g(x) thành tích của các nhị thức.
*) Dùng cách đồng nhất thức như sau: chắn hạn:
r(x)
r(x)
A
B
C
=
=
+
+
(*) ( x1; x2 là nghiệm của
g(x) a(x − α 1 ).(x − x 2 ) 2 (x − x1) (x − x 2 ) (x − x 2 ) 2
g(x).
*) ta quy đồng bỏ mẫu ta được biểu thức (**) rồi sau đó cho các giá trị của x vào biểu

thức (**) để tìm các hệ số A,B,C ( thơng thường nên cho x bằng các nghiệm của g(x) để
tìm các hệ số được dễ dàng).
*) sau đó thay vào biểu thức dưới dấu tích phân để tính.
Lưu ý: Xét ở trình độ THPT chúng ta thường gặp phải g(x) phân tích về thành tích của các
nhị thức .
Bài tốn 6: Tính tích phân chứa dấu giá trị tuyên đối.

b
Tính ∫ f (x) dx
a
+) Tìm nghiệm của f(x) = 0.
Nếu f(x) = 0 vơ nghiệm trên (a;b) hoặc có có nghiệm nhưng khơng có nghiệm nào thuộc
[a;b] hoặc có một nghiệm x = a hoặc x = b các nghiệm cịn lại khơng thuộc [a;b] thì
b
b
∫ f (x) dx = ∫ f (x)dx
a
a
c
b
b
Nếu f(x) = 0 có nghiệm x = c ∈(a;b) thì ∫ f (x) dx = ∫ f (x)dx + ∫ f (x)dx
a
c
a
*Chú ý
1) Nếu có nhiều hơn 1 nghiệm trên (a;b) thì vẫn dung cơng thức trên tùy theo trường hợp
nghiệm như thế nào. (cách làm này có lợi vì ta khơngcần xét dấu f(x)).
2) Ở mức độ thi TNTHPT khơng cần nắm bất đẳng thức tích phân.
Phần 5: Diện tích hình phẳng − thể tích vật thể trịn xoay.

Bài tốn 1: Tính diện tích hình phẳng
• Hình phẳng giới hạn bởi :
y
hàm số y = f (x) liên tục trên [a;b]

trục hoành y = 0; x = a; x = b
b
b
Diện tích : S = ∫ | f (x) | .dx
a
a
Chú ý : nếu thiếu cận a, b giải pt : f(x) = 0
• Hình phẳng giới hạn bởi :
y
 hàm số y = f (x) liên tục trên [a; b]

 hàm số y = g(x) liên tục trên [a; b]
x = a; x = b


x

y=f(x)
y=g(x)

b
a
x
b
Diện tích : S = ∫ | f (x) − g(x) | .dx

a
Chú ý : 1) Nếu thiếu cận a, b giải pt : f(x) = g(x)
2) Nếu bài tốn qua phức tạp thì ta có thể vẽ hình để xác định hình phẳng hoặc
tính thong qua tổng hoặc hiệu của nhiều hình.
Bài tốn 2:Tính thể tích vật thể trịn xoay :
* Thể tích hình tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường :
 hàm số y = f (x) liên tục trên [a; b]
b

quay quanh trục Ox và f(x) ≥ 0 trên [a;b] thì V
trục hoành y = 0; x = a;x = b
b
2
= π ∫ f (x) .dx


a
* Thể tích hình tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường :
 hàm số x = f (y) liên tục trên [c;d]
b

quay quanh trục Oy và f(y) ≥ 0 trên [a;b] thì V
trục tung x = 0;y = c; y = d
d
2
= π ∫ f (y) .dy


c

x

x


Phần 6: Số phức
Bài tốn 1: Tìm số phức, tính môđun,…
Cho hai số phức a+bi và c+di.
1) a+bi = c+di  a = c; b = d.

2) môđun số phức z = a + bi = a 2 + b 2

3) số phức liên hiệp z = a+bi là z = a − bi.
* z+ z = 2a; z. z = z 2 = a 2 + b 2
4) (a+bi ) +( c+di) = (a+c)+(b+d)i

5) (a+bi ) −( c+di) = (a−c)+(b−d)i.
6) ) (a+bi )( c+di) = (ac − bd)+(ad+bc)i
c + di
1
=
[(ac+bd)+(ad-bc)i]
7) z =
a + bi a 2 + b 2
Bài tốn 2: Giải phương trình bậc 2.

Cho phương trình ax2 + bx + c = 0. với ∆ = b2 − 4ac.
b
Nếu ∆ = 0 thì phương trình có nghiệp kép x1 = x 2 = −
(nghiệm thực)

2a
Nếu ∆ > 0 thì phương trình có hai nghiệm thực: x =
Nếu ∆ < 0 thì phương trình có hai nghiệm phức x =

−b ± ∆
2a
−b ± i ∆

2a
B. HÌNH HỌC.
Phần 1: Thể tích, diện tích của các khối hình
Bài tốn 1: Tính diện tích xung quanh (Sxq), diện tích tồn phần(Stp) của khối nón,trụ,cầu.
 Khối nón: Sxq = πrl; Stp = πr(r + l).
 Khối trụ: Sxq = 2πrl; Stp = 2πr(r + l).
 Khối cầu: S = 4πr2 .
Bài toán 2: Tính thể tích các khối hình.
1
1 2
* Khối hình chóp V = Bh ; * Khối nón V = πr h
3
3
4 3
* Khối hình trụ V = πr2h ; * Khối cầu V = πr
3
* Khối lăng trụ: V= Bh.
Phần 2: Phương pháp tọa độ trong không gian
→
→
→
→

→
a = (x;y;z) ⇔ a = x. i + y. j + z. k
→
→
Tính chất :
Cho a = (a1;a2; a3) , b = (b1;b2; b3)
→ →
• a ± b =(a1 ± b1; a2 ± b2; a3 ± b3)
→
• a k. = (ka1;ka2;ka3)
k∈R
→→
→
→
Tích vô hướng :
a . b = a1.b1 + a2.b2 +a3.b3= a . b Cos ϕ
a1b1 + a 2b 2 + a 3b3
Cos ϕ =
2 + a 2 + a 2 . b2 + b2 + b2
a1
2
3 1
2
3
→ →
⇔ a1.b1 + a2.b2 + a3.b3 = 0
a ⊥ b

→
→ → →

→
→
→ →
→
a cùng phương b ; a ≠ 0 ⇔ b = k. a ⇔ [ a , b ] = 0
Toaï độ điểm:
→
→
→
→
M = (x;y;z)⇔ OM = x. i + y. j + z. k
→
AB = ( xB− xA ; yB−yA;zB −zA)
→
→
• M chia đoạn AB theo tỉ số k≠1 ( MA = k MB )
x A − k.x B

x M =
1− k

y A − k.y B

Thì M:  y M =
1− k


z A − k.z B
zM =
1− k


xA + xB

x M =
2

yA + yB

• I là trung điểm của AB thì I:  y M =
2


zA + zB
zM =
2

1

 x G = 3 (x A + x B + x C )

1

• G là trọng tâm tam giác ABC thì G:  yG = (y A + y B + yC )
3


1
 zG = (z A + z B + z C )
3


• Tích có hướng của 2 véc tơ :
 a 2 a 3 a 3 a1 a1 a 2 
→ →
÷
;
;
[ a , b ]= 
 b 2 b3 b3 b1 b1 b 2 ÷


→ →
→
→ →
→
*[ a , b ]⊥ a ;[ a , b ]⊥ b
• Đk đồng phẳng của 3 véc tơ :
→ → →
→ → →
a , b , c đồng phẳng ⇔ [ a , b ]. c = 0

→
• ĐK để 4 điểm A,B,C,D không đồng phẳng ( tạo thành tứ diện ) là: ba véc tơ AB ,
→ →
→ → →
AC , AD không đồng phẳng <=> [ AB , AC ]. AD ≠ 0
→ →2
• Diện tích tam giác ABC : SABC = 1 AB2AC2 − (AB.AC)
2
Hoặc SABC =
• Thể tích tứ diện ABCD :

VABCD =

1
→ →
.[ AB , AC ]
2

1
→ → →
[
,
].

6 AB AC AD


→ →
→
• Thể tích hình hộp : VABCD.A'B'C 'D' = [ AB , AD ]. AA′ 

Bài tốn 1:Xác định điểm , tọa độ vectơ trong không gian , c/m tính chất hình
học ...
Bài tốn 2: Tích vô hướng , tích có hướng , góc giữa hai véc tơ :
Bài tốn 3:Véc tơ đồng phẳng , không đồng phẳng,thể tích hình hộp, tứ diện:
Phần 3: Mặt cầu.
Bài tốn 1: xác định tâm và bán kính mặt cầu
Phương trình mặt cầu tâm I(a;b;c) ; bk R là :
(x −a)2 + (y − b)2+ (z−c )2 = R2
Phương trình tổng quát của mặt cầu ( S):

x2 + y2+ z2+ 2.Ax+ 2.By + 2.Cz + D = 0 với A2 + B2 + C2−D > 0
có tâm I(−A ;−B;−C) ; bán kính R = A 2 + B2 + C2 − D
Bài toán 2: Viết phương trình mặt cầu
• Pt.mặt cầu (S) tâm I(a;b;c) và đi qua M1(x1;y1;z1)
+ Bán kính R = IM1 = (x1 − a) 2 + (y1 − b) 2 + (z1 − c) 2
• Pt.mặt cầu (S) đường kính AB :
x + x B yA − yB zA − z B
+ Tâm I là trung điểm AB => I( A
;
;
)
2
2
2
+ Bán kính R = IA
• Pt. mặt cầu (S) qua bốn điểm A,B,C,D:
p/ pháp : Pt tổng quát mặt caàu (S)
x2 + y2+ z2+ 2.Ax+ 2.By + 2Cz + D = 0 (1)
Thay lần lượt toạ độ 4 điểm vào (1) => giải hệ tìm hệ số A;B;C;D
• Pt.mặt cầu (S) tâm I(a;b;c) và tiếp xúc mặt phẳng (α)
bán kính R = d(I; (α))
Bài tốn 3: xác định vị trí tương đối giữa mặt cầu và mặt phẳng
(α) : A x + B y + Cz +D = 0 ; (S): (x −a)2 + (y−b)2 +(z−c)2 = R2
Tính d(I; (α)) = ?
Nếu:• d(I; α ) > R <=> α và S không có điểm chung ( rời nhau)
• d(I; α ) = R <=> α tiếp xúc với S ( α là mp tiếp diện)
(α) ∩ (S) ={M0} ;
→
Cách viết mặt phẳng tiếp diện : (α) qua M0 nhaän IM0 làm VTPT
• d(I; α ) < R <=> α cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn (C)

tâm H; bán kính r
* P.t đ.tròn (C ) A x + B y + Cz +D = 0
(x −a)2 + (y−b)2 + (z−c)2= R2
+ Tâm H là hình chiếu của I lên mp α
+ bán kính r = R 2 − [d(I ; α )]2
→

Cách xác định H: + Lập pt đ. thẳng (d) qua I nhận nα làmVTCP
 x = a + At

(d)  y = b + Bt thay vào pt mp(α) => giải t => toạ độ điểm H
z = c + Ct


Bài toán 4: Cách viết mặt phẳng tiếp diện tại điểm M0:
+) Xác định tâm và bán kính của mặt cầu (S)
→
+) Tính IM
0
→
+) Mặt phẳng tiếp diện (α) qua M0 nhận IM0 làm VTPT.
Bài tốn 5: Xác định tâm H và bán kính r đường trịn giao tuyến của mặt cầu (S)và
mặt phẳng(α).
+ bán kính r = R 2 − [d(I ; α )]2
Caùch xaùc định H:
→

+ Lập pt đ. thẳng (d) qua I nhận n laømVTCP
α
 x = a + At


(d)  y = b + Bt thay vào pt mp(α) => giải tìm t = ? => toạ độ điểm H
z = c + Ct

Phần 4: Mặt phẳng, đường thẳng.
Bài toán 1: các viết phương trình mặt phẳng:
uuu
r
uuu
r
* (ABC): +) tính AB = ? ; AC = ?
r uuu uuu
r r
+) VTPT của (ABC) là n = [AB, AC]
r
=> viết mặt phẳng đi qua A có VTPT n .
r uu uuu
r r
* (a,b) : nếu a//b thì VTPT n = [u a ,AB] với A∈ a; B ∈ b.
r uu uu
r r
Nếu a cắt b thì n = [u a ,u b ]
r uu uuu
r r
*(A;a) thì VTPT n = [u a ,AB] với B∈ a.
uur uu
r
* (α) //(β) thì VTPT n α = n β
uur uu
r

* (α) ⊥a thì VTPT n α = u a
uur r r
rr
* (α) có hai vectơ chỉ phương a, b thì n α = [a, b] .

r
*(α) đi qua 2 điểm A và B đồng thời chứa đ.thẳng a hoặc // a hoặc có VTCP a thì
uur uu uuu
r r
uu r
r
n α = [u a , AB] ( thay u a = a )
uur uur uuu
r
*(α) vuông góc cả hai mặt phẳng (P) và (Q). thì VTPT n α = [n P , n Q ]
* Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB.
+) Xác định trung điểm M của đoạn thẳng AB.
uuu
r
+) Tính vectơ AB .
uuu
r
Mặt phẳng trung trực đi qua M có VTPT AB .
* (α) song song đường thẳng và vng góc với một mặt phẳng thì
uur uu uu
r r
n α = [n β , u a ] .
* (α) chứa đ.thẳng (D) và ⊥(β) .
+) chọn M trên đ.thẳng (D).
uur uuu uu

r r
+) VTPT của (α) là n α = [u D , n β ]
* Viết PT mặt phẳng (P) chứa đường thẳng (d) và song song với (d/).
+) chọn M trên đ.thẳng (d).
uu
r uu uuu
r r
+) VTPT của (α) là n P = [u d ,u d / ]


uu
r uu uuu
r r
=> Viết PT mp(P) đi qua M và có VTPT n P = [u d ,u d / ]
Bài tốn 2 viết phương trình đường thẳng.
r
*∆ đi qua điểm A và có VTCP u
uuu
r
* ∆ đi qua 2 điểm A và B => ∆ đi qua A có VTCP AB .
uuu
r
*∆ đi qua A và // (D) => ∆ qua A có VTCP u D .
uur
*∆ đi qua A và ⊥(α) thì ∆ qua A có VTCP là n α .
* ∆ là giao tuyến của hai mặt phẳng (α) và (β) thì
r uur uu
r
+) VCTP của ∆ là u = [n α , n β ] .
+) Cho một ẩn bằng 0 giải hệ 2 ẩn cịn lại tìm điểm M?

r uur uu r uur uu
r
r
=> ∆ đi qua M có VTCP là u = [n α , n β ] u = [n α , n β ]
* ∆ là hình chiếu của đ.thẳng (D) lên mp (β)
*) Viết phương trình mp(P) chứa (D) và vng góc mp(β)
+) chọn M trên đ.thẳng (D).
uu
r uuu uu
r r
+) VTPT của (α) là n P = [u D , n β ]
uur uu uu
r r
* ) VTCP của ∆ là u ∆ = [n P , nβ ]
* ) cho một ẩn x = 0 giải hệ gồm 2 ẩn y và z của 2 PT hai mặt phẳng (P) và (β)=> M? =>
uur uu uu
r r
∆ đi qua M có VTCP u ∆ = [n P , nβ ]
* Cách viết phương trình đường cao AH của ∆ABC.
r uuu uuu
r r
+) Tìm tọa độ VTPT của mp(ABC) là n = [BC, AC] = ?.
r uuu r
r
+) Tìm tọa độ VTCP của đường cao AH là: u = [BC, n] = ?
r uuu r
r
=> Viết PT đường cao AH đi qua A có VTCP u = [BC, n] .
* Cách viết phương trình đường trung trực của cạnh BC của ∆ABC.
r uuu uuu

r r
+) Tìm tọa độ VTPT của mp(ABC) là n = [BC, AC] = ?.
r uuu r
r
+) Tìm tọa độ VTCP của trung trực là: u = [BC, n] = ?.
+) Tìm tọa độ điểm M là trung điểm đoạn thẳng BC.
r uuu r
r
=> Đường trung trực cạnh BC của ∆ABC là đường thẳng đi qua M có VTCP u = [BC, n] .
Bài tốn 3: tìm hình chiếu của một điểm lên một mặt phẳng hoặc đ.thẳng.
* Tìm hình chiếu H của M lên (α)
uur
+) Viết PT đ.thẳng (D) qua M có VTCP là n α .
PTmp(α)
+) giải hệ gồm 
PT(D)
+) Hình chiếu H là giao điểm của (α) và (D) là nghiệm của hệ trên.
* Tìm hình chiếu H của M lên đường thẳng (D).
uuu
r
+) Viết PT mặt phẳng (P) qua M có VTPT là u D .
PTmp(α)
+) giải hệ gồm 
PT(D)
+) Hình chiếu H là giao điểm của (α) và (D) là nghiệm của hệ trên.
Bài tốn 4: Tìm tọa độ điểm A/ đối xứng với điểm A qua đt hoặc mp
* Đối xứng qua mp(α)
uur
+) Viết PT đ.thẳng (D) qua M có VTCP là n α .

PTmp(α)
+) giải hệ gồm 
PT(D)
+) Hình chiếu H là giao điểm của (α) và (D) là nghiệm của hệ trên.
 x = 2x − x
H

A/

/
+) Tọa độ điểm đối xứng A :  y = 2y H − y /
A

z = 2z H − z /
A

* Đối xứng quađường thẳng (D).
uuu
r
+) Viết PT mặt phẳng (P) qua M có VTPT là u D .
PTmp(α)
+) giải hệ gồm 
PT(D)
+) Hình chiếu H là giao điểm của (α) và (D) là nghiệm của hệ trên.
 x = 2x − x
H

A/

+) Tọa độ điểm đối xứng A/ :  y = 2y H − y /

A

z = 2z H − z /
A

Bài tốn 4: xác định vị trí tương đối giữa mp và mp, đt và đt, đt và mp.
* Vị trí tương đối giữa mp (P) và mp(Q).
(P) : Ax + By + Cz + D = 0 ; (Q) : A/x + B/y + C/z + D/ = 0
→
→
với n =(A;B;C) và n′ =(A/; B/ ; C/ )
A
B
C
D
(P) ≡ (Q) <=> / = / = / = /
A
B
C
D
A
B
C
D
/ = B/ = C / ≠ D /
A
A
B
B
C

C
A
(P) cắt (Q)<=> / ≠ / ∨ / ≠ / ∨ / ≠ /
A
B
C
C
A
B
→ →
Chú ý :• α ⊥ α/ <= > n . n′ = 0 <=> AA/ + BB/ + CC/ = 0
→
→
• α cắt α/ <=> n và n′ không cùng phương
(P) // (Q)<=>

* vị trí tương đối giữa đ.thẳng (d1) và (d2).
→
→
→ →
Xác định các VTCP u =(a;b;c) , / =(a/;b/; c/ ) ;Tính [ u , / ]
u
u
→
→ →
Neáu :[ u , / ]= 0
u
+) chọn M1 ∈(d1). Nếu M1∉ d2 thì d1 // d2
Nếu M1 ∈(d2) thì d1 ≡ d2
→

→ →
Nếu [ u , / ] ≠ 0 . Ta giải hệ { d1 = d 2 theo t và t/ (cho PTTS của hai đ.thẳng = theo
u
tùng thành phần ).
+) hệ có nghiệm duy nhất t và t/ thì d1 cắt d2 => giao điểm.
+) nếu hệ VN thì d1 chéo d2
* Vị trí tương đối giữa đ.thẳng (D) và mặt phẳng (P).


+) thay PTTS của đ.thẳng (D) vào PT mp(P) ta được PT theo ẩn t.
+) nếu PTVN thì (D)//mp(P).
Nếu PTVSN thì (D) ⊂ mp(P).
Nếu PT có nghiệm duy nhất thì (D) cắt mp(P) =>giao điểm?
Hoặc có thể dung cách sau:

r

r

+) tìm tọa độ VTCP u của (D) và VTPT n của mp(P).

r r
r r
u.n ≠

+) Tính tích vơ hướng u . n = ?
Nếu tích vơ hướng này

r r

uu
r uu uuu
r r
+) VTPT của (α) là n P = [u d ,u d / ]

uu
r uu uuu
r r
=> Viết PT mp(P) đi qua M và có VTPT n P = [u d ,u d / ]

* Chọn điểm N bất kỳ trên (d/) . Tính d(N, mp(P)) =?
=> d((d), (d/)) = d(N, mp(P))
Bài tốn 6: Tính góc .
* Góc giữa hai mp (P) A1x+B1y+C1z+D1 = 0
và mp(Q) A2x+B2y+C2z+D2 = 0

ur uu
r

0 thì (D) cắt mp(P).

Nếu u . n = 0 thì chọn điểm M bất kỳ trên (D) sau đó thay vào PT mặt phẳng (P) nếu
thỏa mãn thì (D) ⊂ mp(P). cịn ngược lại thì (D)//mp(P).
Bài tốn 5: Tính khoảng cách.
* từ điểm A(x0;y0;z0) đến mặt phẳng (P): Ax+By+Cz+D = 0 .
Ax 0 + By0 + Cz0 + D
d(A;(α)) =
A 2 + B2 + C 2
* (P)//(Q) thì d((P),(Q)) = d(A;(Q)) với mọi điểm A chọn tùy ý trên (P)
* Khoảng cách tử đường thẳng (d) đến mặt phẳng (P) với (d)//mp(P)

+) chọn điểm M bất kỳ trên (d). tính d(M;(d)) = ?
+) d((d), mp(p)) = d(M,(mp(P))
* Khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng (D)(khơng có cơng thức tính trong chương
trình mới phân ban đối với ban cơ bản) nhưng ta có thể tính như sau:
+) lập PT mp(Q) qua A và vng góc với (D).
+) Tìm giao điểm H của mp(P) và đ.thẳng (D).
+) Khoảng cách cần tìm là đoạn thẳng AH.
* Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song (d) và (d/).
+) Chọn điểm M bất kỳ trên (d).
uu
r
+) Viết PT mặt phẳng (P) qua M có VTPT là u d .
+) Tìm điểm N là giao điểm của (d/ ) và mp(P) ( bằng cách giải hệ gồm PTcủa (d/) và PT
mặt phẳng (P) => nghiệm x,y,z là tọa độ điểm N).
+) Khoảng cách cần tìm là độ dài đoạn thẳng MN.
* Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau (d) và (d/).
* Viết PT mặt phẳng (P) chứa đường thẳng (d) và song song với (d/).
+) chọn M trên đ.thẳng (d).

thì cosϕ =

n1.n 2

ur uu
r

=

n1 . n 2

Α1A 2 + B1B2 + C1C2 
2
2
2
2
2
2
A1 + B1 + C1 . A 2 + B2 + C2

·
Với ϕ = ((mp(Q),mp(P))
 x = x 0 + at

* Góc giữa đường thẳng (D):  y = y0 + bt

z = z0 + ct
và mặt phẳng Ax+By+Cz+D = 0 là

uu uu
r r

SinΨ =

n .u
P D

uu uu
r r

nP . uD

=

 Α + bB + cC 
a
A 2 + B2 + C 2 . a 2 + b 2 + c 2

·
Với ϕ = ((D), mp(P))
 x = x 0 + a1t

Góc giữa hai đường thẳng (D1) :  y = y0 + b1t Và (D2):

z = z0 + c1t

ur uu
r

thì cosϕ =

u1.u 2

ur uu
r

u1 . u 2

=

 1a 2 + b1b 2 + c1c2 

a
2 + b2 + c2 . a 2 + b 2 + c2
a1
1 1
2
2 2

·
Với ϕ = ((D ), (D ))
1
2

/
x = x 0 + a 2t /


/
/
 y = y0 + b 2 t

/
/
z = z0 + c2 t
