Tài liệu ôn thi Đại Học môn Toán

Convert by TVDT
1

Chuyờn :Phng trỡnh v bt phng trỡnh i s

Một số dạng hệ ph-ơng trình th-ờng gặp
1) Hệ ph-ơng trình bậc nhất: Cách tính định thức
2) Hệ ph-ơng trình đối xứng loại 1: Hệ không thay đổi khi ta thay x bởi y và ng-ợc lại
3) Hệ ph-ơng trình đối xứng loại 2: Nếu đổi vai trò của x và y thì ph-ơng trình này trở thành ph-ơng trình kia và
ng-ợc lại
4) Hệ ph-ơng trình đẳng cấp bậc 2: Xét 2 tr-ờng hợp, sau đó đặt x = ty
5) Một số hệ ph-ơng trình khác
Các ví dụ
Ví dụ 1. Một số hệ dạng cơ bản
1) Cho hệ ph-ơng trình
8
)1)(1(
22
yxyx
myxxy

a) Giải hệ khi m = 12
b) Tìm m để hệ có nghiệm
2) Cho hệ ph-ơng trình
2 2 2
11
2
a

xy
x y a

Tìm a để hệ ph-ơng trình có đúng 2 nghiệm phân biệt
3) Cho hệ ph-ơng trình
22
22
1
32
x xy y
x xy y m
Tìm m để hệ có nghiệm
4) Cho hệ ph-ơng trình
222
6 ayx
ayx

a) Giải hệ khi a = 2
b) Tìm GTNN của F = xy + 2(x + y) biết (x, y) là nghiệm của hệ
5) Cho hệ ph-ơng trình
ymx
xmy
2
2
)1(
)1(
Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất
6) Giải hệ ph-ơng trình:
22
22

xy
yx

7) Giải hệ ph-ơng trình:
myxxyyx
yx
1111
311

a) Giải hệ khi m = 6
b) Tìm m để hệ có nghiệm
Ví dụ 2. Giải hệ ph-ơng trình:
2
2
2
2
2
3
2
3
y
x
x
x
y
y
(KB 2003)

HD: TH1 x = y suy ra x = y = 1
TH2 chú : x>0, y> 0 suy ra vô nghiệm

Ví dụ 3. Giải hệ ph-ơng trình:
358
152
33
22
yx
xyyx




Convert by TVDT
2
HD: Nhóm nhân tử chung sau đó đặt S = 2x + y và P = 2x. y Đs: (1, 3) và (3/2, 2)
Ví dụ 4. Giải hệ ph-ơng trình:
)2(1
)1(33
66
33
yx
yyxx

HD: từ (2) : - 1 x, y 1 hàm số:
tttf 3
3
trên [-1;1] áp dụng vào ph-ơng trình (1)
Ví dụ 5. CMR hệ ph-ơng trình sau có nghiệm duy nhất:
x
a
xy

y
a
yx
2
2
2
2
2
2

HD:
223
2 axx
yx
; xét
23
2)( xxxf
, lập BBT suy ra KQ
Ví dụ 6. Giải hệ ph-ơng trình:
22
22
xy
yx

HD Bình ph-ơng 2 vế, đói xứng loại 2
Ví dụ 7.
)1(
)1(
2
2

xayxy
yaxxy
xác định a để hệ có nghiệm duy nhất
HD sử dụng ĐK cần và đủ a = 8
Ví dụ 8. Giải hệ ph-ơng trình:
)2(5
)1(2010
2
2
yxy
xxy

HD: Rút ra
y
yy
y
x
55
2
; Cô si
52
5
y
y
x
;
20
2
x
theo (1)

20
2
x
suy ra x, y
Ví dụ 9.
2
)1(
3
yxyx
yxyx
(KB 2002)
HD: từ (1) đặt căn nhỏ làm nhân tử chung (1;1) (3/2;1/2)
Ví dụ 10.
ayx
ayx
3
21
Tìm a để hệ có nghiệm

HD: Từ (1) đặt
2,1 yvxu
đ-ợc hệ dối xứng với u, -v
Chỉ ra hệ có nghiệm thì ph-ơng trình bậc hai t-ơng ứng có 2 nghiệm trái dấu
Bài tập áp dụng
1)
495
5626
22
22
yxyx

yxyx

2)
)(3
22
22
yxyx
yyxx
KD 2003
3)
095
18)3)(2(
2
2
yxx
yxxx

4)

2
)(7
22
33
yxyx
yxyx

HD: tách thành nhân tử 4 nghiệm

Convert by TVDT
3
5)
mxyx
yxy
26
12
2
2
Tìm m để hệ có nghiệm
6)
19
2.)(
33
2
yx
yyx
Đặt t = x/y Hệ pt có 2 nghiệm
7)
64
9)2)(2(
2
yxx
yxxx
Đặt X = x(x + 2) và Y = 2x + y
8)

2 2 2 2
2 (1)
4

x y x y
x y x y
HD
: Đổi biến theo v, u từ ph-ơng trình (1)
9)
22
333
6
191
xxyy
xyx
HD:
Đặt x = 1/z thay vào đ-ợc hệ y, z ĐS ( - 1/2, 3) (1/3, - 2)

10)
12
11
3
xy
y
y
x
x
(KA 2003)

HD: x = y V xy = - 1
CM
02
4
xx

vô nghiệm bằng cách tách hàm số kq: 3 nghiệm
11)

axy
ayx
2
2
)1(
)1(
xác định a để hệ có nghiệm duy nhất
HD sử dụng ĐK cần và đủ
12)
3
3
22
xyyx
x
y
y
x

HD bình ph-ơng 2 vế

13)

78
1
7
xyyxyx
xy

x
y
y
x

HD nhân 2 vế của

(1) với
xy

Đ2. Ph-ơng trình và bất ph-ơng trình ph-ơng trình đại số
Một số dạng ph-ơng trình và bất ph-ơng trình th-ờng gặp
1) Bất ph-ơng trình bậc hai
Định lý về dấu của tam thức bậc hai
Ph-ơng pháp hàm số
2) Ph-ơng trình, bất ph-ơng trình chứa giá trị tuyệt đối

22
0
( 0)
A B A B
AB
A B B
AB
A B B A B B

3) Ph-ơng trình, bất ph-ơng trình chứa căn thức
Một số ví dụ

Ví dụ 1. Tìm m để

mxxxx )64)(3)(1(
2
nghiệm đúng với mọi x



Convert by TVDT
4
HD: sử dụng hàm số hoặc tam thức: m - 2
Ví dụ 2. Tìm a để hệ sau có nghiệm
2)1(2
2
ayxxy
yx


HD:
22
2 (1)
( 1) ( 2) 1 (2)
xy
x y a

TH1:
a + 1 0
Hệ vô nghiệm
TH2: a + 1>0. Vẽ đồ thị (2) là đ-ờng

tròn còn (1) là miền gạch chéo:
a - 1/2

Ví dụ 3. Giải các ph-ơng trình, bất ph-ơng trình sau
1)
014168
2
xxx

2)
xxx 2114
: x = 0
3)
510932)2(2
22
xxxxx

4)
211
22
xxxx
HD: Tích 2 nhân tử bằng 1 suy ra cách giải
5)
023)3(
22
xxxx
KD 2002
Ví dụ 4. Tìm m để hệ sau có nghiệm
012
0910
2
2

mxx
xx
ĐS: m4
Ví dụ 5. Giải bất ph-ơng trình
2212 xxx

HD + /
Nhân 2 vế với biểu thức liên hợp của VT
+ / Biến đổi về BPT tích chú ý ĐK

Ví dụ 6. Giải bất ph-ơng trình:
7
2
1
2
2
3
3
x
x
x
x

HD
Đặt
2,
2
1
t
x

xt
, AD BĐT cô si suy ra ĐK

Ví dụ 7. Giải bất ph-ơng trình:
4
)11(
2
2
x
x
x

HD: + /
Xét 2 tr-ờng hợp chú y DK x> = - 1
+ / Trong tr-ờng hợp x

4, tiến hành nhân và chia cho biểu thức liên hợp ở mẫu ở VT

Ví dụ 8. Cho ph-ơng trình:
mxxxx 99
2
. Tìm m để ph-ơng trình có nghiệm
HD: + /
Bình ph-ơng 2 vế chú ý ĐK
+ / Đặt t = tích 2 căn thức, Tìm ĐK của t
+ / Sử dụng BBT suy ra KQ

Ví dụ 9. Giải bất ph-ơng trình (KA 2004) :
3
7

3
3
)16(2
2
x
x
x
x
x

Bài tập áp dụng
1)
0
12
22
ayx
xyx
Tìm a để hệ có nghiệm duy nhất. Tìm nghiệm duy nhất đó.
ĐS a = - 1 và a = 3
2) Tìm m để bất ph-ơng trình sau có nghiệm:
mxx 41624

3)
16212244
2
xxxx

4)
12312 xxx

Convert by TVDT
5
5)

1212)1(2
22
xxxxx

HD: Đặt
12
2
xxt
, coi là ph-ơng trình bậc hai ẩn t
6)
2
2)2()1( xxxxx

7)
2
3
1)2(12
x
xxxx

8) Cho ph-ơng trình:
mxxxx 444

a) Giải ph-ơng trình khi m = 6
b) Tìm m để ph-ơng trình có nghiệm
9)
1
1
251
2
x
xx

10)
023243
2
xxx

11) Tìm a để với mọi x:
32)2()(
2
axxxf
ĐS a 4 ; a 0
Chuyên đề 3: L-ợng giác
Đ1. Ph-ơng trình và hệ ph-ơng trình l-ợng giác
Một số kiến thức cần nhớ
Các công thức biến đổi l-ợng giác
Một số dạng ph-ơng trình cơ bản
Ph-ơng trình bậc 2, bậc 3 theo một hàm số l-ợng giác
Ph-ơng trình đẳng cấp bậc nhất với sinx, cosx: asinx + bcosx = c
Ph-ơng trình đẳng cấp bậc 2 với sinx, cosx: a. sin
2
x + b. sinx. cosx + c. cos

2
x + d = 0
Ph-ơng trình đẳng cấp bậc 3 với sinx, cosx:
a. sin
3
x + b. sin
2
x. cosx +
c. sinx. cos
2
x + d. cos
3
x = 0
a. sin
3
x + b. sin
2
x. cosx +
c. sinx. cos
2
x + d. cos
3
x + m = 0
Ph-ơng trình đối xứng với sinx, cosx a: (sinxcosx) + b. sinx. cosx + c = 0
Ph-ơng trình đối xứng với tgx, cotgx
Ph-ơng trình đối xứng với sin
2n
x, cos
2n
x

Các ví dụ
Ví dụ 1.
2.cos4
cot tan
sin2
x
xx
x

HD: đặt ĐK x =

/3 + k.
Ví dụ 2.
)1(sin
2
1
3
2
cos
3
cos
22
xxx


HD: Sử dụng công thức hạ bậc
xx sin
3
cos).2cos(.21
ĐS 3 họ nghiệm

Ví dụ 3.
2
sin
2sin
2sin
sin
2
2
2
2
x
x
x
x

HD: Nhóm, nhân lên và tách 2 thành 2 nhóm
Ví dụ 4.
33
sin .sin3 cos .cos3 1
8
tan .tan
63
x x x x
xx


HD: Đặt ĐK rút gọn MS = 1; AD công thức nhân 3; ĐS x = - /6 + k
Ví dụ 5.
3 tan (tan 2.sin ) 6.cos 0x x x x

HD: Biến đổi theo sin và cos đ-ợc
0)cos21(sin)cos21(cos.3
22
xxxx
ĐS x =

/3 + k



Convert by TVDT
6
Ví dụ 6.
3.tan 6sin 2sin( )
2
tan 2sin 6sin( )
2
y
x y x
y
x y x

HD: nhân (1) với (2) rút gọn
22
tan 4sin
2
y
y
đặt

2
tan
2
y
t
; t = 0,
3t

Ví dụ 7.
xxxxxx cos13sin.
2
1
sin.4cos2sin.3cos

HD: BĐ tích thành tổng rút gọn
Ví dụ 8.
2
1
5cos4cos3cos2coscos xxxxx


HD: nhân 2 vế với 2. sin(x/2) chú y xet tr-ờng hợp bằng 0
NX: Trong bài toán chứa tổng
cos cos2 cos
sin sin2 sin
T x x nx
T x x nx
thực hiện rút gọn bằng cách trên

Ví dụ 9.

22
tan .sin 2.sin 3(cos2 sin .cos )x x x x x x

HD: BĐ sau đó đặt t = tg(x/2)
Ví dụ 10.
2
9
sin
cos
2
log 4.log. 2 4
x
x

HD:
4
)(sinlog
2log
.2.log2
2
sin
sin
sin
x
x
x
x

Đ2. Giá trị lớn nhất nhỏ nhất, ph-ơng trình có tham số
Một số kiến thức cần nhớ

Ph-ơng pháp hàm số: Bài toán Max, Min trên 1 khoảng và một đoạn.
Ph-ơng pháp bất đẳng thức, nhận xét đánh giá.
Các ví dụ
Ví dụ 1. Tìm GTLN, GTNN:
xx
xx
y
24
24
cos2sin.3
sin4cos.3


HD: t = cos2x, tìm Max, Min trên 1 đoạn M = 8/5 m = 4/3
Ví dụ 2. Cho ph-ơng trình:
tgxxmx 1cos.2cos
2

1) Giải ph-ơng trình khi m = 1
2) Tìm m để ph-ơng trình có nghiện thuộc đoạn [0; /3]

HD: t = tgx,
0; 3t
; Lập BBT f(t) ĐS:
1;31)31(m

Ví dụ 3. : Tìm GTLN, GTNN:
xxy 2cossin.2
48

HD: t = cos2x,
- 1t1
tìm Max, Min trên 1 đoạn
33,
)1(80 tttf
ĐS:M = 3, m = 1/
27
Ví dụ 4. Tìm GTLN, GTNN:
1cos.sinsincos
44
xxxxy

Ví dụ 5. Cho ph-ơng trình:
02sin24cos)cos.(sin2
44
mxxxx

Tìm m để ph-ơng trình có ít nhất một nghiện thuộc đoạn [0; /2]
ĐS: [ -10/3; -2]
Ví dụ 6. Cho ph-ơng trình
3cos2sin
1cossin2
xx
xx
a

1) Giải ph-ơng trình khi a = 1/3
2) Tìm a để ph-ơng trình có nghiệm

HD: Đ-a về dạng: (2 - a) sinx + (2a + 1
) cosx = 3a + 1
ĐS [ -1/2, 2]
Ví dụ 7. Tìm nghiệm của pt sau trong khoảng (0, ) :
4
3
cos212cos.3
2
sin4
22
xx
x

Bài tập áp dụng



Convert by TVDT
7
1)
2
1
3sin.2sin.sin3cos.2cos.cos xxxxxx

2)
2cos.3sincos.3sin xxxx

3)
22
53

3sin (3 ) 2sin .cos 5sin 0
2 2 2
x x x x

4)
x
x
x
x
cos
1
3cos.2
sin
1
3sin.2

5)

2
1 cos2
1 cot2
sin 2
x
x
x
HD:
Chú ý ĐK ĐS: x = - /4 + k /2
6)
2
cos2 cos (2.tan 1) 2x x x

7)
03cos2cos84cos3
26
xx

8)
1
1cos2
3sin
42
sin2cos)32(
2
x
x
x
x

9)
02cos2sincossin1 xxxx

Một số đề thi từ năm 2002
1) Tìm nghiệm thuộc khoảng
0;2
của ph-ơng trình
32cos
2sin21
3sin3cos
sin5 x
x

xx
x
KA 2002
2) Giải ph-ơng trình
2
4
4
(2 sin 2 )sin3
1 tan
cos
xx
x
x
(DB 2002)
3) Tìm nghiệm thuộc khoảng
0;2
của ph-ơng trình
2
cot2 tan 4sin2
sin2
x x x
x
KB 2003
4) Tìm x nghiệm đúng thuộc khoảng
0;14
của ph-ơng trình
cos3 4cos2 3cos 4 0x x x
KB 2003
5) Xác định m để ph-ơng trình
44

2 sin cos cos4 2sin2 0x x x x m
có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn
0;
2
(DB 2002)
6) Giải ph-ơng trình
44
sin cos 1 1
cot2
5sin2 2 8sin2
xx
x
xx
(DB 2002)
7) Giải ph-ơng trình
2
tan cos cos sin 1 tan .tan
2
x
x x x x x
(DB 2002)
8) Cho ph-ơng trình
2sin cos 1
(1)
sin 2cos 3
xx
a
xx

a) Giải ph-ơng trình (2) khi

1
3
a

b) Tìm a để ph-ơng trình có nghiệm
9) Giải ph-ơng trình
2
1
sin
8cos
x
x
(DB 2002)
10) Giải ph-ơng trình
2
cos2 1
cot 1 sin sin 2
1 tan 2
x
x x x
x
(KA 2003)
11) Giải ph-ơng trình
3 tan tan 2sin 6cos 0x x x x
(DBKA 2003)
12) Giải ph-ơng trình
2
cos2 cos 2tan 1 2x x x
(DBKA 2003)

Convert by TVDT
8
13) Giải ph-ơng trình
62
3cos4 8cos 2cos 3 0x x x
(DBKB 2003)
14) Giải ph-ơng trình
2
2 3 cos 2sin
24
1
2cos 1
x
x
x
(DBKB 2003)
15) Giải ph-ơng trình
2 2 2
sin .tan cos 0
2 4 2
xx
x
(KD 2003)
16) Giải ph-ơng trình
2
cos cos 1
2 1 sin
cos sin

xx
x
xx
(DBKD 2003)
17) Giải ph-ơng trình
2sin4
cot tan
sin2
x
xx
x
(DBKD 2003)
18) Giải ph-ơng trình
2
5sin 2 3 1 sin tanx x x
(KB 2004)
19) Giải ph-ơng trình
2cos 1 2sin cos sin2 sinx x x x x
(KB 2004)
Chuyên đề 4: Mũ & Lôgarit
Đ1. Ph-ơng trình và hệ ph-ơng trình Mũ lôgarit

Một số kiến thức cần nhớ
Các công thức về mũ và lôgarit.
Giới thiệu một số ph-ơng trình cơ bản.
Khi giải ph-ơng trình về logarit chú ĐK.
Các ví dụ
Ví dụ 1. Cho ph-ơng trình:
0121loglog
2

3
2
3
mxx

1) Giải ph-ơng trình khi m = 2
2) Tìm m để ph-ơng trình có ít nhất một nghiệm thuộc
3
3;1
HD: m [0;2]
Ví dụ 2.
4loglog2
5)(log
24
22
2
yx
yx
đs (4, 4)
Ví dụ 3.
)4(log)1(log
4
1
)3(log
2
1
2
8
4
2

xxx

HD: ĐK
x>0
Và
x1
; ĐS x = 2,
332x

Ví dụ 4.
xxxx
3535
log.loglog.log
HD: Đổi cơ số ĐS: x = 1 và x = 15
Ví dụ 5.
633
)(39
22
3log)(log
22
xyyx
xy
xy

Ví dụ 6.
x
x )1(log
3
2

HD: ĐK x> - 1 TH1: - 1<x

0 ph-ơng trình vn
TH2: x>0, đặt y = log
3
(x + 1) Suy ra
1
3
1
3
2
yy

Ví dụ 7.
32
2
2
23
1
log xx
x
x

HD: VP

1 với x>0, BBT VT

1 ; Côsi trong lôgagrit ĐS x = 1
Ví dụ 8.
y

yy
x
xx
x
22
24
452
1
23
ĐS (0, 1) (2, 4)



Convert by TVDT
9
Ví dụ 9. Tìm m để ph-ơng trình sau có nghiệm thuộc [32, + ) :
3log3loglog
2
4
2
2
1
2
2
xmxx

HD: t > = 5;
31
1
31

1,0
2
2
m
t
m
m
mm

Ví dụ 10.
322
loglog
yx
xy
yxy


HD ĐK x, y>0 và khác 1; BĐ (1) đ-ợc
TH1: y = x thay vào (2) có nghiệm
TH2:
2
1
y
x
thay vào (2) CM vô nghiệm chia thành 2 miền y>1 và 0<y<
1
Đ2. Bất ph-ơng trình và hệ bất ph-ơng trình Mũ lôgarit

Một số kiến thức cần nhớ
Giới thiệu một số bất ph-ơng trình về mũ và logarit

Chú y ĐK
Các ví dụ
Ví dụ 1. Tìm k để hệ ph-ơng trình sau có nghiệm:
1)1(log
3
1
log
2
1
031
3
2
2
2
3
xx
kxx

HD: ĐK x>1; Giải (2) 1<x 2; BBT
33
1
x
f x x
ĐS: k > - 5
Ví dụ 2.
06log)1(log2log
2
4
1
2

1
xx

Ví dụ 3.
xx
xx
22
log
2
3
log
2
1
.2.2
HD: Lấy logarit 2 vế theo cơ số 2
Ví dụ 4.
1))279.((loglog
3
x
x

Ví dụ 5.
2
2
4
log log ( 2 ) 0x x x

Ví dụ 6.
06log)52(log)1(
2

1
2
2
1
xxxx

HD:
Đặt t = log x , coi BPT đã cho là Bpt bậc 2 ẩn t; Chú ý so sánh 2 tr-ờng hợp t
1
,

t
2


ĐS (0;2] v (x

4)
Ví dụ 7. Giải bất ph-ơng trình
xx
x
22
log
2
3
log
2
1
22

Ví dụ 8. Giải bất ph-ơng trình:
0
1
)3(log)3(log
3
3
1
2
2
1
x
xx

Ví dụ 9. Giải bất ph-ơng trình:
2
42
11
log ( 3 ) log (3 1)x x x

Bài tập áp dụng
1)
x
x
x
x
2
3
323
log
2

1
3
loglog.
3
log




Convert by TVDT
10
2)
)112(log.loglog2
33
2
9
xxx

3)
3
3
1
29
2
2
2
2
xx
xx

4)
0loglog
034
24
xx
yx
ĐK x, y 1 ĐS: (1, 1) (9, 3)
5)
3)532(log
3)532(log
23
23
xyyy
yxxx
y
x

6)
25
1)
1
(log)(log
22
4
4
1
xy
y
xy
KA 2004 ĐS: (3; 4)

7)
6)22(log).12(log
1
22
xx
ĐS x = log
2
3
8) Tìm a để hệ sau có nghiệm:
0)1(
1)32(
2
4
32
log
2
5,0
axax
xx
x
x
HD: a>3/2
9)
3
log log (9 6) 1
x
x

10) Giải ph-ơng trình
)2(log)12(log

2
2
2
3
xxxx

11)
yx
xyyx
xyx 1
22
22

12)
06)(8
13).(
4
4
4
4
yx
xy
yx
yx

13) Tìm m để ph-ơng trình
0loglog4
2
1
2

2
mxx
có nghiệm thuộc khoảng (0;1)
Chuyên đề 5. Tích phân xác định và ứng dụng
Đ1. Ph-ơng pháp tính tích phân
I. Tích phân các hàm số hữu tỉ
Ví dụ
: Tính các tích phân sau
1)
;
23
B ;
)1(
.
0
1
2
3
2
9
2
xx
dx
x
dxx
A

2)
;
)1(

B ;
1
.22(
4
2
10
3
2
1
3
2
x
dxx
x
dxxx
A

3)
;
)1()3(
B
;
65
).116102(
1
0
22
1
1
2

23
xx
dx
xx
dxxxx
A

4)
;
23
)47(
B ;
65
).63(
0
1
3
1
1
23
23
xx
dxx
xxx
dxxxx
A

5)
;
34

B ;
2
2
1
24
2
1
23
xx
dx
xxx
dx
A

6)
;
)4(
.
B ;
).14(
1
0
28
3
2
1
34
23
x
dxx

xx
dxxxx
A

7)
;
)1.(
).1(
B ;
)1(
3
1
4
4
2
1
26
xx
dxx
xx
dx
A

8)
1
0
22
2
4
3

36
5
;
)1)(2(
1322
B ;
2
3
3
dx
xx
xx
xx
dxx
A



Convert by TVDT
11
Bµi tËp

1) (C§SP HN 2000):
3
0
2
2
.
1
23

dx
x
x
I

2) (§HNL TPHCM 1995)
1
0
2
65xx
dx
I

3) (§HKT TPHCM 1994)
1
0
3
.
)21(
dx
x
x
I

4) (§HNT HN 2000)
1
0
2
23
92

).1102(
xx
dxxxx
I

5) (§HSP TPHCM 2000)
1
0
2
65
).114(
xx
dxx
I

6) (§HXD HN 2000)
1
0
3
1
.3
x
dx
I

7) (§H M§C 1995 )
1
0
24
34xx

dx
I

8) (§HQG HN 1995). X¸c ®Þnh c¸c h»ng sè
A,B,C ®Ó
21
)1(23
333
23
2
x
C
x
B
x
A
xx
xx
TÝnh
dx
xx
xx
I .
23
333
3
2

9) (§HTM 1995)
1

0
2
5
1
.
x
dxx
I

10) (§H Th¸i Nguyªn 1997)
x
x
dxx
I
x
1
t: HD
1
).1(
2
1
4
2

11) X¸c ®Þnh c¸c h»ng sè A,B ®Ó
1
)1()1(
2
22
x

B
x
A
x
x
TÝnh
dx
x
x
I .
)1(
)2(
3
2
2

12) Cho hµm sè
32
)1()1(
)(
xx
x
xf

a) §Þnh c¸c hÖ sè A,B,C,D,E sao
cho
11
)2)(1(
)(
2

2
x
dx
E
x
dx
D
xx
CBxAx
dxxf

b) TÝnh
3
2
)( dxxf

II TÝch ph©n c¸c hµm sè l-îng gi¸c
VÝ dô
: TÝnh c¸c tÝch ph©n sau
1)
3
2
2
0
6
tan .
; B
1 sin cos
cos sin .cos
dx x dx

A
xx
x x x

2)
3
4
3
0
6
tan .
; B ( cos sin ).
cos2
x dx
A x x dx
x

3)
dxxx
x
dxxx
A .2cos.sinB ;
cos1
)sin(
2
2
0
2
4
0

4)
;
sin1
.cos.
2
0
2
x
dxxx
A

Bµi tËp

1) (§HQG TPHCM 1998) TÝnh :

2
0
4
2
0
4
1cos
.2sin
J va;
sin1
.2sin
x
dxx
x

dxx
I

2) (§HSP TPHCM 1995)
Cho
xx
x
xf
cossin
sin
)(

a) T×m A,B sao cho
xx
xx
BAxf
sincos
sincos
)(

b) TÝnh
3
0
).( dxxfI

3) (§HGTVT TPHCM 1999)



Convert by TVDT

12
a) CMR
2
0
44
4
2
0
44
4
sincos
.sin
sincos
.cos
xx
dxx
xx
dxx

b) TÝnh
2
0
44
4
sincos
.cos
xx
dxx
I

4) (§HTS 1999) TÝnh :
2
0
2
.)cos1.(cos.sin dxxxxI

5) (§HTM HN 1995) TÝnh
4
0
4
cos x
dx
I

6) (HVKTQS 1999):TÝnh
4
0
4
3
cos1
.sin.4
x
dxx
I

7) (§HNN1 HN Khèi B 1998)
2
0
cos1
.2cos

x
dxx
I

8) (§HQGHN Khèi A 1997)
2
0
2
3
cos1
.sin
x
dxx
I

9) (§HNN1 HN 1998) TÝnh
2
6
.
cossin
.2cos2sin1
dx
xx
xx
I

10) (§HQG TPHCM 1998)
2
0
23

.sin.cos dxxxI

11) (HVNH TPHCM 2000)
4
0
2
cos1
.4sin
x
dxx
I

12) (§HBK HN 1999) Cho hµm sè
2
)sin2(
2sin
)(
x
x
xh

a) T×m A,B ®Ó
x
xB
x
xA
xh
sin2
cos.
)sin2(

cos.
)(
2

b) TÝnh
0
2
).( dxxhI

13) (§HBK HN 1998)
2
0
44
).sin.(cos2cos dxxxxI

14) (HVNH TPHCM 2000)
3
0
2
cos
).sin(
x
dxxx
I

III. TÝch ph©n c¸c hµm sè v« tØ
VÝ dô
: TÝnh c¸c tÝch ph©n sau :
1)
a

adxxaxdxxxA
2
0
2
1
0
815
)0(.2.B ;.31.

2)
4
10
222
)0(
)1(
B ; a
xx
dx
dxxaxA
a

3)
2
1
0
1
2
)2)(1(
B ;
1

xx
dx
xx
dx
A

4)
0
1
1
2
1
2
2
24
B ;
.1
xx
dx
x
dxx
A

5)
22
0
2
2
1
2

.1B ;
1.
dxxx
xx
dx
A

6)
2
7
0
3
1
0
4
3
12
B ;
1
x
dx
x
dxx
A

7)
3
0
2
3

8
112
)21(
(*)B ;
1 xxx
dxx
xx
dx
A

8)
;
11
1
(*)
0
1
3
x
dx
x
x
A

9)
0
1
2
1
0

2
.22B ;4 dxxxdxxA

10)
1
2
1
2
2
2
1
2
.
1
B ;
1
dx
x
x
dx
x
x
A
Bµi tËp




Convert by TVDT
13

1) (HVNH THCM 2000)
1
0
2
3
1
.
xx
dxx
I

2) (ĐH BKHN 1995)
2
3
2
2
1. xx
dx
I

3) (HVKTQS 1998)
1
1
2
11 xx
dx
I

4) (ĐHAN 1999)
4

7
2
9. xx
dx
I

5) (ĐHQG HN 1998)
1
0
23
.1. dxxxI

6) (ĐHSP2 HN 2000)
2
1
3
1. xx
dx
I

7) (ĐHXD HN 1996)
1
0
2
1
).1(
x
dxx
I

8) (ĐHTM 1997)
7
0
3
2
3
1
.
x
dxx
I

9) (ĐHQG TPHCM 1998)
1
0
12
.
x
dxx
I

IV. Một số dạng tích phân đặc biệt
Ví dụ1
:Tính các tích phân sau :
1)
6
0
4
0
cossin

cos
B
cossin
sin
xx
xdx
xx
xdx
A
2)
dxxx
ee
dxe
A
xx
x
.2cos.cosB
.
4
0
2
1
0

Ví dụ2
:Tính các tích phân sau
1)
1
1
35

.B ;.2cos
2
dxexdxxxA
x

2)
2
2
3
2
1
2
1
2
.
cos1
sin
B ;.
1
1
ln. dx
x
x
dx
x
x
xA
Ví dụ 3
:Tính các tích phân sau
1)

2
0
20042004
2004
2
0
4
.
sincos
cos
B ;.
sin1
2sin
dx
xx
x
dx
x
x
A

2)
0
2
0
2
.
cos1
sin.
B ;.

cos3
sin.
dx
x
xx
dx
x
xx
A
Bài tập

1) (ĐHPCCC 2000) Tính
1
1
2
.
21
1
dx
x
I
x

2) (ĐHGT 2000 )Tính
2
2
2
.
sin4
cos

dx
x
xx
I

3) (ĐHQG HN 1994) Tính
0
3
.sin. dxxxI

4) (ĐHNT TPHCM 1994)Tính
dx
x
I
x
.
13
sin
2

5) (HVBCVTHN 1999)Tính
1
1
4
.
21
dx
x
I
x

Đ2. ứng dụng của tích phân xác định
Một số kiến thức cần nhớ
Nội dung các bài toán về diện tích hình phẳng: 3 bài toán cơ bản.
Bài toán về thể tích tròn xoay.
Các ví dụ

Bài 1. Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi phép quay xung quanh trục ox của hình phẳng giới hạn bởi
trục ox và đ-ờng
)0(sin2 xxy
.
Bài 2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đ-ờng:
3,34
2
xyxxy
.



Convert by TVDT
14
Bài 3. Tính diện tíc hình phẳng giới hạn bởi các đ-ờng:
24
,
4
4
22
x
y
x

y
.
Bài 4. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P) y
2
= 16x và các tiếp tuyến tại A(1;4) B(4; - 8).
Bài 1 Diện tích phẳng
1) (ĐHBKHN 2000): Tính diện tích giới hạn bởi
2
x0; x va0y ;cos.sin
32
xxy

2) (ĐHTCKT 2000): Tính diện tích giới hạn bởi
1 x vay ;
xx
eey

3) (HVBCVT 2000) Tính diện tích giới hạn bởi
2
x0; x va
12
1y ;
2
3
sin21
2
xx
y

4) (HVBCVT 1997) Tính diện tích giới hạn bởi

xxxy 3y ;2
2

5) (ĐHTM 1996) Tính diện tích giới hạn bởi
22
x; yxy

6) (ĐHKT 1994) Tính diện tích giới hạn bởi
xxxy 3y ;34
2

7) (ĐHCĐ 1999) Tính diện tích giới hạn bởi
x
8
y va
8
y ;
2
2
x
xy

8) (ĐHSP1 HN 2000) Tính diện tích giới hạn bởi
5y ;1
2
xxy

9) (ĐHKTQD 1996) Tính diện tích giới hạn bởi hình phía d-ới (P) : y=ax
2
(a>0) và trên y=ax+2a

10) Tính diện tích giới hạn bởi
34:)(
2
xxyP
và 2 tiếp tuyến tại các điểm A(0;-3) và B(3;0)
11) (ĐH Huế 1999) Tính diện tích giới hạn bởi
1 x vay ;)1(
5 x
exxy

12) Tính diện tích giới hạn bởi
4
0 Oy voi trucx vacosy ;sin
33
xxy

13) (HVQY 1997) Tính diện tích giới hạn bởi
342:(C) ;0
23
xxxyy
và tiếp tuyến với đ-ờng
cong (C) tại điểm có hoành độ x=2
14) (ĐHKT 2000) Tính diện tích giới hạn bởi
1
4
4
x
x
y
(C ) và Ox, hai đ-ờng thẳng có ph-ơng trình x=1;

x=-1
*****Một số bài tham khảo************
1) Tính diện tích S giới hạn bởi đồ thị
2
:)( xyC
trục Ox và đ-ờng thẳng có ph-ơng trình x=2
2) Tính diện tích S giới hạn bởi đồ thị
2.
2
1
:)(
2
xyC
trục Ox và 2 đ-ờng thẳng có ph-ơng trình x=1 và
x=3
3) Tính diện tích S giới hạn bởi đồ thị
2
:)( xyC
trục Ox và đ-ờng thẳng có ph-ơng trình x=2, y=x
4) Tính diện tích S giới hạn bởi đồ thị
xyP 2:)(
2
và đ-ờng thẳng có ph-ơng trình y=2x-2
5) Tính diện tích S giới hạn bởi đồ thị
2
2
2
1
31:)(P va2:)( yxyxP

Bài 2 Thể tích của các vật thể
1) (ĐHNN1 HN 1997): Cho hình phẳng giới hạn bởi
0;
3
;0; yxxtgxyD

a) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi D
b) Tính thể tích vật thể tròn xoay khi D quay quanh Ox
2) Tính thể tích của vật thể tròn xoay sinh ra bởi phép quay quanh Ox của hình giới hạn bởi trục Ox và (P)
y=x
2
-ax (a>0)
3) (ĐHXD 1997) Tính thể tích của vật thể tròn xoaydo hình phẳng
exxyxxyS ;1;0;ln.

4) (ĐHY 1999) Tính thể tích hình tròn xoay sinh ra bởi
1:)(
2
2
2
2
b
y
a
x
E
khi nó quay quanh Ox

Convert by TVDT
15
5) (ĐHTS TPHCM 2000): Cho hình phẳng G giới hạn bởi y= 4-x
2
; y=x
2
+2 .Quay hình phẳng (G) quanh Ox ta
đ-ợc một vật thể. Tính thể tích vật thể này
6) (HVQY 1997): Cho hình phẳng giới hạn bởi
xyxyD ;
2
Tính thể tích vật thể tròn xoay khi D
quay quanh trục Ox
7) (HVKTQS 1995) Tính thể tích do D quay quanh Ox
xxxxyyD ;
2
;sincos1;0
44

8) Tính thể tích của vật thể tròn xoay sinh ra bởi phép quay quanh Ox của hình phẳng S giới hạn bởi các
đ-ờng
y=x.e
x
, x=1 , y=0 (0 x 1 )
9) (ĐHXD 1998) Tính thể tích vật thể tạo bởi hình
1
164
)4(
:)(
22

yx
E
quay quanh trục Oy
10) (ĐHNN1 1999): Cho hình phẳng giới hạn bởi
2
;
1
1
2
2
x
y
x
yD

a) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi D
b) Tính thể tích vật tròn xoay khi D quay quanh Ox
11) (ĐHKT 1996) : Cho hình phẳng giới hạn bởi
xyxyD 4;)4(
232

a) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi D
b) Tính thể tích vật tròn xoay khi D quay quanh Ox
12) (ĐHPCCC 2000): Cho hàm số
2
)1.(:)( xxyC

a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
b) Viết ph-ơng trình tiếp tuyến kẻ từ 0(0,0) đến (C)
c) Tính thể tích giới hạn bởi (C) quay quanh Ox

13) Cho miền (H) giới hạn bởi đ-ờng cong y=sinx và đoạn 0 x của trục Ox . Tính thể tích khối tròn
xoay khi (H) quay quanh
a) Trục Ox
b) Trục Oy
Chuyên đề 6: Đại số tổ hợp - Nhị thức newtơn
Đ1. Một số Bài toán áp dụng quy tắc nhân, cộng,
hoán vị, tổ hợp, chỉnh hợp
1.1 Các bài toán chọn số:

* Ví dụ 1:
Từ các chữ số 0,1,2,3,4,5,6 có thể lập đ-ợc:
a/ Bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau.
b/ Bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 5 chữ số khác nhau.
c/ Bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau trong đó phải có mặt của số 5.
* Ví dụ 2:
Với các chữ số 0,1,2,3,4,5 có thể lập đ-ợc bao nhiêu số tự nhiên thoả:
a/ Gồm 8 chữ số từ các số trên.
b/ Gồm 8 chữ số trong đó chữ số 1 có mặt 3 lần còn các chữ số khác có mặt đúng 1 lần.
* Ví dụ 3:
Với các chữ số 1,2,3,4,5 có thể lập đ-ợc bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau, trong đó
có hai chữ số 1 và 2 không đứng cạnh nhau.
* Ví dụ 4:
Từ 10 chữ số 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 có thể lập đ-ợc bao nhiêu số gồm 6 chữ số khác nhau sao cho :
a/ Số đó chia hết cho 5.
b/ Trong các chữ số đó có mặt của chữ số 0 và 1.
c/ Nhỏ hơn 600000.
* Ví dụ 5:
Xét các hoán vị của 6 chữ số 1,2,3,4,5,6. Tính tổng S của tất cả các số tạo thành bởi các hoán vị
này.
* Ví dụ 6:

Từ các chữ số 1,2,3,4,5,6 có thể lập đ-ợc bao nhiêu số gồm 6 chữ số khác nhau và trong đó tổng
của 3 chữ số đầu nhỏ hơn tổng của 3 chữ số cuối 1 đơn vị.



Convert by TVDT
16
Bài tập
* Bài 1:
Từ các chữ số 1,2,5,6,7,8 có thể lập đ-ợc bao nhiêu số gồm 3 chữ số khác nhau từ 5 chữ số trên sao
cho:
a/ Số tạo thành là một số chẵn.
b/ Số tạo thành không có mặt của chữ số 7.
c/ Số tạo thành phải có mặt của chữ số 1 và 5.
d/ Số tạo thành nhỏ hơn 278.
*Bài 2:
Cho 8 chữ số 0,1,2,3,4,5,6,7.
a/ Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số khác nhau.
b/ Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 4 chữ số khác nhau.
c/ Có bao nhiêu số tự nhiên chia hết cho 3 gồm 4 chữ số khác nhau .
*Bài 3:
Cho tập
A 1,2,3,4,5,6,7,8

a/ Có bao nhiêu tập con X của A thoả điều kiện chứa 1 và không chứa 2.
b/ Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 5 chữ số khác nhau lấy từ tập A và không bắt đầu bởi số 123.
*Bài 4:
Cho tập
A 0,1,2,3,4,5,6,7
có thể lập đ-ợc bao nhiêu số gồm 5 chữ số khác nhau lấy từ tập A sao

cho: a/ Số tạo thành là một số chẵn.
b/ Một trong 3 chữ số đầu tiên phải bằng 1.
*Bài 5:
Xét những số gồm 9 chữ số, trong đó có 5 chữ số 1 và 4 chữ số còn lại chọn từ 2,3,4,5. Hỏi có bao
nhiêu số nh- vậy nếu
a/ 5 chữ số 1 xếp kề nhau.
b/ Các chữ số đ-ợc xếp tuỳ ý.
*Bài 6:
Cho 7 chữ số 0,2,4,5,6,8,9.
a/ Có bao nhiêu số có 3 chữ số khác nhau lập từ các số trên.
b/ Có bao nhiêu số có 4 chữ số khác nhau, trong đó nhất thiết phải có chữ số 5.

*Bài 7:
Từ 10 chữ số 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 có thể lập đ-ợc bao nhiêu số gồm 7 chữ số
1 2 7
a a a
thoả các điều
kiện chữ số
3
a
là số chẵn ,
7
a
không chia hết cho 5, các chữ số
456
a ;a ;a
đôi một khác nhau.
*Bài 8:
Với các chữ số 0,1,2,3,4,5 ta có thể lập đ-ợc bao nhiêu số :
a/ Gồm 8 chữ số, trong đó chữ số 1 có mặt 3 lần, các chữ số khác có mặt 1 lần.

b/ Gồm 6 chữ số khác nhau và chữ số 2 đứng cạnh chữ số 3.

*Bài 9:
Ta viết các số có 6 chữ số bằng các chữ số 1,2,3,4,5 . Trong đó mỗi số đ-ợc viết có một chữ số đ-ợc
xuất hiện 2 lần còn các chữ số còn lại xuất hiện 1 lần. Hỏi có bao nhiêu số nh- vậy.
* Bài 10:
Cho 7 chữ số 1,2,3,4,5,6,7. Xét tập E gồm 7 chữ số khác nhau viết từ các chữ số đã cho. Chứng minh
rằng tổng S của tất cả các số của tập E chia hết cho 9.
1.2 Các bài toán chọn các đối t-ợng thực tế:

Dạng 1:

Tìm số cách chọn các đối t-ợng thoả điều kiện cho tr-ớc.

* Ví dụ 1:
Có 3 bông hồng vàng, 3 bông hồng trắng và 4 bông hồng đỏ ( các bông hoa xem nh- đôi 1 khác
nhau) ng-ời ta muốn chọn ra một bó hoa gồm 7 bông.
a/ Có bao nhiêu cách chọn các bông hoa đ-ợc chọn tuỳ ý.
b/ Có bao nhiêu cách chọn sao cho có đúng 1 bông màu đỏ.
c/ Có bao nhiêu cách chọn sao cho có ít nhất 3 bông hồng vàng và ít nhất 3 bông hồng đỏ.
* Ví dụ 2:
Một cuộc khiêu vũ có 10 nam và 6 nữ, ng-ời ta chọn có thứ tự 3 nam và 3 nữ để ghép thành 3 cặp.
Hỏi có bao nhiêu cách chọn.
* Ví dụ 3:
Một lớp học có 30 học sinh trong đó có 3 cán sự lớp.ần chọn 3 em trong 30 học sinh trên đi trực
tuần sao cho trong 3 em đ-ợc chọn luôn có 1 cán sự lớp. Hỏi có bao nhiêu cách chọn.
* Ví dụ 4:
Một tr-ờng tiểu học có 50 học sinh tiên tiến, trong đó có 4 cạp anh em sinh đôi. Ng-ời ta cần chọn 3
học sinh trong 50 học sinh trên đi dự hội trại cấp thành phố sao cho không có cặp anh em sinh đôi nào đ-ợc
chọn. Hỏi có bao nhiêu cách chọn.

* Ví dụ 5:
Trong một môn học, giáo viên có 30 câu hỏi khác nhau gồm 5 câu khó , 10 câu trung bình và 15
câu hỏi dễ. Từ 30 câu hỏi đó có thể lập đ-ợc bao nhiêu đề kiểm tra, mỗi đề gồm 5 câu hỏi khác nhau, sao cho
trong mỗi đề nhất thiết phải có đủ 3 loại câu (khó, trung bình và dễ) đồng thời số câu dễ không ít hơn 2.



Convert by TVDT
17
* Ví dụ 6:
Trong mặt phẳng cho đa giác đều H có 20 cạnh. Xét các tam giác có 3 đỉnh đ-ợc lấy từ các đỉnh
của H.
a/ Có bao nhiêu tam giác nh- vậy.
b/ Có bao nhiêu tam giác có đúng 2 cạnh là cạnh của H.
c/ Có bao nhiêu tam giác có đúng 1 cạnh là cạnh của H.
d/ Có bao nhiêu tam giác không có cạnh nào là cạnh của H.

Dạng 2:

Xếp vị trí các đối t-ợng thoả điều kiện cho tr-ớc.

* Ví dụ 7:
Có bao nhiêu cách xếp 5 bạn A,B,C,D,E vào một ghế dài sao cho
a/ Bạn C ngồi chính giữa.
b/ Bạn A và E ngồi hai đầu ghế.
* Ví dụ 8:
Trong một phòng học có 2 dãy bàn dài, mỗi dãy có 5 chỗ ngồi. Ng-ời ta muốn xếp chỗ ngồi cho 10
học sinh gồm 5 nam và 5 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách xếp nếu:
a/ Các học sinh ngồi tuỳ ý.
b/ Các học sinh nam ngồi một bàn và nữ ngồi một bàn.

* Ví dụ 9:
Một hội nghị bàn tròn có 4 phái đoàn các n-ớc : Việt Nam 3 ng-ời, Lào 5 ng-ời, Thái Lan 3 ng-ời
và Trung Quốc 4 ng-ời. Hỏi có bao nhiêu cách xếp chỗ ngồi cho mọi thành viên sao cho ng-ời cùng quốc tịch
thì ngồi gần nhau.
* Ví dụ 10:
Một bàn dài có hai dãy ghế đối diện nhau, mỗi dãy gồm 4 ghế. Ng-ời ta muốn sắp xếp chỗ ngồi
cho 4 học sinh tr-ờng A và 4 học sinh tr-ờng B vào bàn nói trên . Hỏi có bao nhiêu cách xếp trong mỗi tr-ờng
hợp sau:
a/ Bất cứ hai học sinh nào ngồi cạnh nhau hoặc đối diện nhau cũng khác tr-ờng với nhau.
b/ Bất cứ hai học sinh nào ngồi đối diện nhau cũng khác tr-ờng với nhau.
Bài tập
* Bài 1:
Một lớp học có 40 học sinh gồm 25 nam và 15 nữ. Có bao nhiêu cách chọn 4 học sinh sao cho :
a/ Số học sinh nam hoặc nữ là tuỳ ý.
b/ Phải có 2 nam và 2 nữ.
c/ Phải có ít nhất 1 nữ.
d/ Số học sinh nam không v-ợt quá 2.
* Bài 2:
Một lớp học có 40 học sinh cần cử ra 1 ban cán sự gồm 1 lớp tr-ởng, 1 lớp phó và 3 uỷ viên . Hỏi có
mấy cách lập ra ban cán sự lớp.
* Bài 3:
Gia đình ông A có 11 ng-ời bạn trong đó có 1 cặp vợ chồng. ông muốn mời 5 ng-ời đến dự tiệc, trong
đó có cặp vợ chồng có thể cùng đ-ợc mời hoặc không cùng đ-ợc mời. Hỏi ông A có bao nhiêu cách mời.
* Bài45:
Một đội thanh niên tình nguyện có 15 ng-ời, gồm 12 nam và 3 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách phân công
đội thanh niên tình nguyện đó về giúp đỡ 3 tỉnh mền núi , sao cho mỗi tỉnh có 4 nam và 1 nữ.
* Bài 5:
Đội tuyển học sinh giỏi của một tr-ờng gồm 18 em, trong đó có 7 học sinh khối 12, 6 học sinh khối
11 và 5 học sinh khối 10. Hỏi có bao nhiêu cách cử 8 học sinh trong đội đi dự trại hè sao cho mỗi khối có ít
nhất một em đ-ợc chọn.

* Bài 6:
Cho hai đ-ờng thẳng song song. Trên đ-ờng thứ nhất có 10 điểm phân biệt và đ-ờng thẳng thứ hai có
20 điểm phân biệt. Có bao nhiêu tam giác đ-ợc tạo bởi các điểm đã cho.
* Bài 7:
Cho đa giác đều
1 2 2n
A A A (n 2,n )
nội tiếp đ-ờng tròn tâm O. Biết rằng số các tam giác có
các đỉnh là 3 trong 2n điểm
1 2 2n
A ;A ; ;A
nhiều gấp 20 lần số các hình chữ nhật có các đỉnh là 4 trong 2n
điểm
1 2 2n
A ;A ; ;A
. Hãy tìm n.
*Bài 8 :
Một tổ gồm 6 học sinh A,B,C,D,E,F đ-ợc xếp vào 6 chỗ ngồi đã đ-ợc ghi số thứ tự trên một bàn dài.
Tìm số cách xếp các học sinh này sao cho:
a/ A và B ngồi chính giữa các học sinh còn lại.
b/ A và B không ngồi cạnh nhau.
*Bài 9 :
Một học sinh có 12 cuốn sách đôi một khác nhau trong đó có 2 cuốn sách môn toán, 4 cuốn môn văn,
6 cuốn môn anh văn. Hỏi có bao nhiêu cách xếp tất cả các cuốn sách đó lên một kệ dài , nếu mọi cuốn sách
này đ-ợc xếp kề nhau và những cuốn cùng môn học xếp kề nhau.



Convert by TVDT
18

* Bài 10:
Một bàn dài có hai dãy ghế đối diện nhau, mỗi dãy gồm 6 ghế. Ng-ời ta muốn sắp xếp chỗ ngồi cho
6 học sinh tr-ờng A và 6 học sinh tr-ờng B vào bàn nói trên . Hỏi có bao nhiêu cách xếp trong mỗi tr-ờng hợp
sau: a/ Bất cứ hai học sinh nào ngồi cạnh nhau hoặc đối diện nhau cũng khác tr-ờng với nhau.
b/ Bất cứ hai học sinh nào ngồi đối diện nhau cũng khác tr-ờng với nhau.


Đ2. Các bài toán nhị thức, ph-ơng trình bất ph-ơng trình
Hoán vị, tổ hợp & chỉnh hợp
Một số kiến thức cần nhớ
1. Hoỏn v :
. 1 2.1
n
P n n

2. Chnh hp:
!
1 1
!
k
n
n
A n n n k
nk

0
! 1, 1
n
OA

0 kn

3. T hp:
!
!. !
k
n
n
C
k n k

1 ,0
O
n
C k n

k n k
nn
CC

1
1
k k k
n n n
C C C

4. Nh Thc nu tn:
00
. . . .
kn

n
k n k k k k n k
nn
kk
a b C a b C a b

Tng cú n+1 s hng .bc ca mi s hng l n-k+k=n
S hng tng quỏt
1

k n k k
kn
T C a b

Các ví dụ
I. Giải pt, hệ pt, bất ph-ơng trình, hệ bất ph-ơng trình về đại số tổ hợp
*
Ví dụ 1. Gii phng trỡnh: a,
1 2 3 2
6. 6. 9 14
x x x
C C C x x
b,
21
5 5 5
25
x x x
C C C

*

Ví dụ 2. Gii phng trỡnh:
5 6 7
5 2 14
x x x
C C C

*
Ví dụ 3. Hóy tỡm s nguyờn dong tha mó phng trỡnh
a,
4 3 2
1 1 2
5
0
4
n n n
C C A
ĐS: n=11
b,
2 2 2 3 3 3
. 2 100
nn
n n n n n n
C C C C C C
c,
0 1 2
2 4 2 243
nn
n n n n
C C C C

*
Ví dụ 4.
22
72 6 2
x x x x
P A A P

*
Ví dụ 5. Gii h phng trỡnh
2 5 90
5 2 80
yy
xx
yy
xx
AC
AC
ĐS: x=5 ,y=2
*
Ví dụ 6. Gii bpt: a)
2
1
2
3
10
n
n
C
n
C

b)
31
11
14 1
n
nn
A C n
ĐS: a)
2
5
3
n

7
)4
2
bn

*
Ví dụ 7. Gii bt phng trỡnh:
4
4
143
)
2 ! 4
n
n
A
a
nP

4
34
1
24
)
23
n
n
nn
A
b
AC

ĐS:
) 9,5 2,5an

)1 5bn

*
Ví dụ 8. Gii bt phng trỡnh: a,
4 3 2
1 1 2
5
0
4
x x x
C C A
b,
2 2 3

2
16
10
2
x x x
A A C
x

ĐS: a,
5 11x
b,
4x

Bài tập
1. Giải các ph-ơng trình sau:
1/
22
x 2 x
2A 50 A
2/
x x x
4 5 6
1 1 1
C C C




Convert by TVDT
19

2. Tìm k sao cho các số
k k 1 k 2
7 7 7
C ;C ;C
theo thứ tự lập thành một cấp số cộng.
3. Giải các bất ph-ơng trình sau:
1/
4 3 2
n 1 n 1 n 2
5
C C A 0, n
4
2/
3 n 2
nn
A 2C 9n

4. Giải các hệ ph-ơng trình sau:
1/
yy
xx
yy
xx
2A 5C 90
5A 2C 80
2/
y y 1 y 1
x 1 x x
C : C : C 6 : 5 : 2

5. Giải các ph-ơng trình sau:
1/
22
x x x x
P A 72 6(A 2P )
2/
x x x
5 6 7
1 2 14
C C C

3/
2 2 2 2
n 1 n 2 n 3 n 4
C 2C 2C C 149
4/
1 2 3 2
xxx
C 6C 6C 9x 14x


6.

Giải các bất ph-ơng trình sau:
1/
x3
x1
4
x 1 3
C

1
A 14P
2/
4 3 2
x 1 x 1 x 2
5
C C A 0
4

3/
2 2 3
2x x x
16
A A C 10
2x
4/
2 4 2x 2003
2x 2x 2x
C C C 2 1

7.

Giải các PT và hệ PT sau:
1/
y y 1
xx
y y 1
xx
C C 0
4C 5C 0

2/
m 1 m m 1
n 1 n 1 n 1
C : C : C 5 : 5 : 3

8. Giải bất ph-ơng trình
2
3
5
60
)!(
k
n
n
A
kn
P
với 2 ẩn n, k thuộc N (TNPT 2003 - 2004)
9. Giải hệ ph-ơng trình
2:5:6::
11
1
y
x
y
x
y
x
CCC
(TNPT 2002 - 2003)

10. Giải bất ph-ơng trình
12
20032
2
4
2
2
2
x
xxx
CCC

11. Tìm số n nguyên d-ơng thoả mãn bất ph-ơng trình
nCA
n
nn
9.2
23
ĐS: n = 4, n = 3
12. Tìm số tự nhiên n thoả mãn:
100 2.
333222 n
nnnn
n
nn
CCCCCC
.
Tìm số tự nhiên n biết (KA 2005)
20052).12 (2.42.32.2
12

12
24
12
33
12
22
12
1
12
n
n
n
nnnn
CnCCCC

II. Tỡm 1 s hng hoc h s ca mt s hng
*
Ví dụ 1.Tỡm h s ca s hng cha x
4
trong khai trin
10
1
x
x

*
Ví dụ 2. Tỡm s hng x
31
, Trong khai trin
40

2
1
x
x

*
Ví dụ 3. Tỡm s hng khụng cha x trong khai trin
7
3
4
1
x
x

*
Ví dụ 4. Trong khai trin
28
3
15
n
x x x
Tỡm s hng khụng cha x bit
12
79
n n n
n n n
C C C

*
Ví dụ 5. Tỡm h s ca s hng cha x

43
trong khai trin
21
5
32
1
x
x




Convert by TVDT
20
*
Ví dụ 6. Bit trong khai trin
1
3
n
x
Cú h s ca s hng th 3 bng 5. Hóy tớnh s hng
ng gia trong khai trin
*
Ví dụ 7. Cho khai trin
3
32
3
n
x
x

. Bit tng ca ba s hng u itờn trong khai trin bng 631. Tỡm h
s ca s hng cú cha x
5

*
Ví dụ 8. Bit tng h s ca ba s hng u tiờn trong khai trin
3
15 28
1
n
xx
x
bng 79 .Tỡm s hng
khụng cha x
*
Ví dụ 9. tỡm h s ca
62
xy
trong khai trin
10
x
xy
y

*
Ví dụ 10. Trong khai trin .
12
2
3
xy xy

. Tỡm s hng cha x v y sao cho s m ca x v y l cỏc s
nguyờn dng.
*
Ví dụ 11. Tỡm cỏc hng t l s nguyờn trong khai trin
19
3
32

*
Ví dụ 12.
a, Cho khai trin
101
1 x
. Trong cỏc h s ca cỏc s hng .Tỡm h s ln nht
b, Cho khai trin .
30
12x
.Tỡm h s ln nht trong cỏc h s
Bài tập
1. Biết rằng
100
10010
100
)2( xaxaax

a) CMR: a
2
< a
3
.

b) Với giá trị nào của k thì a
k
< a
k + 1
(0k99)
2. Tìm k thuộc {0, 1, . 2005} sao cho:
k
C
2005
đặt GTLN.
3. Tìm số nguyên n>1 thoả mãn đẳng thức:
1262
2
n
2
nnn
APAP
.
4. Tính giá trị của biểu th-c
)!1(
3AA
3
n
4
1n
n
M
n là số nguyên d-ơng Biết rằng:
14922
2

4
2
3
2
2
2
1 nnnn
CCCC

5. Tìm hệ số của x
7
trong khai triển thành đa thức của (2 - 3x)
2n
.
6. Giả sử
n
n
n
xaxaax )21(
10
và
729
10 n
aaa
.
Tìm n và số lớn nhất trong các số:
n
aaa , ,,
10

7. Giả sử n là số nguyên d-ơng và
n
n
n
xaaax )1(
10

Biết rằng k nguyên (0<k<n) sao cho
2492
11 kkk
aaa
Tính n? ĐS: n = 10
8. Giả sử n là số nguyên d-ơng và
11
10
11
1110
)2()1( axaaxxx
. Hãy tính hệ số a
5
ĐS 672
9. Tìm hệ số của số hạng chứa x
8
trong khai triển nhị thức. Biết:
)3(7
3
1
4
nCC
n

n
n
n
ĐS: 495
10. Tìm hệ số của số hạng chứa x
8
trong khai triển nhị thức
8
2
)1(1 xx
.
11. Cú bao nhiờu hng t l s nguyờn trong khai triin
124
4
35

12. Cú bao nhiờu hng t l s nguyn trong khai trin
64
3
4
73




Convert by TVDT
21
13. Khai trin a thc
9 10 14
14

0 1 14
1 1 1 P x x x x A A x A x
. Tớnh A
9

14. Cho khai trin :
1
3
2
22
n
x
x
. Bit
31
5
nn
CC
v s hng th 4 bng 20n .Tựm x v n
15. Trong khai trin :
3
3
n
ab
ba
tỡm s hng cha a,b cú s m bng nhau
16. Tỡm h s ln nht trong cỏc h s ca khai trin
40
12
33

x

17. Bit tng cỏc h s trong khai trin
12
n
x
bng 6561. Tỡm h s ca x
4

18. Bit tng cỏc h s trong khai trin
2
1
n
x
bng 1024 .Tỡm h s ca x
12

19. Tỡm h s x
8
trong khai trin :
5
3
1
n
x
x
Bit
1
43
73

nn
nn
C C n

III. Chứng minh đẳng thức
*
Ví dụ 1.
a, (ĐHBK HN - 1998). Chứng minh rằng:
16 0 15 1 16 2 16 16
16 16 16 16
3 3 3 2C C C C

b, (ĐHYD TP HCM - 2000). Chứng minh rằng:
b
1
,
0 1 2
2
nn
n n n n
C C C C

b
2
,
1 3 5 2 1 0 2 4 2
2 2 2 2 2 2 2 2

nn
n n n n n n n n

C C C C C C C C

c, Chứng minh rằng:
2005 0 2004 1 2003 2 2 2002 3 3 2005 2005
2005 2005 2005 2005 2005
7 7 .6. 7 .6 . 7 .6 . 6 1C C C C C

*
Ví dụ 2.
a, (ĐHAN-CS khối A - 1998). Chứng minh rằng:
2 3 4 2
2.1. 3.2. 4.3. .( 1). ( 1).2 , , 2.
nn
n n n n
C C C n n C n n n n

b, (ĐH Hằng Hải - 1997). Chứng minh rằng:
1 0 2 1 3 2 1 1 2 3 3 1
.4 . ( 1).4 . ( 2).4 . ( 1) . 4 2 .2 , , 1.
n n n n n n
n n n n n n n n
n C n C n C nC C C C n C n n
*
Ví dụ 3.
a, (ĐH Giao thông vận tải - 1996). Chứng minh rằng:
2 3 1
0 1 2
2 2 2 1 ( 1)
2 ( 1)
2 3 1 1

nn
nn
n n n n
C C C C
nn

b, (ĐH Mở Hà Nội - 1999). CMR:
1
0 1 2
1 1 1 1 2 1
, , 2.
3 6 9 3 3 3( 1)
n
n
n n n n
C C C C n n
nn

*
Ví dụ 4.
a, Chng minh
1
1
mm
n m m n
m
CC
n

b, Cho n,m,k l cỏc s nguyờn dng v

,m n k m
Chng minh:
m k k m k
n m n n k
C C C C

c, Cho n nguyờn dng. Chng minh rng:
11
2 2 2 2
1
2
n n n
n n n
C C C

d, Cho n2 v n nguyờn . Chng minh:
22
1nn
C C n

e, Cho n2 v n nguyờn .Chng minh:
2 2 2
23
1 1 1 1
1
n
n
A A A
=T
HD:

2 2 ! 3 2 ! 2 !

2! 3! !
n
T
n
,
1 1 1 1 1 1 1
1
1 2 2 3 1
T
n n n

*
Ví dụ 5. (S dng tớnh cht:
1
1
k k k
n n n
C C C
)



Convert by TVDT
22
a, Chứng minh
1 2 3
3
3 3 3

k k k k k
n n n n n
C C C C C k n

b, Chứng minh :
1 2 3 2 3
23
2 5 4
k k k k k k
n n n n n n
C C C C C C

c, Cho
4 kn
.Chứng minh rằng
1 2 3 4
4
4 6 4
k k k k k k
n n n n n n
C C C C C C

d, .Cho
1 mn
.Chứng minh rằng
1 1 1 1
1 2 1

m m m m m
n n n m m

C C C C C

*
VÝ dô 6. (Khai triển một biểu thức hoặc, hai biểu thức bằng hai cách khác nhau sau đó đồng nhất hệ số )
a, Chứng minh rằng:
0 1 1 6 6
6 6 6 6
. . .
k k k k
n n n n
C C C C C C C

b, Chứng minh:
2 2 2
01
2

nn
n n n n
C C C C

c, Chứng minh.
2 2 2
01
2
1 1
nn
nn
n n n n
C C C C

d, Chứng minh rằng:
0 1 1 0
. . .
p p p p
n m n m n m n m
C C C C C C C

HD: a,
6
1 . 1
n
xx
!
6
1
n
x
! so sánh
k
x

b,
00
1 . 1
nn
nn
k k k n k
nn
kk

x x C x C x
Hệ số của x
n
là
2 2 2
01

n
n n n
C C C

2
2
2
0
1
n
n
kk
n
k
x C x
Hệ số x
k
là
2
k
n
C

c,
2
22
2
1 . 1 1
n
nn
x x x

d, Xét
11
nm
xx
=! Hệ số của x
p
,1≤p <n ,1≤p<m; Trong khai triển
1
mn
x
Hệ số của x
p
là
Bµi tËp
1. a, (§HQG Hµ Néi khèi D - 1997). Chøng minh r»ng:
0 1 2 10 10
10 10 10 10
2C C C C

b, Cho:
0 n

. Chøng minh r»ng:
0 1 2
( 1) 0
nn
n n n n
C C C C

2. . (§HTCKT - Hµ Néi - 2000).
Chøng minh r»ng:
1 2 3 1
2 3 .2 , , 1
nn
n n n n
C C C nC n n n

3. (§HKTQD - 2000).
Chøng minh r»ng:
1 1 2 2 3 3 1
1.2 2.2 3.2 .3 , , 1
n n n n n
n n n n
C C C nC n n n

4. (§H LuËt Hµ Néi - 1997).
Chøng minh r»ng:
0 1 2
1 1 1 1 1
( 1)
2 4 6 2 2 2 2
nn

n n n n
C C C C
nn

5. (§H §µ N½ng - 2001).
Chøng minh r»ng:
2 3 1 1
0 1 2
2 2 2 3 1
2 ,
2 3 1 1
nn
n
n n n n
C C C C n
nn

6. (§H N«ng nghiÖp - 1999).
Chøng minh r»ng:
0 1 2 19
19 19 19 19
1 1 1 1 1

2 3 4 21 420
C C C C

7. (Bé ®Ò tuyÓn sinh c©u IVa, ®Ò 81).
Chøng minh r»ng:
1 2 3
1 1 1 ( 1) (2 )!!

1
3 5 7 2 1 (2 1)!!
n
n
n n n n
n
C C C C
nn

8. (§HQG Tp HCM khèi D - 1997).
Cho:
4
,
kn
kn
. Chøng minh r»ng:
1 2 3 4
4 6 4 4
k k k k k k
n n n n n n
C C C C C C

9. Chøng minh r»ng:
0 1 1 0
2

k k k k
n n n n n n n
C C C C C C C

Convert by TVDT
23
Tõ ®ã suy ra:
2 2 2 2
0 1 2 100 100
100 100 100 100 200
C C C C C

10. Chøng minh r»ng:
a,
9 8 7 6 5 9
10 10 10 10 10 14
4 6 4C C C C C C

b,
2 2 2 2
0 1 2 1999
1999 1999 1999 1999
0C C C C