Đề thi chọn HSG cấp trường môn Toán 11 - 2013

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG
MÔN TOÁN. KHỐI 11. NĂM HỌC 2012- 2013
Thời gian : 150 phút (Không kể thời gian giao đề)
( Đề thi gồm 01 trang gồm có 06 câu)
Câu 1(4 điểm) Giải các phương trình sau:
a.
( )
12sin32
2
sin =−+






+ xx
π
π
b.
3
cos)12cos2(3cos
π
=+xx
Câu 2 (4 điểm)
a. Tìm điều kiện của m để phương trình sau có 4 nghiệm phân biệt theo thứ tự lập thành cấp số
cộng:
012)1(2
24
=+++− mxmx
b. Biết tổng các hệ số bậc chẵn trong khai triển của

n
x)1( +
là 512. Tìm hệ số của
5
x
trong khai
triển
( )
n
xx 31
2
+
.
Câu 3 (2 điểm) Cho dãy số
( )
n
u
xác định như sau:





≥+=
=
−
2;2
2
1
1

nuu
u
nn
Chứng minh rằng:
1
2
cos2
+
=
n
n
u
π
Câu 4 (2 điểm) Với các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 xét tập hợp E gồm các số có 7 chữ số khác nhau
viết từ các số đã cho. Chứng minh rằng tổng S tất cả các số của tập E chia hết cho 9.
Câu 5 (4 điểm)
a. Tính giới hạn sau:








++−
++
+
+
+

∞→
1212
1

53
1
31
11
lim
nnn
n
b. Chứng minh rằng phương trình :
0324
24
=−−+ xxx
có ít nhất hai nghiệm trái dấu trong
khoảng (-1 ; 1).
Câu 6 (4 điểm)
Cho tứ diện ABCD có AB = CD = a, AC = BD = b, AD = BC = c.
a. Chứng minh rằng các đoạn nối trung điểm các cặp cạnh đối thì vuông góc với hai cạnh đó.
b. Tính cosin của góc hợp bởi các đường thẳng AC và BD theo a, b, và c.
Hết
SỞ GD & ĐT THANH HOÁ
TRƯỜNG THPT NGA SƠN
ĐÁP ÁN MÔN TOÁN KỲ THI CHỌN HSG CẤP TRƯỜNG
KHỐI 11. NĂM HỌC 2012- 2013
Câu ý Nội dung Điểm
1 a
( )
Zk

kx
kx
x
xx
xx
∈




=
+=
⇔
==






−⇔
=+⇔
=−+






+

,
3
3
cos
2
1
3
2cos
12sin32cos
12sin32
2
sin
π
π
π
ππ
π
π
0.5
0.5
0.5
0.5
b
( )
( )
213cos2cos25cos2
13cos22cos.3cos4
1)12cos2(3cos2
1
3

cos)12cos2(3cos
=++⇔
=+⇔
=+⇔
=+
xxx
xxx
xx
xx
π
+ Xét
π
kxx =⇔= 0sin
không phải là nghiệm của phương trình. Nhân
2 vế của (2) với sinx và biến đổi ta được:
Zk
k
x
k
x
xx ∈






+=
=
⇔= ,

7
2
7
5
2
sin6sin
ππ
π
0.5
0.5
1
2 a
Đặt :
012)1(2
24
=+++− mxmx
(1)
Đặt :
2
xt =
khi đó (1) trở thành:
( )
2012)1(2
2
=+++− mtmt
Phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt khi (2) có 2 nghiệm dương
phân biệt:
.0
21
tt <<

ĐK:





−>
≠
⇔





>+=
>+=
>=∆
′
2
1
0
012
0)1(2
0
2
m
m
mP
mS
m

Theo yêu cầu bài toán ta có:
12
9tt =
, từ đó giải ra được m = 4; m= -4/9.
Khi đó:
+ m= 4 thì 4 nghiệm của pt đã cho là : -3; -1; 1; 3.
+ m= - 4/9 thì 4 nghiệm của pt đã cho là: -1; -1/3; 1/3; 1
ĐS: m=4; m= - 4/9
0.5
0.5
0.5
0.5
b
SỞ GD & ĐT THANH HOÁ
TRƯỜNG THPT NGA SƠN
Ta có:
( )
n
n
n
nnn
n
CxCxxCCx ++++=+ 1
2210
Cho:
nn
nnn
CCCx 2 :1
10
=+++=

Cho:
( )
01 :1
10
=−++−−=
n
n
n
nn
CCCx
Suy ra :
1220
2
−
=++++
nk
nnn
CCC
Theo giả thiết:
1025122
91
=⇒==
−
n
n
Từ đó ta có:
( )
2
10
0

10
10
0
10
2
10
2
.33.31
+
==
∑∑
==+
kk
k
kkk
k
k
xCxCxxx
Ta được hệ số của x
5
là 3240
0.5
0.5
0.5
0.5
3
Ta có :
⇒===
2
1

2
cos.2
2
2
.22
π
u
đúng với n = 1.
Giả sử :
1
2
cos2
+
=
k
k
u
π
. Ta đi chứng minh:
2
1
2
cos2
+
+
=
k
k
u
π

Thật vậy:
2
22
2
11
1
2
cos2
2
cos2
2
cos2.2
2
cos12
2
cos222
+
++++
+
=
==






+=+=+=
k
kkkk

kk
uu
π
ππππ
Vì
2
2
0
2
ππ
<<
+k
nên
0
2
cos
2
>
+k
π
Vậy ta luôn có:
1
2
cos2
+
=
n
n
u
π

0.5
0.5
0.5
0.5
4 Từ tập E ta có thể lập được 7! = 5040 số gồm 7 chữ số khác nhau.
Nhận xét rằng các số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 xuất hiện ở các hàng đơn vị,
hàng chục, hàng trăm, hàng ngàn …720 lần, từ đó
( ) ( )
9)10 10.(28.720
7654321720.10 7654321720.10
06
06
++=
=++++++++++++++=S
Vì
9720 
0.5
0.5
0.5
0.5
5 a
.
2
2
2
112
lim
2
1212 5735311
lim

1212
1

53
1
31
11
lim
=
−+
=








−−+++−+−++−
=








++−

++
+
+
+
∞→
∞→
∞→
n
n
nn
n
nnn
n
n
n
1
1
b
Xét hàm số :
324)(
24
−−+= xxxxf
xác định trên R nên liên tục trên R.
Ta có : f(-1) = 4; f(0) = -3; f(1) = 2.
Vậy f(-1) f(0) < 0 nên phương trình có ít nhất 1 nghiệm âm trong
khoảng (-1; 0)
Và f(0) f(1) < 0 nên phương trình có ít nhất 1 nghiệm dương trong
khoảng (0; 1)
0.5
0.5

0.5
0.5
(ĐPCM)
6 a A
I K
D
B
J
C
Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD;
Hai tam giác ABC và ABD bằng nhau vì :





=
=
ADBC
BDAC
chungAB
Suy ra 2 trung tuyến tương ứng bằng nhau : CI = DI
Tam giác ICD cân tại I nên trung tuyến IJ cũng là đường cao nên
CDIJ ⊥
.
Tương tự :
JABJAJBACDBCD ∆⇒=⇒∆=∆
cân tại J nên trung tuyến JI
cũng là đường cao
ABJI

⊥⇒
Vậy IJ vuông góc với hai cạnh đối AB và CD.
Chứng minh tương tự cho các cặp cạnh đối còn lại.
0.5
0.5
0.5
0.5
b Gọi K là trung điểm AD.
Ta có :
22
;
22
bAC
JK
bBD
IK ====
.
Trong tam giác ABC có đường trung tuyến CI có:
4
22
2
2
222
2
2
222
acb
CI
AB
CICBCA

−+
=⇒+=+
Tam giác IJC vuông tại J:
=−=
222
CJCIIJ

244
22
2222222
acbaacb −+
==
−+
Áp dụng định lí cosin vào tam giác IJK:
2
22
222
cos
cos 2
b
ca
JKI
JKIKJIKKJIKIJ
−
=⇔
−+=


Mà IK//BD, KJ//AC mà góc hợp bởi hai đường thẳng AC và BD là
góc nhọn

Nên
( )
2
22
cos,
ˆ
cos
b
ca
JKIBDCA
−
==

0.5
0.5
0.5
0.5