đề thi chọn HSG cấp trường môn toán 7 THCS Thị Trấn Cẩm Thuỷ

TRƯỜNG THCS KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG
THỊ TRẤN CẨM THUỶ LỚP 7 THCS - Năm học 2010 – 2011
____________________________ __________________________________________________________________
MÔN : TOÁN
Thời gian làm bài 120 phút (không kể thời gian giao đề).
Câu 1: (3.0 điểm)
Thực hiện tính:
A =
41
36
5,0
24
13
41
5
24
11
−++−
B =






−−







−
5
2
.
7
2
2
5
2
.
7
2
7
Câu 2: (3.0 điểm)
a. Tìm x, y biết:
y
x
+
+
7
4
=
7
4
và x + y = 22
b.
327
2+x
+

326
3+x
+
325
4+x
+
324
5+x
+
5
349+x
= 0
Câu 3: (1.0 điểm)
Chứng minh rằng:
1 1 1 1
10
1 2 3 100
+ + + + >
Câu 4: (2 điểm)
a.Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A =
4)2(
3
2
++x
b.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: B = (x+1)
2
+ (y + 3)
2
+ 1
Câu 5. (4 điểm)

a) Tìm các số a, b, c biết rằng :
2 3 4
a b c
= =
và a + 2b – 3c = -20
b) Có 16 tờ giấy bạc loại 20 000đ, 50 000đ, 100 000đ. Trị giá mỗi loại tiền trên đều bằng
nhau. Hỏi mỗi loại có mấy tờ?
Câu 6: (4.0 điểm)Cho tam giác ABC có A = 90
0
, B = 50
0
.Đường thẳng AH vuông góc với BC
tại H.Gọi d là đường thẳng vuông góc với BC tại B.Trên đường thẳng d thuộc nửa mặt phẳng
bờ BC không chứa điểm A lấy điểm D sao cho BD = HA (Hình vẽ bên).
a. Chứng minh ∆ ABH = ∆ DHB.
b. Tính số đo góc BDH.
c. Chứng minh đường thẳng DH vuông góc
với đường thẳng AC.
Câu 7 :( 3 điểm ) Cho tam giác ABC, các trung tuyến
AM, BN, CP.
Chứng minh rằng : AB + AC + BC <
4
( )
3
AM BN CP+ +
_____________________ Hết _____________________
A
H
B
C

D
TRƯỜNG THCS KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG
THỊ TRẤN CẨM THUỶ LỚP 7 THCS - Năm học 2010 – 2011
____________________________ __________________________________________________________________
MÔN : TOÁN
ĐÁP ÁN
Câu 1:
A =
5,0
41
36
41
5
24
13
24
11
+−−+
(0,5đ)

5,0
41
41
24
24
+−=
(0,5đ)
= 1 - 1 + 0,5
= 0,5 (0,5đ)







−−=
7
2
2
7
2
7
5
2
B
(0,5đ)







−−+−=
7
2
2
7
2
7

5
2
(0,5đ)

2
.5
5
= −
= - 2 (0,5đ)
Câu 2:
a) ⇒
x728
+
=
y428 +
0,5 đ
⇒
7474 +
+
==
yxyx
0,5 đ
⇒
2
11
22
74
===
yx
⇒

14;8 == yx
0,5 đ
b, (1)
04
5
349
1
324
5
1
325
4
1
326
3
1
327
2
=−
+
++
+
++
+
++
+
++
+
⇔
xxxxx

(0,5 đ )

0)
5
1
324
1
325
1
326
1
327
1
)(329( =+++++⇔ x
(0,5đ)
3290329 −=⇔=+⇔ xx
(0,5 đ )
Câu 3: (1 đ)

;
10
1
1
1
>
10
1
2
1
>

;
10
1
3
1
>
; … ;
10
1
100
1
=
. (0,5 đ)
Vậy:
10
10
1
.100
100
1

3
1
2
1
1
1
=>++++
(0,5 đ)
Câu 4: a.Tìm max A.

Ta có: (x + 2)
2

≥
0
⇒
(x = 2)
2
+ 4
≥
4
⇒
A
max
=
4
3
khi x = -2 (1 đ)
b.Tìm min B.
Do (x – 1)
2

≥
0 ; (y + 3)
2

≥
0
⇒
B

≥
1
Vậy B
min
= 1 khi x = 1 và y = -3 (1 đ)
Câu 5 a)
2 3 4
a b c
= =

⇔

2 3 2 3 20
5
2 6 12 2 6 12 4
a b c a b c
+ − −
= = = = =
+ − −
=> a = 10, b = 15, c =20. 2đ
b) Gọi số tờ giấy bạc 20 000đ, 50 000đ, 100 000đ theo thứ tự là x, y, z ( x, y, z
∈
N
*
) 0,5đ
Theo bài ra ta có: x + y + z = 16 và 20 000x = 50 000y = 100 000z 0,5đ
Biến đổi: 20 000x = 50 000y = 100 000z
=>
20000 50000 100000 16
2

100000 100000 100000 5 2 1 5 2 1 8
x y z x y z x y z+ +
= = ⇔ = = = = =
+ +
0,5đ
Suy ra x = 10, y = 4, z = 2.
Vậy số tờ giấy bạc loại 20 000đ, 50 000đ, 100 000đ theo thứ tự là 10; 4; 2. 0,5đ
Câu 6: (4đ)
a. Xét ∆ ABH và ∆ DHB có:

∠ = ∠B H
(= 90
0
)
HB chung
BD = HA (0,75đ)
⇒ ∆ ABH = ∆ DHB (c-g-c) (0,25đ)
b. Xét ∆ ABH có
∠B
= 50
0
và
∠H
= 90
0
⇒
∠BAH
= 180 - (
∠ + ∠B H
) = 40

0
.(0,75đ)
Từ ∆ ABH = ∆ DHB có:

∠ = ∠BAH BDH
⇒
∠BDH
= 40
0
. (0,75)
c. Từ ∆ ABH = ∆ DHB có:

∠ = ∠ABH DHB
⇒ AB song song với DH. (0,75đ)
AB ⊥ AC
⇒ DH ⊥ AC (0,75đ)
Câu 7(3đ): Ta có AB < AG + BG
BC < BG + CG
AC < AG + CG (1đ)
=>AB + BC + AC < 2 (AG + BG + CG ) (0,5đ) A
hay : AB + BC + AC < 2 (
2 2 2
)
3 3 3
AM BM CP+ +
(1đ) P N
=> AB + BC + AC <
4
( )
3

AM BN CP+ +
(0,5đ) G
B M C
A
H
B
C
D