Đề thi HSG Lam sơn Thanh hóa 2013.2014

Kỳ thi tuyển sinh THPT chuyên lam sơn năm 2006
Môn thi: Toán (Dùng cho tất cả các môn chuyên)
Ngày 21/6/2006 :Thời gian làm bài 150 phút,
không kể thời gian giao đề
Câu 1(2điểm):
A =
2
4 10 2 2 20
( 1)( 2) ( 1)( 3) ( 2)( 30
a a a
a a a a a a
+ +
+ +
+ + + + + +
1.Tìm điều kiện của a để A có nghĩa
Để A có nghĩa thì (a+1)(a+2)(a+3)#0a#-1, a#-2 và a#-3
2.Rút gọn A:
Ta có:
A=
2
4 ( 3) (10 2)( 2) (20 20)( 1)
( 1)( 2)( 3)
a a a a a a
a a a
+ + + + + + +
=
+ + +
=
3 2 2 2
4 12 10 22 4 2 22 20)
( 1)( 2)( 3)

a a a a a a
a a a
+ + + + + + +
+ + +
=
3 2
4( 6 11 6)
4
( 1)( 2)( 3)
a a a
a a a
+ + +
=
+ + +
Câu2 (2điểm):
Cho phơng trình bậc 2: x
2
4x +m =0 (1)
1.Giải phơng trình khi m=-60
2. Xác định các giá trị của m sao cho phơng trình có 2 nghiệm x
1
,x
2
(x
1
<x
2
);thoả
mãn điều kiện x
2

2
- x
1
2
=8
2.để phơng trình có 2nghiệm phân biệt thoả mãn điều kiện x
2
2
- x
1
2
=8 cần phải
có
>0

4-m>0

m<4
áp dụng định lý Viet ta có;
x
1
+x
2
=4
x
1
. x
2
= m
Do đó: x

2
2
- x
1
2
=8 (x
1
+x
2
)(x
2
-x
1
)=8 x
2
-x
1
=2
x
2
-x
1
=2
x
1
+x
2
=4 x
1
=1; x

2
=3 Thay vào ta có m=3
Vậy giá trị cần tìm là m=3
Câu 3 (2 điểm):
Cho hệ phơng trình : x+m
2
y=3
x
2
+y
2
=2
1.Giải hệ khi m=2
2.Tìm tất cả các giá trị của mđể hệ có nghiệm (x
o
,y
o
) sao cho y
o
=1
Vì y
o
=1 là nghiệm nên hệ đã cho trở thành
x+m
2
=3 (1)
x
2
=1 (2)
Từ (2) x=1

Đề thi chính
thức
{
{
{
{
Với x=1
m
2
=2 m=
2
Với x=-1 m
2
=4 m= 2
Vậy các giá trị cần tìm là m
{ }
2; 2
Câu 4(3 điểm):
Cho ABC có 3 góc nhọn;AD và CE là 2 đờng cao cắt nhau tại H; O làđiểm
cách đều 3 đỉnh ABC.Gọi M là điểm đối xứng của B qua O; Ilà giao điểm của
BMvà DE;K là giao điểm của Acvà HM
a.CMR Các tứ giác AEDC và CMID nội tiếp
b.C/M ; OK AC
c.Cho AOK=60
0
CMR HBO cân
ABC ;A, B, C <90
0
a)ADBC (gt)
CEAB (gt)

E,D cùng nhìn AC dới một góc
vuông
Tứ giác AEDC nội tiếp
*)Ta cần phải c/m
IDC + IMC =180
0
IDA +ADC + IMC =180
0
IDA + IMC =90
0
(vì ADC =90
0
)
Ta có : EDA=ECA (cùng chắn cung AE)
BMC=BAC (cùng chắn cung BC)
EDA+BMC = ECA + BAC =90
0
Hay IDA + IMC =90
0
Tứ giác CMID nội tiếp
b)Do O là tâm của đờng tròn ngaọi tiếp ABC do đó BM là đờng kính
BAM =BCM =1v
AH//MC (vì cùng vuông góc BC) và MA//CH (vì cùng vuông góc AB)
AHCM là hình bình hành KA=KC mà OA=OC OKAC
c) Ta có OB=OM ;KM=KN OK//=
1
2
HB
(1)
Xét KAO có AKO =1v ; AOK=60

0
OAK=30
0

Do đó: OK=
1
2
OA
(2)
Từ(1) và (2) OA=HB mà OA=OB HB=OB Vậy HBO cân tại B.
Câu 5(1điểm):
Cho 3 số x,y,z khác không và thoã mãn
1 1 1
0
x y z
+ + =
Hãy tính:
O
.
A
B
C
D
E
M
H
I
K

A =

2 2 2
xy yz zx
z x y
+ +
3 3 3
1 1 1
xyz
x y z

+ +
ữ

Ta có:
1 1 1 1 1 1
0
x y z x y z
+ + = + =

3
3
1 1 1
x y z

+ =
ữ

Do đó
3
3 3 3 3
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

3 *
X Y Z X Y X Y X Y Z

+ + = + + +
ữ ữ

=
3 3
1 3 1
Z XYZ Z
+ +
Thay vào ta đợc:
A=XYZ*
3
XYZ
=3
Đề thi tuyển sinh THPT Lam Sơn năm 2006
Môn toán (Dùng cho các thí sinh thi vào chuyên Nga -Pháp)
Ngày thi 22/6/2006 Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian giao đề)
Câu 1(1,5 điểm):
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức y=
2
2
2 3
2
x x
x
+ +
+
(1)

Biểu thức xác định với mọi xR
Cách 1: (1)
2 2
2 2 3yx y x x+ = + +
(y-1)x
2
-2x +2y-3 =0 (2)
Phơng trình (2) có nghiệm 0 =1-(y-1)(2y+3)=-2y
2
-y+40
y#1
2y
2
+y-40
y#1
=
{

{