Chuyên đề phương trình ,bất phương trình,hệ phương trình vô tỷ

PH NG TRÌNH-BÂT PH NG TRÌNH-H PH NG TRÌNH VÔ TƯƠ ƯƠ Ệ ƯƠ Ỷ
A. Ph ng trình - b t ph ng trình ch a c n th cươ ấ ươ ứ ă ứ
I. Ph ng pháp bi n i t ng ngươ ế đổ ươ đươ
1. Ki n th c c n nh :ế ứ ầ ớ
§
2. Các d ng c b n:ạ ơ ả
* D ng 1:ạ (Không cần
đặt điều kiện)
* D ng 2:ạ xét 2 trường
hợp:
TH1:
TH2:
* D ng 3:ạ
Lưu ý: + g(x) thường là nhị thức bậc
nhất (ax+b) nhưng có một số trường
hợp g(x) là tam thức bậc hai
(ax
2
+bx+c), khi đó tuỳ theo từng bài ta
có thể mạnh dạn đặt điều kiện cho rồi bình phương 2 vế đưa phương trình−bất phương trình về dạng quen
thuộc.
+ Chia đa thức tìm
nghiệm: Phương trình có
nghiệm x=
α
thì chia vế trái cho cho x–
α
ta được , tương tự cho bất phương trình.
* Phương trình−bất phương trình bậc 3: Nếu nhẩm được 1 nghiệm thì việc giải theo hướng này là đúng,
nếu không nhẩm được nghiệm thì ta có thể sử dụng phương pháp hàm số để giải tiếp và nếu phương pháp hàm

số không được nữa thì ta phải quay lại sử dụng phương pháp khác.
* Phương trình−bất phương trình bậc 4, lúc này ta phải nhẩm được 2 nghiệm thì việc giải phương trình
theo hướng này mới đúng, còn nếu nhẩm được 1 nghiệm thì sử dụng như phương trình−bất phương trình bậc 3
và nếu không ta phải chuyển sang hướng khác.
Ví d 1:ụ Giải phương trình: (ĐH Khối
D – 2006)
Biến đổi phương trình thành: (*), đặt
điều kiện rồi bình phương 2 vế ta được:
ta dễ dạng nhẩm được nghiệm x = 1 sau đó chia đa thức ta được:
(*)⇔ (x – 1)
2
(x
2
– 4x + 2) = 0.
Ví d 2:ụ Giải bất phương trình: ,
ĐK:
(1), Với hai vế (1)
đều không âm nên
ta bình phương 2 vế: x
3
– x
2
– 5x – 3
b) Tương tự với 2 dạng: *
*
Ví d 1:ụ Giải bất phương trình
Giải
bất phương trình tương đương với hệ:
Ví d 2:ụ Tìm m
để phương trình có

nghiêm.
Giải
* Nếu m < 2 ⇒
phương trình vô nghiệm.
* Nếu m ≥ 2 ⇒ phương trình ⇔ x
2
−2mx−m
2
+4m−3=0. Phương trình này có ∆=2m
2
−4m+3>0 với mọi m.
Chuyên đề: PT – BPT – Hệ PT vô tỷ
( )
( )
( )
( )
2 2
2 1 2 1
2 2
2 1 2 1
1.
2. 0
3. ,
4. 0
5. ,
n
n
n n
n n
n n

n n
a a
a b a b ab
a b a b a b
a b a b
a b a b a b
+ +
+ +
=
= ⇔ = >
= ⇔ = ∀
≥ ≥ ⇔ ≥
≥ ⇔ ≥ ∀
( ) ( )
( )
( ) ( )
2
0g x
f x g x
f x g x
 ≥

= ⇔

=


( )
0f x ≥
( ) ( )

f x g x>
( )
( )
0
0
g x
f x

<


≥


( ) ( )
2
( ) 0g x
f x g x
≥



>


( ) ( ) ( )
( ) ( )
2
( ) 0
0

f x
f x g x g x
f x g x

≥

≤ ⇔ ≥


≤

( )
0g x ≥
1 2
0 1 2 1
0
n n n
n n
a x a x a x a x a
− −
−
+ + + + + =L
( )
( )
1 2
0 1 2 1
0
n n
n n
x b x b x b x b

α
− −
− −
− + + + + =L
01312
2
=+−+− xxx
2
2 1 3 1x x x− = − + −
028116
234
=+−+− xxxx
( ) ( )
( )
2
2
4 1 2 10 1 3 2x x x+ ≥ + − +
2
3
−≥x
( )
( )
2
2 1 5 2 3 2 ( 5) 3 2 9 5pt x x x x x x x x⇔ + + ≥ + + − + ⇔ + + ≥ +
3
2
x ≥ −
0
≥
( ) ( )

2
3 1 0x x⇔ − + ≥
( ) ( )
f x g x≥
( ) ( )
f x g x<
( )
2
2 6 1 2 0 1x x x− + − + <
( )
2
1 2 6 1 2x x x⇔ − + < −
2
2
2
2 0
3 7 3 7 3 7
2 6 1 0 3
2 2 2
2 6 1 2
1 3
x
x
x x x x x
x x x
x
>

− >



− + +


− + ≥ ⇔ ≤ ∨ ≥ ⇔ ≤ ≤
 
 
− + < −

− < <


2
2 1 2x mx m− + = −
1

Vậy với m ≥ 2 thì phương trình đã cho có nghiêm.
Ví d 3:ụ Tìm m để phương trình có hai
nghiệm phân biệt.
Giải:
Cách 1: , phương
trình (*) luôn có 2
nghiệm: . Phương
trình đã cho có 2
nghiệm (*) có 2 nghiệm
Chú ý: + x
1
> 0, x
2
< 0 vì x

1
> x
2
và a.c < 0 nên pt có 2 nghiệm trái dấu.
+ Cách 1 thường dùng khi hệ số a luôn dương hoặc luôn âm.
+ Cách 2: Đặt t = x + 1 suy ra x
= t – 1, khi đó với .
(*) trở thành: (**). Để (*) có 2 nghiệm
thì (**) phải có 2 nghiệm .
Ví d 4:ụ (ĐH Khối B – 2006). Tìm m để
phương trình có hai nghiệm thực phân biệt: ,
(1)
Giải: để (1) có hai nghiệm thực phân
biệt thì (2) có hai nghiệm lớn hơn
hoặc bằng hay .
Chú ý : Cách 2: đặt , khi đó để (2) có
hai nghiệm lớn hơn hoặc bằng thì có
hai nghiệm thực lớn hơn hoặc bằng 0.
3. Các k n ng:ỹ ă
a. bình ph ng 2Để ươ
v ph ng trình – b t ph ng trình thì m t l ta bi n i cho 2 v không âm hai ế ươ ấ ươ ộ à ế đổ ế
l t i u ki n cho 2 v không âm.à đặ đ ề ệ ế
Ví d 1:ụ Giải bất phương trình: (ĐH
Khối A – 2005)
Vế phải không âm, nhưng vế trái chưa
nhận xét được do đó ta phải biến đổi
thành: khi đó ta bình phương 2 vế rồi đưa về dạng cơ bản để giải.
Ví d 2:ụ Giải phương trình: .
Giải
Điều kiện:

Vậy phương
trình đã cho có
hai nghiệm
x=0, .
(Hãy tìm thêm cách giải khác)
Ví d 3:ụ Tìm m để phương trình có
nghiệm.
HD: Chuyển vế, đặt điều kiện, bình phương
hai vế tìm được . Kết hợp với điều kiện ta tìm
được |m| ≥ 4.
b. Chuy n v ph ng trình – b t ph ng trình tích: ể ề ươ ấ ươ
- Đặt nhân tử chung, hằng đẳng thức
Lưu ý: Để sử dụng phương pháp này ta phải chú ý đến việc thêm, bớt, tách, phân tích
Ví d 4: Gi i ph ng trình: §.ụ ả ươ
HD:
• Bình ph ng hai v .ươ ế
• Dùng h ng ng th c a2 ( b2=0.ằ đẳ ứ
• Nghi m §.ệ
Ví d 5:ụ Giải các bất phương trình: a.
Chuyên đề: PT – BPT – Hệ PT vô tỷ
2
2 3 1x mx x+ − = +
( )
2
1
2 4 0,(*)
x
PT
x m x
≥ −



⇔

+ − − =


2 2
1 2
2 4 20 2 4 20
0, 0
2 2
m m m m m m
x x
− + − + − − − +
= > = <
⇔
1x ≥ −
⇔
( )
2
22
2
4
1 4 4 20 1
4 4 20
m
x m m m m
m m m
≤



≥ − ⇔ − ≥ − + ⇔ ⇔ ≤ −

− ≥ − +


1 0x t≥ − ⇒ ≥
( ) ( ) ( )
2
1 2 1 4 0t m t− + − − − =
1x ≥ −
0≥t
2
2 2 1x mx x+ + = +
( ) ( )
2
2 1 0
3 4 1 0, 2
x
pt
x m x
+ ≥


⇔

− − − =



1
2
−
( )
2
4 12 0
1 9
0
2 2
1
2 2
m
f m
S


∆ = − + >


 
− ≥ ⇔ ≥

 ÷
 


> −


1

2
t x= +
1
2
−
( )
2
1 1
3 4 1 0
2 2
t m t
   
− − − − − =
 ÷  ÷
   
5 1 1 2 4x x x− − − > −
5 1 1 2 4x x x− > − + −
( ) ( ) ( )
2
1 2 2 1x x x x x− + + =
( )
1
2 *
0
x
x
x
≥



≤ −


=

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
2 2 2 2
2
2 2 2
2
1 2 2 1 2 4 2 1 2 2 1
4 2 2 1
8 9 0
x x x x x x x x x x x
x x x x x
x x
⇔ + + − + = ⇔ − + = −
⇔ + − = −
⇔ − =
9
8
x =
2 2
2 4 0x mx x− − − =
2
1,2
16

2
m m
x
± −
=
2
7 7x x+ + =
1 29
2,
2
x x
−
= =
( )
2
2
4
1 1
x
x
x
> −
+ +
( )
2 2
3 2 3 2 0x x x x− − − ≥
2

b.
ĐS: a. −1≤x<8, b. .

Ví d 6:ụ (Khối B – 2007): Chứng
minh rằng với mọi giá trị dương của tham
số m, phương trình sau có hai nghiệm thực phân biệt: .(1)
Giải: ĐK: , do m > 0.
. Để chứng minh ,
phương trình (1) có 2
nghiệm phân biệt thì
chỉ cần chứng minh
phương trình (2) có một nghiệm khác 2.
Thật vậy: đặt , ta có f(2)
= 0, nên f(x) là hàm liên tục trên
và đồng biến trên khoảng đó suy ra phương trình (2) luôn có nghiệm x
0
mà 2 < x
0
< .
Một số dạng chuyển thành tích:
- D ng:ạ §
Ta biến đổi thành:
Ví d :ụ Giải phương trình: .
ĐS: x=2.
- D ng:ạ u+v=1+uv ( (u-1)
(v-1)=0
Ví d :ụ Giải phương trình: .
ĐS: x=0,
x=−1.
Ví d :ụ Giải phương trình: .
ĐS: x=0, x=1.
- D ng:ạ au+bv=ab+uv ( (u(b)(v(a)=0
Ví d 1:ụ Giải phương trình: .

ĐS: x=0, x=1.
Ví d 2:ụ Giải phương
trình: . ĐS: x=0.
- D ng:ạ a3(b3 ( (a(b)(a2+ab+b2)=0 ( a=b
Ví d :ụ Giải phương trình: .
ĐS: x=1.
c. Chuy n v d ng: A1 + A2ể ề ạ
+ + An = 0 v i § khi ó ptớ đ
t ng ng v i: §.ươ đươ ớ
Ví d 1:ụ Giải phương trình:.
HD: Phương trình tương
đương . ĐS: x=1.
Ví d 2:ụ Giải phương trình: .
Giải
Bình phương hai vế ta
được
d. S d ngử ụ
l p ph ng:ậ ươ
Với dạng tổng quát ta lập phương hai
vế và sử dụng hằng đẳng thức khi đó
phương trình tương đương với hệ . Giải hệ
này ta có nghiệm của phương trình.
Ví d :ụ Giải bất phương trình .
ĐS: .
e. N u b t ph ng trìnhế ấ ươ
Chuyên đề: PT – BPT – Hệ PT vô tỷ
{ }
[
)
1

; 2 3;
2
 
−∞ − +∞


 
U U
( )
2
2 8 2x x m x+ − = −
2≥x
( )( ) ( )



=−+
=
⇔−=+−⇔
)2(,326
2
242
23
mxx
x
xmxxpt
0
>∀
m
( )

3 2
6 32, 2f x x x x= + − ≥
( ) ( )
' 2
lim , 3 12 0, 2
x
f x f x x x x
→+∞
= +∞ = + > ∀ ≥
[
)
2; +∞
0>∀m
∞+
( ) ( )
- -a c x b d
ax b cx d
m
+
+ ± + =
( ) ( )
( )m ax b cx d ax b cx d+ ± + = + − +
3
4 1 3 2
5
x
x x
+
+ − − =
3

2
3 3
1 2 1 3 2x x x x+ + + = + + +
3 24
4
1 1x x x x+ + = + +
2
3 2 1 2 4 3x x x x x x+ + + = + + +
3 2 2 2
3 3 2 3 2 2x x x x x x x+ + + + = + + +
( ) ( )
2
2
3
3
2 3 9 2 2 3 3 2x x x x x+ + = + +
,0 1
i
A i n≥ ≤ ≤
, ,
1 2
0 0 0L
n
A A A= = =
2
4 3 3 4 3 2 2 1x x x x x+ + = + + −
( ) ( )
2
4 4 3 3 1 2 2 1 2 1 0x x x x x x− + + + − − + − =
2 2

4 2 4x y y x y− − + = +
( ) ( ) ( )
( )
2 2
2
1
2 1 2 2 2 4 0 , 2.
2
x y y x y x y− + + + + + = ⇔ = = −
3 3 3
a b c± =
( ) ( )
3
3 3
3a b a b ab a b± = ± ± ±
3 3 3
3
3
a b c
a b abc c

± =


± ± =


3 3 3
1 2 2 3x x x− + − = −
3

1; 2;
2
x x x= = =
3

ch a n m u:ứ ẩ ở ẩ
- TH1: Mẩu luôn dương hoặc luôn âm thì ta quy đồng khử mẩu:
Ví d 1:ụ Giải bất phương trình:
(ĐH Khối A−2004)
Giải
ĐK: .

Vậy tập nghiệm của bất
phương trình là: .
- TH2: Mẩu âm dương trên
từng khoảng thì ta chia thành
từng trường hợp:
Ví d 2:ụ Giải các bất
phương trình: a. b. .
HD: a. Xét ba trường hợp x=3, x>3 và x<3.
ĐS: .
b. Xét hai trừng hợp của x−1.
ĐS: .
B i t pà ậ
Bài 1: Giải các phương trình sau:
a. .
HD: Bình phương 2 vế và biến
đổi thành: .
b. . HD: Nhân lượng liên hợp.
Bài 2: Giải bất phương trình sau:

HD: Cách 1: Đặt . Cách 2: Bình
phương rồi đưa về dạng:A
1
+A
2
= 0,
với A
1
, A
2
.
Bài 3: Giải phương trình . (HD: Bình
phương hai lần ra phương trình bậc 4 đầy
đủ_nhẩm nghiệm (x=3) chia đa thức).
Bài 4: Giải phương trình .
Bài 5: Giải phương trình .
Bài 6: Giải các phương trình sau:
1. 2.
3. 4.
5. 6.
7. . (HD:Bình phương rồi sử dụng dạng:
A
1
+A
2
= 0, với A
1
, A
2
).

Bài 7: Tìm m để phương trình sau có
nghiệm: .
Bài 8: Tìm m sao cho phương trình: .
a. Có nghiệm.
b. Có hai nghiệm phân biệt.
Bài 9: Giải các bất phương trình sau:
a. .
b. .
c. .
Bài 10: Giải các phương trình:
a. . b. .
c. .
d. .
e. .
II. Ph ng pháp t n ph :ươ đặ ẩ ụ
D ng 1:ạ , đặt (lưu ý nếu n chẵn ta phải thêm
Chuyên đề: PT – BPT – Hệ PT vô tỷ
( )
( )
2
2 16
7
3 1
3 3
x
x
x
x x
−
−

+ − >
− −
4≥x
( )
( ) ( )
2 2
1 2 16 3 7 2 16 10 2⇔ − + − > − ⇔ − > −x x x x x
( )
( )
2
2
4
5
10 2 0
10 2 0
10 34 5
2 16 10 2
x
x
x
x
x
x x

≥

⇔ >


− <



⇔

− ≥



⇔ − < ≤


− > −



10 34> −x
( )
2 2
3 4 9x x x− + ≤ −
2
51 2
1
1
x x
x
− −
<
−
5
3

6
x x< − ∨ ≥
1 52 5 1x x− ≤ < − ∨ >
( )
2
2 1 1 0x x x x x x− − − − + − =
2 2 3 2
2 4 4 6 4 0x x x x x x x x− − − + − + − =
2 2
( 2)(2 2 2) 0x x x x x⇔ − − + − + =
2 2
4 5 1 2 1 9 3x x x x x+ + − − − = +
2
1 2 1 2 2 .x x x− + + ≥ −
4 2
2
4
1 2 1 2
16
t t
t x x x
−
= − + + ⇒ = −
0
≥
4 3 10 3 2x x− − = −
2
2
1 1
3

x x x x+ − = + −
2
2 6 1 1x x x+ + = +
2
1 1x x− = +
3 3
2 2 3 1x x− + − =
3 3 3
2 2 2 9x x x+ + − =
3
3 3
1 1 2x x x− + + =
2
1 1 2
4
x
x x+ + − = −
2
2 3 3 1
4
x
x x
− +
+ = + +
5 3 3 1 1x x x− + − = −
0
≥
m x m x m+ + − =
2
4x x x m− = +

2
1 1 4
3
x
x
− −
<
2 2 2
3 2 6 5 2 9 7x x x x x x+ + + + + ≤ + +
2 2 2
2 2 3 4 5x x x x x x+ − + + − ≤ + −
3 3
2 2
3 3
1x x x x x+ + = + +
4
3 4
3
x
x x
x
+ + =
+
3
4 3 1 4x x
x
+ = + +
2
2 3 9 4x x x+ = − −
2 2

2 1 4 3 1 2 2 6x x x x x x− + + + = + +
( )
( )
0
n
F f x =
( )
n
t f x=
4

điều kiện t ≥ 0).
Ví dụ 1: Giải các phương trình: a. .
b. .
HD: a. Đặt .
ĐS: x=±5.
b. Đặt .
ĐS: .
Ví dụ 2: Tìm m để phương trình sau có
nghiệm: .
Giải
Đặt: .
Khi đó phương trình trở thành .
Phương trình đã cho có nghiệm
khi (*) có nghiệm hay .
Ví dụ 3: Tìm m để bất phương
trình: , (1) có nghiệm.
Giải: Đặt . Nếu thì
BPT trở thành:
Khi đó ta có , với . Đặt , dùng đồ thị ta tìm

được .
D ng 2:ạ
, đặt , bình phương hai
vế để biểu diễn các đại
lượng còn lại qua t.
Ví dụ 1: Cho phương trình .
a. Giải phương trình khi
m=3.
b. Tìm m để phương trình đã cho có nghiệm.
Giải
Đặt: . Áp dụng bất đẳng thức
Cauchy nên từ (*) ta có .
Phương trình đã cho trở thành t
2
−2t−9=−2m (1).
a. Với m=3 (1) ⇔ t
2
−2t−3 ⇔ t =3. Thay vào (*) ta được x=−3, x=6.
b. PT đã cho có nghiệm khi và chỉ
khi (1) có nghiệm . Xét hàm số với
, ta thấy f(t) là một hàm đb nên:
với . Do vậy (1) có nghiệm khi và chỉ khi
Chú ý: Để tìm miền giá trị của t ta có 2 cách thương dùng như sau:
Cách 1: dùng BĐT như bài trên 2: dùng pp hàm số ( xem phần PP hàm số ).
Ví dụ 2: Giải phương trình .
HD: đặt: . ĐS: x=2, x=3.
Ví dụ 3: Giải bất phương
trình .
HD: Đặt ⇒ … .
D ng 3ạ :

, trong đó F(t) là một phương trình đẳng
cấp bậc k.
TH1: Kiểm tra nghiệm với .
TH2: Giả sử chia hai vế phương trình cho và
đặt .
Ví dụ 1: Giải phương trình .
ĐK: .

Đặt . Phương trình trở thành .
• Với t=2: Phương trình đã cho vô
Chuyên đề: PT – BPT – Hệ PT vô tỷ
2 2
11 31x x+ + =
( ) ( )
2
5 2 3 3x x x x+ − = +
2
11, 0t x t= + ≥
2
3 , 0t x x t= + ≥
3 109
2
x
− ±
=
2 2 2
2 2 5 2x x m x x m+ + − − =
( )
2
2

5 2 6 1 0; 6t x x x t
 
= − − = − + ⇒ ∈
 
( )
2 2
2 5 0 * 5t mt m t m− + − = ⇔ = ±
0; 6t
 
∈
 
0 5 6 5 6 5
0 5 6 5 6 5
m m
m m
 
≤ + ≤ − ≤ ≤ −
⇔
 
≤ − ≤ ≤ ≤ +
 
 
( )
2
( 2 2 1) 2 0m x x x x− + + + − ≤
0;1 3x
 
∈ +
 
2 2 2

2 2 2 2t x x x x t= − + ⇒ − = −
[ ]
31;0 +∈x
( )
[ ]
2;111
2
∈+−= xt
( ) ( )
2
1 2 0, 2m t t+ + − ≤
2
2
1
t
m
t
−
≥
+
1 2t≤ ≤
( )
2
2
1
t
f t
t
−
=

+
2
3
m ≤
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
2 0m f x g x n f x g x n f x g x p± ± + + + =
( ) ( )
t f x g x= ±
( ) ( )
3 6 3 6x x m x x+ + − = + + −
( ) ( ) ( )
2
3 6 9 2 3 6 *t x x t x x= + + − ⇒ = + + −
( ) ( )
2 3 6 9x x+ − ≤
3 3 2t≤ ≤
3;3 2t
 
∈
 
( )
2
2 9f t t t= − −
3;3 2t
 
∈
 

( )
( )
6 (3) 3 2 9 6 2f f t f− = ≤ ≤ = −
3;3 2t
 
∈
 
3;3 2t
 
∈
 
6 2 9
6 2 9 6 2 3
2
m m
−
− ≤ − ≤ − ⇔ ≤ ≤
( )
3 3
3 3
35 35 30x x x x− + − =
3
3 3
3 3
35
35 35
3
t
t x x x
t

−
= − ⇒ − =
2
7 7 7 6 2 49 7 42 181 14x x x x x+ + − + + − ≤ −
7 7 7 6 0t x x= + + − ≥
6
6
7
x≤ ≤
( ) ( )
( )
, 0
n n
F f x g x =
( )
0g x =
( )
0g x ≠
( )
k
g x
( )
( )
n
f x
t
g x
=
( )
3 2

5 1 2 2x x+ = +
1x ≥ −
( )
( )
( ) ( )
( )
3 2 2 2
5 1 2 2 5 1 1 2 1 2 1x x x x x x x x+ = + ⇔ + − + = − + + +
2 2
1 1
2 5 2 0
1 1
x x
x x x x
+ +
⇔ − + =
− + − +
2
1
, 0
1
x
t t
x x
+
= ≥
− +
2
2
2 5 2 0

1
2
t
t t
t
=


− + = ⇔

=

5

nghiệm.
• Với : Phương trình đã cho có nghiệm .
Ví dụ 2: Giải phương trình .
Giải
ĐK: .
Bình
phương hai vế:
Đặt phương trình trở thành .
• Với t = 1:
Phương trình
đã cho có nghiệm .
• Với : Phương trình đã cho có nghiệm
.
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm: .
Ví dụ 3: Tìm m để phương trình sau có
nghiệm: .

HD: ĐK . Xét hai trường hợp x = 1 và x ≠ 1,
Chia hai vế phương trình cho đặt . ĐS .
D ng 4: ( t n ph không tri tạ Đặ ẩ ụ ệ
).để
. Đặt , khi đó phương trình trở thành .
Ví dụ: Giải phương trình .
HD
Đặt .
(Phương pháp này có thể áp dụng cho
các phương trình, bất phương trình lượng giác, mũ, logrit,… rất hay!)
Bài tập
Giải các phương trình sau:
1. ĐS: .
2. Đặt , ĐS: .
3. ĐS: .
4. Đặt , ĐS: .
D ng 5: ( t n ph v i h mạ Đặ ẩ ụ ớ à
l ng giác).ượ
Khi giải các phương trình, bất phương trình lượng giác chúng ta thường tìm mọi cách đặt ẩn phụ để
chuyển về phương trình, bất phương trình đại số. Tuy nhiên, trong nhiều trường hợp cách là ngược lại tỏ ra khá
hiệu quả, bằng những tính chất của hàm lượng giác ta sẽ đưa các bài toán đại số về bài toán lượng giác và giải
quyết bài toán lượng giác này.
Lưu ý vài tính chất cơ bản:
* . * .
* * .
Ví dụ 1: Giải phương trình .
Giải
ĐK . Đặt . Khi đó phương trình
trở thành Ta tìm được: . Khi
đó .

Nhận xét: * Nếu bài toán có tập xác định .
Ta có thể nghĩ đến cách đặt hoặc đặt .
* Nếu ta có thể đặt .
Ví dụ 2: Giải phương trình .
HD: Đặt dưa về phương trình
lượng giác . Để gải phương trình
này ta lại đặt .
ĐS: .
Ví dụ 3: Giải phương trình . ĐS: .
D ng 6: ( t n ph a vạ Đặ ẩ ụ đư ề
Chuyên đề: PT – BPT – Hệ PT vô tỷ
1
2
t =
5 37
2
x
±
=
2 2
5 14 9 20 5 1x x x x x+ + − − − = +
5x ≥
2 2 2 2
5 14 9 20 5 1 5 14 9 5 1 20x x x x x x x x x x+ + − − − = + ⇔ + + = + + − −
( )
( )
( )
( )
2 2
2 4 5 3 4 5 4 5 4x x x x x x− − + + = − − +

2
4 5
, 0.
4
x x
t t
x
− −
= ≥
+
2
3
2 5 3 0 1,
2
t t t t− + = ⇔ = =
5 61 5 61
5, 5
2 2
x x
+ −
= > = <
3
2
t =
7
8 5, 5
5
x x= > = − <
5 61
, 8

2
x x
+
= =
24
3 1 1 2 1x m x x− + + = −
1x ≥
24
1x −
4 4
1 2
1
1 1
x
t
x x
−
= = −
+ +
( )
0 1t< <
1
1
3
m− < ≤
( ) ( ) ( ) ( )
0af x g x f x h x+ + =
( )
t f x=
( ) ( )

2
0at g x t h x+ + =
( )
2 2
2 1 2 1 2 1x x x x x− + − = − −
2
2 1 1 6t x x x= + − ⇒ = − ±L
( )
2 3
2 5 2 4 2 21 20x x x x− + = − −
9 193 17 3 73
,
4 4
x x
± ±
= =
( )
3
3 2
3 2 2 6 0x x x x− + + − =
2y x= +
2, 2 2 3x x= = −
( )
2 3
2 3 2 3 8x x x− + = +
3 13x = ±
1 1 1
2 1 3
x
x x

x x x
−
+ = − + −
1
1t
x
= +
1 5
2
x
+
=
sin 1, cos 1a a≤ ≤
2 2
sin cos 1a a+ =
2
2
1
1 tan
cos
a
a
+ =
2
2
1
1 cot
sin
a
a

+ =
2 2
1 1 2x x+ − =
1x ≤
[ ]
cos , 0;x t t
π
= ∈
2 2 2
1 1 cos 2cos 2sin sin 1 0.t t t t+ − = ⇔ + − =
1
sin
2
t =
2
3
cos 1 sin
2
x t t= = ± − = ±
( )
u x a≤
( )
sin , ;
2 2
u x a t t
π π
 
= ∈ −
 
 

( )
[ ]
cos , 0;u x a t t
π
= ∈
( )
[ ]
0;u x a∈
( )
2
sin , 0;
2
u x a t t
π
 
= ∈
 
 
( ) ( )
3
3 2 2
1 2 1x x x x+ − = −
[ ]
cos , 0;x t t
π
= ∈
( ) ( )
sin cos 1 sin cos 2 sin cost t t t t t+ − =
sin cos , 2u t t u= + ≤
2 1 2 2 2

,
2 2
x x
− − −
= =
2 3
1 4 3x x x− = −
1 2 2
,
4
2
x x
+
= − = ±
6

h ph ng trình).ệ ươ
* Khi g p ph ng trình cóặ ươ
d ng §.ạ
Đặt . Khi đó ta được hệ phương trình
sau: . Giải hệ này tìm u, v rồi ta lại tìm
x. Khi tìm x ta chỉ giải một trong hai phương
trình hoặc .
Ví dụ 1: Giải phương trình: .
ĐS: .
Ví dụ 2: Giải phương trình: .
ĐS: .
Ví dụ 3: Giải phương trình: .
ĐS: .
Ví dụ 4: Giải phương trình: .

ĐS: .
Ví dụ 5: Giải phương trình: , đặt pt trở
thành:
Ví dụ 6: Giải phương trình: , đặt
Ví dụ 7: Với giá trị nào của a thì phương
trình: có nghiệm.
Đặt . Phương trình trở thành:
TH1: a = 0 hệ phương trình vô nghiệm.
TH2: , hệ phương trình trở thành . Hệ có
nghiệm khi . Vậy phương trình có nghiệm
khi .
* Khi g p ph ng trình cóặ ươ
d ng §.ạ
Đặt ta có hệ .
Ví d 1:ụ Giải phương trình . ĐS: .
Ví d 2: ụ Giải phương trình .
Giải
ĐK . .
Đặt . Ta được
hệ phương trình
. Giải thêm chút nữa ta được kết
quả!
ĐS: .
Chú ý: bài này không thể sử dụng phương pháp bình phương vì không nhẩm được nghiệm, nên ta phải biến đổi
để xuất hiện những biểu thức giống nhau và từ đó ta đặt ẩn phụ.
Ví d 3:ụ Giải phương trình . ĐS: .
Chú ý: Bài này có thể sử dụng phương pháp
bình phương.
B i t p:à ậ
Bài 1: Giải các phương trình sau:

1. 2.
3. 4. .
Bài 2: Giải cácbất phương trình
sau:
1.
2.
3. 4. .
Bài 3: Giải các phương trình sau:
1. 2.
3. 4.
5. (đặt ).
III. Ph ng pháp h m sươ à ố
Chuyên đề: PT – BPT – Hệ PT vô tỷ
( ) ( ) ( )
( )
, ,+ − = 0
n m
F f x a f x b f x
( ) ( )
,
n m
u a f x v b f x= + = −
( )
, 0
n m
F u v
u v a b
 =



+ = +


( )
n
u a f x= +
( )
m
v b f x= −
( ) ( )
3 6 3 3 6x x x x+ + − = + + −
0, 3x x= = −
3
24 12 6x x+ + − =
24, 88, 3x x x= − = − =
4 4
17 3x x+ − =
1, 16x x= =
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
3 3
3
2 7 2 7 3x x x x− + + − − + =
1, 6x x= = −
3
3 3
1 3 2x x− + − =
3 3
1, 3,u x v x= − = −
3

3 3
2
2
u v
u v

+ =


− =


3
1 1
1
2 2
x x+ + − =
3
1 1
,
2 2
u x v x= + = −
axx =++−
33
11
33
1,1 xvxu +=−=
( )
2 2
2a u v uv

u v a

+ − =


+ =


0a ≠
2
1 2
3
u v a
uv a
a
+ =



 
= −
 ÷

 

2
4 0 0 2S P a− ≥ ⇔ < ≤
0 2a< ≤
( ) ( )
+ = −

n
n
f x b a af x b
( ) ( )
,
n
t f x y af x b= = −
n
n
t b ay
y b at

+ =


+ =


3
3
2 1 2 2 1x x+ = −
1 5
1,
2
x x
− ±
= =
2
3
2 4

2
x
x x
+
+ =
3x ≥ −
( )
( )
( )
2 2
2
1 2
3 1 1
2 4 2 1 2 1 1 1
2 2 2 2
x
x x
x x x x
+ +
+ +
+ = ⇔ + − = ⇔ + − = +
2
1
1, 1 1 1
2 2 2
x t t
t x y y
+
= + = + = + ⇒ − =
2

2
1
1
2
1
1
2
t y
y t

− =




− =


3 17 5 13
,
4 4
x x
− − ± − ±
= =
2
4 7 1 2 2x x x+ + = +
7 1
1, ,
4 4
x x x= − = − =

2
3 2 1 4 9 2 3 5 2x x x x x− + − = − + − +
2 2
2x x x x+ + = +
2 2
4 2 1 2 2 9x x x x x x+ + + + + = + +
4 1 5
2x x x
x x x
+ − = + −
2 2
5 10 1 7 2x x x x+ + > − −
3
24 12 6x x+ + − ≤
2 2
2 5 6 10 15x x x x+ − − > +
2
1 1 2
4
x
x x+ + − ≤ −
3 3
12 14 2x x− + + =
3
3 3
1 3 2x x− − − =
2 3 2
1 2 1 3x x− + − =
2
2 2x x− + = −

2
1 1 2
4
x
x x+ + − = −
1 1t x x= + + −
7

Các tính ch t:ấ
Tính ch t 1:ấ Nếu hàm f tăng (hoặc giảm) trên khoảng (a;b) thì phương trình f(x)=k (k∈R) có không quá một
nghiệm trong khoảng (a;b).
Tính ch t 2: ấ Nếu hàm f tăng (hoặc
giảm) trên khoảng (a;b) thì ∀u, v ∈(a,b) ta
có .
Tính ch t 3:ấ Nếu hàm f tăng và g là hàm hằng hoặc giảm trong khoảng (a;b) thì phương trình f(x)=g(x) có
nhiều nhất một nghiệm thuộc khoảng (a;b).
nh lý Lagrange:Đị Cho hàm số
F(x) liên tục trên đoạn [a;b] và tồn tại
F'(x) trên khoảng (a;b) thì :. Khi áp dụng
giải phương trình: nếu có F(b) – F(a) = 0 thì có nghiệm thuộc (a;b).
nh lý Rôn:Đị Nếu hàm số y=f(x) lồi hoăc lõm trên miền D thì phương trình f(x)=0 sẽ không có quá hai
nghiệm thuộc D.
Từ các tính chất trên ta có 3 phương án biến đổi như sau:
Phương án 1: Biến đổi phương trình về dạng: f(x) = k, nhẩm một nghiệm rồi chứng minh f(x) đồng biến
(nghịch biến) suy ra phương trình có nghiệm duy nhất.
Phương án 2: Biến đổi phương trình về dạng: f(x) = g(x), nhẩm một nghiệm rồi dùng lập luận khẳng định f(x)
đồng biến còn g(x) nghịch biến hoặc hàm hằng suy ra phương trình có nghiệm duy nhất.
Phương án 3: Biến đổi phương trình về dạng: f(u) = f(v) chứng minh f(x) đơn điệu khi đó ta có: u = v.
Ví dụ: Giải phương trình:
ĐK: . Đặt . Miền xác định: , .

Do đó hàm số đồng biến với , nên
phương trình nếu có nghiệm thì đó là
nghiệm duy nhất. Thấy là nghiệm của phương trình.
Đối với phương trình chứa tham số ta thực hiện như sau:
Xét phương trình f(x,m) = g(m), (1)
B1: Lập luận số nghiệm phương trình (1) là số giao điểm của đồ thị (C ): y = f(x,m) và đường thẳng
d: y = g(m).
B2: Lập bảng biến thiên cho hàm số y = f(x,m)
B3: Kết luận: * phương trình có
nghiệm: .
* phương trình có k nghiệm: d cắt (C) tại k điểm.
* phương trình vô nghiệm khi: d không cắt (C ) .
Ví d 1:ụ Tìm m để phương trình: có
nghiệm.
TXĐ: R
Xét hs: , D
f
= R,
(v.nghiệm)
Mặt khác: f’(0) = 1 > 0 suy ra y’ > 0 nên hàm số đồng biến.
Giới hạn:
BBT: x
y’
+
y 1
−1
Vậy phương trình có nghiệm khi và chỉ khi −1 < m < 1.
Chú ý: Trong bài toán trên nếu không thực hiện việc xác định giới hạn hàm số, rất có thể chúng ta ngộ nhận tập
Chuyên đề: PT – BPT – Hệ PT vô tỷ
( )

( )f u f v u v= ⇔ =
( )
bac ;∈∃
( )
( ) ( )
'
F b F a
F c
b a
−
=
−
( ) ( ) ( )
; : ' 0 ' 0c a b F c F x∃ ∈ = ⇔ =
2
4 1 4 1 1x x− + − =
1
2
x ≥
( )
2
4 1 4 1f x x x= − + −
1
2
x ≥
( )
'
2
2 4
0

4 1
4 1
x
f x
x
x
= + >
−
−
1
2
x ≥
1
2
x =
( ) ( ) ( )
min , max ,
x D
x D
f x m g m f x m
∈
∈
≤ ≤
2 2
1 1x x x x m+ + − − + =
( )
2 2
1 1y f x x x x x= = + + − − +
2 2
2 1 2 1

'
1 1
+ −
= −
+ + − +
x x
y
x x x x
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
' 2 2
2 2
2 2
2 1 2 1 0
0 2 1 1 2 1 1
2 1 1 2 1 1

− + >

= ⇔ − + + = + − + ⇔

− + + = + − +


x x
y x x x x x x

x x x x x x
2 2
2 2
2
lim lim 1
1 1
2
lim lim 1
1 1
x x
x x
x
x x x x
x
x x x x
→−∞ →−∞
→+∞ →+∞
= = −
+ + + − +
= =
+ + + − +
∞−
∞+
8

giá trị của hàm số là R và dẩn đến việc kết luận sai lầm rằng phương trình có nghiệm với mọi m. Do đó việc tìm
giới hạn trong bài toán khảo sát là rất cần thiết để tìm ra tập giá trị.
Ví d 2:ụ Tìm m để bất phương trình sau
có nghiệm: , ĐK:
, xét hs . . và f(3) = .

BBT:
x 3 5
y’ + 0 −
y y(5)

0
Vậy bất phương trình có nghiệm
Ví d 3:ụ Tìm m để phương trình:
có nghiệm.
Giải: ĐK:
xét hs . Miền xác định:
Nhận xét: Hàm số đồng
biến trên D.
Hàm số đồng biến trên D.
Suy ra y = f(x) = h(x).g(x) là hàm đồng
biến trên D. Vậy phương trình có nghiệm khi
và chỉ khi
Ví d 4:ụ Biện luận theo m số nghiệm
phương trình:
Giải: Phương trình được viết lại dưới dạng:
Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của
(C): và đường thẳng: y = m.
Lập BBT :
x 1/3
y’ + 0 −
y
1
−1
KL: : phương trình vô nghiệm.
hoặc : phương trình có nghiệm duy

nhất.
: phương trình có 2 nghiệm phân biệt.
Ví d 5:ụ Tìm m để phương trình
sau có nghiệm: , (1)
Giải: ĐK: . Đặt , lập BBT của t(x) với ta có
Khi đó phương trình (1) trở thành: t
2
+ t + 1 =
m, lập bảng biến thiên của hàm số vế trái với từ
đó kết luận: .
B i t p:à ậ
Bài 1: Tìm m để phương trình sau có
nghiệm: .
Bài 2. Giải các phương trình sau:
1.
2.
3.
B. H ph ng trình - hệ ươ ệ
b t ph ng trình ch a c n.ấ ươ ứ ă
Chuyên đề: PT – BPT – Hệ PT vô tỷ
3 1mx x m− − ≤ +
3x ≥
1 3
1
x
bpt m
x
+ −
⇔ ≥
−

( )
2
1 3 5
'
1
2 3 1
x x
y y
x
x x
+ − −
= ⇒ =
−
− −
'
0 5y x= ⇔ =
lim 0
x
y
→+∞
=
1
2
∞+
1
2
( )
3 1
5
4

y m m
+
⇔ ≥ ⇔ ≤
( )
12 5 4x x x m x x+ + = − + −
0 4x≤ ≤
( )
( 12) 5 4pt x x x x x m⇔ + + − + − =
( )
( )
( 12) 5 4y f x x x x x x= = + + − + −
[ ]
0;4D =
( )
12h x x x x= + +
( )
5 4g x x x= − + −
( ) ( )
0 4f m f≤ ≤
2
3 1x m x+ = +
2
3
1
x
m
x
+
=
+

2
3
1
x
y
x
+
=
+
∞−
∞+
10
1 10m m≤ − ∨ >
1 1m− < ≤
10=m
1 10m< <
( ) ( )
1 3 1 3x x x x m− + − − − − =
1 3x≤ ≤
1 3t x x= − + −
1 3x≤ ≤
2 2t≤ ≤
1
2
−
2 2t≤ ≤
1 2m≤ ≤
2
9 9x x x x m+ − = − + +
2 2

1 1 3 1x x x x+ + − − + = −
( ) ( )
1 3 1 3 1x x x x− + − − − − =
( )
12 12 5 4x x x x x+ + = − + −
9

1. Ph ng pháp bi n i t ng ng:ươ ế đổ ươ đươ
Ta thực hiện theo các bước sau:
B1: Đặt điều kiện (nếu có).
B2: Biến đổi về phương trình – bất phương trình − hệ phương trình đơn giản mà ta đã biết cách giải bằng cách:
thế, khử biến
B3: Kết luận. (chú ý điều kiện và sự biến đổi tương đương hay hệ quả)
Ví d 1:ụ Giải hệ phương trình: .
Giải
Điều kiện: .
Bình phương 2 vế và trừ vế theo
vế ta có: .
Thay x = y vào 1 trong 2 phương trình, giải ra ta được x = y = 11.
Ví d 2: ụ Giải hệ bất phương trình:
Giải
Điều kiện: .
cộng vế theo vế ta
được:
Ví d 3:ụ Tìm m để hệ phương trình sau có
nghiệm duy nhất:
Phải tìm m để (*) có đúng một nghiệm thoả: .
TH1: xét x = 1:
TH2: (*) có nghiệm kép :
TH3: (*) có 2 nghiệm :

Chú ý: Có thể dùng đồ thị đối với
Ví d 4:ụ giải:
Giải: Cộng từng vế của
2 phương trình ta
được: .
Ví d 5:ụ Giải hệ phương trình:
Giải: ĐK: .
KQ: .
B i t p:à ậ Giải các hệ: phương
trình sau:
1.
2.
3. 4.
5. 6.
7. (a > 0) 8.
9. 10.
11.
Bài 2: Tìm a để hệ phương trình có 2
nghiệm:
Bài 3. Tìm m để hệ phương trình có nghiệm:
2. Ph ng pháp t n ph :ươ đặ ẩ ụ
Ta thực hiện theo các bước sau:
B1: Điều kiện (nếu có).
B2: Lựa chọn ẩn phụ, tìm đk cho ẩn phụ
B3: Giải hệ nhận được, từ đó suy ra nghiệm x, y.
B4: Kiểm tra tính hợp lệ cho nghiệm từ đó kết luận.
Ví d 1:ụ Giải hệ bất phương trình: điều
kiện:
Chuyên đề: PT – BPT – Hệ PT vô tỷ
5 2 7

2 5 7
x y
x y

+ + − =


− + + =


2
2
x
y
≥


≥

( ) ( ) ( ) ( )
5 2 2 5x y x y x y+ − = − + ⇔ =
2 1
2 1
x y
y x

≥ +


≥ +



0, ≥yx
( ) ( ) ( )
2 2
2 2 1 1 0 0x y x y x y x y+ ≥ + + ⇔ − + − ≤ ⇔ = =
2 0
1
x y m
x xy
− − =



+ =


( )
( )
( )
( )
2
2
2
2
2
1
hpt 2 2 1 0 (*)
1
1

, 1, 0
y x m
y x m
x
x m x m x
x
x
xy x
y x x
x
= −

= −

−
 
⇔ ⇔ ⇒ = − ⇔ + − − =
 
−
= −

= ≤ ≠



1, 0x x≤ ≠
1x ≤
1 2
1x x< <
( )

2
1
, 1, 0
x
y x x
x
−
= ≤ ≠
2 2 2 2
2 2 2 2
( ) 185
( ) 65
x xy y x y
x xy y x y

+ + + =


− + + =


( ) ( )
3
2 2 2 2 2 2 2 2
2 250 125 5x y x y x y x y+ + = ⇔ + = ⇔ + =
( )
2, 1
1,(2)
x y x y
y x y x


+ + − =



+ − − =

x,y x y≥ ≥
( )
2
2
1 2
4 4
x
x y x
x y
≤

⇔ − = − ⇔

− =

( )
2
1
2 2 1 2
2
4 4 1
y
y y x

x y

≥

⇔ − = − ⇔


− = −

17 5
;
12 3
 
 ÷
 
3
3
x y
y x

− =


− =


3
3
x y xy
x y


+ + =


− =


(
)
2 2
3 3
3
3
7
2
3
x y x y xy
x y

− = −



− =

2
2
420
280
x y xy

y x xy

+ =


+ =


2 2 2 2
1
1
x y x y
x y x y

+ − − =


+ + − =


2 2 2 2
2
4
x y x y
x y x y

+ − − =


+ + − =



2 2 2 2 2
x y x y a
x y x y a

+ − − =


+ + − =


2 2
2
4
x y x y
x y x y

+ − − =



− + + =

( )
(
)
2 2
3 3
3

3
2 3
6
x y x y y x
y x

+ = +



+ =

30
35
x y y x
x x y y

+ =


+ =


2
2
1
1
4
1
1

4
x y
y x

− =




− =


x y xy a
x y a

+ + =


− =


1 2
3
x y m
x y m

+ + + =


+ =



1 1 1
3
2
x y
x y

− + − =


+ ≤


, 1x y ≤
10

Đặt ĐK: , khi đó
hệ được biến đổi
về dạng:
Vậy nghịêm của
hệ là cặp nghiệm (x;y) thoả:
Ví d 2:ụ (ĐH Khối A – 2006) Giải
hệ phương trình:
Điều kiện: . Đặt . Bình phương phương
trình 2, thay ẩn phụ vào, giải tìm được t =
3. Giải thêm chút xíu nữa ta được nghiệm.
B i t p:à ậ Giải các hệ phương trình sau:
1. 2.
3. 4.

5. 6.
−Hết−
Chuyên đề: PT – BPT – Hệ PT vô tỷ
1 , 1u x v y= − = −
, 0u v
≥
2 2
2
1
0 1
0 1 0 0 1
3
1 1
4 4 1 0
2
u v
u
u x x
u v
u u
+ =

≤ ≤


⇔ ⇔ ≤ ≤ ⇔ ≥ ⇔ ≤ ≤
 
− + − ≤
− + ≥




( )
2
0 1
1 1 1
x
y x
≤ ≤



= − − −


3
( , )
1 1 4
x y xy
x y R
x y

+ − =

∈

+ + + =


0, 1, 1xy x y≥ ≥ − ≥ −

3t xy x y t= ⇒ + = +
( )
3 4
9
x y xy
xy

+ =


=


2 2
2 8 2
4
x y xy
x y

+ + =


+ =


2 1 3
1 2 2
x y
x y


+ + =


+ + =


3
3
4
x y x y
x y x y

− = −


+ = + −


1
3 3
1
2 8
x x y
y
x y
y

+ + + − =





+ + =


2 2
14
84
x y xy
x y xy

+ + =


+ + =


11