Định lí Vi ét ( dùng tạm)

A) Kiến thức cơ bản
1) Nếu phơng trình bậc hai ax
2
+ bx + c = 0 ( a

0 ) có 2 nghiệm phân
biệt
1 2
,x x
thì tổng và tích hai nghiệm đó là:
S =
1 2
b
x x
a
+ =
và P =
1 2
.
c
x x
a
=
2 ) Tính nhẩm nghiệm
a ) Nếu a + b + c = 0 thì phơng trình ax
2
+ bx + c = 0 ( a

0 ) có các
nghiệm số là
1 2

1,
c
x x
a
= =
b ) Nếu a - b + c = 0 thì phơng trình ax
2
+ bx + c = 0 ( a

0 ) có các
nghiệm số là
1 2
1,
c
x x
a
= =
3 ) Tìm 2 số biết tổng và tích của chúng
Nếu 2 số u và v có tổng u + v = S và tích u.v = P thì u và v là 2
nghiệm của phơng trình bậc hai :
2
0x Sx P
+ =
B ) Bài tập áp dụng và bài tập phát triển , nâng cao
1, Loại toán xét dấu nghiệm của phơng trình mà không giải phơng
trình
Bài tập 1:
Không giải phơng trình cho biết dấu các nghiệm ?
a)
2

13 40 0x x
+ =
b)
2
5 7 1 0x x
+ + =
c)
2
3 5 1 0x x
+ =
Giải
a) Theo hệ thức Vi ét có S =
1 2
13
b
x x
a
+ = =
1
P =
1 2
. 40
c
x x
a
= =
Vì P > 0 nên 2 nghiệm x
1
và x
2

cùng dấu
S > 0 nên 2 nghiệm cùng dấu dơng
b) Theo hệ thức Vi ét có P =
1 2
1
. 0
5
c
x x
a
= = >
nên 2 nghiệm cùng dấu
S =
1 2
7
0
5
b
x x
a

+ = = <
nên 2 nghiệm cùng dấu âm
c) P =
1 2
1
. 0
3
c
x x

a

= = <
nên 2 nghiệm trái dấu
S =
1 2
5
0
3
b
x x
a
+ = = <

Bài tập 2
Cho phơng trình
2 2
10 0x x m =
(1)
Chứng minh rằng phơng trình luôn có 2 nghiệm trái dấu với mọi giá trị của
m

0 . Nghiệm mang dấu nào có giá trị tuyệt đối lớn hơn ?
Giải
Ta có a = 1 > 0 , c = - m
2
< 0 với mọi m

0
Vì a , c trái dấu nên phơng trình (1) luôn luôn có 2 nghiệm phân biệt . Theo

hệ thức Vi - ét : P =
2
1 2
,x x m
=
< 0 . Do đó
1
x
và
2
x
trái dấu
S =
1 2
10x x+ =
nên nghiệm dơng có giá trị tuyệt đối lớn hơn
Bài tập 3
(Đề TS chuyên Hạ Long 1999 2000)
Cho phơng trình
2 2
( 1) 2 0x m x m m + =
(1) (với m là tham số)
a) Giải phơng trình trên với m = 2
b) Chứng minh rằng phơng trình đã cho có 2 nghiệm trái dấu

m
c) Gọi 2 nghiệm của phơng trình đã cho là x
1
, x
2

Tìm m để biểu thức
3 3
1 2
2 1
x x
A
x x

= +
ữ ữ

đạt giá trị lớn nhất
2
Giải
a) Thay m = 2 vào phơng trình ta đợc

2
4 0
1 4.( 4) 17 0
x x
=
= = >

Phơng trình có 2 nghiệm phân biệt

1
2
1 17
2

1 17
2
x
x
+
=

=
b)Xét
2 2 2 2
1 1 3 1 3
2 ( 2) ( 2 1 ) ( ) 1
2 4 4 2 4
ac m m m m m m m

= + = + = + + = +


Có
2 2
1 1 3 3 3
0 1 1 1 0
2 2 4 4 4
m m P P m

+ <
ữ ữ

Vậy phơng trình (1) có 2 nghiệm trái dấu
m

c, Gọi 2 nghiệm của phơng trình đã cho là x
1
, x
2

Từ kết quả phần b có x
1
, x
2


0 , biểu thức A đợc xác định với mọi x
1
, x
2
tính
theo m và
3
1 2
2 1
( ) 0;( ) 0
x x
x x
> <

Đặt
3
1
2

( )
x
a
x
=
Với a > 0
3
2
1
1
( )
x
x a
=

Có A = -a +
1
a
mang giá trị âm
A đạt giá trị lớn nhất <=> - A có giá trị nhỏ nhất
Có A = a +
2
1 1a
a a
+
=

áp dụng bất đẳng thức Cô si cho hai số không âm a và
1
a

( vì a > 0 và
1
0
a
>
)
Ta có:
3
1 1
( ) : 2 .
1
( ) : 2 1
1
2
a a
a a
a
a
a
a
+
+
+
Vậy A

2 <=> A

- 2 nên A có GTLN là - 2

2

2
2
1
* 2 2
1
2
. 1 2
2 1 0
2 1 0
( 1) 0
1
A a
a
a
a
a a a
a a
a a
a
a
= + =

=
=
+ =
+ =
=
=
( thoả mãn điều kiện a > 0 )
Với a = 1 thì

3
1 1
1 2
2 2
( ) 1 1
x x
x x
x x
= = =

Theo kết quả
1 2
x x
=
có
1 2 2 2
0
b
S x x x x
a
= + = + = =

( 1) 0
1 0
1
m
m
m
=
=

=
* Kết luận : Với m = 1 thì biểu thức A đạt giá trị lớn nhất là - 2
2) Loại toán tính giá trị biểu thức chứa tổng, tích 2 nghiệm
Bài tập 4: Cho phơng trình :
2 2
( 1) 2 0x m x m m + =

a) Chứng minh rằng phơng trình luôn có 2 nghiệm trái dấu với mọi m
b) Gọi 2 nghiệm là x
1
và x
2
tìm giá trị của m để
2 2
1 2
x x+
đạt giá trị nhỏ nhất.
Giải:
a ) Ta có a = 1 > 0
4

2 2
2
2
2 ( 2)
1 7
( )
4 4
1 7 7
( ) 0

2 4 4
c m m m m
m m
m
= + = +
= + +

= <
a, c trái dấu nên phơng trình luôn luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi tham
số m
Theo hệ thức Vi ét P =
2
1 2
. 2 0
c
x x m m
a
= = + <
do đó 2 nghiệm trái
dấu
b) Ta có

2 2
( 1) 2( 2)m m m
= +
=
2
2 2
2 1 2 2 4 3 4 5m m m m m m
+ + + = +

2 2
4 5 2 4 11
3 3( 2 )
3 3 3 9 9
m m m m

= + = + +
ữ


2
2 11 11
3( )
3 3 3
m
= +
Vậy Min
( )
2 2
1 2
11
3
x x
+ =
khi m =
2
3

Bài tập 5:

Cho phơng trình
2 2
2 ( 2) 7 0x m x m
+ + =
Tìm giá trị dơng của m để phơng trình có 2 nghiệm trái dấu và nghiệm âm có
giá trị tuyệt đối bằng nghịch đảo của nghiệm kia
Giải :
Ta có a = 2 > 0
Phong trình có 2 nghiệm trái dấu
2
7 0 7 7m m + < < <
Với điều kiện này giả sử x
1
< 0 ,x
2
> 0 theo đề ra ta có
5
2 2 2
1 2 1 2 1 2
( ) 2x x x x x x
+ = +
2
, 2 2
( 2) (5 3)m m

= + +

6