ĐỀ THI HSG MÔN TOÁN 12 TỈNH HÀ NAM 2013

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HÀ NAM
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
KỲ THI HỌC CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH
LỚP 12 THPT NĂM 2013
Môn: TOÁN
Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề)
Ngày thi: 02/03/2013
(Đề thi có 01 trang, gồm 5 câu)
Câu 1.(4,0 điểm)
1) Cho hàm số
2
1
x
y
x
+
=
−
(H). Tìm điểm M thuộc (H) sao cho tiếp tuyến tại M cắt hai
đường tiệm cận tại hai điểm A,B sao cho đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB có bán
kính nhỏ nhất với I là giao 2 đường tiệm cận
2) Cho đồ thị (C) có phương trình :
2
4 2 1y x x x= + + +
. Tìm trên trục tung điểm A
sao cho qua A kẻ được ít nhất một tiếp tuyến đến đồ thị (C)
Câu 2. (5,0 điểm)
1)Tìm số thực x thỏa mãn phương trình
( )
2

2 2
1 2 1 1
log 2 3 log 1 2 2
2
x
x x x
x x
 
 ÷
 
+
+ + + = + + + +
2)Biện luận theo m số nghiệm thực của phương trình:

( )
( )
( )
2
2
2 3
3 1 2 1 1x x x m x− + − + = +
Câu 3. (2,0 điểm) Tính tích phân J =
( )
2
2
2
0
3 1
2
3 4 4

2 1
4 4 1
x x
x x dx
x x
−
 
 
 
 
 
− −
+ +
+ +
∫

Câu 4.( 7,0điểm)
1) Cho tY diện ABCD có
·
· ·
60 , , ,BAC CAD DAB AB a AC b AD c= = = = = =
o
a) Tính thể tích khối tY diện theo a,b,c.
b) Cho a,b,c thay đ\i thỏa mãn
2013a b c+ + ≥
Tìm giá trị nhỏ nhất của chu vi tam
giác BCD.
2) Cho hình lăng trụ ABCA’B’C’, đáy ABC là tam giác cân có AB=AC=a( a là một
số thực dương) và mặt bên ACC’A’ là hình chữ nhật có AA’ =2a. Hình chiếu H của
đỉnh B lên mặt phẳng (ACC’) nằm trên đoạn thẳng A’C. Khi B thay đ\i xác định vị trí

của H trên A’C sao cho khối lăng trụ ABCA’B’C’ có thể tích lớn nhất, khi đó tính thể
tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’
Câu 5.(2,0 điểm) Cho
0;
2
x
π
 
∈
 ÷
 
chYng minh rằng
sin sinxx <
.
HẾT
Giám thị không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh Số báo danh
Chữ ký của Giám thị 1
Chữ ký của Giám thị 2