ÔN TS 10

Chuyên đề I: Căn thức bậc hai
B ài 1 :
1) Đơn giản biểu thức : P =
14 6 5 14 6 5+ +
.
2) Cho biểu thức : Q =
x 2 x 2 x 1
.
x 1
x 2 x 1 x

+ +

ữ
ữ

+ +


a) Rút gọn biểu thức Q.
b) Tìm x để
Q
> - Q.
c) Tìm số nguyên x để Q có giá trị nguyên.
H ớng dẫn :
1. P = 6
2. a) ĐKXĐ : x > 0 ; x

1. Biểu thức rút gọn : Q =
1

2
x
.
b)
Q
> - Q

x > 1.
c) x =
{ }
3;2
thì Q

Z
B ài 2 : Cho biểu thức P =
1 x
x 1 x x
+
+
a) Rút gọn biểu thức sau P.
b) Tính giá trị của biểu thức P khi x =
1
2
.
H ớng dẫn :
a) ĐKXĐ : x > 0 ; x

1. Biểu thức rút gọn : P =
x
x

+
1
1
.
b) Với x =
1
2
thì P = - 3 2
2
.
B ài 3 : Cho biểu thức : A =
1
1
1
1
+



+
x
x
x
xx
a) Rút gọn biểu thức sau A.
b) Tính giá trị của biểu thức A khi x =
4
1
c) Tìm x để A < 0.

d) Tìm x để
A
= A.
H ớng dẫn :
a) ĐKXĐ : x

0, x

1. Biểu thức rút gọn : A =
1x
x
.
b) Với x =
4
1
thì A = - 1.
c) Với 0

x < 1 thì A < 0.
d) Với x > 1 thì
A
= A.

B ài 4 : Cho biểu thức : A =
1 1 3
1
a 3 a 3 a

+
ữ ữ

+


Các bài tập chọn lọc - ôn tập toán 9 năm học 2009 - 20101

a) Rút gọn biểu thức sau A.
b) Xác định a để biểu thức A >
2
1
.
H ớng dẫn :
a) ĐKXĐ : a > 0 và a

9. Biểu thức rút gọn : A =
3
2
+a
.
b) Với 0 < a < 1 thì biểu thức A >
2
1
.
B ài 5 : Cho biểu thức: A =
2
2
x 1 x 1 x 4x 1 x 2003
.
x 1 x 1 x 1 x

+ +

+
ữ
+

.
1) Tìm điều kiện đối với x để biểu thức có nghĩa.
2) Rút gọn A.
3) Với x

Z ? để A

Z ?
H ớng dẫn :
a) ĐKXĐ : x 0 ; x

1.
b) Biểu thức rút gọn : A =
x
x 2003+
với x 0 ; x

1.
c) x = - 2003 ; 2003 thì A

Z .
B ài 6 : Cho biểu thức: A =
( )
2 x 2 x 1
x x 1 x x 1
:

x 1
x x x x
+

+

ữ
ữ

+

.
a) Rút gọn A.
b) Tìm x để A < 0.
c) Tìm x nguyên để A có giá trị nguyên.
H ớng dẫn :
a) ĐKXĐ : x > 0 ; x 1. Biểu thức rút gọn : A =
1
1

+
x
x
.
b) Với 0 < x < 1 thì A < 0.
c) x =
{ }
9;4
thì A

Z.
B ài 7 : Cho biểu thức: A =
x 2 x 1 x 1
:
2
x x 1 x x 1 1 x

+
+ +
ữ
ữ
+ +

a) Rút gọn biểu thức A.
b) Chứng minh rằng: 0 < A < 2.
H ớng dẫn :
a) ĐKXĐ : x > 0 ; x 1. Biểu thức rút gọn : A =
1
2
++ xx
b) Ta xét hai trờng hợp :
+) A > 0


1
2
++ xx
> 0 luôn đúng với x > 0 ; x 1 (1)
+) A < 2

1
2
++ xx
< 2

2(
1++ xx
) > 2


xx +
> 0 đúng vì theo gt thì x > 0. (2)
Từ (1) và (2) suy ra 0 < A < 2(đpcm).
B ài 8 : Cho biểu thức: P =
a 3 a 1 4 a 4
4 a
a 2 a 2
+
+

+
(a

0; a

4)
a) Rút gọn P.
b) Tính giá trị của P với a = 9.
Các bài tập chọn lọc - ôn tập toán 9 năm học 2009 - 20102

H ớng dẫn :
a) ĐKXĐ : a

0, a

4. Biểu thức rút gọn : P =
2
4
a
b) Ta thấy a = 9

ĐKXĐ . Suy ra P = 4
B ài 9 : Cho biểu thức: N =
a a a a
1 1
a 1 a 1

+
+
ữ ữ
ữ ữ
+


1) Rút gọn biểu thức N.
2) Tìm giá trị của a để N = -2004.
H ớng dẫn :
a) ĐKXĐ : a

0, a

1. Biểu thức rút gọn : N = 1 a .
b) Ta thấy a = - 2004

ĐKXĐ . Suy ra N = 2005.
B ài 10 : Cho biểu thức
3x
3x
1x
x2
3x2x
19x26xx
P
+

+


+
+
=
a. Rút gọn P.
b. Tính giá trị của P khi
347x =

c. Với giá trị nào của x thì P đạt giá trị nhỏ nhất và tính giá trị nhỏ nhất đó.
H ớng dẫn :
a ) ĐKXĐ : x

0, x

1. Biểu thức rút gọn :
3x
16x
P
+
+
=

b) Ta thấy
347x =


ĐKXĐ . Suy ra
22
33103
P
+
=

c) P
min
=4 khi x=4.
B ài 11 : Cho biểu thức

+

+
+
+
= 1
3
22
:
9
33
33
2
x
x

x
x
x
x
x
x
P
a. Rút gọn P. b. Tìm x để
2
1
P <
c. Tìm giá trị nhỏ nhất của P.
H ớng dẫn :
a. ) ĐKXĐ : x

0, x

9. Biểu thức rút gọn :
3x
3
P
+

=

b. Với
9x0
<
thì
2

1
P <

c. P
min
= -1 khi x = 0
Bài 12: Cho A=
1 1 1
4 .
1 1
a a
a a
a a a

+

+ +
ữ
ữ
ữ
+


với x>0 ,x

1
a. Rút gọn A
b. Tính A với a =
( ) ( )
(

)
4 15 . 10 6 . 4 15+
( KQ : A= 4a )
Bài 13: Cho A=
3 9 3 2
1 :
9
6 2 3
x x x x x
x
x x x x


+
ữ ữ
ữ ữ

+ +

với x

0 , x

9, x

4 .
a. Rút gọn A.
b. x= ? Thì A < 1.
c. Tìm
x Z

để
A Z
Các bài tập chọn lọc - ôn tập toán 9 năm học 2009 - 20103

(KQ : A=
3
2x
)
Bài 14: Cho A =
15 11 3 2 2 3
2 3 1 3
x x x
x x x x
+
+
+ +
với x

0 , x

1.
a. Rút gọn A.
b. Tìm GTLN của A.
c. Tìm x để A =
1
2
d. CMR : A
2
3

. (KQ: A =
2 5
3
x
x

+
)
Bài 15: Cho A =
2 1 1
1 1 1
x x
x x x x x
+ +
+ +
+ +
với x

0 , x

1.
a . Rút gọn A.
b. Tìm GTLN của A . ( KQ : A =
1
x
x x+ +
)
Bài 16: Cho A =
1 3 2

1 1 1x x x x x
+
+ + +
với x

0 , x

1.
a . Rút gọn A.
b. CMR :
0 1A

( KQ : A =
1
x
x x +
)
Bài 17: Cho A =
5 25 3 5
1 :
25
2 15 5 3
x x x x x
x
x x x x

+
+
ữ ữ
ữ ữ

+ +

a. Rút gọn A.
b. Tìm
x Z
để
A Z
( KQ : A =
5
3x +
)
Bài 18: Cho A =
2 9 3 2 1
5 6 2 3
a a a
a a a a
+ +

+
với a

0 , a

9 , a

4.
a. Rút gọn A.
b. Tìm a để A < 1
c. Tìm

a Z
để
A Z
( KQ : A =
1
3
a
a
+

)
Bài 19: Cho A=
7 1 2 2 2
:
4 4
2 2 2
x x x x x
x x
x x x

+ +
+
ữ ữ
ữ ữ

+

với x > 0 , x

4.

a. Rút gọn A.
b. So sánh A với
1
A
( KQ : A =
9
6
x
x
+
)
Bài20: Cho A =
( )
2
3 3
:
x y xy
x y
x y
y x
x y x y

+


ữ
+
ữ

+

với x

0 , y

0,
x y
Các bài tập chọn lọc - ôn tập toán 9 năm học 2009 - 20104

a. Rút gọn A.
b. CMR : A

0 ( KQ : A =
xy
x xy y +
)
Bài 21 : Cho A =
1 1 1 1 1
.
1 1
x x x x x x
x
x x x x x x x

+ +

+ +
ữ
ữ
ữ

+ +


Với x > 0 , x

1.
a. Rút gọn A.
b. Tìm x để A = 6 ( KQ : A =
( )
2 1x x
x
+ +
)
Bài 22 : Cho A =
( )
4 3 2
:
2 2
2
x x x
x x x
x x


+
ữ
+
ữ
ữ
ữ

với x > 0 , x

4.
a. Rút gọn A
b. Tính A với x =
6 2 5
(KQ: A =
1 x
)
Bài 23 : Cho A=
1 1 1 1 1
:
1 1 1 1 2x x x x x

+ +
ữ ữ
+ +

với x > 0 , x

1.
a. Rút gọn A
b. Tính A với x =
6 2 5
(KQ: A =
3

2 x
)
Bài 24 : Cho A=
3
2 1 1 4
: 1
1 1
1
x x
x x x
x

+ +


ữ
ữ
ữ
+ +



với x

0 , x

1.
a. Rút gọn A.
b. Tìm
x Z

để
A Z
(KQ: A =
3
x
x
)
Bài 25: Cho A=
1 2 2 1 2
:
1
1 1 1
x
x
x x x x x x




ữ
ữ
ữ

+ +


với x

0 , x

1.
a. Rút gọn A.
b. Tìm
x Z
để
A Z

c. Tìm x để A đạt GTNN . (KQ: A =
1
1
x
x

+
)
Bài 26 : Cho A =
2 3 3 2 2
: 1
9
3 3 3
x x x x
x
x x x

+
+
ữ ữ
ữ ữ

+

với x

0 , x

9
. a. Rút gọn A.
b. Tìm x để A < -
1
2
( KQ : A =
3
3a

+
)
Bài 27 : Cho A =
1 1 8 3 1
:
1 1
1 1 1
x x x x x
x x
x x x

+

ữ ữ
ữ ữ

+

với x

0 , x

1.
a. Rút gọn A
b. Tính A với x =
6 2 5
(KQ: A =
4
4
x
x +
)
Các bài tập chọn lọc - ôn tập toán 9 năm học 2009 - 20105

c . CMR : A
1
Bài 28 : Cho A =
1 1 1
:
1 2 1
x
x x x x x
+

+

ữ
+

với x > 0 , x

1.
a. Rút gọn A (KQ: A =
1x
x

)
b.So sánh A với 1
Bài 29 : Cho A =
1 1 8 3 2
: 1
9 1
3 1 3 1 3 1
x x x
x
x x x


+
ữ ữ
ữ ữ

+ +

Với
1

0,
9
x x
a. Rút gọn A.
b. Tìm x để A =
6
5
c. Tìm x để A < 1.
( KQ : A =
3 1
x x
x
+

)
Bài30 : Cho A =
2
2 2 2 1
.
1 2
2 1
x x x x
x
x x

+ +

ữ
ữ

+ +

với x

0 , x

1.
a. Rút gọn A.
b. CMR nếu 0 < x < 1 thì A > 0
c. Tính A khi x =3+2
2
d. Tìm GTLN của A (KQ: A =
(1 )x x
)
Bài 31 : Cho A =
2 1 1
:
2
1 1 1
x x x
x x x x x

+
+ +
ữ
ữ
+ +

với x

0 , x

1.

a. Rút gọn A.
b. CMR nếu x

0 , x

1 thì A > 0 , (KQ: A =
2
1x x+ +
)
Bài 32 : Cho A =
4 1 2
1 :
1 1
1
x x
x x
x


+
ữ

+

với x > 0 , x

1, x

4.
a. Rút gọn
b. Tìm x để A =
1
2
Bài 33 : Cho A =
1 2 3 3 2
:
1 1
1 1
x x x x
x x
x x

+ +

+
ữ
ữ
ữ

+


với x

0 , x

1.
a. Rút gọn A.
b. Tính A khi x= 0,36
c. Tìm
x Z

để
A Z

Bài 34 : Cho A=
3 2 2
1 :
1 2 3 5 6
x x x x
x x x x x

+ + +
+ +
ữ ữ
ữ ữ
+ +

với x

0 , x

9 , x

4.
a. Rút gọn A.

b. Tìm
x Z
để
A Z

c. Tìm x để A < 0 (KQ: A =
2
1
x
x

+
)
Các bài tập chọn lọc - ôn tập toán 9 năm học 2009 - 20106

Chuyên đề II: hàm số bậc nhất
B ài 1 :
1) Viết phơng trình đờng thẳng đi qua hai điểm (1 ; 2) và (-1 ; -4).
2) Tìm toạ độ giao điểm của đờng thẳng trên với trục tung và trục hoành.
H ớng dẫn :
1) Gọi pt đờng thẳng cần tìm có dạng : y = ax + b.
Do đờng thẳng đi qua hai điểm (1 ; 2) và (-1 ; -4) ta có hệ pt :



+=
+=
ba
ba
4

2



=
=

1
3
b
a
Vậy pt đờng thẳng cần tìm là y = 3x 1
2) Đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng -1 ; Đồ thị cắt trục hoành tại điểm có hoành độ
bằng
3
1
.
B ài 2 : Cho hàm số y = (m 2)x + m + 3.
1) Tìm điều kiện của m để hàm số luôn nghịch biến.
2) Tìm m để đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 3.
3) Tìm m để đồ thị của hàm số trên và các đồ thị của các hàm số y = -x + 2 ; y = 2x 1 đồng quy.
H ớng dẫn :
1) Hàm số y = (m 2)x + m + 3

m 2 < 0

m < 2.
2) Do đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 3. Suy ra : x= 3 ; y = 0
Thay x= 3 ; y = 0 vào hàm số y = (m 2)x + m + 3, ta đợc m =
4

3
.
3) Giao điểm của hai đồ thị y = -x + 2 ; y = 2x 1 là nghiệm của hệ pt :



=
+=
12
2
xy
xy

(x;y) = (1;1).
Để 3 đồ thị y = (m 2)x + m + 3, y = -x + 2 và y = 2x 1 đồng quy cần :
(x;y) = (1;1) là nghiệm của pt : y = (m 2)x + m + 3.
Với (x;y) = (1;1)

m =
2
1
B ài 3 : Cho hàm số y = (m 1)x + m + 3.
1) Tìm giá trị của m để đồ thị của hàm số song song với đồ thị hàm số y = -2x + 1.
2) Tìm giá trị của m để đồ thị của hàm số đi qua điểm (1 ; -4).
3) Tìm điểm cố định mà đồ thị của hàm số luôn đi qua với mọi m.
H ớng dẫn :
Các bài tập chọn lọc - ôn tập toán 9 năm học 2009 - 20107

1) Để hai đồ thị của hàm số song song với nhau cần : m 1 = - 2

m = -1.
Vậy với m = -1 đồ thị của hàm số song song với đồ thị hàm số y = -2x + 1.
2) Thay (x;y) = (1 ; -4) vào pt : y = (m 1)x + m + 3. Ta đợc : m = -3.
Vậy với m = -3 thì đồ thị của hàm số đi qua điểm (1 ; -4).
3) Gọi điểm cố định mà đồ thị luôn đi qua là M(x
0

;y
0
). Ta có
y
0
= (m 1)x
0
+ m + 3

(x
0
1)m - x
0
- y
0
+ 3 = 0





=
=

2
1
0
0
y
x
Vậy với mọi m thì đồ thị luôn đi qua điểm cố định (1;2).
B ài 4 : Cho hai điểm A(1 ; 1), B(2 ; -1).
1) Viết phơng trình đờng thẳng AB.
2) Tìm các giá trị của m để đờng thẳng y = (m
2
3m)x + m
2
2m + 2 song song với đờng thẳng
AB đồng thời đi qua điểm C(0 ; 2).
H ớng dẫn :
1) Gọi pt đờng thẳng AB có dạng : y = ax + b.
Do đờng thẳng đi qua hai điểm (1 ; 1) và (2 ;-1) ta có hệ pt :



+=
+=
ba
ba
21
1

=
=

3
2
b
a
Vậy pt đờng thẳng cần tìm là y = - 2x + 3.
2) Để đờng thẳng y = (m
2
3m)x + m
2
2m + 2 song song với đờng thẳng AB đồng thời đi qua
điểm C(0 ; 2) ta cần :





=+
=
222
23
2
2
mm
mm

m = 2.
Vậy m = 2 thì đờng thẳng y = (m

2
3m)x + m
2
2m + 2 song song với đờng thẳng AB đồng
thời đi qua điểm C(0 ; 2)
B ài 5 : Cho hàm số y = (2m 1)x + m 3.
1) Tìm m để đồ thị của hàm số đi qua điểm (2; 5)
2) Chứng minh rằng đồ thị của hàm số luôn đi qua một điểm cố định với mọi m. Tìm điểm cố định
ấy.
3) Tìm m để đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ x =
2 1
.
H ớng dẫn :
1) m = 2.
2) Gọi điểm cố định mà đồ thị luôn đi qua là M(x
0

;y
0
). Ta có
y
0
= (2m 1)x
0
+ m - 3

(2x
0
+ 1)m - x
0

- y
0
- 3 = 0










=

=
2
5
2
1
0
0
y
x
Vậy với mọi m thì đồ thị luôn đi qua điểm cố định (
2
5
;
2
1

).
Baứi 6 : Tìm giá trị của k để các đờng thẳng sau :
y =
6 x
4

; y =
4x 5
3

và y = kx + k + 1 cắt nhau tại một điểm.
B ài 7 : Giả sử đờng thẳng (d) có phơng trình y = ax + b. Xác định a, b để (d) đi qua hai điểm A(1;
3) và B(-3; -1).
B ài 8 : Cho hàm số : y = x + m (D).
Tìm các giá trị của m để đờng thẳng (D) :
1) Đi qua điểm A(1; 2003).
2) Song song với đờng thẳng x y + 3 = 0.
Các bài tập chọn lọc - ôn tập toán 9 năm học 2009 - 20108

Chuyên đề III:
Phơng trình bất phơng trình bậc nhất một ần
Hệ phơng trình bậc nhất 2 ẩn .
A. kiến thức cần nhớ :
1. Phơng trình bậc nhất : ax + b = 0.
Ph ơng pháp giải :
+ Nếu a 0 phơng trình có nghiệm duy nhất : x =
b
a
.
+ Nếu a = 0 và b 0

phơng trình vô nghiệm.
+ Nếu a = 0 và b = 0

phơng trình có vô số nghiệm.
2. Hệ phơng trình bậc nhất hai ẩn :



=+
=+
c'y b' x a'
c by ax
Ph ơng pháp giải :
Sử dụng một trong các cách sau :
+) Phơng pháp thế : Từ một trong hai phơng trình rút ra một ẩn theo ẩn kia , thế vào phơng trình
thứ 2 ta đợc phơng trình bậc nhất 1 ẩn.
+) Phơng pháp cộng đại số :
- Quy đồng hệ số một ẩn nào đó (làm cho một ẩn nào đó của hệ có hệ số bằng nhau hoặc đối
nhau).
- Trừ hoặc cộng vế với vế để khử ẩn đó.
- Giải ra một ẩn, suy ra ẩn thứ hai.
B. Ví dụ minh họa :
Ví dụ 1 : Giải các phơng trình sau đây :
a)
2
2 x
x

1 -x

x
=
+
+
ĐS : ĐKXĐ : x 1 ; x - 2. S =
{ }
4
.
b)
1 x x
1 - 2x
3
3
++
= 2
Giải : ĐKXĐ :
1 x x
3
++
0. (*)
Khi đó :
1 x x
1 - 2x
3
3
++
= 2

2x = - 3

x =
2
3
Với

x =
2
3
thay vào (* ) ta có (
2
3
)
3
+
2
3
+ 1 0
Vậy x =
2
3
là nghiệm.
Ví dụ 2 : Giải và biện luận phơng trình theo m :
(m 2)x + m
2
4 = 0 (1)
+ Nếu m

2 thì (1)

x = - (m + 2).

+ Nếu m = 2 thì (1) vô nghiệm.
Ví dụ 3 : Tìm m

Z để phơng trình sau đây có nghiệm nguyên .
(2m 3)x + 2m
2
+ m - 2 = 0.
Giải :
Ta có : với m

Z thì 2m 3

0 , vây phơng trình có nghiệm : x = - (m + 2) -
3 - m2
4
.
để pt có nghiệm nguyên thì 4

2m 3 .
Giải ra ta đợc m = 2, m = 1.
Ví dụ 3 : Tìm nghiệm nguyên dơng của phơng trình : 7x + 4y = 23.
Giải :
Các bài tập chọn lọc - ôn tập toán 9 năm học 2009 - 20109

a) Ta có : 7x + 4y = 23

y =
4
7x - 23
= 6 2x +

4
1 x
Vì y

Z

x 1

4.
Giải ra ta đợc x = 1 và y = 4
bài tập phần hệ pt
B ài 1 : Giải hệ phơng trình:
a)
2x 3y 5
3x 4y 2
=


+ =

b)
x 4y 6
4x 3y 5
+ =


=

c)
2x y 3

5 y 4x
=


+ =

d)
x y 1
x y 5
=


+ =

e)
2x 4 0
4x 2y 3
+ =


+ =

f)
2 5
2
x x y
3 1
1,7
x x y

+ =

+



+ =

+


B ài 2 : Cho hệ phơng trình :
mx y 2
x my 1
=


+ =

1) Giải hệ phơng trình theo tham số m.
2) Gọi nghiệm của hệ phơng trình là (x, y). Tìm các giá trị của m để x + y = -1.
3) Tìm đẳng thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m.
B ài 3 : Cho hệ phơng trình:
x 2y 3 m
2x y 3(m 2)
=


+ = +

1) Giải hệ phơng trình khi thay m = -1.
2) Gọi nghiệm của hệ phơng trình là (x, y). Tìm m để x
2
+ y
2
đạt giá trị nhỏ nhất.
B ài 4 : Cho hệ phơng trình:
(a 1)x y a
x (a 1)y 2
+ =


+ =

có nghiệm duy nhất là (x; y).
1) Tìm đẳng thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào a.
2) Tìm các giá trị của a thoả mãn 6x
2
17y = 5.
3) Tìm các giá trị nguyên của a để biểu thức
2x 5y
x y

+
nhận giá trị nguyên.
B ài 5 : Cho hệ phơng trình:
x ay 1
(1)
ax y 2
+ =

+ =

1) Giải hệ (1) khi a = 2.
2) Với giá trị nào của a thì hệ có nghiệm duy nhất.
B ài 6 : Xác định các hệ số m và n, biết rằng hệ phơng trình
mx y n
nx my 1
=


+ =


có nghiệm là
( )
1; 3
.
B ài 7 : Cho hệ phơng trình
( )
a 1 x y 4
ax y 2a

+ + =


+ =

(a là tham số).
Các bài tập chọn lọc - ôn tập toán 9 năm học 2009 - 201010

1) Gi¶i hƯ khi a = 1.
2) Chøng minh r»ng víi mäi a hƯ lu«n cã nghiƯm duy nhÊt (x ; y) tho¶ m·n x + y
≥
2.
B µi 8 (trang 22): Cho hƯ ph¬ng tr×nh :



=+
=+
1 - m 4y 2)x - (m
0 3)y (m -x
(m lµ tham sè).
a) Gi¶i hƯ khi m = -1.
b) Gi¶i vµ biƯn ln pt theo m.
B µi 9 : (trang 24): Cho hƯ ph¬ng tr×nh :



+=−
=
1 m 4y mx
0 y m -x
(m lµ tham sè).
a) Gi¶i hƯ khi m = -1.
b) Tìm giá trò nguyên của m để hệ có hai nghiệm nguyên.
c) Xác đònh mọi hệ có nghiệm x > 0, y > 0.

B µi 10 (trang 23): Một ôtô và một xe đạp chuyển động đi từ 2 đầu một đoạn đường sau 3 giờ
thì gặp nhau. Nếu đi cùng chiều và xuất phát tại một điểm thì sau 1 giờ hai xe cách nhau 28
km. Tính vận tốc của mỗi xe.
HD : Vận tốc xe đạp : 12 km/h . Vận tốc ôtô : 40 km/h.
B µi 11 : (trang 24): Một ôtô đi từ A dự đònh đến B lúc 12 giờ trưa. Nếu xe chạy với vận tốc
35 km/h thì sẽ đến B lúc 2 giờ chiều. Nếu xe chạy với vận tốc 50 km/h thì sẽ đến B lúc 11 giờ
trưa. Tính độ quảng đường AB và thời diểm xuất phát tại A.
Đáp số : AB = 350 km, xuất phát tại A lúc 4giờ sáng.
B µi 12 : (trang 24): Hai vòi nước cùng chảy vào một cài bể nước cạn, sau
5
4
4
giờ thì đầy bể.
Nếu lúc đầu chỉ mở vòi thứ nhất, sau 9 giờ mở vòi thứ hai thì sau
5
6
giờ nữa mới nay bể . Nếu
một mình vòi thứ hai chảy bao lâu sẽ nay bể.
Đáp số : 8 giờ.
B µi 13 : (trang 24): Biết rằng m gam kg nước giảm t
0
C thì tỏa nhiệt lượng Q = mt (kcal). Hỏi
phải dùng bao nhiêu lít 100
0
C và bao nhiêu lít 20
0
C để được hỗn hợp 10 lít 40
0
C.
Hường dãn :

Ta có hệ pt :



=+
=+
400 20y 100x
10 y x

⇔




=
=
7,5 y
2,5 x
Vậy cần 2,5 lít nước sôi và 75 lít nước 20
0
C.
B µi 14 : Khi thêm 200g axít vào dung dòch axít thì dung dòch mới có nồng độ 50%. Lại thêm
300g nước vào dung dòch mới được dung dòch axít có nồng độ 40%. Tính nồng độ axít trong
dung dòch ban đầu.
Hường dãn :Gọi x khối axit ban đầu, y là khối lượng dung dòch ban đầu.
Theo bài ra ta có hệ pt :








=
+
+
=
+
+
%40%100.
500 y
200) (
%50%100.
200 y
200) (
x
x

⇔




=
=
1000 y
400x

Vậy nồng độ phần trăm của dung dòch axít ban đầu là 40%.
Chuyªn ®Ị iV: Ph¬ng tr×nh bËc hai

®Þnh lý viet vµ øng dơng
A.Kiến thức cần ghi nhớ
1. Để biện luận sự có nghiệm của phương trình : ax
2
+ bx + c = 0 (1) trong đó a,b ,c phụ
thuộc tham số m,ta xét 2 trường hợp
C¸c bµi tËp chän läc - «n tËp to¸n 9 – n¨m häc 2009 - 201011

a)Nu a= 0 khi ú ta tỡm c mt vi giỏ tr no ú ca m ,thay giỏ tr ú vo
(1).Phng trỡnh (1) tr thnh phng trỡnh bc nht nờn cú th : - Cú mt nghim duy
nht
- hoc vụ nghim
- hoc vụ s nghim
b)Nu a

0
Lp bit s

= b
2
4ac hoc

/
= b
/2
ac
*

< 0 (

/
< 0 ) thỡ phng trỡnh (1) vụ nghim
*

= 0 (

/
= 0 ) : phng trỡnh (1) cú nghim kộp x
1,2
= -
a
b
2
(hoc x
1,2
= -
a
b
/
)
*

> 0 (

/
> 0 ) : phng trỡnh (1) cú 2 nghim phõn bit:
x
1
=
a

b
2

; x
2
=
a
b
2
+
(hoc x
1
=
a
b
//

; x
2
=
a
b
//
+
)
2. nh lý Viột.
Nu x
1
, x
2

l nghim ca phng trỡnh ax
2
+ bx + c = 0 (a

0) thỡ
S = x
1
+ x
2
= -
a
b
p = x
1
x
2
=
a
c
o lại: Nu cú hai s x
1
,x
2
m x
1
+ x
2
= S v x
1
x

2
= p thỡ hai s ú l nghim (nu có )
của phơng trình bậc 2:
x
2
S x + p = 0
3. Dấu của nghiệm số của phơng trình bậc hai.
Cho phơng trình bậc hai ax
2
+ bx + c = 0 (a

0) . Gọi x
1
,x
2
là các nghiệm của phơng trình .Ta
có các kết quả sau:
x
1
và x
2
trái dấu( x
1
< 0 < x
2
)

p < 0
Hai nghiệm cùng dơng( x
1

> 0 và x
2
> 0 )






>
>

0
0
0
S
p
Hai nghiệm cùng âm (x
1
< 0 và x
2
< 0)







<

>

0
0
0
S
p
Một nghiệm bằng 0 và 1 nghiệm dơng( x
2
> x
1
= 0)






>
=
>
0
0
0
S
p
Một nghiệm bằng 0 và 1 nghiệm âm (x
1
< x
2

= 0)






<
=
>
0
0
0
S
p
Các bài tập chọn lọc - ôn tập toán 9 năm học 2009 - 201012

4. Vài bài toán ứng dụng định lý Viét
a)Tính nhẩm nghiệm.
Xét phơng trình bậc hai: ax
2
+ bx + c = 0 (a

0)
Nếu a + b + c = 0 thì phơng trình có hai nghiệm x
1
= 1 , x
2
=
a

c
Nếu a b + c = 0 thì phơng trình có hai nghiệm x
1
= -1 , x
2
= -
a
c
Nếu x
1
+ x
2
= m +n , x
1
x
2
= mn và
0

thì phơng trình có nghiệm
x
1
= m , x
2
= n hoặc x
1
= n , x
2
= m
b) Lập phơng trình bậc hai khi biết hai nghiệm x

1
,x
2
của nó
Cách làm : - Lập tổng S = x
1
+ x
2

- Lập tích p = x
1
x
2
- Phơng trình cần tìm là : x
2
S x + p = 0
c)Tìm điều kiện của tham số để phơng trình bậc 2 có nghệm x
1
, x
2
thoả mãn điều kiện cho
trớc.(Các điều kiện cho trớc thờng gặp và cách biến đổi):
*) x
1
2
+ x
2
2
= (x
1

+ x
2
)
2
2x
1
x
2
= S
2
2p
*) (x
1
x
2
)
2
= (x
1
+ x
2
)
2
4x
1
x
2
= S
2
4p

*) x
1
3
+ x
2
3
= (x
1
+ x
2
)
3
3x
1
x
2
(x
1
+ x
2
) = S
3
3Sp
*) x
1
4
+ x
2
4
= (x

1
2
+ x
2
2
)
2
2x
1
2
x
2
2
*)
21
21
21
11
xx
xx
xx
+
=+
=
p
S
*)
21
2
2

2
1
1
2
2
1
xx
xx
x
x
x
x +
=+
=
p
pS 2
2

*) (x
1
a)( x
2
a) = x
1
x
2
a(x
1
+ x
2

) + a
2
= p aS + a
2
*)
2
21
21
21
2
))((
2
11
aaSp
aS
axax
axx
axax
+

=

+
=

+

(Chú ý : các giá trị của tham số rút ra từ điều kiện cho trớc phải thoả mãn điều kiện
0
)

d)Tìm điều kiện của tham số để phơng trình bậc hai có một nghiệm x = x
1
cho trớc .Tìm
nghiệm thứ 2
Cách giải:
Tìm điều kiện để phơng trình có nghiệm x= x
1
cho trớc có hai cách làm
+) Cách 1:- Lập điều kiện để phơng trình bậc 2 đã cho có 2 nghiệm:

0

(hoặc
0
/

) (*)
- Thay x = x
1
vào phơng trình đã cho ,tìm đợc giá trị của
tham số
- Đối chiếu giá trị vừa tìm đợc của tham số với điều kiện(*)
để kết luận
+) Cách 2: - Không cần lập điều kiện
0

(hoặc
0
/

) mà ta thay luôn
x = x
1
vào phơng trình đã cho, tìm đợc giá trị của tham số
- Sau đó thay giá trị tìm đợc của tham số vào phơng trình và
giải phơng trình
Chú ý : Nếu sau khi thay giá trị của tham số vào phơng trình đã cho mà phơng trình bậc hai này
có

< 0 thì kết luận không có giá trị nào của tham số để phơng trình có nghiệm x
1
cho trớc.
Đê tìm nghiệm thứ 2 ta có 3 cách làm
+) Cách 1: Thay giá trị của tham số tìm đợc vào phơng trình rồi giải phơng trình (nh cách 2
trình bầy ở trên)
+) Cách 2 :Thay giá trị của tham số tìm đợc vào công thức tổng 2 nghiệm sẽ tìm đợc nghiệm
thứ 2
Các bài tập chọn lọc - ôn tập toán 9 năm học 2009 - 201013

+) Cách 3: thay giá trị của tham số tìm đợc vào công thức tích hai nghiệm ,từ đó tìm đợc
nghiệm thứ 2
B . Bài tập áp dụng
Bài 1: Giải và biện luận phơng trình : x
2
2(m + 1) +2m+10 = 0
Giải.
Ta có
/

= (m + 1)

2
2m + 10 = m
2
9
+ Nếu
/

> 0

m
2
9 > 0

m < - 3 hoặc m > 3 .Phơng trình đã cho có 2 nghiệm phân
biệt:
x
1

= m + 1 -
9
2
m
x
2
= m + 1 +
9
2
m
+ Nếu
/

= 0

m =

3
- Với m =3 thì phơng trình có nghiệm là x
1.2
= 4
- Với m = -3 thì phơng trình có nghiệm là x
1.2
= -2
+ Nếu
/

< 0

-3 < m < 3 thì phơng trình vô nghiệm
Kết kuận:
Với m = 3 thì phơng trình có nghiệm x = 4
Với m = - 3 thì phơng trình có nghiệm x = -2
Với m < - 3 hoặc m > 3 thì phơng trình có 2 nghiệm phân biệt

x
1

= m + 1 -
9
2
m

x
2
= m + 1 +
9
2
m
Với -3< m < 3 thì phơng trình vô nghiệm
Bài 2: Giải và biện luận phơng trình: (m- 3) x
2
2mx + m 6 = 0
Hớng dẫn
Nếu m 3 = 0

m = 3 thì phơng trình đã cho có dạng
- 6x 3 = 0

x = -
2
1
* Nếu m 3

0

m

3 .Phơng trình đã cho là phơng trình bậc hai có biệt số
/

= m
2

(m 3)(m 6) = 9m 18
- Nếu
/

= 0

9m 18 = 0

m = 2 .phơng trình có nghiệm kép
x
1
= x
2
= -
32
2
/

=
a
b
= - 2
- Nếu
/

> 0

m >2 .Phơng trình có hai nghiệm phân biệt
x

1,2
=
3
23


m
mm
- Nếu
/

< 0

m < 2 .Phơng trình vô nghiệm
Kết luận:
Với m = 3 phơng trình có nghiệm x = -
2
1
Với m = 2 phơng trình có nghiệm x
1
= x
2
= -2
Với m > 2 và m

3 phơng trình có nghiệm x
1,2
=
3
23

m
mm
Với m < 2 phơng trình vô nghiệm
Bài 3: Giải các phơng trình sau bằng cách nhẩm nhanh nhất
a) 2x
2
+ 2007x 2009 = 0
b) 17x
2
+ 221x + 204 = 0
c) x
2
+ (
53
)x -
15
= 0
d) x
2
(3 - 2
7
)x - 6
7
= 0
Giải
Các bài tập chọn lọc - ôn tập toán 9 năm học 2009 - 201014

a) 2x

2
+ 2007x 2009 = 0 có a + b + c = 2 + 2007 +(-2009) = 0
Vậy phơng trình có hai nghiệm phân biệt: x
1
= 1 , x
2
=
2
2009
=
a
c
b) 17x
2
+ 221x + 204 = 0 có a b + c = 17 221 + 204 = 0
Vậy phơng trình có hai nghiệm phân biệt: x
1
= -1 ,
x
2

= -
17
204
=
a
c
= - 12
c) x
2

+ (
53
)x -
15
= 0 có: ac = -
15
< 0 .
Do đó phơng trình có hai nghiệm phân biệt x
1
, x
2
.áp dụng hệ thức Viet ta có :
x
1
+ x
2
= -(
53
) = -
3
+
5
x
1
x
2
= -
15
= (-
3

)
5
Vậy phơng trình có 2 nghiệm là x
1
= -
3
, x
2
=
5

(hoặc x
1
=
5
, x
2
= -
3
)
d ) x
2
(3 - 2
7
)x - 6
7
= 0 có : ac = - 6
7
< 0
Do đó phơng trình có hai nghiệm phân biệt x

1
, x
2
.áp dụng hệ thức Viét ,ta có






==
=+
)73(-2 76 - xx
72 - 3 xx
2 1
2 1

Vậy phơng trình có 2 nghiệm x
1
= 3 , x
2
= - 2
7
Bài 4 : Giải các phơng trình sau bằng cánh nhẩm nhanh nhất (m là tham số)
a) x
2
+ (3m 5)x 3m + 4 = 0
b) (m 3)x
2
(m + 1)x 2m + 2 = 0

Hớng dẫn :
a) x
2
+ (3m 5)x 3m + 4 = 0 có a + b + c = 1 + 3m 5 3m + 4 = 0
Suy ra : x
1
= 2
Hoặc x
2
=
3
1+m
b) (m 3)x
2
(m + 1)x 2m + 2 = 0 (*)
* m- 3 = 0

m = 3 (*) trở thành 4x 4 = 0

x = - 1
* m 3

0

m

3 (*)

=
=

3
22
1
2
1
m
m
x
x

Bài 5: Gọi x
1
, x
2
là các nghịêm của phơng trình : x
2
3x 7 = 0
a) Tính:
A = x
1
2
+ x
2

2
B =
21
xx
C=
1
1
1
1
21

+
xx
D = (3x
1
+ x
2
)(3x
2
+ x
1
)
b) lập phơng trình bậc 2 có các nghiệm là
1
1
1
x
và
1
1

2
x
Giải ;
Phơng trình bâc hai x
2
3x 7 = 0 có tích ac = - 7 < 0 , suy ra phơng trình có hai nghiệm
phân biệt x
1
, x
2
.
Theo hệ thức Viét ,ta có : S = x
1
+ x
2
= 3 và p = x
1
x
2
= -7
a)Ta có
+ A = x
1
2
+ x
2
2
= (x
1
+ x

2
)
2
2x
1
x
2
= S
2
2p = 9 2(-7) = 23
+ (x
1
x
2
)
2
= S
2
4p => B =
21
xx
=
374
2
= pS

Các bài tập chọn lọc - ôn tập toán 9 năm học 2009 - 201015

+ C =
1

1
1
1
21

+
xx
=
9
1
1
2
)1)(1(
2)(
21
21
=
+

=

+
Sp
S
xx
xx

+ D = (3x
1
+ x

2
)(3x
2
+ x
1
) = 9x
1
x
2
+ 3(x
1
2
+ x
2
2
) + x
1
x
2

= 10x
1
x
2
+ 3 (x
1
2
+ x
2
2

)
= 10p + 3(S
2
2p) = 3S
2
+ 4p = - 1
b)Ta có :
S =
9
1
1
1
1
1
21
=

+
xx
(theo câu a)
p =
9
1
1
1
)1)(1(
1
21
=
+

=
Spxx
Vậy
1
1
1
x
và
1
1
2
x
là nghiệm của hơng trình :
X
2
SX + p = 0

X
2
+
9
1
X -
9
1
= 0

9X
2
+ X - 1 = 0

Bài 6 : Cho phơng trình :
x
2
( k 1)x - k
2
+ k 2 = 0 (1) (k là tham số)
1. Chứng minh phơng trình (1 ) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của k
2. Tìm những giá trị của k để phơng trình (1) có 2 nghiệm phân biệt trái dấu
3. Gọi x
1
, x
2
là nghệm của phơng trình (1) .Tìm k để : x
1
3
+ x
2
3
> 0
Giải.
1. Phơng trình (1) là phơng trình bậc hai có:


= (k -1)
2
4(- k
2
+ k 2) = 5k
2
6k + 9 = 5(k

2
-
5
6
k +
5
9
)
= 5(k
2
2.
5
3
k +
25
9
+
25
36
) = 5(k -
5
3
) +
5
36
> 0 với mọi giá trị của k. Vậy phơng
trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt
2. Phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt trái dấu

p < 0

- k
2
+ k 2 < 0

- ( k
2
2.
2
1
k +
4
1
+
4
7
) < 0

-(k -
2
1
)
2

-
4
7
< 0 luôn đúng với mọi k.Vậy phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt trái dấu
với mọi k

3. Ta có x
1
3
+ x
2
3
= (x
1
+ x
2
)
3
3x
1
x
2
(x
1
+ x
2
)
Vì phơng trình có nghiệm với mọi k .Theo hệ thức viét ta có
x
1
+ x
2
= k 1 và x
1
x
2

= - k
2
+ k 2
x
1
3
+ x
2
3
= (k 1)
3
3(- k
2
+ k 2)( k 1)
= (k 1) [(k 1)
2
- 3(- k
2
+ k 2)]
= (k 1) (4k
2
5k + 7)
= (k 1)[(2k -
4
5
)
2
+
16
87

]
Do đó x
1
3
+ x
2
3
> 0

(k 1)[(2k -
4
5
)
2
+
16
87
] > 0


k 1 > 0 ( vì (2k -
4
5
)
2
+
16
87
> 0 với mọi k)

k > 1
Vậy k > 1 là giá trị cần tìm
Bài 7:
Cho phơng trình : x
2
2( m + 1) x + m 4 = 0 (1) (m là tham số)
1. Giải phơng trình (1) với m = -5
2. Chứng minh rằng phơng trình (1) luôn có hai nghiệm x
1
, x
2
phân biệt với mọi m
Các bài tập chọn lọc - ôn tập toán 9 năm học 2009 - 201016

3. Tìm m để
21
xx
đạt giá trị nhỏ nhất (x
1
, x
2

là hao nghiệm của phơng trình (1) nói trong
phần 2.)
Giải
1. Với m = - 5 phơng trình (1) trở thành x
2
+ 8x 9 = 0 và có 2 nghiệm là x
1

= 1 , x
2
= - 9
2. Có
/

= (m + 1)
2
(m 4) = m
2
+ 2m + 1 m + 4 = m
2
+ m + 5
= m
2
+ 2.m.
2
1
+
4
1
+
4
19
= (m +
2
1
)
2
+

4
19
> 0 với mọi m
Vậy phơng trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt x
1
, x
2
3. Vì phơng trình có nghiệm với mọi m ,theo hệ thức Viét ta có:
x
1
+ x
2
= 2( m + 1) và x
1
x
2
= m 4
Ta có (x
1
x
2
)
2
= (x
1
+ x
2
)
2
4x

1
x
2
= 4( m + 1)
2
4 (m 4)
= 4m
2
+ 4m + 20 = 4(m
2
+ m + 5) = 4[(m +
2
1
)
2
+
4
19
]
=>
21
xx
= 2
4
19
)
2
1
(
2

++m

4
19
2
=
19
khi m +
2
1
= 0

m = -
2
1
Vậy
21
xx
đạt giá trị nhỏ nhất bằng
19
khi m = -
2
1
Bài 8 : Cho phơng trình (m + 2) x
2
+ (1 2m)x + m 3 = 0 (m là tham số)
1) Giải phơng trình khi m = -
2
9
2) Chứng minh rằng phơng trình đã cho có nghiệm với mọi m

3) Tìm tất cả các giá trị của m sao cho phơng trình có hai nghiệm phân biệt và nghiệm
này gấp ba lần nghiệm kia.
Giải:
1) Thay m = -
2
9
vào phơng trình đã cho và thu gọn ta đợc
5x
2
- 20 x + 15 = 0
phơng trình có hai nghiệm x
1
= 1 , x
2
= 3
2) + Nếu: m + 2 = 0 => m = - 2 khi đó phơng trình đã cho trở thành;
5x 5 = 0

x = 1
+ Nếu : m + 2

0 => m

- 2 .Khi đó phơng trình đã cho là phơng trình bậc hai có biệt
số :

= (1 2m)
2
- 4(m + 2)( m 3) = 1 4m + 4m
2

4(m
2
- m 6) = 25 > 0
Do đó phơng trình có hai nghiệm phân biệt
x
1
=
)2(2
512
+
+
m
m
=
1
42
42
=
+
+
m
m
x
2
=
2
3
)2(2
)3(2
)2(2

512
+

=
+

=
+

m
m
m
m
m
m
Tóm lại phơng trình đã cho luôn có nghiệm với mọi m
3)Theo câu 2 ta có m

- 2 thì phơng trình đã cho có hai nghiệm phân biệt.Để nghiệm này gấp
3 lần nghiệm kia ta sét 2 trờng hợp
Trờng hợp 1 : 3x
1
= x
2


3 =
2
3
+

m
m
giải ra ta đợc m = -
2
9
(đã giải ở câu 1)
Trờng hợp 2: x
1
= 3x
2


1= 3.
2
3
+

m
m


m + 2 = 3m 9

m =
2
11
(thoả mãn điều kiện
m

- 2)
Kiểm tra lại: Thay m =
2
11
vào phơng trình đã cho ta đợc phơng trình :
15x
2
20x + 5 = 0 phơng trình này có hai nghiệm
x
1
= 1 , x
2

=
15
5
=
3
1
(thoả mãn đầu bài)
Bài 9: Cho phơng trình : mx
2
2(m-2)x + m 3 = 0 (1) với m là tham số .
1. Biện luận theo m sự có nghiệm của phơng trình (1)
2. Tìm m để (1) có 2 nghiệm trái dấu.
Các bài tập chọn lọc - ôn tập toán 9 năm học 2009 - 201017

3. Tìm m để (1) có một nghiệm bằng 3. Tìm nghiệm thứ hai.
Giải
1.+ Nếu m = 0 thay vào (1) ta có : 4x 3 = 0

x =
4
3
+ Nếu m

0 .Lập biệt số
/

= (m 2)
2
m(m-3)
= m
2
- 4m + 4 m
2
+ 3m
= - m + 4
/

< 0

- m + 4 < 0

m > 4 : (1) vô nghiệm
/

= 0

- m + 4 = 0

m = 4 : (1) có nghiệm kép
x
1
= x
2
= -
2
1
2
242
/
=

=

=
m
m
a
b
/

> 0

- m + 4 > 0

m < 4: (1) có 2 nghiệm phân biệt
x
1

=
m
mm 42 +
; x
2
=
m
mm 42 ++
Vậy : m > 4 : phơng trình (1) vô nghiệm
m = 4 : phơng trình (1) Có nghiệm kép x =
2
1
0

m < 4 : phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt:

x
1
=
m
mm 42 +
; x
2
=
m
mm 42 ++
m = 0 : Phơng trình (1) có nghiệm đơn x =
4
3
2. (1) có nghiệm trái dấu

a
c
< 0


m
m 3
< 0












>
<



<
>
0

03
0
03
m
m
m
m












>
<



<
>
0
3
0
3

m
m
m
m
Trờng hợp



<
>
0
3
m
m
không thoả mãn
Trờng hợp



>
<
0
3
m
m


0 < m < 3
3. *)Cách 1: Lập điều kiện để phơng trình (1) có hai nghiệm
/

0

0

m

4 (*) (ở câu a đã có)
- Thay x = 3 vào phơng trình (1) ta có :
9m 6(m 2) + m -3 = 0

4m = -9

m = -
4
9
- Đối chiếu với điều kiện (*), giá trị m = -
4
9
thoả mãn
*) Cách 2: Không cần lập điều kiện
/



0 mà thay x = 3 vào (1) để tìm đợc m = -
4
9

.Sau đó
thay m = -
4
9
vào phơng trình (1) :
Các bài tập chọn lọc - ôn tập toán 9 năm học 2009 - 201018

-
4
9
x
2
2(-
4
9
- 2)x -
4
9
- 3 = 0

-9x
2
+34x 21 = 0
có
/

= 289 189 = 100 > 0 =>

=
=
9
7
3
2
1
x
x
Vậy với m = -
4
9
thì phơng trình (1) có một nghiệm x= 3
*)Để tìm nghiệm thứ 2 ,ta có 3 cách làm
Cách 1: Thay m = -
4
9
vào phơng trình đã cho rồi giải phơng trình để tìm đợc x
2
=
9
7
(Nh
phần trên đã làm)
Cách 2: Thay m = -
4
9
vào công thức tính tổng 2 nghiệm:

x
1
+ x
2
=
9
34
4
9
)2
4
9
(2
)2(2
=


=

m
m
x
2
=
9
34
- x
1
=
9

34
- 3 =
9
7
Cách 3: Thay m = -
4
9
vào công trức tính tích hai nghiệm
x
1
x
2
=
9
21
4
9
3
4
9
3
=


=

m
m
=> x
2

=
9
21
: x
1
=
9
21
: 3 =
9
7
Bài 10: Cho phơng trình : x
2
+ 2kx + 2 5k = 0 (1) với k là tham số
1.Tìm k để phơng trình (1) có nghiệm kép
2. Tim k để phơng trình (1) có 2 nghiệm x
1
, x
2
thoả mãn điều kiện :
x
1
2
+ x
2
2
= 10
Giải.
1.Phơng trình (1) có nghiệm kép

/

= 0

k
2
(2 5k) = 0

k
2
+ 5k 2 = 0 ( có

= 25 + 8 = 33 > 0 )
k
1
=
2
335
; k
2
=
2
335 +
Vậy có 2 giá trị k
1
=
2
335
hoặc k

2
=
2
335 +
thì phơng trình (1) Có nghiệm kép.
2.Có 2 cách giải.
Cách 1: Lập điều kiện để phơng trình (1) có nghiệm:
/



0

k
2
+ 5k 2

0 (*)
Ta có x
1
2
+ x
2
2
= (x
1
+ x
2
)
2

2x
1
x
2

Theo bài ra ta có (x
1
+ x
2
)
2
2x
1
x
2
= 10
Với điều kiện(*) , áp dụng hệ trức vi ét: x
1
+ x
2
= -
=
a
b
- 2k và x
1
x
2
= 2 5k
Vậy (-2k)

2
2(2 5k) = 10

2k
2
+ 5k 7 = 0
(Có a + b + c = 2+ 5 7 = 0 ) => k
1
= 1 , k
2
= -
2
7
Để đối chiếu với điều kiện (*) ta thay lần lợt k
1
, k
2
vào
/

= k
2
+ 5k 2
+ k
1
= 1 =>
/

= 1 + 5 2 = 4 > 0 ; thoả mãn
Các bài tập chọn lọc - ôn tập toán 9 năm học 2009 - 201019

+ k
2
= -
2
7
=>
/

=
8
29
4
87049
2
2
35
4
49
=

=
không thoả mãn
Vậy k = 1 là giá trị cần tìm
Cách 2 : Không cần lập điều kiện
/



0 .Cách giải là:

Từ điều kiện x
1
2
+ x
2
2
= 10 ta tìm đợc k
1
= 1 ; k
2
= -
2
7
(cách tìm nh trên)
Thay lần lợt k
1
, k
2
vào phơng trình (1)
+ Với k
1
= 1 : (1) => x
2
+ 2x 3 = 0 có x
1
= 1 , x
2
= 3
+ Với k
2

= -
2
7
(1) => x
2
- 7x +
2
39
= 0 (có

= 49 -78 = - 29 < 0 ) .Phơng trình vô nghiệm
Vậy k = 1 là giá trị cần tìm
Bài tập về pt bậc hai
B ài 1 : Cho phơng trình : x
2
6x + 1 = 0, gọi x
1
và x
2
là hai nghiệm của phơng trình. Không giải
phơng trình, hãy tính:
1) x
1
2
+ x
2
2
2)
1 1 2 2
x x x x+

3)
( )
( ) ( )
2 2
1 2 1 x 1 2
2 2 2 2
1 1 2 2
x x x x x x
x x 1 x x 1
+ + +
+
.
B ài 2 : Cho phơng trình: 2x
2
5x + 1 = 0.
Tính
1 2 2 1
x x x x+
(với x
1
, x
2
là hai nghiệm của phơng trình).
B ài 3 : Cho phơng trình bậc hai:
x
2
2(m + 1)x + m
2
+ 3m + 2 = 0
1) Tìm các giá trị của m để phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt.

2) Tìm giá trị của m thoả mãn x
1
2
+ x
2
2
= 12 (trong đó x
1
, x
2
là hai nghiệm của phơng trình).
B ài 4 : Cho phơng trình:
x
2
2mx + 2m 5 = 0.
1) Chứng minh rằng phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.
2) Tìm điều kiện của m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu.
3) Gọi hai nghiệm của phơng trình là x
1
và x
2
, tìm các giá trị của m để:
x
1
2
(1 x
2
2
) + x
2

2
(1 x
1
2
) = -8.
B ài 5 : Cho phơng trình:
x
2
2(m + 1)x + 2m 15 = 0.
1) Giải phơng trình với m = 0.
2) Gọi hai nghiệm của phơng trình là x
1
và x
2
. Tìm các giá trị của m thoả mãn 5x
1
+ x
2
= 4.
Baứi 6 : Cho phơng trình: x
2
+ 4x + 1 = 0 (1)
1) Giải phơng trình (1).
2) Gọi x
1
, x
2
là hai nghiệm của phơng trình (1). Tính B = x
1
3

+ x
2
3
.
B ài 7 : Cho phơng trình : x
2
- (m + 4)x + 3m + 3 = 0 (m là tham số).
a) Xác định m để phơng trình có một nghiệm là bằng 2. Tìm nghiệm còn lại.
b) Xác định m để phơng trình có hai nghiệm x
1
, x
2
thoả mãn x
1
3
+ x
2
3


0.
B ài 8 : Cho phơng trình:
(m 1)x
2
+ 2mx + m 2 = 0 (*)
1) Giải phơng trình khi m = 1.
2) Tìm m để phơng trình (*) có 2 nghiệm phân biệt.
Bài 9. Cho phơng trình (2m-1)x
2
-2mx+1=0

Xác định m để phơng trình trên có nghiệm thuộc khoảng (-1,0)
Bài 10: Phơng trình: ( 2m-1)x
2
-2mx+1=0
Xét 2m-1=0=> m=1/2 pt trở thành x+1=0=> x=1
Xét 2m-10=> m 1/2 khi đó ta có
,

= m
2
-2m+1= (m-1)
2
0 mọi m=> pt có nghiệm với mọi m
ta thấy nghiệm x=1 không thuộc (-1,0)
Các bài tập chọn lọc - ôn tập toán 9 năm học 2009 - 201020

với m 1/2 pt còn có nghiệm x=
12
1

+
m
mm
=
12
1
m

pt có nghiệm trong khoảng (-1,0)=> -1<
12

1
m
<0





<
>+

012
01
12
1
m
m
=>





<
>

012
0
12
2

m
m
m
=>m<0
Vậy Pt có nghiệm trong khoảng (-1,0) khi và chỉ khi m<0
Chuyên đề I: GiảI bài toán bằng cách lập pt
B ài 1 : Hai ô tô khởi hành cùng một lúc đi từ A đến B cách nhau 300 km . Ô tô thứ nhất mỗi giờ
chạy nhanh hơn ô tô thứ hai 10 km nên đến B sớm hơn ô tô thứ hai 1 giờ . Tính vận tốc mỗi xe ô
tô .
B ài 1 2 : Một ô tô dự định đi từ A đến B với vận tốc 50 km/h. Sau khi đi đợc 2/3 quãng đờng với
vận tốc đó, vì đờng khó đi nên ngời lái xe phải giảm vận tốc mỗi giờ 10 km trên quãng đờng còn
lại. Do đó ô tô đến B chậm 30 phút so với dự định. Tính quãng đờng AB.
B ài 2 : Hai vòi nớc cùng chảy vào bể thì sau 4 giờ 48 phút thì đầy. Nu chảy cùng một thời gian
nh nhau thì lợng nớc của vòi II bằng 2/3 lơng nớc của vòi I chảy đợc. Hỏi mỗi vòi chảy riêng thì
sau bao lâu đầy bể.
B ài 3 : Một ô tô dự định đi từ A đền B trong một thời gian nhất định . Nếu xe chạy với vận tốc 35
km/h thì đến chậm mất 2 giờ . Nếu xe chạy với vận tốc 50 km/h thì đến sớm hơn 1 giờ . Tính
quãng đờng AB và thời gian dự định đi lúc đầu .
B ài 4 : Quãng đờng AB dài 180 km. Cùng một lúc hai ôtô khởi hành từ A để đến B. Do vận tốc
của ôtô thứ nhất hơn vận tốc của ôtô thứ hai là 15 km/h nên ôtô thứ nhất đến sớm hơn ôtô thứ hai
2h. Tính vận tốc của mỗi ôtô?
B ài 5 : Trong một buổi lao động trồng cây, một tổ gồm 13 học sinh (cả nam và nữ) đã trồng đợc
tất cả 80 cây. Biết rằng số cây các bạn nam trồng đợc và số cây các bạn nữ trồng đợc là bằng
nhau ; mỗi bạn nam trồng đợc nhiều hơn mỗi bạn nữ 3 cây. Tính số học sinh nam và số học sinh nữ
của tổ.
B ài 6 : Khoảng cách giữa hai thành phố A và B là 180 km. Một ô tô đi từ A đến B, nghỉ 90 phút ở
B rồi trở lại từ B về A. Thời gian từ lúc đi đến lúc trở về là 10 giờ. Biết vận tốc lúc về kém vận tốc
lúc đi là 5 km/h. Tính vận tốc lúc đi của ô tô.
B ài 7 : Một hình chữ nhật có diện tích 300m
2

. Nếu giảm chiều rộng 3m, tăng chiều dài thêm 5m
thì ta đợc hình chữ nhật mới có diện tích bằng diện tích hình chữ nhật ban đầu. Tính chu vi của
hình chữ nhật ban đầu.
B ài 8 : Một ca nô xuôi dòng từ bến sông A đến bến sông B cách nhau 24 km, cùng lúc đó cũng từ
A một bè nứa trôi với vận tốc dòng nớc 4 km/h. Khi đến B ca nô quay lại ngay và gặp bè nứa trôi
tại một địa điểm C cách A là 8 km. Tính vận tốc thực của ca nô.
B ài 9 : Khoảng cách giữa hai tỉnh A và B là 108 km. Hai ô tô cùng khởi hành một lúc đi từ A đến
B, mỗi giờ xe thứ nhất chạy nhanh hơn xe thứ hai 6 km nên đến B trớc xe thứ hai 12 phút. Tính vận
tốc mỗi xe.
B ài 10 : Theo kế hoạch, một tổ công nhân phải sản xuất 360 sản phẩm. Đến khi làm việc, do phải
điều 3 công nhân đi làm việc khác nên mỗi công nhân còn lại phải làm nhiều hơn dự định 4 sản
phẩm. Hỏi lúc đầu tổ có bao nhiêu công nhân? Biết rằng năng suất lao động của mỗi công nhân là
nh nhau.
B ài 11: Ba chiếc bình có thể tích tổng cộng 120lít . Nếu đổ đầy nớc vào bình thứ nhất rồi đem rót
vào hai bình kia thì hoặc bình thứ 3 đầy nớc, bình thứ 2 chỉ đợc 1/2 thể tích của nó, hoặc bình thứ
2 đầy nớc thì bình thứ 3 chỉ đợc 1/3 thể tích của nó. Tìm thể tích của mỗi bình
B ài 11 : Hai địa điểm A, B cách nhau 56km. Lúc 6h45' một ngời đi từ A với vận tốc 10km/h. Sau
2h , một ngời đi xe đạp từ B tới A với vận tốc 14km/h . Hỏi đến mấy giờ thì họ gặp nhau, chỗ gặp
nhau cách A bao nhiêu km
Các bài tập chọn lọc - ôn tập toán 9 năm học 2009 - 201021

B ài 12 : Một ca nô xuôi từ A đến B với vận tốc 30km/h, sau đó ngợc từ B trở về A. Thời gian đi
xuôi ít hơn thời gian đi ngợc là 40'. Tính khoảng cách giữa A và B . Biết vận tốc ca nô không đổi,
vận tốc dòng nớc là 3km/h.
B ài 13 : Một ngời đi xe đạp từ A đến B cách nhau 50km. Sau 1h30' một ngời đi xe máy cũng từ A
và đến B sớm hơn một giờ. Tính vận tốc của mỗi xe, biết rằng vận tốc xe máy gấp 2.5 lần xe đạp
B ài 14 : Một phòng họp có 360 ghế ngồi đợc xếp thành từng hàng và số ghế ở mỗi hàng bằng
nhau. Nếu số hàng tăng thêm 1 và số ghế ở mỗi hàng tăng thêm 1 thì trong phòng có 400 ghế. Hỏi
có bao nhiêu hàng, mỗi hàng có bao nhiêu ghế?
B ài 15 : Hai ngời thợ cùng làm một công việc trong 16 giờ thì xong. Nếu ngời thứ nhất làm 3 giờ

và ngời thứ 2 làm 6 giờ thì họ làm đợc 25% công việc. Hỏi mỗi ngời làm một mình công việc đó
trong mấy giời thì xong?.
B ài 16 : Hai vật chuyển động trên một đờng tròn có đờng kính 20m , xuất phát cùng một núc từ
cùng một điểm. Nếu chúng chuyển động ngợc chiều nhau
thì cứ 2 giây lại gặp nhau. Nếu chúng chuyển động cùng chiều nhauthì cứ sau 10 giây lại gặp nhua.
Tính vận tốc của mỗi vật.
B ài 17 : Tháng thứ nhất hai tổ sản xuất đợc 800 sản phẩm. Sang tháng thứ hai tổ 1 vợt 15%.tổ 2 v-
ợt 20%. Do đó cuối tháng cả hai tổ xản xuất đựoc 945 sản phẩm. Tính xem trong tháng thứ nhất
mỗi tổ sản xuất đợc bao nhiêu sản phẩm
B ài 18 : Một khối lớp tổ chức đi tham quan bằng ô tô. Mỗi xe chở 22 h/s thì còn thừa 01 h/s. Nếu
bớt đi 01 ôtô thì có thể xếp đều các h/s trên các ôtô còn lại. Hỏi lúc đầu có bao nhiêu ôtô, bao
nhiêu h/s. Mỗi xe chở không quá 32 h/s.
Bài 19 : Một nhà máy dự định sản xuất chi tiết máy trong thời gian đã định và dự định sẽ sản xuất
300 chi tiết máy trong một ngày. Nhng thực tế mỗi ngày đã làm thêm đợc 100 chi tiết, nên đã sản
xuất thêm đợc tất cả là 600 chi tiết và hoàn thành kế hoạch trớc 1 ngày
Tính số chi tiết máy dự định sản xuất.
Bài 20: Một ca nô xuôi dòng 42km rồi ngợc dòng trở lại là 20km mát tổng cộng 5giờ. Biết vận tốc
của dòng chảy là 2km/h. Tìm vận tốc của ca nô lúc dòng nớc yên lặng
Bài 21: Một đội xe cần chuyên chở 120 tấn hàng. Hôm làm việc có 2 xe phải điều đi nơi khác nên
mỗi xe phải chở thêm 16 tấn. Hỏi đội có bao nhiêu xe?
Bài 22 : Hai ô tô khởi hành cùng một lúc từ địa điểm A đễn địa điểm B. Mỗi giờ ôtô thứ nhất chạy
nhanh hơn ôtô thứ hai 12km nên đến địa điểm B trớc ô tô thứ hai 100phút. Tính vận tốc của mỗi ô
tô biết quãng đờng AB dài 240km
Bài 23 : Nếu mở cả hai vòi nớc chảy vào mệt bể cạn thì sau 2 giờ 55phút bể đầy bể. Nếu mở riêng
từng vòi thì vòi thứ nhất làm đầy bể nhanh hơn vòi thứ hai là hai giờ. Hỏi nếu mở riêng từng vòi
thì mỗi vòi chảy bao lâu đầy bể?
Bài 24 : Hai tổ học sinh trồng đợc một số cây trong sân trờng.
Nếu lấy 5 cây của tổ 2 chuyển cho tổ một thì số cây trồng đợc của cả hai tổ sẽ bằng nhau.
Nếu lấy 10 cây của tổ một chuyển cho tổ hai thì số cây trồng đợc của tổ hai sẽ gấp đôi số cây của
tổ một.

Hỏi mỗi tổ trồng đợc bao nhiêu cây?
Bài 25: Hai ô tô A và B khởi hành cùng một lúc từ hai tỉnh cách nhau 150km, đi ngợc chiều và gặp
nhau sau 2 giờ. Tìm vận tốc của mỗi ô tô, biết rằng nếu vận tốc của ô tô A tăng thêm 5km/h và vận
tốc ô tô B giảm 5km/h thì vận tốc của ô tô A bằng 2 lần vận tốc của ô tô B.
Bài 26: Hai hợp tác xã đã bán cho nhà nớc 860 tấn thóc. Tính số thóc mà mỗi hợp tác xã đã
bán cho nhà nớc. Biết rằng 3 lần số thóc hợp tác xã thứ nhất bán cho nhà nớc nhiều hơn hai lần số
thóc hợp tác xã thứ hai bán là 280 tấn
Các bài tập chọn lọc - ôn tập toán 9 năm học 2009 - 201022

ôn tập hình học 9
Phần 1 : hình học phẳng
A. lý thuyết:
I.Đờng tròn:
1,Định nghĩa:
Tập hợp các điểm cách điểm 0 cho trớc một khoảng cách R > 0 không đổi gọi là đờng tròn
tâm 0 bán kính R . Kí hiệu : ( 0 ; R)
2, Vị trí t ơng đối:
* Của một điểm với một đờng tròn :
xét (0 ; R ) và điểm M bất kì
vị trí tơng đối Hệ thức
M nằm ngoài ( O ; R ) OM > R
M nằm trên ( O ; R ) hay M thuộc ( O ;
R)
OM = R
M nằm trong ( O ; R ) OM < R
* Của một đờng thẳng với một đờng tròn :
xét ( O ; R ) và đờng thẳng a bất kì ( với d là khoảng cách từ tâm O đến đờng thẳng a )
vị trí tơng đối Số điểm chung Hệ thức
a cắt ( O ; R ) 2 d < R
a tiếp xúc ( O ; R ) 1 d = R

a và ( O ; R ) không giao
nhau
0 d > R
* Của hai đờng tròn :
xét ( O;R) và (O; R) ( với d = O O )
Các bài tập chọn lọc - ôn tập toán 9 năm học 2009 - 201023

vị trí tơng đối Số điểm chung Hệ thức
Hai đờng tròn cắt nhau 2 R r < d < R- r
Hai đờng tròn tiếp xúc nhau
:
+ tiếp xúc ngoài :
+ tiếp xúc trong :
1
d = R + r
d = R r
Haiđờng tròn không giao
nhau :
+hai đờng tròn ở ngoài nhau
:
+đờng tròn lớn đựng đờng
tròn nhỏ :
0
d > R + r
d < R -r
3 . Tiếp tuyến của đ ờng tròn :
a. Định nghĩa :
đờng thẳng d đợc gọi là tiếp tuyến của một đờng tròn nếu nó chỉ có một điểm chung với đờng đó .
b, Tính chất :
+ Tính chất 1 : Nếu một đờng thẳng là một tiếp tuyến của một đờng tròn thì nó vuông góc với bán

kính đI qua tiếp điểm .
+ Tính chất 2 : Nếu hai tiếp tuyến của một đờng tròn cắt nhau tại một điểm thì giao điểm này cách
đều hai tiếp điểm và tia kẻ từ giao điểm đó qua tâm đờng tròn là tia phân giác của góc tạo bởi hai
tiếp tuyến .
c, Cách chứng minh :
Cách 1 : chứng minh đờng thẳng đó có một điểm chung với đờng tròn đó .
Cách 2 : chứng minh đờng thẳng đó vuông góc với bán kính của đờng tròn đó tại một điểm
và điểm đó thuộc đờng tròn .
4 . Quan hệ giữa đ ờng kính và dây cung :
* Định lí 1 : Đờng kính vuông góc với một dây cung thì chia dây cung ấy ra thành hai phần bằng
nhau .
* Định lí 2 : Đờng kính đI qua trung điểm của một dây cung không đi qua tâm thì vuông góc với
dây cung ấy.
5 . Quan hệ giữa dây cung và khoảng cách đến tâm :
* Định lí 1 : Trong một đờng tròn hai dây cung bằng nhau khi và chỉ khi chúng cách đều tâm .
* Định lí 2 : Trong hai dây cung không bằng nhau của một đờng tròn, dây cung lớn hơn khi và chỉ
khi nó gần tâm hơn .
II. Góc trong đờng tròn :
1, Các loại góc trong đ ờng tròn:
- Góc ở tâm
- Góc nội tiếp
- Góc có đỉnh ở bên trong hay bên ngoài đờng tròn
- Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung
2, Mối quan hệ giữa cung và dây cung:
* Định lí 1: Đối với hai cung nhỏ trong một đờng tròn:
a, Hai cung bằng nhau căng hai dây bằng nhau
b, Đảo lại, hai dây bằng nhau trơng hai cung bằng nhau.
Các bài tập chọn lọc - ôn tập toán 9 năm học 2009 - 201024

* Định lí 2: Đối với hai cung nhỏ trong một đờng tròn:

a, Cung lớn hơn căng dây lớn hơn
b, Dây lớn hơn trơng cung lớn hơn.
3, Tứ giác nội tiếp:
a, Định nghĩa:
Tứ giác nội tiếp một đờng tròn là tứ giác có bốn đỉnh nằm trên một đờng tròn . Đơng tròn đó đợc
gọi là đờng tròn ngoại tiếp tứ giác.
b, Cách chứng minh :
* Cách 1: chứng minh bốn đỉnh của tứ giác cùng thuộc một đờng tròn
* Cách 2: chứng minh tứ giác có tổng hai góc đối diện bằng 180
0
* Cách 3: chứng minh tứ giác có hai đỉnh kề nhau nhìn cạnh đối diện dới cùng một góc.
B. Bài tập:
Bài 1: Cho tam giác ABC ( Â= 1v ), đờng cao AH. Đờng tròn đờng kính AH cắt các cạnh AB, AC
lần lợt tại E và F.
a. CM: tứ giác AEHF là hình chữ nhật.
b. CM: tứ giác EFCB nội tiếp.
c. Đờng thẳng qua A vuông góc với EF cắt BC tại I. Chứng minh I là trung điểm của BC.
d. CMR: Nếu S
ABC
= 2. S
AEHF
thì tam giác ABC vuông cân.
Bài 2: Cho tam giác ABC ( AB> AC ) nội tiếp (O). Vẽ đờng phân giác của góc  cắt (O) tại M.
Nối OM cắt BC tại I.
1. Chứng minh tam giác BMC cân.
2. Chứng minh: góc BMA < góc AMC.
3. Chứng minh: góc ABC + góc ACB = góc BMC.
4. Đờng cao AH và BP của tam giác ABC cắt nhau tại Q. Chứng minh OH // AH.
5. Trên AH lấy điểm D sao cho AD = MO. Tứ giác OMDA là hình gì?
6. Chứng minh AM là phân giác của góc OAH.

7. OM kéo dài cắt (O) tại N. Vẽ OE vuông góc với NC. Chứng minh
MBOE
2
1
=
.
8. Chứng minh tứ giác OICE nội tiếp. Xác định tâm của đờng tròn ngoại tiếp tứ giác OICE.
9. Chứng minh các tứ giác ABHP và QPCH nội tiếp.
10. Từ C vẽ tiếp tuyến của (O) cắt BM kéo dài tại K. Chứng minh CM là phân giác của góc BCK.
11. So sánh các góc KMC và KCB với góc A.
12. Từ B vẽ đờng thẳng song song với OM cắt CM tại S. Chứng minh tam giác BMS cân tại M.
13. 13.Chứng minh góc S = góc EOI góc MOC.
14. Chứng minh góc SBC = góc NCM.
15. Chứng minh góc ABF = góc AON.
16. Từ A kẻ AF // BC, F thuộc (O). Chứng minh BF = CA.

Các bài tập chọn lọc - ôn tập toán 9 năm học 2009 - 201025