on vao 10 hay lam

¤n tËp to¸n 9 §¹i sè TrÇn Quèc Té
Ph¬ng tr×nh mét Èn
I. Ph¬ng ph¸p thêng vËn dông
1. §a vÒ ph¬ng tr×nh tÝch.
Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau:
2
x 10x 21 3 x 3 2 x 7 6+ + = + + + −
( )
( )
3
3
2 6
x 3x 2 x 3x 2− + = − −
( ) ( ) ( )
3 3 3
2 2 2
2x 3x 1 x 2 x 3x 1 0− − − − − − + =
( ) ( )
( )
3 3
3
2 2
x 4x 1 x x 1 3x 2− + = − − − −
( ) ( )
( )
3 3
3
2 2
x 3x 2 x x 1 2x 3 0− + + − + + + − =
( )
2

3
x x 5 2 x 5x 2 2+ = + − −
3
1 x x 2 1− + + =
5 4 3 2
x x x x x 2= + + + +
( ) ( )
x x
2 3 2 3 4+ + − =
( ) ( )
2 2
2
n
n n
x 1 3 x 1 2 x 1+ − − = − −
víi
n N;n 2∈ ≥
( )
( )
2 2
4x 1 x 1 2 x 1 2x 1− + = + + −
( ) ( )
4 2
2 2 2 4
x 2x 2 20x x 2x 2 64x 0− + − − + + =
( ) ( ) ( )
4 3
x 4 2 2x 13 50 2x 13
+ = + + +
1 1 1

1
x 3 x 2 x 2 x 1 x 1 x
+ + =
+ + + + + + + +
x 1 x
3 2x.3 18x 27 0
+
+ − − =
x x x
6 72 8.3 9.2+ = +
2
x x 2 2 x 2 2 x 1− − − − + = +
( ) ( )
3 3
3
64x x 2 3x 2= − + +
( )
( )
( )
3 3
3
2 2
x 1 3x 1 x 3x 2+ + − + = − +
2x 2 2 2x 3 2x 13 8 2x 3 7
− + − + + + − =
( ) ( )
2 2
2n
n n
x 1 4 x 1 3 x 1+ − − = − −

1
Ôn tập toán 9 Đại số Trần Quốc Tộ
2. áp dụng bất đẳng thức.
Giải các phơng trình sau:
2 2 2
3x 6x 7 5x 10x 14 4 2x x+ + + + + =
2
2
2
x 6x 15
x 6x 18
x 6x 11
+
= +
+
2 2 2
4
x 6x 11 x 6x 13 x 4x 5 3 2+ + + + + = +
4
2
x 1 x 2 26
19 5 95 x 3x 2 3

+ + + =
( ) ( )
2 2 2
x 3x 3,5 x 2x 2 x 4x 5 + = + +
x 3 4 x 1 x 8 6 x 1 1
+ + + =
( ) ( ) ( )

2 2 2
2 2 2
13 x 3x 6 x 2x 7 5x 12x 33

+ + + = +


( ) ( ) ( )
2 2 2
3 2 2 3
1
3x x 9x 7 x 2 x 3x 3
10
+ + = + + +
2 2
4
2x 8x 12 3 3x 12x 13 + = +
2
3 2
x 1
5x 3x 3x 2 3x
2 2
+ + = +
2
3 2
x 1
3x 5x 5x 2 x
2 2

+ =

x 3 4 x 1 x 8 6 x 1 1+ + + =
2
x 2 10 x x 12x 40 + = +
3. Đa về hệ phơng trình.
Giải các phơng trình sau:
2x x 1 1 2x x 1 2 x 1 1+ + + + + = + +
4 4 x x
+ =
3
3
x 1 2 2x 1+ =
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
x x
2 2
2
3 3
3
3 3
2
x 1 2 x 1 1 x
4
4
7 48 7 48 14
3x 1 3x 1 9x 1 1
1 1
x x 1
2 2
x 34 x 3 1

8 2 18
2 1 2 2 2 2 2
1 x 1 1 x 1 2x
x 97 x 5

+ + =
+ + + =
+ + =
+ =
+ =
+ + + +
+ + =
+ =
2
Ôn tập toán 9 Đại số Trần Quốc Tộ
4. Chứng minh nghiệm duy nhất
Giải các phơng trình sau:
( )
( )
( )
+

+ + +
+
+ + +

+ =
=
+ + + + + = +
+ + =

+ =
ữ

+ + = + +
= +
+ =
=
2 2
2
4 2 4 2 4 2
4 2
4 2 4 2 4 2
x 3 x
x x x
2 25 3
x 8x 17 x 8x 18 x 8x 16
1
x 4x 8
x 8x 14 x 8x 12 x 8x 16
2
2 x x 1 1 x 1 x x
x
x
3 x x
x x x
2 3 9
x 10 x > 0
x 28 2 x 23 x 1 x 2 9
19 5 94 45

25 3 25 29 18.3 7
2 3 5 2 3 5
2 3 1
3 4 5
3 1 4 4
3
Ôn tập toán 9 Đại số Trần Quốc Tộ
Phơng pháp đa về tổng các bình phơng
Kiến thức cơ bản:
2 2 2 2 2 2
1 2 n 1 2 n
A A ... A 0 A A ... A 0+ + + = = = = =
Bài tập
Bài 1. Chứng minh rằng nếu
2 2 2
a b c ab bc ca+ + = + +
thì
a b c= =
Bài 2. Chứng minh rằng nếu
3 3 3
a b c 3abc+ + =
thì
a b c 0+ + =
hoặc
a b c= =
Bài 3. Cho
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
2 2 2 2 2
x y y z z x x y 2z y z 2x z x 2y 0 + + = + + + + + =

Chứng minh rằng
x y x= =
Bài 4. Tìm các số nguyên x,y,z thỏa mãn:
( )
1
x y 1 z 2 x y z
2
+ + = + +
Bài 5. Giải các phơng trình sau:
a/
2
2x 2x 1 4x 1+ + = +
b/
x y z 4 2 x 2 4 y 3 6 z 5+ + + = + +
c/
( )
( )
3
2
3
4 y 1 y 1 4
x 1
10
x
y 1
+
+
+ =

d/

2 2
4y x 4y x x 2
+ = +
Bài 6. Cho a,b,c thỏa mãn
a b c 0
ab bc ca 0
+ + =


+ + =

Tính giá trị biểu thức
( ) ( )
2006 2008
2007
A a 1 b c 1
= + + +
Bài 7. Tìm GTNN của ca s biểu thức sau:
2 2
2 2
A x 2y 2xy 2x 10y
B x xy y 3x 3y 2008
= + +
= + + +
Bài 8. Tìm GTLN của các biểu thức sau:
2 2
2 2
C 5x 2xy 2y 14x 10y 1
D x y xy 2x 2y
= + +

= + + +
Bài 9. Cho
x y z 3+ + =
, tìm GTLN của
xy yz zx+ +
Bài 10. Cho
x y z 6+ + =
, tìm GTLN của
xy 2yz 3zx+ +
Bài 11. Tìm x,y biết
2 2
5x 5y 8xy 2y 2x 2 0+ + + + =
Bài 12. Chứng tỏ không có số x,y nào thỏa mãn
( )
2 2
x 3y 20 2x y 1 10y+ + = + +
Bài 13. Giải hệ phơng trình
2 2
2 2
x 6y xy 2x 11y 3
x y 5

+ =


+ =


Bài 14. Tìm cặp số
( )

x;y
với y nhỏ nhất thỏa mãn
2 2
x 5y 2y 4xy 3 0+ + =
Bài 15. Cho
( )
2 2
x 2xy 7 x y 2y 10 0+ + + + + =
.
Hãy tìm GTLN và GTNN của
S x y 1= + +
4
Ôn tập toán 9 Đại số Trần Quốc Tộ
Phơng trình nhiều ẩn
*** Phơng pháp thờng vận dụng
I. Đa về phơng trình tích
Giải các phơng trình sau:
1. Tìm nghiệm nguyên của phơng trình:
2 2
x 91 y+ =
2. Tìm ngiệm tự nhiên của phơng trình:
xy 4x 35 5y =
3. Tìm tất cả các cặp số nguyên
( )
x; y
thỏa mãn hệ thức:
2 2
x 656xy 657y 1983 =
4. Tìm nghiệm nguyên của phơng trình:
( )

2
x 25 y y 6 = +
5. Tìm nghiệm nguyên của phơng trình:
2 2
x x 6 y+ + =
6. Tìm nghiệm nguyên của phơng trình:
2 2
3
x 6y x 332
2
= +
7. Tìm nghiệm nguyên dơng của phơng trình:
x y z
2 2 2 2336+ + =
với
x y z< <
8. Tìm nghiệm nguyên của phơng trình:
( )
4 2 2
x y y x=
9. Tìm nghiệm tự nhiên của phơng trình:
( ) ( )
2 2
x x 2y y y 2x 1991+ + =
II. Đa về phơng trình tổng
***Biến đổi về các dạng sau:
Dạng 1:
( ) ( ) ( )
k k k k k k
1 2 n 1 2 n

f x; y;... f x; y;... ... f x;y;... a a ... a+ + + = + + +
Với
( ) ( ) ( )
1 2 n 1 2 n
k;a ;a ;...;a ;f x; y... ;f x; y... ;...f x; y... ; Z
Rồi xét mọi trờng hợp có thể xảy ra từ đó tìm đợc nghiệm thích hợp
Dạng 2:
( )
( )
f x; y;...
a
g x; y;... b
=
với
a;b Z;b 0 >
Vận dụng điều đã đợc chứng minh sau: Mọi số hữu tỉ đều biểu diễn
đợc một cách duy nhất dới dạng một liên phân số bậc n

0
1
2
n
a 1
q
1
b
q
1
q
q

= +
+
+ +K
Trong đó
0
q
nguyên,
1 2 n
q ,q ,....q
nguyên dơng,
n
q 1>
Viết hai vế dới dạng liên phân số hữu hạn, từ đó tìm đợc nghiệm
nguyên dơng thích hợp
Giải các phơng trình sau:
1. Tìm các nghiệm nguyên dơng của phơng trình:
2 2
x 4xy 5y 169 + =
2. Tìm các nghiệm nguyên của phơng trình:
2 2
x 13y 100 6xy+ = +
3. Tìm các nghiệm nguyên của phơng trình:
2 2
x x 6 y =
4. Tìm các nghiệm tự nhiên của phơng trình::
2 3 2
x y 3y 65 3y+ =
5