ĐỀ CƯƠNG BÀI GIẢNG HỌC PHẦN PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN.

1

CHƯƠNG 1
Phương trình vi phân cấp 1
Số tiết: 12 (lý thuyết: 09 tiết; bài tập: 03 tiết)
A. MỤC TIÊU
- Sinh viên hiểu ñược các khái niệm cơ bản, ñịnh nghĩa về phương trình vi phân, cách giải một
số dạng phương trình vi phân thường cấp 1.
- Sinh viên vận dụng thành thạo lý thuyết vào giải các bài tập tìm nghiệm, tìm nghiệm riêng,
nghiệm kì dị của phương trình vi phân, tìm quỹ ñạo trực giao của họ ñường cong.
- Sinh viên hiểu rõ vai trò của môn phương trình vi phân ñối với các môn học khác, tích cực, chủ
ñộng tham gia các hoạt ñộng của môn học, có phương pháp học tập tích cực sáng tạo.

B. NỘI DUNG
1.1. Mở ñầu
Trong rất nhiều lĩnh vực ứng dụng, chuyển ñộng của một hệ ñược mô hình hoá bởi các
phương trình vi phân, tức là phương trình có chứa các ñạo hàm của ẩn hàm cần tìm.
Chẳng hạn, trong cơ học cổ ñiển (ñịnh luật Newton), trong thiên văn học (sự chuyển
ñộng của các hành tinh), trong hoá học (các phản ứng hoá học), trong sinh học (sự
phát triển của dân số), trong ñiện tử Trong hầu hết các lĩnh vực như thế, bài toán
chung nhất là mô tả nghiệm của các phương trình này (cả về ñịnh tính lẫn ñịnh
lượng).

1.1.1. Vài mô hình ñơn giản
Sự rơi tự do: Xét một vật có khối lượng m ñược thả rơi tự do trong khí quyển gần
mặt ñất. Theo ñịnh luật II Newton, chuyển ñộng của vật ñó có thể mô tả bởi phương
trình
F = ma (1.1)
trong ñó F là hợp lực tác ñộng lên vật và a là gia tốc chuyển ñộng. Hợp lực F có thể
giả thiết chỉ bao gồm lực hấp dẫn (tỷ lệ với khối lượng của vật và hướng xuống) và
lực cản (tỷ lệ với vận tốc chuyển ñộng và hướng lên trên). Ngoài ra, do gia tốc chuyển ñộng

dv
a
dt
=

nên (1.1) có thể viết dưới dạng
dv
m mg v
dt
γ
= −
(1.2)
trong ñó
2
9,8 /
g m s
≈ là gia tốc trọng trường, còn
γ
là hệ số cản.
Vậy vận tốc
v
của vật rơi tự do thỏa mãn phương trình (1.2) với sự xuất hiện của ñạo hàm
của
v
. Những phương trình như vậy ta sẽ gọi là phương trình vi phân.
Dung dịch hóa học:
Giả sử tại thời ñiểm ban ñầu t = t
0
một thùng chứa x
0

kg
muối hòa tan trong 1000 lít nước. Ta cho chảy vào thùng một loại nước muối nồng ñộ a (kg/lít) với
lưu lượng r (lít/phút) và khuấy ñều. ðồng thời, cho hỗn hợp ñó chảy ra khỏi thùng cũng với tốc ñộ
như trên. Gọi x = x(t) là lượng muối trong thùng tại thời
ñiểm bất kỳ. Rõ ràng tỉ lệ thay ñổi lượng
muối trong thùng
dx
dt
bằng hiệu của tỉ lệ muối chảy vào ar (kg/phút) trừ ñi tỉ lệ muối chảy ra tại thời
ñiểm ñang xét
1000
rx
(kg/phút). Vậy ta có phương trình vi phân

ar
1000
dx rx
dt
= −
(1.3)
2

với dữ kiện ban ñầu
0 0
( )
x t x
=
.
1.1.2. Các khái niệm

Phương trình vi phân là phương trình có dạng
( )
( , , ', '', , ) 0
n
F x y y y y
=
hay
( ) ( 1)
( , , ', , )
n n
y f x y y y
−
=
(1.4) trong ñó y = y(x) là ẩn hàm cần tìm và nhất thiết phải có sự tham
gia của ñạo hàm (ñến cấp nào ñó) của ẩn. Trong trường hợp ẩn hàm cần tìm là hàm nhiều biến (xuất
hiện các ñạo hàm riêng) thì phương trình vi phân còn gọi là phương trình ñạo hàm riêng. ðể phân
biệt, người ta thường gọi phương trình với ẩn hàm là hàm một biến là phương trình vi phân thường và là
ñối tượng chính của bài giảng này. Thông thường ta xét các phương trình với ẩn hàm là hàm số một biến
thực y = y(x) xác ñịnh trên khoảng mở
I
⊂
ℝ
, khi ñó hàm F trong ñẳng thức trên xác ñịnh trong
một tập mở
G
của
1
x
n
+

ℝ ℝ
. Trong trường hợp ẩn hàm cần tìm là vec tơ hàm (hàm giá trị vec tơ)
( )
1
( ) ( ), , ( ) , F
T
m
m
y x y x y x= ∈ ℝ
là một ánh xạ nhận giá trị trong
m
ℝ
và (1.4) ñược hiểu là hệ
phương trình vi phân.
Ta nói một phương trình vi phân có cấp n nếu n là cấp lớn nhất của ñạo hàm của ẩn xuất
hiện trong phương trình.
Phương trình vi phân thường cấp 1 có dạng tổng quát
( , , ') 0
F x y y
=
(1.5)
trong ñó F(x,y,z) ñược giả thiết liên tục cùng với các ñạo hàm riêng của nó trên miền
3
G ⊂
ℝ
.
Phương trình vi phân cấp 1 có thể viết dưới dạng sau (gọi là dạng giải ra ñối với ñạo hàm)
' ( , )
y f x y
=

với f liên tục trong một miền
2
.
D ⊂
ℝ

Ví dụ 1.1. Các phương trình
2 4 3
ysin 'cos 1; '' 9 0; '''
x
x y x y y y y e x
+ = − = − = −
;
2 2
2 2
0
u u
x y
∂ ∂
+ =
∂ ∂
lần lượt là các phương trình vi phân thường cấp 1, 2, 3 và phương trình ñạo hàm
riêng cấp 2.
Xét phương trình (1.4), hàm giá trị vector
:
n
I
φ
→
ℝ

(với I = (a,b) là khoảng nào ñó của
ℝ
) là nghiệm của phương trình (1.4) nếu nó có các ñạo hàm liên tục ñến cấp n trên I và thỏa
mãn
( )
( , ( ), '( ), ''( ), , ( )) 0
n
F x x x x x
φ φ φ φ
=
với mọi
x I
∈
(1.6)
Trong trường hợp phương trình vi phân cấp 1, nghiệm là một hàm thực một biến
( )
y x
φ
=
mà khi
thay vào (1.5), ta ñược một ñẳng thức ñúng.
Ví dụ 1.2. Dễ kiểm tra rằng họ hàm (phụ thuộc vào hai tham số tùy ý)
1 2
os sin
y C c x C x
= +
là
nghiệm của phương trình vi phân
'' 0
y y

+ =
.
1.1.3. Ý nghĩa hình học của phương trình vi phân
Xét phương trình (1.5). với
( , )
f x y
liên tục trên miền mở
2
ℝ
. Tại mỗi ñiểm M(x,y) thuộc
miền này, ta gán cho nó một hướng với hệ số góc là
( , )
dy
k f x y
dx
= =
(1.7)
Khi ñó ta thu ñược một trường các hướng xác ñịnh bởi (1.7), và dĩ nhiên hướng của
tiếp tuyến của ñường cong tại mỗi ñiểm trùng với hướng của trường tại ñiểm ñó. Giải
phương trình vi phân dạng (1.5) về mặt hình học là tìm tất cả các ñường cong sao cho
tại mỗi ñiểm của nó hướng của tiếp tuyến trùng với hướng của trường. Hình 1.1 cho ta trường hướng
của phương trình
'
y
y
x
= −

3

Ngược lại cho trước họ ñường cong
( , , ) 0
x y C
ϕ
=
(1.8)
phụ thuộc vào tham số C sao cho
qua mỗi ñiểm chỉ có duy nhất một ñường cong của họ ñi qua. Ta
sẽ lập phương trình vi phân nhận họ ñường cong này làm nghiệm tổng quát như sau. ðạo hàm hai vế
của phương trình trên theo x, ta ñược
( , , ) ' ( , , ) 0
x y C y x y C
x y
ϕ ϕ
∂ ∂
+ =
∂ ∂

Từ phương trình (1.8), với mỗi (x, y) ta luôn tìm ñược duy nhất giá trị
( , )
C C x y
=
. Thay C vào
ñẳng thức trên ta nhận ñược
( , , ( , )) ' ( , , ( , )) 0
x y C x y y x y C x y

x y
ϕ ϕ
∂ ∂
+ =
∂ ∂

và ñây là phương trình vi phân cần tìm.
Ví dụ 1.3. Tìm phương trình vi phân của họ ñường cong sau:
2
y Cx
=

ðạo hàm 2 vế theo x ta ñược
' 2
y Cx
=
. Khử C ta thu ñược phương trình vi phân
' 2
y
y
x
=
.
1.2. ðịnh lý tồn tại và duy nhất nghiệm
1.2.1. Bài toán Cauchy
Ta nhận xét rằng nghiệm của một phương trình vi phân nói chung phụ thuộc vào một
hay nhiều hằng số tuỳ ý nào ñó. ðể xác ñịnh một nghiệm cụ thể, ta cần thêm một hay
vài dữ kiện nào ñó về nghiệm (tuỳ theo cấp của phương trình vi phân). Chẳng hạn,
3
3

x
y C
= +
là
nghiệm tổng quát của phương trình
2
'
y x
=
. Dễ thấy
3
1
3
x
y
= +
là nghiệm duy nhất thỏa mãn y(0)=1.
Ta xét bài toán sau ñặt ra ñối với phương trình (1.5), gọi là bài toán Cauchy (hay bài toán giá
trị ban ñầu):
Bài toán: Tìm nghiệm y(x) thỏa mãn:
0 0
' ( , )

( )
y f x y
y x y
=


=


(1.9)
trong ñó
0 0
( , )
x y D
∈
ñược gọi là ñiều kiện ban ñầu. Câu hỏi tự nhiên ñặt ra là bài toán (1.9) có hay
không và có bao nhiêu lời giải. Ta lưu ý rằng không phải lúc nào bài toán Cauchy cũng có nghiệm, và
khi có nghiệm cũng không nhất thiết có duy nhất nghiệm. Trong mục sau ta sẽ phát biểu và chứng
minh một ñịnh lý giải quyết trọn vẹn bài toán Cauchy cho phương trình vi phân cấp 1.

Hình 1.1. Trường hướng của phương trình
'
y
y
x
= −

4

1.2.2. Phương pháp xấp xỉ Picard
Ta xét bài toán Cauchy ñối với phương trình vi phân cấp 1 dạng giải ra ñược ñối với ñạo hàm
(1.9), trong ñó f xác ñịnh và liên tục trên miền mở
2
D
⊂
ℝ
. Giả sử
( )

y x
la nghiệm của bài toán (1.9)
tích phân hai vế của phương trình trong (1.9) ta ñược phương trình
0
0
( ) ( , ( ))
x
x
y x y f t y t dt
= +
∫
. Mỗi
nghiệm của phương trình (1.9) cũng là nghiệm của phương trình trên và ngược lại.
Phép lặp Picard - Linñơliop
Về mặt toán tử nghiệm của phương trình
0
0
( ) ( , ( ))
x
x
y x y f t y t dt
= +
∫
chính là lời giải bài toán
ñiểm bất ñộng của các ánh xạ co trong không gian metric ñầy ñủ mà lời giải có thể cho bởi phương
pháp xấp xỉ liên tiếp Picard - Linñơliop sau:
Xét dãy các hàm xác ñịnh một cách ñệ quy bởi
0 0
( )
y x y

=
,
0
1 0
( ) ( , ( ))
x
k k
x
y x y f t y t dt
+
= +
∫
, với
k
∈
ℕ
.
Bổ ñề. Giả sử
f
liên tục trên hình chữ nhật
{
}
2
0 0
( , ) / ,
D x y x x a y y b
= ∈ − ≤ − ≤
ℝ

ðặt

( , )
ax ( , )
x y D
M m f x y
∈
=
và
min( , )
b
h a
M
=
. Khi ñó với mọi
0 0
[x -h,x +h]
x I
∈ =
ta có
0
( )
k
y x y b
− ≤
với mọi k (nói cách khác, trong phép lặp Picard - Linñơliop các hàm
k
y
không ñi ra
khỏi phần hình chữ nhật D ứng với
x I
∈

). (xem [1], [6]).
1.2.3. Sự tồn tại và duy nhất nghiệm
ðịnh nghĩa 1.2. Cho hàm
( , )
f x y
xác ñịnh trên miền
2
D
⊂
ℝ
. Ta nói
f
thỏa mãn ñiều kiện
Lipschitz theo biến y trên D nếu tồn tại hằng số dương L ( gọi là hằng số Lipschitz) sao cho:

1 2 1 2
( , ) ( , )
f x y f x y L y y
− ≤ −
với mọi
1 2
( , ),( , )
x y x y D
∈

Nhận xét
+ Nếu hàm
( , )
f x y
xác ñịnh trên miền

2
D
⊂
ℝ
có ñạo hàm riêng
f
y
∂
∂
liên tục ñối với y thì nó là
hàm Lipschitz ñịa phương ñối với y.
+ ðiều kiện Lipschitz là yếu hơn so với ñiều kiện giới nội của ñạo hàm riêng
f
y
∂
∂
trên D.
ðịnh lý 1.3. (ðịnh lý tồn tại và duy nhất nghiệm). Giả sử hàm số
( , )
f x y
trong (1.9) liên tục và thỏa
mãn ñiều kiện Lipschitz theo biến y trên hình chữ nhật
{
}
2
0 0
( , ) / ,
D x y x x a y y b
= ∈ − ≤ − ≤
ℝ

.
Khi ñó nghiệm của bài toán Cauchy (1.9) là tồn tại và duy nhất trong ñoạn
0 0
[x -h,x +h]
I
=
, với
min( , )
b
h a
M
=
và
( , )
ax ( , )
x y D
M m f x y
∈
=
.
Chứng minh. Xem [1], [4] hoặc [6].
1.2.4. Phân loại nghiệm của phương trình vi phân
Về mặt hình học, bài toán Cauchy cho phương trình vi phân cấp 1 có thể hiểu là tìm
nghiệm y(x) của (1.5) mà ñồ thị của hàm số y = y(x) (còn gọi là ñường cong tích phân
của phương trình vi phân) ñi qua ñiểm (x
0
, y
0
). Nói cách khác, bài toán Cauchy là tìm
5

ñường cong tích phân của phương trình (1.5) ñi qua ñiểm (x
0
, y
0
) D cho trước.
ðịnh nghĩa 1.4. Giả sử
2
D
⊂
ℝ
sao cho vế phải của phương trình (1.5) xác ñịnh và liên tục trên D.
Hàm số
( , )
y y x C
=
phụ thuộc liên tục vào hằng số C ñược gọi là nghiệm tổng quát của (1.5) nếu:
i) Với mỗi ñiều kiện ban ñầu (x
0
, y
0
) D ta luôn giải ñược C dưới dạng
0 0
( , )
C x y
ϕ
=
(*) trong ñó
ϕ
là hàm liên tục.

ii) Hàm
( , )
y y x C
=
thỏa mãn phương trình (1.5) với mỗi giá trị C cho bởi (*) khi (x
0
, y
0
) chạy khắp
trên D. Khi ñó hệ thức
( , )
C x y
ϕ
=
ñược gọi là tích phân tổng quát của phương trình (1.5).
ðịnh nghĩa 1.5. Nghiệm của phương trình (1.5) mà tại mỗi ñiểm (x
0
, y
0
) của nó
tính chất duy nhất nghiệm của bài toán Cauchy (1.9) ñược thoả mãn ñược gọi là
nghiệm riêng. Ngược lại, nghiệm của phương trình (1.5) mà tại mỗi ñiểm của nó tính
chất duy nhất nghiệm của bài toán Cauchy bị vi phạm ñược gọi là nghiệm kỳ dị.
Nhận xét: Từ ñịnh nghĩa nghiệm tổng quát, ta suy ra rằng với mỗi ñiều kiện ban
ñầu
(
)
0 0
x , y D
∈

, ta luôn tìm ñược
(
)
0 0 0
C x , y
ϕ
=
sao cho
(
)
0
y y x, C
=
là nghiệm của
bài toán Cauchy tương ứng. Nói cách khác, bằng cách chọn các giá trị thích hợp cho
hằng số, ta có thể thu ñược các nghiệm riêng tuỳ ý của phương trình, không kể các
nghiệm kỳ dị.
Giải (hay còn gọi là tích phân) một phương trình vi phân là tìm tất cả các nghiệm (biểu thức
nghiệm tổng quát) của phương trình ñó hoặc nghiệm của bài toán Cauchy với ñiều kiện ban ñầu cho
trước.
1.3. Phương pháp giải một số phương trình vi phân cấp 1
1.3.1. Phương trình với biến số phân ly
Phương trình vi phân cấp 1 dạng:
( ) ( ) 0
M x dx N y dy
+ =
(1.10)
ñược gọi là phương trình vi phân với biến số phân ly (hay phương trình tách biến).
Cách giải: Các hàm M(x), N(y) ñược giả thiết liên tục trên các khoảng nào ñó. Khi ñó chỉ cần
tích phân hai vế của (1.10) ta thu ñược tích phân tổng quát của nó là:

( ) ( )
M x dx N y dy C
+ =
∫ ∫

Ví dụ 1.4. Giải phương trình
2 2
' (1 )
y y x x
= +
Phương trình này có dạng tách biến
2 2
(1 ) 0
y dy x x dx
− + =
. Tích phân tổng quát của phương
trình này là:
3 2 4
3 2 4
y x x
C
− − =

Nhận xét: Phương trình dạng
1 1 2 2
( ). ( ) ( ). ( ) 0M x N y dx M x N y dy
+ =
(1.11)
cũng ñưa ñược về dạng (1.10) với biến số phân ly, bằng cách chia hai vế cho
1 2

( ) ( )
N y M x
(với
giả thiết biểu thức này khác 0):
1 2
2 1
( ) ( )
0
( ) ( )
M x N y
dx dy
M x N y
+ =
.
Dó
ñ
ó tích phân t
ổ
ng quát là:
1 2
2 1
( ) ( )
( ) ( )
M x N y
dx dy C
M x N y
+ =
∫ ∫

6

Ví dụ 1.5. Giải phương trình:
2 3
( 1) ( 1)( 1) 0
x y dx x y dy
+ + − − =

Với
3
1 0 à 1 0
y v x
+ ≠ − ≠
, phương trình ñã cho có thể viết:
2 2
3 3
1 1
0
1 1 1 1
x y x y
dx dy dx dy C
x y x y
− −
+ = ⇒ + =
− + − +
∫ ∫

Hay
3
1
ln 1 2ln 1

3
x y y C
− + − + =

Ngoài ra ta có:
3
1 0 1 à 1 0 1
x x v y y
− = ⇔ = + = ⇔ = −

Thử trực tiếp vào phương trình thì
1 à 1
x v y
= = −
cũng là nghiệm của phương trình.
1.3.2. Phương trình vi phân ñẳng cấp, cấp một (phương trình thuần nhất).
1.3.2.1. ðịnh nghĩa: Phương trình vi phân ñẳng cấp, cấp một là phương trình có dạng:

( )
,
dy
f x y
dx
=
(1.12)
Trong ñó
(
)
,
f x y

có thể biểu diễn ñược thành hàm của tỷ số hai ñối số:
( )
,
y
f x y
x
ϕ
 
=
 
 

Ví dụ 1.6:
(
)
(
)
2 2
2 0
xy y dx x xy dy
− − − =
là phương trình vi phân ñẳng cấp, cấp một vì:
2
2
2
2
1 2
y y
dy xy y
x x

y
dx x xy
x
 
−
 
−
 
= =
−
−

1.3.2.2. Cách giải: Phương trình (1.12) có thể viết dưới dạng:
dy y
dx x
ϕ
 
=
 
 
(1.13)
ðặt
( )
ux
y dy du
u y u x u
x dx dx
ϕ
= ⇒ = ⇒ = + =

( )
du
x u u
dx
ϕ
⇒ = −

* Nếu
(
)
0
u u
ϕ
− ≠
( )
dx du
x u u
ϕ
⇒ =
−
(phương trình biến phân ly)
( )
ln ln .
du
x C
u u
ϕ
⇒ = +
−
∫

ðặ
t
( )
( )
du
u
u u
φ
ϕ
=
−
∫
ta có:
(
)
(
)
ln ln
u
x u C x Ce
φ
φ
= + ⇒ =

Tích phân t
ổ
ng quát c
ủ
a ph

ươ
ng trình (1.13) là:
y
x
x Ce
φ
 
 
 
=
(v
ớ
i
0
C
≠
).
* N
ế
u
( )
0
y y
u u
x x
ϕ φ
 
− = ⇒ = ⇒
 
 

ph
ươ
ng trình (1.13) có d
ạ
ng:
dy y
dx x
=
(ph
ươ
ng trình tách
bi
ế
n)
⇒
.
y Cx
=

* N
ế
u
(
)
0
u u
ϕ
− =
t
ạ

i
0 0
u u y u x
= ⇒ =
c
ũ
ng là nghi
ệ
m c
ủ
a ph
ươ
ng trình (1.13) (b
ằ
ng cách th
ử

tr
ự
c ti
ế
p).
Ví dụ 1.7: Giải phương trình:
2
2 2
2
2
1
y
dy xy

x
dx x y
y
x
= =
−
 
−
 
 

7

ðặt
( )
ux
y dy du
u y u x u
x dx dx
ϕ
= ⇒ = ⇒ = + =


( )
3 2
2 2
2
2 1
1 1
1

u du du u u dx u
u x x du
u dx dx u x
u u
+ −
⇒ = + ⇒ = ⇒ =
− −
+

Hay
2
2
1
dx du u
du
x u u
= −
+
(phương trình tách biến)
Lấy tích phân 2 vế ta ñược
2
ln ln ln 1 ln
x u u C
= − + +

2
1
Cu
x
u

⇔ =
+

thay
y
u
x
=
vào ta có nghiệm
2 2
x y Cy
+ =
(tích phân tổng quát của phương trình)
*Ngoài ra ta thấy rằng tại
0
0 0
u y
= ⇔ =
cũng là nghiệm của phương trình (thử trực tiếp).
1.3.2.3. Phương trình ñưa về phương trình ñẳng cấp cấp một
Xét phương trình
1 1 1
ax
a x
dy by c
f
dx b y c
 
+ +
=

 
+ +
 
(1.14)
* Nếu
1
0
c c
= =
thì (1.14) trở thành phương trình thuần nhất.
* Nếu ít nhất một trong hai số c hoặc
1
c
khác không thì ta giải hệ phương trình sau:
1 1 1
ax 0
a x 0
by c
b y c
+ + =


+ + =

ắt phải xảy ra một trong hai trường hợp sau:
- Nếu hệ vô nghiệm tức là
1 1
a b
k
a b

= =
thì
( )
1 1
1 1 1
ax
a x
a x
dy by c
f F b y
dx b y c
 
+ +
= = +
 
+ +
 
(phương trình
tách biến).
- Nếu hệ có nghiệm
(
)
1 1
,
x y
ta thực hiện phép biến ñổi sau:
ðặt
1 1
1 1
1 1

aX
X x x x X x
dy bY
f
Y y y y Y y
d a X bY
= − = +
 
 
+
⇔ ⇒ =
 
 
= − = +
+
 
 
(phương trình thuần nhất).
Ví dụ 1.8: Giải phương trình:
1
3
dy x y
dx x y
− +
=
+ +

Giải hệ:
1 0 2
3 0 1

x y x
x y y
− + = = −
 
⇒
 
+ + = = −
 

ðặt
2 2
1 1
X x x X
Y y y Y
= + = −
 
⇔
 
= + = −
 
. Ta có
( ) ( )
( ) ( )
1
2 1 1
2 1 3
1
Y
X Y
dY X Y

X
Y
dX X Y X Y
X
−
− − − +
−
= = =
− + − + +
+
(phương trình dạng (1.13)).
1.3.3. Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1
Phương trình dạng
( ) ( )
dy
P x y Q x
dx
+ =
(1.15)
Trong ñó
(
)
(
)
;
P x Q x
là các hàm số liên tục ñối với biến x trong khoảng (a, b) nào ñó, ñược gọi
là phương trình vi phân tuyến tính cấp một.
8

Nói cách khác: Phương trình (1.15) là phương trình bậc nhất ñối với hàm phải tìm và ñạo
hàm của nó.
* Nếu
(
)
0
Q x
≡
thì (1.15) gọi là phương trình tuyến tính thuần nhất.
* Nếu
(
)
0
Q x
≠
thì (1.15) gọi là phương trình tuyến tính không thuần nhất.
Cách giải: (Phương pháp biến thiên Lagrange)
Trước tiên giải phương trình thuần nhất tương ứng:
* Giải phương trình
(
)
' 0
y p x y
+ =
.
- Với
0
y
≠
ta có

( ) ( )
ln ln ( 0)
dy
p x dx y p x dx c C
y
= − ⇔ = − + ≠
∫

Hay
( )
p x dx
y Ce
−
∫
=
(1.16) (nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất).
- Ta thấy với
0 0
C y
= ⇒ =
(thử trực tiếp vào phương trình thuần nhất thì
0
y
=
cũng là nghiệm
của phương trình).
* Coi C không phải hằng số mà là hàm của x.
Lấy ñạo hàm 2 vế của (1.16) theo x ta ñược:

( )

( )
( )
p x dx p x dx
dy dC
e p x e C
dx dx
− −
∫ ∫
= −
(thế vào (1.15) và kết hợp với (1.16) ta ñược:
( )
( )
( )
( )
( )
( )
p x dx p x dx p x dx
dC
e p x e C p x e C Q x
dx
− − −
∫ ∫ ∫
− + =

Hay
( ) ( )
( ) ( )
p x dx p x dx
dC
e Q x C Q x e dx

dx
−
∫ ∫
= ⇒ =
∫
+C
CC
C











(1.17)
Thế (1.17) vào (1.16) ta ñược nghiệm tổng quát của (1.15) là:
y
=
C
C C
C
( )
p x dx
e
−

∫
+
( ) ( )
( )
p x dx p x dx
e Q x e dx
−
∫ ∫
∫

Nhận xét: Nghiệm tổng quát của phương trình tuyến tính không thuần nhất bằng nghiệm tổng
quát của phương trình tuyến tính thuần nhất tương ứng cộng với một nghiệm riêng nào ñó của
chính nó.
Ví dụ 1.9: Giải phương trình:
1
' 3
y y x
x
+ =
. Tìm nghiệm riêng thỏa mãn:
1
1.
x
y
=
=

* Giải phương trình thuần nhất tương ứng:
1
' 0 ( 0)

dy dx C
y y y y
x y x x
+ = ⇒ = − ≠ ⇒ =

Coi
(
)
C C x
=
lấy ñạo hàm 2 vế của ñẳng thức ta ñược:
2 2
1 1 1
3
dy dC C dC C C
x
dx x dx x x dx x x x
= − ⇒ + − =

2 3
3dC x dx C x
ε
⇒ = ⇒ = +

Nghiệm tổng quát của phương trình là:
( )
3 2
1
y x x
x x

ε
ε
= + = +

Với ñiều kiện ban ñầu ta có:
1 1 0.
ε ε
= + ⇒ =

Vậy nghiệm riêng của phương trình ñã cho ứng với ñiều kiện ban ñầu là
2
y x
=

1.3.4. Phương trình Bernoulli
9

Phương trình dạng:
( ) ( )
n
dy
P x y Q x y
dx
+ =

(1.18)
Trong ñó
(
)
(

)
,
P x Q x
là các hàm số liên tục ñối với biến x trong khoảng (a; b) nào ñó và
n
∈
ℝ

bất kỳ, ñược gọi là phương trình Bernoulli.
Cách giải:
* Với n = 0 hoặc n = 1 thì (1.18) trở thành phương trình tuyến tính cấp một.
* Với
0 à 1
n v n
≠ ≠
thì (1.18) có thể ñưa về phương trình tuyến tính cấp một bằng cách sau:
- Với
0
y
≠
ta có:
1
( ) ( )
n n
dy
y P x y Q x
dx
− −
+ =
. ðặt

1
n
z y
−
=
(lấy ñạo hàm 2 vế) ta có:
'
' (1 ) ' '
(1 )
n
n
z
z n y y y
n y
−
−
= − ⇒ =
−
. Thay vào (1.18):
'
( ) ( ).
(1 )
n
n
z
y p x z Q x
n y
−
−
+ =

−

' (1 ) ( ) (1 ) ( )
Hay z n p x z n Q x
+ − = −
(phương trình tuyến tính cấp một).
Ví dụ 1.10: Giải phương trình:
3 2
' 2
y xy x y
− =

* Thử y = 0 cũng là nghiệm của phương trình.
* Với
0
y
≠
ta có:
2 1 3
' 2 .
y y xy x
− −
− =
ðặt
1 2
' '
z y z y y
− −
= ⇒ = −

3
2
'
' ' 2
z
y z xz x
y
−
⇒ = ⇒ + = −
−
(phương trình tuyến tính cấp một không thuần nhất).
Giải ra ta ñược nghiệm tổng quát của nó là:
2
2
1
x
z Ce x
−
= − +

Vậy nghiệm tổng quát của phương trình trên là:
2
2
1
1
x
y
Ce x
−
=

− +

Chú ý rằng phải xét riêng trường hợp y =0 trước khi chia 2 vế cho
n
y
ñể tránh làm mất nghiệm
này.
1.3.5. Phương trình vi phân toàn phần và thừa số tích phân
1.3.5.1. Phương trình vi phân toàn phần
* Phương trình vi phân dạng:
( , ) ( , ) 0
M x y dx N x y dy
+ =
(1.19)
Trong ñó
( , ) à ( , )
M x y v N x y
là những hàm liên tục, tồn tại ñạo hàm riêng theo các biến liên tục.
ðược gọi là phương trình vi phân toàn phần nếu:
[
]
( , ) ( , ) ( , )M x y dx N x y dy d U x y+ =

* Nếu (1.19) là phương trình vi phân toàn phần thì tích phân tổng quát của (1.19) là:
( , )
U x y C
=

* Tiêu chuẩn nhận biết một phương trình vi phân là một phương trình vi phân toàn phần
ðiều kiện cần và ñủ ñể phương trình (1.19) là phương trình vi phân toàn phần là:

M N
y x
∂ ∂
=
∂ ∂

Nếu ñiều kiện
M N
y x
∂ ∂
=
∂ ∂
thỏa mãn thì tích phân tổng quát của phương trình (1.19) có thể viết
dưới dạng
0 0
0
( , ) ( , )
y
x
x y
M x y dx N x y dy C
+ =
∫ ∫
hoặc
0 0
0
( , ) ( , )
y
x
x y

M x y dx N x y dy C
+ =
∫ ∫
trong ñó
(
)
0 0
,
x y
và
(
)
,
x y D
∈
.
1.3.5.2. Thừa số tích phân
10

Nếu (1.19) không phải phương trình vi phân toàn phần, nhưng tồn tại hàm
( , )
x y
µ
sao
cho:
( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 0
x y M x y dx x y N x y dy
µ µ
+ =
là phương trình vi phân toàn phần, thì hàm

( , )
x y
µ
ñược gọi là thừa số tích phân.
ðịnh lý về sự tồn tại thừa số tích phân
Nếu phương trình (1.19) có tích phân tổng quát
( , )
U x y C
=
thì phương trình (1.19) có thừa số
tích phân.
* Chú ý: Phương trình (1.19) có thừa số tích phân
( , )
x y
µ
thì nó có vô số thừa số tích phân và
mọi thừa số tích phân của nó ñều có dạng
(
)
1
( , ) ( , )
x y u x y
µ φ µ
=
trong ñó
(
)
u
φ
là hàm số nào

ñó liên tục và tồn tại ñạo hàm riêng liên tục với u.
* Cách tìm thừa số tích phân
Không có một phương pháp tổng quát nào ñể tìm thừa số tích phân. Mà chỉ có thể tìm ñược thừa
số tích phân ñối với một số lớp phương trình dạng (1.19) (xem [4]).
Trường hợp 1: Nếu
( , ) ( , )
( )
( , )
M x y N x y
y x
x
N x y
ψ
∂ ∂
−
∂ ∂
=
thì thừa số tích phân
( )
( , ) ( )
x dx
x y x e
ψ
µ µ
∫
= =


Tr
ườ

ng h
ợ
p 2: N
ế
u
( , ) ( , )
( )
( , )
M x y N x y
y x
y
M x y
ψ
∂ ∂
−
∂ ∂
=
thì th
ừ
a s
ố
tích phân
( )
( , ) ( )
y dy
x y y e
ψ
µ µ
−
∫

= =

Ví dụ 1.11: Giải phương trình:
(
)
(
)
2 2 2
0
x y dx x y x dy
− + + =

Ta có:
2 2
1; 2 1 2(1 )
M N M N
xy xy
y x y x
∂ ∂ ∂ ∂
= − = + ⇒ − = − +
∂ ∂ ∂ ∂

(
)
2
2 2 2
2 1
(ln ) 2 1
xy
d

dx x y x x x
µ
µ
− +
⇒ = = − ⇒ =
+

Do ñó
( ) ( )
2 2 2
2 2
1 1
0
x y dx x y x dy
x x
− + + =
là phương trình toàn phần
3
2
2
1
0 0
3
y y y
dx dx y dy dy hay dx d d
x x x
 
 
⇒ − + + = + + =
 

 
 
 

3 3
0
3 3
y y y y
d x x C
x x
 
⇒ + + = ⇒ + + =
 
 
là nghiệm tổng quát.
Ví dụ 1.12: Giải phương trình:
(
)
(
)
2 2
4 4 0
xy y dx x y x dy
+ + + =

Tương tự ta có kết quả:
2 2
2
x y xy C
+ =

1.3.6. Phương trình Lagrange và phương trình Clero
1.3.6.1. Cách ñưa phương trình về dạng ñã giải ra ñối với ñạo hàm
Giả sử ñã cho phương trình
(
)
, , ' 0
F x y y
=
(1.20)
Giả sử phương trình (1.20) có thể biểu diễn ñược dưới dạng tham số:

(
)
(
)
(
)
, ; , ; ' ,
x u v y u v y u v
ϕ χ ψ
= = =
(1.21)
Khi ñó (1.20) và (1.21) tương ñương.
11

Nhờ việc ñưa phương trình (1.20) về dạng phương trình (1.21), ta có thể ñưa việc giải phương
trình dạng (1.20) về việc giải phương trình dạng (1.21).
Ví dụ 1.13. Giải phương trình
2

2
' '
2
x
y y y x
= − +
ta có thể tham số hóa bằng cách ñặt
, '
x x y p
= =
và
2
2
2
x
y p px
= − +
. Xem x và p là hai tham số. Khi ñó vi phân ñẳng thức cuối
cùng ta ñược
( ) (2 )
dy x p dx p x dp
= − + −
(chú ý rằng dy = pdx). Từ ñẳng thức trên, nếu
2 0
p x
− ≠
ta có
1
dp
dx

=
suy ra p = x + C.
Do ñó nghiệm tổng quát của phương trình ñã cho là
2
2
2
x
y Cx C
= + +
. Nếu 2p - x = 0 ta có
2
x
p
=
thay vào biểu thức tham số hóa ta có nghiệm
4
2
x
y =
nghiệm này là nghiệm kỳ dị.
1.3.6.2. Phương trình Lagrange
Ta gọi phương trình tuyến tính ñối với x và y dạng:
(
)
(
)
' '
y y x y
ϕ ψ
= +

(1.22) là phương trình Lagrange
* Cách giải: Chọn
; '
u x p y
= =
ta có:
(
)
(
)
y p x p
ϕ ψ
= +
(1.23)

( ) ( ) ( )
' ' '
dp
y p p p x p
dx
ϕ ϕ ψ
⇒ = = +
 
 
(1.24)

( ) ( ) ( )
' '
dp
p p p x p

dx
ϕ ϕ ψ
⇒ − = +
 
 

Coi p là biến ñộc lập, x là hàm của p ta có phương trình tuyến tính sau:
* Nếu
(
)
0
p p
ϕ
− ≠
ta có:
(
)
( )
(
)
( )
' '
p p
dx
x
dp p p p p
ϕ ψ
ϕ ϕ
− =
− −

Giải phương trình này theo cách ñã biết ta ñược nghiệm tổng quát của phương trình. Giả
sử biểu diễn dưới dạng:
(
)
(
)
x p p
ω ψ
= +
. Thay biểu thức này vào (1.23) ta ñược:
(
)
(
)
( ) ( ) ( ) ( )
x p p
y p p c p p
ω ψ
ϕ ω ψ ψ
= +


= + + 

 


* Nếu
(

)
0
p p
ϕ
− =
tại
(i=1,2, )
i
p p
=
thì phương trình
(
)
i i
y xp p
ψ
= +
cũng là nghiệm của
phương trình (có thể là nghiệm riêng hay kỳ dị tùy từng trường hợp).
Chú ý: Nghiệm kỳ dị của phương trình Lagrange nếu có thì chỉ có thể là ñường thẳng
(
)
i i
y xp p
ψ
= +
.
*
(
)

p p
ϕ
≡
thì phương trình Lagrange trở thành phương trình Clero.
Ví dụ 1.13: Giải phương trình:
2 2
' '
y xy y
= +
.
ðặt
2 2
'
y p y xp p
= ⇒ = +

( )
2 2
' 2 . ' 2 . ' ' 2 2
dp
y p xp p p p y p p xp p
dx
⇒ = + + ⇒ = = + +

Hay
(
)
(
)
2

2 2
p p dx xp p dp
− = +

12

* Với
2
0
p p
− ≠
ta có:
2 2
1 1
dx x
dp p p
+ =
− −
(là phương trình tuyến tính cấp 1)
Giải phương trình trên ta ñược:
( )
2
1
1
C
x
p
= −
−

Thế vào
2 2
y xp p
= +
ta ñược:
( )
2
2
1
Cp
y
p
=
−
do ñó nghiệm tổng quát của phương trình ñã cho là:

( )
( )
2
2
2
1
1
1
C
x
p
Cp
y
p


= −

−



=

−

(dạng tham số)
Khử p từ hệ phương trình trên ta ñược nghiệm tổng quát của phương trình là:
(
)
2
1
y x C
= + +

* Với
2
0 0 à 1
p p p v p
− = ⇔ = =

- Với
0
p
=

ta ñược
0
y
=
.
- Với
1
p
=
ta ñược
1
y x
= +
.
Ta thấy
0
y
=
là nghiệm bất thường (kỳ dị) của phương trình vì nó không phụ thuộc gì
vào nghiệm tổng quát. Còn
1
y x
= +
là nghiệm riêng ứng với
0
C
=
.
1.3.6.3. Phương trình Clero
Khi

(
)
' '
y y
ϕ
=
thì phương trình Lagrange có dạng:
(
)
' '
y y x y
ψ
= +
(1.25)
Phương trình này gọi là phương trình Clero.
(
)
'
y
ψ
là hàm khả vi với
'
y
.
* Cách giải: ðặt
'
y p dy pdx
= ⇒ =

Và (1.25) trở thành

(
)
(
)
'
y px p dy pdx pdx x p dp
ψ ψ
= + ⇒ = = + +
 
 

Hay
(
)
' 0 0
x p dp dp
ψ
+ = ⇒ =
 
 
hoặc
(
)
' 0
x p
ψ
+ =

*
0

dp p C
= ⇒ =
. Thế vào
(
)
y px p
ψ
= +
ta ñược:
(
)
y Cx C
ψ
= +
(1.26) (nghiệm tổng quát
của (1.25) là họ ñường thẳng).
*
(
)
(
)
' 0 '
x p x p
ψ ψ
+ = ⇒ = −
. Thế vào
(
)
y px p
ψ

= +
ta ñược:
(
)
( ) ( )
'
'
x p
y p p p
ψ
ψ ψ
= −


= − +



( ñây cũng là nghiệm viết dưới dạng tham số của phương trình Clero)
Nếu tồn tại
(
)
''
p
ψ
liên tục khác không thì nghiệm cho dưới dạng tham số là là hình bao
của họ ñường thẳng (1.26).
Ví dụ 1.14: Giải phương trình:
2
'( 1) '

y y x y
= − − .
ðặt
2
' ( 1)
y p y p x p
= ⇒ = − −

Thế
'
y C
=
vào trên ta ñược nghiệm tổng quát của phương trình là họ ñường thẳng:
2
( 1)
y C x C
= − −

13

ðể tìm nghiệm kỳ dị, tức tìm bao hình của họ ñường thẳng trên ta xét hệ
2
2 1
( 1)
x C
y C x C
= +


= − −



Khử C từ hệ phương trình trên ta ñược bao hình là Parabol
2
( 1)
4
x
y
−
=
(Hình 1.2).


1.3.7. Phương trình Darboux
Phương trình Darboux là phương trình vi phân dạng

( , ) ( , ) ( , )( ) 0
A x y dx B x y dy H x y xdy ydx
+ + − =
(1.27)
trong ñó A, B là các hàm thuần nhất bậc m và H là hàm thuần nhất bậc n.
Chú ý rằng nếu n = m-1 thì phương trình Darboux chính là phương trình thuần nhất. Trong
trường hợp tổng quát, ta luôn ñưa phương trình Darboux về phương trình Bernoulli.
Thật vậy ñặt y = xz, ta có
2 2
, xdy-ydx=x ( )
y
dy xdz zdx d x dz
x
= + =

. Do ñó phương trình (1.27) có thể viết lại dưới dạng
2
1, 1, (1, ) 0
m m n
y y y y
x A dx x B dy x H x d
x x x x
     
+ + =
     
     

Hay, sau khi chia 2 vế cho
m
x
và thu gọn, ta có
(
)
(
)
(
)
(
)
2
[ 1, 1, ]dx+[ 1, 1, x ] 0
n m
A z zB z xB z H z dz
+ −
+ + =

Với giả thiết
(
)
(
)
2
1, 1, x 0
n m
xB z H z
+ −
+ ≠
, ta có thể viết phương trình cuối cùng dưới dạng

(
)
( )
(
)
( ) ( )
2
1, 1,
1, (1, ) 1, 1,
n m
B z H z
dx
x x
dz A z zB z A z zB z
+ −
+ = −

+ +

ðây là phương trình Bernoulli của ẩn
)(zxx
=
xem như hàm theo
z
.
Ví dụ 1.15: Giải phương trình
2
( ) 0
xdx ydy x xdy ydx
+ + − =

ðây là phương trình Darboux, ñặt
xz
y
=
ta ñược
4
( ) 0
xdx xz xdz zdx x dz
+ + + =

Hay 0)()1(
32
=+++ dzxxzdxz
Hình 1.2
14

Từ ñó ta có
3
22
1
1
1
x
z
x
z
z
dy
dx
+
−=
+
+

ðây là phương trình Bernolli, giải phương trình này (sau khi ñưa về phương trình tuyến tính bậc
1) ta ñược nghiệm là
zzzzC
x
++++= arctan)1()1(
1
22
2

Trở lại biến ban ñầu, ta có nghiệm tổng quát cho bởi
01arctan)()(
2222

=−+






+++ xy
x
y
yxyxC
với
C
là hằng số tùy ý.
1.3.8. Nghiệm kỳ dị của phương trình vi phân
1.3.8.1. Hình bao của một họ ñường cong
Giả sử có phương trình dạng:
(
)
, , 0
x y C
φ
=
(1.28)
trong ñó x,y là các biến ñộc lập, c là thông số có thể lấy những giá trị khác nhau. Với mỗi giá trị
xác ñịnh của C, phương trình (1.28) xác ñịnh một ñường trên mặt phẳng Oxy. Cho C mọi giá trị
có thể ñược ta có một họ ñường phụ thuộc một thông số.
* Hai ñường cong gọi là tiếp xúc với nhau tại giao ñiểm nếu tại ñấy chúng có cùng một tiếp
tuyến chung.
* Cho một họ ñường cong phụ thuộc thông số C là

(
)
, , 0
x y C
φ
=
. ðường cong L gọi là hình bao
của ñường cong trên, nếu như tại mỗi ñiểm thuộc ñường cong L nó tiếp xúc với một và chỉ một
ñường cong của họ.
* Cách tìm hình bao:
Giả sử cho họ
(
)
, , 0
x y C
φ
=

Bước 1: Tính
(
)
'
, , 0
c
x y C
φ
=

Bước 2: Khử c từ hệ
(

)
( )
'
, , 0
, , 0
c
x y C
x y C
φ
φ

=


=


ta ñược phương trình của hình bao.
1.3.8.2. Nghiệm kỳ dị
Giả sử phương trình
(
)
, , ' 0
F x y y
=
(1.29)
Có tích phân tổng quát:
(
)
, , 0

x y C
φ
=
(1.30)
Khử c từ phương trình (1.30) và phương trình
(
)
'
, , 0
c
x y C
φ
=
ta ñược phương trình
(
)
y x
ϕ
=
.
Nếu phương trình này thỏa mãn phương trình (1.29) mà không phụ thuộc vào họ (1.30) thì gọi là
tích phân kỳ dị (hay bất thường).
* Hay: xét phương trình
(
)
, , ' 0
F x y y
=
. Nghiệm
(

)
y x
ϕ
=
của nó gọi là kỳ dị nếu tính duy nhất
tại mỗi ñiểm của nó bị phá vỡ.
Ví dụ 1.16: Tìm nghiệm bất thường của phương trình:
(
)
2 2 2
1 '
y y R
+ =

( )
2 2
2
2 2
2 2
R y
dy ydy
dx x C y R
dx y
R y
−
⇒ = ± ⇒ = ⇒ − + =
± −

15

Họ ñường tích phân gọi là họ ñường tròn bán kính R, tâm nằm trên Ox. Hình bao của họ là cặp
ñường thẳng
y R
= ±
. Hàm
y R
= ±
thỏa mãn phương trình nhưng không phụ thuộc vào C.
Vậy nghiệm
y R
= ±
là nghiệm kỳ dị của phương trình.
1.3.8.3. Quỹ ñạo trực giao
Trên mặt phẳng Oxy, cho một họ ñường cong (C
C C
C ) phụ thuộc tham số C:
(
)
, , 0
F x y C
=
.
Những ñường cắt tất cả các ñường cong của họ (C
C C
C ) dưới một góc
2
π
α
=
ñược gọi là những quỹ

ñạo trực giao của họ (C
C C
C )
Cách tìm quỹ ñạo trực giao
Giả sử cho họ ñường cong (C
C C
C ) có phương trình:
(
)
, , 0
F x y C
=

Lập phương trình vi phân của họ (C
C C
C ) bằng cách khử C từ hệ phương trình:

(
)
( )
'
, , 0
, , 0
x
F x y C
F x y C

=



=



Ta sẽ ñược một phương trình liên hệ giữa
(
)
, , ': , , ' 0
x y y f x y y
=
, ñây là phương trình vi phân
của họ (C
C C
C ).
Nhận xét: ðạo hàm
'
y
là hệ số góc của tiếp tuyến với ñường cong của họ (C
CC
C

) tại ñiểm
M
(
)
,
x y
. Vì quỹ ñạo trực giao của họ (C
CC
C

) ñi qua M cắt các ñường cong của họ (C
CC
C

) dưới góc
2
π
α
=
, nên hệ số góc của tiếp tuyến của nó tại M là
'
1
1
'
y
y
= −
do ñó
'
1
1
'y
y
= −

V
ậ
y ph
ươ

ng trình vi phân c
ủ
a h
ọ
các qu
ỹ

ñạ
o tr
ự
c giao c
ủ
a (
C
CC
C

)
chính là ph
ươ
ng trình
(
)
, , ' 0
f x y y
=
trong
ñ
ó ta thay
'

y
b
ở
i
1
'
y
−
:
1
, , 0
'
f x y
y
 
− =
 
 
. Nghi
ệ
m t
ổ
ng quát c
ủ
a ph
ươ
ng
trình trên cho ta
ñượ
c h

ọ
các qu
ỹ

ñạ
o tr
ự
c giao.
Ví dụ 1.17: Tìm các quỹ ñạo trực giao của họ ñường thẳng ñi qua gốc tọa ñộ:
y = Cx.

Ta có:
'
y C
=
nên phương trình vi phân của họ ñường thẳng trên là:
'
y
y
x
=

Suy ra phương trình vi phân của các quỹ ñạo trực giao của họ ñường thẳng là:
'
x
y
y
= −

Nghiệm tổng quát của phương trình là:

2 2 2
x y K
+ =

Vậy các quỹ ñạo trực giao phải tìm là họ các ñường tròn ñồng tâm và có tâm ở gốc tọa
ñộ.
C. TÀI LIỆU HỌC TẬP
[1]. Hoàng Hữu ðường (1977), Lý thuyết phương trình vi phân, Nhà xuất bản ðại học và Trung
học chuyên nghiệp.
[2]. Nguyễn Thế Hoàn, Trần Văn Nhung (1979), Bài tập Phương trình vi phân, Nhà xuất bản
ðại học và Trung học chuyên nghiệp.
16

[3]. Vũ Tuấn, Phan ðức Thành, Ngô Xuân Sơn (1998), Giải tích toán học tập 3 (Sách ðại học sư
phạm), Nhà xuất bản Giáo dục.

D. CÂU HỎI, BÀI TẬP, NỘI DUNG ÔN TẬP VÀ THẢO LUẬN
1.1. Giải các phương trình vi phân có biến số phân li
a)
( ) ( )
2 2
2 2
ln 1
1 1 0. ) ' .
ln 1
x
x y dx y x dy b y
y
+
+ + + = =

+

( )
cos sin 1
) ' . ) ' os .
cos sin 1
y y
c y d y c x y
x x
− −
= = −
− +

1.2. Giải các phương trình vi phân thỏa mãn ñiều kiện ban ñầu
(
)
2 2
) 1
x x
a e y dy e dx
+ =
; Tìm nghiệm riêng thỏa mãn ñiều kiện:
0
0.
x
y
=
=

) sin ln 0

b xdy y ydx
− =
; Tìm nghiệm riêng thỏa mãn ñiều kiện:
0
1.
x
y
=
=

(
)
2 2
) 1 ' 4
c x y y
+ = +
; Tìm nghiệm riêng thỏa mãn ñiều kiện:
1
2.
x
y
=
=

) 'sin cos cos sin 0
d y x y y x y
+ =
; Tìm nghiệm
4
.

4
x
y
π
π
=
=

1.3. Giải các phương trình vi phân
3 2
) ' ' . ) ' sin '.
a x y y b y y y
= + =

(
)
(
)
3 3
) ' ' 0. ) 1 ' 1 0.
c y y yy d xy xy xy y
+ − = + − − =
(
)
2 2 2 2
) 1 . ' 1 0. ) 1 ' 0.
e x y y f y x y y x
− − − = + − − =

1.4. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân thuần nhất cấp 1

2 2
) ' 2 0.
a xyy x y
+ − =

2 2
) .
b xdy ydx x y dx
− = +

( ) ( )
) cos sin .
y y
c x ydx xdy xdy ydx
x x
+ = −

(
)
2 2
) ' ' 1 0.
d x y y xy y
+ − − =

( ) ( )
1
) ' . ) 2 2 1
1 0.
3
x y

e y f x y dx x y dy
x y
− +
= − − + − + =
+ +

2
2 2 2
) ' 2 ) tan .
1 1 1
y dy y y x
g y h
x y dx x x
 
+ + −
= = +
 
+ − + +
 

1.5. Giải các phương trình tuyến tính cấp một sau:
(
)
(
)
2
2
2 2
) ' 2 . ) 1 ' 2 1 .
x

a y xy xe b x y xy x+ = + − = +
( )
( )
3
2
0
2 1
) 2 6 0. ) ' 1 ;
1 2
x
y
c ydx y x dy d y x y
x
=
+ − = − = + =
+

1.6. Giải các phương trình vi phân sau (Phương trình Bernoulli)
( )
( )
2 3 2 2
) 1. ) 1 ' 3 5 0.
dy
a x y xy b xy x x yy x
dx
+ = + + + − =

( )
2
0

9
) ln 2 . ) ' ;
4
x
x
c y x ydx xdy d y y e y y
=
− = + = =

1.7. Giải các phương trình vi phân sau (Phương trình Lagrang - Phương trình Clero)
17

( )
2
3
) ' ' . ) 2 ' 2 ' 0.
a y y x y b y xy y
+ = − − =

'
) ' . ) ' .
' ' 1
a y
c y xy d y xy
y y
= + = +
+

1.8. Giải các phương trình vi phân sau (Phương trình vi phân toàn phần)
(

)
(
)
2 2
) 3 2 2 6 3 0.
a y xy x dx xy x dy
+ + + + + =

(
)
(
)
2 2
) 1 0.
b x y dx x y x dy
− + − =

(
)
(
)
2 3 2 2
) 2 3 3 3 2 0.
c xy x dx x y y dy
+ + + =

( )
3
2 2 2
) 2 0.

3
y
d xy x y dx x y dy
 
+ + + + =
 
 

1.9. Lập phương trình vi phân của họ các ñường cong sau
a)
y
x
x Ce
=
b)
y x C
− =

1.10. Tìm ñường cong tích phân mà ñối với nó giao ñiểm của tiếp tuyến bất kì với trục hoành
cách ñều tiếp ñiểm và gốc tọa ñộ.
1.11. Chứng minh rằng phương trình dạng
' ( )
y ay P x
+ =
trong ñó a = const, P(x) là ña thức bậc
m của x, có nghiệm riêng dạng Q(x) là ña thức bậc m.
1.12. Chứng rằng bất kì phương trình tuyến tính
' ( ) ( )
y p x y q x
+ =

có nghiệm riêng dạng
1
y b
=

là phương trình với biến số phân li.
1.13. Cho hai nghiệm khác nhau
1
y
,
2
y
của phương trình tuyến tính cấp 1. Hãy biểu diễn nghiệm
tổng quát của phương trình ñó qua hai nghiệm này.
1.14. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình
' ( ) 0
y p x y
+ =
nếu biết một nghiệm không tầm
thường
1
( )
y x
của nó.
1.15. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình tuyến tính thuần nhất
' ( ) 0
y p x y
+ =
bằng cách
ñưa nó về phương trình không chứa số hạng có hàm phải tìm qua phép thế

( )
y x z
α
=
, trong ñó
( )
x
α
là hàm số khả vi liên tục theo x.
1.16. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình tuyến tính thuần nhất
' ( ) 0
y p x y
+ =
bằng cách
ñưa nó về phương trình với hệ số hằng số qua phép thế biến ñộc lập
( )
t x
ψ
=
.
1.17. Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 có dạng
( ) ( )
y A x C B x
= +
.
Hãy chứng minh nhận xét ngược lại: bất kì phương trình vi phân có nghiệm tổng quát dạng trên
ñều là phương trình vi phân tuyến tính cấp 1.

18

CHƯƠNG 2
Phương trình vi phân cấp cao
Số tiết: 09 (lý thuyết: 07 tiết; bài tập: 02 tiết)
A. MỤC TIÊU
- Sinh viên hiểu ñược các khái niệm ñịnh nghĩa về phương trình vi phân cấp hai, cấp ba cấp n,
Ý nghĩa hình học, cách giải phương trình vi phân cấp cao.
- Sinh viên vận dụng thành thạo lý thuyết vào giải các dạng bài tập về phương trình vi phân cấp
cao.
- Sinh viên tích cực, chủ ñộng tham gia các hoạt ñộng của môn học, có năng lực tự học cao, có
phương pháp học tập tích cực sáng tạo.

B. NỘI DUNG
2.1. Các khái niệm cơ bản

Phương trình vi phân cấp n có dạng tổng quát:

( )
(
)
, , ', ", , 0.
n
F x y y y y
=
(2.1)
trong ñó F là một hàm xác ñịnh (liên tục) trên một tập mở nào ñó của
2
n
+
ℝ
và nhất thiết phải có

sự tham gia của ñạo hàm cấp n của ẩn
(
)
n
y
.
Nếu từ (2.1) ta có thể giải ñược
(
)
n
y
, nghĩa là nó có dạng:

( ) ( )
(
)
1
, , ', ,
n n
y f x y y y
−
= (2.2)
thì (2.2) ñược gọi là phương trình vi phân cấp n ñã giải ra ñối với ñạo hàm cấp cao nhất.
Giả sử hàm f xác ñịnh và liên tục trong miền biến thiên G nào ñó của các biến số
(
)
1
, , ', ,
n
x y y y

−
.
Hàm
(
)
y y x
=
ñược gọi là nghiệm của phương trình (2.2) trên khoảng (a; b) nếu:
i.
(
)
y x
liên tục và có ñạo hàm ñến cấp n liên tục trên (a; b) sao cho khi
(
)
;
x a b
∈
thì ñiểm
( ) ( )
( )
( )
(
)
1
; ; ' ; ; ;
n
x y x y x y x G
−
∈

ii. Trên (a; b) với
(
)
y y x
=
thì (2.2) trở thành ñồng nhất thức.
Nghiệm của phương trình (2.2) có thể tìm ñược dưới dạng ẩn
(
)
, 0
x y
Φ =
hoặc dưới
dạng tham số
(
)
(
)
,
x t y t
ϕ ψ
= =
. ðồ thị của nghiệm ñược gọi là ñường cong tích phân.
Tương tự ta ñịnh nghĩa nghiệm của phương trình (2.1).
* Bài toán Cauchy: Tìm nghiệm của phương trình (2.2) thỏa mãn ñiều kiện ban ñầu:

(
)
(

)
(
)
(
)
(
)
1 1
0 0 0 0 0 0
, ' ' , ,
n n
y x y y x y y x y
− −
= = =
(2.3)
trong ñó
0
x I
∈ ⊂
ℝ
và
(
)
1
0 0 0 0
( , , , )
n
n
Y y y y
−

′
= ∈
ℝ
là các số cho trước và ñược gọi là các giá trị
ban ñầu.
Trong trường hợp phương trình vi phân cấp 2

(
)
, , ,
y f x y y
′′ ′
=
(2.4)
Bài toán Cauchy ñòi hỏi tìm nghiệm
(
)
y y x
=
của phương trình (2.4) thỏa mãn ñiều kiện:
(
)
(
)
0 0 0 0
, ' .
y x y y x y
′
= =

19

* ðịnh nghĩa nghiệm tổng quát của phương trình vi phân cấp n
Nghiệm tổng quát của phương tình vi phân cấp n là hàm số
(
)
1
, , ,
n
y x C C
ϕ
=
phụ thuộc
vào n hằng số tùy ý
1 2
, , ,
n
C C C
sao cho:
* Hàm số thỏa mãn phương trình với mọi giá trị của hằng số
1 2
, , ,
n
C C C
.
Với ñiều kiện ban ñầu cho trước
0
0
0
( 1) ( 1)

0 0 0
; ' ' ; ;
x x
x x
x x
n n
y y y y y y
=
=
=
− −
= = =
ta có th
ể
ch
ọ
n
ñượ
c
các h
ằ
ng s
ố

1 2
, , ,
n
C C C
sao cho hàm
(

)
1
, , ,
n
y x C C
ϕ
=
th
ỏ
a mãn
ñ
i
ề
u ki
ệ
n
ñ
ó.
* M
ọ
i hàm s
ố
có
ñượ
c t
ừ
nghi
ệ
m t
ổ

ng quát v
ớ
i nh
ữ
ng giá tr
ị
xác
ñị
nh c
ủ
a các h
ằ
ng s
ố

1 2
, , ,
n
C C C
g
ọ
i là nghi
ệ
m riêng c
ủ
a ph
ươ
ng trình (nghi
ệm của bài toán Cauchy).
2.2. Các phương trình có thể hạ cấp ñược

2.2.1. Phương trình chỉ chứa biến số và ñạo hàm cấp cao nhất
Phương trình chỉ chứa biến số và ñạo hàm cấp cao nhất là phương trình có dạng
( )
(
)
, 0.
n
F x y
=
(2.5)
(i) Từ phương trình (2.5) ta có thể biểu diễn ñược
(
)
n
y
qua x:
(
)
(
)
.
n
y f x
=
(2.6)
Giả sử
(
)
f x
liên tục trên khoảng (a; b) . Khi ñó bài toán Cauchy có nghiệm duy nhất ñối

với bất kỳ
(
)
0
;
x a b
∈
và
(
)
1
0 0 0
, , ,
n
y y y
−
′
nhận giá trị bất kỳ. Nghiệm của bài toán Cauchy có dạng
(
)
( )
( )
(
)
( )
( )
( )
( )( )
0
2 1

2 1 1
0 0
0 0 0 0 0
1
' ( ) .
2 ! 1 ! 1 !
xn n
n n n
x
y y
y y y x x x x x x f t x t dt
n n n
− −
− − −
= + − + + − + − + −
− − −
∫

Tích phân lần lượt 2 vế của phương trình (2.6) ta ñược nghiệm tổng quát
(
)
(
)
1
1 1

â
.
n
n n

n l n
y x f x dx dx C x C x C
−
−
= + + + +
∫∫ ∫


(ii) Giả sử từ (2.5) ta không giải ñược
(
)
n
y
nhưng qua phương trình (2.5) ta có thể biểu
thị
(
)
,
n
x y
dưới dạng tham số:
(
)
(
)
(
)
, .
n
x t y t

ϕ ψ
= =

Chú ý rằng
(
)
(
)
(
)
(
)
1
'
n n
dy y dx t t dt
ψ ϕ
−
= =
ta có
(
)
(
)
(
)
(
)
1
1 1 1

' , .
n
y t t dt C t C
ψ ϕ ψ
−
= + =
∫

Tương tự như trên ta tìm ñược
(
)
(
)
2 3
, ,
n n
y y
− −
và cuối cùng
(
)
1 2
, , , , .
n n
y t C C C
ψ
=

Do ñó phương trình (2.5) có nghiệm tổng quát dưới dạng tham số:
(

)
( )
1 2
,
, , , , .
n n
x t
y t C C C
ϕ
ψ
=
=

Ví dụ 2.1. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình
.
x
y xe
′′
=
Tích phân lần lượt 2 vế ta ñược
(
)
1 2
2 .
x
y x e C x C
= − + +

Nghiệm thỏa mãn ñiều kiện ban ñầu
(

)
(
)
0 1, ' 0 0
y y
= =
có dạng
(
)
2 3.
x
y x e x
= − + +

Ví dụ 2.2. Tích phân phương trình
2
0.
y
x e y
′′
′′
− + =

ðặt
y t
′′
=
ta có
2
, .

t
x e t y t
′′
= − =

(
)
2 .
t
dy y dx t e t dt
′ ′′
= = −

20

( )
( )
3
1 1
2
' 2 1 ;
3
t t
y t e t dt C e t t C
= − + = − − +
∫

( )
( )
3

1
2
' 1 2 ,
3
t t
dy y dx e t t C e t dt
 
= = − − + −
 
 

( )
( )
3
1 2
2
1 2 .
3
t t
y e t t C e t dt C
 
= − − + − +
 
 
∫

Th
ự
c hi
ệ

n phép tính tích phân trong bi
ể
u th
ứ
c cu
ố
i, ta
ñượ
c nghi
ệ
m t
ổ
ng quát c
ủ
a ph
ươ
ng trình
ñ
ang xét d
ướ
i d
ạ
ng tham s
ố

2
,
t
x e t
= −

2 3 5 2
1 1 2
3 2 4
2 2 .
2 4 3 15
t t
t
y e t t C e t C t C
   
= − − − + − + − +
   
   

2.2.2. Phương trình không chứa hàm phải tìm và các ñạo hàm của nó ñến cấp k-1
Phương trình không chứa hàm phải tìm và các ñạo hàm của nó ñến cấp k-1 là phương
trình dạng
( ) ( ) ( )
(
)
( )
1
, , , , 0, 1 .
k k n
F x y y y k n
+
= ≤ ≤ (2.7)
Bằng phép thế
(
)

k
y z
=
với z là hàm mới phải tìm, phương trình (2.7) ñưa về phương
trình cấp n - k sau:
( )
(
)
, , , , 0.
n k
F x z z z
−
′
=
(2.8)
Nếu (2.8) giải ñược bằng cầu phương, nghĩa là ta tìm ñược
(
)
1 2
, , , ,
n k
z x C C C
ϕ
−
=
hay
(
)
1 2
, , , , , 0

n k
x z C C C
−
Φ =

thì trở lại biến y ta có
( )
( )
( )
(
)
1 2 1 2
, , , , , , , , , 0.
k k
n k n k
y x C C C hay x y C C C
ϕ
− −
= Φ =

Như vậy ta ñã ñi ñến trường hợp ñã xét ở phần 2.2.1.
Ví dụ 2.3. Giải phương trình
2
' .
y xy y
′′ ′′
= +
ðặt
'
y z

=
ta có
2
.
z xz z
′ ′
= +

ðây là phương trình Clero. Giải nó ta ñược nghiệm tổng quát
2
1 1
z xC C
= +

Và nghiệm kỳ dị
2
.
4
x
z = −

Trở lại biến cũ y:
2
2
1 1
' , ' .
4
x
y C x C y= + = −

Tích phân các phương trình cuối này ta ñược nghiệm tổng quát của phương trình ban ñầu
là
2 2
1
1 2
2
C
y x C x C
= + +
và họ nghiệm kỳ dị
3
.
12
x
y C
= − +

2.2.3. Phương trình không chứa biến số ñộc lập
Phương trình không chứa biến số ñộc lập là phương trình
( )
(
)
, ', , 0
n
F y y y
=
(2.9)
ðặt
'
y z

=
và coi
(
)
z z y
=
ta ñược
,
dz dz
y z
dx dy
′′
= =

2
2
2
,
d d dy d z dy
y y y z z
dx dy dx dy dz
 
 
′′′ ′′ ′′
= = = +
 
 
 
 
 

…
21

( )
1
1
, , , .
n
n
n
dz d z
y z
dy dy
ω
−
−
 
=
 
 

Thay các giá trị này của
(
)
', '', ,
n
y y y
vào phương trình (2.9) ta ñưa nó về phương trình cấp n-1:
2 1

2 1
, , , , 0.
n
n
dz d z d z
y
dy dy dy
−
−
 
Φ =
 
 

Ví dụ 2.4. Tích phân phương trình
2 2
2 .
yy y y
′′ ′
= +


ðặt
'
y z
=
ta có
' .
dz dz dz
y y z

dx dy dy
′′
= = =

Thay vào phương trình ban ñầu ta ñược
2 2
2
dz
yz z y
dy
= +

Hay
2
,
du
y u y
dy
= +
ở ñây
2
.
u z
=
Giải phương trình cuối ta có
2
1
.
u C y y
= +

Bởi vậy
2 2
1
z C y y
= +
Hay
2 2
1
.
y C y y
′
= +

Tích phân phương trình này ta ñược
2
1
1 2
ln .
2
C
y C y y x C
+ + + = ± +

Ngoài ra ph
ươ
ng trình còn có nghi
ệ
m
0

y
=
. Nó là nghi
ệ
m riêng.
2.2.4. Phương trình thuần nhất ñối với hàm phải tìm và các ñạo hàm của nó
N
ế
u ph
ươ
ng trình
( )
(
)
, , ', , 0
n
F x y y y
=
thu
ầ
n nh
ấ
t
ñố
i v
ớ
i
(
)
, ', ,

n
y y y
thì có th
ể
h
ạ
nó xu
ố
ng
m
ộ
t c
ấ
p b
ằ
ng phép th
ế

' ,
y yz
=
z là hàm s
ố
m
ớ
i ph
ả
i tìm.
Th
ậ

t v
ậ
y , khi
ñ
ó
(
)
2
,
y y z yz y z z
′′ ′ ′ ′
= + = +

(
)
3
3 ' ,
y y z zz z
′′′ ′′
= + +


( ) ( )
(
)
1
, ', , .
n n
y y z z z
−

=

Thay các bi
ể
u th
ứ
c này c
ủ
a
(
)
, , ,
n
y y y
′ ′′
vào ph
ươ
ng trình ban
ñầ
u và chú r
ằ
ng F là hàm thu
ầ
n
nh
ấ
t (ch
ẳ
ng h
ạ

n b
ậ
c m)
ñố
i v
ớ
i
(
)
, , , ,
n
y y y y
′ ′′
ta
ñượ
c
( )
(
)
(
)
1
2
,1, , ', , , ', , 0
n
m
y F x z z z z z z
ω
−
+ =

Hay
( )
(
)
(
)
1
2
,1, , ', , , ', , 0
n
F x z z z z z z
ω
−
+ =
(gi
ả
s
ử

0
y
≠
).
ð
ây là
ph
ươ
ng trình c
ấ

p n-1. Gi
ả
s
ử

(
)
1 2 1
, , , ,
n
z x C C C
ϕ
−
= là nghi
ệ
m t
ổ
ng quát c
ủ
a nó.
Khi
ñ
ó
( )
1 2 1
, , , , .
n
y
x C C C
y

ϕ
−
′
=
B
ở
i v
ậ
y
( )
1 2 1
, , , ,
n
x C C C dx
n
y C e
ϕ
−
∫
= là nghiệm tổng quát của phương trình ban ñầu.
Ví dụ 2.5. Giải phương trình
2
0.
xyy xy yy
′′ ′ ′
− − =

22

ðặt

'
y yz
=
ta có
(
)
2
'
y y z z
′′
= +
. Bởi vậy sau khi thay giá trị
', "
y y
vào phương trình
trên và ñơn giản cho
2
y
ta ñược
(
)
2 2
' 0,
x z z xz z
+ − − =

Hay
' 0.
xz z
− =

Tích phân phương trình này ta ñược
1
,
z C x
=
Hay
1
'
.
y
C x
y
=

Do ñó
2
1
2
2
C
x
y C e
=
.
Nghiệm
0
y
=
rõ ràng có thể nhận ñược từ biểu thức tích phân tổng quát với
2

0.
C
=

2.2.5. Phương trình thuần nhất suy rộng
Phương trình
( )
(
)
, , ', , 0
n
F x y y y
=
(2.10)
ñược gọi là phương trình thuần nhất suy rộng, nếu tồn tại số k sao cho vế phải của phương trình
(2.10) trở thành hàm thuần nhất (chẳng hạn bậc m) theo các biến
(
)
, , , ,
n
x y y y
′ ′′
với giả thiết
rằng
(
)
, , , ,
n
x y y y
′ ′′

là các ñại lượng bậc 1, bậc k , bậc
1, ,
k k n
− −
. Bằng phép thế
, ,
t kt
x e y ze
= =

ta ñưa ñược phương trình (2.10) về phương trình không chứa biến ñộc lập t:

( )
(
)
, ', , 0.
n
z z z
Φ =
(2.11)
Thật vậy, vì
t
d d
e
dx dt
−
=

Nên
( )

1
' ,
k t
t kt kt t
dy dz dz
y e e kze e kz e
dt dt dt
−
− −
   
= = + = +
   
   

( ) ( )
( )
2
2
2
2 1 1 ,
k t
t
dy dz dz
y e k k k z e
dt dt dt
−
−
′
 
′′

= = + − + −
 
 


( ) ( )
, , , .
n
n k n t
n
dz d z
y z e
dt dt
ω
−
 
=
 
 

Thế các giá trị này vào (2.10), chú ý giả thiết ñã cho, ta ñi ñến phương trình (2.11) sau khi ñã
ñơn giản cho thừa số
mt
e
. Vì theo phần 2.2.3, phương trình (2.11) có thể hạ xuống một cấp nên
phương trình (2.10) qua phép thế ở trên có thể hạ xuống cấp n-1.
Ví dụ 2.6. Xét phương trình
( )
3
4

' 0.
x y xy y
′′
+ − =
(2.12)
Ta chứng minh rằng ñây là phương trình thuần nhất suy rộng. Thật vậy, coi
, , ', "
x y y y
là
các ñại lượng bậc
1, , 1, 2
k k k
− −
và ñồng nhất bậc của các số hạng ta có
4 2 3 .
k k
+ − =

Bởi vậy k=1. Áp dụng phép thế
.
,
t t
x e y ze
= =
Khi ñó
' ,
t
dy dz
y e z
dt dt

−
= = +
2
2
.
t t
dy d z dz
y e e
dt dt dt
− −
 
′′
= = +
 
 
Thế vào (2.12) ta ñược
3
2
3
2
0
t t t
d z dz dz
e e z ze
dt dt dt
 
 
 
+ + + − =
 

 
 
 
 
 

23

Hay
3
2
2
0.
d z dz dz
dt dt dt
 
+ + =
 
 
(2.13)
ðây là phương trình không chứa biên số ñộc lập. ðặt
dz
u
dt
=
và coi
(
)
u u z
=

ta ñược
3
0
du
u u u
dz
+ + =
. Hay
( )
2
1 0 0 .
du
u u
dz
+ + = ≠
Tích phân tổng quát của phương trình cuối là
(
)
1
.
u tg C z
= −
Bởi vậy
( )
1
,
dz
tg C z
dt
= −

(
)
1 2
ln sin ln .
z C t C
− + =

Trở lại biến cũ x,y ta có
1 2
ln sin ln ln .
y
C x C
x
 
− + =
 
 

Do ñó
( )
1 2
arcsin , .
B
y x A A C B C
x
 
= + = = ±
 
 

2.2.6. Phương trình với vế trái là ñạo hàm ñúng
Nếu vế trái của phương trình
( )
(
)
, , ', , 0
n
F x y y y
=
(2.14)
là ñạo hàm ñúng của hàm
( )
(
)
1
, , ', ,
n
x y y y
−
Φ
nào ñó thì phương trình trên ñược gọi là phương
trình với vế trái là ñạo hàm ñúng. Vì theo giả thiết
( )
(
)
( )
1 1
, , ', , ( , , ', , ) 0
n n

d
x y y y F x y y y
dx
− −
Φ = =

nên
( )
(
)
1
1
, , ', ,
n
x y y y C
−
Φ =
(2.15)
là tích phân ñầu của phương trình (2.14). Có thể xảy ra là (2.15) cũng là phương trình với vế trái
là ñạo hàm ñúng. Trong trường hợp này ta lại có thể tìm ñược tích phân thứ hai của phương trình
(2.14).
Ví dụ 2.7. Giải phương trình
2
2 '
0.
1
y yy
y y
′′
− =

′
+

Ta có
( )
2
2
2 '
ln ' ln 1 '
1
y yy
y y
y y
′′
 
− = − +
 
′
+

Nên phương trình ñang xét là phương trình với vế trái là ñạo hàm ñúng.
Nó có tích phân ñầu
(
)
2
1
ln ' ln 1 ln
y y C
− + =

Hay
(
)
(
)
2
1
' 1
y A y A C
= + = ±
. Tích phân phương trình cuối ta ñược
arctan Ax .
y B
= +

ðây là tích phân tổng quát của phương trình ñang xét.
2.3. Phương trình tuyến tính cấp n với hệ số hằng số
2.3.1. Phương trình tuyến tính thuần nhất
Phương trình tuyến tính thuần nhất cấp n với hệ số hằng số có dạng

(
)
(
)
1
1
0,
n n
n
y a y a y

−
+ + + =
(2.16)
trong ñó
(
)
1, ,
i
a i n
=
là các hằng số thực. ðể xây dựng nghiệm tổng quát của phương trình
(2.16) ta xét phương trình ñặc trưng tương ứng với (2.16) sau:

1
1
0.
n n
n
a a
λ λ
−
+ + + =
(2.17)
24

Nghiệm của phương tình (2.17) gọi là nghiệm ñặc trưng của (1). Cấu trúc hệ nghiệm cơ
bản của (2.16) phụ thuộc vào dạng của các nghiệm phương trình ñặc trưng. Có những khả năng
sau xảy ra:
(i) Mọi nghiệm của phương trình ñặc trưng (2.17) thực và khác nhau. Giả sử các nghiệm
ñó là

1 2
, , , .
n
λ λ λ
Khi ñó
1 2
, , ,
n
x
x x
e e e
λ
λ λ
là hệ nghiệm cơ bản của (2.16) và do ñó (2.16) có
nghiệm tổng quát là
(
)
1 2
1 2
.
n
x
x x
n
y x C e C e C e
λλ λ
= + + +

(ii) Mọi nghiệm của phương trình ñặc trưng (2.17) khác nhau nhưng trong số chúng có
nghiệm phức. Giả sử, chẳng hạn

1
a ib
λ
= +
là một trong những nghiệm phức của (2.17). Khi ñó
2
a ib
λ
= −
cũng là nghiệm của phương trình này. Cặp nghiệm phức liên hợp này sẽ ứng với hai
nghiệm thực ñộc lập tuyến tính là
ax ax
1 2
cos , sin .
y e bx y e bx
= =

Làm như vậy với mọi cặp nghiệm phức liên hợp khác và kết hợp với số nghiệm thực còn
lại ta sẽ ñược hệ nghiệm cơ bản của (2.16). Tổ hợp tuyến tính của chúng sẽ cho ta nghiệm tổng
quát của phương trình ban ñầu.
(iii) Trong số nghiệm của phương tình ñặc trưng có những nghiệm bội. Chẳng hạn, giả sử
1
λ
là nghiệm thực bội của k. Khi ñó ứng với
1
λ
ta có k là nghiệm riêng ñộc lập tuyến tính là
1 1
1
, , , .

n
x
x x
k
e xe x e
λλ λ
−

Nếu
1
a ib
λ
= +
là nghiệm phức bội k của phương trình ñặc trưng (2.17) thì
2
a ib
λ
= −
cũng là
nghiệm bội k của phương trình ñó. Cặp nghiệm này sẽ ứng với 2k nghiệm riêng ñộc lập tuyến
tính của (2.16) là
ax ax 1 ax
cos , cos , , , cos ,
k
e bx xe bx x e bx
−

ax ax 1 ax
sin , sin , , , sin .
k

e bx xe bx x e bx
−

Làm tương tự với mọi nghiệm bội khác và kết hợp với những nghiệm của (2.16) ứng với
những nghiệm ñặc trưng ñơn của (2.17) ta sẽ xây dựng ñược hệ nghiệm cơ bản của phương trình
(2.16) và do ñó tìm ñược nghiệm tổng quát của phương trình (2.16).
Ví dụ 2.8. Giải phương trình
5 6 0.
y y y
′′′ ′′ ′
− + =

Phương trình ñặc trưng
3 2
5 6 0
λ λ λ
− + =

có các nghiệm thực khác nhau là
1 2 3
0, 2, 3
λ λ λ
= = =
. Bởi vậy phương trình ñang xét có nghiệm
tổng quát
2 3
1 2 3
.
x x
y C C e C e

= + +

Ví dụ 2.9. Giải phương trình
3 9 13 0.
y y y y
′′′ ′′ ′
+ + − =

Phương trình ñặc trưng
3 2
3 9 13 0
λ λ λ
+ + − =

có nghiệm
1 2 3
1, 2 3 , 2 3
i i
λ λ λ
= = − + = − −
. Do ñó phương trình ñang xét có hệ nghiệm cơ bản
2 2
1 2 3
, os3 , sin 3
x x x
y e y e c x y e x
− −
= = =

và nghiệm tổng quát

2 2
1 2 3
os3 sin3 .
x x x
y C e C e c x C e x
− −
= + +

Ví dụ 2.10. Giải phương trình
5 8 4 0.
y y y y
′′′ ′′ ′
− + − =

Phương trình ñặc trưng tương ứng có một nghiệm ñơn
1
1
λ
=
và nghiệm kép
2 3
2.
λ λ
= =
Do ñó
nghiệm tổng quát của phương trình trên là
2 2
1 2 3
.
x x x

y C e C e C xe
= + +

25

Ví dụ 2.11. Xét phương trình
(
)
4
4 8 8 4 0.
y y y y y
′′′ ′′ ′
+ + + + =

Phương trình ñặc trưng
4 3 2
4 8 8 4 0
λ λ λ λ
+ + + + =

có cặp nghiệm phức liên hợp bội 2 là
1 2 3 4
1 , 1 .
i i
λ λ λ λ
= = − + = = − −

Bởi vậy
1 2 3 4
cos , cos , sin , sin

x x x x
y e x y xe x y e x y xe x
− − − −
= = = =

là hệ nghiệm cơ bản của phương trình ñang xét và
1 2 3 4
cos cos sin sin
x x x x
y C e x C xe x C e x C xe x
− − − −
= + + +
là nghiệm tổng quát của nó.
2.3.2. Phương trình tuyến tính không thuần nhất
Phương trình tuyến tính không thuần nhất với hệ số hằng có dạng

(
)
(
)
(
)
1
1
.
n n
n
y a y a y f x
−
+ + + =

(2.18)
ðể tìm nghiệm tổng quát của phương trình (2.18) ta tìm nghiệm tổng quát của phương
trình tuyến tính thuần nhất tương ứng và cộng với một nghiệm riêng nào ñấy của phương trình
tuyến tính không thuần nhất. Ở phần 2.3.1 ta ñã biết cách tìm nghiệm tổng quát của phương trình
tuyến tính thuần nhất với hệ số hằng số. ðể tìm nghiệm riêng của phương trình tuyến tính không
thuần nhất ta có thể áp dụng phương pháp biến thiên hằng số Lagrange sau ñây.
Giả sử
1 2
, , ,
n
y y y
là một hệ nghiệm cơ bản nào ñấy của phương trình tuyến tính thuần
nhất tương ứng. Khi ñó
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
*
1 1 2 2

n n
y x x y x x y x x y x
α α α
= + + +
sẽ cho nghiệm
riêng của phương trình không thuần nhất (2.18), ở ñây
(
)
(
)
(
)
1 2
, , ,
n
x x x
α α α
ñược xác ñịnh từ
hệ phương trình ñại số
(
)
(
)
(
)
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
( )

( )
( )
( )
1 1 2 2
1 1 2 2
1 1 1
1 1 2 2
0,
0,


n n
n n
n n n
n n
x y x y x y
x y x y x y
x y x y x y f x
α α α
α α α
α α α
− − −
′ ′ ′
 + + + =

′ ′ ′ ′ ′ ′
+ + + =





′ ′ ′
+ + + =


Trong một số trường hợp ta có thể tìm nghiệm riêng của phương trình tuyến tính không
thuần nhất (2.18) một cách ñơn giản hơn. Ta lần lượt xét các trường hợp ñó.
(i)
(
)
(
)
m
f x P x
=
, ở ñây
(
)
m
P x
là ña thức bậc m của
(
)
0
x m
≥
. Khi ñó nếu 0 không
phải là nghiệm của phương trình ñặc trưng
1
1 1

0
n n
n n
a a a
λ λ λ
−
−
+ + + + =
(2.19)
thì phương trình (2.18) có nghiệm riêng dạng
(
)
(
)
*
m
y x Q x
=
, trong ñó
(
)
m
Q x
là ña thức bậc m
với các hệ số chưa xác ñịnh. Muốn xác ñịnh các hệ số của
(
)
m
Q x
ta thay nó vào phương trình

(2.18) rồi ñồng nhất các hệ số theo lũy thừa của x. Nếu 0 là nghiệm của phương trình ñặc trưng
bội k thì (2.18) có nghiệm riêng dạng
(
)
(
)
*
.
k
m
y x x Q x
=

(ii)
(
)
(
)
.
x
m
f x e P x
α
=

Nếu
α
không là nghiệm của phương trình ñặc trưng (2.19) thì (2.18) có nghiệm riêng
dạng
(

)
(
)
*
.
x
m
y x e Q x
α
=

Nếu
α
là nghiệm của phương trình ñặc trưng bội k thì (2.18) có nghiệm riêng dạng
(
)
(
)
*
.
k x
m
y x x e Q x
α
=