de thi chon hsg toán 7

PHÒNG GD –ĐT CAN LỘC
TRƯỜNG THCS KHÁNH VĨNH
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2012 – 1013
MÔN: TOÁN 7
(Thời gian 120 phút)
Bài 1: Cho
1 1 1 1 2011 2011 2011 2011
&
1.2 3.4 5.6 99.100 51 52 53 100
A B= + + + + = + + + +
Chứng minh rằng :
B
A
là một số nguyên .
Bài 2 : Tìm x biết
a.
( ) ( )
1 11
7 7 0
x x
x x
+ +
− − − =
b. T×m x biÕt:
2001
4
2002
3
2003
2
2004

1 −
=
−
−
−
+
− xxxx
Bài 3: Cho
2 3 3 2
2 3
bz cy cx az ay bx
a b c
− − −
= =
Chøng minh r»ng:
2 3
x y z
a b c
= =
Bài 4 : So sánh A & B . Biết
( ) ( )
100 99
99 99 100 100
100 99 & 100 99A B= + = +
Bài 5: Cho tam giác ABC, vuông cân tại A. D là một điểm bất kì trên BC. Vẽ hai tia Bx và
Cy cùng vuông góc với BC và nằm cùng một nữa mặt phẳng chúa điểm A bờ là đường thẳng
BC. Qua A vẽ một đường thẳng vuông góc với AD cắt Bx và Cy theo thứ tự tại M và N.
Chứng minh:
a. AM = AD
b. A là trung điểm MN

c. BC = BM + CN
d. Tam giác DMN vuông cân.
Bài 6: Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức: A =
2
2
x 15
x 3
+
+
Hết
HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN 7
Bài 1: (3điểm)
A =
1 1 1 1 1 1 1 1

1 2 3 4 5 6 99 100
− + − + − + + −

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2
1 2 3 4 5 6 99 100 2 4 6 100
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 2 3 4 5 6 99 100 1 2 3 4 5 6 49 50
1 1 1 1 1

51 52 53 99 100
   
= + + + + + + + + − + + + +
 ÷  ÷

   
 
= + + + + + + + + − + + + + + + + +
 ÷
 
= + + + + +
B = 2011
1 1 1 1 1 1

51 52 53 54 99 100
 
+ + + + + +
 ÷
 
= 2011A. Suy ra
B
2011 Z
A
= ∈
Bài 2: (4 điểm)
a. (2 điểm)
( ) ( ) ( ) ( )
1 11 1 10
7 7 0 7 1 7 0
+ + +
 
− − − = ⇔ − − − =
 
x x x
x x x x

( )
( )
( )
1 10
1
7 0
1 ( 7) 0
7 1 7 0
10
 
 ÷
+
 
+
− =
− − =


 
⇔ − − − = ⇔

 


x
x
x
x
x x

10
7 0 7
( 7) 1 8 6
− = ⇒ =
− = ± ⇒ = =

⇔


x x
x x hoac x
b. (2 diểm)
Ta có
2001
4
2002
3
2003
2
2004
1 −
=
−
−
−
+
− xxxx

x 1 x 2 x 3 x 4
0

2004 2003 2002 2001
− − − −
⇔ + − − =
x 1 x 2 x 3 x 4
1 1 1 1 0
2004 2003 2002 2001
− − − −
       
⇔ − + − − − − − =
 ÷  ÷  ÷  ÷
       
x 2005 x 2005 x 2005 x 2005
0
2004 2003 2002 2001
− − − −
⇔ + − − =
( )
1 1 1 1
x 2005 0
2004 2003 2002 2001
 
⇔ − + − − =
 ÷
 
Ta có:
1 1 1 1
0
2004 2003 2002 2001
 
+ − − ≠

 ÷
 
nên x – 2005 = 0 hay x = 2005
Bài 3: (3 điểm)
Lêi gi¶i:
Ta cã
2 3 3 2
2 3
bz cy cx az ay bx
a b c
− − −
= =
⇔
2 2 2
2 3 2.3 2 3 3.2
4 9
abz acy bcx abz acy bcx
a b c
− − −
= =
=
2 2 2
2 3 6 2 3 6
4 9
abz acy bcx abz acy bcx
a b c
− + − + −
+ +
=0
⇔

2 3bz cy
a
−
= 0
⇔
2bz-3cy = 0
⇔
2 3
y z
b c
=
(1)
Vµ
3
2
cx az
b
−
= 0
⇔
3cx-az = 0
⇔

3
x z
a c
=
(2)
Tõ (1) vµ (2) ta cã
2 3

x y z
a b c
= =
(§PCM).
Bài 4: (3điểm)
Hs chứng minh bài toán tổng quát
( ) ( )
1
1 1
n n
n n n n
a b a b
+
+ +
+ > +
với mọi a,b nguyên dương
Thật vậy không mất tính tổng quát , giả sử a > b
Ta có :
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
1
1
1 1 1
. . .
.
n
n n n n
n n n n n n n n n n n n n
n n
n n n n

a b a b a b a b a a b a a b a
a b b a b
+
+
+ + +
 
+ = + + > + = + = + >
 
+ = +
Vậy
( ) ( )
1
1 1
n n
n n n n
a b a b
+
+ +
+ > +
Áp dụng với a = 100 ; b = n = 99 ta có điều
phải chứng minh .
Bài 5: (5điểm).
Vẽ hình chính xác: 0.5đ.
Câu a. (1,5 đ)
Xét
∆
ABM và
∆
ADC có:
AB = AC (

∆
ABC vuông cân)
·
·
MAB DAC=
(cùng phụ với
·
BAD
)
·
·
· ·
0
0
MBA DAC ( 45 ,do Bx BC,
Cy BCv ACB ABC 45 )à
= = ⊥
⊥ = =

Suy ra
∆
ABM =
∆
ADC (g-c-g)
Vậy AM = AD. (1)
Câu b. (1đ).
Chứng minh tương tự ta có:
∆
ABD =
∆

ACN suy ra AD = AN (2)
Từ (1) và (2) suy ra AM = AN . Vậy A là trung điểm của MN.
Câu c. (1đ).
Ta có: BM = CD (
∆
AMB =
∆
ADC)
BD = CN (
∆
ABD =
∆
ACN)
Suy ra: BM + CN = BD + CD = BC\
Vậy BM + CN = BC
Câu d. (1đ) Xét
∆
BMD và
∆
CDN có:
µ µ
B C=
BM = CD (
∆
AMB =
∆
ADC)
BD = CN (
∆
ABD =

∆
ACN)
Nên
∆
BMD =
∆
CDN(c-g-c)
Suy ra: MD = ND. (3)

·
·
·
·
·
·
·
·
· ·
0
0
0 0
v BMD NDC m BMD MDB 90 (vΔMBDvu ng taiB)
MDB NDC 90
m : MDB NDC MDN 180 MDN 90 (2)
à à ì ô
à
= + =
⇒ + =
+ + = ⇒ =
Từ (1) và (2) suy ra:

∆
DMN vuông cân tại D.
Bài 6: (2 điểm): Ta có
2 2
2 2
x 15 x 3 12 12
B 1
x 3 x 3 x 3
+ + +
= = = +
+ + +

Vậy B lớn nhất khi
2
12
x 3+
lớn nhất hay
2
x +
3 nhỏ nhất mà x
2

≥
0 nên
2
x +
3
≥
3
Do đó

2
x +
3 nhỏ nhất là 3 khi x = 0.
Vậy B đạt giá trị lớn nhất khi x = 0 và giá trị lớn nhất là 5
M
N
A
C
B
D