DE THI HSG TOAN 8 CO ĐAP AN

Câu I: (2 điểm)
a) Rút gọn biểu thức:
+

= +
ữ
+

2 2
1 1 x 1
A :
x x x 1 x 2x 1
b) Xác định các hệ số a, b để đa thức f(x) =
+ +
3
x ax b
chia hết cho đa thức
+
2
x x 6
Câu II: (2 điểm)
Giải các phơng trình sau:
a)
= + +
+ +
2
15x 12 4
1
x 3x 4 x 4 x 1
b)
( ) ( ) ( )

+ =x x 2 x 1 x 1 24
Câu III: (2 điểm)
a) Cho x, y, z là các số khác không và đôi một khác nhau thỏa mãn:
+ + =
1 1 1
0
x y z
.
Tính giá trị của biểu thức:
= + +
+ + +
2 2 2
yz xz xy
A
x 2yz y 2xz z 2xy
.
b) Cho biểu thức M =
+
2
2
x 2x 2011
x
với x > 0
Tìm x để M có giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó.
Câu IV: (3 điểm )
Cho hình thoi ABCD có
ã
=
0
BAD 120

. Gọi M là một điểm nằm trên cạnh AB, hai đờng
thẳng DM và BC cắt nhau tại N, CM cắt AN tại E. Chứng minh rằng:
a)
AMD

CDN
và
=
2
AC AM.CN
b)
AME

CMB
.
Câu V: (1 điểm)
Cho a , b là các số dơng thỏa mãn:
+ = +
3 3 5 5
a b a b
. Chứng minh rằng:
+ +
2 2
a b 1 ab
Đáp án và biểu điểm:
Phần Nội Dung Điểm
a)
1 đ
ĐKXĐ
Rút gọn A:

( )
( )
( )
( )
+

= +
ữ
+


+
= +
ữ
ữ




+
=
+

=
2 2
2
2
1 1 x 1
A :
x x x 1 x 2x 1

1 1 x 1
A :
x x 1 x 1
x 1
x 1
1 x
A .
x x 1 x 1
x 1
A
x
0,25 đ
,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
b)
1 đ
f(x) chia hết cho
+
2
x x 6


f(x) chia hết cho (x + 3)(x -2)

f(- 3) = 0
+ =
3a b 27
(1)
Tơng tự ta có f(2) = 0

+ =
2a b 8
(2)
Trừ hai vế của (1) cho (2) ta đợc: - 5a = 35
=
a 7
Thay a = - 7 vào (1) tìm đợc b = 6
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
a)
1 đ
ĐKXĐ:
x 4 ; x 1
( )
( ) ( )
( )
= + +
+ +
= + +
+ +
= + + + +
+ =
=

+ =

=

2
2
2
15x 12 4
1
x 3x 4 x 4 x 1
15x 12 4
1
x 4 (x 1) x 4 x 1
15x 12 x 1 4 x 4 x 3x 4
x 4x 0
x 0
x x 4 0
x 4
x = 0 (thỏa mãn đ/k) ; x = - 4(không thỏa mãn đ/k)
Vậy nghiệm của phơng trình là x = 0
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
b)
1 đ
( ) ( ) ( )
+ = x x 2 x 1 x 1 24
( ) ( ) ( )
( ) ( )
+ =
=
2 2
x x 1 x 2 x 1 24

x x x x 2 24
Đặt

2
x x
= t . Phơng trình trở thành:
( )
=
=
2
t t 2 24
t 2t 24 0
Giải phơng trình tìm đợc t = - 4 ; t = 6
* Với t = - 4 =>
=
2
x x 4


+ = + =
ữ

2
2
1 15
x x 4 0 x 0
4 4
(ph-
ơng trình vô nghiệm)
* Với t = 6 =>

( ) ( )
= + =
2
x x 6 x 2 x 3 0
Giải phơng trình đợc: x= - 2 ; x = 3
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
a)
1 đ
Từ giả thiết:
+ +
+ + = = + + =
1 1 1 yz xz xy
0 0 yz xz xy 0
x y z xyz
(vì
x,y,z >0)
( ) ( )
= + = + =
2 2
yz xy xz x 2yz x yz xy xz x z x y
Tơng tự ta có:
+
2
z 2xy
=
( ) ( )
z x z y

+
2
y 2xz
=
( ) ( )
y z y x
Khi đó:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
= + +

yz xz xy
A
x z x y y z y x z x z y

( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
+ +
=


+

=

+
=


=


= =

yz y z xz z x xy x y
x z x y y z
yz y z xz x z xy x z y z
x z x y y z
yz y z xz x z xy x z xy y z
x z x y y z
x x z y z y y z x z
x z x y y z
x z x y y z
1
x z x y y z
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
b)
1 đ
Ta có: M =

+ +
=
2 2 2
2 2
x 2x 2011 2011x 2.2011x 2011
x 2011x
0,25 đ

( ) ( )
+ + +
=
+
= = +
2 2 2
2
2 2
2
2 2
x 2.2011x 1 2011 2010x
2011x
x 2011 2010x x 2011
2010 2010
2011x 2011x 2011 2011
Dấu = xấy ra
( )
= =
2
x 2011 0 x 2011
(thỏa mãn)
Vậy giá trị nhỏ nhất của A là

2010
2011
đạt đợc khi
=x 2011
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
a)
1,5 đ
M
A
B
C
D
N
E
0,25 đ
* Xét

AMD và

CDN có
ã
ã
=AMD CDN
( so le trong)
ã
ã
=ADM CND
( so le trong)

AMD

CDN ( g. g )
* Vì

AMD

CDN

AM . CN = AD . CD
Vì
ã
ã
= =
0 0
BAD 120 CAD 60 ACD
đều

AD = CD = AC

AM . CN = AC
2
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ

0,25 đ
b)
1,25 đ
Vì AM . CN = AC
2
theo (a)


=
AM AC
AC CN
Chứng minh
ã
ã
= =
0
MAC ACN 60



MAC

CAN ( c . g . c)


ã
ã
=ACM CNA
Mà
ã

ã
+ =
0
ACM ECN 60


ã
ã
+ =
0
CNA ECN 60


ã
=
0
AEC 60
Xét
AME
và
CMB
có
ã
ã
=AME BMC
( đối đỉnh);
ã
ã
= =
0

AEM MBC 60


AME

CMB
( g . g)
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
1 đ

+ +
2 2
a b 1 ab
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
+
+ + +
+ +
+ + + +
+
+

2 2
2 2
3 3
3 3 3 3 5 5
3 3 5 5
4 2 2 4
a b ab 1
a b a b ab a b
a b a b
a b a b a b a b
2a b ab a b
ab a 2a b b 0
( )

2
2 2
ab a b 0
đúng

a, b > 0
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
Ví dụ 7:Cho a,b,c và x,y,z khác nhau và khác 0. Chứng minh rằng nếu:
1;0 =++=++
c
z
b
y

a
x
z
c
y
b
x
a

thì
1;
2
2
2
2
2
2
=++
c
z
b
y
a
x
Giải:
000 =++⇒=
++
⇒=++ cxybxzayz
xyz
cxybxzayz

z
c
y
b
x
a
1
1.2
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
=++⇒
=
++
+++=







++⇒=++
c
z
b
y
a
x
abc
cxybxzayz
c
z
b
y
a
x
c
z
b
y
a
x
c
z
b
y
a
x
1. Phân tích đa thức thành nhân tử :

a.
12
2
−−
xx
b.
158
2
++
xx
c.
166
2
−−
xx
d.
3
23
++−
xxx
2. Phân tích đa thức thành nhân tử :
( ) ( )
152
2
2
2
−−−−
xxxx
.
3. Phân tích đa thức thành nhân tử

1.(a - x)y
3
- (a - y)x
3
+ (x - y)a
3
.
2.bc(b + c) + ca(c + a) + ba(a + b) + 2abc.
3.x
2
y + xy
2
+ x
2
z + xz
2
+ y
2
z + yz
2
+ 2xyz.
4. Tìm x,y thỏa mãn: x
2
+ 4y
2
+ z
2
= 2x + 12y - 4z - 14.
5. Cho a +| b + c + d = 0.
Chứng minh rằng a

3
+ b
3
+ c
3
+ d
3
= 3(c + d)( ab + cd).
6. Chứng minh rằng nếu x + y + z = 0 thì :
2(x
5
+ y
5
+ z
5
) = 5xyz(x
2
+ y
2
+ z
2
).
7. Chứng minh rằng với x,y nguyên thì :
A = y
4
+ (x + y) (x + 2y) (x + 3y) (x + 4y)
là số chính phương.
8. Biết a - b = 7. Tính giá trị của biểu thức sau:
( ) ( ) ( )
1311

22
+−−+−−+
baababbbaa
9. Cho x,y,z là 3 số thỏa mãn đồng thời:





=++
=++
=++
1
1
1
333
222
zyx
zyx
zyx
. Hãy tính giá trị biếu thức
P =
( ) ( ) ( )
1997917
111
−+−+−
zyx
.
10.
a.Tính

2222222
10110099 4321
+−++−+−
.
b.Cho a + b + c = 9 và a
2
+ b
2
+ c
2
= 53.
Tính ab + bc + ca.
11. Cho 3 số x,y,z thỏa mãn điều kiện
x + y + z = 0 và xy + yz + zx = 0.
Hãy tính giá trị của Biếu thức : S = (x-1)
2005
+ (y - 1)
2006
+ (z+1)
2007
12. Cho 3 số a,b,c thỏa điều kiện :
cbacba ++
=++
1111
.
Tính Q = (a
25
+ b
25
)(b

3
+ c
3
)(c
2008
- a
2008
).
1. Phân tích đa thức thành nhân tử :
a.
( )( )
3412
2
+−=−−
xxxx
b.
( )( )
53158
2
++=++
xxxx
c.
( )( )
82166
2
−+=−−
xxxx
d.
( )
( )

3213
223
+−+=++−
xxxxxx
2. Phân tích đa thức thành nhân tử :
( ) ( ) ( )( )
35152
222
2
2
+−−−=−−−−
xxxxxxxx
.
3. Phân tích đa thức thành nhân tử
1.(a - x)y
3
- (a - y)x
3
+ (x-y)a
3
( )( )( )( )
ayxayaxyx
++−−−=
2.bc(b + c) + ca(c + a) + ba(a + b) + 2abc
( )( )( )
accbba
+++=
3.x
2
y + xy

2
+ x
2
z + xz
2
+ y
2
z + yz
2
+ 2xyz
( )( )( )
xzzyyx
+++
4. x
2
+ 4y
2
+ z
2
= 2x + 12y - 4z - 14
( ) ( ) ( )
222
2|321
−+−+−⇔
zyx
5. Từ a + b + c + d = 0
( ) ( )
33
dcba
+−=+⇒

Biến đổi tiếp ta được :a
3
+ b
3
+ c
3
+ d
3
= 3(c + d)( ab +
cd).
6. Nếu x + y + z = 0 thì :
( )( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
222
222555
222555
222222333
333
2
*;622
3
3
3

zyxxyzzxyzxyxyz
zyxxyzzxyzxyxyzzyx
zyxxyzzxyzxyxyzzyx
zyxxyzzyxzyx
xyzzyx
++=++−
++=++−++⇔
++=++−++⇔
++=++++
⇒=++
Nhưng:
( ) ( )
222
2
20 zyxzxyzx yxyzzyx ++=++−⇒=++
(**)
Thay (**) vào (*) ta được:
2(x
5
+ y
5
+ z
5
) = 5xyz(x
2
+ y
2
+ z
2
).

7. Với x,y nguyên thì :
A = y
4
+ (x + y) (x + 2y) (x + 3y) (x + 4y)
( )
2
22
55 yxyx
++=

8. Biến đổi
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
11311
2
22
+−−=+−−+−−+
bababaababbbaa
9. Từ



=++
=++
1
1
333
zyx
zyx
( ) ( )( )( )
xzzyyxzyxzyx

+++=−−−++⇒
3
333
3





=+
=+
=+
0
0
0
xz
zy
yx

2
−=⇒
P
10.
a. Sử dụng hằng đẳng thức a
2
- b
2
; S -=5151
b. Sử dụng hằng đẳng thức (a + b + c)
2

; P = 14
11. Từ giả thiết suy ra: x
2
+ y
2
+ z
2
= 0 suy ra : x = y = z = 0;S = 0

12. Từ:
cbacba ++
=++
1111
. : (a + b)(b + c)(c + a) = 0
Tính được Q = 0