Đề Giải tích chọn đội tuyển Olympic Trường CĐSP Quảng Ninh

TRƯỜNG CĐSP QUẢNG NINH GIỚI THIỆU ĐỀ THI GIẢI TÍCH - 2013
Thời gian làm bài: 180 phút
Câu 1. Dãy số thực (u
n
) có



++−++=++
==
−−
21
10
)3)(2(4)3)(1(4)2)(1(
4;3
nnn
unnunnunn
uu
n ≥ 2
Tìm u
2013
.
Câu 2. Dãy số thực (u
n
), có





+

−−
=
=
−
−
135
249
2
1
1
1
n
n
n
u
u
u
u
Tìm
+∞→n
lim
u
n
Câu 3. Tính tích phân I
n
=
dx
x
nx
x

∫
−
+
π
π
sin)20131(
sin
Câu 4. Cho f(x) = 2x(1 – x). Tìm f
n
(x) = f(f(…(x)…) ; n lần hàm f
Câu 5. Cho f là hàm khả vi trên R, f’ giảm ngặt,
Axf
x
=
∞→
)(lim
. Chứng minh rằng
0)('lim
=
∞→
xf
x
.
Câu 6. a) Tìm hàm số thực f(x) khả vi 2 lần trên R thỏa mãn



∈∀=
=−=
Rxxfxf

fff
),()(''
)1()1(;1)0(
Câu 6. b) Tìm hàm số f(x) liên tục và có đạo hàm liên tục trong R sao cho:
f
2
(x) =
∫
++
x
dttftf
0
22
2013)](')([

Hết
TRƯỜNG CĐSP QUẢNG NINH HƯỚNG DẪN CHẤM GIẢI TÍCH 2013
Câu NỘI DUNG CHÍNH Điểm
1. u
n
= (n + 3)(2 - n).2
n-1
(quy nạp, hoặc tìm được)
⇒ u
2013
= -2016.2011.2
2012
5,00 đ
2.
Chứng minh u

n
=
103.11
243.22
1
1
−
+−
−
−
n
n
bằng quy nạp (hoặc tìm được u
n
)
+∞→n
lim

103.11
243.22
1
1
−
+−
−
−
n
n
=
1

1
3
10
11
3
24
22
lim
−
−
+∞→
−
+−
n
n
n
= - 2
5,00 đ
3.
I
n
=
dx
x
nx
x
∫
−
+
0

sin)20131(
sin
π
+
dx
x
nx
x
∫
+
π
0
sin)20131(
sin
= H + K
Trong H đặt x = - t ⇒ H =
dt
t
nt
t
∫
−
+
π
0
sin)20131(
sin
=
dx
x

nx
x
x
∫
+
π
0
sin)20131(
sin2013
⇒ I
n
=
dx
x
nx
∫
π
0
sin
sin
Ta th`y I
n
– I
n-2
=
∫∫
−=
−−
ππ
00

)1cos(2
sin
)2sin(sin
xdxndx
x
xnnx

Nếu n = 2k thì I
n
= I
0
= 0. Nếu n = 2k + 1 thì I
n
= I
1
= π
5,00 đ
4.
Ta chứng minh f
n
(x) =
2
1
-
12
2
−
n
(x -
n

2
)
2
1
(*). n = 1: f(x) =
2
1
- 2(x –
2
1
)
2
= -2x
2
+ 2x (đúng)
Giả sử (*) đúng ⇒ f
n+1
(x) = [1 -
n
2
2
(x -
n
2
)
2
1
][
2
1

+
12
2
−
n
(x -
n
2
)
2
1
]
=
2
1
-
12
2
−
n
(x -
n
2
)
2
1
+
1
2
2

−n
(x -
n
2
)
2
1
-
n
2
2
(x -
1
2
)
2
1
+n
=
2
1
-
n
2
2
(x -
1
2
)
2

1
+n
. ĐPCM
5,00 đ
5. Trước hết ta chứng minh f(x + 1) - f(x) < f’(x) < f(x) - f(x - 1)
Áp dụng định lý Lagrange trên các đoạn [x - 1;x] và [x;x + 1] ⇒ ∃c
1
∈(x - 1;x); c
2
∈(x;x + 1):
f’(c
1
) =
1
)1()( −− xfxf
; f’(c
2
) =
1
)()1( xfxf −+
Vì f’(x) giảm ngặt nên có ĐPCM
Lại có
∞→x
lim
[ f(x + 1) - f(x)] =
∞→x
lim
[ f(x) - f(x - 1)] = 0 ⇒
0)('lim =
∞→

xf
x
5,00 đ
6.a)
f(x) – f”(x) = 0 ⇔ f(x) – f’(x) + f’(x) - f”(x) = 0 ⇔ e
x
[f(x) – f’(x) + f’(x) - f”(x)] = 0
⇔ (e
x
[f(x) – f’(x)])’ = 0 ⇒ e
x
[f(x) – f’(x)] = C ⇒ f(x) – f’(x) = C.e
-x
⇔ e
-x
[f(x) – f’(x)] = C.e
-2x
⇒ [e
-x
.f(x)]’ = C.e
-2x
⇒ e
-x
.f(x)

= A. e
-2x
+ B
⇒ f(x) = A.e
-x

+ B.e
x
⇒ f(x) =
2
xx
ee
−
+
(Thử lại, kết luận)
5,00 đ
6.b) L`y đạo hàm hai vế: 2f’(x)f(x) = f
2
(x) + f’
2
(x)
⇔ f’(x) = f(x) ⇔ f(x) = C.e
x
. Cho x = 0 ta có f(0) = ±
2013
⇒ f(x) = ±
2013
e
x
.
5,00 đ