Đề số 4 chọn đội tuyển

BÀI KIỂM TRA SỐ 4 (Kiểm tra đội tuyển HSG)
Môn: Toán - Lớp 9
(Thời gian: 150 phút, không kể giao đề)
Bài 1:
Cho
1 1 1 1
50 51 52 99
a
b
= + + + +L
. Chứng minh rằng a chia hết cho 149
Bài 2:
Tìm số có hai chữ số, biết rằng số đó chia hết cho tích các chữ số của nó.
Bài 3: Tìm giá trị của t để phương trình
2
4
1
t
x
− =
+
có nghiệm dương:
Bài 4: Tìm các giá trị của k để cho nghiệm của hệ:
2 (1)
3 8 (2)
x y k
x y
− =


+ =


thoả mãn điều kiện: x > 0 ; y > 0
Bài 5: Cho tam giác ABC vuông tại A, có đường cao AH. Gọi I và K lần lượt là hình
chiếu của H trên AB và AC. Chứng minh tỉ lệ thức:
3
3
BI AB
=
CK AC
Bài 6: Cho hình vuông ABCD cạnh bằng 1. Các điểm M, N tương ứng thuộc các cạnh
AD và AB sao cho chu vi tam giác AMN bằng 2. Chứng minh MN là tiếp tuýen của đường
tròn tâm C bán kính bằng 1.
HD Chấm BÀI KIỂM TRA SỐ 4 (Đội tuyển HSG 08-09)
Môn: Toán - Lớp 9
(Thời gian: 150 phút, không kể giao đề)
Bài 1: (1,0 đ)
Cho
1 1 1 1
50 51 52 99
a
b
= + + + +L
. Chứng minh rằng a chia hết cho 149
Giải:
Ta thấy 149 = 50 + 99 nên ta cộng 50 phân số trên theo từng cặp, mỗi cặp gồm phân số
đầu và phân số cuối, ta có:
1 1 1 1 1 1 1 1
50 99 51 98 52 97 74 75
a
b

       
= + + + + + + +
 ÷  ÷  ÷  ÷
       
L
(0,25 đ)
=
149 149 149 149
50.99 51.98 52.97 74.75
+ + + +L
(0,25 đ)
Chọn MSC là: 50.51.52.....98.99 và gọi các thừa số phụ là k
1
, k
2
, ...., k
25
. Khi đó:
1 2 3 25
149.( ...
50.51.52.....98.99
k k k ka
b
+ + + +
=
(0,25 đ)
Tử chia hết cho 149 (số nguyên tố), còn mẫu số không chứa thừa số nguyên tố 149 nên
khi rút gọn phân số đến tối giản ta có a chia hết cho 149. (0,25 đ)
Bài 2: (2,25 đ)
Tìm số có hai chữ số, biết rằng số đó chia hết cho tích các chữ số của nó.

Giải:
Gọi số phải tìm là
ab
, ta có (10a + b) a.bM (1) Suy ra b M a (0,25 đ)
Đặt b = ka (2) thì k < 10 (k
N∈
) (0,25 đ)
Thay b = ka vào (1) ta có 10a + ka
M
a.k.a (0,25 đ)
=> 10a
M
ka (0,25 đ)
=> 10
M
k => k
{ }
1;2;5∈
(0,25 đ)
* Nếu k = 1 thì b = a. Thay vào (1) ta được: 11a
M
a
2
(0,25 đ)
=> 11
M
a => a = 1 Vậy
ab
= 11 (0,25 đ)
* Nếu k = 2 thì b = 2a. Xét các số 12, 24, 36, 48 thì có 12, 24, 36 thoả mãn (0,25 đ)

* Nếu k = 5 thì b = 5a =>
ab
=15 thoả mãn đề bài. (0,25 đ)
Bài 3: (1,75đ) Tìm giá trị của t để phương trình
2
4
1
t
x
− =
+
có nghiệm dương:
Giải:
Với
1x ≠ −
phương trình có dạng: (4 – t)x = t - 2 (0,375đ)
Phương trình này chỉ có nghiệm
2
4
t
x
t
−
=
−
khi
4t ≠
(0,375 đ)
Nghiệm này luôn thoả mãn ĐK trên vì
2 2

1 1
4 4
t
x
t t
−
= = − + ≠ −
− −
(0,375 đ)
Theo ĐK của đề bài thì
2
0
4
t
t
−
>
−
hay
( ) ( )
2 4 0t t− − >
(0,375 đ)

2 4t
⇔ < <
(0,25 đ)
Bài 4: (1,5 đ) Tìm các giá trị của k để cho nghiệm của hệ:
2 (1)
3 8 (2)
x y k

x y
− =


+ =

thoả mãn điều kiện: x > 0 ; y > 0
Giải:
2 (1) 2
3 8 (2) 6 2 16
x y k x y k
x y x y
− = − =
 
⇔
 
+ = + =
 
(0,25 đ)

⇔
16 16
16

7 7
7
16 8 3
8 3
8 3
7 7

k k
k
x x
x
k k
y x
y y
+ +
 
+
= =

 
=
  
⇔ ⇔
  
+ −
  
= −
= − =

 
 
(0,50 đ)
Giải các BPT:
*
16
0 k + 16 > 0 k > -16
7

k +
> ⇔ ⇔
(0,25 đ)
*
8 - 3k 2
0 8 - 3k > 0 k < 2
7 3
> ⇔ ⇔
(0,25 đ)
Vậy với - 16 < k <
2
2
3
thì các nghiệm của hệ
2 (1)
3 8 (2)
x y k
x y
− =


+ =

thoả mãn
0
0
x
y
>



>

(0,25 đ)
Bài 5: (1,0 đ) Cho tam giác ABC vuông tại A, có đường cao AH. Gọi I và K lần lượt
là hình chiếu của H trên AB và AC. Chứng minh tỉ lệ thức:
3
3
BI AB
=
CK AC
Giải:
AB
2
= BH.BC (0,125 đ)
AC
2
= CH.BC (0,125 đ)
=>
2
2
AB BH
=
AC CH
(0,125 đ)
=>
4 2
2
AB BH
= (1)

AC4 CH
(0,125 đ)
Mặt khác trong các tam giác vuông AHB và AHC có:
BH
2
= BI.AB ; CH
2
= CK.AC (0,125 đ)
=>
2
2
BH BI.AB
= (2)
CH CK.AC
(0,125 đ)
Từ (1) và (2)
⇒

3
3
BI AB
=
CK AC
(0,25 đ)
Bài 6: (2,5 đ) Cho hình vuông ABCD cạnh bằng 1. Các điểm M, N tương ứng thuộc
các cạnh AD và AB sao cho chu vi tam giác AMN bằng 2. Chứng minh MN là tiếp tuýen của
đường tròn tâm C bán kính bằng 1.
Giải:
Trên tia đối của tia BA lấy điểm K sao cho:
BK = MD (1) (0,25 đ)

Từ giả thiết ta có:
AM + MN + NA = 2 = AD + AB (0,25đ)
=> MN = MD + NB (2) (0,25 đ)
Từ (1) và (2) suy ra MN = NK (3) (0,25 đ)
K
I
CB
A
H
D
N K
M
C
B
A
H
Từ cách vẽ ta có
CBK = CDM ∆ ∆
(0,25đ)
=> CM = CK (4) (0,25đ)
Từ (3) và (4) kết hợp với có CN chung nên =>
CMN = CKN∆ ∆
(0,25 đ)
=> Các đường cao tương ứng CH = CB = 1. Điều đó có nghĩa MN là tiếp tuyến của
dường tròn tâm C bán kính bằng 1. (0,25 đ)