phương pháp tọa độ trong không gian
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (2.28 MB, 36 trang )
Giáo dục Trần Đại chuyên bồi dưỡng kiến thức – LT Tel: 016.55.25.25.99
PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
A - LÍ THUYẾT
I - VÉC TƠ VÀ CÁC PHÉP TOÁN TRONG KHÔNG GIAN.
1 - Vectơ trong không gian
a) Định nghĩa véc tơ
b) Phương chiều, độ dài của một véc tơ
c) Định nghĩa hai véc tơ bằng nhau
d) Các phép toán của véc tơ
Phép cộng véc tơ
Hiệu của hai véc tơ
Tích của một véc tơ với một số thực
Tích vô hướng của hai véc tơ
2 - Các vectơ đồng phẳng
a) Định nghĩa
Ba véc tơ được gọi là đồng phẳng nếu chúng nằm trên ba đường thẳng cùng song song
với một mặt phẳng.
b) Định lí 1:
Cho ba véc tơ
→→→
c,b,a
trong đó véc tơ
→
a
và véc tơ
→
b
không cùng phương khi đó ba véc
tơ
→
a
,
→
b
,
→
c
đồng phẳng khi và chỉ khi có các số k, l sao cho:
→→→
+= blakc
Số 8/462 đường Bưởi, Ba Đình, HN ĐT: 04.62.92.0398
1
Giáo dục Trần Đại chuyên bồi dưỡng kiến thức – LT Tel: 016.55.25.25.99
c) Định lí 2
Nếu ba véc tơ
→→→
c,b,a
là ba véc tơ không đông phẳng thì với mọi véc tơ
→
x
ta đều có:
→
x
=
→→→
++ cmblak
trong đó bộ 3 số k, l, m là duy nhất.
II - Hệ tọa độ đề các trong không gian, tọa độ của một véc tơ
1) Hệ tọa độ Đêcác trong không gian.
Cho ba trục Ox, Oy, Oz vuông góc với nhau từng đôi một và chung điểm gốc O. Gọi
→
i
,
→
j
,
→
k
là các véc tơ đơn vị tương ứng trên các trục Ox, Oy, Oz. Hệ ba trục như vậy gọi là
hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxyz hoặc đơn giản là hệ tọa độ Oxyz.
2) Tọa độ của véc tơ đối với hệ tọa độ.
Cho hệ tọa độ Oxyz và một véc tơ tùy ý
→
u
.
Vì ba véc tơ
→
i
,
→
j
,
→
k
không đồng phẳng
nên có duy nhất bộ số (x, y, z) sao cho:
→
u
=
→→→
++ kzjyix
Bộ ba số (x, y, z) gọi là tọa độ của véc tơ
→
u
kí hệu là
→
u
(x, y, z)
3) Định lí
Đối với hệ tọa độ Oxyz, nếu
→
u
(x, y, z);
→
v
(x', y', z') thì:
a)
→
u
+
→
v
= (x + x', y + y', z + z')
b)
→
u
-
→
v
= (x - x', y - y', z - z')
Số 8/462 đường Bưởi, Ba Đình, HN ĐT: 04.62.92.0398
2
→
u
→
i
→
j
→
k
→
a
→
b
→
a
→
c
x
y
z
Giáo dục Trần Đại chuyên bồi dưỡng kiến thức – LT Tel: 016.55.25.25.99
c) k
→
u
=(kx, ky, kz)
4) Tọa độ của một điểm.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho một điểm M bất kì. Tọa độ của véc tơ
→
OM
cũng được gọi là tọa độ điểm M trong hệ tọa độ đó.
→
OM
= (x, y, z) ⇔ M(x, y, z) ⇒ Mọi điểm M đều có một tọa độ duy nhất và ngược lại.
5) Định lí
Đối với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm A(x
A
, y
A
, z
A
) và B(x
B
, y
B
, z
B
) thì
→
AB
= (x
B
- x
A
, y
B
- y
A
, z
B
- z
A
)
6) Chia đoạn thẳng theo tỉ số k cho trước.
Giả sử điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k. Tìm tọa độ điểm M nếu biết: A(x
A
, y
A
,
z
A
) và B(x
B
, y
B
, z
B
). Gọi M(x
M
, y
M
, z
M
) ta có:
k
kzz
z
k
kyy
y
k
kxx
x
BA
M
BA
M
BA
M
−
−
=
−
−
=
−
−
=
1
;
1
;
1
III - Tích vô hướng và tích có hướng của hai véc tơ
1) Tích vô hướng và ứng dụng
a) Định lí:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz nếu
→
u
(x, y, z);
→
v
(x', y', z') thì:
→
u
.
→
v
= x.x' + y.y' + z.z'
b) Ứng dụng:
Khoảng cách giữa hai điểm A(x
A
, y
A
, z
A
) và B(x
B
, y
B
, z
B
) là
AB =
2
BA
2
BA
2
BA
)zz()yy()xx(
−+−+−
Góc giữa hai véc tơ: nếu ϕ là góc giữa hai véc tơ
→
u
(x, y, z);
Số 8/462 đường Bưởi, Ba Đình, HN ĐT: 04.62.92.0398
3
Giáo dục Trần Đại chuyên bồi dưỡng kiến thức – LT Tel: 016.55.25.25.99
→
v
(x', y', z') với
→
u
.
→
v
≠ 0 thì cos ϕ =
222222
'z'y'x.zyx
'zz'yy'xx
v.u
v.u
++++
++
=
→→
→→
2) Tích có hướng của hai véc tơ
a) Bổ đề:
Nếu hai véc tơ
→
u
(x, y, z);
→
v
(x', y', z') cùng phương khi và chỉ khi cả ba định thức sau
bằng không:
; ;
' ' ' ' ' '
y z z x x y
y z z x x y
.
b) Định nghĩa:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai véctơ bất kỳ
→
u
(x, y, z);
→
v
(x', y', z'). Vectơ
có tọa đọ là ba định thức
; ;
' ' ' ' ' '
y z z x x y
y z z x x y
gọi là tích có hướng hay tích vectơ của hai
vectơ
→
u
,
→
v
và kí hiệu là: [
→
u
,
→
v
]
Vậy: [
→
u
,
→
v
] =
; ;
' ' ' ' ' '
y z z x x y
y z z x x y
÷
c) Tính chất
•
→
u
,
→
v
cùng phương khi và chỉ khi [
→
u
,
→
v
] = 0
• [
→
u
,
→
v
]
→→→→
⊥⊥ v ] v,u [,u
•
ϕ=
→→→→
sinvu]v,u[
trong đó ϕ là góc giữa
→
u
và
→
v
d) Diện tích tam giác:
Trong không gian cho tam giác ABC thì ta có:
Số 8/462 đường Bưởi, Ba Đình, HN ĐT: 04.62.92.0398
4
Giáo dục Trần Đại chuyên bồi dưỡng kiến thức – LT Tel: 016.55.25.25.99
ϕ==
∆
sinAC.AB
2
1
A
ˆ
sin.AC.AB
2
1
S
ABC
với ϕ là góc gữa hai véc tơ
AC,AB
Vậy:
ABC
S
∆
=
1
,
2
AB AC
uuur uuur
e) Điều kiện đồng phẳng của ba véc tơ.
Điều kiện cần và đủ để ba véc tơ
c,b,a
đồng phẳng là:
[ ]
0c.b,a =
f) Thể tích hình hộp
Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' thì thể tích hình hộp sẽ là:
. ' ' ' '
, .
ABCD A B C D
V AB AC AD
=
uuur uuur uuur
g) Thể tích tứ diện
1
, .
6
ABCD
V AB AC AD
=
uuur uuur uuur
IV - Phương trình tổng quát của mặt phẳng
1) Véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng
a) Định nghĩa
Véc tơ
n
khac véc tơ
0
gọi là véc tơ pháp tuyên của mặt phẳng (α) nếu nó nằm trên
đường thẳng vuông góc với (α) ( nói tắt là
n
vuông góc với (α))
b) Chú ý
• Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz nếu
)z,y,x(a
111
và véc tơ
)z,y,x(b
222
là
hai véc tơ không cùng phương và các đường thẳng chứa chúng song song (hoặc
nằm trên) một mặt phẳng (α) thì véc tơ
]b,a[n =
là một véc tơ pháp tuyến của mặt
phẳng (α)
Số 8/462 đường Bưởi, Ba Đình, HN ĐT: 04.62.92.0398
5
Giáo dục Trần Đại chuyên bồi dưỡng kiến thức – LT Tel: 016.55.25.25.99
• Nếu M1, M2, M3 là ba điểm không thẳng hàng trong mặt phẳng (α) thì các véc tơ
3221
MM,MM
là một cặp véc tơ chỉ phương của mặt phẳng (α) và do đó véc tơ
]MM,MM[n
3221
=
là một véc tơ pháp tuyến của (α).
2) Phương trình tổng quát của mặt phẳng
a) Định lí:
Trong không gian cho một hệ tọa độ Oxyz. Mỗi mặt phẳng là tập hợp tất cả các điểm có
tọa độ (x, y, z) thỏa mãn một phương trình dạng:
Ax + By + Cz + D = 0 với A
2
+ B
2
+ C
2
> 0
Và ngược lại tập hợp tất cả các điểm thỏa mãn phương trình (1) là một mặt phẳng.
b) Định nghĩa:
Phương trình có dạng Ax + By + Cz + D = 0 với A
2
+ B
2
+ C
2
> 0dc gọi là phương trình
tổng quát của mặt phẳng.
3) Các trường hợp riêng của phương trình tổng quát
a) Nếu D = 0
Mặt phẳng đi qua gốc tọa độ O
b) Nếu A = 0, B ≠ 0, C ≠ 0
Mặt phẳng song song hoặc trùng với Ox
c) Nếu A = 0, B = 0, C ≠ 0
Mặt phẳng vuông góc với Oz
d) Nếu A, B, C, D ≠ 0
Phương trình theo đoạn chắn của mặt phẳng.
Số 8/462 đường Bưởi, Ba Đình, HN ĐT: 04.62.92.0398
6
Giáo dục Trần Đại chuyên bồi dưỡng kiến thức – LT Tel: 016.55.25.25.99
V - Vị trí tương đối của hai mặt phẳng
1) Một số qui ước và kí hiệu
Hai bộ số (A
1
, A
2
, , A
n
) và (A'
1
, A'
2
, , A'
n
) gọi là tỉ lệ với nhau nếu:
n
n
2
2
1
1
'A
A
'A
A
'A
A
===
với qui ước có thẻ có một A
i
= 0, khi đó thì A'
i
= 0.
2) Vị trí tương đối của hai mặt phẳng
3) Chùm mặt phẳng
Cho hai mặt phẳng (α) và (α') cắt nhau lần lượt có phương trình là:
(α): Ax + By + Cz + D = 0 (1)
(α'): A'x + B'y + C'z + D' = 0 (2)
a) Định lí
Mỗi mặt phẳng đi qua giao tuyến của (α) và (α') đều có phương trình dạng:
0,0)'Dz'Cy'Bx'A()DCzByAx(
22
>µ+λ=+++µ++++λ
(3)
Ngược lại mỗi phương trình dạng (3)đều là phương trình mặt phẳng đi qua giao tuyến của
hai mặt phẳng (1) và (2).
b) Định nghĩa
Tập hợp các mặt phẳng đi qua giao tuyến của hai mặt phẳng (α) và (α') gọi là chùm mặt
phẳng. Phương trình (3) gọi là phương trình của chùm.
Số 8/462 đường Bưởi, Ba Đình, HN ĐT: 04.62.92.0398
7
Giáo dục Trần Đại chuyên bồi dưỡng kiến thức – LT Tel: 016.55.25.25.99
VI - Phương trình của đường thẳng
1) Phương tình tổng quát của đường thẳng
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng d. Ta có thể xem d là giao của hai
mặt phẳng (α) và (α') nào đó. Giả sử (α) và (α') có phương trình lần lượt là: (α): Ax +
By + Cz + D = 0 (1)
(α'): A'x + B'y + C'z + D' = 0 (2)
Khi đó một điểm M(x, y, z) thuộc d khi và chỉ khi tọa độ của nó là nghiệm hệ phương
trình:
=+++
=+++
0'Dz'Cy'Bx'A
0DCzByAx
(1)
Ngược lại điểm M có tọa độ (x, y, z) thỏa mãn (1) với điều kiện:
'C:'B:'AC:B:Avà0'C'B'A,0CBA
222222
≠>++>++
(2) đều nằm trên một đường
thẳng.
Hệ (1) với các điều kiện (2) gọi là phương trình tổng quát của đường thẳng.
2) Phương trình tham số của đường thẳng
• Đường thẳng d hoàn toàn được xác định nếu ta biết một điểm M
o
(x
o
, y
o
, z
o
) của nó
và một véc tơ
0)c,b,a(u ≠
mà đường thẳng chứa
u
song song hoặc trùng với d.
Véc tơ
u
như thế gọi là véc tơ chỉ phương của d
• Điểm M(x, y, z) thuộc d khi và chỉ khi:
MM
o
song song với
u
tức là:
MM
o
= t
u
(với t ∈ R) ⇔
+=
+=
+=
ctzz
btyy
atxx
o
o
o
(3) (a
2
+ b
2
+ c
2
> 0)
Hệ (3) với điều kiện (a
2
+ b
2
+ c
2
> 0) gọi là phương trình tham số của đường thẳng, t gọi
là tham số.
Số 8/462 đường Bưởi, Ba Đình, HN ĐT: 04.62.92.0398
8
Giáo dục Trần Đại chuyên bồi dưỡng kiến thức – LT Tel: 016.55.25.25.99
3) phương trình chính tắc của đường thẳng
Từ (3) bằng cách khử tham số t ta có:
)4(
c
zz
b
yy
a
xx
ooo
−
=
−
=
−
Trong trường hợp một hoặc hai trong ba số a, b, c bằng 0 thì ta vẫn viết phương trình (4)
với qui ước nếu mẫu bằng 0 thì tử số cũng bằng 0.
Phương trình (4) gọi là phương trình chính tắc của đường thẳng.
VII - Vị trí tương đối của các đường thẳng và các mặt phẳng
1) Vị trí tương đối của hai đường thẳng
2) Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng
IX - Khoảng cách
1) Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho một điểm Mo(xo, yo, zo) và một mặt phẳng
(α): Ax + By + Cz + D = 0. Gọi d(M
o
, (α)) là khoảng cách từ Mo đến (α) ta có: d(M
o
,
(α))=
222
ooo
CBA
DCzByAx
++
+++
2) Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
Cho đường thẳng ∆ đi qua điểm Mo, có véc tơ chỉ phương
u
và điểm M.
Gọi d(M, ∆) là khoảng cách từ M đến ∆ thì ta có:
d(M, ∆)=
[ ]
u
u,MM
o
Số 8/462 đường Bưởi, Ba Đình, HN ĐT: 04.62.92.0398
9
Giáo dục Trần Đại chuyên bồi dưỡng kiến thức – LT Tel: 016.55.25.25.99
3) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
Cho hai đường thẳng ∆ và ∆' chéo nhau. Giả sử ∆ đi qua điểm M1 và có véc tơ chỉ
phương
u
. Đường thẳng ∆' đi qua điểm M' và có véc tơ chỉ phương
'u
. Gọi d(∆, ∆') là
khoảng cách giữa ∆ và ∆' thì ta có:
d(∆, ∆') =
[ ]
[ ]
'u,u
'MM,'u,u
X - Góc
1) Góc giữa hai đường thẳng
Góc ϕ giữa hai đường thẳng bằng hoặc bù với góc giữa hai véc tơ chỉ phương của hai
đường thẳng đó.
2) Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
Góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (α) là góc nhọn hợp bởi đường thẳng đó với hình
chiếu vuông góc d' của nó trên (α):
sin
222222
cbaCBA
cCbBaA
cos
++++
++
=ϕ=ψ
Trong đó
)c,b,a(u),C,B,A(n
lần lượt là véc tơ pháp của (α) và véc tơ chỉ phương của d.
ϕ là góc giữa hai véc tơ
n,u
3) Góc giữa hai mặt phẳng
Góc giữa hai mặt phẳng bằng hoặc bù với góc giữa hai véc tơ pháp của hai mặt phẳng đó.
Số 8/462 đường Bưởi, Ba Đình, HN ĐT: 04.62.92.0398
10
Giáo dục Trần Đại chuyên bồi dưỡng kiến thức – LT Tel: 016.55.25.25.99
XI - Mặt cầu
1) Phương trình mặt cầu
• Giả sử mặt cầu (S) có tâm I(a, b, c) bán kính R. Điểm M thuộc mặt cầu khi và chỉ
khi: MI = R ⇔
R)cz()by()ax(
222
=−+−+−
⇔ (x - a)
2
+ (y - b)
2
+ (z - c)
2
= R
2
.(1)
Phương trình (1) gọi là phương trình của mặt cầu.
• Xét một phương trình có dạng:
x
2
+ y
2
+ z
2
- 2Ax - 2By - 2Cz + D = 0(2) với A
2
+ B
2
+ C
2
–D > 0
(2) ⇔ (x - A)
2
+ (y - B)
2
+ (z - C)
2
= A
2
+ B
2
+ C
2
- D (2).
Theo (1) thì (2) cũng là phương trình mặt cầu có tâm I(A, B, C) bán kính R =
DCBA
222
−++
2) Vị trí tương đối giữa mặt phẳng và mặt cầu
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng (α) và mặt cầu (S) có phương trình
là:
(α): Ax + By + cz + D = 0
(S): (x - a)
2
+ (y - b)
2
+ (z - c)
2
= R
2
.
Gọi H là hình chiếu vuông góc của tâm I của mặt cầu (S) lên (α) ta có:
IH =
222
CBA
DcCbBaA
++
+++
• Nếu IH < R thì (α)
)S(∩
là đường tròn tâm H bán kính
22
IHR −
• Nếu IH = R thì (α) là tiếp diện của mặt cầu (S) tại H.
• Nếu IH > R thì (α) không cắt mặt cầu (S).
Số 8/462 đường Bưởi, Ba Đình, HN ĐT: 04.62.92.0398
11
Giáo dục Trần Đại chuyên bồi dưỡng kiến thức – LT Tel: 016.55.25.25.99
B - BÀI TẬP
Bài 1.
Cho tứ diện ABCD và mặt phẳng (P). Gọi E là trung điểm của AB, F là trung điểm CD, I
là trung điểm của EF.
a) Chứng minh rằng :
→→→→→
=+++
0IDICIBIA
.
b) Trên mặt phẳng (P) hãy tìm điểm M sao cho biểu thức:
→→→→
+++ MDMCMBMA
Có giá trị nhỏ nhất.
Bài 2.
Trong không gian cho 4 điểm A, B, C, D không đồng phẳng. Gọi E, F lần lượt là trung
điểm của các đoạn AB và CD. Xác định vị trí của điểm I trên đoạn EF sao cho:
→→→→→
=+++ 0IDICIBIA
.
Bài 3.
Cho tứ diện ABCD, M di động trong không gian. G, G
1
lần lượt là trọng tâm của tứ diện
và trọng tâm của tam giác BCD.
a) Chứng minh rằng
→→→→
=++ 0DGCGBG
111
b) Chứng minh rằng
→→→→→
=+++ 0GDGCGBGA
c) Tìm tập hợp các điểm M thỏa mãn: 3
→→→→
+++ MDMCMBMA
= 4
→→→
++ MDMCMB
Bài 4.
Trong không gian cho 4 điểm A, B, C, D. Chứng minh rằng :
a)
→
AB
→
⊥
CD
⇔ AD
2
+ BC
2
= AC
2
+ BD
2
Số 8/462 đường Bưởi, Ba Đình, HN ĐT: 04.62.92.0398
12
Giáo dục Trần Đại chuyên bồi dưỡng kiến thức – LT Tel: 016.55.25.25.99
b) Nếu
→
AB
→
⊥ CD
và
→
AD
→
⊥ BC
thì
→
AC
⊥
→
BD
Bài 5
Trong không gian Oxyz cho tứ diện ABCD với A(2, -1, 6); B(-3, -1, -4); C(5, -1, 0); D(1,
2, 1).
a) Chứng minh rằng tam giác ABC là tan giác vuông tính bán kính đường tròn nội tiếp
tam giác ABC.
b) Tính thể tích tứ diên ABCD.
Bài 6.
Cho tứ diện ABCD thỏa mãn hệ thức:
222222
BCADBDACCDAB +=+=+
.Chứng
minh rằng trong bốn mặt của tứ diện phải có ít nhất một mặt là tam giác có cả 3 góc đều
nhọn.
Bài 7.
Cho hình hộp ABCDA'B'C'D'.
a) Chứng minh rằng:
→→→→
=++ 0C'C2'CA'AC
b) Cho A(1, 0, 1); B(2, 1, 2); C'(4, 5, -5); D(1, -1, 1). Tính tọa độ các đỉnh còn lại.
Bài 8.
Trong không gian Oxyz cho 3 điểm A(a, 0, 0); B(0, b, 0); C(0, 0, c) với a, b, c > 0.
a) Chứng minh rằng ABC không thể là tam giác vuông.
b) Tính thể tích hình chóp OABC và diện tích tam giác ABC theo a, b, c.
Bài 9.
Cho tam giác ABC.
a) Tìm tập hợp các điểm M trong không gian sao cho:
→
AB
.
→
CM
=
→
CB
→
AM
Số 8/462 đường Bưởi, Ba Đình, HN ĐT: 04.62.92.0398
13
Giáo dục Trần Đại chuyên bồi dưỡng kiến thức – LT Tel: 016.55.25.25.99
b) Gọi AD là đường phân giác trong của góc A của tam giác ABC. Hãy biểu diễn
→
AD
qua
→
AB
và
→
AC
Bài 10.
Trong không gian Oxyz cho tứ diện ABCD có 3 đỉnh là A(2, 1, -1); B(3, 0, 1); C(2, -1,
3), còn đỉnh D nằm trên trục Oy. Tìm tọa độ đỉnh D nếu tứ diện có thể tích là 5.
Bài 11.
Trong mặt phẳng Oxy cho ba điểm A(3, 1); B(2, 0); C(0, 4) và trong không gian cho
điểm D(-2, 0, 3). Chứng minh rằng tam giác ABC vuông tại A và tính bán kính hình cầu
ngoại tiếp tứ diện ABCD.
Bài 12.
Trong không gian Oxyz cho các điểm M(1, 0 , 2); N(1, 1, 0); P(0, 1, 2).
a) Viết phương trình của mặt phẳng (α) đi qua M, N, P.
b) Gọi A, B, C lần lượt là giao điểm của mặt phẳng (α) với các trục Ox, Oy, Oz. Tính
tiếp tuyến tứ diện OABC và diện tích tam giác ABC.
c) Chứng minh rằng 3 đường thẳng AP, BM, CN đồng qui tại điểm G. Tìm tọa độ điểm
G.
d) Gọi ϕ
1,
ϕ
2,
ϕ
3
lần lượt là các góc tạo bởi véctơ
→
OG
với các vectơ
→
OA
,
→
OB
,
→
OC
. Chứng
minh rằng cos
2
ϕ
1
+ cos
2
ϕ
2
+ cos
2
ϕ
3
= 1.
Bài 13.
Lập phương trình chính tắc của đường thẳng d đi qua điểm A(0, 1, 1) vuông góc với
đường thẳng d
1
:
1
z
1
2y
3
1x
=
+
=
−
và cắt đường thẳng d2:
=+
=+−+
01x
02zyx
Bài 14.
Số 8/462 đường Bưởi, Ba Đình, HN ĐT: 04.62.92.0398
14
Giáo dục Trần Đại chuyên bồi dưỡng kiến thức – LT Tel: 016.55.25.25.99
Cho hai đường thẳng d
1
, d
2
có phương trình:
d
1
:
5
4z
3
3y
2
2x
−
+
=
−
=
−
d
2
:
1
4z
2
4y
3
1x
−
−
=
−
−
=
+
Tìm phương trình chính tắc của đường vuông góc chung d của d
1
và d
2
. Tính tọa độ các
giao điểm H, K của d với d
1
và d
2
.
Bài 15.
Trong không gian Oxyz cho A(0, 1, 1) và hai đường thẳng:
1
z
1
2y
3
1x
:d
1
=
−
=
−
và
=+
=+−+
01x
02zyx
:d
2
Lập phương trình đường thẳng d đi qua A, vuông góc với d
1
và cắt d
2
.
Bài 16.
Cho hai đường thẳng có phương trình là:
1
1
:
1 2 3
x y z
d
−
= =
−
2
3 5 1 0
:
2 3 8 3 0
x y z
d
x y z
+ − + =
+ − + =
a) Chứng tỏ d
1
vuông góc với d
2
.
b) d
1
và d
2
có cắt nhau không? Tại sao?
Bài 17.
Trong không gian cho hai đường thẳng d
1
và d
2
có phương trình là:
3
1z
2
1y
7
3x
:d
1
9z
2
3y
1
7x
:d
2
1
−
=
−
=
−
−
−
−
=
−
=
−
a) Chứng minh rằng đó là hai đường thẳng chéo nhau.
b) Lập phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng đó.
Bài 18.
Số 8/462 đường Bưởi, Ba Đình, HN ĐT: 04.62.92.0398
15
Giáo dục Trần Đại chuyên bồi dưỡng kiến thức – LT Tel: 016.55.25.25.99
a) Cho tứ diện ABCD biết tọa độ các đỉnh A(2, 3, 1); B(4, 1, -2); C(6, 3, 7); D(-5, -4, 8).
Tính độ dài đường cao của tứ diện xuất phất từ A.
b) Cho 4 điểm A(-1, -2, 4); B(-4, -2, 0); C(3, -2, 1); D(1, 1, 1). Tính độ dài đường cao hạ
từ D của tứ diện ABCD.
Bài 19.
Trong không gian Oxyz. Cho mặt phẳng (P) đi qua 3 điểm A(0, 0, 1); B(-1, -2, 0); C(2, 1
-1).
a) Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (P).
b) Viết phương trình tham số của đường thẳng d đi qua trọng tâm của tam giác ABC và
vuông góc với mặt phẳng (P).
c) Xác định chân đường cao hạ từ A xuống BC và tính thể tích tứ diện OABC.
Bài 20.
Trong không gian Oxyz cho hai mặt phẳng:(α): 4x + ay + 6z - 10 = 0, (β): bx - 12y - 12z
+4 = 0 với a, b là các tham số.
a) Xác định các giá trị của a, b để hai mặt phẳng (α) và (β) song song với nhau. Trong
trường hợp đó hãy tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng.
b) Trong trường hợp a = b = 0, hãy tìm hình chiếu H của điểm A(1, 1, 1) trên giao tuyến
d của hai mặt phẳng (α) và (β) và tính khoảng cách từ A đến giao tuyến d.
Bài 21.
Viết phương trình đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P): x + y + z = 1 và cắt cả
hai đường thẳng
=++−
=−+−
=
−
+
=
−
01z2yx2
04zy2x
:dvàz
1
1y
2
1x
:d
21
Bài 22.
Cho tứ diện với các đỉnh A(2, 0, 0); B(0, 4, 0); C(0, 0, 6); D(2, 4, 6) trong hệ tọa độ trực
chuẩn Oxyz.
Số 8/462 đường Bưởi, Ba Đình, HN ĐT: 04.62.92.0398
16
Giáo dục Trần Đại chuyên bồi dưỡng kiến thức – LT Tel: 016.55.25.25.99
a) Tìm tọa độ chân đường cao kẻ từ đỉnh D của tứ diện.
b) Tìm tập hợp các điểm M trong không gian sao cho:
→→→→
+++ MDMCMBMA
= 4.
Viết phương trình chính tắc của tập hợp đó.
Bài 23.
Trong không gian cho hệ tọa độ Oxyz và cho tam giác vuông cân OAB vuông góc tại O,
nằm trong mặt phẳng Oxy mà đường thẳng AB song song với trục Ox và AB = 2a.
Xác định tọa độ điểm A, B biết rằng A có hoành độ x > 0 và tung độ y > 0.
Viết phương trình chính tắc của mặt phẳng đi qua điểm C(0, 0, c) với c > 0, và vuông góc
với đường thẳng đi qua O và trọng tâm G của tứ diện OABC
Bài 24.
Cho hai đường thẳng d và d' có phương trình là: d:
1
2z
3
1y
2
1x −
=
−
=
+
và d':
2
z
5
2y
1
2x
−
=
+
=
−
a) Chứng minh rằng hai đường thẳng d và d' chéo nhau.
b) Viết phương trình đường vuông góc chung của d vad d'.
Bài 25.
Lập phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua điểm M(1, 1, 2) và song song với
đường thẳng:
=+−+
=−+−
03x2y3x
07z2yx3
Bài 26.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng:
Số 8/462 đường Bưởi, Ba Đình, HN ĐT: 04.62.92.0398
17
Giáo dục Trần Đại chuyên bồi dưỡng kiến thức – LT Tel: 016.55.25.25.99
−=
+−=
+−=
t2z
t23y
t31x
:d
1
và
=−+
=−−
012z2x5
08y2x3
:d
2
a) Chứng minh rằng hai đường thẳng d
1
và d
2
chéo nhau.
b) Lập phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua điểm A(-4, -5, 3) và đồng thời cắt
d
1
, d
2
.
Bài 27.
Trong không gian cho mặt phẳng (P) có phương trình: 2x + 5y + z +17 = 0 và đường
thẳng d:
=+−+
=−+−
07zy3x6
027z4yx3
a) Xác định giao điểm A của đường thẳng d với mặt phẳng (P).
b) Viết phương trình đường thẳng đi qua A, Vuông góc với đường thẳng d và nằm trong
mặt phẳng (P).
Bài 28.
Trong không gian Oxyz cho điểm A(3, -2, -4) và mặt phẳng (P): 3x - 2y + 3z - 7 = 0
Viết phương trình đường thẳng đi qua A, song song với mặt phẳng (P), đồng thời cắt
đường thẳng d:
2
1z
2
4y
3
2x −
=
−
+
=
−
Bài 29.
Cho mặt phẳng (α): 2x + y + z - 2 = 0 và đường thẳng d:
3
2z
1
y
2
1x
−
+
==
−
a) Tìm giao điểm A của đường thẳng d và mặt phẳng (α).
b) Viết phương trình đường thẳng ∆ qua A, vuông góc với d và nằm trong mặt phẳng (α).
Bài 30.
Số 8/462 đường Bưởi, Ba Đình, HN ĐT: 04.62.92.0398
18
Giáo dục Trần Đại chuyên bồi dưỡng kiến thức – LT Tel: 016.55.25.25.99
Trong không gian Oxyz cho các đường thẳng
=++−
=+−+
01zy3x2
01z3y2x
:d
1
−=
+−=
+=
t33z
t21y
at2x
:d
2
Với a là một số thực cho trước.
a) Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa d
1
và song song với d
2
.
b) Xác định a để tồn tại mặt phẳng (Q) chứa d
1
và vuông góc với d
2
.
Bài 31.
Trong không gian Oxyz cho đường thẳng d:
=
−=
+=
t3z
t2y
t21x
và mp(α): 2x - y + 5z - 4 = 0
a) Tìm giao điểm của d và (α)
b) Viết phương trình tổng quát của đường thẳng d.
Bài 32.
Cho tam giác ABC gọi M, N, P lần lượt là trung điểm 3 cạnh BC, CA, AB.
a) Chứng minh rằng với bất kỳ điểm O nào trong không gian ta đều có
→→→
++
OCOBOA
→→→
++=
OPONOM
b) Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A(1, 2, -2) và song song với đường
thẳng d':
=−+−
=+−+
01z5yx2
02zyx
Bài 33.
Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng: d:
=+
=++
01y
02z2x
và d':
=
−=
+=
t2z
t2y
t1x
a) Chứng minh d và d' không cắt nhau, nhưng vuông góc với nhau.
b) Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua d và vuông góc với d'
Số 8/462 đường Bưởi, Ba Đình, HN ĐT: 04.62.92.0398
19
Giáo dục Trần Đại chuyên bồi dưỡng kiến thức – LT Tel: 016.55.25.25.99
c) Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua d' và vuông góc với d.
Bài 34.
Trong không gian Oxyz cho điểm A(-1, 2, 3) và
)3,2,6(a −−
→
và d:
=−+
=−−
014z2x5
05y3x2
a) Lập phương trình mặt phẳng (α) chưa A và đường thẳng d.
b) Lập phương trình đường thẳng ∆ qua A, cắt d và vuông góc với
→
a
Bài 35.
Trong không gian Oxyz cho điểm A(3, 2, 1) và đường thẳng d:
3z
4
y
2
x
+==
a) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d và đi qua A.
b) Viết phương trình đường thẳng d' đi qua A, vuông góc với d và cắt d.
Bài 36.
Trong không gian Oxyz, lập phương trình mp chứa đường thẳng
=−+−
=−
03zy2x3
0z2x
và
vuông góc với mặt phẳng: x - 2y + z + 5 = 0.
Bài 37.
Trong không gian Oxyz cho 4 điểm A(-1, 3, 2); B(4, 0, -3); C(5, -1, 4): D(0, 6, 1).
a) Viết phương trình tham số của đường thẳng BC. Hạ AH vuông góc với BC. Tìm tọa độ
điểm H.
b) Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng DBC. Tìm khoảng cách từ A đến mặt
phẳng BCD.
Bài 38.
Trong không gian cho 2 điểm A(0, 0, 3), B(2, 0, -1) và mp(P) 3x - 8y + 7z - 1 = 0.
a) Tìm tọa độ giao điểm I của đường thẳng đi qua 2 điểm A, B và (P).
b) Tìm tọa độ của điểm C nằm trên (P) sao cho tam giác ABC là tam giác đều.
Số 8/462 đường Bưởi, Ba Đình, HN ĐT: 04.62.92.0398
20
Giáo dục Trần Đại chuyên bồi dưỡng kiến thức – LT Tel: 016.55.25.25.99
Bài 39.
Trong không gian Oxyz cho điểm A(1, 2, -1), đường thẳng d có phương trình:
2
2z
3
y
1
2x +
==
−
và mặt phẳng (P): 2x + y - z +1 = 0.
a) Tìm điểm B đối xứng với A qua (P).
b) Viết phương trình đường thẳng đi qua A(1, 2, -1) cắt đường thẳng d và song song với
(P).
Bài 40.
Trong không gian Oxyz cho điểm A(-1, 3, 2) và hai đường thẳng:
)Rt(
t23z
t3y
t1x
:d
1
z
1
1y
2
1x
:d
2
1
∈
+=
+=
+=
=
−
−
=
−
a) Viết phương trình đường thẳng ∆ qua A cắt d
1
và d
2
.
b) Tính tọa độ các giao điểm của ∆ với d
1
và d
2
.
Bài 41.
Cho hệ tọa độ vuông góc Oxyz trong không gian và cho các điểm A(a, 0, 0); B(0, a, 0);
C(a, a, 0); D(0, 0, d) ( với a, d > 0). Gọi A', B' theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của O
xuống các đường thẳng DA và ĐặC BIệT.
a) Viết phương trình mặt phẳng chứa các đường thẳng OA', OB'. Chứng minh rằng mặt
phẳng đó vuông góc với đường thẳng CD.
b) Tính d theo a để góc
'BO
ˆ
'A
có số đo bằng 45
o
.
Bài 42.
Số 8/462 đường Bưởi, Ba Đình, HN ĐT: 04.62.92.0398
21
Giáo dục Trần Đại chuyên bồi dưỡng kiến thức – LT Tel: 016.55.25.25.99
Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng có phương trình d:
=
−+
+=
t2z
t1y
t2x
và d':
=−
=−+
03y
02z2x
a) Chứng minh rằng d và d' chéo nhau. Viết phương trình đường vuông góc chung của d
và d'.
b) Viết phương trình dạng tổng quát của mặt phẳng cách đều d và d'.
Bài 43.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A(1, -1, 1) và hai đường thẳng d
1
:
−=
−−=
=
t3z
t21y
tx
và d
2
:
=+−
=+−+
01yx2
03zyx3
Chứng minh rằng d
1
, d
2
và điểm A cùng thuộc một mặt phẳng.
Bài 44.
Trong không gian cho mp(P
m
) có phương trình 2x + y + z - 1 + m(x + y + z + 1) = 0
a) Chứng minh rằng với mọi m, mặt phẳng (P
m
) luôn đi qua một đường thẳng d cố định.
b) Tìm m để mặt phẳng (P
m
) vuông góc với mặt phẳng (P
0
) có phương trình: 2x + y + z -
1 = 0. Tính khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng d.
Bài 45.
Trong không gian Oxyz cho 4 điểm S(3, 1, -2); A(5, 3, -1); B(2, 3, -4); C(1, 2, 0).
a) Chứng minh rằng hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác đều và 3 mặt bên là các
tam giác vuông cân.
Số 8/462 đường Bưởi, Ba Đình, HN ĐT: 04.62.92.0398
22
Giáo dục Trần Đại chuyên bồi dưỡng kiến thức – LT Tel: 016.55.25.25.99
b) Tìm tọa độ điểm D đối xứng của C qua đường thẳng AB. M là điểm bất kì thuộc mặt
cầu tâm D, bán kính R = 3
2
và điểm M không thuộc mặt phẳng ABC. Xét tam giác có
độ dài các cạnh bằng các đoạn thẳng MA, MB, MC. Hỏi tam giác ấy có đặc điểm gì?
Bài 46.
Cho tam giác ABC có A(1, 2, 5) và phương trình hai trung tuyến là:
1z
2
6y
2
3x
−=
−
=
−
−
và
1
2z
4
2y
1
4x −
=
−
−
=
−
a) Viết phương trình chính tắc các cạnh của tam giác.
b) Viết phương trình chính tắc của đường phân giác trong của góc A.
Bài 47.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng có phương trình:
d
1
:
−=
−=
+=
t5z
t1y
t25x
và d
2
:
−=
−−=
+=
't1z
't3y
't23x
Với t, t'∈ R
a) Chứng minh rằng d
1
và d
2
song song .
b) Viết phương trình mặt phẳng chứa d
1
và d
2
.
Bài 48.
Trong không gian cho đường thẳng D
m
có phương trình:
=−−
=−+
0myx)m1(
0m3mz4x
với m là một
số tùy ý ≠ 0.
a) Chứng minh rằng khi m thay đổi, đường thẳng D
m
luôn đi qua một điểm cố định.
b) Chứng minh rằng đường thẳng D
m
luôn nằm trên một mặt phẳng (P) cố định khi m
thay đổi.
Bài 49.
Số 8/462 đường Bưởi, Ba Đình, HN ĐT: 04.62.92.0398
23
Giáo dục Trần Đại chuyên bồi dưỡng kiến thức – LT Tel: 016.55.25.25.99
Trong không gian với hệ tọa độ trực chuẩn Oxyz cho đường thẳng d và mặt phẳng (P) có
phương trình d:
3
2z
1
1y
2
1x −
=
−
=
+
; (P): x - y - z - 1 = 0.
Tìm phương trình chính tắc của đường thẳng ∆ đi qua điểm A(1, 1, -2) song song với (P)
và vuông góc với đường thẳng d.
Bài 50.
Trong không gian Oxyz cho điểm A(-2, 4, 3) và mặt phẳng (P): 2x - 3y + 6z + 19=0
a) Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (Q) chứa điểm A và song song với (P).
Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng (P) và (Q).
b) Hạ AH vuông góc với (P). Viết phương trình tham số của đường thẳng AH và tìm tọa
độ H.
Bài 51.
Trong không gian Oxyz cho 4 điểm A(-1, 3, 2); B(4, 0, -3); C(5, -1, 4); D(0, 6, 1)
a) Viết phương trình tham số của đường thẳng BC. Hạ AH vuông góc với BC. Tìm tọa độ
điểm H.
b) Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng DBC. Tìm khoảng cách từ A đến mặt
phẳng BCD.
Bài 52.
Trong không gian Oxyz cho 3 điểm: H(
2
1
, 0, 0); K(0,
2
1
, 0); I(1, 1,
3
1
).
a) Viết phương trình giao tuyến của mặt phẳng HKI với mặt phẳng:
x + z = 0 ở dạng chính tắc.
b) Tính cosin của góc phẳng tạo bởi mặt phẳng HKI với mặt phẳng tọa độ Oxy.
Bài 53.
Số 8/462 đường Bưởi, Ba Đình, HN ĐT: 04.62.92.0398
24
Giáo dục Trần Đại chuyên bồi dưỡng kiến thức – LT Tel: 016.55.25.25.99
Trong không gian Oxyz cho đường thẳng d:
1
3z
2
4y
1
3x
−
+
=
−
=
−
và mặt phẳng (α): 2x +
y + z - 1 = 0.
a) Tính số đo góc nhọn tạo bởi đường thẳng d và (α).
b) Tìm tọa độ giao điểm A của d và (α).
c) Viết phương trình tổng quát của đường thẳng ∆ đi qua A vuông góc với đường thẳng d
nằm trong (α).
Bài 54.
Trong không gian Oxyz cho các mặt phẳng (α) và (β) lần lượt có các phương trình: 2x - y
+ 3z + 1 = 0; x + y - z + 5 = 0 và điểm M(1, 0, 5).
a) Tính khoảng cách từ M đến (α).
b) Viết phương trình mặt phẳng đi qua giao tuyến d của (α) và (β) đồng thời vuông góc
với mặt phẳng: 3x - y + 1 = 0
Bài 55.
Trong không gian cho
3
3z
2
2y
1
1x
:d
1
−
=
−
=
−
và
=−+−
=−+
05z3yx2
0zy2x
:d
2
Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng d
1
và d
2
.
Bài 56.
Cho hình lập phương ABCDA'B'C'D' với cạnh bằng a. Giả sử M, N lần lượt là trung
điểm của BC và DD'.
a) Chứng minh rằng MN song song với mặt phẳng A'BD.
b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và MN theo a.
Bài 57.
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng:
Số 8/462 đường Bưởi, Ba Đình, HN ĐT: 04.62.92.0398
25
