chuyên đề tích phân

/>CHUYÊN ĐỀ TÍCH PHÂN
 PHẦN I: TÌM NGUYÊN HÀM
BÀI 1. Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x).
1).
2
x
f (x)
(x 1)
=
-
2).
2
1 cos2x
f (x)
cos x
-
=
3).
( )
5
2
x
f (x)
1 x
=
+
4).
x
f (x) x.sin
2
æ ö

÷
ç
=
÷
ç
÷
ç
è ø

BÀI 2. Tìm nguyên hàm thỏa điều kiện cho trước
1).
2
2x 1
F(x) dx
x x 1
+
=
+ +
ò
, biết:
F(0) 1=
2).
F(x) x.ln(x 1).dx= -
ò
, biết:
F(2) 3=-

3).
( )
2

F(x) x sin x .cos xdx= -
ò
, biết:
F( ) 0=p
4).
x 2
3
x
F(x) x e .dx
x 1
-
æ ö
÷
ç
÷
ç
= +
÷
ç
÷
ç
÷
ç
è ø
+
ò
, biết:
F(2) 1=

PHẦN II: TÍNH TÍCH PHÂN

BÀI 1. 15 tích phân đổi biến.
1).
2
0
sin x. 8cosx 1dx
p
+
ò
HD: Đặt
13
t 8cosx 1 KQ
6
= + =Þ
2).
( )
2
3
2
0
sin 2x
dx
cos x 2
p
+
ò
HD: Đặt
2
5
t cos x 2 KQ
72

= + =Þ
3).
2
2 2
0
sin 2x dx
4sin x cos x
p
+
ò
HD:
2 2
2 2 2
0 0
sin 2x dx sin 2xdx
4sin x cos x 3sin x 1
p p
=
+ +
ò ò
Đặt
2
2
t 3sin x 1 KQ
3
= + =Þ

4).
2
sin 2x 1

4
cos2x
dx
e
p
+
p
ò
HD: Đặt
2
1 1 1
t sin 2x 1 KQ
2 e
e
æ ö
÷
ç
= + = - -Þ
÷
ç
÷
ç
è ø
5).
2
2
sin 2x(1 sin x) dx
p
p
+

ò
HD:
2 2
2 2
sin 2x(1 sin x) dx 2sin x.cosx(1 sin x) dx
p p
p p
+ = +
ò ò
Đặt
17
t sin x KQ
6
= =-Þ
6).
2
e
3
1
ln x 2
dx
x
+
ò
HD: Đặt
t ln x KQ 8= =Þ
7).
7
e
3

1
dx
x. ln x 1+
ò
HD: Đặt
3
9
t ln x 1 KQ
2
= + =Þ
8).
3
e
1
ln x dx
x. ln x 1+
ò
HD: Đặt
14
t ln x 1 KQ 2
3
= + = -Þ
/>9).
2
2
3
0
x dx
x 1+
ò

HD: Đặt
3
4
t x 1 KQ
3
= + =Þ
10).
3
0
x. x 1dx+
ò
HD: Đặt
116
t x 1 KQ
15
= + =Þ
11).
4
tan x 2
2
0
e dx
cos x
p
+
ò
HD: Đặt
3 2
t tan x 2 KQ e e= + = -Þ
12).

4
x 1
1
e
dx
x
-
ò
HD: Đặt
t x 1 KQ 2(e 1)= - = -Þ
13).
2
3 2
0
sin x.cos xdx
p
ò
HD:
2 2
3 2 2 2
0 0
sin x.cos xdx sin x.(1 cos x)cos x dx
p p
= -
ò ò
Đặt
2
t cos x KQ
15
= =Þ

14).
ln 2
x
0
dx
1 e
-
+
ò
HD:
ln 2 ln 2
x
x x
0 0
dx e dx
1 e e 1
-
=
+ +
ò ò
Đặt
x
3
t e 1 KQ ln
2
æö
÷
ç
= + =Þ
÷

ç
÷
ç
è ø
15).
4
4
0
dx
cos x
p
ò
HD:
4 4
2
4 2
0 0
dx 1 tan x
dx
cos x cos x
p p
+
=
ò ò
Đặt
4
t tan x KQ
3
= =Þ
BÀI 2.

1).
2
0
(4x 5)sin 2xdx
p
+
ò
HD: Đặt
u 4x 5
KQ 5
dv sin 2xdx
ì
= +
ï
ï
= +Þ p
í
ï
=
ï
î
2).
2
(3x 2).cos3x dx
p
p
-
ò
HD: Đặt
u 3x 2

KQ 1
dv cos3x dx
2
ì
= -
ï
p
ï
= -Þ
í
ï
=
ï
î
3).
ln5
x
ln 2
2x.e dx
ò
HD: Đặt
3x
u 2x
KQ 10ln5 4ln 2 6
dv e dx
ì
=
ï
ï
= - -Þ

í
ï
=
ï
î
4).
3
2 2x
0
(x 1).e dx+
ò
HD: Đặt
2
6
2x
u x 1
15e 3
KQ
4
dv e dx
ì
ï
= +
-
ï
ï
=Þ
í
ï
=

ï
ï
î
5).
2
2x
0
(3x 4).e dx
-
-
ò
HD: Đặt
4
2x
u 3x 4
7e 5
KQ
4
dv e dx
-
-
ì
= -
ï
- -
ï
=Þ
í
ï
=

ï
î
6).
2
2
1
(6x 5)ln x dx+
ò
HD: Đặt
2
u ln x
29
KQ 26ln 2
3
dv (6x 5)dx
ì
=
ï
ï
= -Þ
í
ï
= +
ï
î
7).
2
2
0
(3x 2x)ln(x 2)+ +

ò
HD: Đặt
2
u ln(x 2)
14
KQ 28ln 2
3
dv (3x 2x)dx
ì
= +
ï
ï
= -Þ
í
ï
= +
ï
î
/>8).
2
2
1
ln(x 1)
dx
x
+
ò
HD: Đặt
2
u ln(x 1)

3
KQ 3ln 2 ln3
dx
dv
2
x
ì
= +
ï
ï
ï
= -Þ
í
ï
=
ï
ï
î
9).
[ ]
3
2
ln(x 1) ln(x 1) dx- - +
ò

HD:
[ ]
3 3 3
2 2 2
ln(x 1) ln(x 1) dx ln(x 1)dx ln(x 1)dx A B- - + = - - + = +

ò ò ò
27
KQ ln
64
=Þ
10).
x
0
e cosx dx
p
ò
HD: Đặt
x
u cos x
e 1
KQ
2
dv e dx
p
ì
=
ï
+
ï
=-Þ
í
ï
=
ï
î

BÀI 3.
1).
2
2
0
x 2x 3
dx
x 1
p
- +
-
ò
HD:
5 5
2
2 2
x 2x 3 2 15
dx (x 1 )dx KQ 2ln 4
x 1 x 1 2
- +
= - + = +Þ
- -
ò ò
2).
1
2
0
4x 5
dx
x x 2

-
- -
ò
HD: Đặt
1 1
2
0 0
4x 5 1 3
dx ( )dx KQ 2ln 2
x 2 x 1
x x 2
-
= + =Þ
- +
- -
ò ò
3).
ln3
x x
0
dx
e 8e 2
-
- -
ò
HD:
ln3 ln3
x
x x 2x x
0 0

dx e dx
e 8e 2 e 2e 8
-
=
- - - -
ò ò
Đặt
x
1
t e KQ ln5
2
= =Þ

4).
3
2 2
6
dx
sin x.cos x
p
p
ò
HD:
3 3
2 2 2
6 6
dx 4dx
KQ 4 3
sin x.cos x sin 2x
p p

p p
= =Þ
ò ò
5).
8
12
sin3x sin5xdx
p
p
ò
HD:
8 8
12 12
1 1 3
sin3x sin5xdx (cos2x cos8x)dx KQ ( 2 1 )
2 8 4
p p
p p
- = - +Þ
ò ò

6).
3
2
4
1 cos x
dx
sin x
p
p

+
ò
HD:
3 3 3
2 2 2
4 4 4
1 cos x dx cosx
dx dx KQ 1 3 2
sin x sin x sin x
p p p
p p p
+
= + = - +Þ
ò ò ò
7).
2
2
0
x x dx-
ò
HD: Đặt
2 1 2
2 2 2
0 0 1
x x dx (x x) dx (x x) dx KQ 1- = - - + - =Þ
ò ò ò
8).
2
1
x dx

1 x 1+ -
ò
HD: Đặt
11
t x 1 KQ 4ln 2
3
= - = -Þ
9).
1
2x 2
0
x(e 3x 1)dx+ +
ò
HD:
1 1 1
2
2x 2 2x 2
0 0 0
e 37
x(e 3x 1)dx xe dx x 3x 1dx KQ
4 36
+ + = + + = +Þ
ò ò ò
/>10).
2
0
cos x.ln(sin x 1)dx
p
+
ò

HD: Đặt
2
2
0 1
cosx.ln(sin x 1)dx ln t dt KQ 2ln 2 1
p
+ = = -Þ
ò ò
BÀI 4. Tính các tích phân sau :
1).
1
2x 2
0
x(e 3x 1)dx+ +
ò
2).
2
0
cosx.ln(sin x 1)dx
p
+
ò
3).
0
2
2
2x 1
dx
x 4x 3
-

-
- +
ò
4).
ln 7
x x
ln 2
e 2 .e dx+
ò
 PHẦN III: ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
BÀI 1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:
1).
2
y x 3x 2
y x 1
x 0,x 2
ì
ï
= - +
ï
ï
ï
= -
í
ï
ï
= =
ï
ï
î

2).
3 2
y x 3x 2= - +
và trục Ox
BÀI 2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:
1).
2
y x 2x= -
và
y x=
2).
2
y x=
và
y x=
3).
3 2
y x x= -
và
( )
1
y x 1
9
= -
BÀI 3. Cho hàm số:
2x 2
y
x 1
+
=

-

1). Khảo sát sự biến thiên vả vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2). Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) tiệm cận ngang và hai đường thẳng x = 2, x = 3.
3). Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi (C) và hai trục tọa độ.
a). Tính diện tích (H) b). Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra khi (H) quay 1 vòng quanh trục Ox
ĐỀ KIỂM TRA DÙNG THAM KHẢO
Câu 1. (2,0 đ) Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số
3
f (x) x 1= +
, biết
F(2) 7=
Câu 2. (6,0 đ) Tính các tích phân sau:
a).
2
2
0
x 3x 4
I dx
x 1
- +
=
+
ò
b).
4
2
0
J (sin 2x 1)dx
p

= +
ò
c).
e
2
1
ln x x
K dx
x
-
=
ò
d).
3
2
0
xdx
L
cos x
p
=
ò
Câu 3. (2,0 đ) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) hàm số
y f(x) x.cos x= =
, trục
hoành và các đường thẳng
x ;x
4 4
p p
=- =

.