Giới Thiệu Về Ma Trận Qua Các Ví Dụ Và Hệ Phương Trình Tuyến Tính Theo Sách “Discovering Advanced Algebra”

ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HUẾ
KHOA TOÁN

GIỚI THIỆU VỀ MA TRẬN QUA CÁC VÍ DỤ VÀ HỆ
PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH THEO SÁCH
“DISCOVERING ADVANCED ALGEBRA”
Giảng viên hướng dẫn : Nguyễn Đăng Minh Phúc
Nhóm sinh viên: Đỗ Viết Lân
Nguyễn Thị Thùy Trang
Hoàng Việt Cường
Võ Thị Diệu Trang
Huế, tháng 9 năm 2013
ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HUẾ
KHOA TOÁN

GIỚI THIỆU VỀ MA TRẬN QUA CÁC VÍ DỤ VÀ HỆ
PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH THEO SÁCH
“DISCOVERING ADVANCED ALGEBRA”
Giảng viên hướng dẫn : Nguyễn Đăng Minh Phúc
Nhóm sinh viên: Đỗ Viết Lân
Nguyễn Thị Thùy Trang
Hoàng Việt Cường
Võ Thị Diệu Trang
Huế, tháng 9 năm 2013
MỤC LỤC
LỜI MỞ ĐẦU
Ma trận là một công cụ hữu hiệu cho cuộc sống. Nhiều trường hợp cụ
thể trong cuộc sống được mô tả bằng ma trận. Và như vậy, khi có ma trận cùng
các phép toán trên nó ta có thể giải quyết nhiều vấn để một các đơn giản.
Sách “Discovering Advanced Algebra – Khám phá đại số nâng cao” cho
chúng ta làm quen với khái niệm đơn giản về ma trận và các phép toán của nó,

phục vụ cho cuộc sống thường nhật.
Nhóm chúng tôi đã đọc và tìm hiểu chương 6 của cuốn sách. Sau đây
xin trình bày lại về nội dung “Giới thiệu ma trận qua hệ phương trình” qua các
phần sau:
I. Giới thiệu về tác giả cuốn sách
II. Giới thiệu về ma trận
III. Nhận xét và so sánh với sách về ma trận ở Việt Nam
IV. Kết luận
Từ nội dung được trình bày ở đây và ở các sách về Đại số tuyến tính, hi
vọng các bạn khám phá được những điều bổ ích về ma trận.
Huế, tháng 9 năm 2013
Nhóm tác giả
I. GIỚI THIỆU VỀ TÁC GIẢ VÀ CUỐN SÁCH
1. Giới thiệu về tác giả
Các tác giả của cuốn sách này là Jerry Murduck, Ellen Kamischke và Eric
Kamischke. Họ đều là các chuyên gia nổi tiếng của nền khoa học giáo dục Mỹ.
Họ đều đã được vinh danh tại nhiều cuộc thi, giải thuởng lớn ở Mỹ và được
xem là những người đi đầu trong công tác dạy học Toán. Cả ba đều là những
giáo viên có nhiều năm kinh nghiệm và tham gia cộng tác viết rất nhiều sách
phục vụ cho việc dạy học Toán. Trong đó ba nguời là đồng tác giả của bộ sách
“Discovering Algebra – Tìm hiểu về Ðại số” cơ bản, nâng cao bao gồm cả lý
thuyết và bài tập.
ERIC KAMISCHKEELLEN KAMISCHKE
JERRY MURDUCK
2. Giới thiệu về cuốn sách
Tên cuốn sách là: “Discovering Advanced Algebra: An Investigative
Approach – Khám phá Ðại số nâng cao: Cách tiếp cận bằng khảo sát ”
được viết bởi ba nhà giáo có uy tín và kinh nghiệm Jerry Urdock, Ellen
Kamischke và Eric Kamischke. Cuốn sách này là một trong ba quyển của bộ
sách “Discovering Mathematics – Khám phá Toán học” viết về các vấn đề

nâng cao của đại số. Kiến thức được trình bày trong cuốn sách là những kiến
thức bổ sung và nâng cao hon so với cuốn sách “Discovering Algebra: An
Investigative Approach” (của cùng tác giả).
Cuốn sách gồm 13 chương:
Chương 0: Các cách giải quyết vấn dề
Chương 1: Các mô hình và phương pháp đệ quy
Chương 2: Mô tả dữ liệu
Chương 3: Mô hình và hệ thống tuyến tính
Chương 4: Ánh xạ, quan hệ và các phép biến dổi
Chương 5: Hàm mũ, hàm lũy thừa và hàm Lô-ga-rit
Chương 6: Ma trận và hệ thống tuyến tính
Chương 7: Hàm bậc hai và các hàm đa thức khác
Chương 8: Phương trình tham số và Lượng giác
Chương 9: Các đường Conic và Hàm phân thức
Chương 10: Hàm lượng giác
Chương 11: Chuỗi
Chương 12: Xác suất
Chương 13: Ứng dụng của Khoa học thống kê
Bên cạnh những vấn đề đại số cơ bản thì cuốn sách này cũng trình bày
các vấn đề về đại số nâng cao. Tuy nhiên những kiến thức này được tác giả
trình bày có hệ thống với ví dụ minh họa rõ ràng. Nên bạn đọc có thể nắm bắt
kiến thức một cách tự nhiên và sẽ không gặp nhiều khó khăn.
Cuốn sách này đưa ra một cách tiếp cận vấn đề mới đó là “Investigative
Approach – cách tiếp cận bằng khảo sát”. Do đó phần trọng tâm trong cuốn
sách này chính là “Investigation”
II. GIỚI THIỆU VỀ MA TRẬN
Trong chương 6: “Matrics and linear systems”, tác giả giới thiệu về ma
trận và hệ thống tuyến tính. Ở đây chúng ta sẽ tìm hiểu về ma trận và hệ
phương trình tuyến tính.
Ở chương này ta sẽ:

• Sử dụng ma trận để tổ chức thông tin.
• Cộng, trừ và nhân ma trận.
• Giải hệ phương trình tuyến tính với ma trận.
Sau đây ta sẽ tìm hiểu con đường đi đến ma trận thông qua các bài toán
thực tế. Ngoài ra, chúng ta còn tìm hiểu các phép toán ma trận, phép biến đổi
ma trận, ma trận nghịch đảo thông qua các bài toán thực tế, các bài ở lĩnh vực
khác như hình học với phép biến hình và hệ phương trình tuyến tính.
Ma trận đã được nghiên cứu từ xa xưa. Thời tiền sử đã có khái niệm hình
vuông Latin và hình vuông kì diệu.
Lịch sử hiện đại của ma trận gắn liền với việc giải hệ phương trình tuyến
tính. Gottfried Leibniz đã phát triển lý thuyết về định thức từ năm 1693.
Gabriel Cramer tiếp nối sự nghiệp, với Quy tắc Cramer năm 1750. Carl
Friedrich Gauss và Wilhelm Jordan đã phát triển phép khử Gauss vào những
năm 1800.
Từ "ma trận" (trong tiếng Anh là matrix) được dùng chính thức lần đầu
vào năm 1848 bởi J. J. Sylvester. George Cayley, William Rowan Hamilton,
Hermann Grassmann, Ferdinand Georg Frobenius và John von Neumann là
một vài trong số những tên tuổi gắn liền với sự phát triển của lý thuyết ma trận.
1. Ma trận biểu diễn
Vào thứ 7, Karina khảo sát du khách đến núi tuyết và dịp cuối tuần thì
thấy rằng 75% số người trượt tuyết vào hôm sau và 25% số đó trượt ván vào
hôm sau. Trong khi đó 95% số người trượt ván sẽ tiếp tục trượt ván và chỉ 5%
quyết định trượt tuyết vào hôm sau. Để mô tả thông tin này cô ấy dùng sơ đồ
như sau:
Các mũi tên và kí hiệu biểu thị kế hoạch
ngày hôm sau của du khách.
Chẳng hạn, vòng tròn mũi tên với kí hiệu .
75 chỉ rằng có 75% du khách trượt tuyết sẽ
trượt tuyết vào hôm sau. Mũi tên với kí hiệu .25 diễn tả rằng có 25%
số người trượt tuyết sẽ trượt ván vào hôm sau.

Sơ đồ như trên được gọi là sơ đồ chuyển đổi bởi nó mô tả sự
thay đổi của sự vật trong thời gian tiếp theo. Cùng thông tin đó đôi
khi cũng được biểu diễn bởi ma trận gọi là ma trận chuyển đổi. Ma
trận là một hình chữ nhật với sự sắp xếp các con số. Chẳng hạn trong
ví dụ trên ma trận chuyển đổi có dạng sau:
Trong khi điều tra, ta sẽ tạo ra một sơ đồ chuyển đổi và ma trận chuyển
đổi biểu diễn sự thay đổi đó. Ta cũng có thể sử dụng thông tin để xác định số
lượng người cụ thể trong khoảng thời gian đã qua.
KHẢO SÁT
Bài toán: Nhà ăn của trường đưa ra cho học sinh lựa chọn giữa kem
hoặc sữa chua đông lạnh cho món tráng miệng. Trong tuần đầu tiên có 220 học
sinh chọn kem, nhưng chỉ có 20 học sinh chọn sữa chua đông lạnh. Trong
những tuần tiếp theo có 10% ăn sữa chua chuyển sang kem và có 5% học sinh
ăn kem chuyển sang ăn sữa chua.
 Các bước tiến hành:
 Bước 1: Hoàn thành sơ đồ chuyển đổi với những
thông tin đã cho.
 Bước 2: Hoàn thành ma trận chuyển đổi biểu diễn
thông tin đó. Các dòng chỉ các đăng kí hiện tại,
các cột chỉ các đăng kí sau khi thay đổi.
 Bước 3: Trong tuần thứ hai, có bao nhiêu học sinh
chọn kem và bao nhiêu chọn sữa chua?
 Bước 4: Trong tuần thứ ba, mỗi loại có bao nhiêu
học sinh chọn?
 Bước 5: Viết chương trình đệ quy cho tuần bất kì và giá trị của tuần kế tiếp.
 Bước 6: Điều gì sẽ xảy ra với dãy dài các số chỉ số học sinh chọn kem và chọn
sữa chua.
Ta có thể sử dụng ma trận để tổ chức nhiều loại thông tin khác nhau.
Chẳng hạn ma trận dưới đây dùng để biểu diễn số sách giáo khoa toán, khoa
học và lịch sử được bán trong tuần này của tiệm sách và chi nhánh của nó. Các

dòng từ trên xuống lần lượt biểu diễn sách toán, khoa học, lịch sử và các cột từ
trái qua phải biểu thị số sách bán ở nhà sách chính và ở chi nhánh.
Kích thước ma trận cho biết số lượng hàng và cột,
trong trường hợp này là
23
×
(đọc là “3 nhân 2”). Mỗi
con số trong ma trận được gọi là một phần tử và được
kí hiệu là
ij
a
trong đó i chỉ số hàng và j chỉ số cột
tương ứng. Trong ma trận
[ ]
A
ở bên,
65
21
=
a
vì 65 ở hàng 2 và cột 1.
Ví dụ sau đây cho ta cách biểu diễn tọa độ của các hình hình học trên mặt
phẳng tọa độ
Ví dụ 1: Biểu diễn tứ giác ABCD bằng một ma trận.
Ta có thể sử dụng ma trận để biểu diễn tọa độ
các đỉnh liên tục của một hình.
Vì mỗi đỉnh có 2 tọa độ và có 4 đỉnh nên ta sẽ
dùng ma trận
42
×

với mỗi cột chứa tọa độ x và tọa
độ y của một đỉnh. Hàng thứ nhất chứa tọa độ x
của các đỉnh liên tục, tọa độ y tương ứng viết ở
hàng thứ 2.
[ ]






−−
−−
=
2112
2321
M
.
Ví dụ 2: Trong cuộc khảo sát của Karina ở đầu
bài học cô ấy đã khảo sát 260 người trượt tuyết và
40 người trượt ván. Mỗi hoạt động sẽ có bao nhiêu
người tham gia vào hôm sau?
GIẢI:
Trong ngày tiếp theo, số người trượt tuyết là
197)05(.40)75(.260
=+
Và số người trượt ván là
103)95(.40)25(.250
=+
Trong phần tiếp theo chúng ta sẽ học cách tính toán với ma trận và dùng

nó để giải bài toán ở ví dụ 2.
2. Các phép toán ma trận
Như đã trình bày ở phần 1, ma trận là một cách tổ chức dữ liệu, tương tự
như bảng. Ta có thể biểu diễn dữ liệu trong một ma trận thay cho bảng. Ngoài
ra khi biểu diễn dữ liệu bằng ma trận thay cho bảng ta có thể thực hiện các
phép toán như phép cộng và phép nhân các dữ liệu. Trong bài này, ta sẽ thấy
điều này rất hữu ích.
Xét bài toán trong phần 1. Ma trận
[ ]
A
biểu thị số sách toán, khoa học, và
lịch sử đã bán trong tuần này tại hiệu sách chính và các chi nhánh. Ma trận
[ ]
B

chứa những thông tin tương tự ma trận
[ ]
A
nhưng của tuần trước. Hỏi tổng số
sách đã bán, loại sách và địa điểm bán trong cả 2 tuần?
[ ]











=
5098
2065
3383
A
[ ]










=
55105
1565
2580
B
Để giải bài toán này, ta cộng ma trận
[ ]
A
và
[ ]
B
Để cộng hai ma trận, ta cộng các giá trị tương ứng. Vì vậy để cộng hoặc
trừ hai ma trận thì chúng phải có cùng kích thước. Các hàng và các cột tương

ứng cũng có sự biểu diễn tương tự nhau nếu kết quả hợp lí.
Trong phần 1, ta sử dụng một ma trận để biểu thị tọa độ các đỉnh của một
tam giác. Ta có thể sử dụng các phép toán của ma trận để biến đổi hình dạng
tam giác như biến đổi đồ thị của một hàm số.
Ví dụ 1: Ma trận sau biểu diễn một tam giác






−
−
232
213
a. Vẽ tam giác và ảnh của nó qua phép tịnh tiến sang trái 3 đơn vị. Viết biểu thức
ma trận biểu diễn phép biến đổi đó.
b. Mô tả sự biến đổi tương ứng của ma trận sau






−−−
−−−
+







−
−
333
444
232
213
c. Mô tả sự biến đổi tương ứng của ma trận sau






−
−
232
213
.2
GIẢI:
Ma trận ban đầu biểu diễn tam giác với các đỉnh (-3,2), (1,3), (2,-2)
a. Sau khi tịnh tiến sang trái 3 đơn vị, tọa độ x của ảnh giảm 3 đơn vị, tọa
độ y không có sự thay đổi gì. Ta có thể biểu diễn phép biến đổi này bằng phép
trừ của hai ma trận







−
−−−
=






−−−
−






−
−
232
126
000
333
232
213
b.







−−
−−−
=






−−−
−−−
+






−
−
501
237
333
444
232
213

P
hép cộng ma trận này biểu diễn phép tịnh tiến
sang trái 4 đơn vị và phép tịnh tiến xuống dưới 3
đơn vị.
c.






−
−
=






−
−
+






−

−
=






−
−
464
426
232
213
232
213
232
213
.2
Phép nhân ma trận với một số được gọi là
tích vô hướng. Mỗi phần tử trong ma trận là
tích với một vô hướng, trong trường hợp này là
2.
Ma trận kết quả được giãn ra cả bề ngang
lẫn chiều dọc với hệ số tỉ lệ là 2. Phép biến đổi
làm giãn ra hoặc co rút lại cả bề ngang và bề
dọc bởi cùng một thang số gọi là phép giãn.
Bây giờ chúng ta cùng trở lại với bài toán đã khám phá ở phần 1.
Ví dụ 2: Nhà ăn của trường đưa ra cho học sinh lựa chọn giữa kem hoặc
sữa chua đông lạnh cho món tráng miệng. Trong tuần đầu tiên có 220 học sinh

chọn kem, nhưng chỉ có 20 học sinh chọn sữa chua đông lạnh. Trong những
tuần tiếp theo có 10% ăn sữa chua chuyển sang kem và có 5% học sinh ăn kem
chuyển sang ăn sữa chua. Hỏi có bao nhiêu học sinh sẽ lựa chọn kem và bao
nhiêu học sinh lựa chọn sữa chua cho món tráng miệng trong tuần thứ 2 và
tuần thứ 3?
GIẢI:
Ta có thể sử dụng biểu thức ma trận để tìm đáp án cho tuần thứ 2 như sau:
[ ] [ ]
suachuakem
=






90.10.
05.95.
.20220
Ma trận ban đầu
[ ] [ ]
20220
=
A
biểu thị số người tuần đầu ăn kem và số
người tuần đầu ăn sữa chua.
Ma trận tiếp theo
[ ]
B
=







90.10.
05.95.
, hàng trên biểu diễn sự chuyển đổi số
người ăn kem, hàng dưới biểu diễn sự chuyển đổi số người ăn sữa chua.
Ta có thể xác định phép nhân hai ma trận qua quan sát cách tính số người
ăn kem và số người ăn sữa chua trong tuần thứ 2. Số người ăn kem của tuần
thứ 2 là 220.(0.95)+20(0.10)= 211 học sinh. Vì 95% trong số 220 người ăn
kem không chuyển sang ăn sữa chua và 10% trong số những người ăn sữa chua
chuyển sang ăn kem. Ta nhân hai phần tử trong hàng 1 của ma trận
[ ]
A
với 2
phần tử trong cột 1 của ma trận
[ ]
B
rồi cộng các tích đó lại. Kết quả là 211, là
giá trị của c
11
trong ma trận kết quả
[ ]
C
.
Ma trận ban đầu Ma trận tiếp theo Ma trận kết quả
[ ]

A
[ ]
B
=
[ ]
C
[220 20] .






90.10.
05.95.
= [211 sữa chua ]
Tương tự, Số người ăn sữa chua của tuần thứ 2 là 220.(0.05)+20(0.90)=
29 học sinh. Vì 5% trong số người ăn kem chuyển sang ăn sữa chua và 90%
trong số những người ăn sữa chua không chuyển sang ăn kem. Số người ăn sữa
chua trong tuần thứ 2 là tổng các tích của phần tử trong hàng 1 của
[ ]
A
và cột
2 của
[ ]
B
, Đáp án là 29, giá trị của c
22
trong ma trận kết quả
[ ]

C
.
Ma trận ban đầu Ma trận tiếp theo Ma trận kết quả
[ ]
A
.
[ ]
B
=
[ ]
C
[220 20] .






90.10.
05.95.
= [211 29 ]
Để tính số người trong tuần thứ 3, ta nhân kết quả vừa tính với ma trận
[ ]
B
Có khoảng 203 học sinh sẽ chọn kem và 37 học sinh chon sữa chua trong
tuần tới.
Chỉ một số ma trận mới có thể công được với nhau( những ma trận có cùng
kích thước), chỉ một số ma trận mới có thể nhân được với nhau. Vi dụ 3 sẽ giúp
ta khám phá loại ma trận nào có thể nhân được với nhau.
Ví dụ 3: Xét tích sau:







−
−






−
232
213
10
01
a. xác định kích cỡ của ma trận kết quả của tích này.
b. Mô tả cách tính các phần tử trong đáp án.
GIẢI:
a. Để nhân hai ma trận, ta nhân mỗi phần tử trong hàng của ma trận thứ nhất
với mỗi phần tử rong hàng của ma trận thứ 2.
Ta có thể nhân ma trận cỡ
22
×
với ma trận
cỡ
32

×
. Vì kích cỡ bên trong giống nhau:
2 giá trị hàng nối với 2 giá trị cột.
Kích cỡ bên ngoài cho ta biết kích cỡ của ma trận kết quả
Đáp án cho tích này có cỡ
32
×







=






−
−






−

232221
131211
232
213
10
01
ccc
ccc
b. Để tìm giá trị của phần tử trong hàng thứ nhất của ma trận kết quả, ta cộng
các tích của phần tử trong hàng thứ nhất của ma trận 1 với phần tử trong cột
của ma trận 2
Để tìm giá trị của phần tử trong hàng thứ hai của ma trận kết quả, ta cộng
các tích của phần tử trong hàng thứ hai của ma trận 1 với phần tử trong cột của
ma trận 2
Vậy tích là:






−
−
232
213
KHẢO SÁT: Cho các ma trận sau:
[ ]







−
=
11
32
A
,
[ ]






−
=
20
43
B
,
[ ]






−

−
=
451
032
C
,
[ ]






=
10
01
D
 Tìm
[ ] [ ]
BA
và
[ ] [ ]
AB
. Chúng có giống nhau không?
 Tìm
[ ] [ ]
CA
và
[ ] [ ]
AC

. Chúng có giống nhau không? Cần chú ý điều gì?
 Tìm
[ ] [ ]
DA
và
[ ] [ ]
AD
. Chúng có giống nhau không? Cần chú ý điều gì?
 Phép nhân ma trận có giao hoán không? Trường hợp nào thì giao hoán?
TÓM TẮT: Xem lại những định nghĩa về các phép toán của ma trận ta đã học
được trong bài này.
 Phép cộng ma trận
Để cộng các ma trận, ta cộng các giá trị tương ứng:
Ta chỉ có thể cộng ma trận nếu các ma trận đó có cùng kích cỡ.
 Phép nhân vô hướng
Để nhân một vô hướng với một ma trận. Ta nhân vô hướng đó với mỗi giá trị
của ma trận tương ứng trong cột của ma trận
 Phép nhân ma trận
Để nhân hai ma trận
[ ]
A
và
[ ]
B
, ta nhân mỗi phần tử trong hàng của ma
trận
[ ]
A
với phần tử tương ứng trong cột của ma trận
[ ]

B
Phần tử c
ij
trong ma trận kết quả
[ ]
C
là tổng các tích của mỗi phần tử trong
hàng i của ma trận thứ nhất và phần tử cột j ở vị trí tương ứng của ma trận thứ
2. Số phần tử trong hàng của ma trận
[ ]
A
phải bằng số phần tử trong cột của
ma trận
[ ]
B
. Tức là kích cỡ bên trong phải bằng nhau.
Ma trận kết quả có số hàng giống ma trận
[ ]
A
và số cột giống ma trận
[ ]
B
, hay
còn gọi là kích cỡ bên ngoài.
3. Phương pháp giảm hàng
Chúng ta đã học cách để giải quyết hệ phương trình sử dụng phương pháp
khử (cộng đại số). Ta cộng phương trình, đôi khi nhân cả hai vế bởi một thừa
số thích hợp, làm giảm hệ phương trình để có một phương trình một biến.
Trong bài này ta sẽ học cách sử dụng ma trận để đơn giản hóa phương pháp
khử để giải quyết hệ phương trình, đặc biệt là hệ phương trình nhiều hơn hai

biến.
Bất kỳ hệ phương trình ở dạng chuẩn có thể được viết như một ma trận.Ví
dụ như:



=+
=+
1335
52
yx
yx
hệ phương trình ban đầu






=






+
+
13
5

35
2
yx
yx
viết dưới dạng ma trận






=












13
5
35
12
y
x

kết quả












y
x
35
12
tương đương với






+
+
yx
yx
35
2

Ta cũng có thể viết hệ phương trình bằng một ma trận bổ sung, là một ma
trận duy nhất chứa các cột cho các hệ số của các biến và cột cuối cùng cho
hằng số.






→



=+
=+
13
5
35
12
1335
52
yx
yx
Ta có thể sử dụng các ma trận bổ sung để thực hiện một quá trình tương tự
như khử (cộng đại số)
Các phương pháp giảm hàng biến đổi một ma trận bổ sung thành một ma
trận giải. Thay vì kết hợp các phương trình và bội số của phương trình cho đến
khi vế trái là một phương trình một biến, ta thêm bội số của hàng này vào hàng
khác cho đến khi ta có được những ma trận giải. Ma trận giải bao gồm các
nghiệm cho hệ ở cột cuối cùng. Phần còn lại của ma trận bao gồm 1 trên đường

chéo chính và 0 trên và dưới nó. Ma trận
bổ sung là đại diện cho hệ:



=+
=+
byx
ayx
.1.0
.0.1
tương đương x=a và y=b
Ma trận này làm giảm hàng vì mỗi hàng đã giảm xuống còn 1 và a là một
nghiệm, phần còn lại của ma trận là các phần tử 0.
Một ma trận bổ sung đại diện cho hệ phương trình vì vậy các quy tắc
tương tự áp dụng cho hàng thao tác trong một ma trận tương tự như phương
trình trong một phương trình.
 Các phép toán hàng trong ma trận:
- Ta có thể nhân (hoặc chia) tất cả các số trong một hàng bằng một số khác
không.
- Ta có thể cộng tất cả các số tương ứng trong hai hàng.
- Ta có thể nhân một hàng với một số rồi cộng tương ứng với hàng khác.
- Ta có thể đổi chỗ hai hàng.
Ví dụ: cho hệ phương trình



=+
=+
1335

52
yx
yx
GIẢI:
Ta có thể giải hệ phương trình sử dụng ma trận hoặc các phương trình.
Chúng ta hãy so sánh việc sử dụng phương pháp ma trận giảm hàng với
phương pháp khử các phương trình.
Bởi vì các phương trình ở dạng chuẩn, ta có thể sao chép các hệ số và hằng
số từ mỗi phương trình vào hàng tương ứng của ma trận bổ sung chúng ta hãy
gọi ma trận bổ sung này là
[ ]
M
.
Chỉ sử dụng các thao tác hàng cơ bản, ta có thể chuyển đổi ma trận này
vào ma trận giải. Ta cần hai giá trị m
21
và m
12
bằng 0 và hai giá trị m
11
và m
22
bằng 1.
Phương pháp khử phương trình:
Nhân phương trình 1 bởi -2,5 và
cộng vào hàng 2 để loại bỏ x:
Nhân phương trình 2 bởi 2 ta tìm
được y:
y = 1
.Nhân -1 cho phương trình mới và

cộng thêm với phương trình đầu để
loại y.
Nhân phương trình bởi 0,5 ta tìm
được x:
x = 2
Phương pháp ma trận giảm hàng:
Cộng -2,5 lần hàng 1 vào hàng 2 để
m
21
= 0
Nhân hàng 2 với 2 để cho m
22
= 1
Cộng -1 lần hàng 2 cho hàng 1 để
m
12
= 0
Nhân hàng 1 cho 0,5
Cột cuối cùng của ma trận chỉ ra
nghiệm hệ là (2, 1)
Ta có thể sử dụng R
1
và R
2
đại diện cho hai hàng của ma trận trong ví dụ trên
như sau:
4. Ma trận nghịch đảo
Xét phương trình
bax
=

. Để giải x, ta nhân cả hai vế của phương trình với
số
a
1
, là nghịch đảo của a. Nghịch đảo của một số khác 0, chẳng hạn như 2.25,
là số khi nhân với 2.25 thì đc 1. Số 1 cũng đc gọi là phần tử đơn vị vì một số
bất kì nhân với 1 thì kết quả k đổi.
Một cách tương tự, để giải một hệ phương trình, ta có thể sử dụng ma trận
nghịch đảo. Nếu tồn tại một ma trận nghịch đảo, thì ta có thể nhân nó với ma
trận của hệ để được một ma trận tương đương với 1, mà ta gọi là ma trận đơn
vị. Với ma trận vuông bất kì nào đó mà khi nhân ma trận đơn vị cùng cấp vào 2
phía của nó thì ma trận đó không thay đổi. Trong ví dụ sau đây, ta tìm ma trận
đơn vị của ma trận
22
×
.
Ví dụ 1: Tìm ma trận đơn vị của ma trận






34
12
GIẢI:
Ta muốn tìm ma trận,







dc
ba
, thỏa mãn định nghĩa của ma trận đơn vị.






34
12






dc
ba
=






34

12
Khi nhân với ma trận đơn vị thì ma trận không đổi






++
++
dbca
dbca
3434
22
=






34
12
Thực hiện nhân ma trận ở vế trái
Vì hai ma trận bằng nhau nên các phần tử của chúng bằng nhau. Cho các
phần tử tương ứng của chúng bằng nhau ta được các phương trình sau
334434
1222
=+=+
=+=+

dbca
dbca
Ta có thể chia các phương trình trên thành hai hệ phương trình. Sử dụng
phép thế, khử ẩn, hoặc dùng ma trận bổ sung để giải mỗi hệ



=+
=+
434
22
ca
ca
Hệ phương trình có thể giải ra a và c



=+
−=−−
434
636
ca
ca
Nhân phương trình thứ nhất với – 3